Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral
The order of the $R$-integral is specified and its representation in the form of the canonical Weierstrass product is found.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1457 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507213066403840 |
|---|---|
| author | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Samoilenko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | The order of the $R$-integral is specified and its representation in the form of the canonical Weierstrass product is found. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.2
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДОК ТА КАНОНIЧНИЙ ДОБУТОК ВЕЙЄРШТРАССА \bfitR -IНТЕГРАЛА
The order of the R-integral is specified and its representation in the form of the canonical Weierstrass product is found.
Уточнено порядок R-iнтеграла та знайдено його зображення канонiчним добутком Вейєрштрасса.
Нехай s = x+ it, (x, t) \in \BbbR 2,
f(s) = 1 - s(1 - s)
\infty \int
1
\bigl(
x
s
2 + x
1 - s
2
\bigr)
\theta (x)dx, (1)
де
\theta (x) =
1
x
\infty \sum
n=1
e - \pi n2x.
Вiдомо [1], що функцiя (1) — це цiла функцiя порядку \rho \leq 1, яка має нескiнченну кiлькiсть
комплексно-спряжених нулiв
(sk, sk) = rk(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k + i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k - i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k) (2)
таких, що
0 < rk \leq rk+1, 0 < \varphi k \leq \pi
2
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
rk = \infty ,
розмiщених у комплекснiй площинi \BbbC симетрично вiдносно прямої
x =
1
2
i лише у смузi
0 \leq x \leq 1.
Запишемо рiвняння (1) при z = x \in \BbbR
f(x) = 1 - x(1 - x)
1\int
0
\bigl(
\tau
x
2 + \tau
1 - x
2
\bigr)
\theta (\tau )d\tau , f(x) = f(1 - x). (3)
Формула (3) є основною характеристикою функцiї (1), яка видiляє її з множини iнших цiлих
функцiй дiйсної змiнної x.
Згiдно з (3) маємо рiвнiсть
f(0) = f(1) = 1.
Використавши (2), запишемо для f(x) формулу Адамара [2]
f(x) = e\lambda xW (x), (4)
де \lambda = mf \prime (0), m = [\rho ] — рiд функцiї f(s), W (0) = 1,
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, 2019
564 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ПОРЯДОК ТА КАНОНIЧНИЙ ДОБУТОК ВЕЙЄРШТРАССА R-IНТЕГРАЛА 565
W (x) =
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
m, (5)
W (x, \varphi ,m) = (1 - 2x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi + x2)e2mx cos\varphi . (6)
Нехай m = 1. Розглянемо функцiю
F (x) = f(x)f(1 - x) = f2(x).
Тодi згiдно з (4)
F (x) = e\lambda x+\lambda (1 - x)W (x)W (1 - x) = e\lambda W (x)W (1 - x), (7)
де
W (x)W (1 - x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
e
2 x
rk
cos\varphi k\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
e
2 1 - x
rk
cos\varphi k . (8)
Прологарифмувавши (8), отримаємо
\mathrm{l}\mathrm{n}W (x)W (1 - x) = \mathrm{l}\mathrm{n}W (x) + \mathrm{l}\mathrm{n}W (1 - x) =
=
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
+ 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
\biggr)
+
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
+ 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
\biggr)
. (9)
Згiдно з теоремою Вейєрштрасса про нескiнченний добуток [3] суми в (9) рiвномiрно збiгаються
на довiльному вiдрiзку \BbbR . В результатi з (9) випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n}W (x)W (1 - x) =
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr) \biggr)
+
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr) \biggr)
+ 2
\infty \sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
,
потенцiюючи яку, отримуємо
W (x)W (1 - x) = e
2
\sum \infty
k=1
cos\varphi k
rk
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
. (10)
Згiдно з (10) формула (7) набирає вигляду
F (x) = e
\lambda +2
\sum \infty
k=1
cos\varphi k
rk
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
566 А. М. САМОЙЛЕНКО
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
. (11)
При x = 0 формула (11) має вигляд
1 = e
\lambda +2
\sum \infty
k=1
cos\varphi k
rk
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr)
. (12)
Згiдно з (12) та позначеннями (5), (6)
F (x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr) - 1
= c
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k, 0
\biggr) \infty \prod
k=1
W
\biggl(
1 - x
rk
, \varphi k, 0
\biggr)
,
де
c =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr) - 1
.
