New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$
UDC 514.75:517.53 We establish a new criterion for the analyticity of a function $w=u+iv$ or $\overline{w}=u-iv,$ $u(x, y),$ $v(x, y) \in C^1(G)$ in the domain $G.$ It is expressed via the metric tensors of the surfaces $Z=u$ and $Z=v\colon g_{11}-a_{22}=0,$ $g_{12}+a_{12} =0,$ $g_{22}-a_{11...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1460 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507216133488640 |
|---|---|
| author | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. |
| author_facet | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. |
| author_sort | Bezkorovaina, L. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 514.75:517.53
We establish a new criterion for the analyticity of a function $w=u+iv$ or
$\overline{w}=u-iv,$ $u(x, y),$ $v(x, y) \in C^1(G)$ in the domain $G.$
It is expressed via the metric tensors of the surfaces $Z=u$ and $Z=v\colon g_{11}-a_{22}=0,$ $g_{12}+a_{12} =0,$ $g_{22}-a_{11}=0.$
We also discover some other equivalents of the analytic function and establish the invariance of the obtained relations under conformal transformations.
The generalized version of the new criterion is also proposed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.75:517.53
Л. Л. Безкоровайная (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ: ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ЧЕРЕЗ МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ \bfitZ = \bfitu , \bfitZ = \bfitv
We establish a new criterion for the analyticity of a function w = u + iv or w = u - iv, u(x, y), v(x, y) \in C1(G) in
the domain G. It is expressed via the metric tensors of the surfaces Z = u and Z = v : g11 - a22 = 0, g12 + a12 = 0,
g22 - a11 = 0. We also discover some other equivalents of the analytic function and establish the invariance of the obtained
relations under conformal transformations. The generalized version of the new criterion is also proposed.
Знайдено новий критерiй аналiтичностi в областi G функцiї w = u+ iv або w = u - iv, u(x, y), v(x, y) \in C1(G),
що виражений через метричнi тензори поверхонь Z = u i Z = v : g11 - a22 = 0, g12 + a12 = 0, g22 - a11 =
= 0. Виявлено деякi iншi еквiваленти аналiтичної функцiї i встановлено iнварiантнiсть одержаних спiввiдношень
вiдносно конформних перетворень. Отримано узагальнений варiант нового критерiю.
1. Введение и постановка задачи. Б. Риман ввел понятие поверхности, которая теперь на-
зывается римановой, и положил начало обоснованию геометрических характеристик в теории
аналитических функций [1, 2]. Почти каждое свойство аналитической функции является носи-
телем интерпретаций. Конформные отображения, осуществляемые аналитическими функция-
ми, находят существенные приложения к различным областям физики.
Введение многомерного комплексного пространства вызвало новый поток научных устрем-
лений, проявившийся в обобщениях понятий комплексного числа, аналитической функции
[3 – 5] конформного и гармонического отображений [6 – 8] и др. Расширяется ареал и геомет-
рических соответствий [9, 10].
Объектом статьи являются геометрические аспекты понятия аналитической функции одной
комплексной переменной. Известны различные определения аналитической функции. Конечно,
они эквивалентны между собой, иными словами, являются математическими эквивалентами.
Каждый эквивалент аналитической функции, по существу, представляет собой одну из ее ма-
тематических моделей, которая может быть положена в основу теории. Для аналитической
функции естественно предполагать существование разнообразных эквивалентов и геометриче-
ского характера. Этой теме посвящена данная работа.
В 1960 г. В. К. Дзядык доказал теорему, которая, раскрывая геометрическую сущность
аналитической функции одной комплексной переменной, позволила ввести геометрическое
определение этого понятия.
Теорема 1 (критерий аналитичности В. К. Дзядыка) [11]. Пусть в некоторой области G
заданы две действительные функции u(x, y) и v(x, y), непрерывные вместе со своими част-
ными производными ux, uy, vx и vy. Тогда для того, чтобы функция
w(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) (1)
была аналитической или сопряженной к аналитической в области G, необходимо и достаточ-
но, чтобы все три поверхности
Z = u(x, y), Z = v(x, y), (2)
c\bigcirc Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ, 2019
596 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 597
Z =
\sqrt{}
u2(x, y) + v2(x, y) (3)
имели над произвольной областью G0 \subset G равные площади.
В 1964 г. A. W. Goodman доказал [12], что теорема В. К. Дзядыка остается в силе, если в
ней поверхность (3) заменить поверхностью Z = \varphi (u, v), где функция \varphi (u, v) удовлетворяет
уравнению \varphi 2
u + \varphi 2
v = 1. Решения этого дифференциального уравнения изучались в [13].
В своем варианте обобщения теоремы В. К. Дзядыка Ю. Ю. Трохимчук в 2007 г. вместо
требования непрерывности частных производных функций u, v ограничился требованием их
существования всюду в области G. Поверхность (3) в предложенном обобщенном варианте
критерия аналитичности Ю. Ю. Трохимчук заменил поверхностью Z = \alpha u + \beta v, где \alpha , \beta —
постоянные, для которых выполняется условие \alpha 2 + \beta 2 = 1 [14, 15].
Поверхности (2) являются объектами исследований и в [16, 17].
Функции u(x, y), v(x, y), как действительная и мнимая части аналитической в области
G функции комплексной переменной w(z), являются сопряженными и гармоническими. Эти
качества, естественно, геометрически воплощены в паре поверхностей (2) как едином целом.
В работе [18] гармоническая сопряженность поверхностей (2) исследуется на „устойчивость”
и степень произвола относительно ареальных бесконечно малых деформаций. Поверхности
вида (2), ассоциированные с аналитической или сопряженной к аналитической в области G
функцией w = u+ iv (1), будем называть u- и v- поверхностями соответственно.
Обозначим через gij и aij , i, j = 1, 2, метрические тензоры u- и v-поверхностей соот-
ветственно, а через bij и \lambda ij их вторые фундаментальные тензоры. Между компонентами
одноименных фундаментальных тензоров имеют место зависимости
a11 = g22, a12 = - g12, a22 = g11,
\lambda 11 = - b12, \lambda 12 = b11 = - b22, \lambda 22 = b12 = - \lambda 11,
(4)
которые являются инвариантными при невырожденных конформных преобразованиях первого
(второго) рода [19].
