Approximation of bounded holomorphic and harmonic functions by Fejér means
We compute the exact values of the exact upper bounds on the classes of bounded holomorphic and harmonic functions in a unit disk for the remainders in a Voronovskaya-type formula in the case of approximation by Fej´er means. We also present some consequences that are of independent interest.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1455 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507210223714304 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Чайченко, С. О. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Чайченко, С. О. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | We compute the exact values of the exact upper bounds on the classes of bounded holomorphic and harmonic functions
in a unit disk for the remainders in a Voronovskaya-type formula in the case of approximation by Fej´er means. We also
present some consequences that are of independent interest. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
С. О. Чайченко (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ),
М. В. Савчук (Iн-т пiдготовки кадрiв держ. служби зайнятостi України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ
I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА
We compute the exact values of the exact upper bounds on the classes of bounded holomorphic and harmonic functions
in a unit disk for the remainders in a Voronovskaya-type formula in the case of approximation by Fejér means. We also
present some consequences that are of independent interest.
Обчислено значення точних верхнiх меж на класах обмежених голоморфних i гармонiчних функцiй в одиничному
крузi для залишкових членiв у формулi типу Вороновської у випадку наближень середнiми Фейєра. Наведено ряд
наслiдкiв, що мають самостiйний iнтерес.
1. Нехай f — функцiя, голоморфна у крузi \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} , i
f(z) =
\infty \sum
k=0
\widehat fkzk, \widehat fk := f (k)(0)
k!
,
— її розклад у ряд Тейлора.
Середнiми Фейєра \sigma n(f) степеня n - 1, n \in \BbbN , функцiї f називається многочлен
\sigma n(f)(z) =
n - 1\sum
k=0
\biggl(
1 - k
n
\biggr) \widehat fkzk.
Покладемо \sigma 0(f) = 0.
Нехай r \geq 0. Розглянемо клас Br, який складається з голоморфних у \BbbD функцiй f вигляду
f(z) = P[r] - 1(z) + z[r]
\infty \sum
k=0
\Gamma (k - \{ r\} + 1)
(k + [r])!
\widehat gkzk, (1)
де P[r] - 1 — алгебраїчний многочлен степеня [r] - 1 (P - 1 := 0), [r] i \{ r\} — вiдповiдно цiла i
дробова частини числа r, а g(z) =
\sum \infty
k=0
\widehat gkzk — функцiя, голоморфна в \BbbD , для якої
\| g\| \infty := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbD
| g(z)| \leq 1.
Функцiя g в зображеннi (1) при дробових r є дробовою похiдною в розумiннi Рiмана –
Лiувiлля функцiї f, тобто
g(z) = f (r)(z) :=
\infty \sum
k=[r]
k!
\Gamma (k - r + 1)
\widehat fkzk - [r],
а при натуральних r — звичайною r-ю похiдною.
Позначимо B = B0.
c\bigcirc В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК, 2019
516 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 517
С. Б. Стєчкiн [1] показав, що при натуральних r \geq 2 для функцiй iз класу Br спiввiдношення
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
f \prime (z) +O
\biggl(
1
nr
\biggr)
(2)
справджується для всiх n \geq r - 1 рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD i рiвномiрно вiдносно всього
класу Br.
У роботi [2] показано, що спiввiдношення
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
f \prime (z) +O
\biggl(
| z| n
n
\biggr)
(3)
справджується для всiх n \in \BbbN рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD i рiвномiрно вiдносно всього
класу B1.
Спiввiдношення (2) i (3), по сутi, є твердженнями типу теореми Вороновської для методу
наближення Фейєра (див., наприклад, [3, с. 452; 4, с. 206]). Їх також можна розглядати як асим-
птотичнi розклади першого порядку для f - \sigma n(f) вiдносно параметра n на класi Br, r \in \BbbN ,
при z \in \BbbD . У випадку, коли | z| = 1, спiввiдношення (3) вже не може бути асимптотичним
розкладом i формально перетворюється в нерiвнiсть
| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq C
| z|
n
, (4)
яка справджується для всiх f \in B1, n \in \BbbN i z \in \BbbD з абсолютною сталою C.
А. Зигмунд [5] уперше встановив цей факт, показавши, що (4) справджується зi значенням
C = \pi + 2/\pi . Згодом С. Б. Стєчкiн [1] показав, що (4) має мiсце при C = 3, а в [6] показано,
що в (4) можна покласти C = 2.
Зрозумiло також, що C \geq 1 (у цьому легко переконатися, взявши, наприклад, функцiю
f(z) = z). У роботах [2, 7] описано пiдкласи функцiй з B1, для яких спiввiдношення (4)
справджується зi сталою C = 1 для всiх z \in \BbbD i n \in \BbbN . Зокрема, в [7] показано, що для всiх
натуральних r \geq 2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in Br
\theta
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
| z|
n
\forall z \in \BbbD , n \in \BbbN ,
де Br
\theta — клас голоморфних у \BbbD функцiй f, для яких
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbD
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial r\partial \theta r f(\rho ei\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1, z = \rho ei\theta .
З’ясуємо тепер, яку максимальну похибку наближення мають середнi Фейєра на класi B.
Для цього розглянемо клас K голоморфних у \BbbD функцiй f, якi зображуються iнтегралами типу
Кошi вздовж одиничного кола \BbbT := \{ t \in \BbbC : | t| = 1\}
f(z) =
\int
\BbbT
\varphi (t)
1 - tz
dm(t), (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
518 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
зi щiльностями \varphi : \BbbT \rightarrow \BbbC , для яких \| \varphi \| L\infty (\BbbT ) := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbT | \varphi (t)| \leq 1.
Нескладно зрозумiти, що B \subset K.
В роботi [8] доведено, що для будь-яких z \in \BbbD i n \in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in K
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
2| z|
\pi n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
\bfK (| z| n), (6)
де
\bfK (\rho ) =
\pi /2\int
0
dx\sqrt{}
1 - \rho 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 x
— повний елiптичний iнтеграл першого роду.
Хоча, як показано у [8], екстремальна функцiя f\ast , тобто та, для якої досягається максимум
у лiвiй частинi (6), є єдиною з точнiстю до унiмодулярного множника i належить K \setminus B, при
фiксованому z \in \BbbD i n\rightarrow \infty спiввiдношення (6) є асимптотично точним i на пiдкласi B \subset K.
Справдi, скориставшись розкладом
2
\pi
\bfK (\rho ) = 1 +
\infty \sum
k=1
\biggl(
(2k - 1)!!
(2k)!!
\biggr) 2
\rho 2k \forall \rho \in [0, 1),
з рiвностi (6) одержимо спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B
| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq
| z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
+O
\bigl(
| z| 2n
\bigr)
, z \in \BbbD , n\rightarrow \infty , (7)
в якому залишковий член є рiвномiрно обмеженим вiдносно n, але необмеженим при | z| \rightarrow 1 - .
Переконаємося, що у спiввiдношеннi (7) при n \rightarrow \infty насправдi має мiсце знак рiвностi.
Для цього зафiксуємо z \in \BbbD i розглянемо функцiю
f(t) =
t - z
1 - tz
,
яка, очевидно, належить класу B.
Нескладно перевiрити, що для будь-якого n \in \BbbN
f(z) - \sigma n(f)(z) = - \sigma n(f)(z) =
= z - z(1 - | z| 2)
n - 1\sum
k=1
\biggl(
1 - k
n
\biggr)
| z| 2(k - 1) =
z
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
.
Отже, у спiввiдношеннi (7) строгої нерiвностi бути не може.
Основна мета цiєї роботи — знайти точне значення величини
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
\bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
z
n
f \prime (z)
\bigm| \bigm| \bigm|
для кожного фiксованого натурального n i z \in \BbbD .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 519
У п. 2, як наслiдки з основного результату — теореми 1, одержано аналог спiввiдношення
(2) для функцiй класу Br при всiх r \geq 0. До того ж дано конструктивну характеристику класу
B1 у термiнах наближення середнiми Фейєра.
Також отримано асимптотичний розклад першого порядку вiдносно n для величини
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br
| f(z) - \sigma n(f)(z)| , r \geq 0, z \in \BbbD .
Зокрема, з’ясовано, що залишковий член у (7) можна замiнити величиною, рiвномiрно обме-
женою вiдносно z у замкненому крузi \BbbD .
Ми показали (теорема 2), що нерiвнiсть (4) при значеннях | z| \leq (3 -
\surd
3)/2 виконується зi
сталою C = 1 для всiх функцiй iз класу B1 i всiх натуральних n.
Запропонований метод доведення результатiв п. 2, який базується на лемi 1, є цiлiсним
i має певну унiверсальнiсть. Iз вiдповiдним пристосуванням вiн є ефективним i у випадку
наближення обмежених гармонiчних функцiй середнiми Фейєра їхнiх рядiв Фур’є.
З цiєї причини, як пiдтвердження слiв про цiлiснiсть методу в комплексному i дiйсному ви-
падках, у п. 3 наведено аналоги результатiв iз п. 2 для дiйснозначних гармонiчних у \BbbD функцiй.
