Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions to an ordinary differential equation, method of successive approximations for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions
We propose a singular integral equation whose definition is extended to a singular point by additional conditions. In the space of smooth functions, this equation becomes equivalent, by the indicated extended definition, to an ordinary differential equation, whereas in the space of piecewise discont...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1456 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507213611663360 |
|---|---|
| author | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Samoilenko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | We propose a singular integral equation whose definition is extended to a singular point by additional conditions. In the
space of smooth functions, this equation becomes equivalent, by the indicated extended definition, to an ordinary differential
equation, whereas in the space of piecewise discontinuous functions, it becomes equivalent to an impulsive differential
equation. For smooth solutions of the singular equation, we substantiate the method of successive approximations. For the
ordinary differential equation, this method turns into a new algorithm for the construction of successive approximations. For
the investigated equation, we specify a solution of new type, which is equivalent, for the impulsive differential equation,
to a solution with discontinuity of the second kind (a “solution with needle”). We propose an algorithmic formula for the
general solution of the initial-value problem for the impulsive differential equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI
ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ ЗВИЧАЙНОМУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОМУ, МЕТОД
ПОСЛIДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ ПОБУДОВИ ЙОГО ГЛАДКИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ТА ЙОГО НЕГЛАДКI РОЗВ’ЯЗКИ
We propose a singular integral equation whose definition is extended to a singular point by additional conditions. In the
space of smooth functions, this equation becomes equivalent, by the indicated extended definition, to an ordinary differential
equation, whereas in the space of piecewise discontinuous functions, it becomes equivalent to an impulsive differential
equation. For smooth solutions of the singular equation, we substantiate the method of successive approximations. For the
ordinary differential equation, this method turns into a new algorithm for the construction of successive approximations. For
the investigated equation, we specify a solution of new type, which is equivalent, for the impulsive differential equation,
to a solution with discontinuity of the second kind (a “solution with needle”). We propose an algorithmic formula for the
general solution of the initial-value problem for the impulsive differential equation.
Запропоновано сингулярне iнтегральне рiвняння, яке в особливiй точцi довизначається додатковими умовами. У
просторi гладких функцiй при довизначеннi воно стає еквiвалентним звичайному диференцiальному рiвнянню, у
просторi кусково-розривних функцiй — iмпульсному диференцiальному рiвнянню. Для гладких розв’язкiв сингуляр-
ного рiвняння обґрунтовано метод послiдовних наближень, який вiдносно звичайного диференцiального рiвняння є
новим алгоритмом побудови послiдовних наближень. Для дослiджуваного рiвняння визначено новий тип розв’язку,
еквiвалентний для iмпульсного диференцiального рiвняння розв’язку з розривом другого роду („розв’язок iз гол-
кою”). Запропоновано алгоритмiчну формулу загального розв’язку початкової задачi для iмпульсного диференцi-
ального рiвняння.
Нехай x i y — точки \BbbR , f(x, y) — функцiя вiд (x, y), визначена i неперервна на
\Pi : | x| \leq a, | y - y0| \leq b.
Сингулярне iнтегральне рiвняння, про яке йдеться в данiй роботi, це рiвняння
xy(x) =
x\int
0
\bigl(
y(\tau ) + f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau , (1)
точка 0 для якого є особливою (сингулярною): в цiй точцi рiвняння (1) є тотожнiстю на всiх
функцiях, для яких iснує iнтеграл в (1), отже, рiвняння в цiй точцi недовизначене. Рiвняння (1)
утворено з iнтегрального зображення
xy(x) =
x\int
0
\bigl(
y(\tau ) + y\prime (\tau )\tau
\bigr)
d\tau , (2)
справедливого для кожної неперервно диференцiйовної на \BbbR функцiї y(x), за припущення, що
функцiя y(x) є розв’язком задачi Кошi
y\prime = f(x, y), y(0) = y0. (3)
Згiдно з визначенням рiвняння (1) через (2), (3) розв’язок задачi (3) є неперервно диферен-
цiйовним розв’язком рiвняння (1) з початковою умовою
y(0) = y0. (4)
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4 543
544 А. М. САМОЙЛЕНКО
Вiдома теорема Пеано [1] гарантує iснування розв’язку задачi Кошi (3) принаймнi на вiд-
рiзку
J : | x| \leq \alpha , (5)
де
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
a,
b
M
\biggr)
, M = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Pi
| f(x, y)| .
Отже, ця теорема гарантує iснування неперервно диференцiйовного (гладкого) на J розв’язку
початкової задачi (1), (4).
Чи вичерпують розв’язки задачi Кошi (3) множину всiх неперервно диференцiйовних на J
розв’язкiв початкової задачi (1), (4)?
Ствердну вiдповiдь дає така теорема.
Теорема 1. Розв’язки задачi Кошi (3), i лише вони, є неперервно диференцiйовними розв’яз-
ками початкової задачi (1), (4).
При доведеннi використаємо „розклад нуля на множники”
x\delta 1(x) = 0, x \in \BbbR , (6)
за допомогою функцiї точкового носiя, зосередженого в точцi 0:
\delta 1(x) =
\Biggl\{
1, x = 0,
0, x \not = 0.
(7)
Дiйсно, якщо y(x) є неперервно диференцiйовним на вiдрiзку (5) розв’язком початкової
задачi (1), (4), то для нього справджується рiвнiсть (2), вiднявши вiд якої (1), отримаємо
x\int
0
\bigl(
y\prime (\tau ) - f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau = 0,
\bigl(
y\prime (x) - f(x, y(x))
\bigr)
x = 0 (8)
для всiх x iз вiдрiзка (5). Згiдно з (7) i (8) маємо\bigl(
y\prime (x) - f(x, y(x))
\bigr)
= \delta 1(x)
\bigl(
y\prime (0) - f(x, y(x))
\bigr)
(9)
для всiх x iз вiдрiзка (5). Оскiльки лiва частина рiвностi (9), згiдно з умовами теореми 1,
неперервна, то ця рiвнiсть можлива тодi i тiльки тодi, згiдно з визначенням функцiї \delta 1(x), коли
y\prime (0) = f(0, y0).