Соотношения (4) свидетельствуют о глубоких и тесных связях пары u- и v-поверхностей,
выражая их двойственность (дуальность). Первые три из них представлены исключительно че-
рез метрические тензоры и не изменяются при их перестановке, т. е. являются симметричными.
Будем называть их метрическими соотношениями (условиями) дуальности поверхностей.
В данной статье мы изучаем свойства метрических условий дуальности (теоремы 2 – 4, 7,
8, 10, 12), находим их геометрические интерпретации (теоремы 7, 10) в предположении, что
u(x, y) и v(x, y) — заданные в некоторой области G функции, непрерывные вместе со своими
частными производными первого порядка. Класс таких функций будем обозначать через C1
или же C1(G). Исследования статьи направлены на то, чтобы найти новые, геометрического
характера, необходимые и достаточные условия того, чтобы функция w либо w в области G
была аналитической, и представить их через метрические тензоры поверхностей Z = u, Z = v,
u, v \in C1(G). Эта задача реализована теоремами 8 и 12.
Существенное внимание уделяется поиску звеньев, связывающих теорему В. К. Дзядыка с
теоремой 8. С одной стороны, таким звеном оказалось требование равенства дискриминантов
g = a = \gamma метрических форм всех трех поверхностей Z = u, Z = v, Z =
\surd
u2 + v2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
598 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
u, v \in C1(G), а с другой — эквиареальное отображение с сохранением площади этих же
поверхностей.
В теореме 11 соединены воедино все обнаруженные эквиваленты, а в теореме 12 новый
критерий представлен в обобщенной форме.
2. О некоторых дифференциально-геометрических характеристиках поверхностей \bfitZ =
= \bfitu , \bfitZ = \bfitv и \bfitZ =
\surd
\bfitu \bftwo + \bfitv \bftwo класса \bfitC \bfone . Пусть в трехмерном евклидовом пространстве
E3 дана декартова система координат OxyZ. В некоторой области G плоскости Oxy зададим
две функции u(x, y) и v(x, y), принадлежащие классу C1. Над областью G рассмотрим две
поверхности
Z = u(x, y), Z = v(x, y), (5)
для которых введем естественные параметризации (G, r) и (G, \rho ) соответственно:
r = (x, y, u(x, y)), \rho = (x, y, v(x, y)). (6)
Очевидно, эти поверхности также принадлежат классу C1(G).
Найдем компоненты метрического тензора gij поверхности Z = u по известным формулам
gij = rirj , предположив, что все индексы принимают значения 1, 2 и x = x1, y = x2 [20,
c. 170] (ч. 1):
r1 =
\partial r
\partial x1
=
\partial r
\partial x
= (1, 0, ux), r2 =
\partial r
\partial x2
=
\partial r
\partial y
= (0, 1, uy),
r1 \times r2 = ( - ux, - uy, 1), ux =
\partial u
\partial x
, uy =
\partial u
\partial y
,
g11 = r1
2 = 1 + u2x, g12 = r1r2 = uxuy, g22 = r2
2 = 1 + u2y. (7)
Метрическая форма поверхности Z = u имеет вид
I = g11dx
2 + 2g12 dx dy + g22dy
2 = (1 + u2x)dx
2 + 2uxuy dx dy + (1 + u2y)dy
2.
Дискриминант метрической формы (метрического тензора) поверхности Z = u
g = g11g22 - g212 = 1 + u2x + u2y. (8)
Аналогично находим метрический тензор aij = \rho i\rho j и метрическую форму I\rho поверхности
Z = v:
\rho 1 =
\partial \rho
\partial x
= (1, 0, vx), \rho 2 =
\partial \rho
\partial y
= (0, 1, vy), \rho 1 \times \rho 2 = ( - vx, - vy, 1),
a11 = \rho 1
2 = 1 + v2x, a12 = \rho 1\rho 2 = vxvy, a22 = \rho 2
2 = 1 + v2y , (9)
I\rho = a11dx
2 + 2a12 dx dy + a22dy
2 = (1 + v2x)dx
2 + 2vxvy dx dy + (1 + v2y)dy
2.
Дискриминант метрической формы поверхности Z = v
a = a11a22 - a212 = 1 + v2x + v2y . (10)
Над областью G рассмотрим еще одну поверхность
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 599
Z =
\sqrt{}
u2(x, y) + v2(x, y), (11)
где u, v \in C1 — заданные ранее функции. Представив ее в векторно-параметрической форме
R = (x, y, F (x, y)), F (x, y) =
\sqrt{}
u2(x, y) + v2(x, y),
найдем компоненты метрического тензора \gamma ij и метрическую форму Imod :
R1 =
\partial R
\partial x
= (1, 0, Fx), R2 =
\partial R
\partial y
= (0, 1, Fy),
Fx =
uux + vvx\surd
u2 + v2
, Fy =
uuy + vvy\surd
u2 + v2
, (12)
\gamma 11 = R1
2
= 1 + F 2
x , \gamma 12 = R1R2 = FxFy, \gamma 22 = R2
2
= 1 + F 2
y , (13)
Imod = \gamma 11dx
2 + 2\gamma 12 dx dy + \gamma 22dy
2.
После простых преобразований с учетом формул (12), (13) дискриминант метрической формы
поверхности Z =
\surd
u2 + v2 примет вид
\gamma = \gamma 11\gamma 22 - \gamma 212 = 1 + F 2
x + F 2
y =
= 1 +
1
u2 + v2
\Bigl(
u2
\bigl(
u2x + u2y
\bigr)
+ v2(v2x + v2y) + 2uv
\bigl(
uxvx + uyvy
\bigr) \Bigr)
. (14)
Отметим, что в области G для поверхности Z = u, u \in C1, два вида ее задания (5)1 и (6)1
равносильны. В каждой точке на всем заданном протяжении этой поверхности в параметриза-
ции (G, r) выполняется неравенство r1 \times r2 \not = 0, которое является признаком обыкновенной
точки [20, c. 99] (ч. 1). Особых точек на поверхности нет. Вся поверхность простая и является
образом области G в пространстве при гомеоморфизме (G, r). Взаимно однозначное соответ-
ствие между точками области G и точками поверхности наглядно можно представить в виде
проектирования прямыми, параллельными оси OZ. Каждой точке с декартовыми координата-
ми (x, y) \in G оно сопостaвляет точку поверхности с криволинейными координатами (x, y), и
наоборот.