Результати п. 3 мають також самостiйний iнтерес. Вони є новими i з точки зору наближен-
ня класiв згорток неперервних 2\pi -перiодичних функцiй (на дiйснiй осi \BbbR ) з ядром Пуассона
середнiми Фейєра їхнiх рядiв Фур’є.
Найновiшi огляди результатiв за цiєю тематикою можна знайти в [9, 10] (див. також [11],
гл. XII).
2. Результати цього пункту — це наслiдки теореми 1, яка має самостiйний iнтерес також з
точки зору екстремальних задач на класах K i B.
Теорема 1. Нехай n \in \BbbN i z \in \BbbD . Тодi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in K
\bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
z
n
f \prime (z)
\bigm| \bigm| \bigm| = | z| n+1
n(1 - | z| 2)
(8)
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in B
\bigm| \bigm| (1 - | z| 2n)f(z) - \sigma n(f)(z)
\bigm| \bigm| = | z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
. (9)
При z \not = 0 максимуми у (8) i (9) досягаються для єдиних з точнiстю до унiмодулярного
множника функцiй
f1(t) = tn
z - t
1 - tz
i
f2(t) =
t - z
1 - tz
вiдповiдно.
Зауваження 1. Оскiльки B \subset K, а екстремальна у (8) функцiя f1 належить B, максимум
у лiвiй частинi (8) по класу K можна замiнити максимумом по класу B, не порушивши при
цьому рiвнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
520 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Нехай, як зазвичай, H\infty позначає банахiв простiр обмежених голоморфних у \BbbD функцiй iз
нормою \| \cdot \| \infty . За теоремою Фату (див., наприклад, [12, с. 74]) кожна функцiя f iз простору H\infty
має майже скрiзь на колi \BbbT кутовi граничнi значення, що утворюють вимiрну iстотно обмежену
функцiю, яку позначатимемо теж f. За принципом максимуму для будь-якої функцiї f \in H\infty
норма \| f\| \infty реалiзується на її кутових граничних значеннях, тобто \| f\| \infty = \| f\| L\infty (\BbbT ). Таким
чином, H\infty можна розглядати як пiдпростiр простору L\infty (\BbbT ) вимiрних iстотно обмежених на
\BbbT функцiй, надiленого нормою \| \cdot \| L\infty (\BbbT ).
Зауваження 2. Для даної функцiї \varphi : \BbbT \rightarrow \BbbC , \| \varphi \| L\infty (\BbbT ) \leq 1, фактор-клас \varphi + H
\infty
0 , де
H
\infty
0 = \{ h : h \in H\infty , h(0) = 0\} , породжує за формулою (5) одну i ту ж функцiю f iз класу K. В
доведеннi теореми 1 буде показано, що екстремальна функцiя f1 єдина не лише у класi K, але й
єдина (з точнiстю до унiмодулярного множника) у фактор-просторi L\infty (\BbbT )/H\infty
0 екстремальна
функцiя з нормою не бiльшою нiж 1.
Зауваження 3. Рiвнiсть (9) справджується i при z \in \BbbT , а саме, набирає вигляду
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in B
| \sigma n(f)(z)| = 1 \forall z \in \BbbT ,
що збiгається зi знаменитим результатом Л. Фейєра i Е. Ландау (див., наприклад, [13]).
Доведення теореми 1 спирається на двi леми, перед формулюванням яких нагадаємо такий
факт.
Кожна голоморфна функцiя f iз простору Гардi Hq, q \geq 1, тобто така, що
\| f\| q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\rho \in [0,1)
\left( \int
\BbbT
| f(\rho t)| q dm(t)
\right) 1/q
<\infty ,
де dm(t) = dt/(2\pi it) — нормована мiра Лебега на колi \BbbT , має майже скрiзь на \BbbT кутовi граничнi
значення f, якi утворюють функцiю з лебегового простору Lq(\BbbT ), i до того ж
\| f\| q = \| f\| Lq(\BbbT ) :=
\left( \int
\BbbT
| f | qdm
\right) 1/q
.
Лема 1. Нехай f \in H1, n \in \BbbZ + i z \in \BbbD . Тодi:
1) для будь-яких k \in \BbbZ +, k \leq n, i будь-якої функцiї g \in H1
n(f(z) - \sigma n(f)(z)) - zf \prime (z) = - zn+1
\int
\BbbT
\Bigl(
tkg(t) + f(t)
\Bigr)
t
n t - z
1 - tz
1
| 1 - tz| 2
dm(t); (10)
2) справджується рiвнiсть
n
\bigl(
(1 - | z| 2n)f(z) - \sigma n(f)(z)
\bigr)
= z
\int
\BbbT
f(t)
t - z
1 - tz
| 1 - t
n
zn| 2
| 1 - tz| 2
dm(t). (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 521
Доведення. Твердження є тривiальним при z = n = 0. Тому далi вважаємо, що z \not = 0 i
n \not = 0.
Виберемо довiльну функцiю g \in H1 i розглянемо функцiю
Gk(t) := g(t)tn - k
t - z
1 - tz
.
Зрозумiло, що Gk \in H1 i Gk(z) = 0. Тому за формулою Пуассона
0 =
Gk(z)
1 - | z| 2
=
\int
\BbbT
Gk(t)
dm(t)
| 1 - tz| 2
=
=
\int
\BbbT
t
k
g(t)tn
t - z
1 - tz
dm(t)
| 1 - tz| 2
. (12)
Отже, iнтеграл у правiй частинi (10) не залежить нi вiд k, нi вiд g.
Далi, нехай
Sl(f)(z) =
l - 1\sum
j=0
\widehat fjzj
— частинна сума порядку l - 1, l \in \BbbN , ряду Тейлора функцiї f. Оскiльки
\sigma n(f)(z) =
1
n
n\sum
l=1
Sl(f)(z)
i за формулою Кошi
f(z) - Sl(f)(z) = zl
\int
\BbbT
f(t)
t
l
1 - tz
dm(t),
то
f(z) - \sigma n(f)(z) =
1
n
n\sum
l=1
(f(z) - Sl(f)(z)) =
=
1
n
\int
\BbbT
f(t)
n\sum
l=1
zlt
l dm(t)
1 - tz
=
z
n
\int
\BbbT
f(t)t
1 - znt
n
(1 - tz)2
dm(t), z \in \BbbD . (13)
Врахувавши, що
f \prime (z) =
\int
\BbbT
f(t)
t
(1 - tz)2
dm(t) \forall z \in \BbbD , (14)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
522 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
t
(1 - tz)2
=
t - z
1 - tz
1
| 1 - tz| 2
\forall t \in \BbbT , z \in \BbbD ,
iз формул (13), (12) одержимо рiвнiсть (10).
Для доведення рiвностi (11) достатньо застосувати формулу (13) до функцiї F (t) = f(t)(1 -
- zntn) i врахувати, що \sigma n (F ) = \sigma n(f).
Нехай тепер n = 0 i z \in \BbbD \setminus \{ 0\} . Тодi рiвнiсть (11) є тривiальною, а (10) з урахуванням
спiввiдношень (12), (14) набирає вигляду
zf \prime (z) = z
\int
\BbbT
\Bigl(
g(t) + f(t)
\Bigr) t - z
1 - tz
1
| 1 - tz| 2
dm(t).
Функцiя I : \BbbD \rightarrow \BbbD називається внутрiшньою, якщо вона є голоморфною в \BbbD , а її радiальнi
граничнi значення на колi \BbbT породжують функцiю (за якою залишаємо те саме позначення I )
таку, що | I| = 1 майже скрiзь на \BbbT . Функцiя p : \BbbT \rightarrow \BbbR називається знакосталою на \BbbT , якщо
p \leq 0 або p \geq 0 майже скрiзь на \BbbT .
Позначимо
Hq
0 := \{ f \in Hq : f(0) = 0\} .
Лема 2. Нехай функцiя p є знакосталою на \BbbT i I — внутрiшня функцiя. Тодi
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
h\in H1
0
\bigm\| \bigm\| Ip+ h
\bigm\| \bigm\|
L1(\BbbT ) = \| p\| L1(\BbbT ),
а мiнiмум досягається для єдиної функцiї h \equiv 0.
Це твердження є компiляцiєю двох тверджень з роботи [14] (див. теорему 1 i нерiвнiсть (14)
у [14]).
Доведення теореми 1. Зауважимо спочатку, що K \subset UH2, де UH2 — одинична куля у
просторi H2. Справдi, нехай функцiя f належить K i має вигляд (5). Тодi
\widehat fk = \int
\BbbT
\varphi (t)t
k
dm(t), k = 0, 1, . . . ,
i, як наслiдок цього, за рiвнiстю Парсеваля
\| f\| 22 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\rho \in [0,1)
\infty \sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fk\bigm| \bigm| \bigm| 2 \rho 2k \leq \| \varphi \| 2L2(\BbbT ) \leq \| \varphi \| 2L\infty (\BbbT ) \leq 1.
