Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$
UDC 517.2 We determine the form and properties of the Weierstrass canonical product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$. The proof of the theorem on the order of $R$-integral is specified [${\it Samoilenko\, A. M.}$ Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral /...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1464 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507243181506560 |
|---|---|
| author | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Samoilenko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.2
We determine the form and properties of the Weierstrass canonical product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$.
The proof of the theorem on the order of $R$-integral is specified [${\it Samoilenko\, A. M.}$ Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral // Ukr. Mat. Zh. — 2019. — ${\bf 71}$, № 4. — P.564-570]. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.2
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ВИД ТА ВЛАСТИВОСТI КАНОНIЧНОГО ДОБУТКУ ВЕЙЄРШТРАССА
ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ З ДIЙСНИМИ ЗНАЧЕННЯМИ НА \BbbR
We determine the form and properties of the Weierstrass canonical product of an entire function with real values on \BbbR .
The proof of the theorem on the order of R-integral is specified [Samoilenko A. M. Order and canonical product of the
Weierstrass R-integral // Ukr. Mat. Zh. – 2019. – 71, № 4. – P. 564 – 570].
Визначається вид та властивостi канонiчного добутку Вейєрштрасса цiлої функцiї з дiйсними значеннями на \BbbR .
Конкретизується доведення теореми про порядок R-iнтеграла [Самойленко А. М. Порядок та канонiчний добуток
Вейєрштрасса R-iнтеграла // Укр. мат. журн. – 2019. – 71, № 4. – С. 564 – 570].
Нехай z = x + it, (x, t) \in \BbbR 2, z1, z2, . . . — послiдовнiсть точок \BbbC , розмiщених у порядку
неспадної послiдовностi їхнiх модулiв
0 < | zk| \leq | zk+1| , k = 1, 2, . . . ,
така що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
| rk| = \infty .
Теорема Вейєрштрасса [1] про нескiнченний добуток стверджує, що функцiя
W (z) =
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
z
zk
,mk
\biggr)
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - z
zk
\biggr)
eP (z,mk), (1)
де P (z, 0) = 0 i при mk \in \BbbN
P (z,mk) =
mk\sum
n=1
1
n
\biggl(
z
zk
\biggr) n
,
при вiдповiдному виборi mk \leq k є цiлою функцiєю, нулями якої є точки zk, i лише вони.
Число
\rho = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Biggl\{
\lambda > 0 :
\infty \sum
k=1
| zk| - \lambda < \infty
\Biggr\}
— порядок W (z); якщо вiн скiнченний, то m = [\rho ] — цiла частина \rho , визначає рiд W (z).
Для W (z) скiнченного порядку в формулi (1) всi mk покладають рiвними m:
mk = m, k = 1, 2, . . . .
Добуток (1) називають [2] канонiчним добутком Вейєрштрасса.
В данiй роботi розглядається цей добуток у випадку, коли функцiя W (z) при дiйсних
значеннях z : z = x \in \BbbR набуває дiйсних значень:
W (x) \in \BbbR (2)
для кожного x \in \BbbR . Крiм того, дослiджуються канонiчнi добутки W (z) скiнченного порядку \rho .
Для цiлих функцiй f(z) скiнченного порядку m \leq \rho \leq m+1 роду m, що мають нескiнченну
кiлькiсть нулiв, Ж. Адамар встановив [3] формулу зображення у виглядi канонiчного добутку
Вейєрштрасса
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, 2019
656 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ВИД ТА ВЛАСТИВОСТI КАНОНIЧНОГО ДОБУТКУ ВЕЙЄРШТРАССА . . . 657
f(z) = eQ(z)W (z),
де Q(z) — многочлен степеня не вищого за \rho , W (z) — канонiчний добуток Вейєрштрасса роду
m:
W (z) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - z
zk
\biggr)
e
P
\Bigl(
z
zk
,m
\Bigr)
, (3)
P (z,m) =
m\sum
n=1
zn
n
, m \in \BbbN . (4)
Очевидно, що оскiльки f(0) = 1, W (0) = 1, то при m \geq 1 многочлен Q(z) можна записати
у виглядi
Q(z) =
z\int
0
g(\tau )d\tau , g(z) = Q\prime (z),
де g(z) — многочлен степеня не вищого за \rho - 1.
