Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic equation with degeneration
UDC 517.984.54 For a second-order parabolic equation, we consider a problem with oblique derivative and impulsive action. The coefficients of the equation and the boundary condition have power singularities of any order in the time and space variables on some set of points. We establish conditio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1463 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507244582404096 |
|---|---|
| author | Pukalskyi, I. D. Yashan, B. O. Пукальський, І. Д. Яшан, Б. О |
| author_facet | Pukalskyi, I. D. Yashan, B. O. Пукальський, І. Д. Яшан, Б. О |
| author_sort | Pukalskyi, I. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.984.54
For a second-order parabolic equation, we consider a problem with oblique derivative and impulsive action. The coefficients of the equation and the boundary condition have power singularities of any order in the time and space variables on some set of points.
We establish conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem in Hölder spaces with power weight. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.54
I. Д. Пукальський, Б. О. Яшан (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ
For a second-order parabolic equation, we consider a problem with oblique derivative and impulsive action. The coefficients
of the equation and the boundary condition have power singularities of any order in the time and space variables on some
set of points. We establish conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem in Hölder spaces with
power weight.
Для параболiчного рiвняння другого порядку розглянуто задачу з косою похiдною й iмпульсною дiєю. Коефiцiєнти
рiвняння i крайової умови мають степеневi особливостi довiльного порядку за часовою i просторовими змiнними на
деякiй множинi точок. Знайдено умови iснування й єдиностi розв’язку поставленої задачi в гельдерових просторах
iз степеневою вагою.
Крайовi задачi з iмпульсною дiєю для диференцiальних рiвнянь є тим математичним апаратом,
за допомогою якого вдалося описати чимало нових ефектiв та явищ у багатьох прикладних зада-
чах. Дослiдження задач теорiї автоматичного керування, теорiї ядерних реакторiв, динамiчних
систем приводять до розв’язання крайових задач для диференцiальних рiвнянь з iмпульсною
дiєю. Iмпульснi системи виникають також у багатьох задачах природознавства, при вивченнi
яких математичнi моделi мiстять умови, що описують вплив зовнiшнiх сил iмпульсної природи.
Всебiчне вивчення розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
наведено у монографiях [1 – 3]. Питання iснування перiодичних розв’язкiв рiвнянь гiперболiч-
ного типу з iмпульсною дiєю вивчались у працях [4, 5]. Класичним розв’язкам крайових задач
iз iмпульсною дiєю для параболiчних рiвнянь, коефiцiєнти яких мають степеневi особливостi
за просторовими змiнними, присвячено роботи [6, 7], дослiдженню нелокальних багатоточко-
вих за часом крайових задач та задач iз iнтегральними умовами для параболiчних рiвнянь зi
степеневим виродженням у коефiцiєнтах рiвняння — роботи [8, 9].
У данiй статтi розглядається задача з косою похiдною для лiнiйного параболiчного рiвняння
другого порядку iз степеневими особливостями у коефiцiєнтах рiвняння i крайовiй умовi за
будь-якими змiнними на деякiй множинi точок та iмпульсними умовами за часовою змiнною у
визначенi моменти часу.
У гельдерових просторах зi степеневою вагою одержано єдинiсть, iснування i встановлено
оцiнки розв’язку поставленої задачi.
Постановка задачi i основний результат. Нехай \eta , t0, t1, . . . , tN , tN+1 — фiксованi додатнi
числа, 0 \leq t0 < . . . < tN+1, t0 < \eta < tN+1, \eta \not = t\lambda , \lambda \in \{ 1, 2, . . . , N\} , D — обмежена область в
Rn з межею \partial D, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}D = n, \Omega — деяка обмежена область \Omega \subset D, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\Omega \leq n - 1. Позначимо
Q(0) =
\bigl\{
(t, x) | t \in [t0, tN+1), x \in \Omega \} \cup \{ (t, x) | t = \eta , x \in D
\bigr\}
, Q(k) = [tk, tk+1) \times D,
k \in \{ 0, 1, . . . , N\} .
В областi Q = [t0, tN+1)\times D розглянемо задачу знаходження функцiї u(x, t), яка задоволь-
няє при t \not = t\lambda , (t, x) \not \in Q(0) рiвняння
(Lu)(t, x) \equiv
\left[ \partial t - n\sum
i,j=1
Aij(t, x)\partial xixj +
n\sum
i=1
Ai(t, x)\partial xi +A0(t, x)
\right] u(t, x) = f(t, x), (1)
c\bigcirc I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5 645
646 I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН
умови за змiнною t
u(t0 + 0, x) = \varphi 0(x), (2)
u(t\lambda + 0, x) - u(t\lambda - 0, x) = \psi \lambda (x)u(t\lambda - 0, x) + \varphi \lambda (x) (3)
i крайову умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow z\in \partial D
(Bu - g)(t, x) \equiv \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow z\in \partial D
\Biggl[
n\sum
i=1
bi(t, x)\partial xiu+ b0(t, x)u - g(t, x)
\Biggr]
= 0. (4)
Степеневi особливостi коефiцiєнтiв рiвняння (1) i крайової умови (4) у точцi P (t, x) =
= Q\setminus Q(0) характеризують функцiї s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
, s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
: s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
= | t - \eta | \beta
(1)
i при | t - \eta | \leq 1,
s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
= 1 при | t - \eta | \geq 1; s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
= \rho \beta
(2)
i (x) при \rho (x) \leq 1, s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
= 1 при \rho (x) \geq 1,
\rho (x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}z\in \Omega | x - z| , \beta (\nu )i \in ( - \infty ,\infty ), \nu \in \{ 1, 2\} , \beta (\nu ) =
\bigl(
\beta
(\nu )
1 , . . . , \beta
(\nu )
n
\bigr)
, \beta = (\beta (1), \beta (2)).