Отже, функцiя f iз класу K має майже скрiзь на \BbbT кутовi граничнi значення f \in L2(\BbbT ).
До цього зауважимо, що для iнтеграла типу Кошi функцiї g := \varphi - f \in L2(\BbbT ) справджуються
рiвностi \int
\BbbT
g(t)
1 - tz
dm(t) =
\left\{
\sum \infty
k=1
\widehat \varphi - kz
k, | z| < 1,
0, | z| > 1,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 523
\widehat \varphi - k :=
\int
\BbbT
\varphi (t)tkdm(t).
Отже, за теоремою Голубєва – Привалова функцiя g збiгається майже скрiзь на \BbbT з кутовими
граничними значеннями деякої функцiї з UH2.
Тому до функцiї f можна застосувати формулу (10), в якiй k = 0 i g = \varphi - f + h, а h —
довiльна функцiя з H\infty
0 . На основi такої формули (10) одержимо низку нерiвностей\bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
z
n
f \prime (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq | z| n+1
n
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \varphi (t) + h(t)
\Bigr)
t
n t - z
1 - tz
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
| 1 - zt| 2
dm(t) \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \varphi + h
\bigm\| \bigm\|
L\infty (\BbbT )
| z| n+1
n
\int
\BbbT
1
| 1 - zt| 2
dm(t) =
\bigm\| \bigm\| \varphi + h
\bigm\| \bigm\|
L\infty (\BbbT )
| z| n+1
n(1 - | z| 2)
\forall z \in \BbbD .
Мiнiмiзуючи праву частину останньої нерiвностi вiдносно h по множинi H\infty
0 , а потiм мак-
симiзуючи її вiдносно \varphi по класу UL\infty (\BbbT ) := \{ \varphi \in L\infty (\BbbT ) : \| \varphi \| L\infty (\BbbT ) \leq 1\} , отримуємо
спiввiдношення\bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
z
n
f \prime (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in UL\infty (\BbbT )
d(\varphi ;H\infty
0 )
| z| n+1
n(1 - | z| 2)
\forall z \in \BbbD ,
де
d(\varphi ;H\infty
0 ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty
0
\| \varphi + h\| L\infty (\BbbT ) .
З iншого боку, при фiксованому z \in \BbbD для функцiї f1 маємо зображення (5), в якому \varphi = f1
i
f1(z) - \sigma n(f1)(z) -
z
n
f \prime 1(z) =
zn+1
n
\int
\BbbT
tn
t - z
1 - tz
t
n t - z
1 - tz
1
| 1 - zt| 2
dm(t) =
=
zn+1
n
\int
\BbbT
1
| 1 - zt| 2
dm(t) =
zn+1
n(1 - | z| 2)
.
Отже,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in UL\infty (\BbbT )
d(\varphi ;H\infty
0 ) = \| f1\| L\infty (\BbbT ) = 1,
що й доводить рiвнiсть (8) i екстремальнiсть функцiї f1.
Доведемо тепер єдинiсть екстремальної функцiї f1. Для цього зафiксуємо z \in \BbbD , \theta \in \BbbR i
означимо на \BbbT функцiю
k(t) = - ei\theta tn t - z
1 - tz
1
| 1 - zt| 2
= ei\theta f1(t)
1
| 1 - zt| 2
.
Для норми функцiонала
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
524 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Fk(f) =
\int
\BbbT
f(t)k(t)dm(t)
на просторi H\infty , породженого функцiєю k, маємо рiвнiсть
\| Fk\| := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B
| Fk(f)| = e - i\theta Fk(f1).
З iншого боку, за спiввiдношенням двоїстостi (див., наприклад, [15, с. 138])
\| Fk\| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H1
0
\| k + h\| L1(\BbbT ).
Оскiльки функцiя e - i\theta f1 є внутрiшньою, а e - i\theta kf1 \geq 0 скрiзь на \BbbT , то за лемою 2 iнфiмум у
правiй частинi останньої рiвностi досягається для єдиної функцiї h \equiv 0. Тому всi екстремальнi
для функцiонала Fk функцiї f\ast повиннi задовольняти рiвняння f\ast (t)k(t) = ei\eta | k(t)| для майже
всiх t \in \BbbT при деякому \eta \in \BbbR , що рiвносильно рiвностi
f\ast (t) = ei\eta
| k(t)|
k(t)
=
ei(\eta - \theta )
f1(t)
= ei(\eta - \theta )f1(t).
Отже, f1 — єдина з точнiстю до унiмодулярного множника екстремальна функцiя в класi B
для функцiонала Fk. Але оскiльки згiдно з (10)
- z
n+1
n
Fk(f) = f(z) - \sigma n(f)(z) -
z
n
f \prime (z),
то f1 — єдина екстремальна функцiя в класi B i для рiвностi (8).
Припустимо тепер, що \psi — iнша екстремальна функцiя в класi UL\infty (\BbbT ), тобто та щiль-
нiсть в iнтегралi типу Кошi, що породжує голоморфну функцiю класу K, для якої досягається
максимум у лiвiй частинi (8). Тодi, аналогiчно щойно встановленим фактам про функцiю f1,
повинна виконуватися рiвнiсть
(\psi + h\ast )k = ei\theta | k| майже скрiзь на \BbbT ,
де h\ast — функцiя, яка є єдиним елементом найкращого наближення з H\infty
0 функцiї \psi при деякому
\theta \in \BbbR (iснування та єдинiсть такої функцiї забезпечує теорема 1.3 з [15, с. 139]).
Отже,
\psi = ei\theta f1 - h\ast майже скрiзь на \BbbT . (15)
Покажемо, що | \psi | = 1 майже скрiзь на \BbbT . Цей факт можна отримати, використавши теорему
Адамяна, Арова i Крейна (див., наприклад, [15, с. 154]), а можна отримати безпосередньо зi
спiввiдношення двоїстостi, наприклад, таким чином.
Згiдно зi спiввiдношенням двоїстостi, норма функцiонала F\psi на просторi H1, породженого
функцiєю \psi , є такою:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 525
\| F\psi \| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in H1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbT
g\psi dm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty
0
\| \psi + h\| L\infty (\BbbT ).
Iз доведення леми 1 (див. рiвнiсть (12)) випливає, що k належить H1. Тому
1 \geq \| F\psi \| \geq e - i\theta
\| k\| 1
\int
\BbbT
k\psi dm = 1.
Таким чином,
e - i\theta
\| k\| 1
\int
\BbbT
k\psi dm = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty
0
\| \psi + h\| L\infty (\BbbT ) = 1,
а це згiдно з теоремою 1.3 [15, с. 139] забезпечує те, що елементом найкращого наближення \psi
є функцiя h = 0 i до того ж | \psi | = 1 майже скрiзь на \BbbT .
Покажемо тепер, що рiвностi (15) i | \psi | = 1 майже скрiзь на \BbbT одночасно можливi лише
тодi, коли h\ast = 0.
Справдi, за лемою 2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H1
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ei\theta f1 \cdot 1 + h
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(\BbbT )
= \| 1\| L1(\BbbT ) = 1,
а iнфiмум досягається для єдиної функцiї h \equiv 0. Але разом iз цим внаслiдок того, що h\ast \in
\in H\infty
0 \subset H1
0 , маємо спiввiдношення
1 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H1
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ei\theta f1 \cdot 1 + h
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(\BbbT )
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ei\theta f1 - h\ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1(\BbbT )
= | \psi | = 1.
Отже, функцiя h\ast також є елементом найкращого наближення в метрицi простору L1(\BbbT )
для функцiї ei\theta f1, що можливо лише тодi, коли h\ast = 0 майже скрiзь на \BbbT .
Це завершує доведення єдиностi екстремальної функцiї f1 i першої частини теореми 1.
Друга частина теореми доводиться аналогiчно. А саме, рiвнiсть (9) випливає з оцiнки
\bigm| \bigm| (1 - | z| 2n)f(z) - \sigma n(f)(z)
\bigm| \bigm| \leq | z|
n
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(t) t - z
1 - tz
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | 1 - t
n
zn| 2
| 1 - tz| 2
dm(t) \leq
\leq | z|
n
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - t
n
zn
1 - tz
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dm(t) =
| z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
,
яка ґрунтується на формулi (11) i екстремальностi функцiї f2, яка реалiзує рiвностi у цих спiв-
вiдношеннях. Єдинiсть функцiї f2 у класi B встановлюється дослiвним повторенням мiркувань
iз доведення єдиностi функцiї f1 у класi B з використанням позначення
k(t) = ei\theta
t - z
1 - tz
| 1 - t
n
zn| 2
| 1 - tz| 2
.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
526 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Наслiдок 1. Нехай функцiя f має вигляд (5), де \varphi належить L\infty (\BbbT ), i
Rn(f)(z) :=
\biggl(
z
| z|
\biggr) n+1 \int
\BbbT
\varphi (t)t
n t - z
1 - tz
1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
dm(t) (0/0 = 1) .