Визначальним для дослiдження вигляду та властивостей нескiнченного добутку Вейєр-
штрасса (3) з умовою (2) є таке твердження.
Теорема 1. Нехай функцiя (3) задовольняє умову (2). Тодi нулями W (z) можуть бути лише
дiйснi точки \BbbC та пари комплексно-спряжених точок \BbbC однiєї i тiєї ж кратностi в парi як
нулiв W (z).
Дiйсно, згiдно з умовою (2)
W (x) = 1 +
\infty \sum
n=1
W (n)(0)
n!
xn,
де W (n)(0) \in \BbbR , n = 1, 2, . . . .
Таким чином, якщо
W (zk) = 1 +
\infty \sum
n=1
W (n)(0)
n!
znk = 0, (5)
то згiдно з (5)
W (zk) = 1 +
\infty \sum
n=1
W (n)(0)
n!
znk = W (zk) = 0. (6)
Рiвнiсть (6) доводить, що поряд iз zk нулем W (z) є zk — спряжена до zk точка \BbbC .
Очевидно, що якщо одночасно з (5) має мiсце рiвнiсть
W \prime (zk) =
\infty \sum
n=1
W (n)(0)
(n - 1)!
zn - 1
k = 0,
то справджується також рiвнiсть
W \prime (zk) =
\infty \sum
n=1
W (n)(0)
(n - 1)!
zn - 1
k = W \prime (zk) = 0.
Це доводить за iндукцiєю, що кратностi комплексно-спряжених нулiв (zk, zk) функцiї W (z) у
парi спiвпадають.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
658 А. М. САМОЙЛЕНКО
Конкретизуємо з урахуванням теореми 1 вигляд канонiчного добутку Вейєрштрасса W (z)
у випадку, коли вiн задовольняє умову (2).
Розглянемо спочатку випадок, коли всi нулi W (z) є дiйсними. Отже, нехай
W (xk) = 0, W (z) \not = 0, z \not = xk, (7)
0 < | xk| \leq | xk+1| , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
| xk| = \infty . (8)
Згiдно з визначеннями (1), (3) при умовi (2) та (7), (8) маємо
W (x) =
\infty \prod
k=1
W
\biggl(
x
xk
,m
\biggr)
=
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - x
xk
\biggr)
e
P
\Bigl(
x
xk
,m
\Bigr)
,
де
P (x, 0) = 0, P (x,m) =
m\sum
n=1
zn
n
, m \in \BbbN .
Отже, в даному випадку при m \geq 1
W (x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - x
xk
\biggr)
e
\sum m
n=1
1
n
\Bigl(
x
xk
\Bigr) n
. (9)
Визначимо характерну властивiсть добутку (9).
Нехай m = 1. Тодi
W (x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - x
xk
\biggr)
e
x
xk . (10)
Для значень x, близьких до 0, W (x) внаслiдок того, що W (0) = 1, близьке до 1. Логарифмуючи
(10) для x, близьких до 0, отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n}W (x) =
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - x
xk
\biggr)
+
x
xk
\biggr)
, (11)
а диференцiюючи (11), одержуємо рiвнiсть
W \prime (x)
W (x)
=
\infty \sum
k=1
\left( - 1
xk
1 - x
xk
+
1
xk
\right) . (12)
Iз (12) при x = 0 отримуємо рiвнiсть
W \prime (0) = 0.
Розглянемо тепер випадок, коли серед нулiв W (z) немає дiйсних. Отже, всi нулi W (z)
утворюють комплексно-спряженi пари (zk, zk) точок \BbbC однiєї i тiєї ж кратностi в парi як нулiв
W (z).
Запишемо (zk, zk) в полярних координатах:
(zk, zk) = rk(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k + i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k - i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k), (13)
0 < rk \leq rk+1, 0 < \varphi k < \pi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
rk = \infty .