Означимо простори, в яких вивчається задача (1) – (4). Позначимо через l, q(1), q(2), \gamma (1),
\gamma (2), \mu
(1)
j , \mu
(2)
j , \delta (1), \delta (2) дiйснi числа, q(\nu ) \geq 0, \gamma (\nu ) \geq 0, l \geq 0, \mu
(\nu )
j \geq 0, j \in \{ 0, 1, . . . , n\} ,
[l] — цiла частина числа l, \{ l\} = l - [l], P (t, x), P1(t
(1), x(1)), P2(t
(2), x(1)), Ri(t
(2), x(2)), i \in
\in \{ 1, 2, . . . , n\} , — довiльнi точки iз Q(k), x(1) =
\bigl(
x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i , . . . , x
(1)
n
\bigr)
, x(2) =
\bigl(
x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i - 1,
x
(2)
i , x
(1)
i+1, . . . , x
(1)
n
\bigr)
.
Позначимо через H l(\gamma ;\beta ; q;Q) множину функцiй u, якi мають неперервнi похiднi в
Q(k) \setminus Q(0) при t \not = t\lambda вигляду \partial st \partial
r
x, 2s+ | r| \leq [l], для яких скiнченною є норма
\| u; \gamma ;\beta ; 0;Q\| 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q
(k)
| u|
\bigr\}
\equiv \| u;Q\| 0,
\| u; \gamma ;\beta ; q;Q\| l = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\left\{ \sum
2s+| r| \leq [l]
\bigm\| \bigm\| u; \gamma ;\beta ; q;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2s+| r| +
\bigl\langle
u; \gamma ;\beta ; q;Q(k)
\bigr\rangle
l
\right\} \equiv
\equiv \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\left\{ \sum
2s+| r| \leq [l]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
P\in Q(k)
\Biggl[
s1
\bigl(
q(1) + (2s+ | r| )\gamma (1), t
\bigr)
s2
\bigl(
q(2) + 2s\gamma (2), x
\bigr) \bigm| \bigm| \partial st \partial rxu(P )\bigm| \bigm| \times
\times
n\prod
i=1
s1
\bigl(
- ri\beta (1)i , t
\bigr)
s2
\bigl(
ri
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
i
\bigr)
, x
\bigr) \Biggr] \right\} +
+\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\sum
2s+| r| =[l]
\left\{
n\sum
k=1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(P2R\nu )\subset Q
(k)
\Biggl[
s1
\bigl(
q(1) + [l]\gamma (1), t(2)
\bigr)
s2
\bigl(
q(2) + 2s\gamma (2), \widetilde x\bigr) \times
\times
n\prod
i=1
s1
\bigl(
- ri\beta (1)i , t(2)
\bigr)
s2
\bigl(
ri
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
i
\bigr)
, \widetilde x\bigr) \bigm| \bigm| \partial st \partial rxu(P2) - \partial st \partial
r
xu(R\nu )
\bigm| \bigm| \times
\times
\bigm| \bigm| x(1)\nu - x(2)\nu
\bigm| \bigm| - \{ l\}
s1
\bigl(
\{ l\} \beta (1)\nu , t(2)
\bigr)
s2
\bigl(
\{ l\}
\bigl(
\gamma (2) - \beta (2)\nu
\bigr)
, \widetilde x\bigr) \Biggr] +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(P1P2)\subset Q
(k)
\Biggl[
s1
\bigl(
q(1) + l\gamma (1), \~t
\bigr)
s2
\bigl(
q(2) + (2s+ \{ l\} )\gamma (2), x(1)
\bigr)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ 647
\times
n\prod
i=1
s1
\bigl(
- ri\beta (1)i , \~t
\bigr)
s2(ri
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
i
\bigr)
, x(1))
\bigm| \bigm| t(1) - t(2)
\bigm| \bigm| - \{ l
2
\} \times
\times
\bigm| \bigm| \partial st \partial rxu(P1) - \partial st \partial
r
xu(P2)
\bigm| \bigm| \Biggr] \right\} ,
де
| r| = r1 + . . .+ rn, s1(q, \~t ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
s1(q, t
(1)), s2(q, t
(2))
\bigr)
,
s2(q, \widetilde x) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
s2(q, x
(1)), s2(q, x
(2))
\bigr)
.