Тодi для будь-якого n \in \BbbN i z \in \BbbD
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
f \prime (z) - Rn(f)(z)
| z| n+1
n(1 - | z| 2)
, (16)
а для величини Rn(f)(z) справджується точна оцiнка
\| Rn(f)\| \infty \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty +\scrP n
\| \varphi + h\| L\infty (\BbbT ), (17)
де \scrP n — множина алгебраїчних многочленiв степеня не вищого за n.
Доведення. Оскiльки f належить H2 (див. доведення теореми 1), то рiвнiсть (16) випливає
з формули (10), в якiй k = 0 i g(t) = \varphi (t) - f(t) + tnh(t), а h — довiльна функцiя з H\infty .
Для встановлення оцiнки (17) зауважимо, що згiдно з (12) для будь-якої функцiї h \in H\infty
Rn(f)(z) =
\biggl(
z
| z|
\biggr) n+1 \int
\BbbT
\Bigl(
\varphi (t) + tnh(t)
\Bigr)
t
n t - z
1 - tz
1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
dm(t),
а також tnh(1/t) =
\sum n
k=0
akt
k +O(1/t), t\rightarrow \infty , i тому tnh(t)
\bigm| \bigm|
t\in \BbbT \in H\infty + \scrP n.
Отже,
| Rn(f)(z)| \leq
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi (t) + tnh(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - | z| 2
| 1 - zt| 2
dm(t) \leq
\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty +\scrP n
\| \varphi + h\| L\infty (\BbbT ) \forall z \in \BbbD ,
що й доводить (17).
Знак рiвностi в (17) досягається, наприклад, для функцiї
f\ast (t) = tn
t - z
1 - tz
,
де z — деяка точка в \BbbD . Справдi, за теоремою 1
1 = | Rn(f\ast )(z)| \leq \| Rn(f\ast )\| \infty .
З iншого боку, оскiльки f\ast зображується у виглядi (5) з \varphi = f\ast , то
\| Rn(f\ast )\| \infty \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty +\scrP n
\| f\ast + h\| L\infty (\BbbT ) \leq \| f\ast \| L\infty (\BbbT ) = 1,
що й потрiбно було довести.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 527
Нехай
En(f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P\in \scrP n - 1
\| f - P\| \infty , n \in \BbbN ,
— найкраще наближення функцiї f алгебраїчними многочленами степеня не вищого за n - 1
у просторi H\infty i \varepsilon = \{ \varepsilon k\} \infty k=r — послiдовнiсть невiд’ємних чисел, монотонно спадних до нуля
при k \rightarrow \infty , r \in \BbbZ +.
Розглянемо клас Br(\varepsilon ) обмежених голоморфних у \BbbD функцiй f, для яких
En(f) \leq \varepsilon n \forall n \geq r.
Наслiдок 2. Спiввiдношення
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
f \prime (z) +O
\biggl(
\varepsilon n| z| n+1
n(1 - | z| 2)
\biggr)
(18)
справджується для всiх натуральних n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}([r], 1) рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD i рiвномiрно
вiдносно класу Br(\varepsilon ).
Справдi, використовуючи формулу (16) i оцiнку (17), отримуємо
\| Rn(f)\| \infty \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H\infty +\scrP n
\| f + h\| L\infty (\BbbT ) \leq En+1(f) \leq \varepsilon n,
що й потрiбно було довести.
Наведемо один важливий приклад. Нехай r \geq 0 i
\varepsilon =
\biggl\{
\Gamma (k - r + 1)
k!
\biggr\} \infty
k=r
.
Тодi Br \subset B[r](\varepsilon ). Цей факт випливає з рiвностi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br
En(f) =
\Gamma (n - r + 1)
n!
\forall n \geq [r],
доведеної в [16] при натуральних r i в [17, 18] при дробових r.
Оскiльки (див., наприклад, [19, с. 35])
\Gamma (n - r + 1)
n!
\leq 1
(n - [r])r
= O
\biggl(
1
nr
\biggr)
\forall n > [r],
то з (18) випливає спiввiдношення
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
f \prime (z) +O
\biggl(
| z| n+1
nr+1(1 - | z| 2)
\biggr)
, (19)
яке справджується для всiх натуральних n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}([r], 1) рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD i рiвно-
мiрно вiдносно класу Br.
Спiввiдношення (19) при натуральних r \geq 2 не є наслiдком спiввiдношення Стєчкiна (2),
оскiльки при фiксованому z \in \BbbD залишковий член у (19) має бiльший порядок мализни,
нiж залишковий член у (2). Однак при фiксованому n другий доданок у правiй частинi (19)
необмежено зростає при | z| \rightarrow 1 - .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
528 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Наслiдок 3. Нехай функцiя f є голоморфною в \BbbD i z належить \BbbD . Рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n| f(z) - \sigma n(f)(z)| = 0,
виконується тодi i тiльки тодi, коли f \prime (z) = 0.
Справдi, при будь-якому \rho \in (0, 1) функцiя t \rightarrow f(\rho t)/\| f(\rho \cdot )\| \infty належить класу B i тому
для неї, згiдно з (19),
n(f(\rho t) - \sigma n(f)(\rho t)) = \rho tf \prime (\rho t) +O
\biggl(
| t| n+1
1 - | t| 2
\| f(\rho \cdot )\| \infty
\biggr)
.
Звiдси при \rho =
\sqrt{}
| z| i t = ei arg z
\sqrt{}
| z| маємо спiввiдношення
n(f(z) - \sigma n(f)(z)) = zf \prime (z) +O
\Biggl(
| z|
n+1
2
1 - | z|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f \Bigl( \sqrt{} | z| \cdot
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\Biggr)
,
яке справджується для всiх n \in \BbbN рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD , звiдки й випливає наслiдок 3.
Наслiдок 4. Нехай функцiя f є голоморфною в \BbbD . Для того щоб функцiя f належала B1,
необхiдно i достатньо, щоб рiвномiрно всерединi круга \BbbD
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
n| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq 1. (20)
Нагадаємо, що пiд рiвномiрною збiжнiстю всерединi круга \BbbD розумiється рiвномiрна збiж-
нiсть на будь-яких компактах, якi лежать в \BbbD .
Доведення. Необхiднiсть. Нехай E — замкнена пiдмножина у крузi \BbbD . Тодi з (10) випливає
нерiвнiсть
n| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq 1 +
(1 - d(E,\BbbT ))n+1
d(E,\BbbT )
\forall z \in E, n \in \BbbN ,
де d(E,\BbbT ) — евклiдова вiдстань вiд E до кола \BbbT . Оскiльки другий доданок у правiй частинi
нерiвностi прямує до нуля при n\rightarrow \infty або ж є нулем, якщо E = \{ 0\} , то внаслiдок довiльностi
E останнє спiввiдношення доводить, що (20) справджується рiвномiрно всерединi \BbbD .
Достатнiсть. Нехай z належить E. Розглянемо функцiю g(t) := f(tz)/M, де M :=
:= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in \BbbT | f(tz)| . Зрозумiло, що g належить B. Тому, згiдно з наслiдком 1, для будь-якого
натурального n
| tg\prime (t)| \leq n| g(t) - \sigma n(g)(t)| +
| t| n+1
1 - | t| 2
\forall t \in \BbbD . (21)
Оскiльки для будь-якої замкненої пiдмножини E\prime \subset \BbbD i будь-якого \varepsilon > 0 iснує такий номер
N = N(E\prime , \varepsilon ), що
| t| n+1
1 - | t| 2
\leq \varepsilon \forall t \in E\prime , n \geq N,
то з нерiвностi (21) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 529
| tg\prime (t)| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq N
n| g(t) - \sigma n(g)(t)| + \varepsilon \forall t \in E\prime . (22)
Але якщо виконується (20) рiвномiрно всерединi круга \BbbD , то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq N
n| g(t) - \sigma n(g)(t)|
\Biggr)
\leq M - 1 \forall t \in E\prime .
Тому, оскiльки лiва частина (22) не залежить вiд N,
| tg\prime (t)| \leq M - 1 + \varepsilon \forall t \in E\prime .
Внаслiдок довiльностi \varepsilon , E i E\prime , а також згiдно з рiвнiстю g\prime (t) =M - 1zf \prime (tz) це означає, що
| zf \prime (z)| \leq 1 для всiх z \in \BbbD .
Отже, за лемою Шварца | zf \prime (z)| \leq | z| для всiх z \in \BbbD , тобто f належить B1.
Наслiдок 5. Нехай n \in \BbbN . Тодi:
1) для будь-якого z \in \BbbD
| z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B
| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq
| z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
+ | z| 2n; (23)
2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f\in B \| f - \sigma n(f)\| \infty = 2.
Перша частина цього твердження є безпосереднiм наслiдком рiвностi (11), а друга випливає
з першої (оцiнки зверху) i таких мiркувань. Зафiксуємо z \in \BbbT i розглянемо сiм’ю функцiй
\{ fa\} 0\leq a<1,
fa(t) =
zt - a
1 - zta
= - a+ (1 - a2)
\infty \sum
k=1
ak - 1(zt)k.