Поскольку u — произвольная функция класса C1 в области G, то поверхности Z = v и
Z =
\surd
u2 + v2 (11) класса C1(G), определенные над областью G в виде явного уравнения,
разрешенного относительно аппликаты, имеют аналогичные свойства.
Таким образом, между поверхностями Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, гомеоморфными об-
ласти G и отнесенными к общим координатам, естественно устанавливается взаимно однознач-
ное точечное соответствие, при котором соответствующие точки характеризуются равенством
криволинейных координат. Этим соответствием все три поверхности, очевидно, гомеоморфно
отображены одна на другой.
3. Метрические условия дуальности для поверхностей класса \bfitC \bfone (\bfitG ), и их инвариант-
ность относительно конформных преобразований. Далее мы докажем некоторые свойства
метрических соотношений дуальности
a11 - g22 = 0, a12 + g12 = 0, a22 - g11 = 0 (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
600 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
применительно к двум поверхностям Z = u и Z = v (5), и только к ним, при условии, что
u и v — заданные в области G функции класса C1.
Поскольку компоненты метрических тензоров gij и aij поверхностей (5) класса C1(G)
имеют выражения (7) и (9), легко убедиться, что для заданных в области G функций u, v \in C1
метрические условия дуальности (15) поверхностей Z = u и Z = v эквивалентны системе
равенств
v2x = u2y, vxvy = - uxuy, v2y = u2x. (16)
Лемма 1. Для заданных в области G функций u, v \in C1 метрические условия дуальнос-
ти (15) поверхностей Z = u и Z = v эквивалентны системе равенств
v2z + u2z = 0, vzvz - uzuz = 0, v2z + u2z = 0. (17)
Доказательство. Пусть имеет место система равенств (15). Докажем, что в таком слу-
чае выполняются равенства (17). С этой целью введем дифференциальные операторы первого
порядка [5, c. 28]
\partial
\partial z
=
1
2
\biggl(
\partial
\partial x
+ i
\partial
\partial y
\biggr)
,
\partial
\partial z
=
1
2
\biggl(
\partial
\partial x
- i
\partial
\partial y
\biggr)
,
\partial
\partial x
=
\partial
\partial z
+
\partial
\partial z
,
\partial
\partial y
= - i
\biggl(
\partial
\partial z
- \partial
\partial z
\biggr)
, z = x+ iy, z = x - iy,
(18)
и представим компоненты gij и aij из формул (7), (9), а также выражения a11 - g22, a12 + g12,
a22 - g11 в комплексном виде
a11 = 1 + v2x = 1 + v2z + 2vzvz + v2z , g22 = 1 + u2y = 1 -
\bigl(
u2z - 2uzuz + u2z
\bigr)
,
a12 = vxvy = - i(v2z - v2z), g12 = uxuy = - i(u2z - u2z),
a22 = 1 + v2y = 1 -
\bigl(
v2z - 2vzvz + v2z
\bigr)
, g11 = 1 + u2x = 1 + u2z + 2uzuz + u2z,
a11 - g22 =
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
+ 2(vzvz - uzuz) +
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
,
a12 + g12 = - i
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
+ i
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
, (19)
a22 - g11 = -
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
+ 2(vzvz - uzuz) -
\bigl(
v2z + u2z
\bigr)
.
При условиях (15) соотношения (19) представляют собой алгебраическую однородную ли-
нейную систему трех уравнений относительно трех неизвестных v2z +u2z, vzvz - uzuz, v
2
z +u2z,
определитель которой \bigtriangleup = - 8i \not = 0. Эта система имеет единственное решение, а именно три-
виальное, которое выражается формулами (17). Наоборот, если имеют место соотношения (17),
то вследствие (19) непосредственно получаем условия дуальности (15).
Лемма 1 доказана.
Теорема 2. Для заданных в области G функций u, v, принадлежащих классу C1, метри-
ческие условия дуальности (15) являются инвариантными относительно конформных преоб-
разований первого (второго) рода.
Доказательство. Допустим, что аналитическая однолистная в области G функция \widetilde z =
= \Phi (z), \Phi \prime (z) \not = 0, \widetilde z = \widetilde x+ i\widetilde y, реализует конформное преобразование первого рода области G
в некоторую область G\widetilde z. Тогда, очевидно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 601
\partial \widetilde z
\partial z
= \Phi \prime (z),
\partial \widetilde z
\partial z
= 0, \widetilde z = \Phi (z),
\partial \widetilde z
\partial z
= \Phi \prime (z),
\partial \widetilde z
\partial z
= 0. (20)
С учетом (20) найдем законы конформного преобразования всех выражений, входящих в соот-
ношения (19):
vz =
\partial v
\partial z
=
\partial v
\partial \widetilde z \partial \widetilde z\partial z = v\widetilde z\Phi \prime (z), vz = v\widetilde z\Phi \prime (z),
uz = u\widetilde z\Phi \prime (z), uz = u\widetilde z\Phi \prime (z),
(21)
v2z + u2z =
\bigl(
v2\widetilde z + u2\widetilde z\bigr) \Phi \prime (z)
2
,
vzvz - uzuz =
\bigl(
v\widetilde zv\widetilde z - u\widetilde zu\widetilde z\bigr) \Phi \prime (z)\Phi \prime (z),
v2z + u2z =
\bigl(
v2\widetilde z + u2\widetilde z\bigr) \Phi \prime 2(z).
