On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds
UDC 517.9 We study open discrete maps of two-dimensional Riemannian manifolds from the Sobolev class. For these mappings, we obtain the lower estimates of distortions of the moduli of the families of curves. As a consequence, we establish the equicontinuity of Sobolev classes at interior points of...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1465 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507244869713920 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.9
We study open discrete maps of two-dimensional Riemannian manifolds from the Sobolev class. For these mappings,
we obtain the lower estimates of distortions of the moduli of the families of curves. As a consequence, we establish the
equicontinuity of Sobolev classes at interior points of the domain. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА
НА ДВУМЕРНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ*
We study open discrete maps of two-dimensional Riemannian manifolds from the Sobolev class. For these mappings,
we obtain the lower estimates of distortions of the moduli of the families of curves. As a consequence, we establish the
equicontinuity of Sobolev classes at interior points of the domain.
Вивчаються вiдкритi дискретнi вiдображення рiманових двовимiрних многовидiв, якi належать класу Соболєва.
Для таких вiдображень встановлено нижнi оцiнки спотворення сiмей кривих. Як наслiдок отримано одностайну
неперервнiсть класiв Соболєва у внутрiшнiх точках областi.
1. Введение. В работе [1] установлено, что семейство отображений класса Орлича – Соболева,
действующих между римановыми многообразиями, равностепенно непрерывно при опреде-
ленных условиях на эти многообразия и характеристики отображений. Указанная задача рас-
смотрена только при n \geq 3, так как используемое в рассуждениях условие Кальдерона\int \infty
1
(t/\varphi (t))1/(n - 2) dt <\infty лишено смысла при n = 2. Ниже мы исследуем неизученный ранее
случай n = 2. Основные результаты относятся к классам Соболева W 1,1
loc , более широким, чем
классы Орлича – Соболева из [1]. Важным отличием от [1] является отказ от выполнения нера-
венства Пуанкаре и регулярности по Альфорсу во втором многообразии \BbbM n
\ast . Кроме того, мы не
предполагаем образ исходной области D лежащим в шаре BR, который является гомеоморф-
ным некоторой плоской области (см. [1], теорема 1.1). Вместо этого ключевым ограничением
на область во втором многообразии является ее равномерность.
Используемые ниже определения и обозначения взяты из [1, 2] (см. также [3 – 6]). Всюду
далее, если не оговорено противное, D и D\ast — области, лежащие в римановых многообразиях
\BbbM и \BbbM \ast соответственно. Напомним, что длина кусочно-гладкой кривой \gamma = \gamma (t), t \in [a, b],
соединяющей точки \gamma (a) = M1 \in \BbbM , \gamma (b) = M2 \in \BbbM на римановом многообразии \BbbM ,
определяется соотношением
l(\gamma ) :=
b\int
a
\sqrt{} 2\sum
i,j=1
gij(\gamma (t))
d\gamma i
dt
d\gamma j
dt
dt,
где g = gij(x) — гладкий положительно определенный тензор типа (0, 2) на многообразии
(риманова метрика). Иначе говоря, g = gij(x) — система матриц, которые в различных систе-
мах координат связаны соотношением \prime gij(x) =
\sum 2
k,l=1
gkl(y(x))
\partial yk
\partial xi
\partial yl
\partial xj
. Объем измеримого
множества A \subset \BbbM определяется равенством
v(A) =
\int
A
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} gij dxdy. (1)
* Исследования поддержаны грантом Президента Украины Ф78 (договор ф78/206 – 2018 от 16.10.18 г.).
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5 663
664 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Геодезическим расстоянием d(p1, p2) между точками p1 и p2 \in \BbbM будем называть наименьшую
длину всех кусочно-гладких кривых в \BbbM , соединяющих точки p1 и p2. Определим длину l(\gamma )
кривой \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbM как
l(\gamma ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\sum
i=1
d(\gamma (ti), \gamma (ti - 1)),
где супремум берется по всем возможным разбиениям a := t0 \leq t1 \leq . . . \leq tm := b. Всюду
ниже \BbbM и \BbbM \ast — римановы многообразия размерности 2 с геодезическими расстояниями d, d\ast
и площадями v, v\ast соответственно.
Здесь и далее
S(x0, r) = \{ x \in \BbbM : d(x, x0) = r\} ,
B(x0, r) = \{ x \in \BbbM : d(x, x0) < r\} ,
при этом записи S(x0, r) и B(x0, r) сохраняются и для евклидовой окружности (круга), если
недоразумение невозможно. Пусть G — открытое множество в \BbbR 2. Отображение f : G \rightarrow
\rightarrow \BbbR 2 принадлежит классу Соболева W 1,1
loc (G) (пишут f \in W 1,1
loc (G)), если обе координатные
функции f = (f1, f2) имеют обобщенные частные производные первого порядка и локально
интегрируемы в G. Пусть теперь область D \subset \BbbM , тогда будем говорить, что отображение f :
D \rightarrow \BbbM \ast принадлежит классу f \in W 1,1
loc (D), если каждая пара точек p \in D и f(p) \in f(D) имеет
окрестности U \subset D, V \subset f(D), в которых \psi \circ f \circ \varphi - 1 \in W 1,1
loc (\varphi (U)), где \varphi : U \rightarrow \BbbR 2 и \psi :
V \rightarrow \BbbR 2 — соответствующие карты, переводящие U и V в некоторые открытые подмножества
\BbbR 2. Пусть D — подмножество \BbbM . Для отображения f : D \rightarrow \BbbM \ast , множества E \subset D и y \in \BbbM \ast
определим функцию кратности N(y, f, E) как число прообразов точки y во множестве E, т. е.
N(y, f, E) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{ x \in E | f(x) = y\} , N(f,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbM \ast
N(y, f, E). (2)
Для отображения f : D \rightarrow \BbbM \ast , D \subset \BbbM , определим якобиан отображения в точке x \in D как
Jf (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow 0
v\ast (f(B(x, r)))
v(B(x, r))
,
где v и v\ast — объемы в \BbbM и \BbbM \ast соответственно. Заметим, что в нормальных координатах якоби-
ан открытого дискретного отображения f с точностью до знака совпадает в почти всех точках
дифференцируемости с обычным якобианом (определителем якобиевой матрицы) (см. [7], тео-
рема 2, разд. V.3.2). Кроме того, согласно теореме Геринга – Лехто, якобиан Jf (x) определен
и конечен почти всюду для открытых отображений f (см. [8], теорема III.3.1 и замечание).