Отже,
y\prime (x) = f(x, y(x)) (10)
для всiх x iз вiдрiзка (5). Рiвнiсть (10) з урахуванням початкової умови (4) завершує доведення
теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 545
Перейдемо тепер до дослiдження негладких розв’язкiв рiвняння (1). Нехай неперервна на
вiдрiзку (5) функцiя y(x) задовольняє рiвняння (1) i початкову умову (4). Тодi, використавши
загальну рiвнiсть
x\int
0
y(\tau )d\tau =
1\int
0
y(tx)dtx, (11)
справедливу для довiльної неперервної на \BbbR функцiї y(x), перетворимо праву частину (1) у
добуток:
1\int
0
\bigl(
y(tx) + f(tx, y(tx))tx
\bigr)
dtx. (12)
Умови на t i розв’язок y(x) рiвняння (1) гарантують неперервнiсть на вiдрiзку (5) пiдiнте-
гральної функцiї в (1), отже, строго обґрунтовують можливiсть застосування формули (11) до
правої частини (1) i перетворення її в добуток (12) для всiх x iз вiдрiзка (5). Згiдно з (1) i
формулою (11)
x
\left( y(x) -
1\int
0
\bigl(
y(tx) + f(tx, y(tx))tx
\bigr)
dt
\right) = 0 (13)
для всiх x iз вiдрiзка (5). Iз (13) випливає рiвнiсть\left( y(x) -
1\int
0
\bigl(
y(tx) + f
\bigl(
tx, y(tx))tx
\bigr)
dt
\right) = \delta 1(x)
\bigl(
y(0) - y(0)
\bigr)
= 0
для всiх | x| \leq \alpha , отже, на вiдрiзку (5)
y(x) =
1\int
0
\bigl(
y(tx) + f
\bigl(
tx, y(tx)
\bigr)
tx
\bigr)
dt. (14)
Це доводить, що неперервний на вiдрiзку (5) розв’язок задачi (1), (4) є розв’язком початкової
задачi (4), (14).
З iншого боку, якщо y(x) є неперервним на вiдрiзку (5) розв’язком рiвняння (14), то пiдiн-
тегральна функцiя в (14) при t = 1 неперервна по x, отже, до неї можна застосувати формулу
(11) та отримати iз (14) рiвнiсть (1) для всiх | x| \leq \alpha . Це доводить, що неперервний на вiдрiзку
(5) розв’язок рiвняння (14) є розв’язком рiвняння (1).
Пiдсумовуючи наведенi мiркування, отримуємо такий результат про еквiвалентнiсть рiвнянь
(1) i (14).
Теорема 2. Кожен визначений i неперервний на вiдрiзку (5) розв’язок одного з рiвнянь (1)
чи (14) є розв’язком i другого з цих рiвнянь.
Наслiдком теорем 1 i 2 є твердження про еквiвалентнiсть диференцiального рiвняння (3)
iнтегральному (14) у просторi неперервно диференцiйовних на \BbbR функцiй.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
546 А. М. САМОЙЛЕНКО
Наслiдок 1. Розв’язки задачi Кошi (3), i лише вони, є гладкими розв’язками початкової
задачi (4), (6).
Щодо рiвностей (2), (6) i (11), використаних при доведеннi отриманих результатiв дослi-
дження рiвняння (1), зауважимо таке: перша з них є наслiдком тотожностi
xy(x) =
x\int
0
(\tau y(\tau ))\prime d\tau ,
друга — очевидна на пiдставi визначення функцiї \delta 1(x), а остання — результат перетворення її
лiвої частини у праву замiною \tau на tx.
Обґрунтуємо метод послiдовних наближень побудови неперервних розв’язкiв початкової
задачi (4), (14).
Теорема 3. Нехай функцiя f(x, y) задовольняє щодо змiнної y умову Лiпшиця
| f(x, y1) - f(x, y2)| \leq K| y1 - y2|
для довiльної пари точок (x, yi) \in \Pi , i = 1, 2. Тодi на вiдрiзку J рекурентними формулами
методу послiдовних наближень
y0(x) = y0,
yn(x) =
1\int
0
\bigl(
yn - 1(\tau x) + f(\tau x, yn - 1(\tau x))\tau x
\bigr)
d\tau , n \in \BbbN ,
(15)
визначається послiдовнiсть y1(x), . . . , yn(x), . . . неперервних функцiй, яка задовольняє як по-
чаткову умову (4), так i нерiвнiсть
| yn(x) - y0| \leq
\biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
M | x| , n \in \BbbN ,
а на вiдрiзку
J0 : | x| \leq h,
де h — довiльне додатне число, що задовольняє нерiвнiсть
h < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
\alpha ,
3
2K
\biggr)
,
послiдовнiсть (15) рiвномiрно збiгається до розв’язку y(x) початкової задачi (4), (14).
Дiйсно, оскiльки при n = 1
y1(x) = y0 +
1\int
0
f(tx, y0)txdt, (16)
то, згiдно з теоремою про неперервнiсть iнтеграла вiд параметра, y1(x) є неперервною функцi-
єю змiнної x для всiх | x| \leq a, причому y1(0) = y0.
З умов теореми 3 випливає також оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 547
| y1(x) - y0| \leq
1\int
0
| f(tx, y0)| tdt| x| \leq
M
2
| x| (17)
для всiх | x| \leq a, а з (17) — оцiнка
| y1(x) - y0| \leq b
для всiх x iз вiдрiзка J.
Припустимо тепер, що члени послiдовностi (15) до n включно визначенi, неперервнi, задо-
вольняють початкову умову y(0) = y0 й оцiнку
| yk(x) - y0| \leq
\biggl(
1 - 1
2k
\biggr)
M | x| \leq b (18)
для всiх x \in J. Тодi пiдiнтегральна функцiя у формулi (15), що визначає (n+1)-ше наближення
yn+1(x), задовольняє умови теореми про неперервнiсть iнтеграла вiд параметра i доводить, що
yn+1(x) є визначеною, неперервною на J функцiєю. Ця функцiя задовольняє початкову умову
y(0) = y0 й оцiнку
| yn+1(x) - y0| \leq
1\int
0
\bigl(
| yn(tx) - y0| +Mt| x|
\bigr)
dt \leq
\leq
1\int
0
\biggl( \biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
+ 1
\biggr)
tdtM | x| =
\biggl(
1 - 1
2n+1
\biggr)
M | x| \leq b
для всiх x \in J. Цього достатньо, щоб за iндукцiєю стверджувати, що процес побудови по-
слiдовних наближень (15) можна продовжувати до нескiнченностi та отримувати наближення
yn(x) iз властивостями, вказаними в теоремi 3.
Оцiнимо рiзницю yn(x) - yn - 1(x). Нехай
rn(x) = | yn(x) - yn - 1(x)| , n = 1, 2, . . . . (19)
З оцiнки (17) та позначень (19) випливає, що
r1(x) \leq
M
2
| x| (20)
для всiх x \in J. З урахуванням (20) для r2(x) отримуємо оцiнку
r2(x) \leq
1\int
0
r1(tx)
\bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
dt \leq
\leq M
2
1\int
0
t
\bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
| x| dt = M
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr)
| x| (21)
для всiх x \in J.
