Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner angles in the Bergman space
UDC 517.5 We continue the investigation of the order of growth of the modulus of an arbitrary algebraic polynomial in the Bergman weight space, where the contour and weight functions have certain singularities. In particular, we deduce a Bernstein– Walsh-type pointwise estimate for algebraic polyn...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1459 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507214859468800 |
|---|---|
| author | Abdullayev, G. A. Abdullayev, F. G. Şimşek, D. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. |
| author_facet | Abdullayev, G. A. Abdullayev, F. G. Şimşek, D. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. |
| author_sort | Abdullayev, G. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.5
We continue the investigation of the order of growth of the modulus of an arbitrary algebraic polynomial in the Bergman
weight space, where the contour and weight functions have certain singularities. In particular, we deduce a Bernstein–
Walsh-type pointwise estimate for algebraic polynomials in unbounded domains with a piecewise asymptotically conformal
curve with nonzero inner angles in the Bergman weight space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ф. Г. Абдуллаев (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бишкек; Мерсин. ун-т, Турция),
Г. A. Абдуллаев (Мерсин. ун-т, Турция),
Д. Шимшек (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бишкек; Техн. ун-т Конья, Турция)
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША
В ОБЛАСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ КУСОЧНО АСИМПТОТИЧЕСКИ
КОНФОРМНОЙ КРИВОЙ С ВНУТРЕННИМИ НЕНУЛЕВЫМИ УГЛАМИ
В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА*
We continue the investigation of the order of growth of the modulus of an arbitrary algebraic polynomial in the Bergman
weight space, where the contour and weight functions have certain singularities. In particular, we deduce a Bernstein–
Walsh-type pointwise estimate for algebraic polynomials in unbounded domains with a piecewise asymptotically conformal
curve with nonzero inner angles in the Bergman weight space.
Продовжено вивчення порядку зростання модуля довiльного алгебраїчного полiнома у ваговому просторi Бергмана,
де контур i ваговi функцiї мають деякi особливостi. Зокрема, отримано початкову оцiнку типу Бернштейна – Уолша
для алгебраїчних полiномiв у необмежених областях з кусково асимптотично конформною кривою з внутрiшнiми
ненульовими кутами у ваговому просторi Бергмана.
1. Введение и основные результаты. Пусть G \subset \BbbC — область с 0 \in G, ограниченная
жордановой кривой L := \partial G, \Omega := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}L := \BbbC \setminus G, где \BbbC := \BbbC \cup \{ \infty \} , \Delta := \{ w : | w| > 1\} , и \wp n
обозначает множество алгебраических полиномов Pn(z) степени не выше n \in \BbbN . Пусть w =
= \Phi (z) — однолистное конформное отображение \Omega на \Delta , нормированное условием \Phi (\infty ) = \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow \infty
\Phi (z)
z
> 0, и \Psi := \Phi - 1. Для t \geq 1, z \in \BbbC и M \subset \BbbC положим
Lt :=
\bigl\{
z :
\bigm| \bigm| \Phi (z)\bigm| \bigm| = t
\bigr\}
, L1 \equiv L, Gt := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Lt, \Omega t := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}Lt,
d(z,M) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,M) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ | z - \zeta | : \zeta \in M\} .
Согласно классическим результатам Бернштейна [17], Фабера [23], Уолша [33] (в удобном для
нас виде), \bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq Rn\| Pn\| C(G), R > 1, z \in \Omega \cap GR, (1.1)
где
\| Pn\| C(G) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{ \bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| , z \in G
\bigr\}
.
Такие вопросы часто встречаются при изучении обратных задач теории приближения функ-
ций алгебраическими многочленами и во многих других задачах.
Для получения аналога оценки типа (1.1) относительно других норм приведем некоторые
определения и обозначения.
* Частично поддержана KTMU (проект № 2016 FBE 13).
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5 583
584 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК
Пусть \{ zj\} mj=1 — фиксированная система различных точек на кривой L, расположенных в
положительном направлении. Для фиксированных R0, 1 < R0 < \infty , и z \in GR0 рассмотрим
так называемую обобщенную весовую функцию Якоби h(z), определенную равенством
h(z) := h0(z)
m\prod
j=1
| z - zj | \gamma j , z \in GR, (1.2)
где \gamma j > - 2 для всех j = 1, 2, . . . ,m и h0 равномерно отделена от нуля в GR0 , т. е. существует
постоянная c0 := c0(GR0) > 0 такая, что h0(z) \geq c0 > 0 для всех z \in GR0 .
Для каждого p > 0 введем
\| Pn\| Ap := \| Pn\| Ap(h,G) :=
\left( \int \int
G
h(z)
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| pd\sigma z
\right) 1/p
<\infty , 0 < p <\infty ,
\| Pn\| A\infty := \| Pn\| A\infty (1,G) := \| Pn\| C(G), p = \infty ,
где \sigma z — двумерная мера Лебега для произвольной жордановой области G, и
\| Pn\| \scrL p :=
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
\scrL p(h,L)
:=
\left( \int
L
h(z)
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| p | dz|
\right) 1/p
, 0 < p <\infty ,
\| Pn\| \scrL \infty :=
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
\scrL \infty (1,L)
:= \| Pn\| C(G) , p = \infty ,
для спрямляемой жордановой кривой L. Ясно, что \| \cdot \| Ap и \| \cdot \| \scrL p являются квазинормами
(т. е. нормами для 1 \leq p \leq \infty и p-нормами для 0 < p < 1).