Полагаем
L(x, f) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\rightarrow x
d\ast (f(x), f(y))
d(x, y)
, (3)
где d и d\ast — геодезические расстояния на \BbbM и \BbbM \ast соответственно. Определим дилатацию
отображения f в точке x \in D равенством
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 665
Kf (x) =
\left\{
L2(x, f)
Jf (x)
, Jf (x) \not = 0,
1, f \prime (x) = 0,
\infty в остальных случаях.
(4)
Борелевская функция \rho : \BbbM \rightarrow [0,\infty ] называется допустимой для семейства \Gamma кривых \gamma , \rho \in
\in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma , если
\int
\gamma
\rho (x) ds \geq 1 для любой кривой \gamma \in \Gamma , где ds — элемент длины на \BbbM . Модулем
семейства \Gamma называется величина
M(\Gamma ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
\BbbM
\rho 2(x) dv(x),
где dv(x) — элемент площади на \BbbM . Область D \subset \BbbM называется равномерной, если для
любого r > 0 найдется такое \delta > 0, что M(\Gamma (F, F \ast , D)) \geq \delta для любых континуумов F и
F \ast в D, удовлетворяющих условиям d(F ) \geq r и d(F \ast ) \geq r. Области Di, i \in I, называются
равностепенно равномерными, если для каждого r > 0 неравенство M
\bigl(
\Gamma (F, F \ast , D)
\bigr)
\geq \delta
выполнено для каждого Di с одним и тем же числом \delta .
Предположим, что x0 \in \BbbM и функция \varphi : M \rightarrow \BbbR интегрируема относительно меры v в
некоторой окрестности U точки x0. Следуя [9] (разд. 2) (см. также [10], разд. 6.1, гл. 6), будем
говорить, что функция \varphi : D \rightarrow \BbbR имеет конечное среднее колебание в точке x0 \in D (пишем
\varphi \in FMO(x0)), если
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
\bigl(
1/(v(B(x0, \varepsilon )))
\bigr) \int
B(x0, \varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi \varepsilon | dv(x) <\infty ,
где \varphi \varepsilon =
\bigl(
1/(v(B(x0, \varepsilon )))
\bigr) \int
B(x0,\varepsilon )
\varphi (x) dv(x).
Для заданных чисел \delta > 0, N \in \BbbN , области D \subset \BbbM и измеримой относительно меры v
функции Q : \BbbM \rightarrow (0,\infty ), Q(x)
\BbbM \setminus D
\equiv 0, обозначим через SQ,\delta ,N (D) семейство всех открытых
дискретных отображений f : D \rightarrow D\ast класса W 1,1
loc (D) с конечным искажением таких, что:
1) Kf (x) \leq Q(x) при почти всех x \in D; 2) N(f,D) \leq N и 3) найдется континуум Gf \subset
\subset D\ast \setminus f(D) такой, что d\ast (Gf ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in Gf
d\ast (x, y) \geq \delta . Основным результатом настоящей
статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что Q удовлетворяет одному из следующих условий:
1) для каждого x0 \in D найдется \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 такое, что при всех \varepsilon \in (0, \varepsilon 0)
\varepsilon 0\int
\varepsilon
dt
\| Q\| (t)
<\infty ,
\varepsilon 0\int
0
dt
\| Q\| (t)
= \infty , (5)
\| Q\| (r) =
\int
S(x0,r)
Q(x) ds — L1-норма функции Q над окружностью S(x0, r);
2) Q \in FMO(x0) в каждой точке x0 \in D.
Если область D\ast равномерна и D\ast — компакт в \BbbM \ast , то семейство SQ,\delta ,N (D) равносте-
пенно непрерывно в каждой точке x0 \in D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
666 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
2. Об искажении модуля семейств кривых при отображении. Методология, использу-
емая ниже, основана на модульной технике, поскольку наиболее принципиальным моментом
для установления желаемого результата является характерное искажение семейств кривых при
отображениях класса Соболева. Условимся говорить, что множество B \subset \BbbM борелево, если B
можно покрыть не более чем счетным числом окрестностей Uk \subset \BbbM , k = 1, 2, . . . , таких, что
(Uk, \varphi k) — локальные координаты, при этом \varphi k(B \cap Uk) — борелево множество в \BbbC . Начнем с
доказательства следующего утверждения.
Предложение 1. Пусть B0 \subset \BbbM , v(B0) = 0, x0 \in \BbbM , (U,\varphi ) — нормальные координаты
точки x0, U \not = \BbbM и 0 < \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial U). Тогда для почти всех (относительно параметра
r \in (0, \varepsilon 0)) окружностей Sr := S(x0, r) с центром в точке x0
\scrH 1(\varphi (B0 \cap Sr)) = 0, (6)
где \varphi — гомеоморфизм U в \BbbD , соответствующий определению нормальной окрестности U,
\scrH 1 — 1-мерная хаусдорфова мера в \BbbR 2.
Доказательство. Действительно, вследствие регулярности лебеговой меры найдется бо-
релево множество B \subset \BbbM такое, что \varphi (B0) \subset \varphi (B) и m(\varphi (B0)) = m(\varphi (B)) = 0, где m — как
обычно, мера Лебега в \BbbR 2. Пусть g — характеристическая функция множества \varphi (B). Согласно
теореме 3.2.5 [11] при m = 1, имеем\int
\gamma
g(x) | dx| = \scrH 1
\bigl(
\varphi (B \cap | \gamma | )
\bigr)
, (7)
где \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR 2 — произвольная локально спрямляемая кривая, | \gamma | — носитель кривой \gamma в \BbbC ,
а | dx| — элемент евклидовой длины. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 33.1 [12],
полагаем
\rho (x) =
\left\{ \infty , x \in B,
0, x /\in B.