Примарнi множники пари (13) W
\biggl(
z
zk
,m
\biggr)
i W
\biggl(
z
zk
,m
\biggr)
у нескiнченному добутку W (z) стоять
поряд, оскiльки їхнi модулi однаковi. В результатi, об’єднуючи дужками цi множники в пару,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ВИД ТА ВЛАСТИВОСТI КАНОНIЧНОГО ДОБУТКУ ВЕЙЄРШТРАССА . . . 659
отримуємо в W (z) множник
W
\biggl(
z
zk
,m
\biggr)
W
\biggl(
z
zk
,m
\biggr)
=
\biggl(
1 - z
zk
\biggr) \biggl(
1 - z
zk
\biggr)
e
P
\Bigl(
z
zk
,m
\Bigr)
+P
\Bigl(
z
zk
,m
\Bigr)
. (14)
Далi маємо \biggl(
1 - z
zk
\biggr) \biggl(
1 - z
\=zk
\biggr)
= 1 -
\biggl(
z
zk
+
z
\=zk
\biggr)
+
z2
zk\=zk
=
= 1 -
\biggl(
1
zk
+
1
\=zk
\biggr)
z +
z2
r2k
= 1 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
z +
z2
r2k
(15)
i при m \geq 1
P
\biggl(
z
zk
, m
\biggr)
+ P
\biggl(
z
\=zk
, m
\biggr)
=
m\sum
n=1
1
n
\biggl(
zn
znk
+
zn
\=znk
\biggr)
=
m\sum
n=1
zn
n
\=znk + znk
znk \=z
n
k
=
=
m\sum
n=1
zn
n
rnk
r2nk
\bigl(
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k + i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k)
n + (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k - i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k)
n
\bigr)
=
m\sum
n=1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\varphi k
n
\biggl(
z
rk
\biggr) n
.
Отже, при m \geq 1
P
\biggl(
z
zk
, m
\biggr)
+ P
\biggl(
z
\=zk
, m
\biggr)
=
m\sum
n=1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\varphi k
n
\biggl(
z
rk
\biggr) n
. (16)
Iз (15), (16) випливає, що при m \geq 1
W
\biggl(
z
zk
, m
\biggr)
W
\biggl(
z
\=zk
, m
\biggr)
=
\biggl(
1 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
z +
z2
z2k
\biggr)
e
\sum m
n=1
2 cosn\varphi k
n
\Bigl(
z
rk
\Bigr) n
. (17)
Таким чином, у розглядуваному випадку з (3), (4), (14), (17) отримуємо рiвнiсть вигляду
W (z) =
\infty \prod
k=1
\Biggl(
1 - 2
z
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
\biggl(
z
rk
\biggr) 2
\Biggr)
e
Pm
\Bigl(
z
rk
, \varphi k
\Bigr)
, (18)
де P0
\biggl(
z
rk
, \varphi k
\biggr)
= 0, i при m \geq 1
Pm
\biggl(
z
rk
, \varphi k
\biggr)
=
m\sum
n=1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\varphi k
n
\biggl(
z
rk
\biggr) n
.
Рiвнiсть (18) при z = x \in \BbbR набирає вигляду
W (x) =
\infty \prod
k=1
\Biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
\biggl(
x
rk
\biggr) 2
\Biggr)
e
Pm
\Bigl(
x
rk
, \varphi k
\Bigr)
,
де P0
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
= 0, i при m \geq 1
Pm
\biggl(
x
rk
, \varphi k
\biggr)
=
m\sum
n=1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\varphi k
n
\biggl(
x
rk
\biggr) n
.
Нехай m = 1. Тодi
W (x) =
\infty \prod
k=1
\Biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
\biggl(
x
rk
\biggr) 2
\Biggr)
e
2 x
rk
cos\varphi k . (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
660 А. М. САМОЙЛЕНКО
Оскiльки W (0) = 1, W (x) \not = 0, x \in \BbbR , то, логарифмуючи (19), одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{n}W (x) =
\infty \sum
k=1
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
\biggl(
x
rk
\biggr) 2
\Biggr)
+ 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
\Biggr)
. (20)
Диференцiюючи (20), отримуємо рiвнiсть
W \prime (x)
W (x)
=
\infty \sum
k=1
\left(
- 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+ 2
x
r2k
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
\biggl(
x
rk
\biggr) 2 + 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
\right) . (21)
Iз (21) при x = 0 одержуємо
W \prime (0) = 0. (22)
Нехай f(z) — цiла функцiя, f(0) = 1, що набуває дiйсних значень для дiйсних z : f(x) \in \BbbR
для z = x \in \BbbR , яка має перший порядок: \rho = 1 та нескiнченну кiлькiсть комплексно-спряжених
пар (zk, \=zk) нулiв.
Запишемо для f(x) формулу Адамара
f(x) = e
\int x
0 g(\tau )d\tau W (x), (23)
де g(x) = \lambda — стала, W (x) — канонiчний добуток Вейєрштрасса (19) з m = 1. На пiдставi
викладеного (23) записуємо у виглядi
f(x) = e\lambda xW (x). (24)
Диференцiюючи (24), отримуємо
f \prime (x) = \lambda f(x) + e\lambda xW \prime (x). (25)
При x = 0 з урахуванням (22) iз (25) одержуємо рiвнiсть
f \prime (0) = \lambda .
Таким чином, формула Адамара (3) для \rho = 1 у розглядуваному випадку при z = x \in \BbbR
набирає вигляду
f(x) = e\lambda xW (x), (26)
де
\lambda = f \prime (0), (27)
W (x) — канонiчний добуток Вейєрштрасса (19).
Iз (26), (27) випливає, що при f \prime (0) \not = 0 степiнь многочлена в показнику експоненти дорiв-
нює \rho = 1, а при f \prime (0) = 0 менший за \rho = 1 та дорiвнює 0.
Наслiдок . Якщо цiла функцiя f(z), f(0) = 1, має перший порядок: \rho = 1 i нескiнченну
кiлькiсть пар комплексно-спряжених нулiв та не має дiйсних нулiв, то
f(z) = e\lambda zW (z),
де
\lambda = f \prime (0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ВИД ТА ВЛАСТИВОСТI КАНОНIЧНОГО ДОБУТКУ ВЕЙЄРШТРАССА . . . 661
Використаємо цей результат для конкретизацiї доведення теореми 1 про порядок \rho R-
iнтеграла [4].
Нехай \rho = 1. Тодi R-функцiя
f(x) = 1 - x(1 - x)
\infty \int
1
\Bigl(
\tau
x
2 + \tau
1 - x
2
\Bigr)
\theta (\tau )d\tau (28)
згiдно з формулою (24) набирає вигляду
f(x) = e\lambda xW (x),
де
\lambda = f \prime (0), (29)
W (x) — добуток (19). Згiдно з (28) та (29)
\lambda = -
\infty \int
1
\Bigl(
1 + \tau
1
2
\Bigr)
\theta (\tau )d\tau .
Запишемо рiвнiсть
F (x) = f2(x) = f(x)f(1 - x) =
\Bigl(
e\lambda xW (x)
\Bigr) 2
=
= e\lambda xW (x)e\lambda (1 - x)W (1 - x) = e\lambda W (x)W (1 - x) =
= e\lambda
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
e
2 x
rk
cos\varphi k\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
e
2 1 - x
rk
cos\varphi k =
= e\lambda
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
\times
\times
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr) \infty \prod
k=1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
. (30)
Iз (30) при x = 0 отримуємо
1 = e\lambda
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr)
e
2
cos\varphi k
rk .
Отже,
e\lambda =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr) - 1
e
- 2
cos\varphi k
rk . (31)
Пiдставляючи (31) у (30), одержуємо
F (x) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr) \infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
662 А. М. САМОЙЛЕНКО
\times
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr) - 1
. (32)
Оскiльки F (x) \not = 0 для x \in \BbbR , F (0) = 1, то, логарифмуючи (32), для x \geq 1 отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n}F (x) =
\infty \sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
+
+
\infty \sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
-
-
\infty \sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k
rk
+
1
r2k
\biggr)
.