Оценка типа Бернштейна – Уолша в \scrL p(h, L), p > 0, была получена в [24] для h(z) \equiv 1 и в
[8] (лемма 2.4) для h(z), определенной в (1.2), в виде
\| Pn\| \scrL p(h,LR) \leq R
n+ 1+\gamma \ast
p \| Pn\| \scrL p(h,L), \gamma \ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ 0; \gamma j : j = 1, 2, . . . ,m\} .
Для произвольной жордановой области G и Ap(1, G)-квазинормы, p > 0, аналогичная
оценка была получена в [4] (теорема 1.1), где был установлен следующий результат: для каждых
p > 0, Pn \in \wp n, R1 = 1 +
1
n
и произвольного R, R > R1,
\| Pn\| Ap(GR)
\leq cR
n+2
p \| Pn\| Ap(GR1
)
.
Здесь постоянная
c =
\biggl(
2
ep - 1
\biggr) 1
p
\biggl[
1 +O
\biggl(
1
n
\biggr) \biggr]
, n\rightarrow \infty ,
является точной.
Теперь приведем аналогичную оценку в Ap(h,G) для h(z) \not = 1 по отношению к паре
(G,GR).
Согласно [25, с. 97; 27], жорданова кривая (или дуга) L называется K -квазиконформной
(K \geq 1), если существует K -квазиконформное отображение f области D \supset L такое, что f(L)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 585
является окружностью (или отрезком прямой). Существуют другие определения и геометри-
ческие критерии квазиконформности кривой [13, с. 81; 25, с. 105; 28, с. 286 – 294; 29, с. 107].
Приведем одно из них.
Пусть S — жорданова кривая и z = z(s), s \in [0, | S| ], | S| := \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}S, — ее натуральная
параметризация. Пусть z1, z2 \in S — произвольные точки и S(z1, z2) \subset S обозначает дугу
кривой S меньшего диаметра с концами в точках z1 и z2. Кривая S является квазиконформной
тогда и только тогда, когда величина
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z1,z2\in S; z\in S(z1,z2)
| z1 - z| + | z - z2|
| z1 - z2|
(1.3)
ограничена. Согласно [26], кривая S называется „c-квазиконформной”, если величина (1.3)
ограничена положительной постоянной c, не зависящей от точек z1, z2 и z.
В [3] была получена следующая оценка типа Бернштейна – Уолша для областей G с квази-
конформной границей и весовой функцией h(z), определенной в (1.2) с \gamma j > - 2, для любых
p > 0:
\| Pn\| Ap(h,GR)
\leq c1R
\ast n+1
p \| Pn\| Ap(h,G)
,
где R\ast := 1+ c2(R - 1), c2 > 0 и c1 := c1(G, p, c2) > 0 — постоянные, не зависящие от n и R.
N. Stylianopoulos [31] заменил норму
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
C(G)
нормой
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
A2(G)
в правой части (1.1)
и установил новую версию леммы Бернштейна – Уолша: для квазиконформной и спрямляемой
кривой L и любого Pn \in \wp n имеет место оценка
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c3(L)
\surd
n
d(z, L)
\| Pn\| A2(G)
\bigm| \bigm| \Phi (z)\bigm| \bigm| n+1
, z \in \Omega , (1.4)
с постоянной c3(L) > 0, не зависящей от n и z.
В настоящей статье для неограниченной области \Omega мы изучаем поточечные оценки вида\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c4
\eta n(G, h, p)
d(z, L)
\| Pn\| Ap
\bigm| \bigm| \Phi (z)\bigm| \bigm| n+1
, z \in \Omega , (1.5)
где c4 = c4(G, h, p) > 0 — постоянная, не зависящая от n и Pn, \eta n(G, h, p)\rightarrow \infty , n\rightarrow \infty .
Отметим, что для некоторых норм и различных неограниченных областей аналогичные
результаты типа (1.5) были получены Н. А. Лебедевым, П. М. Тамразовым, В. К. Дзядыком,
И. А. Шевчуком (см., например, [19, с. 418 – 428; 32]). Ф. Г. Абдуллаев (и др.) получил анало-
гичные результаты при p > 1 для областей, ограниченных кусочно-Дини-гладкой границей без
точек возврата [6], при p > 0 для областей, ограниченных квазиконформной кривой (см. [7] для
h(z) \equiv 1 и [11] для h(z) \not = 1), при p > 1 для областей, ограниченных кусочно-гладкой кривой
без точек возврата [5], при p > 0 для областей, ограниченных асимптотически конформной
кривой [10], и т. д.
Для квазинормы \| \cdot \| \scrL p(h,L)
, некоторых кривых и весовой функции h(z), определенной
в (1.2) с \gamma j > - 1, результаты, аналогичные (1.4), были получены во многих работах (см.,
например, [8, 9]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
586 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК
Мы исследуем аналогичную проблему для z \in \Omega в области, ограниченной кусочно асимп-
тотически конформной кривой, имеющей ненулевые внутренние и внешние углы, и для весовой
функции h(z), определенной в (1.2).
Приведем некоторые определения и обозначения, необходимые для дальнейшего изло-
жения.
Жорданова кривая S называется асимптотически конформной [16, 29], если
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z1,z2\in S; z\in S(z1,z2)
| z1 - z| + | z - z2|
| z1 - z2|
\rightarrow 1, | z1 - z2| \rightarrow 0.
Обозначим этот класс через AC и будем писать G \in AC, если L := \partial G \in AC.