(22)
По предположению теоремы левые части системы равенств (22) равны нулю в силу эквива-
лентности соотношений (15) и (17) (лемма 1). Поскольку мы ограничиваемся невырожденными
конформными преобразованиями, при которых \Phi \prime (z) \not = 0 в каждой точке области G, то из (22)
получаем
v2\widetilde z + u2\widetilde z = 0, v\widetilde zv\widetilde z - u\widetilde zu\widetilde z = 0, v2\widetilde z + u2\widetilde z = 0.
Отсюда следует, что при конформных преобразованиях система равенств (17) не изменила свой
вид. Значит, она является инвариантной.
Базируясь на соотношениях (19), докажем инвариантность метрических условий дуально-
сти (15). Представим, например, сумму a12 + g12 (19)2 в новых координатах \widetilde x, \widetilde y :
a12(x, y) + g12(x, y) = - i
\bigl(
v2\widetilde z + u2\widetilde z\bigr) + i
\bigl(
v2\widetilde z + u2\widetilde z\bigr) = a12
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) + g12
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) = 0.
Аналогично получим a11
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) - g22
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) = 0, a22
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) - g11
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) = 0.
Итак, мы установили, что при переходе от координат x, y к новым координатам \widetilde x, \widetilde y метри-
ческие условия дуальности не изменяются, что подтверждает их инвариантность относительно
конформных преобразований первого рода. В случае конформных преобразований второго рода
доказательство теоремы аналогично.
Теорема 2 доказана.
В дальнейших исследованиях попытаемся детальнее раскрыть геометрические связи между
различными аналогами аналитической в области функции.
4. Метрические условия дуальности и их связь с равенством дискриминантов метри-
ческих форм поверхностей \bfitZ = \bfitu , \bfitZ = \bfitv и \bfitZ =
\surd
\bfitu \bftwo + \bfitv \bftwo .
Теорема 3. Если компоненты метрических тензоров поверхностей Z = u и Z = v, u, v \in
\in C1(G), в области G удовлетворяют метрическим условиям дуальности (15), то в G имеет
место равенство дискриминантов g = a = \gamma метрических форм всех трех поверхностей
Z = u, Z = v, Z =
\surd
u2 + v2.
Доказательство. Действительно, принимая во внимание зависимости (15), непосредствен-
но получаем равенство дискриминантов для двух поверхностей Z = u и Z = v:
a = a11a22 - a212 = g11g22 - g212 = g. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
602 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Чтобы преобразовать дискриминант \gamma третьей поверхности, вернемся к равенствам (16),
эквивалентным заданным условиям (15). Заменяя полученное из них выражение v2x + v2y в
формуле (14) на u2x + u2y, приводим его к виду
\gamma = 1 + u2x + u2y +
2uv
u2 + v2
(uxvx + uyvy) . (24)
Докажем теперь, что здесь выражение в скобках тождественно равно нулю. Рассмотрим два
случая: ux = 0 и ux \not = 0. В первом случае на основании третьего из равенств (16) получаем
vy = 0. Отсюда непосредственно следует uxvx + uyvy = 0. Во втором случае воспользуемся
формулой uy = - vxvy
ux
, полученной из второго соотношения (16):
uxvx + uyvy = uxvx -
vxv
2
y
ux
=
vx
ux
(u2x - v2y) = 0.
Выражение в скобках здесь равно нулю в силу третьего из соотношений (16).
На основании формул (23), (24) и (8) заключаем, что a = g, \gamma = g.
Теорема 3 доказана.
Докажем теперь теорему 4, обратную к теореме 3.
Теорема 4. Если три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in C1(G), в области
G имеют равные дискриминанты метрических форм, то компоненты метрических тензоров
двух из них Z = u и Z = v в области G удовлетворяют метрическим условиям дуальности.
Доказательство. Пусть u, v — заданные в области G функции класса C1. Рассмотрим три
поверхности (5), (11) и предположим, что для дискриминантов их метрических форм имеет
место система равенств g = a, g = \gamma . Требуется доказать, что компоненты метрических
тензоров поверхностей Z = u и Z = v удовлетворяют метрическим условиям дуальности (15)
или, что то же самое, эквивалентным соотношениям (16).
Прежде всего заметим, что если учесть соотношения (8) и (10), равенство g = a дает
u2x + u2y = v2x + v2y . (25)
Тогда в силу (8), (14) равенство g = \gamma эквивалентно равенствам
1 + u2x + u2y = 1 +
1
u2 + v2
\bigl(
u2(u2x + u2y) + v2(v2x + v2y) + 2uv(uxvx + uyvy)
\bigr)
\Leftarrow \Rightarrow
\Leftarrow \Rightarrow uxvx + uyvy = 0. (26)
Итак, частные производные функций u, v по необходимости удовлетворяют системе урав-
нений (25), (26). Докажем, что все три равенства (16) являются следствием уравнений (25),
(26). При этом рассмотрим два случая: ux = 0 и ux \not = 0.
Случай 1. Если ux = 0, то в силу (26) либо uy = 0, либо vy = 0. При ux = uy = 0 из
(25) получаем vx = vy = 0. Эти значения частных производных удовлетворяют всем трем
равенствам (16). При ux = vy = 0, как легко убедиться непосредственной проверкой, все
равенства (16) также следуют из (25), (26).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 603
Случай 2. Если ux \not = 0, то из (26) находим vx = - uyvy
ux
. Заменяя теперь в уравнении (25)
значение vx по этой формуле, убеждаемся, что имеет место третье из равенств (16):
u2x + u2y =
u2yv
2
y
u2x
+ v2y \Leftarrow \Rightarrow u2x + u2y =
v2y
u2x
(u2y + u2x) \Leftarrow \Rightarrow v2y = u2x.
Теперь из (25) непосредственно получаем первое из соотношений (16): v2x = u2y.
Наконец, рассмотрим выражение vxvy + uxuy из (16)2 :
vxvy + uxuy = -
uyv
2
y
ux
+ uxuy =
uy
ux
( - v2y + u2x) = 0.
Таким образом, при условиях теоремы 4 имеют место все три равенства системы (16), откуда
следует выполнение и равносильной системы соотношений (15), составляющих метрические
условия дуальности.