Щодо задачi (1) – (4) вважаємо виконаними такi умови:
а) для довiльного вектора \xi = (\xi 1, . . . , \xi n) \forall (t, x) \in Q\setminus Q(0) виконується нерiвнiсть
\pi 1| \xi | 2 \leq
n\sum
i=1
s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
s1
\bigl(
\beta
(1)
j , t
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
j , x
\bigr)
Aij(t, x)\xi i\xi j \leq \pi 2| \xi | 2,
де \pi 1, \pi 2 — фiксованi додатнi сталi,
s1
\bigl(
\mu
(1)
i , t
\bigr)
s2
\bigl(
\mu
(2)
i , x
\bigr)
Ai \in H\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q),
s1
\bigl(
\mu
(1)
0 , t
\bigr)
s2
\bigl(
\mu
(2)
0 , x
\bigr)
A0 \in H\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q), A0 \geq - a, a > 0,
s1
\bigl(
\delta (1), t
\bigr)
s2
\bigl(
\delta (2), x
\bigr)
b0 \in H1+\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q),
s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
s1
\bigl(
\beta
(1)
j , t
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
j , x
\bigr)
Aij \in H\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q),
s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
bi \in H1+\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q),
вектори
\vec{}b(s) =
\bigl\{
b
(s)
1 , . . . , b(s)n
\bigr\}
, b
(s)
i = s1
\bigl(
\beta
(1)
i , t
\bigr)
s2
\bigl(
\beta
(2)
i , x
\bigr)
bi
i
\vec{}e = \{ e1, . . . , en\} , ei = bi
\Biggl(
n\sum
i=1
b2i
\Biggr) - 1
2
утворюють iз напрямком зовнiшньої нормалi - \rightarrow n до \partial D в точцi P (t, x) \in \Gamma кут менший за
\pi
2
,
\Gamma = [t0, tN+1)\times \partial D, b0(t, x)
\bigm| \bigm|
\Gamma
> 0;
б) f \in H\alpha (\gamma ;\beta ;\mu 0;Q), \varphi 0 \in H2+\alpha
\bigl( \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;D\bigr) , \widetilde \gamma = (0, \gamma (2)), \widetilde \beta = (0, \beta (2)),
\varphi \lambda \in H2+\alpha
\bigl( \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = t\lambda )
\bigr)
, \psi \lambda \in C2+\alpha (Q \cap (t = t\lambda )), g \in H1+\alpha
\bigl(
\gamma ;\beta ; \delta ;Q(\lambda )
\bigr)
,
g(t\lambda + 0, x) - g(t\lambda - 0, x) = \psi \lambda (x)g(t\lambda - 0, x) +B\varphi \lambda (x) для x \in \Gamma \cap (t = t\lambda ),
B\varphi 0(x) = g(t0, x), x \in \partial D,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow z\in \partial D
n\sum
i=1
bi(t\lambda , x)\partial xi\psi \lambda (x) = 0, \partial D \in C2+\alpha ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
648 I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН
\gamma (\nu ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
\bigl(
1 + \beta
(\nu )
i
\bigr)
,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
\bigl(
\gamma (\nu ) - \beta
(\nu )
i
\bigr)
,
\mu
(\nu )
0
2
, \delta (\nu )
\Biggr\}
.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай для задачi (1) – (4) виконано умови а), б). Тодi iснує єдиний розв’язок
задачi (1) – (4) iз простору H2+\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q) i виконується нерiвнiсть
\| u; \gamma ;\beta ; 0;Q\| 2+\alpha \leq c
\Biggl\{
N\sum
k=1
N\prod
\lambda =k
\bigl(
1 + \| \psi \lambda \| C2+\alpha (Q\cap (t=t\lambda ))
\bigr)
\times
\times
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \varphi k - 1; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tk - 1)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
\bigm\| \bigm\| f ; \gamma ;\beta ;\mu 0;Qk - 1
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| g; \gamma ;\beta ; \delta ;Qk - 1
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
\Bigr)
+
\bigm\| \bigm\| \varphi N ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tN )
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| f ; \gamma ;\beta ;\mu 0;QN
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
\bigm\| \bigm\| g; \gamma ;\beta ; \delta ;QN
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
\Biggr\}
. (5)
Для доведення теореми 1 встановимо спочатку коректну розв’язнiсть крайових задач iз
гладкими коефiцiєнтами. З множини одержаних розв’язкiв видiлимо збiжну послiдовнiсть,
граничне значення якої буде розв’язком задачi (1) – (4).
Оцiнка розв’язкiв крайових задач iз гладкими коефiцiєнтами. Нехай
Q(k)
m = Q(k) \cap
\bigl\{
(t, x) \in Q(k)
\bigm| \bigm| s1(1, t) \geq m - 1
1 , s2(1, x) \geq m - 1
2
\bigr\}
,
m = (m1,m2), m1 > 1, m2 > 1,
— послiдовностi областей, якi при m1 \rightarrow \infty , m2 \rightarrow \infty збiгаються до Q(k).
Розглянемо в областi Q задачу знаходження функцiй um(t, x), якi задовольняють при t \not = t\lambda
рiвняння
(L1um)(t, x) \equiv
\left[ \partial t - n\sum
i,j=1
aij(t, x)\partial xixj +
n\sum
i=1
ai(t, x)\partial xi + a0(t, x)
\right] um = fm(t, x), (6)
умови за змiнною t
um(t0 + 0, x) = \varphi (0)
m (x), (7)
um(t\lambda + 0, x) - um(t\lambda - 0, x) = \psi (\lambda )
m (x)um(t\lambda - 0, x) + \varphi (\lambda )
m (x) (8)
i крайову умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow z\in \partial D
(B1um - gm)(t, x) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow z\in \partial D
\Biggl[
n\sum
i=1
hi(t, x)\partial xium + h0(t, x)um - gm(t, x)
\Biggr]
= 0. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ 649
Коефiцiєнти aij , ai, a0, hi, h0, функцiї fm, \varphi
(0)
m , \varphi
(\lambda )
m , \psi
(\lambda )
m , gm в областях Q(k)
m збiгаються
з Aij , Ai, A0, bi, b0, f, \varphi 0, \varphi \lambda , g, \psi \lambda вiдповiдно, а в областях Q(k)\setminus Q(k)
m є неперервним
продовженням коефiцiєнтiв Aij , Ai, A0, bi, b0, функцiй f, \varphi 0, \varphi \lambda , g, \psi \lambda з областей Q
(k)
m в
областi Q(k)\setminus Q(k)
m iз збереженням гладкостi i норми [10, с. 82].
Справджується така теорема.