Асимптотически конформные кривые занимают особое место в задачах геометрической
теории функций комплексной переменной. В различных задачах эти кривые изучались во мно-
гих работах (см., например, [14, 18, 20 – 22, 30]). В соответствии с геометрическими критериями
квазиконформности кривых [13, с. 81; 29, с. 107] каждая асимптотически конформная кривая
является квазиокружностью. Каждая гладкая кривая асимптотически конформна, но не содер-
жит углы. Известно, что квазиокружности могут быть не спрямляемыми (см., например, [15;
25, с. 104]). То же справедливо для асимптотически конформных кривых.
Жорданова дуга \ell называется асимптотически конформной, если она является частью
некоторой асимптотически конформной кривой.
Теперь определим новый класс областей, ограниченных кусочно асимптотически конформ-
ными кривыми, имеющими внешние ненулевые „углы” в точках стыка граничных дуг.
На протяжении всей работы предполагаем, что p > 0 и постоянные c, c0, c1, c2, . . . по-
ложительные, а постоянные \varepsilon 0, \varepsilon 1, \varepsilon 2, . . . положительные и достаточно малые (как правило,
отличающиеся в разных соотношениях), которые обычно зависят от G и несущественных па-
раметров; в противном случае зависимость будет четко указана. Также следует отметить, что
для любых k \geq 0 и m > k обозначение j = k,m означает, что j = k, k + 1, . . . ,m.
Теперь определим „специальные углы” кривой L.
Определение 1.1. Будем писать, что жорданова область G \in PAC(\nu 1, . . . , \nu m), 0 <
< \nu j < 2, j = 1,m, если L = \partial G состоит из объединения конечного числа асимптотически
конформных дуг \{ Lj\} mj=1 с точками стыка \{ zj\} mj=1 \in L такими, что в z0 \in L\setminus \{ zj\} mj=1 L
локально асимптотически конформна и для каждой точки zj \in L, j = 1,m, в которой две
дуги Lj - 1 и Lj стыкуются, существуют rj := rj(L, zj) > 0 и \nu j := \nu j(L, zj), 0 < \nu j < 2,
такие, что для некоторого 0 \leq \theta 0 < 2 замкнутый максимальный широкий круговой сектор
S(zj ; rj , \nu j) :=
\bigl\{
\zeta : \zeta = zj + rje
i\theta \pi , \theta 0 < \theta < \theta 0 + \nu j
\bigr\}
радиуса rj и раствора \nu j\pi лежит в
G = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}L с вершиной в zj .
Ясно, что PAC(\nu 1) \subset PAC(\nu 2), если \nu 2 \geq \nu 1.
Определение 1.2. Будем писать, что жорданова область G \in PAC(\nu ), если G \in
\in PAC(\nu 1, . . . , \nu m), 0 < \nu j < 2, j = 1,m, где \nu = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\nu j : 0 < \nu j < 2, j = 1,m
\bigr\}
.
Согласно определению 1.1 (1.2) ясно, что каждая область G \in PAC(\nu 1, . . . , \nu m), 0 < \nu 1, . . .
. . . , \nu m < 2 (G \in PAC(\nu )), может иметь „сингулярности” в граничных точках \{ zi\} mi=1 \in L.
Если она не имеет таких „сингулярностей”
\bigl(
в этом случае полагаем \nu i = 1, i = 1,m
\bigr)
, то
пишем G \in AC.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 587
В соответствии с „three-point” критерием [13, с. 100] (1.3), каждая кусочно асимптотически
конформная кривая (без точек возврата) является квазиконформной.
На протяжении всей работы будем предполагать, что точки \{ zi\} mi=1 \in L, определенные в
(1.2), и точки \{ \zeta i\} mi=1 \in L, определенные в определении 1.1, совпадают. Без потери общности
также будем предполагать, что точки \{ zi\} mi=1 упорядочены в положительном направлении на
кривой L.
Предположим, что кривая L имеет „особенность” в граничных точках \{ zi\} mi=1, т. е. \nu i < 1
для всех i = 1,m, и весовая функция h имеет „особенности” в тех же граничных точках, т. е.
\gamma i \not = 0 для некоторых i = 1,m. В этом случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть p > 0. Предположим, что G \in PAC(\nu 1, . . . , \nu m) для некоторых 0 <
< \nu 1, . . . , \nu m < 1, h(z) определена в (1.2). Тогда для любого Pn \in \wp n, n \in \BbbN , \gamma j > - 2 и сколь
угодно малого \varepsilon > 0 имеем\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c1
| \Phi (z)| n+1
d2/p(z, L1+\varepsilon 1/n)
An,1
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
Ap
, z \in \Omega 1+
\varepsilon 1
n
,
где c1 = c1(G, \nu 1, . . . , \nu m, p, \varepsilon ) > 0 — постоянная, не зависящая от z и n,
An,1 :=
\left\{
n
\widetilde \gamma \widetilde \nu \ast
p , если \widetilde \gamma \widetilde \nu \ast > 1,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , если \widetilde \gamma \widetilde \nu \ast = 1,
n
1
p , если 0 \leq \widetilde \gamma \widetilde \nu \ast < 1,
(1.6)
\widetilde \gamma := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ 0, \gamma 1, \gamma 2, . . . , \gamma m, \} , \widetilde \nu \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} \{ \nu \ast 1 , \nu \ast 2 , . . . , \nu \ast m\}
и
\nu \ast j :=
\left\{ 2 - \nu j , 0 < \nu j < 1,
1 + \varepsilon , \nu j = 1,
j = 1,m.
Теорема 1.1 распространяет результаты [10] на случай области с внутренними ненулевыми
углами.