Теорема 4 доказана.
5. Инвариантность равенств \bfitg = \bfita = \bfitgamma относительно конформных преобразований
координат \bfitx , \bfity в области \bfitG .
Лемма 2. Если u и v — заданные в области G функции класса C1, а g и a — дискри-
минанты метрических форм поверхностей Z = u и Z = v, то равенство g = a является
инвариантным относительно невырожденных конформных преобразований координат в об-
ласти G.
Доказательство. Пусть \Phi (z), z = x + iy, — аналитическая однолистная в области G
функция \widetilde z = \Phi (z), \Phi \prime (z) \not = 0, \widetilde z = \widetilde x + i\widetilde y, которая осуществляет конформное преобразование
первого рода области G в некоторую область G\widetilde z. Тогда имеют место формулы (20) и законы
конформного преобразования функций (21), (22).
С учетом формул (8), (10) найдем разность дискриминантов
g - a = u2x + u2y - v2x - v2y . (27)
С помощью дифференциальных операторов (18) перейдем к производным по z, z :
g - a = 4(uzuz - vzvz).
Для выражения в скобках закон конформного преобразования представлен формулой (22),
поэтому
g - a = 4(u\widetilde zu\widetilde z - v\widetilde zv\widetilde z)\Phi \prime (z)\Phi \prime (z).
Отсюда следует, что при конформных преобразованиях первого рода разность g - a преобра-
зуется по формуле
g(x, y) - a(x, y) =
\bigl(
g
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) - a
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) \bigr) \Phi \prime (z)\Phi \prime (z). (28)
По условии леммы левая часть этого равенства, как функция от x, y, равна нулю. В таком
случае в силу \Phi \prime (z) \not = 0 из (28) получаем, что та же функция g - a, выраженная через новые
координаты \widetilde x, \widetilde y, также равна нулю: g
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) - a
\bigl( \widetilde x, \widetilde y\bigr) = 0.
Итак, равенство g - a = 0 в новых координатах не изменило свой вид, что свидетельствует
об его инвариантности при конформных преобразованиях первого рода. Доказательство леммы
в случае конформных преобразований второго рода аналогично.
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
604 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Теорема 5. Система равенств g = a, g = \gamma является инвариантной относительно кон-
формных преобразований первого (второго) рода. Здесь g, a, \gamma — дискриминанты метрических
форм поверхностей Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in C1(G), соответственно.
Доказательство. Инвариантность равенства g = a для двух поверхностей Z = u и Z = v,
u, v \in C1(G), установлена леммой 2. Доказательство инвариантности равенства g = \gamma для
поверхностей Z = u и Z =
\surd
u2 + v2 формально проводится, как в лемме 2, при замене
символов a \rightarrow \gamma , v \rightarrow F, vx \rightarrow Fx, vz \rightarrow Fz и т. д. В случае конформного преобразования
второго рода доказательство теоремы аналогично.
Таким образом, система равенств g = a, g = \gamma для дискриминантов метрических форм
трех поверхностей Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 является инвариантной относительно
любых невырожденных конформных преобразований координат.
Теорема 5 доказана.
6. О равенстве площадей трех поверхностей \bfitZ = \bfitu , \bfitZ = \bfitv и \bfitZ =
\surd
\bfitu \bftwo + \bfitv \bftwo над
произвольной областью \bfitG \bfzero \subset \bfitG .
Лемма 3. Поверхности Z = u и Z = v, u, v \in C1(G), над произвольной областью
G0 \subset G имеют равные площади тогда и только тогда, когда в области G они имеют равные
дискриминанты метрических форм.
Доказательство. Пусть G0 — произвольная область области G, которая проектируется в
области Du и Dv на поверхностях Z = u и Z = v. В силу формул (8) и (10) для площадей
областей Du, Dv справедливы известные формулы [21, c. 81]
\sigma (Du) =
\int \int
G0
\sqrt{}
1 + u2x + u2y dx dy =
\int \int
G0
\surd
g dx dy,
\sigma (Dv) =
\int \int
G0
\sqrt{}
1 + v2x + v2y dx dy =
\int \int
G0
\surd
a dx dy.
(29)
Если площади областей Du и Dv равны по любой области G0 \subset G, то
\sigma (Du) = \sigma (Dv) \Rightarrow
\int \int
G0
\surd
g dx dy =
\int \int
G0
\surd
a dx dy \Rightarrow (30)
\Rightarrow
\int \int
G0
(
\surd
g -
\surd
a) dx dy = 0. (31)
Поскольку u и v, как функции класса C1, в области G непрерывны вместе со своими
частными производными, то (
\surd
g -
\surd
a) является непрерывной в G функцией. В таком случае
интеграл (31) по произвольной области G0 \subset G равен нулю тогда и только тогда, когда подын-
тегральная функция тождественно равна нулю в G. Отсюда следует заключение о равенстве
дискриминантов g и a в области G.
Наоборот, пусть в G имеет место равенство g = a и G0 \subset G — произвольная область. Тогда,
возвращаясь в своих рассуждениях шаг за шагом назад, мы придем к равенству \sigma (Du) = \sigma (Dv).
Отсюда следует требуемый результат: поверхности Z = u и Z = v имеют равные площади
над произвольной областью G0 \subset G.
Лемма 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 605
В следующей теореме мы акцентируем внимание на естественной геометрической интер-
претации системы равенств g = a = \gamma . Иная геометрическая интерпретация этих равенств
установлена теоремой 9.
Теорема 6. Три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in C1(G), над произ-
вольной областью G0 \subset G имеют равные площади тогда и только тогда, когда в области G
имеют место равенства g = a = \gamma дискриминантов их метрических форм.
Доказательство. Легко видеть, что все изложенное для случая двух поверхностей в лемме
3 и в ее доказательстве непосредственно переносится на случай трех поверхностей, если их
рассмотреть попарно.
Теорема 6 доказана.
7. Новый критерий аналитичности функции: представление через метрические тен-
зоры поверхностей \bfitZ = \bfitu , \bfitZ = \bfitv .