Припустимо, що аналогiчна (21) оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
548 А. М. САМОЙЛЕНКО
rk(x) \leq
M
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) k - 1
| x| (22)
є справедливою для всiх x \in J i k = 1, 2, . . . , n. Тодi, згiдно з позначеннями, умовами теореми
3 та оцiнкою (22) при k = n, для rn+1(x) отримуємо оцiнку при k = n+ 1:
rn+1(x) \leq
1\int
0
rn(tx)
\bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
dt \leq M
2
1\int
0
\biggl(
1
2
+
K
3
| tx|
\biggr) n - 1 \bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
tdt| x| \leq
\leq M
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1
1\int
0
\bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
tdt| x| = M
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n
для всiх x \in J. Цього достатньо, щоб за iндукцiєю стверджувати про справедливiсть оцiнки
(22) для кожного k \in \BbbN .
Нехай
\lambda =
1
2
+
Kh
3
.
Тодi з (22) випливає нерiвнiсть
rk(x) \leq
M
2
\lambda k - 1| x| , k \in \BbbN , (23)
для всiх x \in J.
Використаємо нерiвнiсть (23) для доведення збiжностi послiдовностi наближень (15) рiвно-
мiрно по x на вiдрiзку J0 \subseteq J. При цьому скористаємося тим, що yn(x) - y0 є n-ю частинною
сумою функцiонального ряду
\infty \sum
k=1
\bigl(
yk(x) - yk - 1(x)
\bigr)
, (24)
який згiдно з (23) мажорується на J0 збiжним рядом
\infty \sum
k=1
\lambda k - 1M
2
| x| = M
2(1 - \lambda )
| x| .
На пiдставi ознаки Вейєрштрасса функцiональний ряд (24) рiвномiрно на вiдрiзку J0 збiгається
до деякої неперервної на J0 функцiї y(x). Це доводить рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
yk(x) = y(x) = y0 +
\infty \sum
k=1
\bigl(
yk(x) - yk - 1(x)
\bigr)
(25)
рiвномiрно на J0 i рiвнiсть (4).
Для завершення доведення теореми 3 залишилося лише показати, що y(x) є розв’язком
рiвняння (14). Дiйсно, згiдно з умовою Лiпшиця
| f(x, yn(x)) - f(x, y(x))| \leq K| yn(x) - y(x)| (26)
для всiх x \in J0. Тодi з (25), (26) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 549
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
f(x, yn(x)) = f(x, y(x))
рiвномiрно на J0. Це дозволяє використати вiдому теорему про граничний перехiд пiд знаком
iнтеграла у формулi (15) та отримати в результатi, що y(x), як границя послiдовних наближень
(15), задовольняє рiвняння (1) для всiх x \in J0.
Оцiнимо рiзницю мiж y(x) i його n-м наближенням yn(x): згiдно з (23), (25) для неї маємо
оцiнку
| y(x) - yn(x)| \leq
1
2
\infty \sum
k=n+1
\lambda k - 1M | x| = M\lambda n
2(1 - \lambda )
| x|
для всiх x \in J0 i n \in \BbbN .
Оцiнимо також рiзницю мiж y(x) i його початковим значенням y0 : згiдно з (18), переходячи
до границi при n \rightarrow \infty , маємо
| y(x) - y0| \leq M | x| \leq b
для всiх x \in J0.
З’ясуємо тепер питання про гладкiсть неперервних на J функцiй, визначених рекурентними
формулами (15). При цьому суттєву роль вiдiграватиме така лема.
Лема 1. Для довiльної неперервної на \BbbR функцiї y(x) функцiя
I(x) =
1\int
0
y(tx)txdt (27)
є неперервно диференцiйовною на \BbbR , а її похiдна визначається формулою
I \prime (x) =
\left( 1\int
0
y(tx)txdt
\right) \prime
= y(x) -
1\int
0
y(\tau x)\tau d\tau . (28)
Дiйсно,
xI(x) =
1\int
0
y(tx)txdtx =
x\int
0
y(\tau )\tau d\tau =
x\int
0
\left( \tau \int
0
y(t)dt
\right) \prime
\tau d\tau =
=
x\int
0
y(t)dtx -
x\int
0
\tau \int
0
y(t)dtd\tau = F (x)x -
x\int
0
F (\tau )d\tau , x \in \BbbR ,
де
F (x) =
x\int
0
y(t)dt. (29)
Оскiльки функцiя (29) неперервно диференцiйовна на \BbbR , то застосовуючи до неї рiвнiсть (11),
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
550 А. М. САМОЙЛЕНКО
xI(x) = F (x)x -
1\int
0
F (\tau x)d\tau x = x
\left( F (x) -
1\int
0
F (\tau x)d\tau
\right) , x \in \BbbR . (30)
Iз (30) випливає
x
\left( I(x) - F (x) +
1\int
0
F (\tau x)d\tau x
\right) = 0, x \in \BbbR .
Отже, маємо
I(x) - F (x) +
1\int
0
F (\tau x)d\tau = \delta 1(x)
\bigl(
I(0) - F (0) + F (0)
\bigr)
= 0, x \in \BbbR .
Це доводить, що
1\int
0
y(tx)txdt =
x\int
0
y(t)dt -
1\int
0
\tau x\int
0
y(t)dtd\tau , x \in \BbbR . (31)
Оскiльки iнтеграли у правiй частинi (31) неперервно диференцiйовнi на \BbbR , то i лiва частина
(31) є неперервно диференцiйовною на \BbbR . Бiльше того, з огляду на те, що пiдiнтегральна функ-
цiя другого iнтеграла у правiй частинi (31) є неперервно диференцiйовною на \BbbR , (31) можна
здиференцiювати з використанням теореми про диференцiювання iнтеграла по параметру й
отримати рiвнiсть (28) для всiх x \in \BbbR .
Для доведення теореми 3 достатньо показати, що послiдовнiсть визначених теоремою 3
функцiй (15) є неперервно диференцiйовною на J i такою, що послiдовнiсть її похiдних рiвно-
мiрно збiгається на J0 до похiдної границi послiдовностi функцiй (15), неперервних на J.
Переходячи до доведення, розглянемо послiдовнiсть функцiй y1(x), . . . , yn(x), . . . , визна-
чених теоремою 3. Згiдно з цiєю теоремою кожна з функцiй цiєї послiдовностi неперервна на
J, задовольняє початкову умову y(0) = y0 й оцiнку (18).
Згiдно з викладеним i лемою 1 y1(x) є неперервно диференцiйовною на J функцiєю,
похiдна якої
y\prime 1(x) = f(x, y0) -
1\int
0
f(tx, y0)tdt (32)
для всiх x \in J.
Припустимо, що визначена теоремою 3 послiдовнiсть функцiй y1(x), . . . , yn(x), . . . для
всiх k = 1, 2, . . . , n є неперервно диференцiйовною на J. Бiльше того, нехай похiднi функцiй
y1(x), . . . , yn(x), . . . для всiх k = 1, 2, . . . , n визначаються на J формулами
y\prime 0(x) = 0,
y\prime k(x) = f(x, yk - 1(x)) +
1\int
0
(y\prime k - 1(tx) - f(tx, yk - 1(tx)))tdt.