Для каждого фиксированного \rho > 1 положим \Omega \rho :=
m\bigcup
j=1
\Omega j
\rho , где \Omega j
\rho определено ниже в (2.9).
Тогда из теоремы 1.1 вытекает такое следствие.
Следствие 1.1. При условиях теоремы 1.1 для каждого Pn \in \wp n, n \in \BbbN , \gamma j > - 2 и
произвольно малого \varepsilon > 0 имеем\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c2
| \Phi (z)| n+1
d2/p(z, L1+\varepsilon 1/n)
An,2
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\|
Ap
, z \in U\delta (zj) \cap \Omega j
1+
\varepsilon 1
n
,
где c2 = c2(G, \nu 1, . . . , \nu m, p, \varepsilon ) > 0 — постоянная, не зависящая от z и n,
An,2 :=
\left\{
n
\widetilde \gamma j\nu \ast j
p , если \widetilde \gamma j\nu \ast j > 1,
(n \mathrm{l}\mathrm{n}n)
1
p , если \widetilde \gamma j\nu \ast j = 1,
n
1
p , если 0 \leq \widetilde \gamma j\nu \ast j < 1,
(1.7)
U\delta (zj) :=
\bigl\{
z : | z - zj | < \delta , \delta > 0
\bigr\}
и \widetilde \gamma j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0, \gamma j\} , j = 1,m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
588 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК
Объединяя теорему 1.1 с теоремой 1.1 из [12], в соответствии с (1.1) получаем оценку роста
| Pn(z)| во всей комплексной плоскости.
Следствие 1.2. При условиях теоремы 1.1 для каждых Pn \in \wp n, n \in \BbbN , \gamma j > - 2 и
произвольно малого \varepsilon > 0 имеем
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c3\| Pn\| p
\left\{
n
(2+\widetilde \gamma )\widetilde \nu \ast
p , z \in G\Omega
1+
\varepsilon 1
n
,
An,2
d
2
p
\Bigl(
z, L1+
\varepsilon 1
n
\Bigr) \bigm| \bigm| \Phi (z)\bigm| \bigm| n+1
, z \in \Omega 1+
\varepsilon 1
n
,
где c3 = c3(G, \nu 1, . . . , \nu m, p, \varepsilon ) > 0 и An,2 определено в (1.7).
Теперь приведем соответствующую оценку величины | Pn(z)| в точках z \in G. В этом случае
справедлива следующая теорема.
Теорема 1.2. Пусть p > 0. Предположим, что G \in PAC(\nu 1, . . . , \nu m) для некоторых 0 <
< \nu 1, . . . , \nu m < 1, h(z) определена в (1.2). Тогда для любого Pn \in \wp n, n \in \BbbN , \gamma j > - 2, j = 1, 2,
и сколь угодно малого \varepsilon > 0 имеем\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| \leq c4
An,1
d2/p(z, L)
\| Pn\| Ap , z \in G,
где c4 = c4(G, \nu 1, . . . , \nu m, p, \varepsilon ) > 0 — постоянная, не зависящая от z и n, An,1 определено
в (1.6).
2. Некоторые вспомогательные результаты. На протяжении всей работы для функций
a > 0 и b > 0 будем использовать обозначения a \preceq b (порядковое неравенство), если a \leq cb, и,
соответственно a \asymp b, если c1a \leq b \leq c2a для некоторых постоянных c, c1, c2 (не зависящих
от a и b).
Лемма 2.1 [1]. Пусть L — K -квазиконформная кривая, z1 \in L, z2, z3 \in \Omega \cap \{ z : | z - z1| \preceq
\preceq d(z1, Lr0)\} , wj = \Phi (zj), j = 1, 2, 3. Тогда:
1) соотношения | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| и | w1 - w2| \preceq | w1 - w3| эквивалентны, также
эквивалентны соотношения | z1 - z2| \asymp | z1 - z3| и | w1 - w2| \asymp | w1 - w3| ;
2) если | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| , то\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \epsilon \preceq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z1 - z3
z1 - z2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c ,
где 0 < r0 < 1, \epsilon > 0, c > 0 — постоянные, зависящие от G.
Лемма 2.2 [26, с. 342]. Пусть L — асимптотически конформная кривая. Тогда \Phi и \Psi
принадлежат \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha для всех \alpha < 1 в \Omega и \Delta соответственно.