Заметим, что \rho — борелева функция. Пусть \Gamma — семейство всех окружностей Sr := S(x0, r) с
центром в точке x0, r \in (0, \varepsilon 0), для которых \scrH 1(\varphi (B \cap Sr)) > 0. В нормальных координатах
окружностям S(x0, r) и кругам B(x0, r) в \BbbM соответствуют окружности S(0, r) и круги B(0, r)
в \BbbR 2 (см., например, лемму 5.10 и следствие 6.11 [13]). В силу (7) для каждой Sr \in \Gamma имеем\int
Sr
\rho (x) ds =
\int
S(0,r)
\rho (\varphi - 1(y)) | dy| = \infty .
Тогда \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma . Таким образом, по определению модуля семейств кривых
M(\Gamma ) \leq
\int
\BbbM
\rho 2(x) dv(x) = 0.
Пусть \Gamma \ast состоит из всех окружностей Sr := S(x0, r) с центром в точке x0, для которых
выполнено \scrH 1(\varphi (B0 \cap Sr)) > 0. Заметим, что \Gamma \ast \subset \Gamma , откуда M(\Gamma \ast ) = 0. Наконец, заметим,
что функция \psi (r) := \scrH 1(\varphi (B0 \cap Sr)) измерима по Лебегу в силу теоремы Фубини, так что (6)
справедливо при почти всех r \in (0, \varepsilon 0) согласно лемме 4.1 [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 667
Пусть \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbM — (локально спрямляемая) кривая на римановом многообразии \BbbM ,
тогда определим функцию l\gamma (t) как длину кривой \gamma | [a,t], a \leq t \leq b. Пусть теперь B \subset \BbbM —
произвольное множество, тогда положим
l\gamma (B) = \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1 \{ s \in [0, l(\gamma )] : \gamma (s) \in B\} , (8)
где, как обычно, \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1 обозначает линейную меру Лебега в \BbbR , а l(\gamma ) — длину \gamma . Точно так
же можно определить l\gamma (B) для штриховой линии \gamma :
\bigcup \infty
i=1
(ai, bi) \rightarrow \BbbS , ai < bi при i \in \BbbN ,
(ai, bi) \cap (aj , bj) = \varnothing при i \not = j. Следующие две леммы являются ключевыми утверждениями,
на основе которых могут быть получены оценки искажения модуля семейств кривых при
заданных отображениях. Первое утверждение связано с искажением длин кривых, проходящих
через произвольное множество нулевой меры, в то время как второе утверждение относится к
множествам точек обращения в нуль нормы производной отображения.
Лемма 1. Пусть f : D \rightarrow D\ast — отображение класса W 1,1
loc , x0 \in D, U — нормальная
окрестность точки x0, U \not = \BbbM и 0 < \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial U). Если B0 \subset D, v(B0) = 0, то для
почти всех r \in (0, \varepsilon 0)
lf(S(x0,r)\cap D)(f(B0)) = 0,
где функция l определена в (8).
Доказательство. Вследствие непрерывности отображения f можно покрыть область f(U)
не более чем счетным числом нормальных окрестностей Vk, k = 1, 2, . . . , лежащих в круге
B(pk, rk) так, что соответствующее координатное отображение \varphi k переводит B(pk, rk) в круг
B(0, rk) \subset \BbbR 2 и, кроме того, Uk = f - 1(Vk),
\bigcup \infty
k=1
Uk = U. Уменьшая окрестность Vk, если это
необходимо, можем считать, что d\ast (x, y) \leq 2| \varphi k(x) - \varphi k(y)| при x, y \in Vk, поскольку тензорная
матрица gij(x) близка к единичной в достаточно малой окрестности точки pk в координатах
\varphi k (см. [13], предложение 5.11 (c)). В силу изложенного можно считать, что f(U) лежит в
некоторой нормальной окрестности W \prime \subset \BbbM \ast , гомеоморфной открытому множеству W \subset \BbbD
посредством координатного отображения \psi : f(U) \rightarrow W, при этом
d\ast (x, y) \leq 2| \psi (x) - \psi (y)| \forall x, y \in W \prime \subset \BbbM \ast . (9)
Пусть \varphi — гомеоморфизм U в \BbbD , соответствующий определению нормальной окрестности U,
и \varphi (U) \subset B(0, r0), где B(0, r0) — компакт в \BbbD . Рассмотрим разбиение множества B(0, r0) на
счетное число попарно непересекающихся кольцевых сегментов
Am = \{ z \in \BbbR 2 : z = Rei\alpha , R \in (rm - 1, rm], \alpha \in (\psi m - 1, \psi m]\} , m = 1, 2, . . . .
Пусть hm — вспомогательная квазиизометрия, отображающая Am на прямоугольник Bm такой,
что дуги окружностей с центром в нуле отображаются на отрезки прямых. Точнее, положим
hm(\omega ) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\omega , \omega \in Am и \widetilde Am := hm(Am \cap D). Тогда при каждом m \in \BbbN рассмотрим
отображение
gm := \psi \circ f \circ \varphi - 1 \circ h - 1
m , gm : \widetilde Am \rightarrow \BbbR 2.
Заметим, что gm \in W 1,1
loc (
\widetilde Am) (см. [15], разд. 1.1.7), откуда, в частности, следует, что gm \in ACL
(см. [15], теоремы 1 и 2, п. 1.1.3, \S 1.1, гл. I).
Положим, как и прежде, Sr := S(x0, r). По предложению 1 вследствие гладкости отобра-
жения hm получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
668 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
\scrH 1(\varphi (B0 \cap Sr) \cap Am) = \scrH 1(hm(\varphi (B0 \cap Sr) \cap Am)) = 0
для всех r \in [0, \varepsilon 0] \setminus A0, где \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1A0 = 0. Поскольку абсолютная непрерывность отображе-
ния gm на фиксированном отрезке влечет N -свойство относительно линейной меры Лебега
(см. [11], разд. 2.10.13), из последнего соотношения получаем
\scrH 1
\bigl(
gm(hm(\varphi (B0 \cap Sr) \cap Am))
\bigr)
= \scrH 1
\bigl(
\psi (f((B0 \cap Sr) \cap Am))
\bigr)
= 0, r \in [0, \varepsilon 0] \setminus A0. (10)
Заметим, что U \subset
\bigcup \infty
m=1
\varphi - 1(Am), так что из (10) вследствие счетной полуаддитивности меры
Хаусдорфа следует, что
\scrH 1
\bigl(
\psi (f(B0 \cap Sr))
\bigr)
= 0, r \in [0, \varepsilon 0] \setminus A0. (11)
Пусть \widetilde \gamma — какая-либо дуга штриховой линии \psi
\bigl(
f(S(x0, r))
\bigr)
и l(\widetilde \gamma ) — ее евклидова длина.