Таким чином, маємо рiвнiсть
c - 1F (x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
, (13)
яка згiдно з позначеннями (5), (6) доводить, що права частина (13) є добутком двох функцiй,
канонiчнi добутки Вейєрштрасса яких при s = x належать функцiям нульового роду. Отже,
F (x) — функцiя нульового роду. Це доводить, що порядок F (x) не дорiвнює, а менший за 1.
Оскiльки
F (x) = f2(x),
то порядок f(x) на x \in \BbbR задовольняє нерiвнiсть
\rho < 1. (14)
Пiдсумовуючи, отримуємо такий результат.
Теорема 1. Порядок R-iнтеграла (1) задовольняє нерiвнiсть (14).
Для доведення теореми досить доповнити наведенi мiркування формулою розрахунку по-
рядку \rho цiлої функцiї f(s) [4]:
\rho = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n \mathrm{l}\mathrm{n}n\bigm| \bigm| a - 1
n
\bigm| \bigm| , an =
f (n)(0)
n!
,
згiдно з якою порядки f(x) та f(s) спiвпадають.
Наведемо наслiдок iз теореми 1. Насамперед запишемо канонiчний добуток f(x), як цiлої
функцiї порядку \rho < 1, тобто при m = 0. Згiдно з формулами (4) – (6), позначаючи W (x, \varphi , 0)
через W (x, \varphi ), маємо
f(x) =
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ПОРЯДОК ТА КАНОНIЧНИЙ ДОБУТОК ВЕЙЄРШТРАССА R-IНТЕГРАЛА 567
Отже, замiнивши в (15) x на 1 - x, будемо мати
f(1 - x) =
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
1 - x
rk
, \varphi k
\biggr)
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
. (16)
Iз (15), (16) випливає, що
F (x) = f(x)f(1 - x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
=
=
\infty \prod
k=1
\biggl( \biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr) \biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr) \biggr)
. (17)
Введемо позначення
h = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , \varepsilon = h - 1, \sigma (x) = x(1 - x).
Тодi матимемо
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
= 1 - \sigma (x)
r2k
- \varepsilon k(1 - x)
r2k
, W
\biggl(
1 - x
rk
, \varphi k
\biggr)
= 1 - \sigma (x)
r2k
- \varepsilon kx
r2k
, (18)
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
W
\biggl(
1 - x
rk
, \varphi k
\biggr)
=
\biggl(
1 - \sigma (x)
r2k
\biggr) 2
+ \varepsilon k (1 + \varepsilon k)
\sigma (x)
r2k
+
\varepsilon k
r2k
, k = 1, 2, . . . . (19)
Покладемо
P2
\biggl(
\sigma (x),
1
r2k
, \varepsilon
\biggr)
=
\biggl(
1 - \sigma (x)
r2k
\biggr) 2
+ \varepsilon (1 + \varepsilon )
\sigma (x)
r2k
+
\varepsilon
r2k
i запишемо добуток (18), (19) у виглядi многочлена вiд \sigma (x) другого степеня
W
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
W
\biggl(
1 - x
rk
, \varphi k
\biggr)
= P2
\biggl(
\sigma (x)
r2k
,
1
r2k
, \varepsilon k
\biggr)
.