Лемма 2.3 [2]. Предположим, что L — K -квазиконформная кривая, h(z) определена в
(1.2). Тогда для произвольных Pn(z) \in \wp n, каждых R > 1 и n = 1, 2, . . . имеем
\| Pn\| Ap(h,GR) \preceq \widetilde Rn+ 1
p \| Pn\| Ap(h,G), p > 0,
где \widetilde R = 1 + c(R - 1) и c не зависит от n и R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 589
2.1. Доказательство теоремы 1.1. Предположим, что m = 2, G \in PAC(\nu 1, \nu 2) для
некоторых 0 < \nu 1, \nu 2 < 1 и h(z) определена в (1.2). Пусть \{ \xi j\} , 1 \leq j \leq k \leq n, — нули (если
есть) Pn(z), лежащие на \Omega . Определим функцию Бляшке относительно нулей \{ \xi j\} полинома
Pn(z):
\widetilde Bj(z) :=
\Phi (z) - \Phi (\xi j)
1 - \Phi (\xi j)\Phi (z)
, z \in \Omega , (2.1)
и положим
Bm(z) :=
m\prod
j=1
\widetilde Bj(z), z \in \Omega . (2.2)
Ясно, что
Bm(\xi j) = 0, | Bm(z)| \equiv 1, z \in L; | Bm(z)| < 1, z \in \Omega . (2.3)
Тогда для любого \varepsilon 1, 0 < \varepsilon 1 < 1, существует окружность\Bigl\{
w : | w| = R1 := 1 + \varepsilon 2, 0 < \varepsilon 2 <
\varepsilon 1
n
\Bigr\}
такая, что для каждого j = 1, 2, . . . ,m\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Bj(\zeta )
\bigm| \bigm| \bigm| > 1 - \varepsilon 2, \zeta \in LR1 ,
откуда \bigm| \bigm| Bm(\zeta )
\bigm| \bigm| > (1 - \varepsilon 2)
k \succeq 1, \zeta \in LR1 . (2.4)
Для каждых p > 0 и z \in \Omega положим
Qn,p(z) :=
\biggl[
Pn(z)
Bm(z)\Phi n+1(z)
\biggr] p/2
. (2.5)
Функция Qn,p(z) аналитическая в \Omega , непрерывная на \Omega , Qn,p(\infty ) = 0 и не имеет нулей в
\Omega . Выделим произвольную непрерывную ветвь Qn,p(z), и для этой ветви сохраним то же
обозначение. Согласно интегральному представлению Коши, для неограниченной области \Omega
имеем
Qn,p(z) = - 1
2\pi i
\int
LR1
Qn,p(\zeta )
d\zeta
\zeta - z
, z \in \Omega R1 .
Согласно (2.1) – (2.5) имеем
| Pn(z)| p/2 \leq
\bigm| \bigm| Bm(z)\Phi n+1(z)
\bigm| \bigm| p2
2\pi d(z, LR1)
\int
LR1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Pn(\zeta )
Bm(\zeta )\Phi n+1(\zeta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p/2 | d\zeta | \preceq
\preceq
\bigm| \bigm| \Phi n+1(z)
\bigm| \bigm| p2
d(z, LR1)
\int
LR1
| Pn(\zeta )| p/2 | d\zeta | . (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
590 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК
Умножив числитель и знаменатель последнего подынтегрального выражения на h1/2(\zeta ), за-
менив переменную t = \Phi (\zeta ) и применив неравенство Коши – Буняковского – Шварца, получим\left( \int
LR1
| Pn(\zeta )|
p
2 | d\zeta |
\right)
2
\leq
\left( \int
| t| =R1
h(\Psi (t)) | Pn (\Psi (t))| p
\bigm| \bigm| \Psi \prime (t)
\bigm| \bigm| 2 | dt|
\right)
\left( \int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))
\right) =
=
\left( \int
| t| =R1
| fn,p(t)| p | dt|
\right)
\left( \int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))
\right) =: AnDn, (2.7)
где
fn,p(t) := h
1
p
\bigl(
\Psi (t)
\bigr)
Pn
\bigl(
\Psi (t)
\bigr) \bigl(
\Psi \prime (t)
\bigr) 2
p , | t| = R1.
Для оценки интеграла An разбиваем окружность | t| = R1 на n равных частей \delta n с \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta n =
=
2\pi R1
n
и, применяя теорему о среднем значении, получаем
An : =
\int
| t| =R1
| fn,p (t)| p | dt| =
=
n\sum
k=1
\int
\delta k
| fn,p (t)| p | dt| =
n\sum
k=1
\bigm| \bigm| fn,p(t\prime k)\bigm| \bigm| p\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta k, t\prime k \in \delta k.
Применяя оценку среднего значения\bigm| \bigm| fn,p(t\prime k)\bigm| \bigm| p \leq 1
\pi
\bigl(
| t\prime k| - 1
\bigr) 2 \int \int
| \xi - t\prime k| <| t\prime k| - 1
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi ,
имеем
(An)
2 \preceq
n\sum
k=1
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta k
\pi
\bigl(
| t\prime k| - 1
\bigr) 2 \int \int
| \xi - t\prime k| <| t\prime k| - 1
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi , t\prime k \in \delta k.
Принимая во внимание, что по крайней мере два круга с центром t\prime k пересекаются, находим
An \preceq \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \delta 1
(| t\prime 1| - 1)2
\int \int
1<| \xi | <R
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi \preceq n
\int \int
1<| \xi | <R
| fn,p(\xi )| p d\sigma \xi .
Согласно лемме 2.3, для An получаем
An \preceq n
\int \int
GR\setminus G
h(\zeta ) | Pn(\zeta )| p d\sigma \zeta \preceq n
\bigm\| \bigm\| Pn
\bigm\| \bigm\| p
p
. (2.8)
Для оценки интеграла Dn обозначим wj := \Phi (zj), \varphi j := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}wj , j = 1, 2, и для каждого
фиксированного \rho > 1 определим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 591
\Delta 1(\rho ) :=
\biggl\{
t = rei\theta : r > \rho ,
\varphi 1 + \varphi 2
2
\leq \theta < 2\pi - \varphi 1 + \varphi 2
2
\biggr\}
,
\Delta 2(\rho ) :=
\biggl\{
t = rei\theta : r > \rho , 2\pi - \varphi 1 + \varphi 2
2
\leq \theta < 2\pi +
\varphi 1 + \varphi 2
2
\biggr\}
,
(2.9)
\Delta j := \Delta j(1), \Omega j := \Psi (\Delta j), \Omega j
\rho := \Psi (\Delta j(\rho )),
Lj := L \cap \Omega
j
, L = L1 \cup L1, Lj
\rho := L\rho \cap \Omega
j
\rho , L\rho = L1
\rho \cup L2
\rho , j = 1, 2,
и
\Phi (LR1) = \Phi
\left( 2\bigcup
j=1
Lj
R1
\right) =
2\bigcup
j=1
\Phi (Lj
R1
) =
2\bigcup
j=1
2\bigcup
i=1
Kj
i (R1),
где
Kj
1(R1) :=
\Bigl\{
t \in \Phi (Lj
R1
) : | t - wj | < cj
\Bigr\}
, Kj
2(R1) := \Phi (Lj
R1
)\setminus Kj
1(R1), j = 1, 2.