Параметризуем \widetilde \gamma в виде \widetilde \gamma : [0, l(\widetilde \gamma )] \rightarrow \BbbD , \widetilde \gamma = \widetilde \gamma (s), где s — натуральный параметр на \widetilde \gamma в
смысле евклидовой длины. Полагая m = 1 в [11] (теорема 3.2.5), получаем, согласно (11),
что множество B :=
\bigl\{
s \in [0, l(\widetilde \gamma )] : \widetilde \gamma (s) \in \psi (f(B0))
\bigr\}
имеет линейную меру нуль. Пусть
\chi \psi (f(B0))(z) — характеристическая функция множества \psi (f(B0)). Тогда
l\widetilde \gamma (f(B0)) =
l(\widetilde \gamma )\int
0
\chi \psi (f(B0))(\widetilde \gamma (s)) ds = 0 (12)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Обозначим \gamma \ast := \psi - 1(\widetilde \gamma ). Заметим, что между элементами множеств
[0, l(\gamma \ast )] и [0, l(\widetilde \gamma )] существует взаимно однозначное соответствие L : [0, l(\widetilde \gamma )] \rightarrow [0, l(\gamma \ast )] такое,
что L(s) = s\ast , s \in [0, l(\widetilde \gamma )], s = l\widetilde \gamma (t), s\ast = l\gamma \ast (t), t \in [0, 2\pi ]. В силу соотношения (9)\bigm| \bigm| L(s2) - L(s1)
\bigm| \bigm| \leq 2| s2 - s1| (13)
и
L(A) = B,
где
A :=
\bigl\{
s \in [0, l(\widetilde \gamma )] : \widetilde \gamma (s) \in \psi (f(B0))
\bigr\}
,
B :=
\bigl\{
s\ast \in [0, l(\gamma \ast )] : \gamma \ast (s\ast ) \in f(B0)
\bigr\}
.
Из (12) следует, что \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1(A) = 0. Тогда, поскольку при липшицевых отображениях имеет
место N -свойство Лузина (см. [11], теорема 3.2.5 m = 1, g(x) :\equiv \chi A(x)), из (13) получаем,
что и \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1(B) = 0 при почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Последнее равенство завершает доказательство
леммы.
Лемма 2. Пусть f : D \rightarrow D\ast — открытое дискретное отображение класса W 1,1
loc с ко-
нечным искажением, x0 \in D, U — нормальная окрестность точки x0, U \not = \BbbM и 0 < \varepsilon 0 <
< \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial U). Обозначим через B\ast \subset D множество таких точек области D, в которых
отображение f дифференцируемо (в локальных координатах) и Jf (x) = 0. Тогда для почти
всех r \in (0, \varepsilon 0)
lf(S(x0,r))(f(B\ast )) = 0,
где функция l определена в (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 669
Доказательство. Как и в лемме 1, можем считать, что f(U) лежит в некоторой нормаль-
ной окрестности W \prime \subset \BbbM \ast , гомеоморфной открытому множеству W \subset \BbbD посредством карты
(координатного отображения) \psi : f(U) \rightarrow W, и, кроме того, выполнено условие (9). По теоре-
ме Геринга – Лехто f дифференцируемо почти всюду в D в локальных координатах (см. [8],
теорема III.3.1). В частности, множество U может быть разбито на счетное число множеств Bk,
k = 0, 1, 2, . . . , таких, что f | Bk
является билипшицевым гомеоморфизмом при k = 1, 2, . . . , а
B0 имеет меру нуль (см. [11], пункты 3.2.2, 3.1.4 и 3.1.8). Пусть, как и прежде, Sr := S(x0, r).
По лемме 1 и теореме 3.2.5 [11] \scrH 1
\bigl(
\psi (f(B0 \cap Sr))
\bigr)
= 0 для почти всех r \in (0, \varepsilon 0), где \scrH 1
— 1-мерная хаусдорфова мера. Тогда при почти всех r \in (0, \varepsilon 0) имеет место 1-мерная замена
переменных (см. [11], теорема 3.2.5).
Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 1, и используя обозначения
этого предложения, заключаем, что отображение hm переводит \varphi (Sr) на сегмент I(m, r) =
=
\bigl\{
z \in \BbbR 2 : z = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r + it, t \in (\psi m - 1, \psi m)
\bigr\}
. Поскольку f имеет конечное искажение, то при
всех r > 0 и t \in (\psi m - 1, \psi m) таких, что \varphi - 1
\bigl(
h - 1
m (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r+ it)
\bigr)
\in B\ast , выполнено g\prime m(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r+ it) =
= 0. Тогда по теореме 3.2.5 [11] при почти всех r \in (0, \varepsilon 0)
\scrH 1
\bigl(
\psi (f(B\ast \cap Sr \cap \varphi - 1(Am)))
\bigr)
= \scrH 1
\bigl(
gm(hm(\varphi (B\ast \cap Sr) \cap Am))
\bigr)
\leq
\leq
\int
gm(hm(\varphi (B\ast \cap Sr)\cap Am))
N
\bigl(
y, gm, hm(\varphi (B\ast \cap Sr) \cap Am)
\bigr)
d\scrH 1y =
=
\psi m\int
\psi m - 1
\chi hm(\varphi (B\ast )\cap Am)(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r + it)| g\prime m(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r + it)| dt = 0,
где \chi hm(\varphi (B\ast )\cap Am) — характеристическая функция множества hm(\varphi (B\ast ) \cap Am). Вследствие
полуаддитивности по m одномерной хаусдорфовой меры в последней цепочке равенств имеем
\scrH 1
\bigl(
\psi (f(B\ast \cap Sr))
\bigr)
= 0 для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). (14)
Пусть \widetilde \gamma — произвольная дуга штриховой линии \psi (f(Sr)). Параметризуем \widetilde \gamma в виде \widetilde \gamma : [0, b] \rightarrow
\rightarrow \BbbD , b = l(\widetilde \gamma ). Тогда из (14) и теоремы 3.2.5 [11] при m = 1 следует, что множество
B :=
\bigl\{
s \in [0, b] : \widetilde \gamma (s) \in \psi (f(B\ast ))
\bigr\}
имеет линейную меру нуль. В таком случае
l\widetilde \gamma (f(B\ast )) =
l(\widetilde \gamma )\int
0
\chi \psi (f(B\ast ))(\widetilde \gamma (s)) ds = 0 (15)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Обозначим \gamma \ast := \psi - 1(\widetilde \gamma ). Заметим, что между элементами множеств
[0, l(\gamma \ast )] и [0, l(\widetilde \gamma )] существует взаимно однозначное соответствие L : [0, l(\widetilde \gamma )] \rightarrow [0, l(\gamma \ast )] такое,
что L(s) = s\ast , s \in [0, l(\widetilde \gamma )], s = l\widetilde \gamma (t), s\ast = l\gamma \ast (t), t \in [0, 2\pi ]. В силу соотношения (9)\bigm| \bigm| L(s2) - L(s1)
\bigm| \bigm| \leq 2| s2 - s1| (16)
и
L(C) = E,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
670 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
где
C :=
\bigl\{
s \in [0, l(\widetilde \gamma )] : \widetilde \gamma (s) \in \psi (f(B\ast ))
\bigr\}
,
E :=
\bigl\{
s\ast \in [0, l(\gamma \ast )] : \gamma \ast (s\ast ) \in f(B\ast )
\bigr\}
.