Зрозумiло, що fa належить B. Тому згiдно з (23)
2 \geq | fa(z) - \sigma n(fa)(z)| =
1 - a2
n
n - 1\sum
k=1
kak - 1 + (1 - a2)
an
1 - a
>
> (1 + a)a\rightarrow 2, a\rightarrow 1,
що й потрiбно було довести.
Об’єднуючи наслiдки 2 i 5, одержуємо твердження, в якому йдеться про асимптотичний
розклад першого порядку для точної верхньої межi похибки наближення середнiми Фейєра на
класi Br при всiх r \geq 0 i z \in \BbbD . В термiнологiї О. I. Степанця знайти такий розклад — означає
розв’язати задачу Колмогорова – Нiкольського [20, с. 198] для класу Br i середнiх Фейєра.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
530 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Наслiдок 6. Нехай r \geq 0. Тодi спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
\left\{
| z|
n
1 - | z| 2n
1 - | z| 2
+O
\bigl(
| z| 2n
\bigr)
, r = 0,
| z|
n
+O
\biggl(
| z| n+1
n2(1 - | z| 2)
\biggr)
, r = 1,
| z|
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Br
\bigm| \bigm| f \prime (z)\bigm| \bigm| +O
\biggl(
| z| n+1
nr+1(1 - | z| 2)
\biggr)
, r \not = 1,
(24)
справджується для всiх натуральних n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}([r], 1) рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD .
Зауважимо, що у випадку, коли r > 0, лiва частина (24) є обмеженою при | z| \rightarrow 1, тодi як
залишковий член у правiй частинi необмежено зростає. Це наштовхує на думку, що наявнiсть
множника 1/(1 - | z| 2) в залишковому членi у правiй частинi (24) не викликана суттю питання.
Бiльше того, виявляється, що у випадку, коли r = 1, залишковий член у правiй частинi (24)
при достатньо малих значеннях | z| дорiвнює нулю. А саме, справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай n \in \BbbN i
\rho n :=
\left\{
1, n = 1,
n+ 1 -
\surd
n+ 1
n
, n \geq 2,
— єдиний корiнь на промiжку [0, 1] рiвняння n+ 1 - 2(n+ 1)x+ nx2 = 0 при n \geq 2. Тодi для
всiх z таких, що | z| \leq \rho n, справджується рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in B1
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
| z|
n
. (25)
Рiвнiсть (25) справджується для будь-яких n \in \BbbN i z таких, що | z| \leq 3 -
\surd
3
2
.
При z \not = 0 максимум у (25) досягається лише для функцiй вигляду f(t) = at + b, a, b \in \BbbC ,
| a| = 1.
Доведення. За теоремою 3 з роботи [2] рiвнiсть (25) при даному n \in \BbbN i z \in \BbbD справджу-
ється тодi i тiльки тодi, коли
Kn,z(t) := 1 + 2\mathrm{R}\mathrm{e}
\Biggl(
n - 1\sum
k=1
| z| ktk +
\infty \sum
k=n
n
k + 1
| z| ktk
\Biggr)
\geq 0 \forall t \in \BbbD , (26)
де сума вигляду
\sum m
k=l
при l > m покладається рiвною нулю.
Таким чином, для доведення теореми 2 достатньо перевiрити виконання умови (26) при
зазначених обмеженнях на | z| .
З цiєю метою позначимо
\lambda k,n(z) :=
\left\{
2| z| k, k = 0, 1, . . . , n - 1,
2n
k + 1
| z| k, k = n, n+ 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 531
i запишемо Kn,z(e
ix) у виглядi суми тригонометричного ряду
Kn,z(e
ix) =
\lambda 0,n(z)
2
+
\infty \sum
k=1
\lambda k,n(z) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kx), x \in [0, 2\pi ].
Нескладно переконатися, що для других рiзниць
\Delta 2\lambda k,n(z) := \lambda k+2,n(z) - 2\lambda k+1,n(z) + \lambda k,n(z)
послiдовностей \{ \lambda k,n(z)\} \infty k=0, n = 1, 2, . . . , справджуються рiвностi
\Delta 2\lambda k,n(z) =
\left\{
2| z| k(1 - \rho )2, k = 0, 1, . . . , n - 3, n \geq 3,
2
| z| n - 2
n+ 1
\bigl(
n+ 1 - 2| z| (n+ 1) + n| z| 2
\bigr)
, k = n - 2, n \geq 2,
2n| z| k
\biggl(
1
k + 1
- 2
| z|
k + 2
+
| z| 2
k + 3
\biggr)
, k = n - 1, n, . . . , n \geq 1.
Тому нерiвностi
\Delta 2\lambda k,n(z) \geq 0
виконуються для всiх k = 0, 1, . . . i z \in \BbbD у випадках, коли n = 1, та для всiх k = 0, 1, . . . i
z, | z| \leq \rho n, при n \geq 2.
Отже, послiдовностi \{ \lambda k,n(z)\} \infty k=0 при | z| \leq \varrho n є опуклими i спадними до нуля при k \rightarrow
\rightarrow \infty для кожного натурального n. Тому за вiдомою теоремою (див., наприклад, [21, с. 100])
Kn,z(e
ix) \geq 0 для всiх x \in [0, 2\pi ], а отже, виконується (26).
Опишемо тепер екстремальнi функцiї в рiвностi (25). Безпосередньою перевiркою можна
переконатись, що має мiсце формула
f(z) - \sigma n(f)(z) =
z
n
\int
\BbbT
f \prime (t)Kn,z(t)dm(t), z \in \BbbD , n \in \BbbN ,
з якої за допомогою спiввiдношень двоїстостi (див., наприклад, [15, с. 138]) випливають рiвностi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B1
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
=
| z|
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in B
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbT
g(t)Kn,z(t)dm(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = | z|
n
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H1
0
\| Kn,z + h\| L1(\BbbT ) ,
причому iснують єдинi функцiї g\ast \in B i h\ast \in H1
0 , для яких\int
\BbbT
g\ast (t)Kn,z(t)dm(t) = \| Kn,z + h\ast \| L1(\BbbT ) . (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
532 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Оскiльки функцiя t \mapsto \rightarrow Kn,z(t) при | z| \leq \rho n є невiд’ємною на колi \BbbT , то за лемою 2 h\ast \equiv 0 i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H1
0
\| Kn,z(t) + h\| L1(\BbbT ) = \| Kn,z\| L1(\BbbT ) = 1.
Тому функцiя g\ast \equiv 1 єдина екстремальна у (27), а вiдтак функцiя
f\ast (z) =
az\int
b
g\ast (t)dt = az + b, a, b \in \BbbC , | a| = 1,
що породжується функцiєю g\ast , — єдина екстремальна функцiя у (25).
3. Для обмежених гармонiчних функцiй у крузi \BbbD мають мiсце твердження, аналогiчнi
наслiдкам 2 – 6.
Наведемо необхiднi означення i нагадаємо деякi факти.
Якщо дiйснозначна функцiя f є обмеженою гармонiчною в крузi \BbbD , то (див., наприклад,
[12, с. 12]) iснує дiйснозначна функцiя \varphi , вимiрна на колi \BbbT , \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbT | \varphi (t)| <\infty , така, що
f(z) =
\int
\BbbT
\varphi (t)
1 - | z| 2
| 1 - tz| 2
dm(t) \forall z \in \BbbD .
За теоремою Фату (див., наприклад, [12, с. 27]) така функцiя f має майже скрiзь на \BbbT радiальнi
(навiть кутовi) граничнi значення
f\ast (t) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\rho \rightarrow 1 -
f(\rho t), t \in \BbbT ,
причому f\ast = \varphi майже скрiзь на \BbbT .
Таким чином, обмежена гармонiчна функцiя f однозначно визначається своїми радiальними
граничними значеннями на \BbbT .
На основi розкладу
1 - | z| 2
| 1 - tz| 2
=
\sum
k\in \BbbZ
ek(z)ek(t), ek(z) :=
\left\{ z
| k| , k \leq - 1,
zk, k \geq 0,
який збiгається абсолютно i рiвномiрно вiдносно (z, t) в областi \BbbD \times \BbbT , функцiю f можна
зобразити у виглядi суми ряду
f(z) =
\sum
k\in \BbbZ
\widehat fkek(z) \forall z \in \BbbD ,
де
\widehat fk = \widehat \varphi k = \int
\BbbT
\varphi ek dm.
Гармонiчна функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 533
\widetilde f(z) = \sum
k\in \BbbZ \setminus \{ 0\}
( - i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} k) \widehat fkek(z)
називається гармонiчно спряженою до f.
Нехай r \geq 0. Позначимо через f (r) дробову похiдну в розумiннi Вейля за аргументом
z = \rho eix функцiї f (див., наприклад, [22, с. 263]), тобто
f (r)(z) =
\sum
k\in \BbbZ
ei
\pi r
2
sign k| k| r \widehat fkek(z).