Тогда
Dn =
\int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))
\preceq
2\sum
j=1
\int
\Phi (Lj
R1
)
| dt| \prod 2
j=1
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
\asymp
\asymp
2\sum
j=1
\int
\Phi (Lj
R1
)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
:=
2\sum
j=1
Dn,j , (2.10)
так как точки \{ zj\} 2j=1 \in L различны. Осталось оценить интегралы
Dn,j :=
\int
\Phi (Lj
R1
)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
(2.11)
для каждого j = 1, 2. Теперь определим
Dn,j =
2\sum
i=1
\int
Kj
i (R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
= :
2\sum
i=1
Di
n,j . (2.12)
Случай 1. Поскольку G \in PAC(\nu 1, \nu 2) для некоторых 0 < \nu 1, \nu 2 < 1, то, согласно [26],
\psi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p} \nu j и \Phi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}
1
2 - \nu j
, i = 1, 2, в некоторых фиксированных cj -окрестностях точек zj .
Поэтому для каждого j = 1, 2 получаем
D1
n,j =
\int
Kj
1(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
\preceq
\int
Kj
1(R1)
| dt|
| t - wj | \gamma j(2 - \nu j)
\preceq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
592 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК
\preceq
\left\{
n\gamma j(2 - \nu j) - 1, если \gamma j(2 - \nu j) > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, если \gamma j(2 - \nu j) = 1,
1, если - 2 < \gamma j(2 - \nu j) < 1,
(2.13)
при \gamma j \geq 0 и, учитывая лемму 2.1,
D1
n,j =
\int
Kj
1(R1)
| \Psi (t) - \Psi (wj)| ( - \gamma j) | dt| \preceq
\int
Kj
1(R1)
| t - wj | ( - \gamma j)\epsilon | dt| \leq
\leq (cj)
- \gamma j\epsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}Kj
1(R1) \preceq 1 (2.14)
при \gamma j < 0.
Случай 2. Аналогично, согласно лемме 2.2, для каждого j = 1, 2 имеем
D2
n,j =
\int
Kj
2(R1)
| dt|
| \Psi (t) - \Psi (wj)| \gamma j
\preceq
\int
Kj
2(R1)
| dt|
| t - wj | \gamma j(1+\varepsilon )
\preceq
\preceq
\left\{
n\gamma j - 1+\varepsilon , если \gamma j > 1 - \varepsilon ,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, если \gamma j = 1 - \varepsilon ,
1, если - 2 < \gamma j < 1 - \varepsilon ,
(2.15)
при \gamma j \geq 0 и
D2
n,j \preceq
\int
Kj(R1)
| t - w1| - \gamma j\epsilon | dt| \preceq 1 (2.16)
при \gamma 1 < 0.
Следовательно, учитывая (2.10) – (2.16), получаем
Dn \preceq
2\sum
j=1
\left\{
n\gamma j\nu
\ast
j - 1, если \gamma j\nu
\ast
j > 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}n, если \gamma j\nu
\ast
j = 1,
1, если - 2 < \gamma j\nu
\ast
j < 1,
где
\nu \ast j :=
\left\{ 2 - \nu j , 0 < \nu j < 1,
1 + \varepsilon , \varepsilon > 0, \nu j = 1.
(2.17)
Объединяя соотношения (2.6) – (2.8) и (2.17), завершаем доказательство.
2.2. Доказательство теоремы 1.2. Предположим, что m = 2, G \in PAC(\nu 1, \nu 2) для
некоторых 0 < \nu 1, \nu 2 < 1 и h(z) определена в (1.2). Пусть w = \varphi R(z) для каждого R > 1
обозначает однолистное конформное отображение GR на B :=
\bigl\{
w : | w| < 1
\bigr\}
, нормированное
условием \varphi R(0) = 0, \varphi \prime
R(0) > 0, и \{ \zeta j\} , 1 \leq j \leq m \leq n, — нули Pn(z), лежащие в GR. Пусть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 593
bm,R(z) :=
m\prod
j=1
\widetilde bj,R(z) = m\prod
j=1
\varphi R(z) - \varphi R(\zeta j)
1 - \varphi R(\zeta j)\varphi R(z)
(2.18)
обозначает функцию Бляшке относительно нулей \{ \zeta j\} , 1 \leq j \leq m \leq n, на Pn(z) [33]. Ясно,
что \bigm| \bigm| bm,R(z)
\bigm| \bigm| \equiv 1, z \in LR, и
\bigm| \bigm| bm,R(z)
\bigm| \bigm| < 1, z \in GR. (2.19)
Для любых p > 0 и z \in GR положим
Tn.p(z) :=
\biggl[
Pn(z)
bm,R(z)
\biggr] p/2
.
Функция Tn,p(z) аналитична в GR, непрерывна на GR и не имеет нулей в GR. Выделим
произвольную непрерывную ветвь Tn,p(z), и для этой ветви сохраним то же обозначение.