Теорема 2. Нехай um(t, x) — класичний розв’язок задачi (6) – (9) в областi Q i виконано
умови а), б). Тодi для um(t, x) правильною є оцiнка
| um(t, x)| \leq
N\sum
k=1
\Biggl\{
N\prod
\lambda =k
\bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \psi (\lambda )
m ;Q \cap (t = t\lambda )
\bigm\| \bigm\|
0
\bigr) \bigl( \bigm\| \bigm\| \varphi (k - 1)
m ;Q \cap (t = tk - 1)
\bigm\| \bigm\|
0
+
+
\bigm\| \bigm\| fma - 1
0 ;Q(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
0
+
\bigm\| \bigm\| gmh - 1
0 ;Q(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
0
\bigr) \Biggr\}
+
\bigm\| \bigm\| \varphi (N)
m ;Q \cap (t = tN )
\bigm\| \bigm\|
0
+
+
\bigm\| \bigm\| fma - 1
0 ;Q(N)
\bigm\| \bigm\|
0
+
\bigm\| \bigm\| gmh - 1
0 ;Q(N)
\bigm\| \bigm\|
0
. (10)
Доведення. Нехай \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
Q
(k) um(t, x) = um(M1). Якщо M1 належить Q(k), то, враховуючи
достатнi умови iснування максимуму функцiї багатьох змiнних i рiвняння (6), у точцi M1
одержуємо нерiвнiсть
um(M1) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q
(k)
\bigl(
fma
- 1
0
\bigr)
. (11)
Нехай \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
Q
(k) um(t, x) = um(M2). Якщо M2 належить Q(k), то, враховуючи достатнi умови
iснування мiнiмуму функцiї багатьох змiнних i рiвняння (6), у точцi M2 отримуємо нерiвнiсть
um(M2) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Q
(k)
\bigl(
fma
- 1
0
\bigr)
. (12)
Якщо M1 належить [tk, tk+1)\times \partial D, то виконується умова (9). Оскiльки
dum(M1)
d\vec{}e
\geq 0, то
з рiвностi (B1um - gm)(M1) = 0 маємо
um(M1) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q
(k)
\bigl(
gmh
- 1
0
\bigr)
. (13)
Якщо M2 належить [tk, tk+1) \times \partial D, то
dum(M2)
d\vec{}e
\leq 0. Враховуючи крайову умову (9),
отримуємо
um(M2) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Q
(k)
(gmh
- 1
0 ). (14)
У випадку, коли M1 \in D або M2 \in D, з умови (7) одержуємо
| um| \leq
\bigm\| \bigm\| \varphi (0)
m ;D
\bigm\| \bigm\|
0
. (15)
Враховуючи нерiвностi (11) – (15), при k = 0 маємо\bigm\| \bigm\| um;Q(0)
\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| fma - 1
0 ;Q(0)
\bigm\| \bigm\|
0
+
\bigm\| \bigm\| gmh - 1
0 ;Q(0)
\bigm\| \bigm\|
0
+
\bigm\| \bigm\| \varphi (0)
m ;D
\bigm\| \bigm\|
0
. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
650 I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН
Якщо M1 належить Q \cap (t = t\lambda ) або M2 належить Q \cap (t = t\lambda ), \lambda \geq 1, то, враховуючи
умову (8), отримуємо рекурентнi спiввiдношення\bigm\| \bigm\| um;Q \cap (t = t\lambda )
\bigm\| \bigm\| \leq
\bigl(
1 +
\bigm\| \bigm\| \psi (\lambda )
m ;Q \cap (t = t\lambda )
\bigm\| \bigm\|
0
\bigr) \bigm\| \bigm\| um;Q(\lambda - 1)
\bigm\| \bigm\|
0
+
+
\bigm\| \bigm\| \varphi (\lambda )
m ;Q \cap (t = t\lambda )
\bigm\| \bigm\|
0
. (17)
Об’єднуючи нерiвностi (11) – (17), одержуємо нерiвнiсть (10).
Знайдемо оцiнки похiдних розв’язкiв um(t, x). Введемо у просторi C l(Q) норму
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ;
q;Q
\bigm\| \bigm\|
l
, еквiвалентну при фiксованих m1, m2 гельдеровiй нормi, яка виражається так са-
мо, як i
\bigm\| \bigm\| u; \gamma ;\beta ; q;Q\bigm\| \bigm\|
l
, тiльки замiсть функцiй s1(q
(1), t), s2(q
(2), x) вiзьмемо вiдповiдно
d1(q
(1), t), d2(q
(2), x), де d1(q
(1), t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
s1(q
(1), t),m - q(1)
1
\bigr)
при q(1) \geq 0 i d1(q(1), t) =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
s1(q
(1), t),m - q(1)
1
\bigr)
при q(1) < 0; d2(q
(2), x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
s2(q
(2), x),m - q(2)
2
\bigr)
при q(2) \geq 0 i
d2(q
(2), x) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
s2(q
(2), x),m - q(2)
2
\bigr)
при q(2) < 0.
Справджується така теорема.
Теорема 3. Якщо виконано умови а), б), то для розв’язку задачi (6) – (9) правильною є
оцiнка
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq c
\Biggl\{
N\sum
k=1
\Biggl\{
N\prod
\lambda =k
\bigl(
1 + \| \psi \lambda \| C2+\alpha (Q\cap (t=t\lambda ))
\bigr)
\times
\times
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \varphi k - 1; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tk - 1)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
\bigm\| \bigm\| f ; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| g; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
\Bigr) \Biggr\}
+
\bigm\| \bigm\| \varphi N ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tN )
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| f ; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q(N)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
\bigm\| \bigm\| g; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(N)
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
\Biggr\}
. (18)
Доведення. В областях Q(k) розглянемо задачу
(L1um)(t, x) = fm(t, x), (B1um - gm)(t, x) | \Gamma (k)= 0,
um(tk + 0, x) = G(k)
m (tk, x),
(19)
де
\Gamma (k) = [tk, tk+1)\times \partial D, G(0)
m (t, x) = \varphi (0)
m (x), x \in D,
G(\lambda )
m (t, x) =
\bigl(
1 + \psi (\lambda )
m (x)
\bigr)
um(t\lambda - 0, x) + \varphi (\lambda )
m (x), x \in Q \cap (t = t\lambda ), \lambda \in \{ 1, . . . , N\} .