(33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 551
Тодi згiдно з теоремою 3 неперервна на J функцiя yn+1(x), визначена формулою (15),
yn+1(x) =
1\int
0
\bigl(
yn(tx) + f(tx, yn(tx))tx
\bigr)
tdt,
з урахуванням припущень, умов теореми 3, теореми про диференцiювання iнтеграла за пара-
метром i леми 1, є неперервно диференцiйовною на J, а її похiдна визначається формулою
y\prime n+1(x) =
1\int
0
y\prime n(tx)tdt+
\left( 1\int
0
f(tx, yn(tx))txdt
\right) \prime
=
=
1\int
0
y\prime n(tx)tdt+ f(x, yn(x)) -
1\int
0
f(\tau x, yn(\tau x))\tau d\tau =
= f(x, yn(x)) +
1\int
0
\bigl(
y\prime n(tx) - f(tx, yn(tx)
\bigr) \bigr)
tdt (34)
для всiх x \in J. Цього достатньо, щоб процес побудови неперервно диференцiйовних на J
наближень (15) можна було продовжити до нескiнченностi й отримати для похiдної цiєї послi-
довностi формулу (33). Iз (33) отримуємо рiвнiсть
y\prime k(x) - f(x, yk(x)) = f(x, yk - 1(x)) - f(x, yk(x))+
+
1\int
0
\bigl(
y\prime k - 1(tx) - f(tx, yk - 1(tx))
\bigr)
tdt (35)
для всiх x \in J i k \in \BbbN .
Покладемо
Y0(x) = - f(x, y0),
Yk(x) = y\prime k(x) - f(x, yk(x)), k \in \BbbN ,
(36)
i запишемо (35) у виглядi
Yk(x) = f(x, yk - 1(x)) - f(x, yk(x)) +
1\int
0
Yk - 1(tx)tdt, x \in J, k \in \BbbN . (37)
З урахуванням умови Лiпшиця з (37) отримуємо нерiвнiсть
| Yk(x)| \leq K| yk(x) - yk - 1(x)| +
1\int
0
| Yk - 1(tx)| tdt (38)
для всiх x \in J i k \in \BbbN .
З урахуванням оцiнки (22) iз (38) отримуємо нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
552 А. М. САМОЙЛЕНКО
| Yk(x)| \leq
KM
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) k - 1
| x| +
1\int
0
| Yk - 1(tx)| tdt (39)
для всiх x \in J i k \in \BbbN , зокрема, враховуючи позначення, маємо
| Y1(x)| \leq
KM
2
| x| +
1\int
0
| f(tx, y0)| tdt \leq
1
2
(1 +K| x| )M (40)
для всiх x \in J. Iз (39), (40) одержуємо
| Y2(x)| \leq
KM
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr)
| x| + 1
2
1\int
0
\bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
tdtM =
=
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
M, x \in J.
Припустимо тепер, що всi функцiї Yk(x) до n-ї включно задовольняють оцiнку
| Yk(x)| \leq
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) k - 1 \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
M, x \in J. (41)
Тодi згiдно з (39) i (41) для Yn+1(x) отримуємо оцiнку (41) при k = n+ 1:
| Yn+1(x)| \leq
KM
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n
| x| +
1\int
0
| Yn(tx)| tdt \leq
\leq KM
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n
| x| + 1
2
1\int
0
\biggl(
1
2
+
K
3
t| x|
\biggr) n - 1 \bigl(
1 +Kt| x|
\bigr)
tdtM \leq
\leq KM
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n
| x| + 1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1\biggl( 1
2
+
K
3
| x|
\biggr)
M =
=
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
M, x \in J.
Цього достатньо, щоб за iндукцiєю стверджувати про справедливiсть оцiнки (41) для кожного
k \in \BbbN .
Використаємо (41) для оцiнки рiзницi y\prime n(x) - y\prime n - 1(x). Нехай
r\prime n(x) = | y\prime n(x) - y\prime n - 1(x)| , n = 1, 2, . . . .
Тодi згiдно з (41) i позначеннями маємо
r\prime n+1(x) = | Yn+1(x) - Yn(x) + f(x, yn+1(x)) - f(x, yn(x))| \leq
\leq | Yn+1(x)| + | Yn(x)| +K| yn+1(x) - yn(x)| \leq
\leq 1
2
\Biggl( \biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n
+
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1
\Biggr) \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
M +Krn+1(x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 553
=
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1\biggl( 3
2
+
K
3
| x|
\biggr) \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
M +Krn+1(x) (42)
для всiх x \in J i n \in \BbbN .
З урахуванням оцiнки (22) при k = n+ 1 нерiвнiсть (42) можна продовжити таким чином:
r\prime n+1(x) \leq
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1 \biggl[ \biggl( 3
2
+
K
3
| x|
\biggr) \bigl(
1 +K| x|
\bigr)
+K
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr)
| x|
\biggr]
M =
=
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1
M\beta (x), (43)
де \beta (x) — функцiя, що стоїть у квадратних дужках. Згiдно з (43)
| y\prime n+1(x) - y\prime n| \leq
1
2
\biggl(
1
2
+
K
3
| x|
\biggr) n - 1
M\beta (x) (44)
для всiх x \in J i n \in \BbbN .
Стандартнi мiркування, аналогiчнi наведеним при доведеннi теореми 3, приводять згiдно з
оцiнкою (41) до того, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Yn(x) = 0
рiвномiрно на J0, отже, згiдно з позначеннями доводять, що
y\prime (x) = f(x, y(x))
для всiх x \in J0. Цi ж мiркування згiдно з оцiнками (44) доводять, що
y\prime (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
y\prime n(x) =
\infty \sum
n=1
\bigl(
y\prime n(x) - y\prime n - 1(x)
\bigr)
(45)
для всiх x \in J0.
Очевидно, що швидкiсть збiжностi похiдних наближень (15) до y\prime (x) аналогiчна такiй
швидкостi збiжностi самих наближень (15): згiдно з (44), (45)
| y\prime (x) - y\prime n(x)| \leq
\infty \sum
k=n+1
rk(x) \leq
1
2
\infty \sum
k=n+1
\lambda k - 2M\beta (x) =
=
1
2
\infty \sum
k=n
\lambda k - 1M\beta (x) =
M\lambda n - 1
2(1 - \lambda )
\beta (x) (46)
для всiх x \in J0 i n \in \BbbN . Зазначимо також, що оскiльки згiдно з формулами (32), (34)
y\prime 1(0) =
1
2
f(0, y0), y\prime n+1(0) =
1
2
y\prime n(0) +
1
2
f(0, y0) (47)
для всiх n \in \BbbN , то з (47) за iндукцiєю отримуємо точне значення для y\prime n(0):
y\prime n(0) =
\biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
f(0, y0), n \in \BbbN ,
а з нього — точне значення рiзницi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
554 А. М. САМОЙЛЕНКО
y\prime (0) - y\prime n(0) =
1
2n
f(0, y0), n \in \BbbN .