Знайдемо границю при x \rightarrow \infty для
\mathrm{l}\mathrm{n}F (x)
x
.Згiдно з (30) маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}F (x)
x
=
\infty \sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
x
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
+
+
\infty \sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
x
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
1 - x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
(1 - x)2
r2k
\biggr)
. (33)
Далi при x \geq 1 одержуємо
1
x
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 2
x
rk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi k +
x2
r2k
\biggr)
\leq 1
x
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
x2
r2k
\biggr)
,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
x
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
x2
r2k
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
2x
r2k
1 +
x2
r2k
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
2x
x2
\left(
1
r2k
1
x2
+
1
r2k
\right) = 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
x
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
r2k
1
x2
+
1
r2k
= 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
1
x
= 0
рiвномiрно по x.
Аналогiчним чином обчислюється друга границя у формулi (33). Це доводить, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}F (x)
x
= 0 (34)
рiвномiрно по x.
Iз (34) випливає, що F (x) = e\mu (x)x, де \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \mu (x) = 0 рiвномiрно по x, отже, F (x) не
має експоненцiального росту на \BbbR .
Лiтература
1. Weierstrass K. Math. Werke. – 1895. – Bd 2, B.
2. Математическая энциклопедия: В 5 т. – М.: Сов. энцикл., 1979. – Т. 2. – С. 713 – 714.
3. Hadamard J. Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann //
J. Math. Pures et Appl. – 1893. – 9, Ser. 4. – P. 171 – 215.
4. Самойленко А. M. Порядок та канонiчний добуток Вейєрштрасса R-iнтеграла // Укр. мат. журн. – 2019. – 71,
№ 4. – С. 564 – 570.
Одержано 26.04.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1464 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:13Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/5df300a53e7330b66158134ac0ecc819.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14642019-12-05T08:56:08Z Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ Вид та властивості канонічного добутку Вейєрштрасса цілої функції з дійсними значеннями на $\mathbb{R}$ Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. UDC 517.2 We determine the form and properties of the Weierstrass canonical product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$. The proof of the theorem on the order of $R$-integral is specified [${\it Samoilenko\, A. M.}$ Order and canonical product of the Weierstrass $R$-integral // Ukr. Mat. Zh. — 2019. — ${\bf 71}$, № 4. — P.564-570]. УДК 517.2 Визначається вид та властивості канонічного добутку Вейєрштрасса цілої функції з дійсними значеннями на $\mathbb{R}.$ Конкретизується доведення теореми про порядок $R$-інтеграла [${\it Самойленко\, А. М.}$ Порядок та канонічний добуток Вейєрштрасса $R$-інтеграла // Укр. мат. журн. — 2019. — ${\bf 71}$, № 4. — P.564—570]. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1464 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 656-662 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 656-662 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1464/448 Copyright (c) 2019 Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Samoilenko, A. M. Самойленко, А. М. Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title | Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title_alt | Вид та властивості канонічного добутку Вейєрштрасса цілої функції з дійсними значеннями на $\mathbb{R}$ |
| title_full | Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title_fullStr | Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title_full_unstemmed | Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title_short | Form and properties of the canonical Weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{R}$ |
| title_sort | form and properties of the canonical weierstrass product of an entire function with real values on $\mathbb{r}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1464 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam formandpropertiesofthecanonicalweierstrassproductofanentirefunctionwithrealvaluesonmathbbr AT samojlenkoam formandpropertiesofthecanonicalweierstrassproductofanentirefunctionwithrealvaluesonmathbbr AT samoilenkoam vidtavlastivostíkanoníčnogodobutkuvejêrštrassacíloífunkcíízdíjsnimiznačennâminamathbbr AT samojlenkoam vidtavlastivostíkanoníčnogodobutkuvejêrštrassacíloífunkcíízdíjsnimiznačennâminamathbbr |