В областях Q(k) розв’язок крайової задачi (19) iснує й єдиний у просторi C2+\alpha (Q(k)) [11,
с. 364]. Знайдемо його оцiнку. Використовуючи iнтерполяцiйнi нерiвностi iз [10, 12], маємо\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq (1 + \varepsilon \alpha )
\bigl\langle
um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigr\rangle
2+\alpha
+ \varepsilon - 2 - \alpha
\bigm\| \bigm\| um;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
0
,
де \varepsilon — довiльне дiйсне число iз (0, 1). Тому досить оцiнити пiвнорму
\bigl\langle
um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigr\rangle
2+\alpha
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ 651
Iз визначення пiвнорми випливає iснування в Q(k) точок P1, P2, Ri, для яких виконується
одна з нерiвностей [12]
1
2
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq E\mu , \mu \in \{ 1, 2\} , (20)
де
E1 \equiv
\sum
2s+| r| =2
\Biggl\{
n\sum
\nu =1
d1
\bigl(
2\gamma (1), t(2)
\bigr)
d2
\bigl(
2s\gamma (2), \widetilde x\bigr) n\prod
i=1
d1
\bigl(
- ri\beta (1)i , t(2)
\bigr)
\times
\times d2
\bigl(
ri
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
i
\bigr)
, \widetilde x\bigr) \bigm| \bigm| \partial st \partial rxu(P2) - \partial st \partial
r
xu(R\nu )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x(1)\nu - x(2)\nu
\bigm| \bigm| - \alpha \times
\times d1
\bigl(
\alpha \beta (1)\nu , t(2)
\bigr)
d2
\bigl(
\alpha (\gamma (2) - \beta (2)\nu ), \widetilde x\bigr) \Biggr\} ,
E2 \equiv d1
\bigl(
(2 + \alpha )\gamma (1), \~t
\bigr)
d2
\bigl(
(2s+ \alpha )\gamma (2), x(1)
\bigr) n\prod
i=1
d1
\bigl(
- ri\beta (1)i , \~t
\bigr)
d2
\bigl(
ri
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
i
\bigr)
, x(1)
\bigr)
\times
\times
\bigm| \bigm| t(1) - t(2)
\bigm| \bigm| - \alpha
2
\bigm| \bigm| \partial st \partial rxu(P1) - \partial st \partial
r
xu(P2)
\bigm| \bigm| , 2s+ | r| = 2.
Якщо
\bigm| \bigm| x(1)\nu - x
(2)
\nu
\bigm| \bigm| \geq \varepsilon n - 1
4
d1
\bigl(
\gamma (1), \~t
\bigr)
d2
\bigl(
\gamma (2) - \beta
(2)
\nu , \widetilde x\bigr) \equiv T1, \varepsilon 1 — довiльне дiйсне число iз
(0, 1), то
E1 \leq 2\varepsilon - \alpha
1
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2
. (21)
Якщо
\bigm| \bigm| t(1) - t(2)
\bigm| \bigm| \geq \varepsilon 21
16
d1
\bigl(
2\gamma (1), \~t
\bigr)
d2
\bigl(
2\gamma (2), \widetilde x\bigr) \equiv T2, то
E2 \leq 2\varepsilon - \alpha
1 \| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)\| 2. (22)
Застосовуючи iнтерполяцiйнi нерiвностi [12] до (21), (22), знаходимо
E\mu \leq \varepsilon \alpha
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+ c(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| um;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
0
. (23)
Нехай
\bigm| \bigm| x(1)\nu - x(2)\nu
\bigm| \bigm| \leq T1 i | t(1) - t(2)| \leq T2. Будемо вважати, що
\bigm| \bigm| x(1)\nu - \xi \nu
\bigm| \bigm| \geq 4T1, \xi \in \partial D, i
d2(\gamma
(2), \widetilde x) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
d2(\gamma
(2), x(1)), d2(\gamma
(2), x(2))
\bigr)
\equiv d2(\gamma
(2), x(1)),
d1
\bigl(
\gamma (2), \~t ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
d1(\gamma
(1), t(1)), d1(\gamma
(1), t(2))
\bigr)
= d1(\gamma
(1), t(1)),
P1
\bigl(
t(1), x(1)
\bigr)
\in Q(k), k \in \{ 0, 1, . . . , N\} .
В областi Q(k) запишемо задачу (19) у виглядi\left[ \partial t - n\sum
i,j=1
aij(P1)\partial xixj
\right] um =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
652 I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН
=
n\sum
i,j=1
\bigl[
aij(P ) - aij(P1)
\bigr]
\partial xixjum -
n\sum
i=1
ai(P )\partial xium - a0(P )um + fm(t, x) \equiv F (t, x, um), (24)
um(tk + 0, x) = G(k)
m (tk, x), (25)
n\sum
i=1
hi(P1)\partial xium
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma (k)
=
=
\Biggl\{
n\sum
i=1
[hi(P1) - hi(P )]\partial xium - h0(P )um + gm(P )
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma (k)
\equiv \Phi m(t, x, um)
\bigm| \bigm|
\Gamma (k) . (26)
Нехай
\prod
\tau
— область iз Q(k),\prod
\tau
=
\Bigl\{
(t, x) \in Q(k)| , | x\nu - x(1)\nu | \leq \tau T1, \nu \in \{ 1, . . . , n\} , | t - t(1)| \leq \tau 2T2
\Bigr\}
.