Из (15) следует, что \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1(C) = 0. Тогда, поскольку при липшицевых отображениях имеет
место N -свойство Лузина (см. [11], теорема 3.2.5, m = 1, g(x) :\equiv \chi C(x)), из (16) получаем,
что и \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1(E) = 0 при почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Последнее равенство завершает доказательство
леммы.
Пусть D и D\ast — заданные области, лежащие в римановых многообразиях \BbbM и \BbbM \ast со-
ответственно, Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая функция относительно меры v на \BbbM . Будем
говорить, что f : D \rightarrow D\ast — нижнее Q-отображение в точке x0 \in D, если для некото-
рого \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0, \varepsilon 0 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in D d(x, x0), и каждого кольца A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) =
\bigl\{
x \in \BbbM :
\varepsilon < d(x, x0) < \varepsilon 0
\bigr\}
выполнено неравенство
M(f(\Sigma \varepsilon )) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in ext adm\Sigma \varepsilon
\int
D\cap A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
\rho 2(x)
Q(x)
dv(x),
где \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений окружностей S(x0, r) =
\bigl\{
x \in \BbbM : d(x, x0) = r
\bigr\}
с областью D, r \in (\varepsilon , \varepsilon 0).
Аналоги следующего фундаментального утверждения были получены в [16] (лемма 3.1)
и [17] (теорема 3).
Теорема 2. Пусть x0 \in D. Тогда любое открытое дискретное отображение с конечным
искажением f : D \rightarrow D\ast такое, что N(f,D) < \infty , является нижним Q-отображением в
точке x0 при Q(x) = N(f,D)Kf (x), где Kf (x) определено соотношением (4), а функция
N(f,D) задана в (2).
Доказательство. Поскольку f открыто, то отображение f дифференцируемо почти всюду
в D в локальных координатах (см. [8], теорема III.3.1). Пусть B — борелево множество всех
точек x \in D, где f имеет полный дифференциал f \prime (x) и Jf (x) \not = 0 в локальных коорди-
натах. Заметим, что B может быть представлено в виде не более чем счетного объединения
борелевских множеств Bl , l = 1, 2, . . . , таких, что fl = f | Bl
являются билипшицевыми гомео-
морфизмами (см. [11], пункты 3.2.2, 3.1.4 и 3.1.8). Без ограничения общности можем считать,
что множества Bl попарно не пересекаются. Обозначим также символом B\ast множество всех
точек x \in D, где f имеет полный дифференциал и f \prime (x) = 0. Поскольку f имеет конечное
искажение, f \prime (x) = 0 для почти всех точек x, где Jf (x) = 0. Таким образом, по построению
множество B0 := D \setminus (B
\bigcup
B\ast ) имеет нулевую меру Лебега.
Пусть U — нормальная окрестность точки x0, \Gamma — семейство всех окружностей Sr, r \in
\in (\varepsilon , \varepsilon 0), \varepsilon 0 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial U). Для заданной функции \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma ), тождественно равной
нулю вне f(D), положим \rho
(\BbbM \setminus D)\cup B0\equiv 0 и
\rho (x) = \rho \ast (f(x))L(x, f) при x \in D \setminus B0,
где L(x, f) определено в (3). Пусть S\ast
r \in f(\Gamma ), S\ast
r = f(D \cap Sr). Заметим, что
S\ast
r =
\infty \bigcup
i=0
f(Sr \cap Bi)
\bigcup
f(Sr \cap B\ast ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 671
и, следовательно, для почти всех r \in (0, \varepsilon 0)
1 \leq
\int
S\ast
r
\rho \ast (y) ds\ast \leq
\infty \sum
i=0
\int
f(Sr\cap Bi)
\rho \ast (y)N(y, f, Sr \cap Bi) ds\ast +
+
\int
f(Sr\cap B\ast )
\rho \ast (y)N(y, f, Sr \cap B\ast ) ds\ast . (17)
Согласно леммам 1 и 2, при почти всех r \in (0, \varepsilon 0) имеем lf(Sr)(f(B0)) = 0 и lf(Sr)(f(B\ast )) = 0.
Тогда из (17) следует, что
1 \leq
\int
S\ast
r
\rho \ast (y) ds\ast \leq
\infty \sum
i=1
\int
f(Sr\cap Bi)
\rho \ast (y)N(y, f, Sr \cap Bi) ds\ast (18)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Рассуждая по отдельности на каждом Bi, i = 1, 2, . . . , в силу
теоремы 3.2.5 [11] получаем \int
Bi\cap Sr
\rho ds =
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(x))L(x, f) ds =
=
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(x))
L(x, f)
ds\ast
ds
ds\ast
ds
ds \geq
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(x))
ds\ast
ds
ds =
=
\int
f(Bi\cap Sr)
\rho \ast (y)N(y, f, Sr \cap Bi) ds\ast (19)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Из (18) и (19) следует, что \rho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t} \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma .
Замена переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . . (см., например, теорему 3.2.5 [11]), и
свойство счетной аддитивности интеграла приводят к оценке\int
D
\rho 2(x)
Kf (x)
dv(x) \leq
\int
f(D)
N(f,D)\rho 2
\ast (y) dv\ast (y),
что и завершает доказательство.
3. Равностепенная непрерывность семейств нижних \bfitQ -отображений. Доказательство
основного результата. Следующее простое вспомогательное утверждение не имеет прямого
отношения ни к отображениям, ни к римановым многообразиям, однако содержит в себе весьма
полезное топологическое свойство, справедливое для произвольных метрических пространств.
Предложение 2. Пусть (X, d) — произвольное метрическое пространство с метрикой d
и Fj , j = 1, 2, . . . , — последовательность континуумов в X такая, что
d(Fj) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x,y\in Fj
d(x, y) \geq \delta , j = 1, 2, . . . .
Пусть x0 \in X и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
672 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
B(x0, \delta /4) =
\bigl\{
x \in X : d(x, x0) < \delta /4
\bigr\}
.
Тогда найдутся \varepsilon 0 > 0 и последовательность континуумов Cj такие, что Cj \subset Fj\setminus B(x0, \delta /4)
и
d(Cj) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x,y\in Cj
d(x, y) \geq \delta /4, j = 1, 2, . . . .
Доказательство. Зафиксируем j \in \BbbN . Если Fj\cap B(x0, \delta /4) = \varnothing , доказывать нечего. Пусть
Fj \cap B(x0, \delta /4) \not = \varnothing .
Поскольку Fj — континуум в X, найдутся xj , yj \in Fj такие, что d(Fj) = d(xj , yj). В силу
того, что d(Fj) \geq \delta , хотя бы одна из точек xj или yj не принадлежит B(x0, \delta /4), поскольку в
противном случае по неравенству треугольника d(xj , yj) \leq d(xj , x0) + d(x0, yj) < \delta /2. Пусть
для определенности xj \in D \setminus B(x0, \delta /4). Тогда возможны два случая:
Случай 1: yj \in B(x0, \delta /4). Пусть Cj — xj -компонента Fj \setminus B(x0, \delta /4). Поскольку Fj связно
и Fj \cap B(x0, \delta /4) \not = \varnothing , то Cj \cap Fj \setminus Cj \not = \varnothing (см., например, [18], разд. I.5.46). Заметим, что
Fj \setminus Cj =
\bigl(
Fj \cap B(x0, \delta /4)
\bigr)
\cup
\bigcup
\alpha \in A
K\alpha , (20)
где A — некоторый набор индексов \alpha и
\bigcup
\alpha \in AK\alpha — объединение всех компонент связности
Fj \setminus B(x0, \delta /4), за исключением Cj . По теореме 1.III.46.5 [18] K\alpha и Cj являются замкнутыми
непересекающимися множествами в Fj \setminus B(x0, \delta /4), \alpha \in A. В силу (20) соотношение Cj \cap
\cap Fj \setminus Cj \not = \varnothing возможно тогда и только тогда, когда Cj \cap B(x0, \delta /4) \not = \varnothing . Тогда найдется
zj \in Cj \cap S(x0, \delta /4). По неравенству треугольника
\delta \leq d(xj , yj) \leq d(xj , zj) + d(zj , yj) < d(Cj) + \delta /2,
откуда следует, что d(Cj) > \delta /2, что и требовалось доказать.
Случай 2: yj \in D \setminus B(x0, \delta /4). Пусть, как и прежде, Cj — xj -компонента Fj \setminus B(x0, \delta /4)
и Dj – yj -компонента Fj \setminus B(x0, \delta /4). Рассуждая аналогично изложенному выше, заключаем,
что найдутся zj \in Cj \cap S(x0, \delta /4) и z\prime j \in Dj \cap S(x0, \delta /4). Тогда по неравенству треугольника
\delta \leq d(xj , yj) \leq d(xj , zj) + d(zj , z
\prime
j) + d(z\prime j , yj) \leq d(Cj) + d(Dj) + \delta /2,
откуда следует, что либо d(Cj) \geq \delta /4, либо d(Dj) \geq \delta /4, что и требовалось доказать.
Следующее вспомогательное утверждение несет в себе основную техническую нагрузку,
относящуюся к доказательству основного результата работы — теоремы 1.
Лемма 3. Предположим, что область D\ast равномерна и D\ast — компакт в \BbbM \ast . Пусть
\delta > 0 и fk : D \rightarrow D\ast \setminus Gk, k = 1, 2, . . . , — семейство открытых в D отображений таких,
что d\ast (Gk) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in Gk
d\ast (x, y) \geq \delta , где Gk \subset D\ast — некоторый континуум.
Предположим, что x0 \in D, xk \in D, k = 1, 2, . . . , и \delta 0 такие, что xk
k\rightarrow \infty \rightarrow x0 и
d\ast (fk(xk), fk(x0)) \geq \delta 0, k = 1, 2, . . . . (21)
Тогда найдутся l0 > 0 и r0 > 0 такие, что при некотором k0 \geq 1
l(fk(S(x0, r)) \geq l0 \forall r \in (d(x0, xk), r0) \forall k \geq k0, (22)
где l обозначает длину кривой на римановом многообразии \BbbM \ast .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 673
Доказательство. Предположим противное. Тогда для каждого i \in \BbbN найдутся ki > i и
d(x0, xki) < ri < 1/i такие, что
l(fki(S(x0, ri))) < 1/i, i = 1, 2, . . . , ri
i\rightarrow \infty \rightarrow 0. (23)
Не ограничивая общности можно считать, что последовательность номеров ki, i = 1, 2, . . . ,
является возрастающей. Пусть \zeta i, i = 1, 2, . . . , — произвольная последовательность точек из
fki(S(x0, ri)). Поскольку D\ast — компакт в \BbbM \ast , то без ограничения общности можно считать,
что \zeta i
i\rightarrow \infty \rightarrow \zeta 0, \zeta 0 \in D\ast . Заметим, что \zeta i = fki(x
\prime
i), x
\prime
i \in S(x0, ri), и
Gki \subset D\ast \setminus fki(B(x0, ri)), (24)
так как по условию Gk \subset D\ast \setminus fk(D) при каждом k \in \BbbN . Вследствие того, что при каждом
i \in \BbbN отображение fki открыто, имеем
\partial fki(B(x0, ri)) \subset fki(S(x0, ri)). (25)
Из предположения (23) следует, что
d\ast (fki(S(x0, ri)))
i\rightarrow \infty \rightarrow 0, d\ast (fki(S(x0, ri))) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
p\ast ,q\ast \in fki (S(x0,ri))
d\ast (p\ast , q\ast ).