Теорема 7. Три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in C1(G), над произволь-
ной областью G0 \subset G имеют равные площади тогда и только тогда, когда для метрических
тензоров двух поверхностей Z = u и Z = v в области G выполняются метрические условия
дуальности.
Доказательство. Пусть все три указанные поверхности при условии u, v \in C1(G) над
произвольной областью G0 \subset G имеют равные площади. Тогда по теореме 6 в области G
дискриминанты их метрических форм равны: g = a = \gamma . С другой стороны, согласно теоремы 4
для поверхностей Z = u и Z = v в G имеют место метрические соотношения дуальности (15).
Наоборот, если в области G для поверхностей Z = u, Z = v имеют место метрические
условия дуальности (15), то в силу теоремы 3 в G выполняется система равенств g = a = \gamma .
Тогда из теоремы 6 следует, что все три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 над
произвольной областью G0 \subset G имеют равные площади.
Теорема 7 доказана.
Теорема 8 (новый критерий). Пусть G — некоторая область и u(x, y), v(x, y) — дей-
ствительные функции класса C1, заданные в области G. Положим
w(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y).
Тогда для того, чтобы функция w либо w была аналитической в области G, необходимо и
достаточно, чтобы компоненты gij и aij метрических тензоров поверхностей Z = u(x, y) и
Z = v(x, y) в области G удовлетворяли метрическим условиям дуальности
a11 - g22 = 0, a12 + g12 = 0, a22 - g11 = 0.
Доказательство. По теореме 1 В. К. Дзядыка [11] функция w = u+ iv либо w = u - iv,
u, v \subset C1(G), является аналитической в области G тогда и только тогда, когда три поверхности
Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 над произвольной областью G0 \subset G имеют равные площади.
Но согласно теореме 7 все три поверхности (5), (11) при условии u, v \subset C1(G) над произ-
вольной областью G0 \subset G имеют равные площади тогда и только тогда, когда для компонент
метрических тензоров двух поверхностей, а именно Z = u и Z = v, в области G реализуются
метрические условия дуальности (15).
Очевидно, теорема 8 следует из этих двух утверждений.
Теорема 8 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
606 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
8. Метрические условия дуальности и эквиареальное отображение поверхностей.
„Отображение одной поверхности на другую называется эквиареальным, если площади отоб-
ражаемых частей поверхности пропорциональны своим отображениям. Из основной формулы
[20, c. 179] (ч. 1), определяющей площадь некоторой части поверхности, совершенно ясно, что
при эквиареальном отображении между дискриминантами метрических форм обеих поверхно-
стей имеет место соотношение \widetilde \gamma = c2\gamma , где c — постоянная. Если в этой формуле c = 1, то мы
получаем частный случай: отображение сохраняет площадь всякой фигуры” [20, c. 129] (ч. 2).
В следующей лемме детальнее раскрываем взаимосвязи равенства g = a с эквиареальным
отображением поверхностей Z = u и Z = v.
Лемма 4. Для поверхностей Z = u, Z = v, u, v \in C1(G) в области G имеет место
равенство дискриминантов их метрических форм тогда и только тогда, когда эквиареальное
отображение одной поверхности на другую сохраняет площадь.
Доказательство. Необходимость. Пусть при заданных функциях u, v класса C1(G) по-
верхности Z = u и Z = v имеют равные дискриминанты g = a. Тогда
\surd
g =
\surd
a и для
произвольной области G0 \subset G имеет место второе из равенств (30). Поскольку область G0
гомеоморфна соответствующим областям Du поверхности Z = u и Dv поверхности Z = v,
то левый интеграл в (30)2 выражает площадь области Du, а правый — площадь области
Dv : \sigma (Du) = \sigma (Dv). Значит, общие координаты заданных поверхностей осуществляют такое
соответствие точек, при котором отображение одной поверхности сохраняет площадь другой
отображаемой поверхности. Это отображение является эквиареальным частного случая.
Достаточность. Общие координаты, к которым отнесены определенные над областью
G поверхности, устанавливают между ними взаимно однозначное точечное соответствие. До-
пустим, что этим соответствием поверхности Z = u и Z = v отображены одна на другую
эквиареально с сохранением площади. Пусть Du — произвольная область поверхности Z = u.
Путем проектирования однозначно определяются области Dv поверхности Z = v и G0 \subset G.
Далее воспользуемся доказательством леммы 3. Так как области Du, Dv и G0 попарно го-
меоморфны, то произвольный выбор области Du объясняет, что область G0 также является
произвольной.
Поскольку при эквиареальном отображении частного случая площади поверхностей сохра-
няются, \sigma (Du) = \sigma (Dv), то выполняются формулы (29) – (31), из которых в области G следует
равенство g = a.
Лемма 4 доказана.
Следующая теорема является обобщением леммы 4 на случай трех поверхностей (5), (11).
В ней раскрывается геометрический смысл системы равенств g = a = \gamma (см. также теорему 6).
Теорема 9. Для того чтобы три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in
\in C1(G), попарно находились в эквиареальном отображении, сохраняющем площадь, необхо-
димо и достаточно, чтобы для дискриминантов метрических форм этих трех поверхностей
в области G выполнялось равенство g = a = \gamma .
Доказательство. Необходимость. Пусть взаимно однозначное соответствие, устанавли-
ваемое общими координатами на трех данных поверхностях, реализует эквиареальное отоб-
ражение, которое сохраняет площадь произвольной области отображаемой поверхности. Тогда
по лемме 4 для каждой пары заданных поверхностей в области G имеет место равенство
дискриминантов g = a, g = \gamma , a = \gamma , что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть для трех поверхностей (5), (11) в области G имеют место равенства
g = a, g = \gamma . Тогда для каждой пары поверхностей справедливо заключение леммы 4. Значит,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 607
как и следовало ожидать, все три поверхности эквиареально отображены одна на другую так,
что при этом отображении сохраняется площадь.
Теорема 9 доказана.
Исходя из теоремы 9, а также используя эквивалентность в области G метрических условий
дуальности (15), с одной стороны, и систему равенств g = a = \gamma (теоремы 3 и 4), с другой,
легко доказать следующую теорему.
Теорема 10. Для того чтобы три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2, u, v \in
\in C1(G), попарно находились в эквиареальном отображении, сохраняющем площадь, необхо-
димо и достаточно, чтобы для метрических тензоров двух из них Z = u, Z = v в области G
выполнялись метрические условия дуальности.
Отметим, что теоремы 7 и 10 устанавливают геометрические интерпретации метрических
условий дуальности (15).
9. Перечень эквивалентов аналитической функции.
Теорема 11. Пусть в области G заданы функции u(x, y) и v(x, y) класса C1 и над G
определены поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2. Пусть gij , aij , \gamma ij — метри-
ческие тензоры этих поверхностей соответственно и g = g11g22 - g212, a = a11a22 - a212,
\gamma = \gamma 11\gamma 22 - \gamma 212 — дискриминанты их метрических форм. Тогда следующие предложения
являются эквивалентными:
I. Функция w = u+ iv либо w = u - iv является аналитической в области G.
II. Все три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 над произвольной областью
G0 \subset G имеют равные площади.
III. Компоненты gij и aij метрических тензоров поверхностей Z = u и Z = v в области
G удовлетворяют метрическим условиям дуальности
a11 - g22 = 0, a12 + g12 = 0, a22 - g11 = 0.
IV. В области G имеет место равенство дискриминантов метрических форм всех трех
поверхностей Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 :
g = a = \gamma .
V. Три поверхности Z = u, Z = v и Z =
\surd
u2 + v2 находятся в эквиареальном отображе-
нии, сохраняющем площадь.
VI. Функции u и v в области G удовлетворяют системе равенств
v2x = u2y, vxvy = - uxuy, v2y = u2x. (32)
VII. Функции u и v в области G удовлетворяют системе равенств в комплексном виде
v2z + u2z = 0, vzvz - uzuz = 0, v2z + u2z = 0. (33)
VIII. Радиусы-векторы r и \rho поверхностей Z = u, Z = v в области G удовлетворяют
системе равенств
\rho 2
2 = r1
2, \rho 1\rho 2 = - r1r2, \rho 1
2 = r2
2. (34)
IX. Радиусы-векторы поверхностей Z = u, Z = v в области G удовлетворяют системе
равенств в комплексном виде
rz
2 + \rho z
2 = 0, rzrz - \rho z\rho z = 0, rz
2 + \rho z
2 = 0. (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
608 Л. Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ
Доказательство. Используя свойства симметричности и транзитивности отношения эк-
вивалентности множеств, проверим эквивалентность предложения III каждому из остальных
предложений. Прежде всего отметим, что каждая система равенств из (32) – (35) является раз-
личной формой записи метрических условий дуальности (15) и следует из формул (7) и (9).
Поэтому предложение III равносильно каждому из предложений VI – IX.
Объединение теорем 3 и 4 свидетельствует об эквивалентности III \Leftarrow \Rightarrow IV, а теорема 10 —
о том, что III \Leftarrow \Rightarrow V.
Равносильность предложений III \Leftarrow \Rightarrow II утверждается теоремой 7. В новом критерии (тео-
рема 8) доказана равносильность III \Leftarrow \Rightarrow I.
Таким образом, мы доказали, что предложение III эквивалентно всем остальным. Следова-
тельно, все предложения I – IX из теоремы 11 являются попарно эквивалентными.
Теорема 11 доказана.
10. Обобщенная форма нового критерия аналитичности функции.
Теорема 12. Пусть в области G заданы две функции u(x, y) и v(x, y) класса C1. Тогда
для того, чтобы функция \widetilde w = \pm u \pm iv либо w\wedge = \pm v \pm iu с любыми комбинациями знаков
была аналитической в области G, необходимо и достаточно, чтобы компоненты метрических
тензоров поверхностей Z = u и Z = v удовлетворяли в области G метрическим условиям
дуальности.
Доказательство. При проверке отдельных случаев этой теоремы достаточно иметь в виду
следующее.
1. Если метрические соотношения дуальности (15) имеют место для поверхностей Z = u
и Z = v, u, v \in C1(G), то они имеют место и для пары поверхностей Z = \pm u и Z = \pm v с
любыми комбинациями знаков.
Действительно, например, поверхность Z = - v, как симметричная поверхности Z = v
относительно плоскости Oxy, имеет с ней одинаковую метрическую форму, а значит, метри-
ческий тензор (9) и дискриминант (10). В этом можно убедиться непосредственной проверкой.
2. При перестановке функций u и v метрические условия дуальности (15) не изменяются.
3. В силу теоремы 8 теорема 12 справедлива для случаев, когда \widetilde w = w = u + iv и
w\wedge = w = u - iv.
4. Если функция w = u+ iv аналитическая в G, то и функции
w1 = - u - iv, w2 = v - iu, w3 = - v + iu
являются аналитическими в G. Если же функция w = u - iv аналитическая в G, то функции
w4 = - u+ iv, w5 = v + iu, w6 = - v - iu
также являются аналитическими в области G.
Это утверждение следует из того, что все функции w\alpha , \alpha = 1, 6, можно выразить через w
и w в виде
w1 = - w, w2 = - iw, w3 = iw, w4 = - w, w5 = iw, w6 = - iw.
Теорема 12 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О НОВОМ КРИТЕРИИ АНАЛИТИЧНОСТИ ФУНКЦИИ . . . 609
11. Заключение. Исходя из критерия В. К. Дзядыка аналитичности в области G функции,
в теореме 8 данной статьи предложен новый критерий геометрического характера, в котором
фундаментальную роль играют метрические соотношения дуальности
g11 - a22 = 0, g12 + a12 = 0, g22 - a11 = 0,
выраженные через компоненты метрических тензоров поверхностей Z = u и Z = v, u,
v \in C1(G). Доказана их инвариантность относительно конформных преобразований области
G (теорема 2).
Найден ряд эквивалентов аналитической функции (теорема 11). В теореме 12 новый кри-
терий представлен в обобщенном варианте.
Литература
1. Riemann B. Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse. –
Göttingen, 1851.
2. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. – М.: Изд-во иноcтр. лит., 1960.
3. Hogan J. A., Joel M. A. Quaternionic wavelets // Numer. Funct. Anal. and Optim. – 2012. – 33, № 7-9. – P. 1031 – 1062.
4. Blair D. E., Korkmaz B. Special directions in complex contact manifolds // Beitr. Algebra und Geom. – 2009. – 50,
№ 2. – S. 309 – 325.
5. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
6. Kalaj D., Mateljevic M. On quasiconformal harmonic surfaces with rectifiable boundary // Complex Anal. and Oper.
Theory. – 2011. – 5, № 3. – P. 633 – 646.
7. Luks T. Boundary behavior of \alpha -harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplane // Potential
Anal. – 2013. – 39, № 1. – P. 29 – 67.
8. Urakawa H. Harmonic maps and biharmonic maps on principal bundless and warped products // J. Korean Math.
Soc. – 2018. – 55, № 3. – P. 553 – 574.
9. Aldea N. About a special class of two-dimensional complex Finsler spaces // Indian J. Pure and Appl. Math. – 2012. –
43, № 2. – P. 107 – 127.
10. Dorfmeister J., Kobayashi S., Pedit F. Complex surfaces of constant mear curvature fibered by minimal surfaces //
Hokkaido Math. J. – 2010. – 39, № 1. – P. 1 – 55.
11. Дзядык В. К. Геометрическое определение аналитических функций // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, вып. I(91). –
С. 191 – 194.
12. Goodman A. W. On a characterization of analytic functions // Amer. Math. Monthly. – 1964. – 71, № 3. – P. 265 – 267.
13. Goodman A. W. A partial differential equation and parallel plane curves // Amer. Math. Monthly. – 1964. – 71, № 3. –
P. 257 – 264.
14. Трохимчук Ю. Ю. Об одном критерии аналитичности функций // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. –
C. 1410 – 1418.
15. Трохимчук Ю. Ю., Сафонов В. М. Об одном критерии постоянства комплексной функции // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 8. – C. 1096 – 1104.
16. Kreyszig E., Pendl A. Über die Gauss – Krummung der Real- und Imaginarteilflachen analytischer Funktionen // Elem.
Math. – 1973. – 28, № 1. – P. 10 – 13.
17. Jerrard R. Curvatures of surfaces associated with holomorphic functions // Colloq. Math. – 1970. – 21, № 1. –
P. 127 – 132.
18. Безкоровайная Л. Л. Поверхности, образованные действительной и мнимой частями аналитической функции:
А-деформации, происходящие независимо или одновременно // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 4. – C. 447 – 463.
19. Безкоровайна Л. Л. Геометричнi аспекти аналiтичних функцiй // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2016. – 59,
№ 3. – C. 77 – 88.
20. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. – М.: ОГИЗ, 1947. – Ч. 1. – 512 c.; 1948. –
Ч. 2. – 410 c.
21. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. – М.: Наука,
1986. – 760 с.
Получено 31.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1460 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:47Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/94465768b40d190454e0e2f99a63b105.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14602019-12-05T08:56:08Z New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ О новом критерии аналитичности функции: представление через метрические тензоры поверхностей $Z = u, Z = v$ Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. UDC 514.75:517.53 We establish a new criterion for the analyticity of a function $w=u+iv$ or $\overline{w}=u-iv,$ $u(x, y),$ $v(x, y) \in C^1(G)$ in the domain $G.$ It is expressed via the metric tensors of the surfaces $Z=u$ and $Z=v\colon g_{11}-a_{22}=0,$ $g_{12}+a_{12} =0,$ $g_{22}-a_{11}=0.$ We also discover some other equivalents of the analytic function and establish the invariance of the obtained relations under conformal transformations. The generalized version of the new criterion is also proposed. УДК 514.75:517.53 Знайдено новий критерiй аналiтичностi в областi $G$ функцiї $w = u+iv$ або $\overline{w}=u-iv,$ $u(x, y),\; v(x, y) \in C^1(G)$, що виражений через метричнi тензори поверхонь $Z = u$ i $Z=v\colon g_{11}-a_{22}=0,$ $g_{12}+a_{12} =0,$ $g_{22}-a_{11}=0.$ Виявлено деякi iншi еквiваленти аналiтичної функцiї i встановлено iнварiантнiсть одержаних спiввiдношень вiдносно конформних перетворень. Отримано узагальнений варiант нового критерiю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1460 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 596-609 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 596-609 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1460/444 Copyright (c) 2019 Bezkorovaina L. L. |
| spellingShingle | Bezkorovaina, L. L. Безкоровайная, Л. Л. Безкоровайная, Л. Л. New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title | New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title_alt | О новом критерии аналитичности функции: представление через метрические тензоры поверхностей $Z = u, Z = v$ |
| title_full | New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title_fullStr | New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title_full_unstemmed | New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title_short | New criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $Z = u, Z = v$ |
| title_sort | new criterion for the analyticity of a function: representation via the metric tensors of the surfaces $z = u, z = v$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1460 |
| work_keys_str_mv | AT bezkorovainall newcriterionfortheanalyticityofafunctionrepresentationviathemetrictensorsofthesurfaceszuzv AT bezkorovajnaâll newcriterionfortheanalyticityofafunctionrepresentationviathemetrictensorsofthesurfaceszuzv AT bezkorovajnaâll newcriterionfortheanalyticityofafunctionrepresentationviathemetrictensorsofthesurfaceszuzv AT bezkorovainall onovomkriteriianalitičnostifunkciipredstavleniečerezmetričeskietenzorypoverhnostejzuzv AT bezkorovajnaâll onovomkriteriianalitičnostifunkciipredstavleniečerezmetričeskietenzorypoverhnostejzuzv AT bezkorovajnaâll onovomkriteriianalitičnostifunkciipredstavleniečerezmetričeskietenzorypoverhnostejzuzv |