Оцiнки (22), (46) доводять наступне твердження про швидкiсть збiжностi iтерацiйного процесу
(15) i (33).
Наслiдок 2. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi визначенi рекурентними формулами
(15) i (33) функцiї yn(x) - y0 i y\prime n(x) рiвномiрно на J0 збiгаються до своїх граничних функцiй
y(x) - y0 i y\prime (x) зi швидкiстю геометричної прогресiї зi знаменником
q1(x) =
1
2
+
K
3
| x| \leq \lambda .
Вiдмiтимо нарештi характеристичну особливiсть неперервно диференцiйовних наближень,
визначених рекурентними формулами (15), (33). Для цього запишемо диференцiальне рiвняння
(3) у виглядi операторного рiвняння
L(y) = 0 (48)
й отримаємо згiдно з (36), що на J
L(yn) = Yn(x), n \in \BbbN .
Отже, згiдно iз загальноприйнятою термiнологiєю Yn(x) є нев’язкою yn(x) як наближеного
розв’язку рiвняння (48) та однiєю з характеристик величини вiдхилення yn(x) вiд точного
розв’язку y(x) рiвняння (48).
Наслiдок 3. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi на J0
y(x) = y1(x) -
\infty \sum
n=1
1\int
0
Yn(tx)txdt. (49)
Для доведення наслiдку використаємо формулу (2) i отримаємо на J
xyn(x) =
x\int
0
\bigl(
yn(\tau ) + y\prime n(\tau )\tau
\bigr)
d\tau , n \in \BbbN . (50)
Використавши формулу (11), рiвнiсть (50) перетворимо у рiвнiсть
xyn(x) =
1\int
0
\bigl(
yn(tx) + y\prime n(tx)tx
\bigr)
dtx,
а останню „скоротимо” на x за допомогою розкладу (6):
x
\left( yn(x) -
1\int
0
\bigl(
yn(tx) + y\prime n(tx)tx
\bigr)
dtx
\right) = 0,
yn(x) -
1\int
0
\bigl(
yn(tx) + y\prime n(tx)tx
\bigr)
dtx = \delta 1(x)(yn(0) - yn(0)) = 0. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 555
Отже, згiдно з (51)
yn(x) =
1\int
0
\bigl(
yn(tx) + y\prime n(tx)tx
\bigr)
dtx, n \in \BbbN , (52)
на J. Iз формул (15), (52) випливає, що
yn+1(x) - yn(x) =
1\int
0
\bigl(
f(tx, yn(tx)) - y\prime n(tx)tx
\bigr)
dtx
для всiх x \in J i n \in \BbbN , або, враховуючи позначення (36),
yn+1(x) - yn(x) = -
1\int
0
Yn(tx)txdt, n \in \BbbN , (53)
для всiх x \in J. Ця рiвнiсть зберiгається i для n = 0, що випливає з означення Y0(x) i форму-
ли (16)
y1(x) - y(0) =
1\int
0
f(tx, y0)txdt = -
1\int
0
Y0(tx)txdt (54)
для всiх x \in J.
Пiдставивши замiсть yk(x) - yk - 1(x) у формулу (25) її значення (53) i (54), отримаємо
рiвнiсть (49):
y(x) = y0 +
\infty \sum
k=n
(yk(x) - yk - 1(x)) = y0 -
\infty \sum
k=1
1\int
0
Yk - 1(tx)txdt =
= y0 -
1\int
0
Y0(tx)txdt -
\infty \sum
n=1
1\int
0
Yn(tx)txdt =
= y0 + y1(x) - y0 -
\infty \sum
n=1
1\int
0
Yn(tx)txdt = y1(x) -
\infty \sum
n=1
1\int
0
Yn(tx)txdt
для всiх x \in J0.
Наслiдок 4. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi на J0
y\prime (x) = y\prime 1(x) -
\infty \sum
n=1
\left( Yn(x) -
1\int
0
Yn(\tau x)\tau d\tau
\right) .
Дiйсно, згiдно з позначеннями (36) i неперервною диференцiйовнiстю функцiй yn(x) на J
маємо неперервнiсть на J функцiй Yn(x). Тодi з (53) випливає, що
y\prime n+1(x) - y\prime n(x) =
\left( -
1\int
0
Yn(tx)txdt
\right) \prime
, n \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
556 А. М. САМОЙЛЕНКО
для всiх x \in J. Застосовуючи до правої частини (54) лему 1, отримуємо рiвнiсть
y\prime n+1(x) - y\prime n(x) = - Yn(x) +
1\int
0
Yn(\tau x)\tau d\tau , n \in \BbbN , (55)
для всiх x \in J.
Пiдставляючи замiсть y\prime n+1(x) - y\prime n(x) у формулу (45) її значення (55), маємо
y\prime (x) =
\infty \sum
n=1
\bigl(
y\prime n(x) - y\prime n - 1(x)
\bigr)
= y\prime 1(x) +
\infty \sum
k=2
\left( - Yk - 1(x) +
1\int
0
Yk - 1(\tau x)\tau d\tau
\right) =
= y\prime x -
\infty \sum
n=1
\left( Yn(x) -
1\int
0
Yn(\tau x)\tau d\tau
\right)
для всiх x \in J0.
Перейдемо до розгляду негладких розв’язкiв рiвняння (1) i вияснимо насамперед чи є серед
них неперервнi.
Нехай y(x) — такий розв’язок i вiн визначений на деякому вiдрiзку J \subseteq \BbbR , що мiстить
точку 0 та має початковим значенням y(0) = y0. Тодi згiдно з теоремою 2 y(x) є розв’язком на
J рiвняння (14), отже, для y(x) на J справджується рiвнiсть (14):
y(x) =
1\int
0
y(tx)dt+
1\int
0
f(tx, y(tx))tx dt. (56)
Оскiльки функцiя f(x, y) неперервна вiдносно (x, y) на прямокутнику \Pi , то пiдiнтегральна
функцiя другого з iнтегралiв формули (56) неперервна як функцiя змiнних (t, x) для (t, x) \in
\in [0, 1]\times J. Тодi
1\int
0
f(tx, y(tx))txdt =
1\int
0
d
dt
t\int
0
f(\tau x, y(\tau x))d\tau txdt =
1\int
0
f(\tau x, y(\tau x))d\tau x -
-
1\int
0
t\int
0
f(\tau x, y(\tau x))d\tau dtx =
x\int
0
f(t, y(t))dt -
1\int
0
tx\int
0
f(\tau 1, y(\tau 1))d\tau 1dt, x \in J. (57)
З урахуванням (57) рiвнiсть (56) набирає вигляду
y(x) -
x\int
0
f(t, y(t))dt =
1\int
0
\left( y(tx) -
tx\int
0
f(\tau , y(\tau ))d\tau
\right) dt. (58)
Позначимо рiзницю у лiвiй частинi формули (58) через F (x):
F (x) = y(x) -
x\int
0
f(t, y(t))dt (59)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 557
i запишемо (58) вiдносно F (x):
F (x) =
1\int
0
F (\tau x)d\tau , x \in J. (60)
Одним iз розв’язкiв рiвняння (60) є стала, тодi
F (x) = F (0) = y0, x \in J. (61)
Чи є функцiя (61) єдиною серед неперервних на J розв’язкiв рiвняння (60), що задовольняють
початкову умову F (0) = y0?