Тогда для каждого s \in \BbbN найдется номер is \in \BbbN такой, что
fki(S(x0, ri)) \subset B(\zeta 0, 1/s), i \geq is. (26)
По предложению 2 найдутся s0 \in \BbbN и последовательность континуумов Eki таких, что
Eki \subset Gki \setminus B(\zeta 0, 1/s0), d\ast (Eki) \geq \delta /4, i = 1, 2, . . . . (27)
Зафиксируем s > s0 и рассмотрим семейство кривых \Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast ) при i \geq is (см.
рисунок).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
674 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Пусть \gamma \in \Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast ), т. е. \gamma = \gamma (t), t \in (0, 1), \gamma (0) \in fki(S(x0, ri)),
\gamma (1) \in Eki и \gamma (t) \in D\ast при t \in (0, 1). В силу (26) и (27) | \gamma | \cap B(\zeta 0, 1/s) \not = \varnothing \not = | \gamma | \cap
\cap (D\ast \setminus B(\zeta 0, 1/s)), поэтому согласно теореме 1.I.5 [18] (§ 46) найдется t1 \in (0, 1) такое,
что \gamma (t1) \in S(\zeta 0, 1/s). Можно считать, что \gamma (t) \in D\ast \setminus B(\zeta 0, 1/s) при t > t1. Положим
\gamma 1 := \gamma | [t1,1]. Снова в силу (26) и (27) | \gamma 1| \cap B(\zeta 0, 1/s0) \not = \varnothing \not = | \gamma 1| \cap (D\ast \setminus B(\zeta 0, 1/s0)),
поэтому согласно теореме 1.I.5 [18] (§ 46) найдется t2 \in (t1, 1) такое, что \gamma 1(t2) \in S(\zeta 0, 1/s0).
Не ограничивая общности можно считать, что \gamma 1(t) \in B(\zeta 0, 1/s0) при t \in (t1, t2). Положим
\gamma 2 := \gamma 1| [t1,t2], \gamma 2 \in \Gamma (S(\zeta 0, 1/s), S(\zeta 0, 1/s0), A(\zeta 0, 1/s, 1/s0)), A(\zeta 0, 1/s, 1/s0) = \{ x\ast \in \BbbM \ast :
1/s < d\ast (x\ast , \zeta 0) < 1/s0\} . Из изложенного следует, что
\Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast ) > \Gamma (S(\zeta 0, 1/s), S(\zeta 0, 1/s0), A(\zeta 0, 1/s, 1/s0)), i \geq is,
и, значит, в силу теоремы 1(c) [19] и теоремы 7.5 [12], учитывая, что \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} gij(x) в (1) сколь
угодно близок к 1 в нормальных координатах, получаем
M(\Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast )) \leq
\leq M
\bigl(
\Gamma (S(\zeta 0, 1/s), S(\zeta 0, 1/s0), A(\zeta 0, 1/s, 1/s0))
\bigr) s\rightarrow \infty \rightarrow 0, i \geq is. (28)
Зафиксируем \varepsilon > 0 и для него найдем номер S = S(\varepsilon ) такой, что
M
\bigl(
\Gamma (S(\zeta 0, 1/s), S(\zeta 0, 1/s0), A(\zeta 0, 1/s, 1/s0))
\bigr)
< \varepsilon , s > S(\varepsilon ).
Положим I0 = I0(\varepsilon ) := iS(\varepsilon ). Тогда из (28) следует, что
M
\bigl(
\Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast )
\bigr)
< \varepsilon , i > I0 = I0(\varepsilon ). (29)
Поскольку \BbbM — гладкое многообразие, можем считать, что шары B(x0, ri) линейно связны при
каждом i \in \BbbN . Пусть \alpha i — кривая, соединяющая xki и x0 в B(x0, ri). В силу предположения (21)
d\ast (fki(| \alpha i| )) \geq \delta 0. Тогда по определению равномерной области
M
\bigl(
\Gamma (fki(| \alpha i| ), Eki , D\ast )
\bigr)
> \varepsilon 1 \forall i \in \BbbN . (30)
С другой стороны, в силу (24) и (25) \Gamma
\bigl(
fki(| \alpha i| ), Eki , D\ast
\bigr)
> \Gamma
\bigl(
fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast
\bigr)
, откуда
согласно теореме 1(c) [19] и (30)
\varepsilon 1 < M
\bigl(
\Gamma (fki(| \alpha i| ), Eki , D\ast )
\bigr)
\leq M
\bigl(
\Gamma (fki(S(x0, ri)), Eki , D\ast )
\bigr)
. (31)
Неравенства (31) и (29) противоречат одно другому, что и доказывает (22).
Пусть D \subset \BbbM и D\ast \subset \BbbM \ast — фиксированные области. Для заданного \delta > 0 и измери-
мой относительно меры v функции Q : \BbbM \rightarrow (0,\infty ), Q(x)
\BbbM \setminus D
\equiv 0, обозначим через \frakG Q,\delta (D)
семейство всех открытых нижних Q-отображений f : D \rightarrow D\ast \setminus Gf в D таких, что d\ast (Gf ) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in Gf
d\ast (x, y) \geq \delta , где Gf \subset D\ast — некоторый континуум.