Розглянемо класи hBr i \widetilde hBr, якi складаються з гармонiчних функцiй у крузi \BbbD , для яких
\| f (r)\| \infty \leq 1 i
\bigm\| \bigm\| \widetilde f (r)\bigm\| \bigm\| \infty \leq 1 вiдповiдно. Позначимо hB = hB0 i \widetilde hB = \widetilde hB0.
Середнiми Фейєра порядку n гармонiчної функцiї f називається гармонiчний многочлен
\sigma n(f)(z) =
\sum
| k| \leq n - 1
\biggl(
1 - | k|
n
\biggr) \widehat fkek(z).
Нехай функцiя f є гармонiчною в \BbbD i має майже скрiзь на \BbbT кутовi граничнi значення
f \in L1(\BbbT ). Розглянемо двi функцiї, визначенi у крузi \BbbD :
f+(z) :=
\int
\BbbT
f(t)
1 - tz
dm(t), f - (z) :=
\int
\BbbT
f(t)tz
1 - tz
dm(t), z \in \BbbD .
Тодi за формулами Сохоцького майже скрiзь на \BbbT
f - + f+ = f, if - - if+ + i \widehat f0 = \widetilde f. (28)
Наступне твердження є основним у цьому пунктi. Воно є аналогом теореми 1.
Теорема 3. Нехай \frakH — один iз класiв hB або \widetilde hB, n \in \BbbN i z \in \BbbD . Тодi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in \frakH
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
1
n
\widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 4| z| n+1
\pi n(1 - | z| 2)
. (29)
При z \not = 0 максимум досягається для єдиної з точнiстю до унiмодулярного множника функцiї
f3(t) =
\left\{
2
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
1 + iBn(t)e
- i(n+1) arg z
1 - iBn(t)e - i(n+1) arg z
, якщо \frakH = hB,
2
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 +Bn(t)e
- i(n+1) arg z
1 - Bn(t)e - i(n+1) arg z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , якщо \frakH = \widetilde hB,
де
Bn(t) := tn
t - z
1 - tz
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
534 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Зауваження 4. Якщо записати рiвнiсть (29) у виглядi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in \frakH
\bigm| \bigm| \bigm| n(f(z) - \sigma n(f)(z)) - \widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| = 4| z| n+1
\pi (1 - | z| 2)
,
то вона буде справедливою i при n = 0:
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in \frakH
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| = 4| z|
\pi (1 - | z| 2)
.
Це спiввiдношення вперше знайдено, мабуть, у [23]. Його можна також отримати з результа-
тiв [24].
Доведення теореми 3. При z = 0 рiвнiсть (29) є тривiальною. Тому скрiзь далi в доведеннi
вважаємо, що z \not = 0.
Нехай \frakH = hB. Оскiльки\bigm\| \bigm\| f - \bigm\| \bigm\| 22 + \| f+\| 22 = \| f\| 22 \leq \| f\| 2\infty <\infty ,
то f - \in H1
0 i f+ \in H1.
Тому, застосувавши до функцiї f+ формулу (10), одержимо
f+(z) - \sigma n(f+)(z) -
z
n
f \prime +(z) = - z
n+1
n
\int
\BbbT
(f - (t) + f+(t))t
n t - z
1 - tz
1
| 1 - tz| 2
dm(t) =
= - | z| n+1
n
\int
\BbbT
f(t)\omega n,z(t)
1
| 1 - tz| 2
dm(t), (30)
де
\omega n,z(t) := t
n t - z
1 - tz
ei(n+1) arg z.
Позначимо
f \prime - (t) :=
d
dt
f - (t) =
\infty \sum
k=1
\widehat f - kktk - 1
.
Оскiльки функцiя f дiйснозначна, то f+ = f - + \widehat f0, i тому
f - (z) - \sigma n(f - )(z) -
z
n
f \prime - (z) = - | z| n+1
n
\int
\BbbT
f(t)\omega n,z(t)
1
| 1 - tz| 2
dm(t). (31)
Додаючи рiвностi (30) i (31), одержуємо формулу
f(z) - \sigma n(f)(z) -
1
n
\widetilde f \prime (z) = - 2| z| n+1
n
\int
\BbbT
f(t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta n,z(t))
1
| 1 - tz| 2
dm(t),
в якiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 535
\theta n,z(t) := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\omega n,z(t).
Звiдси випливає оцiнка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
1
n
\widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2| z| n+1
n
\int
\BbbT
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta n,z(t))|
1
| 1 - tz| 2
dm(t). (32)
Доведемо її точнiсть.
Оскiльки функцiя f3 є уявною частиною голоморфної в \BbbD функцiї
F (t) =
2
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1 + iBn(t)e
- i(n+1) arg z
1 - iBn(t)e - i(n+1) arg z
i \| f3\| \infty = 1, то f3 \in hB. З рiвностi
f3(t) =
2
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
2| Bn(t)| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta n,z(t))
1 - | Bn(t)| 2
\forall t \in \BbbD
випливає, що для радiальних граничних значень функцiї f\ast справджується рiвнiсть
f\ast 3 (t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\rho \rightarrow 1 -
f3(\rho t) =
\left\{
1, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\theta n,z(t)) > 0,
0, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\theta n,z(t)) = 0,
- 1, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\theta n,z(t)) < 0
\right\} = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\theta n,z(t))) .
Отже, за теоремою єдиностi для гармонiчних функцiй f3 — єдина з точнiстю до унiмоду-
лярного множника екстремальна функцiя, для якої має мiсце знак рiвностi у (32).
З’ясуємо тепер, який вигляд матиме лiва частина (32) для функцiї f3.
Оскiльки Bn(t) = O(tn) i \mathrm{l}\mathrm{n}
1 + t
1 - t
= O(t) при t \rightarrow 0, то f3(t) = O(F (t)) = O(tn). Це
означає, що \widehat (f3)k = 0, | k| \leq n - 1,
i внаслiдок цього \sigma n(f3)(t) = 0 для всiх t \in \BbbD .
Нескладно переконатися, що \widetilde f \prime 3(t) = \mathrm{I}\mathrm{m}(tF \prime (t)) i
F \prime (t) = i
4
\pi
e - i(n+1) arg zB\prime
n(t)
1 + e - i2(n+1) arg zB2
n(t)
.
Тому
\widetilde f \prime 3(z) = \mathrm{I}\mathrm{m}(zF \prime (z)) = \mathrm{I}\mathrm{m}
\biggl(
i
4| z| n+1
\pi (1 - | z| 2)
\biggr)
=
4| z| n+1
\pi (1 - | z| 2)
.
Легко бачити також, що f3(z) = \sigma n(f3)(z) = 0.
Отже, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f3(z) - \sigma n(f3)(z) -
1
n
\widetilde f \prime 3(z)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1
n
\widetilde f \prime 3(z) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
536 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
=
2| z| n+1
n
\int
\BbbT
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta n,z(t))|
1
| 1 - tz| 2
dm(t) =
4| z| n+1
\pi n(1 - | z| 2)
.
Нехай тепер \frakH = \widetilde hB. Тодi за допомогою (28) аналогiчно попередньому випадку доводиться
рiвнiсть
\widetilde f(z) - \sigma n( \widetilde f)(z) + 1
n
f \prime (z) =
2| z| n+1
n
\int
\BbbT
f(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta n,z(t))
1
| 1 - tz| 2
dm(t).
Оскiльки
\widetilde \Bigl( \widetilde f \Bigr) = - f, то пiдставляючи в останню рiвнiсть \widetilde f замiсть f, отримуємо
f(z) - \sigma n(f)(z) -
1
n
\widetilde f \prime (z) = - 2| z| n+1
n
\int
\BbbT
\widetilde f(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta n,z(t)) 1
| 1 - tz| 2
dm(t).
Звiдси випливає оцiнка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(z) - \sigma n(f)(z) -
1
n
\widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2| z| n+1
n
\int
\BbbT
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta n,z(t))|
1
| 1 - tz| 2
dm(t).
Функцiя f3 є уявною частиною функцiї
F (t) =
2i
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1 +Bn(t)e
- i(n+1) arg z
1 - Bn(t)e - i(n+1) arg z
.
Оскiльки для спряженої функцiї \widetilde f3 справджується рiвнiсть
\widetilde f3(t) = 2
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
2| Bn(t)| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta n,z(t))
1 - | Bn(t)| 2
\forall t \in \BbbD ,
то f3 належить \widetilde hB.
Для радiальних граничних значень функцiї \widetilde f3\ast справджується рiвнiсть
\widetilde f3\ast (t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\rho \rightarrow 1 -
\widetilde f3(\rho t) =
\left\{
1, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\theta n,z(t)) > 0,
0, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\theta n,z(t)) = 0,
- 1, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\theta n,z(t)) < 0
\right\} = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\theta n,z(t))) .