Согласно интегральному представлению Коши, в GR имеем
Tn,p(z) =
1
2\pi i
\int
LR
Tn,p(\zeta )
d\zeta
\zeta - z
, z \in G.
Теперь в соответствии с (2.19) получаем
| Pn(z)|
p/2
\leq
\bigm| \bigm| bm,R(z)
\bigm| \bigm| p/2
2\pi
\int
LR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Pn(\zeta )
bm,R(\zeta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p/2 | d\zeta |
| \zeta - z|
\preceq
\preceq 1
d(z, L)
\int
LR
| Pn(\zeta )|
p/2
| d\zeta | . (2.20)
Умножая числитель и знаменатель последнего подынтегрального выражения на h1/2(\zeta ), заме-
няя переменную t = \Phi (\zeta ) и применяя неравенство Коши – Буняковского – Шварца, получаем\left( \int
LR
| Pn(\zeta )|
p
2 | d\zeta |
\right)
2
\leq
\leq
\left( \int
| t| =R
h(\Psi (t)) | Pn (\Psi (t))| p
\bigm| \bigm| \Psi \prime (t)
\bigm| \bigm| 2 | dt|
\right)
\left( \int
| t| =R
| dt|
h(\Psi (t))
\right) =
=
\left( \int
| t| =R
| fn,p(t)| p | dt|
\right)
\left( \int
| t| =R
| dt|
h(\Psi (t))
\right) , (2.21)
где fn,p(t) определена в (2.7). Поскольку R > 1 произвольно, то (2.21) справедливо также для
R = R1 := 1 +
\varepsilon 1
n
, 0 < \varepsilon 1 < 1. Таким образом, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
594 Ф. Г. АБДУЛЛАЕВ, Г. A. АБДУЛЛАЕВ, Д. ШИМШЕК\left( \int
LR1
| Pn(\zeta )|
p
2 | d\zeta |
\right)
2
\leq
\left( \int
| t| =R1
| fn,p(t)| p | dt|
\right)
\left( \int
| t| =R1
| dt|
h(\Psi (t))
\right) =: AnDn, (2.22)
где An и Dn определены в (2.7). Объединяя соотношения (2.20), (2.22) с (2.8) и (2.17), завер-
шаем доказательство.
Литература
1. Abdullayev F. G., Andrievskii V. V. On the orthogonal polynomials in the domains with K -quasiconformal boundary //
Izv. Akad. Nauk Azerb. SSR. Ser. FTM. – 1983. – 1. – P. 3 – 7 (in Russian).
2. Abdullayev F. G. On the some properties of the orthogonal polynomials over the region of the complex plane. Pt III //
Ukr. Math. J. – 2001. – 53, № 12. – P. 1934 – 1948.
3. Abdullayev F. G. On the interference of the weight boundary contour for orthogonal polynomials over the region //
J. Comput. Anal. and Appl. – 2004. – 6, № 1. – P. 31 – 42.
4. Abdullayev F. G., Özkartepe P. An analogue of the Bernstein – Walsh lemma in Jordan regions of the complex plane //
J. Inequal. and Appl. – 2013. – 570. – P. 1 – 7.
5. Abdullayev F. G., Gün C. D. On the behavior of the algebraic polynomials in regions with piecewise smooth boundary
without cusps // Ann. Polon. Math. – 2014. – 111. – P. 39 – 58.
6. Abdullayev F. G., Özkartepe N. P. On the behavior of the algebraic polynomial in unbounded regions with piecewise
Dini-smooth boundary // Ukr. Math. J. – 2014. – 66, № 5. – P. 579 – 597.
7. Abdullayev F. G., Özkartepe N. P. Uniform and pointwise Bernstein – Walsh-type inequalities on a quasidisk in the
complex plane // Bull. Belg. Math. Soc. – 2016. – 23, № 2. – P. 285 – 310.
8. Abdullayev F. G., Özkartepe P. On the growch of algebraic polynomials in the whole complex plane // J. Korean
Math. Soc. – 2015. – 52, № 4. – P. 699 – 725.
9. Abdullayev F. G., Özkartepe P. Uniform and pointwise polynomial inequalities in regions with cusps in the weighted
Lebesgue space // Jaen J. Approxim. – 2015. – 7, № 2. – P. 231 – 261.
10. Abdullayev F. G., Tunç T. Uniform and pointwise polynomial inequalities in regions with asymptotically conformal
curve on weighted Bergman space // Lobachevskii J. Math. – 2017. – 38, № 2. – P. 193 – 205.
11. Abdullayev F. G., Tunç T., Abdullayev G. A. Polynomial inequalities in quasidisks on weighted Bergman space // Ukr.
Math. J. – 2017. – 69, № 5. – P. 675 – 695.
12. Abdullayev G. A., Abdullayev F. G., Taylakova A. Polynomial inequalities in regions bounded by piecewise
asymptotically conformal curve with nonzero angles in the Bergman space // Adv. Anal. – 2018. – 3, № 4. –
P. 143 – 153.
13. Ahlfors L. Lectures on quasiconformal mappings. – Princeton, NJ: Van Nostrand, 1966.
14. Anderson J. M., Becker J., Lesley F. D. Boundary values of asymptotically conformal mapping // J. London Math.
Soc. – 1988. – 38, № 2. – P. 453 – 462.
15. Belinskii P. P. General properties of quasiconformal mappings. – Novosibirsk: Nauka, 1974 (in Russian).
16. Becker J., Pommerenke C. Über die quasikonforme Fortsetzung schlichten Funktionen // Math. Z. – 1978. – 161. –
S. 69 – 80.
17. Bernstein S. N. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par les polynomes de degre donne //
Mem. Cl. Sci. Acad. Roy. Belg. – 1912. – 4, № 2. – P. 1 – 103.
18. Dyn’kin E. M. Nonanalytic symmetry principle and conformal mappings // St.Petersburg Math. J. – 1994. – 5. –
P. 523 – 544.
19. Dzjadyk V. K. Introduction to the theory of uniform approximation of function by polynomials. – Moskow: Nauka,
1977.
20. Gutlyanskii V., Ryazanov V. On asymptotically conformal curves // Complex Var. – 1994. – 25. – P. 357 – 366.
21. Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the local behaviour of quasi-conformal mappings // Izv. Math. – 1995. – 59, № 3. –
P. 471 – 498.
22. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I. On quasi-circles and asymptotically conformal circles // Dokl. Ross. Akad. Nauk. –
1993. – 330, № 5. – P. 546 – 548 (English transl.: Russ. Acad. Sci. Math. – 1993. – 47. – P. 563 – 566).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА – УОЛША . . . 595
23. Faber G. Über nach Polynomen fortschreitende Reihen // Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. – 1922. – S. 157 – 178.
24. Hille E., Szegö G., Tamarkin J. D. On some generalization of a theorem of A. Markoff // Duke Math. – 1937. – 3. –
P. 729 – 739.
25. Lehto O., Virtanen K. I. Quasiconformal mapping in the plane. – Berlin: Springer-Verlag, 1973.
26. Lesley F. D. Hölder continuity of conformal mappings at the boundary via the strip method // Indiana Univ. Math.
J. – 1982. – 31. – P. 341 – 354.
27. Rickman S. Characterization of quasiconformal arcs // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 1966. – 395.
28. Pommerenke Ch. Univalent functions. – Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1975.
29. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. – Berlin: Springer-Verlag, 1992.
30. Pommerenke Ch., Warschawski S. E. On the quantitative boundary behavior of conformal maps // Comment. Math.
Helv. – 1982. – 57. – P. 107 – 129.
31. Stylianopoulos N. Strong asymptotics for Bergman polynomials over domains with corners and applications // Const.
Approxim. – 2013. – 38. – P. 59 – 100.
32. Dzyadyk K. V., Shevchuk I. A. Theory of uniform approximation of functions by polynomials. – Walter de Gruyter,
2008. – 480 p.
33. Walsh J. L. Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain. – Amer. Math. Soc., 1960.
Получено 31.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1459 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/9dbf6375a37a48888e5aba04d1da7ca8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14592019-12-05T08:56:08Z Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner angles in the Bergman space Полиномиальные неравенства типа Бернштейна – Уолша в областях, ограниченных кусочно асимптотически конформной кривой с внутренними ненулевыми углами в пространстве Бергмана Abdullayev, G. A. Abdullayev, F. G. Şimşek, D. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. UDC 517.5 We continue the investigation of the order of growth of the modulus of an arbitrary algebraic polynomial in the Bergman weight space, where the contour and weight functions have certain singularities. In particular, we deduce a Bernstein– Walsh-type pointwise estimate for algebraic polynomials in unbounded domains with a piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner angles in the Bergman weight space. УДК 517.5 Продовжено вивчення порядку зростання модуля довiльного алгебраїчного полiнома у ваговому просторi Бергмана, де контур i ваговi функцiї мають деякi особливостi. Зокрема, отримано початкову оцiнку типу Бернштейна –Уолша для алгебраїчних полiномiв у необмежених областях з кусково асимптотично конформною кривою з внутрiшнiми ненульовими кутами у ваговому просторi Бергмана Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1459 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 583-595 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 583-595 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1459/443 Copyright (c) 2019 Abdullayev G. A.; Abdullayev F. G.; Şimşek D. |
| spellingShingle | Abdullayev, G. A. Abdullayev, F. G. Şimşek, D. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. Абдуллаев, Г. А. Абдуллаев, Ф. Г. Шимшек, Д. Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner angles in the Bergman space |
| title | Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the Bergman space |
| title_alt | Полиномиальные неравенства типа
Бернштейна – Уолша в областях, ограниченных кусочно асимптотически конформной
кривой с внутренними ненулевыми углами в пространстве Бергмана |
| title_full | Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the Bergman space |
| title_fullStr | Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the Bergman space |
| title_full_unstemmed | Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the Bergman space |
| title_short | Bernstein – Walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the Bergman space |
| title_sort | bernstein – walsh-type polynomial inequalities
in domains bounded by piecewise asymptotically conformal curve with nonzero inner
angles in the bergman space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1459 |
| work_keys_str_mv | AT abdullayevga bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullayevfg bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT simsekd bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullaevga bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullaevfg bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT šimšekd bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullaevga bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullaevfg bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT šimšekd bernsteinwalshtypepolynomialinequalitiesindomainsboundedbypiecewiseasymptoticallyconformalcurvewithnonzeroinneranglesinthebergmanspace AT abdullayevga polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT abdullayevfg polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT simsekd polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT abdullaevga polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT abdullaevfg polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT šimšekd polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT abdullaevga polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT abdullaevfg polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana AT šimšekd polinomialʹnyeneravenstvatipabernštejnauolšavoblastâhograničennyhkusočnoasimptotičeskikonformnojkrivojsvnutrenniminenulevymiuglamivprostranstvebergmana |