Отже, функцiю (17) запишемо у виглядi добутку
F (x) = f2(x) = f(x)f(1 - x) =
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (x)
r2k
- \varepsilon k(1 - x)
r2k
\biggr) 2
=
\infty \prod
k=1
P2
\biggl(
\sigma (x)
r2k
,
1
r2k
, \varepsilon k
\biggr)
. (20)
При x = 0 рiвнiсть (20) набирає вигляду
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \varepsilon k
r2k
\biggr) 2
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 +
\varepsilon k
r2k
\biggr)
= 1. (21)
Якщо \varepsilon k = 0, k = 1, 2, . . . , то рiвнiсть (21) очевидно має мiсце. У протилежному випадку,
оскiльки за означенням \varepsilon k = hk - 1 i 0 \leq hk \leq 1, k = 1, 2, . . . , то - 1 \leq \varepsilon k \leq 0, отже, рiвнiсть
(21) неможлива для жодного \varepsilon k \not = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
568 А. М. САМОЙЛЕНКО
В результатi маємо
\varepsilon k = 0, k = 1, 2, . . . . (22)
Таким чином, з урахуванням (22) формула (20) набирає вигляду
F (x) =
\infty \prod
k=1
P2
\biggl(
\sigma (x)
r2k
,
1
r2k
, 0
\biggr)
.
Пiдсумовуючи, отримуємо таке твердження.
Теорема 2. Для R-iнтеграла (1) має мiсце рiвнiсть
f(s) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (s)
r2k
\biggr)
. (23)
Дiйсно, оскiльки
P2
\biggl(
\sigma (x)
r2k
,
1
r2k
, 0
\biggr)
=
\biggl(
1 - \sigma (x)
r2k
\biggr) 2
,
то iз формули (20) при \varepsilon k = 0 отримуємо рiвнiсть
f(x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (x)
r2k
\biggr)
,
продовживши яку з дiйсної осi \BbbR на комплексну площину \BbbC , отримаємо для f(s) як рiвнiсть
(1), так i рiвнiсть (23).
Щоб нулi f(s) були комплексно-спряженими, досить, щоб виконувалася нерiвнiсть
r1 >
1
2
.
При її виконаннi всi нулi рiвностi (23) комплексно-спряженi i належать прямiй
x =
1
2
.
Зазначимо, що оскiльки при доведеннях теорем 1 i 2 не використовувалися конкретнi ха-
рактеристики iнтеграла, то цi теореми мають мiсце для всiх функцiй з аналогiчними iнтегралу
(1) властивостями.
Насамкiнець наведемо важливий висновок iз теореми 2 вiдносно \zeta -функцiї, пов’язаної з
R-iнтегралом рiвнiстю [1]
- \Gamma
\Bigl( s
2
\Bigr)
\sigma (s)\zeta (s) = \pi
s
2 f(s). (24)
Iз (24) отримуємо
s(s - 1)\zeta (s) = \Gamma - 1
\Bigl( s
2
\Bigr)
\pi
s
2 f(s),
або з урахуванням теореми 2
s(s - 1)\zeta (s) =
1
2
s\pi
s
2 e\gamma
s
2
\infty \prod
n=1
\Bigl( \Bigl(
1 +
s
2n
\Bigr)
e -
s
2n
\Bigr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (s)
r2k
\biggr)
. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ПОРЯДОК ТА КАНОНIЧНИЙ ДОБУТОК ВЕЙЄРШТРАССА R-IНТЕГРАЛА 569
Далi iз (25) маємо
s
\Biggl( \Biggl(
(s - 1)\zeta (s) - 1
2
\pi
s
2 e\gamma
s
2
\infty \prod
n=1
\Bigl( \Bigl(
1 +
s
2n
\Bigr)
e -
s
2n
\Bigr)
\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (s)
r2k
\biggr) \Biggr)
+
\biggl(
\zeta (0) +
1
2
\biggr)
\delta 1(s)
\Biggr)
= 0, (26)
де \delta 1(s) — функцiя одиничного носiя, зосередженого в точцi 0 [5],
\delta 1(s) =
\Biggl\{
1, s = 0,
0, s \not = 0.