Очевидно, що вiдповiдь на це питання зводиться до того, чи єдиним неперервним розв’язком
на \BbbR початкової задачi
z(x) =
1\int
0
z(tx)dt, z(0) = 0, (62)
є тривiальний розв’язок z(x) = 0? Ствердну вiдповiдь на питання дає така лема.
Лема 2. Єдиним неперервним на \BbbR розв’язком рiвняння (62) є тривiальний розв’язок
z(x) = 0.
Дiйсно, нехай лема 2 не має мiсця. Тодi на \BbbR iснує розв’язок z(x) рiвняння (62), для якого
z(x) \not \equiv z(0), x \in \BbbR .
Тепер, очевидно, з неперервностi розв’язку z(x) випливає iснування на \BbbR вiдрiзка J1 такого,
згiдно з теоремою Вейєрштрасса про найменше та найбiльше значення, що
m = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
J1
z(x) = z(x1) \leq z(x) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
J1
z(x) = z(x2) = m1 (63)
для всiх x \in J1 i сталих m, m1, що задовольняють умову
m < m1. (64)
Оскiльки поряд iз z(x) розв’язком рiвняння (62) є стала, можна вважати, що m > 0.
Припустимо, що 0 < x1 < x2. Тодi, оскiльки згiдно з (11) iз (62) випливає рiвнiсть
xz(x) =
x\int
0
z(\tau )d\tau , x \in \BbbR ,
згiдно з (63) маємо
xz(x) =
x1\int
0
z(\tau )d\tau +
x\int
x1
z(\tau )d\tau = x1z(x1) +
x\int
x1
z(\tau )d\tau \leq
\leq x1m+m1(x - x1), x > x1, x \in J1. (65)
Отже, згiдно з (65)
x2z(x2) = x2m1 \leq x1m+ (x2 - x1)m1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
558 А. М. САМОЙЛЕНКО
x1(m - m1) \geq 0, m \geq m1,
що суперечить умовi (64). Це доводить, що z(x) є сталою на J1, коли
x2 > x1 > 0. (66)
Припустимо тепер, що
x1 > x2 > 0. (67)
Тодi згiдно з (63)
xz(x) =
x2\int
0
z(\tau )d\tau +
x\int
x2
z(\tau )d\tau = x2z(x2)+
+
x\int
x2
z(\tau )d\tau \geq x2m1 +m(x - x2), x \geq x2, x \in J1. (68)
Отже, згiдно з (68)
x1z(x1) = x1m \geq x2m1 + (x1 - x2)m, x2(m1 - m) \leq 0, m1 \leq m,
що суперечить умовi (64).
Це доводить, що z(x) є сталою на J1, якщо виконується умова (67).
Оскiльки згiдно з (63), (64) x1 \not = x2, то нерiвностi (66), (67) вичерпують всi можливi
розмiщення точок x1, x2 на пiвосi
x > 0. (69)
Це доводить, що на пiвосi (69) немає вiдрiзка, на якому неперервний розв’язок рiвняння (62)
вiдмiнний вiд сталої.
З iнварiантностi рiвняння (62) вiдносно замiни x на - x випливає, що такого вiдрiзка немає
i на пiвосi
x < 0. (70)
Це означає, що на довiльному вiдрiзку пiвосi (69), а отже, на всiй пiвосi (69)
z(x) = c1,
а на довiльному вiдрiзку пiвосi (70), а отже, на всiй пiвосi (70)
z(x) = c,
де c та c1 — сталi. Неперервнiсть функцiї z(x) на \BbbR , а отже, i в точцi x = 0, доводить рiвнiсть
c1 = c
для всiх x \in \BbbR , що завершує доведення леми 2.
Лема 2 дає ствердну вiдповiдь на питання про єдинiсть неперервного на \BbbR розв’язку почат-
кової задачi (62).
Вiдносно позначення (59) лема 2 стверджує справедливiсть рiвностi (61), тобто доводить
такий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 559
Теорема 4. Кожен неперервний на J розв’язок початкової задачi (1), (4) є розв’язком
iнтегрального рiвняння
y(x) = y0 +
x\int
0
f(\tau , y(\tau ))d\tau .
Згiдно з теоремою 4 серед негладких розв’язкiв рiвняння (1) немає неперервних розв’язкiв:
всi негладкi розв’язки рiвняння (1) є розривними.
Враховуючи властивостi функцiї f(x, y), природно розривнi розв’язки y(x) рiвняння (1)
вважати iнтегровними на вiдрiзку їх визначення J i такими, для яких точки (x, y(x)) \in \Pi
для x \in J. Останнє означає, що y(x) не лише iнтегровна, а й обмежена на J функцiя. Тодi,
згiдно з теоремою про абсолютну неперервнiсть iнтеграла Лебега [2], права частина рiвностi (1)
для y(x) визначає абсолютно неперервну на J функцiю. Тепер неперервною на вiдрiзках J\varepsilon :
| x| \geq \varepsilon , x \in J, де \varepsilon — довiльно мала додатна стала, є функцiя
y(x) =
1
x
x\int
0
\bigl(
y(\tau ) + f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau . (71)
Згiдно з (71)
y(x) =
1
x
\varepsilon \int
0
\bigl(
y(\tau ) + f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau +
x\int
\varepsilon
\bigl(
y(\tau ) + f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau =
=
\varepsilon
x
y(\varepsilon ) +
1
x
x\int
\varepsilon
\bigl(
y(\tau ) + f(\tau , y(\tau ))\tau
\bigr)
d\tau (72)
на J\varepsilon , i права частина (72) є неперервно диференцiйовною на J\varepsilon .
Диференцiюючи (72), отримуємо
y\prime (x) = - y(x)
x
+
y(x)
x
+
1
x
f(x, y(x))\varepsilon = f(x, y(x)) (73)
для всiх x \in J\varepsilon .
Це означає, оскiльки \varepsilon — довiльно мала додатна стала, що рiвнiсть (73) виконується в
пiвiнтервалах J, роздiлених точкою x = 0.