Лемма 4. Предположим, что Q удовлетворяет соотношениям (5) в D либо Q \in
\in FMO(x0) в каждой точке x0 \in D. Если область D\ast равномерна и D\ast — компакт в
\BbbM \ast , то семейство \frakG Q,\delta (D) равностепенно непрерывно в каждой точке x0 \in D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ КЛАССОВ СОБОЛЕВА . . . 675
Доказательство. Если Q \in FMO(x0), то, полагая
\psi (t) =
1
t \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
t
, \eta (t) := \psi (t)/I(\varepsilon , \varepsilon 0), 0 < \varepsilon < \varepsilon 0,
и применяя предложение 4.2 из п. 4.10 [14], заключаем, что выполнено (5). Поэтому достаточно
установить лемму 4 в случае, когда Q удовлетворяет соотношениям (5) в D.
Предположим противное. Тогда найдутся x0 \in D, xk \in D, k = 1, 2, . . . , fk \in \frakG Q,\delta (D) и \delta 0
такие, что xk
k\rightarrow \infty \rightarrow x0 и
d\ast
\bigl(
fk(xk), fk(x0)
\bigr)
\geq \delta 0. (32)
По лемме 3 найдутся l0 > 0 и r0 > 0 такие, что при некотором k0 \geq 1
l
\bigl(
fk(S(x0, r))
\bigr)
\geq l0 \forall r \in (d(x0, xk), r0) \forall k \geq k0.
Не ограничивая общности можно считать, что r0 < \varepsilon 0, где \varepsilon 0 — число из (5), существующее
по условию леммы. Тогда функция
\rho (p) =
\left\{ 1/l0, p \in D\ast ,
0, p \not \in D\ast ,
является допустимой для семейства \Gamma r0k , состоящего из объединения всех кривых вида
fk(S(x0, r)) по r \in (d(x0, xk), r0), k = 1, 2, . . . . В таком случае, по определению модуля
семейств кривых,
M(\Gamma r0k ) \leq
\bigl(
1/l20
\bigr)
v\ast (D\ast ) <\infty , (33)
поскольку D\ast — компакт в \BbbM \ast . С другой стороны, по леммe 4.2 [14] и в силу условий (5)
M
\bigl(
\Gamma r0k
\bigr)
\geq
r0\int
d(x0,xk)
dr
\| Q\| (r)
k\rightarrow \infty \rightarrow \infty . (34)
Соотношения (33) и (34) противоречат одно другому, что опровергает предположение (32).
Доказательство теоремы 1 непосредственно следует из леммы 4 и теоремы 2.
Литература
1. Севостьянов Е. А., Скворцов С. А. О локальном поведении классов Орлича – Соболева // Укр. мат. вестн. –
2016. – 13, № 4. – С. 543 – 569.
2. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в классах Орлича – Соболева на римановых
многообразиях // Укр. мат. вестн. – 2011. – 8, № 3. – С. 319 – 342.
3. Ковтонюк Д. А., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории отображений классов Соболева и Орлича – Соболе-
ва / Под общей ред. В. И. Рязанова. – Киев: Наук. думка, 2013. – 303 с.
4. Салимов Р. Р. Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболева // Алгебра и анализ. – 2014. – 26, № 6. –
С. 143 – 171.
5. Ryazanov V., Volkov S. On the boundary behavior of mappings in the class W 1,1
loc on Riemann surfaces // Complex
Anal. and Oper. Theory. – 2017. – 11. – P. 1503 – 1520.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
676 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
6. Миклюков В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. – Волгоград: Изд-во
Волгоград. гос. ун-та, 2005. – 272 с.
7. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous transformations in analysis. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1955.
8. Lehto O., Virtanen O. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
9. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 3. – С. 395 – 417.
10. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
11. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 с.
12. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
13. Lee J. M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. – New York: Springer, 1997.
14. Ильютко Д. П., Севостьянов Е. А. Об открытых дискретных отображениях с неограниченной характеристикой
на римановых многообразиях // Мат. сб. – 2016. – 207, № 4. – С. 65 – 112.
15. Мазья В. Г. Пространства Соболева. – Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. – 415 с.
16. Lomako T., Salimov R., Sevost’yanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations // Ann. Univ.
Bucharest. Math. Ser. – 2010. – 59, № 2. – P. 263 – 274.
17. Севостьянов Е. А. О локальном поведении открытых дискретных отображений классов Орлича – Соболева //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 9. – С. 1259 – 1272.
18. Куратовский К. Топология: В 2 т. – М.: Мир, 1969. – Т. 2. – 624 с.
19. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219.
Получено 25.09.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1465 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/cf52f0bcfebbaa5a83462e3a9823ed22.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14652019-12-05T08:56:08Z On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds О локальном поведении классов Соболева на двумерных римановых многообразиях Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. UDC 517.9 We study open discrete maps of two-dimensional Riemannian manifolds from the Sobolev class. For these mappings, we obtain the lower estimates of distortions of the moduli of the families of curves. As a consequence, we establish the equicontinuity of Sobolev classes at interior points of the domain. УДК 517.9 Вивчаються вiдкритi дискретнi вiдображення рiманових двовимiрних многовидiв, якi належать класу Соболєва. Для таких вiдображень встановлено нижнi оцiнки спотворення сiмей кривих. Як наслiдок отримано одностайну неперервнiсть класiв Соболєва у внутрiшнiх точках областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1465 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 663-676 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 663-676 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1465/449 Copyright (c) 2019 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title | On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title_alt | О локальном поведении классов Соболева на двумерных римановых многообразиях |
| title_full | On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title_fullStr | On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title_full_unstemmed | On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title_short | On the local behavior of Sobolev classes on two-dimensional Riemannian manifolds |
| title_sort | on the local behavior of sobolev classes on two-dimensional riemannian manifolds |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1465 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onthelocalbehaviorofsobolevclassesontwodimensionalriemannianmanifolds AT sevostʹânovea onthelocalbehaviorofsobolevclassesontwodimensionalriemannianmanifolds AT sevostʹânovea onthelocalbehaviorofsobolevclassesontwodimensionalriemannianmanifolds AT sevost039yanovea olokalʹnompovedeniiklassovsobolevanadvumernyhrimanovyhmnogoobraziâh AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiklassovsobolevanadvumernyhrimanovyhmnogoobraziâh AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiklassovsobolevanadvumernyhrimanovyhmnogoobraziâh |