Оскiльки
\zeta (0) +
1
2
= 0,
то з (26) отримуємо рiвнiсть
(s - 1)\zeta (s) =
1
2
e(ln\pi +\gamma ) s
2
\infty \prod
n=1
\Bigl( \Bigl(
1 +
s
2n
\Bigr)
e -
s
2n
\Bigr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (s)
r2k
\biggr)
. (27)
Отже, згiдно з (27) \zeta -функцiя допускає розклад у добуток
\zeta (s) =
1
2(s - 1)
e(ln\pi +\gamma ) s
2
\infty \prod
n=1
\Bigl( \Bigl(
1 +
s
2n
\Bigr)
e -
s
2n
\Bigr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - \sigma (s)
r2k
\biggr)
за тривiальними нулями - 2n, n = 1, 2, . . . , \zeta (s) та за її нулями
1
2
\pm itk , tk =
\sqrt{}
r2k -
1
4
, r1 >
1
2
,
зi смуги 0 \leq x \leq 1.
Запишемо рiвняння для визначення нетривiальних нулiв \zeta -функцiї:
f(s) = 0. (28)
Згiдно з (1) рiвняння (28) має вигляд
\sigma (s)
\infty \int
1
\bigl(
x
s
2 + x
1 - s
2
\bigr)
\theta (x)dx = 1. (29)
Виконаємо у (29) замiну змiнних, поклавши
s =
1
2
+ it, t > 0,
та отримаємо, оскiльки
\sigma
\biggl(
1
2
+ it
\biggr)
=
\biggl(
1
2
+ it
\biggr) \biggl(
1
2
- it
\biggr)
=
1
4
+ t2,
x
1
2(
1
2
+it) + x
1
2(1 -
1
2
- it) = x
1
4
+ i
2
t + x
1
4
- i
2
t =
= x
1
4
\Bigl(
e
i
2
t lnx + e -
i
2
t lnx
\Bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
570 А. М. САМОЙЛЕНКО
рiвняння (29) у нових змiнних:
2
\biggl(
1
4
+ t2
\biggr) \infty \int
1
\psi (x)x -
3
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
t \mathrm{l}\mathrm{n}x
\biggr)
dx = 1. (30)
У позначеннях iз [6] рiвняння (30) набирає вигляду
\Xi (t) =
1
2
-
\biggl(
1
4
+ t2
\biggr) \infty \int
1
\psi (x)x -
3
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
2
t \mathrm{l}\mathrm{n}x
\biggr)
dx = 0.
Лiтература
1. Математическая энциклопедия: В 5 т. — М.: Сов. энцикл., 1979. — Т. 2. — 552 с.
2. Hadamard J. Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann //
J. Math. Pures et Appl. — 1893. — 9, Ser. 4. — P. 171 – 215.
3. Weierstrass K. Math. Werke. — 1895. — Bd 2, B.
4. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. — Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Наука, 1968. — Т. 2. — 624 с.
5. Самойленко А. M. Сингулярне iнтегральне рiвняння, еквiвалентне у просторi гладких функцiй звичайному
диференцiальному, метод послiдовних наближень побудови його гладких розв’язкiв та його негладкi розв’язки //
Укр. мат. журн. – 2019. – 71, № 4. – С. 543 – 563.
6. Риман Б. Сочинения: Пер. с нем. — М; Л., 1948. — С. 218 – 219.
Одержано 03.04.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1457 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ef/bf9052ac105a721c8403a466ac8a1bef.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14572019-12-05T10:12:29Z Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral Порядок та канонічний добуток Вейєрштрасса $R$-інтеграла Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. The order of the $R$-integral is specified and its representation in the form of the canonical Weierstrass product is found. УДК 517.2 Уточнено порядок $R$-iнтеграла та знайдено його зображення канонiчним добутком Вейєрштрасса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1457 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 564-570 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 564-570 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1457/441 Copyright (c) 2019 Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title | Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title_alt | Порядок та канонічний добуток Вейєрштрасса $R$-інтеграла |
| title_full | Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title_fullStr | Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title_full_unstemmed | Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title_short | Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral |
| title_sort | order and canonical product of the weierstrass $r$-integral |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1457 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam orderandcanonicalproductoftheweierstrassrintegral AT samojlenkoam orderandcanonicalproductoftheweierstrassrintegral AT samoilenkoam porâdoktakanoníčnijdobutokvejêrštrassaríntegrala AT samojlenkoam porâdoktakanoníčnijdobutokvejêrštrassaríntegrala |