Пiдсумовуючи викладене, отримуємо таке твердження.
Теорема 5. На множинi визначених i iнтегровних на J функцiй y(x), для яких (x, y(x)) \in
\in \Pi при всiх x \in J, розв’язки початкової задачi (1), (4) задовольняють на J початкову задачу
y\prime = f(x, y), x \not = 0, y(0) = y0. (74)
Доповнимо задачу (74) умовами поведiнки її розв’язку, позначивши його через y(x, y0), в
околi точки x = 0, визначивши їх умовами „миттєвого перекидання” y(x, y0) iз граничного
значення
y(0 - , y0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\uparrow 0
y(x, y0) (75)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
560 А. М. САМОЙЛЕНКО
спочатку в точку y0, а з неї — у граничне значення
y(0+, y0) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\downarrow 0
y(x, y0). (76)
Умови „перекидання” визначимо функцiями стрибкiв I(y) та I1(y):
y0 - y(0 - , y0) = I(y0), y(0+, y0) - y0 = I1(y0), (77)
заданими тим чи iншим чином в околi точки y0.
Формули (75) – (77) однозначно довизначають початкову задачу (74) i приводять до такого
результату.
Теорема 6. Кожен визначений на вiдрiзку J1 \subseteq J, що мiстить точку 0, розв’язок задачi
(74), (77) є розв’язком початкової задачi (1), (4) для всiх x \in J1.
Дiйсно, оскiльки розв’язок задачi (74), (77), згiдно з його визначенням, є кусково-диферен-
цiйовною на J1 функцiєю з можливими розривами лише в точцi x = 0, то вiн належить
множинi iнтегровних на J1 функцiй, для яких (x, y(x)) \in \Pi при всiх x \in J1, i задовольняє на
J1 задачу (74), отже,
y\prime (x) = f(x, y(x))
для всiх x \in J\varepsilon з достатньо малим \varepsilon > 0.
Це приводить до ланцюга рiвностей на J\varepsilon вiд (71) до (73), а з ними i до (1), отже, до
справедливостi рiвностi (1) в пiвiнтервалах J1, роздiлених точкою x = 0. Цей розв’язок задачi
(74), (77) є розв’язком початкової задачi (1), (4), доповненої умовами (77).
Зауважимо, що задача (74), (77), яка виникла у зв’язку з дослiдженням розривних розв’язкiв
сингулярного рiвняння (1), в частинному випадку, коли
I(y0) = 0,
є однiєю з найпростiших задач теорiї диференцiальних рiвнянь iз миттєвою змiною [3 – 5] —
теорiї iмпульсних диференцiальних рiвнянь. Такi задачi цiлком „фiзичнi” i можуть виникати
при дослiдженнi еволюцiйних процесiв iз миттєвими в часi змiнами еволюцiй у фiксованому
моментi часу, зокрема, як для задачi (74) в момент часу t = 0 при x = t.
У зв’язку з викладеним актуальним є дослiдження самої задачi (74), (77) без її зв’язку з
розв’язками рiвняння (1).
Наведемо кiлька результатiв такого дослiдження. Почнемо розгляд iз простiшого з рiвнянь
(74), коли f \equiv 0. Тодi (74) набирає вигляду
y\prime = 0, x \not = 0, y(0) = y0, (78)
з умовою (77).
Розв’язком задачi (78) з умовою (77) для всiх x \in \BbbR є функцiя
y(x) =
\left\{
y0 - I(y0), x < 0,
y0, x = 0,
y0 + I1(y0), x > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 561
За допомогою функцiй \theta (x) i \delta 1(x), де
\theta (x) =
\Biggl\{
1, x \geq 0,
0, x < 0,
— функцiя Хевiсайда, розв’язок задачi (74), (77) можна записати у виглядi суми
y(x) = c+ c1\theta (x) + c2\delta 1(x), (79)
де c, c1 та c2 — довiльнi сталi, пов’язанi зi значеннями y0, I(y0) i I1(y0) формулами
c = y0 - I(y0), c+ c1 = y0 + I1(y0), c+ c1 + c2 = y0.
Згiдно з (79) розривними розв’язками задачi (74), (77) є як розривнi функцiї з розривом першого
роду:
y(x) = c+ c1\theta (x), c1 \not = 0, (80)
так i розривнi функцiї з розривом другого роду — „сталi з голкою” (по аналогiї з „игольчатыми
вариациями” Понтрягiна [6]):
y(x) = c+ c2\delta 1(x), c2 \not = 0. (81)
Розв’язки (80), (81) набувають лише двох значень. Серед загального розв’язку (79) такими
є ще
y(x) = c+ c1
\bigl(
\theta (x) - \delta 1(x)
\bigr)
, c1 \not = 0,
та тi, що набувають трьох значень, — це розв’язки (79), для яких або
c1c2 \not = 0,
або
c1 + c2 \not = 0.
Розв’язки (80) i (81) є розривними з розривом першого роду, якi вiдрiзняються лише значеннями
в точцi x = 0, iнакше це розривнi розв’язки зi стрибками в точцi розриву, рiвними за значенням.
Розв’язки (79), що набувають трьох значень, — це розривнi розв’язки зi стрибками в точцi
розриву i значенням у цiй точцi, вiдмiнним вiд його граничних значень злiва та справа вiд цiєї
точки, зокрема рiвним середньому їхньому значенню.
Розглянемо нарештi загальну задачу (74), (77) i доведемо для неї теорему iснування роз-
ривних розв’язкiв.
Теорема 7. Нехай
y(x, y0)
є розв’язком на J задачi Кошi (11). Тодi якщо
| I(y0)| \leq b\lambda , | I1(y0)| \leq b\lambda (82)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
562 А. М. САМОЙЛЕНКО
для довiльного фiксованого \lambda \in (0, 1), то функцiя
y(x) = y
\bigl(
x, y0 - I(y0) + (I(y0) + I1(y0))\theta (x) - I1(y0)\delta 1(x)
\bigr)
(83)
для всiх x iз вiдрiзка
J1 : | x| \leq \alpha 1, \alpha 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
a, (1 - \lambda )
b
M
\biggr)
, (84)
є розв’язком задачi (74), (77).
Дiйсно, згiдно з позначеннями для x < 0 функцiя (83) збiгається з функцiєю
y(x, c),
отже, є розв’язком задачi Кошi
y\prime = f(x, y), y(0) = c. (85)
Згiдно з першою з нерiвностей (82) прямокутник
\Pi 1 : | x| \leq a, | y - c| \leq (1 - \lambda )b
лежить в \Pi : якщо (x, y) \in \Pi 1, то
| y - y0| \leq | y - c| + | c - y0| \leq (1 - \lambda )b+ b\lambda = b.
Отже, права частина рiвняння (84) для всiх (x, y) \in \Pi 1 визначена, неперервна i задовольняє
нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Pi 1
| f(x, y)| \leq M.