Виконуючи в (24) – (26) замiну um(t, x) = vm(t, y), x\nu = d1
\bigl(
\beta
(1)
\nu , t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
\beta
(2)
\nu , x(1)
\bigr)
y\nu , одержу-
ємо
(L2vm)(t, y) \equiv
\Biggl[
\partial t -
n\sum
i,j=1
aij(P1)d1(\beta
(1)
i , t(1))d1(\beta
(1)
j , t(1))\times
\times d2(\beta (2)i , x(1))d2(\beta
(2)
j , x(1))\partial yiyj
\Biggr]
vm = Fm(t, Y ; vm), (27)
vm(tk + 0, Y ) = G(k)
m (tk, Y ), (28)
(B2vm)(t, y)
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma (k)
\equiv
\equiv
\Biggl[
n\sum
i=1
hi(P1)d1(\beta
(1)
i , t(1))d2(\beta
(2)
i , x(1))\partial yivm
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma (k)
= \Phi (t, Y ; vm)
\bigm| \bigm|
\Gamma (k) , (29)
де
Y = (d1( - \beta (1)1 , t(1))d2( - \beta (2)1 , x(1))x1, . . . , d1( - \beta (1)n , t(1))d2( - \beta (2)n , x(1))xn).
Позначимо
y(1)\nu = d1
\bigl(
- \beta (1)\nu , t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
- \beta (2)\nu , x(1)
\bigr)
x(1)\nu ,
V\tau =
\biggl\{
(t, y), | t - t(1)| \leq \tau 2T2, | y\nu - y(1)\nu | \leq \tau
n
\sqrt{}
T2
\biggr\}
i вiзьмемо тричi диференцiйовну функцiю \omega (t, y), яка задовольняє умови
\omega (t, y) =
\left\{ 1, (t, y) \in V1/2, 0 \leq \omega (t, y) \leq 1, (t, y) \in V3/4 \setminus V1/2,
0, (t, y) \not \in V3/4,
\bigm| \bigm| \partial st \partial ry\omega \bigm| \bigm| \leq crsd1
\bigl(
- (2s+ | r| )\gamma (1), t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
- (2s+ | r| )\gamma (2), x(1)
\bigr)
.
Тодi функцiя Wm(t, y) = vm(t, y)\omega (t, y) задовольняє крайову задачу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ 653
(L2Wm)(t, y) =
n\sum
i,j=1
aij(P1)d1(\beta
(1)
i , t(1))d1(\beta
(1)
j , t(1))d2(\beta
(2)
i , x(1))d2(\beta
(2)
j , x(1))\times
\times
\bigl\{
\partial yivm\partial yj\omega + \partial yjvm\partial yi\omega + vm\partial yiyj\omega
\bigr\}
- vm\partial t\omega + \omega F (t, Y ; vm) \equiv F1(t, Y ; vm),
Wm(tk + 0, x) = G(k)
m (tk, Y )\omega (tk, y), (30)
(B2Wm)(t, y)
\bigm| \bigm|
\Gamma (k) =
=
\biggl\{
w(t, y)\Phi (t, y, vm) - vm
n\sum
i=1
hi(P1)d1(\beta
(1)
i , t(1))d2(\beta
(2)
i , x(1))\partial yi\omega
\biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma (k)
\equiv \Phi 1(t, Y ; vm).
На пiдставi теореми 5.3 iз [11, с. 364] для розв’язку задачi (30) i довiльних точок (M1,M2) \subset
\subset V1/2 виконується нерiвнiсть
d - \alpha (M1,M2)
\bigm| \bigm| \partial st \partial rxvm(M1) - \partial st \partial
r
xvm(M2)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c
\Bigl(
\| F1\| C\alpha (V3/4) +
\bigm\| \bigm\| \omega G(k)
m
\bigm\| \bigm\|
C2+\alpha (V3/4\cap (t=tk))
+ \| \Phi 1\| C1+\alpha (V3/4\cap \Gamma (k))
\Bigr)
, 2s+ | r| = 2, (31)
де d(M1,M2) — параболiчна вiдстань мiж точками M1 i M2.
Враховуючи властивостi функцiї \omega (t, y), знаходимо
\| F1\| C\alpha (V3/4) \leq cd1
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (1), t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (2), x(1)
\bigr) \bigl(
\| fm; \gamma ; 0; 2\gamma ;V3/4\| 0+
+\| vm;V3/4\| 0 + \| vm; \gamma ; 0; 0;V3/4\| 2
\bigr)
, (32)\bigm\| \bigm\| \omega G(k)
m
\bigm\| \bigm\|
C2+\alpha (V3/4\cap (t=tk))
\leq cd1
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (1), t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (2), x(1)
\bigr)
\times
\times \| G(k)
m ; \gamma ; 0; 0;V3/4\| 2+\alpha , (33)
\| \Phi 1\| C1+\alpha (V3/4\cap \Gamma (k)) \leq cd1
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (1), t(1)
\bigr)
d2
\bigl(
- (2 + \alpha )\gamma (2), x(1)
\bigr)
\times
\times
\bigl(
\| gm; \gamma ; 0; \gamma ;V3/4\| 1+\alpha + \| vm;V3/4\| 0 + \| vm; \gamma ; 0; 0;V3/4\| 2
\bigr)
. (34)
Iз визначення простору H l(\gamma ;\beta ; q;Q) випливає виконання нерiвностей
c1
\bigm\| \bigm\| vm; \gamma ; 0; 0;V3/4
\bigm\| \bigm\|
l
\leq
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0; \Pi 3/4
\bigm\| \bigm\|
l
\leq c2\| vm; \gamma ; 0; 0;V3/4\| l.