Оскiльки \widetilde f \prime 3(t) = \mathrm{R}\mathrm{e}(tF \prime (t)) i
F \prime (t) =
4
\pi
e - i(n+1) arg zB\prime
n(t)
1 - e - i2(n+1) arg zB2
n(t)
,
то
\widetilde f \prime 3(z) = 4| z| n+1
\pi (1 - | z| 2)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 537
Отже, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f3(z) - \sigma n(f3)(z) -
1
n
\widetilde f \prime 3(z)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1
n
\widetilde f \prime 3(z) =
=
2| z| n+1
n
\int
\BbbT
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta n,z(t))|
1
| 1 - tz| 2
dm(t) =
4| z| n+1
\pi n(1 - | z| 2)
.
Теорему 3 доведено.
Позначимо через h\infty простiр обмежених дiйснозначних гармонiчних у \BbbD функцiй iз нормою
\| \cdot \| \infty , i нехай
\widetilde En(f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ak\in \BbbC
a - k=ak
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
| k| \leq n - 1
akek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
— найкраще наближення функцiї f \in h\infty гармонiчними многочленами у просторi h\infty .
Нехай, як i ранiше, \varepsilon = \{ \varepsilon k\} \infty k=1 — послiдовнiсть невiд’ємних чисел, монотонно спадних до
нуля при k \rightarrow \infty , i hB(\varepsilon ) — клас обмежених гармонiчних у \BbbD функцiй f, для яких
\widetilde En(f) \leq \varepsilon n \forall n \geq r.
Аналогiчно означимо клас \widetilde hB(\varepsilon ) :=
\Bigl\{
f гармонiчна в \BbbD : \widetilde f \in hB(\varepsilon )
\Bigr\}
.
Наслiдок 7. Нехай \frakH — один iз класiв hB(\varepsilon ) або \widetilde hB(\varepsilon ). Тодi спiввiдношення
f(z) - \sigma n(f)(z) =
1
n
\widetilde f \prime (z) +O
\biggl(
\varepsilon n| z| n+1
n(1 - | z| 2)
\biggr)
(33)
справджується для всiх натуральних n \geq 1 рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD i рiвномiрно вiдносно
класу \frakH .
Доведення. Нехай f належить \frakH = hB(\varepsilon ). Тодi функцiя
F =
f - Tn
\varepsilon n
,
де Tn =
\sum
| k| \leq n - 1
a\ast kek — гармонiчний многочлен степеня n - 1 найкращого наближення функ-
цiї f, належить класу hB. Тому з урахуванням тотожностi Tn - \sigma n(Tn) =
1
n
\widetilde T \prime
n за теоремою 3
маємо рiвнiсть (33).
Аналогiчно доводиться випадок, коли f \in \frakH = \widetilde hB(\varepsilon ).
Наслiдок 8. Нехай функцiя f є гармонiчною в \BbbD i z \in \BbbD . Рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n| f(z) - \sigma n(f)(z)| = 0
виконується тодi i тiльки тодi, коли \widetilde f \prime (z) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
538 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
Це твердження доводиться майже дослiвним повторенням мiркувань iз доведення наслiдку 3
з урахуванням (33).
В роботi [25] (див. також [4, с. 350]) знайдено конструктивну характеристику класу абсо-
лютно неперервних функцiй f : [0, 1] \rightarrow \BbbR , для яких похiдна f \prime задовольняє умову Лiпшиця, в
термiнах наближення многочленами Бернштейна, а в роботi [26] — конструктивну характерис-
тику аналогiчного класу 2\pi -перiодичних функцiй у термiнах наближення тригонометричними
многочленами Валле Пуссена.
Наступне твердження є аналогом цих результатiв для наближень гармонiчних функцiй се-
реднiми Фейєра.
Наслiдок 9. Нехай функцiя f є гармонiчною в \BbbD . Для того щоб f належала \widetilde hB1, необхiдно
i достатньо, щоб рiвномiрно всерединi круга \BbbD
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
n| f(z) - \sigma n(f)(z)| \leq 1.
При доведеннi необхiдностi слiд врахувати, що \widetilde hB1 \subset \widetilde hB(\varepsilon ), де \varepsilon =
\Bigl\{ \pi
2k
\Bigr\} \infty
k=1
(див.,
наприклад, [11, с. 95]), а потiм скористатися спiввiдношенням (33). Достатнiсть доводиться
так само, як i в доведеннi наслiдку 4.
Розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для класiв hBr, \widetilde hBr i сум Фейєра дає такий
наслiдок.
Наслiдок 10. Нехай r \geq 0 i \frakH r — один iз класiв hBr або \widetilde hBr. Тодi спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \frakH r
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
\left\{
4| z|
\pi n(1 - | z| 2)
(1 +O (| z| n)) , r = 0,
2
\pi n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + | z|
1 - | z|
+O
\biggl(
| z| n+1
n2(1 - | z| 2)
\biggr)
, \frakH r = hBr,
4
\pi n
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} | z| +O
\biggl(
| z| n+1
n2(1 - | z| 2)
\biggr)
, \frakH r = \widetilde hBr
\right\} , r = 1,
1
n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \frakH r
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| +O
\biggl(
| z| n+1
nr+1(1 - | z| 2)
\biggr)
, r \not = 0, 1,
справджується для всiх n \in \BbbN рiвномiрно вiдносно z \in \BbbD .
Доведення. Зауважимо, що спiввiдношення
\widetilde En(f) = O
\biggl(
1
nr
\biggr)
справджується рiвномiрно вiдносно n i рiвномiрно вiдносно класу \frakH r (див., наприклад,
[11, с. 86]).
Тому за наслiдком 7 справедливою є формула
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \frakH r
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
An(\frakH
r, z)
n
+O
\biggl(
| z| n+1
nr+1(1 - | z| 2)
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 539
де
An(\frakH
r, z) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \frakH r
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde f \prime (z)\bigm| \bigm| \bigm| .
Згiдно iз зауваженням 4 маємо рiвностi
An(B, z) = An
\Bigl( \widetilde B, z\Bigr) =
4| z|
\pi (1 - | z| 2)
,
якi доводять наслiдок 10 у випадку, коли r = 0.
У випадку, коли r = 1, за лемою Шварца [27] (див. також [28]) маємо рiвностi
An
\bigl(
hB1, z
\bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in hB,f(0)=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde f(z)\bigm| \bigm| \bigm| = 2
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
1 + | z|
1 - | z|
i
An
\Bigl( \widetilde hB1, z
\Bigr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
f\in hB,f(0)=0
| f(z)| = 4
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n} | z| .
Прокоментуємо наслiдок 10, зiставивши його з вiдомими результатами про наближення
дiйснозначних неперервних на дiйснiй осi \BbbR 2\pi -перiодичних функцiй iз класiв згорток з ядром
Пуассона.
Нехай 0 \leq q < 1, \beta \in \BbbR i Cq\beta — клас неперервних 2\pi -перiодичних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR , якi
мають вигляд
f(x) = a0 +
\pi \int
- \pi
\varphi (x - y)Pq,\beta (y)
dy
\pi
, x \in \BbbR ,
де a0 \in \BbbR i
Pq,\beta (y) :=
\infty \sum
k=1
qk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ky - \beta \pi
2
\biggr)
.
Нескладно зрозумiти, що
Cq\beta =
\left\{ hB
\bigm| \bigm|
| z| =q, \beta \in 2\BbbZ ,\widetilde hB\bigm| \bigm| | z| =q, \beta + 1 \in 2\BbbZ ,
тобто при цiлих \beta функцiя f належить Cq\beta тодi i тiльки тодi, коли функцiя F (eix) := f(x) є
звуженням на коло радiуса q деякої функцiї з класу hB або \widetilde hB.
Нехай
Vn,m(f)(x) =
\sum
| k| \leq n - 1
\lambda k,n,m \widehat fkeikx, m, n \in \BbbN , m \leq n,
— сума Валле Пусcена неперервної 2\pi -перiодичної функцiї f, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
540 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
\lambda k,n,m =
\left\{
1, | k| \leq n - m,
1 - | k| - n+m
m
, n - m+ 1 \leq | k| \leq n - 1,
i
\widehat fk = \pi \int
- \pi
f(x)e - ikx
dx
2\pi
.
Зрозумiло, що Vn,n(f) = \sigma n(f).
У роботi [29] доведено (див. також [30; 31, с. 217]), що при 0 < q < 1, \beta \in \BbbR , m \rightarrow +\infty i
n - m\rightarrow +\infty справджується асимптотична рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Cq
\beta
\| f - Vn,m(f)\| C =
4qn - m+1
\pi m(1 - q2)
\biggl(
1 +O
\biggl(
qm +
q
(n - m+ 1)(1 - q)2
\biggr) \biggr)
, (34)
де \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [ - \pi ,\pi ] | f(x)| , O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно n, q, m i \beta .
Спiввiдношення (34) є правильним i при n = m, але при цьому воно вже не є асимптотич-
ною рiвнiстю. Наслiдок 10 (випадок, коли r = 0) уточнює (34), а саме, показує, що при n = m
i \beta \in \BbbZ другий доданок у залишковому членi у правiй частинi (34) фактично дорiвнює нулю,
що забезпечує справедливiсть асимптотичної рiвностi й у цьому випадку.
Цiкаво зауважити також, як наслiдок 10 узгоджується з вiдомим результатом С. М. Нiколь-
ського [32].
Нехай W 1 — клас абсолютно неперервних 2\pi -перiодичних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR , в яких
похiдна f \prime там, де вона iснує, задовольняє умову | f \prime (x)| \leq 1. Тодi
hB1
\bigm| \bigm|
\BbbT =W 1.
Справдi, якщо f належить W 1, то iнтеграл Пуассона
F (z) =
\pi \int
- \pi
f(x - y)
1 - \rho 2
1 - 2\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y + \rho 2
dy
2\pi
, z = \rho eix,
породжує гармонiчну функцiю, неперервну в \BbbD (див., наприклад, [21, с. 154]), для похiдної якої
справджується рiвнiсть
F \prime (\rho eix) =
\partial
\partial x
F (\rho eix) =
\pi \int
- \pi
f \prime (x - y)
1 - \rho 2
1 - 2\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y + \rho 2
dy
2\pi
.
Отже, F належить hB1 i F | \BbbT = f | [ - \pi ,\pi ].
Навпаки, якщо F належить hB1, то F задовольняє дугову умову Лiпшиця:
| F (\rho eix1) - F (\rho eix2)| \leq \rho | eix1 - eix2 | \forall x1, x2 \in [0, 2\pi ], \rho \in [0, 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ I ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 541
Тому радiальнi граничнi значення F \ast на множинi тих точок кола \BbbT , де вони iснують, задоволь-
няють умову Лiпшиця:
| F \ast (eix1) - F \ast (eix2)| \leq | eix1 - eix2 | .
Отже, F можна неперервно продовжити в \BbbD , F | \BbbT = F \ast i за вiдомою теоремою (див.,
наприклад, [21, с. 156]) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial xF \ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1 майже скрiзь на \BbbT .
За принципом максимуму i наслiдком 10 маємо спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W 1
\| f - \sigma n(f)\| C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in hB1
\| f - \sigma n(f)\| \infty \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in hB1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \biggl( 1 - 1
n
\biggr)
- \sigma n(f)
\biggl(
1 - 1
n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 2
\pi n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+O
\biggl(
1
n
\biggr)
\forall n \in \BbbN .
З iншого боку, за теоремою Нiкольського [32] при n \rightarrow \infty справджується асимптотична
рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W 1
\| f - \sigma n(f)\| C =
2
\pi n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+O
\biggl(
1
n
\biggr)
.
Таким чином, ми довели такий наслiдок.
Наслiдок 11. При n\rightarrow \infty справджується асимптотична рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in hB1
| f(z) - \sigma n(f)(z)| =
\left\{
2
\pi n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + | z|
1 - | z|
+O
\biggl(
| z| n+1
n2(1 - | z| 2)
\biggr)
, z \in \BbbD ,
2
\pi n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+O
\biggl(
1
n
\biggr)
, z \in \BbbT .
Лiтература
1. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1953. – 17, № 5. – C. 462 – 472.
2. Meremelia I., Savchuk V. Approximations of holomorphic functions by generalized Zygmund sums // Cas. J. Appl.
Math., Ecol. and Econ. – 2013. – 1, № 1. – P. 70 – 81.
3. Butzer P., Nessel J. R. Fourier analysis and approximation. – Basel: Birkhäuser, 1971. – 553 p.
4. Bustamente J. Bernstein operators and their properties. – Basel: Birkhäuser, 2017. – 420 p.
5. Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejér means // Bull. Amer. Math. Soc. – 1945. – 51. –
P. 274 – 278.
6. Савчук В. В. Приближения средними Фейера функций класса Дирихле // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 5. –
С. 744 – 750.
7. Савчук В. В. Наближення голоморфних функцiй сумами Фейєра // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi
питання: Зб. пр. Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 8, № 1. – С. 162 – 180.
8. Савчук В. В., Савчук М. В., Чайченко С. О. Наближення аналiтичних функцiй сумами Валле Пуссена // Мат.
студ. – 2010. – 34, № 2. – С. 207 – 219.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
542 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, М. В. САВЧУК
9. Степанец А. И. Аппроксимационные свойства метода Зигмунда // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 4. – С. 493 –
518.
10. Степанец А. И., Рукасов В. И. Аппроксимационные свойства метода Валле Пуссена // Укр. мат. журн. – 2002. –
54, № 8. – С. 1100 – 1125.
11. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 2. –
467 с.
12. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Мир, 1984. – 368 с.
13. Landau E., Gaier D. Darstellung und Bergrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. – Berlin; New
York: Springer-Verlag, 1986. – 201 p.
14. Савчук В. В. Найкращi наближення голоморфними функцiями. Застосування до найкращих многочленних
наближень класiв голоморфних функцiй // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 8. – С. 1047 – 1067.
15. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 469 с.
16. Бабенко К. И. Наилучшие приближения классов аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. –
22, № 5. – C. 631 – 640.
17. Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. – 1966. – 17. –
P. 1238 – 1243.
18. Белый В. И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном
круге // Укр. мат. журн. – 1967. – 19, № 2. – C. 104 – 109.
19. Риекстыньш Э. Я. Оценки остатков в асимптотических разложениях. – Рига: Зинатне, 1986. – 360 с.
20. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 1. –
427 с.
21. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
22. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их прило-
жения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
23. Khavinson D. An extremal problem for harmonic functions in the ball // Canad. Math. Bull. – 1992. – 35, № 2. –
P. 218 – 220 .
24. Colonna F. The Bloch constant of bounded harmonic mappings // Indiana Univ. Math. J. – 1989. – 38, № 4. –
P. 829 – 840.
25. Lorentz G. G. Inequalities and the saturation classes of Bernstein polynomials // On Approximation Theory: Proc.
Conf. Oberwolfach, 1963. – Basel: Birkhäuser, 1964. – P. 200 – 207.
26. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. О точных константах в некоторых обратных теоремах для приближений триго-
нометрическими полиномами // Мат. заметки. – 1976. – 20, № 5. – С. 787 – 792.
27. Koebe P. Über das Schwarzssche Lemma und einige damit zusammenhängende Ungleichheitsbeziehungen der Potenti-
altheorie und Funktionentheorie // Math. Z. – 1920. – 6. – S. 52 – 84.
28. Савчук В. В. Найкращi лiнiйнi методи наближення та оптимальнi ортонормованi системи простору Гардi //
Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 661 – 671.
29. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 1. –
С. 97 – 107.
30. Рукасов В. И., Новиков О. А. Приближение аналитических функций суммами Валле Пуссена // Ряди Фур’є:
теорiя i застосування. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – С. 228 – 241.
31. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле Пуссена. – Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 2007. – 386 с.
32. Никольский С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих усло-
вию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1940. – 4, № 6. – С. 501 – 508.
Одержано 13.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1455 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:41Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/75/e206c8b2f4c80535a9740d696d8f7a75.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14552019-12-05T10:12:29Z Approximation of bounded holomorphic and harmonic functions by Fejér means Наближення обмежених голоморфних і гармонічних функцій середніми Фейєра Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Чайченко, С. О. We compute the exact values of the exact upper bounds on the classes of bounded holomorphic and harmonic functions in a unit disk for the remainders in a Voronovskaya-type formula in the case of approximation by Fej´er means. We also present some consequences that are of independent interest. УДК 517.5Обчислено значення точних верхнiх меж на класах обмежених голоморфних i гармонiчних функцiй в одиничному крузi для залишкових членiв у формулi типу Вороновської у випадку наближень середнiми Фейєра. Наведено ряд наслiдкiв, що мають самостiйний iнтерес. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1455 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 516-542 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 516-542 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1455/439 Copyright (c) 2019 Savchuk V. V.; Savchuk M. V.; Chaichenko S. O. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Чайченко, С. О. Approximation of bounded holomorphic and harmonic functions by Fejér means |
| title | Approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by Fejér means |
| title_alt | Наближення обмежених голоморфних і гармонічних функцій середніми Фейєра |
| title_full | Approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by Fejér means |
| title_fullStr | Approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by Fejér means |
| title_full_unstemmed | Approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by Fejér means |
| title_short | Approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by Fejér means |
| title_sort | approximation of bounded holomorphic
and harmonic functions by fejér means |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1455 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT savchukmv approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT chaichenkoso approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT savčukvv approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT savčukmv approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT čajčenkoso approximationofboundedholomorphicandharmonicfunctionsbyfejermeans AT savchukvv nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra AT savchukmv nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra AT chaichenkoso nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra AT savčukvv nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra AT savčukmv nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra AT čajčenkoso nabližennâobmeženihgolomorfnihígarmoníčnihfunkcíjserednímifejêra |