Згiдно з теоремою Пеано цього достатньо, щоб задача Кошi (85) мала розв’язок для всiх x iз
вiдрiзка
| x| \leq \alpha 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
a1,
b
M
(1 - \lambda )
\biggr)
,
а отже, достатньо, щоб функцiя (83) була розв’язком задачi (74), (77) для всiх x iз пiвiнтервалу
[ - \alpha 1, 0).
Аналогiчно, згiдно з позначеннями для x > 0 функцiя (83) збiгається з функцiєю
y(x, c+ c1), (86)
а отже, є розв’язком задачi Кошi
y\prime = f(x, y), y(0) = c+ c1.
Повторюючи мiркування, наведенi для задачi Кошi (85), доводимо, що функцiя (86) є
розв’язком задачi (74), (77) для всiх x iз пiвiнтервалу
(0, \alpha 1].
Нарештi, згiдно з позначеннями для x = 0 функцiя (83) збiгається зi сталою y(0, c+ c1 + c2) =
= y(0, y0) = y0, а отже, задовольняє початкову умову задачi (74).
Це доводить, що на J1 функцiя (83) є розв’язком задачi (74), (77).
Iз теорем 6 i 7 випливає такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СИНГУЛЯРНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ РIВНЯННЯ, ЕКВIВАЛЕНТНЕ У ПРОСТОРI ГЛАДКИХ ФУНКЦIЙ . . . 563
Наслiдок 5. При виконаннi умов теореми 7 функцiя (83) для всiх x iз вiдрiзка J1 є розв’язком
початкової задачi (1), (4).
Очевидним доповненням наведених результатiв є припущення, що одна з функцiй I\upsilon (x),
\upsilon = 1, 2, задовольняє умову
| I\upsilon (y0)| > b,
яке включає в задачу (74), (77) непродовжуванi поза точку x = 0 розв’язки.
За термiнологiєю теорiї еволюцiйних систем Т. Вожеля [7] такi розв’язки „вмирають”,
викинутi миттєво стрибком при досягненнi точки x = 0 за межi областi \Pi .
Суттєвi доповнення отримують наведенi результати, якщо вважати добуток f(x, y)y в (1)
єдиною функцiєю
g(x, y) = f(x, y)x
iз властивостями функцiї f(x, y).
У таких рiвняннях можливi вже неперервнi розв’язки, якi не є неперервно диференцiйов-
ними в областi їх визначення.
Зрештою результати, наведенi в данiй роботi, очевидним чином залишаються справедливи-
ми для системи рiвнянь (1).
Лiтература
1. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння. — Київ: Вид.-полiграф. центр
„Київ. ун-т”, 2010. — 527 с.
2. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968. — 288 с.
3. Самойленко А. М., Мышкис А. Д. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. — 1967. — 74,
№ 2. — C. 202 – 208.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. — Киев: Вища
шк., 1987. — 287 с.
5. Трофимчук Е. П., Трофимчук С. И. Импульсные системы с фиксированными моментами толчков общего
расположения: существование, единственность решения и корректность задачи Коши // Укр. мат. журн. —
1990. — 42, № 2. — С. 230 – 237.
6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. — М.: Наука, 1983. — 392 с.
7. Vogel T. Théorie des systémes evolutifis. — Paris: Gautnier-Villous, 1965. — 172 p.
Одержано 05.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1456 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:45Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/16/e5d2aa4c4244d9d71106d87df75b4116.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14562019-12-05T10:12:29Z Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions to an ordinary differential equation, method of successive approximations for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions Сингулярне інтегральне рівняння, еквівалентне у просторі гладких функцій звичайному диференціальному, метод послідовних наближень побудови його гладких розв’язків та його негладкі розв’язки Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. We propose a singular integral equation whose definition is extended to a singular point by additional conditions. In the space of smooth functions, this equation becomes equivalent, by the indicated extended definition, to an ordinary differential equation, whereas in the space of piecewise discontinuous functions, it becomes equivalent to an impulsive differential equation. For smooth solutions of the singular equation, we substantiate the method of successive approximations. For the ordinary differential equation, this method turns into a new algorithm for the construction of successive approximations. For the investigated equation, we specify a solution of new type, which is equivalent, for the impulsive differential equation, to a solution with discontinuity of the second kind (a “solution with needle”). We propose an algorithmic formula for the general solution of the initial-value problem for the impulsive differential equation. УДК 517.9 Запропоновано сингулярне iнтегральне рiвняння, яке в особливiй точцi довизначається додатковими умовами. У просторi гладких функцiй при довизначеннi воно стає еквiвалентним звичайному диференцiальному рiвнянню, у просторi кусково-розривних функцiй — iмпульсному диференцiальному рiвнянню. Для гладких розв’язкiв сингулярного рiвняння обґрунтовано метод послiдовних наближень, який вiдносно звичайного диференцiального рiвняння є новим алгоритмом побудови послiдовних наближень. Для дослiджуваного рiвняння визначено новий тип розв’язку, еквiвалентний для iмпульсного диференцiального рiвняння розв’язку з розривом другого роду („розв’язок iз голкою”). Запропоновано алгоритмiчну формулу загального розв’язку початкової задачi для iмпульсного диференцiального рiвняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1456 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 543-563 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 543-563 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1456/440 Copyright (c) 2019 Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions to an ordinary differential equation, method of successive approximations for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title | Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title_alt | Сингулярне інтегральне рівняння, еквівалентне у просторі гладких
функцій звичайному диференціальному, метод послідовних наближень побудови
його гладких розв’язків та його негладкі розв’язки |
| title_full | Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title_fullStr | Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title_full_unstemmed | Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title_short | Singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| title_sort | singular integral equation equivalent in the space of smooth functions
to an ordinary differential equation, method of successive approximations
for the construction of its smooth solutions and its nonsmooth solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1456 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam singularintegralequationequivalentinthespaceofsmoothfunctionstoanordinarydifferentialequationmethodofsuccessiveapproximationsfortheconstructionofitssmoothsolutionsanditsnonsmoothsolutions AT samojlenkoam singularintegralequationequivalentinthespaceofsmoothfunctionstoanordinarydifferentialequationmethodofsuccessiveapproximationsfortheconstructionofitssmoothsolutionsanditsnonsmoothsolutions AT samoilenkoam singulârneíntegralʹnerívnânnâekvívalentneuprostorígladkihfunkcíjzvičajnomudiferencíalʹnomumetodposlídovnihnabliženʹpobudovijogogladkihrozvâzkívtajogonegladkírozvâzki AT samojlenkoam singulârneíntegralʹnerívnânnâekvívalentneuprostorígladkihfunkcíjzvičajnomudiferencíalʹnomumetodposlídovnihnabliženʹpobudovijogogladkihrozvâzkívtajogonegladkírozvâzki |