Пiдставляючи (32) – (34) у (31) i повертаючись до змiнних (t, x), одержуємо нерiвнiсть
E\mu \leq
\bigl(
\varepsilon \alpha (n+ 2) + \varepsilon 1Cn
2
\bigr) \bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
+ c
\Bigl( \bigm\| \bigm\| um;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
0
+
\bigm\| \bigm\| fm; \gamma ;\beta ; 2\gamma ;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
\bigm\| \bigm\| gm; \gamma ;\beta ; \gamma ;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| G(k)
m \gamma ;\beta ; 0;Q(k) \cap (t = tk)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\Bigr)
. (35)
Враховуючи значення виразу G(k)
m (tk, x), маємо оцiнки\bigm\| \bigm\| G(0)
m ; \gamma ;\beta ; 0;Q(k) \cap (t = t0)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
=
\bigm\| \bigm\| \varphi (0)
m ; \gamma ;\beta ; 0;D)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
, (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
654 I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, Б. О. ЯШАН\bigm\| \bigm\| G(k)
m ; \gamma ;\beta ; 0;Q(k) \cap (t = tk)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq c
\bigl(
1 + \| \psi (\lambda )
m \| C2+\alpha (Q\cap (t=tk))
\bigr)
\times
\times
\bigm\| \bigm\| um - 1; \gamma ;\beta ; 0;Q
(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
\bigm\| \bigm\| \varphi (k)
m ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q(k) \cap (t = tk)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
, k \in \{ 0, 1, . . . , N\} . (37)
Об’єднуючи нерiвностi (35) – (37) i вибираючи \varepsilon , \varepsilon 1 достатньо малими, одержуємо нерiвностi
\bigm\| \bigm\| um; \gamma ;\beta ; 0;Q
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq c
\Biggl\{
N\sum
k=1
\Biggl\{
N\prod
\lambda =k
\bigl(
1 + \| \psi (\lambda )
m \| C2+\alpha (Q\cap (t=t\lambda ))
\bigr)
\times
\times
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \varphi (k - 1)
m ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tk - 1)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
\bigm\| \bigm\| fm; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q
(k - 1)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
+\| gm; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(k - 1)\| 1+\alpha
\Bigr) \Biggr\}
+
\bigm\| \bigm\| \varphi (N)
m ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q \cap (t = tN )
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
+
+
\bigm\| \bigm\| fm; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q
(N)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
\bigm\| \bigm\| gm; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(N)
\bigm\| \bigm\|
1+\alpha
\Biggr\}
. (38)
Розглянемо випадок | x(1)\nu - \xi \nu | \leq 4T1, \xi \in \partial D, \nu \in \{ 1, 2, . . . , n\} . Вважаємо для простоти
\nu = n. Нехай K(P ) — куля радiуса R0, R0 \geq 4(T1n+ T2), з центром у деякiй точцi P \subset \Gamma (k),
яка мiстить точки P1, P2, Ri. Використовуючи обмеження на гладкiсть межi \partial D, можна
розпрямити \partial D \cap K(P ) за допомогою взаємно однозначного перетворення x = \eta (\xi ) iз [10,
с. 126]. В результатi такого перетворення область Q(k)\cap K(P ) перейде в область D2, для точок
якої \xi n \geq 0.
Вважаємо, що um(t, x), P1, P2, Ri при цьому перетвореннi переходять вiдповiдно в vm(t, \xi ),
M1, M2, Zi. Позначимо коефiцiєнти диференцiальних виразiв L1, B1 в областi D2 через\widetilde aij(t, \xi ), \widetilde ai(t, \xi ), \widetilde a0(t, \xi ), \widetilde hk(t, \xi ), \widetilde h0(t, \xi ). Тодi vm(t, \xi ) буде розв’язком задачi\left[ \partial t - n\sum
i,j=1
\widetilde aij(M1)\partial \xi i\xi j
\right] vm =
n\sum
i,j=1
\bigl[ \widetilde aij(t, \xi ) - \widetilde aij(M1)
\bigr]
\partial \xi i\xi jvm -
-
n\sum
i=1
\widetilde ai(t, \xi )\partial \xi ivm - \widetilde a0(t, \xi )vm + fm(t, \eta (\xi )),
vm(tk + 0, \xi ) = G(k)
m (tk, \eta (\xi )),
n\sum
i=1
\widetilde hi(M1)\partial \xi ivm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi n=0
=
\Biggl\{
n\sum
i=1
\bigl[ \widetilde hi(M1) - \widetilde hi(t, \xi )\bigr] \partial \xi ivm - \widetilde h0(t, \xi )vm + gm(t, \eta (\xi ))
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi n=0
.
Повторюючи мiркування, наведенi при знаходженнi оцiнок (35) – (37), i використовуючи
при цьому теорему 6.1 [11, с. 364], одержуємо нерiвнiсть (38).
Оскiльки
\| \psi (\lambda )
m \| C2+\alpha (Q\cap (t=t\lambda )) \leq c\| \psi \lambda \| C2+\alpha (Q\cap (t=t\lambda )),\bigm\| \bigm\| fm; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q
(k)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq c
\bigm\| \bigm\| f ; \gamma ;\beta ;\mu 0;Q(k)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
,
(39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМИ 655
\| gm; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(k)\| 1+\alpha \leq c\| g; \gamma ;\beta ; \delta ;Q(k)\| 1+\alpha ,\bigm\| \bigm\| \varphi (k)
m ; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q(k) \cap (t = tk)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
\leq c
\bigm\| \bigm\| \varphi k; \widetilde \gamma ; \widetilde \beta ; 0;Q(k) \cap (t = tk)
\bigm\| \bigm\|
2+\alpha
,
об’єднуючи нерiвностi (23), (38) i (39), отримуємо оцiнку (18).
Доведення теореми 1. Права частина нерiвностi (18) не залежить вiд m. Крiм того, послi-
довностi
\{ u(0)m \} \equiv \{ um\} , \{ u(1)m \} \equiv
\bigl\{
d1(\gamma
(1) - \beta
(1)
i , t)d2(\gamma
(2) - \beta
(2)
i , x)\partial xium
\bigr\}
,
\{ u(2)m \} \equiv
\bigl\{
d1(2\gamma
(1), t)d2(2\gamma
(2), x)\partial tum
\bigr\}
,
\{ u(3)m \} =
\bigl\{
d1(\gamma
(1) - \beta
(1)
i , t)d2(\gamma
(2) - \beta
(2)
i , x)d1(\gamma
(1) - \beta
(1)
j , t)d2(\gamma
(2) - \beta
(2)
j , x)\partial xixjum
\bigr\}
рiвномiрно обмеженi i рiвностепенево неперервнi в областях Q(k). За теоремою Арцела iснують
пiдпослiдовностi \{ u(\mu )m(j)\} , рiвномiрно збiжнi в Q(k) до \{ u(\mu )0 \} при m(j) - \rightarrow \infty , \mu \in \{ 0, 1, 2, 3\} .
Переходячи до границi при m(j) - \rightarrow \infty в задачi (6) – (9), одержуємо, що u(t, x) = u
(0)
0 —
єдиний розв’язок задачi (1) – (4), u \in H2+\alpha (\gamma ;\beta ; 0;Q).
Лiтература
1. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
2. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand with discontinuities. – Berlin: Walter de Gruyter Co., 2011.
3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. – Киев:
Вища шк., 1987. – 288 с.
4. Асанова А. Т. О нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений с импульсными воздей-
ствиями // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. – С. 315 – 328.
5. Bainov D. D., Minchev E., Vyshkis A. Periodic boundary value problems for impulsive hyperbolic systems // Commun.
Appl. Anal. – 1997. – 1, № 4. – P. 1 – 14.
6. Pukalskyi I. D. Boundary-value problems for parabolic equations with impulsive condition and degenerations // J.
Math. Sci. – 2017. – 223, № 1. – P. 60 – 71.
7. Iсарюк I. М., Пукальський I. Д. Крайовi задачi з iмпульсними умовами для параболiчних рiвнянь з вироджен-
нями // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2016. – 59, № 3. – С. 55 – 67.
8. Isaryuk I. M., Pukalskyi I. D. The boundary value problems for parabolic equations with a nonlocal condition and
degenerations // J. Math. Sci. – 2015. – 207, № 1. – P. 26 – 38.
9. Pukalskyi I. D., Isaryuk I. M. Nonlocal parabolic boundary value problems with singularities // J. Math. Sci. – 2015. –
208, № 3. – P. 327 – 343.
10. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 427 с.
11. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
12. Пукальський I. Д. Крайовi задачi для нерiвномiрно параболiчних та елiптичних рiвнянь з виродженнями i
особливостями. – Чернiвцi, 2008. – 253 с.
Одержано 11.01.18,
пiсля доопрацювання — 30.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1463 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/b7c9454fe7acccd86cd9151d748f1bbe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14632019-12-05T08:56:08Z Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic equation with degeneration Крайова задача з імпульсною дією для параболічного рівняння з виродженнями Pukalskyi, I. D. Yashan, B. O. Пукальський, І. Д. Яшан, Б. О UDC 517.984.54 For a second-order parabolic equation, we consider a problem with oblique derivative and impulsive action. The coefficients of the equation and the boundary condition have power singularities of any order in the time and space variables on some set of points. We establish conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem in Hölder spaces with power weight. УДК 517.984.54 Для параболічного рівняння другого порядку розглянуто задачу з косою похідною й імпульсною дією. Коефіцієнти рівняння і крайової умови мають степеневі особливості довільного порядку за часовою і просторовими змінними на деякій множині точок. Знайдено умови існування й єдиності розв'язку поставленої задачі в гельдерових просторах із степеневою вагою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1463 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 645-655 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 645-655 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1463/447 Copyright (c) 2019 Pukalskyi I. D.; Yashan B. O. |
| spellingShingle | Pukalskyi, I. D. Yashan, B. O. Пукальський, І. Д. Яшан, Б. О Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic equation with degeneration |
| title | Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| title_alt | Крайова задача з імпульсною дією для параболічного рівняння
з виродженнями |
| title_full | Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| title_fullStr | Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| title_short | Boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| title_sort | boundary-value problem with impulsive action for a parabolic
equation with degeneration |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1463 |
| work_keys_str_mv | AT pukalskyiid boundaryvalueproblemwithimpulsiveactionforaparabolicequationwithdegeneration AT yashanbo boundaryvalueproblemwithimpulsiveactionforaparabolicequationwithdegeneration AT pukalʹsʹkijíd boundaryvalueproblemwithimpulsiveactionforaparabolicequationwithdegeneration AT âšanbo boundaryvalueproblemwithimpulsiveactionforaparabolicequationwithdegeneration AT pukalskyiid krajovazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnogorívnânnâzvirodžennâmi AT yashanbo krajovazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnogorívnânnâzvirodžennâmi AT pukalʹsʹkijíd krajovazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnogorívnânnâzvirodžennâmi AT âšanbo krajovazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnogorívnânnâzvirodžennâmi |