Investigation of systems of differential equations with delays and constraints imposed on the delays and derivatives of the solutions
UDC 517.929; 517.958:531–133 We establish conditions for the existence and uniqueness of the solutions of nonlinear systems of differential equations with delays and restrictions imposed on the delays and derivatives of the solutions.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1466 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507246437335040 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-15T13:59:03Z |
| description | UDC 517.929; 517.958:531–133
We establish conditions for the existence and uniqueness of the solutions of nonlinear systems of differential equations with delays and restrictions imposed on the delays and derivatives of the solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929; 517.958:531–133
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ НА ЗАПIЗНЮВАННЯ
ТА ПОХIДНI РОЗВ’ЯЗКIВ
We establish conditions for the existence and uniqueness of the solutions of nonlinear systems of differential equations
with delays and restrictions imposed on the delays and derivatives of the solutions.
Знайдено умови iснування та єдиностi розв’язкiв нелiнiйних систем диференцiальних рiвнянь iз запiзнюваннями й
обмеженнями на запiзнювання та похiднi розв’язкiв.
Незважаючи на значнi досягнення теорiї диференцiальних рiвнянь iз вiдхилювальним аргумен-
том (див., наприклад, [1 – 11]), деяким класам систем, пов’язаних iз цiєю теорiєю, не придiлено
належної уваги. До такого типу систем вiдносяться гiбриднi системи, що пов’язують диферен-
цiальнi рiвняння з вiдхилювальним аргументом, недиференцiальнi спiввiдношення мiж запiз-
нюваннями i значеннями розв’язкiв у певнi моменти часу та обмеження на похiднi розв’язкiв у
виглядi нерiвностей. Такого типу системи потрiбнi для небесної механiки, що враховує скiнчен-
нiсть швидкостi гравiтацiї (див. [12, 13]). Пiдставою для проведення дослiджень таких систем
є теорiя вiдносностi Ейнштейна, в якiй постулюється, що швидкiсть гравiтацiї збiгається зi
швидкiстю свiтла, експериментальнi дослiдження С. М. Копєйкiна i Е. Фомалонта про фунда-
ментальну границю швидкостi гравiтацiї [14] та публiкацiї автора [12, 13]. Цi системи мають i
самостiйний iнтерес.
Оскiльки методи теорiї диференцiальних рiвнянь iз вiдхилювальним аргументом безпо-
середньо не застосовнi до дослiдження такого типу систем, то природними i важливими є
дослiдження цих складнiших у математичному сенсi систем i з’ясування для них насамперед
умов iснування та єдиностi розв’язкiв.
1. Основний об’єкт дослiджень. Розглянемо систему нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
iз запiзнювальним аргументом
\"\vec{}r1(t) =
A1
| \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)| 3
(\vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)) ,
\"\vec{}r2(t) =
A2
| \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)| 3
(\vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)) ,
t \in [t0, T ), (1)
в якiй запiзнювання \tau 1(t) i \tau 2(t) задовольняють спiввiдношення
c\tau 1(t) = | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)| , t \in [t0, T ), (2)
i
c\tau 2(t) = | \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)| , t \in [t0, T ), (3)
A1 i A2 — додатнi сталi, t0 — довiльний початковий момент часу, T \in (t0,+\infty ) \cup \{ +\infty \} , \vec{}r1(t)
i \vec{}r2(t) — векторнi функцiї зi значеннями в \BbbR 2, | \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)| i | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)| —
евклiдовi довжини векторiв \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t) i \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t), c — додатна стала.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5 677
678 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Такого типу рiвняння є математичною моделлю руху двох тiл з урахуванням скiнченної
швидкостi гравiтацiї [12, 13].
Дослiдимо систему рiвнянь (1) – (3) при виконаннi умови
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0,T )
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(t - \tau 1(t))
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}r2(t - \tau 2(t))
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(t)\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}r2(t)\bigm| \bigm| \Bigr\} = v\ast < c. (4)
Вважатимемо, що для всiх t \in [t0, T )\bigm| \bigm| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)
\bigm| \bigm| \not = 0. (5)
Очевидно, що перш нiж дослiджувати систему (1) – (3), потрiбно показати, що вона має
розв’язки. Цiй задачi ми придiлимо увагу в данiй статтi i наведемо алгоритм знаходження її
розв’язкiв, зручний для використання обчислювальної технiки.
2. Умови iснування розв’язкiв системи (1) – (4). За теорiєю диференцiальних рiвнянь iз
вiдхилювальним аргументом (див., наприклад, [1 – 11]) для знаходження розв’язкiв системи рiв-
нянь (1) – (3) потрiбно знати значення функцiй \vec{}r1(t), \vec{}r2(t), \.\vec{}r1(t) i \.\vec{}r2(t) на деякому початковому
вiдрiзку [t0 - \Delta , t0].
Оскiльки запiзнювання \tau 1(t), \tau 2(t) i векторнi функцiї \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) знаходяться в залежностi
(див. (2), (3)), то \Delta можна оцiнити з використанням \vec{}r1(t) i \vec{}r2(t).
Завдяки (5) i подальшому (див. (10), (11)) для \Delta справджуються спiввiдношення
0 <
| \vec{}r1(t0) - \vec{}r2(t0)|
c+ v\ast
\leq \Delta \leq | \vec{}r1(t0) - \vec{}r2(t0)|
c - v\ast
. (6)
Наведенi оцiнки для \Delta дають змогу задавати початковi умови для розв’язкiв системи (1).
Точного значення \Delta ми не знаємо. Однак, не наносячи шкоди подальшим дослiдженням, можна
(з певним запасом) в якостi \Delta використовувати
| \vec{}r1(t0) - \vec{}r2(t0)|
c - v\ast
, що можна знайти з початкових
умов (значення \vec{}r1(t0) i \vec{}r2(t0) входять до початкових умов). У цьому випадку деякi „зайвi”
початковi значення розв’язкiв системи (1) на [t0 - \Delta , t0] (поблизу t0 - \Delta ) не будуть враховуватися
при знаходженнi її розв’язкiв i не впливатимуть на їхнi властивостi.
2.1. Однозначна розв’язнiсть рiвнянь (2) i (3) вiдносно \bfittau 1(\bfitt ) i \bfittau 2(\bfitt ) у випадку вiдомих
\vec{}\bfitr 1(\bfitt ) i \vec{}\bfitr 2(\bfitt ). Спочатку наведемо важливе для подальшого викладу твердження.
Лема 1. Нехай: 1) \vec{}u1(t), \vec{}u2(t), \vec{}w1(t) i \vec{}w2(t) — неперервно диференцiйовнi на [t0 - \Delta , T )
векторнi функцiї, для яких
\vec{}u1(t) = \vec{}u2(t), \vec{}w1(t) = \vec{}w2(t) для всiх t \in [t0 - \Delta , t0]
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0 - \Delta ,T )
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \.\vec{}u1(t)\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}u2(t)\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}w1(t)
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}w2(t)
\bigm| \bigm| \Bigr\} = v\ast < c;
2) \tau 1(t) i \tau 2(t) — неперервно диференцiйовнi на [t0, T ) функцiї, для яких
c\tau k(t) =
\bigm| \bigm| \vec{}uk(t - \tau k(t)) - \vec{}wk(t)
\bigm| \bigm| для всiх t \in [t0, T ), k = 1, 2. (7)
Тодi
| \tau 1(t) - \tau 2(t)| \leq
1
c - v\ast
(| \vec{}u1(t - \tau 2(t)) - \vec{}u2(t - \tau 2(t))| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| ) для всiх t \in [t0, T )
(8)
i, отже, для кожного T \ast \in (t0, T )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 679
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,T \ast ]
| \tau 1(t) - \tau 2(t)| \leq
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,T \ast ]
(| \vec{}u1(t) - \vec{}u2(t)| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| )
c - v\ast
. (9)
Доведення. Iз (7) та теореми про скiнченний прирiст [16] випливає, що
c| \tau 1(t) - \tau 2(t)| = | | \vec{}u1(t - \tau 1(t)) - \vec{}w1(t)| - | \vec{}u2(t - \tau 2(t)) - \vec{}w2(t)| | \leq
\leq | (\vec{}u1(t - \tau 1(t)) - \vec{}w1(t)) - (\vec{}u2(t - \tau 2(t)) - \vec{}w2(t))| \leq
\leq | \vec{}u1(t - \tau 1(t)) - \vec{}u2(t - \tau 2(t))| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| \leq
\leq | \vec{}u1(t - \tau 1(t)) - \vec{}u1(t - \tau 2(t))| + | \vec{}u1(t - \tau 2(t)) - \vec{}u2(t - \tau 2(t))| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [t0 - \Delta ,T )
\bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}u1(s)\bigm| \bigm| \bigm| | \tau 1(t) - \tau 2(t)| + | \vec{}u1(t - \tau 2(t)) - \vec{}u2(t - \tau 2(t))| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| =
= v\ast | \tau 1(t) - \tau 2(t)| + | \vec{}u1(t - \tau 2(t)) - \vec{}u2(t - \tau 2(t))| + | \vec{}w1(t) - \vec{}w2(t)| .
Звiдси отримуємо (8) i (9).
Лему 1 доведено.
Зауваження 1. У лемi 1 (див. нерiвностi (8), (9)) функцiї \tau 1(t), \tau 2(t) неперервно залежать
вiд функцiй \vec{}u1(t), \vec{}u2(t), \vec{}w1(t) i \vec{}w2(t).
Далi наведемо умови iснування функцiй \tau 1(t), \tau 2(t), що задовольняють (2), (3), якщо вiдомi
функцiї \vec{}r1(t) i \vec{}r2(t).
Зазначимо, що у подальшому ми будемо знаходити розв’язки системи (1) – (3) за допомогою
методу iтерацiй. При цьому на кожному кроцi для вiдомих функцiй \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) будемо знахо-
дити для рiвнянь (2), (3) функцiї \tau 1(t), \tau 2(t). На завершальнiй частинi кожного кроку будемо
знаходити розв’язки системи (1), використовуючи знайденi \tau 1(t), \tau 2(t). Тому важливим для
подальшого є таке твердження.
Теорема 1. Для кожних неперервно диференцiйовних на [t0 - \Delta , T ) функцiй \vec{}r1(t), \vec{}r2(t), що
задовольняють (4), (5), iснують єдинi визначенi i неперервно диференцiйовнi на [t0, T ) функцiї
\tau 1(t), \tau 2(t), що задовольняють (2), (3), для яких
0 < \tau - (t) \leq \tau i(t) \leq \tau +(t), t \in [t0, T ), i = 1, 2, (10)
де
\tau - (t) =
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c+ v\ast
, \tau +(t) =
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c - v\ast
. (11)
Доведення. Розглянемо рiвняння (2), (3), що неявно визначають функцiї \tau 1(t) i \tau 2(t), а
також розглянемо вiдповiднi функцiї
F1(\tau 1, t) = c\tau 1 - | \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)| , F2(\tau 2, t) = c\tau 2 - | \vec{}r1(t - \tau 2) - \vec{}r2(t)| .
Завдяки умовам теореми цi функцiї неперервнi i мають неперервнi частинi похiднi
\partial Fi(\tau i, t)
\partial \tau i
,
\partial Fi(\tau i, t)
\partial t
, i = 1, 2, в точках областей визначення, причому
\partial Fi(\tau i, t)
\partial \tau i
\not = 0, i = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
680 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Справдi, враховуючи, що
F1(\tau 1, t) = c\tau 1 -
\sqrt{}
(\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t), \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)),
де
\bigl(
\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t), \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)
\bigr)
— скалярний квадрат вектора \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t), i формулу
для похiдної складної функцiї [15, с. 202], отримуємо
\partial F1(\tau 1, t)
\partial \tau 1
= c -
\biggl(
\partial (\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t))
\partial \tau 1
, \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)
\biggr)
\sqrt{}
(\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t), \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t))
=
= c+
\biggl(
\partial (\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t))
\partial \tau 1
, \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)
\biggr)
| \vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t)|
\geq
\geq c -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial (\vec{}r1(t - \tau 1) - \vec{}r2(t))
\partial \tau 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq c - v\ast > 0.
Аналогiчно
\partial F2(\tau 2, t)
\partial \tau 2
\geq c - v\ast > 0.
Тому завдяки теоремi про неявну функцiю [15, с. 451 – 453] функцiї \tau 1(t), \tau 2(t), що задо-
вольняють (2), (3), є неперервно диференцiйовними на [t0, T ).
Покажемо виконання для \tau 1(t) i \tau 2(t) спiввiдношення (10).
Iз рiвностi (2) та спiввiдношень
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| - v\ast \tau 1(t) \leq | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| - \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [t - \tau 1(t),t]
\bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(s)\bigm| \bigm| \bigm| \tau 1(t) \leq
\leq | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| - | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r1(t)| \leq
\leq | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r1(t) + \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| =
= | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)| = c \tau 1(t) \leq | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r1(t)| + | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [t - \tau 1(t),t]
\bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(s)\bigm| \bigm| \bigm| \tau 1(t) + | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| = v\ast \tau 1(t) + | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
(тут враховано теорему про скiнченний прирiст [16]) отримуємо
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c+ v\ast
\leq \tau 1(t) \leq
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c - v\ast
, t \in [t0, T ).
Аналогiчно
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c+ v\ast
\leq \tau 2(t) \leq
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c - v\ast
, t \in [t0, T ).
Завдяки (5) \tau - (t) > 0 для всiх t \in [t0, T ).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 2. У формулюваннi теореми 1 та її доведеннi T можна замiнити будь-яким
числом t1 \in (t0, T ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 681
Зауваження 3. Для кожного розв’язку \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) системи рiвнянь (1) – (3) виконуються
рiвностi \bigm| \bigm| \bigm| \"\vec{}r1(t)\bigm| \bigm| \bigm| = A1
c2\tau 22 (t)
,
\bigm| \bigm| \bigm| \"\vec{}r2(t)\bigm| \bigm| \bigm| = A2
c2\tau 21 (t)
, t \in [t0, T ),
i, отже, на пiдставi (4) та теореми 1
c
c - v\ast
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| \geq | \vec{}r2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r1(t)| \geq
c
c+ v\ast
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| , t \in [t0, T ), (12)
c
c - v\ast
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| \geq | \vec{}r1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r2(t)| \geq
c
c+ v\ast
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| , t \in [t0, T ). (13)
2.2. Знаходження розв’язкiв рiвнянь (2), (3) вiдносно \bfittau 1(\bfitt ), \bfittau 2(\bfitt ) iз заданими \vec{}\bfitr 1(\bfitt ), \vec{}\bfitr 2(\bfitt )
методом iтерацiй. Оскiльки важливим для подальшого є знаходження розв’язкiв рiвнянь (2),
(3) вiдносно \tau 1(t), \tau 2(t) на скiнченних промiжках часу, то в межах цього пiдпункту будемо
вважати, що T \not = +\infty . Тодi завдяки (4) i (11) величина
\Delta \ast = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0,T )
\tau +(t) (14)
буде скiнченною. Тому, не зменшуючи загальностi, можна вважати, що в цьому пiдпунктi
\Delta = \Delta \ast . (15)
Зазначимо, що твердження теореми 1 не змiниться, якщо в нiй \Delta замiнити на \Delta \ast .
Далi будемо вважати, що в рiвняннях (2), (3) функцiї \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) заданi, неперервно ди-
ференцiйовнi на [t0 - \Delta , T ) i задовольняють (4), (5). За теоремою 1 цi рiвняння мають єдинi
неперервно диференцiйовнi на [t0 - \Delta , T ) розв’язки. Покажемо, як їх можна знайти за допо-
могою методу iтерацiй.
Зафiксуємо довiльне t \in [t0, T ) i розглянемо вiдображення
ft,1(\tau ) =
1
c
| \vec{}r1(t - \tau ) - \vec{}r2(t)| , ft,2(\tau ) =
1
c
| \vec{}r2(t - \tau ) - \vec{}r1(t)| ,
для яких вiдрiзок [0, t+\Delta ] є iнварiантним. Справдi, цi вiдображення визначенi в кожнiй точцi
\tau \in [0, t+\Delta ] i для кожного \tau \in [0, t+\Delta ]
0 \leq ft,1(\tau ) =
1
c
| \vec{}r1(t - \tau ) - \vec{}r2(t)| \leq
1
c
\bigl(
| \vec{}r1(t - \tau ) - \vec{}r1(t)| + | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
\bigr)
\leq
\leq v\ast
c
\tau +
1
c
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| =
v\ast
c
\tau +
c - v\ast
c
\tau +(t) \leq
v\ast
c
(t+\Delta ) +
c - v\ast
c
\Delta \leq t+\Delta
(тут враховано (14) i (15)). Аналогiчнi спiввiдношення виконуються i для ft,2(\tau ).
Розглянутi вiдображення є стискаючими, оскiльки на пiдставi теореми про скiнченний при-
рiст [16] для довiльних \tau \ast , \tau \ast \ast \in [0, t+\Delta ], \tau \ast \leq \tau \ast \ast ,
| ft,1(\tau \ast ) - ft,1(\tau \ast \ast )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1c | \vec{}r1(t - \tau \ast ) - \vec{}r2(t)| -
1
c
| \vec{}r1(t - \tau \ast \ast ) - \vec{}r2(t)|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
c
| (\vec{}r1(t - \tau \ast ) - \vec{}r2(t)) - (\vec{}r1(t - \tau \ast \ast ) - \vec{}r2(t))| =
1
c
| \vec{}r1(t - \tau \ast ) - \vec{}r1(t - \tau \ast \ast )| \leq
\leq 1
c
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t - \tau \ast \ast \leq s\leq t - \tau \ast
\bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(s)\bigm| \bigm| \bigm| | \tau \ast - \tau \ast \ast | \leq
v\ast
c
| \tau \ast - \tau \ast \ast |
i v\ast < c (завдяки (4)). Аналогiчнi спiввiдношення можна отримати i для ft,2(\tau ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
682 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Згiдно з принципом стискаючих вiдображень [17, с. 114, 115] вiдображення ft,1, ft,2 мають
єдинi нерухомi точки \tau \ast 1 , \tau
\ast \ast
2 \in [0, t+\Delta ]. Тодi
\tau \ast 1 =
1
c
| \vec{}r1 (t - \tau \ast 1 ) - \vec{}r2(t)| , \tau \ast \ast 1 =
1
c
| \vec{}r2 (t - \tau \ast \ast 1 ) - \vec{}r1(t)| (16)
i точки \tau \ast 1 , \tau
\ast \ast
2 можна подати у виглядi
\tau \ast 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\tau n,1, \tau \ast \ast 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\tau n,2,
де \tau n,1 i \tau n,2 знаходяться за допомогою рекурентних спiввiдношень
\tau n+1,1 =
1
c
| \vec{}r1(t - \tau n,1) - \vec{}r2(t)| , \tau n+1,2 =
1
c
| \vec{}r2(t - \tau n,2) - \vec{}r1(t)| , n \geq 0.
За \tau 0,1 i \tau 0,2 можна взяти довiльнi точки з [0, t+\Delta ].
Очевидно, що \tau \ast 1 , \tau
\ast \ast
2 i \tau n,1, \tau n,2, n \geq 1, залежать вiд t (\tau \ast 1 = \tau \ast 1 (t), \tau
\ast \ast
2 = \tau \ast \ast 2 (t), \tau n,1 =
= \tau n,1(t), \tau n,2 = \tau n,2(t)) i завдяки (16)
\tau \ast 1 (t) =
1
c
| \vec{}r1 (t - \tau \ast 1 (t)) - \vec{}r2(t)| , \tau \ast \ast 1 (t) =
1
c
| \vec{}r2 (t - \tau \ast \ast 1 (t)) - \vec{}r1(t)| .
Зауваження 4. Якщо \tau 1(t), \tau 2(t) — розв’язки рiвнянь (2), (3) для заданих неперервно дифе-
ренцiйовних на [t0 - \Delta , T ) функцiй \vec{}r1(t), \vec{}r2(t), що задовольняють (4), то згiдно з принципом
стискаючих вiдображень [17, с. 115] для кожного t \in [t0, T )
| \tau n,k(t) - \tau k(t)| \leq
c
c - v\ast
\biggl(
v\ast
c
\biggr) n
| \tau 0,k(t) - \tau 1,k(t)| , n \geq 1, k = 1, 2, (17)
де \tau n,1(t), \tau n,2(t) визначаються за допомогою спiввiдношень
\tau n,1(t) =
1
c
| \vec{}r1(t - \tau n - 1,1(t)) - \vec{}r2(t)| , \tau n,2(t) =
1
c
| \vec{}r2(t - \tau n - 1,2(t)) - \vec{}r1(t)| , n \geq 1.
Нерiвностi (17) можна використовувати i при \tau 0,k(t) \equiv 0. Тодi \tau 1,k(t) \equiv | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)|
c
i
(17) набере вигляду
| \tau n,k(t) - \tau k(t)| \leq
1
c - v\ast
\biggl(
v\ast
c
\biggr) n
| \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| , n \geq 1, k = 1, 2. (18)
2.3. Iснування розв’язку системи (1) – (4) на вiдрiзку [\bfitt 0, \bfitt 1] малої довжини. Знаходження
цього розв’язку методом iтерацiй. Будемо вважати, що нам вiдомi значення \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) на
вiдрiзку [t0 - \Delta , t0], цi функцiї є двiчi неперервно диференцiйовними на [t0 - \Delta , t0],
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0 - \Delta ,t0]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r1(t)\bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r2(t)\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr\} \leq v\ast (19)
i
| \vec{}r1(t0) - \vec{}r2(t0)| > 0. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 683
Зафiксуємо довiльне число \varepsilon > 0, для якого
v\ast + \varepsilon < c,
i деякий момент часу t1 > t0 (значення t1 уточнимо пiзнiше).
Нехай C1
\bigl(
[t0 - \Delta , t1],\BbbR 2
\bigr)
— банаховий простiр неперервно диференцiйовних на [t0 - \Delta , t1]
векторних функцiй \vec{}r = \vec{}r(t) зi значеннями в \BbbR 2 i нормою
\| \vec{}r\| C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [t0 - \Delta ,t1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
| \vec{}r(t)| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \.\vec{}r(t)\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr\} .
Розглянемо обмеженi у просторi C1
\bigl(
[t0 - \Delta , t1],\BbbR 2
\bigr)
множини \scrA 1,[t0,t1] i \scrA 2,[t0,t1], елемен-
тами яких є всi неперервно диференцiйовнi на [t0 - \Delta , t1] функцiї \vec{}r \ast
1 (t) i \vec{}r \ast
2 (t) вiдповiдно, для
яких
\vec{}r \ast
i (t) = \vec{}ri(t), t \in [t0 - \Delta , t0], i = 1, 2, (21)
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t0\leq t\leq t1
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \.\vec{}r \ast
1 (t)
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \.\vec{}r \ast
2 (t)
\bigm| \bigm| \Bigr\} \leq v\ast + \varepsilon . (22)
Завдяки (12), (13), (20) – (22) можна вибрати t1 > t0 так, щоб
a1(t0, t1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\vec{}r \ast
1 \in \scrA 1,[t0,t1]
, \vec{}r \ast
2 \in \scrA 2,[t0,t1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,t1]
A1
| \vec{}r \ast
2 (t - \tau \ast 2 (t)) - \vec{}r \ast
1 (t)| 2
< +\infty (23)
i
a2(t0, t1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\vec{}r \ast
1 \in \scrA 1,[t0,t1]
, \vec{}r \ast
2 \in \scrA 2,[t0,t1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,t1]
A2
| \vec{}r \ast
1 (t - \tau \ast 1 (t)) - \vec{}r \ast
2 (t)| 2
< +\infty , (24)
де \tau \ast 1 (t) i \tau \ast 2 (t) — розв’язки рiвнянь
c\tau 1(t) = | \vec{}r \ast
1 (t - \tau 1(t)) - \vec{}r \ast
2 (t)| i c\tau 2(t) = | \vec{}r \ast
2 (t - \tau 2(t)) - \vec{}r \ast
1 (t)|
вiдповiдно (за теоремою 1 цi розв’язки iснують i єдинi).
Позначимо через \scrM 1,[t0,t1] i \scrM 2,[t0,t1] пiдмножини множин \scrA 1,[t0,t1] i \scrA 2,[t0,t1] вiдповiдно
(цi пiдмножини обмеженi у просторi C1
\bigl(
[t0 - \Delta , t1],\BbbR 2
\bigr)
), для елементiв яких виконуються
спiввiдношення
| \vec{}r \ast
i (t) - \vec{}ri(0)| \leq v\ast (t - t0) +
ai(t0, t1)
2
(t - t0)
2, t \in [t0, t1], i = 1, 2. (25)
Такi пiдмножини завдяки (19), (21), (23) i (24) є непорожнiми, якщо рiзниця t1 - t0 є достатньо
малою.
Зазначимо, що множини \scrA 1,[t0,t1], \scrA 2,[t0,t1], \scrM 1,[t0,t1] i \scrM 2,[t0,t1] є замкненими у просторi
C1
\bigl(
[t0 - \Delta , t1],\BbbR 2
\bigr)
; це можна показати аналогiчно, як i повноту цього простору.
Нехай C0([t0, t1],\BbbR ) — банаховий простiр неперервних на [t0, t1] функцiй u = u(t) зi
значеннями в \BbbR i нормою
\| u\| C0([t0,t1],\BbbR ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,t1]
| u(t)| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
684 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Позначимо через \scrN [t0,t1] множину всiх неперервно диференцiйовних на [t0, t1] функцiй зi
значеннями в [0, \gamma ], де
\gamma = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\vec{}r \ast
1 \in \scrM 1,[t0,t1]
, \vec{}r \ast
2 \in \scrM 2,[t0,t1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [t0,t1]
| \vec{}r \ast
1 (t) - \vec{}r \ast
2 (t)|
c - v\ast - \varepsilon
. (26)
Зауважимо, що значення функцiй iз множини \scrN [t0,t1] не суперечать теоремi 1 (див. (10), (11)).
Перейдемо до розв’язання основної задачi цього пiдпункту.
Використаємо функцiї
\vec{}F1(\vec{}u, \vec{}w) =
A1
| \vec{}u - \vec{}w| 3
(\vec{}u - \vec{}w), \vec{}F2(\vec{}u, \vec{}w) =
A2
| \vec{}u - \vec{}w| 3
(\vec{}u - \vec{}w). (27)
Зiнтегруємо обидвi частини кожного рiвняння системи (1) на вiдрiзку [t0, t] \subset [t0, t1], при-
пустивши, що система (1) – (3) має розв’язок, i врахувавши значення цього розв’язку на вiдрiзку
[t0 - \Delta , t0]. Тодi отримаємо рiвностi
\.\vec{}r1(t) = \.\vec{}r1(t0) +
t\int
t0
\vec{}F1(\vec{}r2(s - \tau 2(s)), \vec{}r1(s)) ds, (28)
\.\vec{}r2(t) = \.\vec{}r2(t0) +
t\int
t0
\vec{}F2(\vec{}r1(s - \tau 1(s)), \vec{}r2(s)) ds. (29)
Зiнтегруємо обидвi частини цих рiвностей на вiдрiзку [t0, t]:
\vec{}r1(t) = \vec{}r1(t0) + (t - t0) \.\vec{}r1(t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}r2(s - \tau 2(s)), \vec{}r1(s)) ds
\right) d\tau (30)
i
\vec{}r2(t) = \vec{}r2(t0) + (t - t0) \.\vec{}r2(t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F2(\vec{}r1(s - \tau 1(s)), \vec{}r2(s)) ds
\right) d\tau . (31)
Очевидно, що задача про iснування та єдинiсть розв’язку системи рiвнянь (1) – (3), що
задовольняє початковi умови на вiдрiзку [t0 - \Delta , t0] (задача 1), рiвносильна задачi про iснування
та єдинiсть розв’язку системи рiвнянь (2), (3), (30) i (31) (задача 2).
У зв’язку з рiвносильнiстю задач 1 i 2 обмежимося розглядом задачi 2. Цю задачу на вiдрiзку
[t0, t1] можна розв’язати за допомогою методу iтерацiй.
Зафiксуємо довiльнi неперервно диференцiйовнi на [t0 - \Delta , t1] функцiї \vec{}r0,1(t) i \vec{}r0,2(t), що
є елементами множин \scrM 1,[t0,t1] i \scrM 2,[t0,t1] вiдповiдно. Розглянемо рiвняння
c\tau 1(t) = | \vec{}r0,1(t - \tau 1(t)) - \vec{}r0,2(t)|
i
c\tau 2(t) = | \vec{}r0,2(t - \tau 2(t)) - \vec{}r0,1(t)| , t \in [t0, t1],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 685
вiдносно \tau 1(t) i \tau 2(t). Кожне з цих рiвнянь має єдиний розв’язок \tau 0,1(t) i \tau 0,2(t) вiдповiдно
(за теоремою 1). Цi розв’язки можна знайти за допомогою методу iтерацiй (див. пп. 2.2 i
зауваження 4).
Далi розглянемо послiдовностi функцiй \vec{}rn,1(t), \vec{}rn,2(t), \tau n,1(t) i \tau n,2(t), n \geq 1, що визнача-
ються рiвностями
\vec{}rn,1(t) = \vec{}rn - 1,1(t0) + (t - t0) \.\vec{}rn - 1,1(t0)+
+
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}rn - 1,2(s - \tau n - 1,2(s)), \vec{}rn - 1,1(s)) ds
\right) d\tau , (32)
\vec{}rn,2(t) = \vec{}rn - 1,2(t0) + (t - t0) \.\vec{}rn - 1,2(t0)+
+
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F2(\vec{}rn - 1,1(s - \tau n - 1,1(s)), \vec{}rn - 1,2(s)) ds
\right) d\tau , (33)
\tau n,1(t) =
1
c
| \vec{}rn,1(t - \tau n,1(t)) - \vec{}rn,2(t)| (34)
i
\tau n,2(t) =
1
c
\bigm| \bigm| \vec{}rn,2(t - \tau n,2(t)) - \vec{}rn,1(t)
\bigm| \bigm| , (35)
де t \in [t0, t1] i n \geq 1.
Зазначимо, що на n-му кроцi спочатку знаходимо функцiї \vec{}rn,1(t), \vec{}rn,2(t) за допомогою
(32), (33) i функцiй \vec{}rn - 1,1(t), \vec{}rn - 1,2(t), \tau n - 1,1(t), \tau n - 1,2(t). Далi за допомогою функцiй \vec{}rn,1(t),
\vec{}rn,2(t) i спiввiдношень (34), (35) знаходимо функцiї \tau n,1(t) i \tau n,2(t). Знайденi функцiї \vec{}rn,1(t),
\vec{}rn,2(t), \tau n,1(t) i \tau n,2(t) дозволяють перейти до реалiзацiї наступного ((n + 1)-го) кроку, тобто
до знаходження функцiй \vec{}rn+1,1(t), \vec{}rn+1,2(t), \tau n+1,1(t) i \tau n+1,2(t).
Цей процес можна продовжувати як завгодно довго.
Зауваження 5. На n-му кроцi функцiї \tau n,1(t), \tau n,2(t) визначаються за допомогою не роз-
в’язаних вiдносно цих функцiй спiввiдношень (34), (35). Цi функцiї можна знайти методом
iтерацiй, використавши результати пп. 2.2. У цьому випадку спiввiдношення (17) i (18) (див.
зауваження 4) є правильними, якщо в них замiнити v\ast на v\ast + \varepsilon .
Теорема 2. При достатньо малiй рiзницi t1 - t0 > 0 послiдовностi функцiй, що визнача-
ються рiвностями (32) – (35), є рiвномiрно збiжними на [t0, t1], їхнi границi не залежать вiд
вибору початкових функцiй \vec{}r0,1(t), \vec{}r0,2(t) i є єдиними розв’язками системи (1) – (4).
Доведення. Розглянемо вiдображення
\Gamma [t0,t1] : \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1] \rightarrow \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1],
\Gamma 1,[t0,t1] : \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1] \rightarrow \scrM 1,[t0,t1],
\Gamma 2,[t0,t1] : \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1] \rightarrow \scrM 2,[t0,t1],
що визначаються таким чином. Зафiксуємо довiльну точку
(\vec{}r0,1, \vec{}r0,2) \in \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1]. (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
686 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Цiй точцi спiвставимо елементи
(\vec{}r1,1, \vec{}r1,2) = \Gamma [t0,t1](\vec{}r0,1, \vec{}r0,2), \vec{}r1,1 = \Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r0,1, \vec{}r0,2), \vec{}r1,2 = \Gamma 2,[t0,t1](\vec{}r0,1, \vec{}r0,2),
що визначаються з використанням рiвнянь
\tau 0,1(t) =
1
c
| \vec{}r0,1(t - \tau 0,1(t)) - \vec{}r0,2(t)| (37)
i
\tau 0,2(t) =
1
c
| \vec{}r0,2(t - \tau 0,2(t)) - \vec{}r0,1(t)| . (38)
Завдяки (36), теоремi 1 i (26) розв’язки \tau 0,1(t), \tau 0,2(t) цих рiвнянь є елементами множини
\scrN [t0,t1]. Iз урахуванням спiввiдношень (32), (33) елементи \vec{}r1,1, \vec{}r1,2 знайдемо за допомогою
формул
\vec{}r1,1(t) = \vec{}r0,1(t0) + (t - t0) \.\vec{}r0,1(t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}r0,2(s - \tau 0,2(s)), \vec{}r0,1(s)) ds
\right) d\tau , (39)
\vec{}r1,2(t) = \vec{}r0,2(t0) + (t - t0) \.\vec{}r0,2(t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F2(\vec{}r0,1(s - \tau 0,1(s)), \vec{}r0,2(s)) ds
\right) d\tau . (40)
Так визначена точка (\vec{}r1,1, \vec{}r1,2) на пiдставi (39), (40), (21), (23) – (25) є елементом множини
\scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1], якщо рiзниця t1 - t0 > 0 є достатньо малою.
Вiдображення \Gamma [t0,t1] є неперервним. Ця властивiсть вiдображення \Gamma [t0,t1], згiдно з (39), (40),
є наслiдком неперервностi функцiй \vec{}F1(\vec{}u, \vec{}w) i \vec{}F2(\vec{}u, \vec{}w) на областях визначення, неперервностi
функцiй \vec{}r0,1(s), \vec{}r0,2(s) i неперервної залежностi розв’язкiв рiвнянь (37), (38) вiд \vec{}r0,1(t) i \vec{}r0,2(t),
що випливає з леми 1 (див. також зауваження 1).
Вiдображення \Gamma [t0,t1] також є цiлком неперервним, що на пiдставi теореми Арцела [18] ви-
пливає з рiвномiрної обмеженостi i рiвностепеневої неперервностi на вiдрiзку [t0, t1] елементiв
множини \Gamma [t0,t1]
\bigl(
\scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1]
\bigr)
. Цi властивостi елементiв множини
\Gamma [t0,t1]
\bigl(
\scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1]
\bigr)
випливають iз (23), (24), (39), (40) i обмеженостi у просторi C1
\bigl(
[t0 - \Delta , t1],\BbbR 2
\bigr)
множин
\scrM 1,[t0,t1], \scrM 2,[t0,t1].
Завдяки замкненостi множин \scrM 1,[t0,t1], \scrM 2,[t0,t1] у просторi C1([t0 - \Delta , t1],\BbbR 2) множина
\scrM 1,[t0,t1]\times \scrM 2,[t0,t1] також є замкненою. Крiм того, ця множина є опуклою, оскiльки опуклими
є множини \scrM 1,[t0,t1], \scrM 2,[t0,t1], що випливає з визначення цих множин.
Отже, до вiдображення \Gamma [t0,t1] : \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1] \rightarrow \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1] при достатньо
малiй рiзницi t1 - t0 застосовна теорема теорема Шаудера про нерухому точку [19, с. 37].
За цiєю теоремою \Gamma [t0,t1] має нерухому точку
\bigl(
\vec{}r \ast
0,1, \vec{}r
\ast
0,2
\bigr)
\in \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1], тобто
\Gamma [t0,t1]
\bigl(
\vec{}r \ast
0,1, \vec{}r
\ast
0,2
\bigr)
=
\bigl(
\vec{}r \ast
0,1, \vec{}r
\ast
0,2
\bigr)
. Iз визначення вiдображення \Gamma [t0,t1] випливає, що також iснують
неперервно диференцiйовнi на [t0, t1] функцiї \tau \ast 0,1(t), \tau
\ast
0,2(t), для яких
c\tau \ast 1 (t) = | \vec{}r \ast
1 (t - \tau \ast 1 (t)) - \vec{}r \ast
2 (t)| , c\tau \ast 2 (t) = | \vec{}r \ast
2 (t - \tau \ast 2 (t)) - \vec{}r \ast
1 (t)| , t \in [0, t1].
Таким чином, з урахуванням (39), (40)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 687
\vec{}r \ast
1 (t) \equiv \vec{}r \ast
1 (t0) + (t - t0) \.\vec{}r
\ast
1 (t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1 (\vec{}r
\ast
2 (s - \tau \ast 2 (s)) , \vec{}r
\ast
1 (s)) ds
\right) d\tau ,
\vec{}r \ast
2 (t) \equiv \vec{}r \ast
2 (t0) + (t - t0) \.\vec{}r
\ast
2 (t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F2 (\vec{}r
\ast
1 (s - \tau \ast 1 (s)) , \vec{}r
\ast
2 (s)) ds
\right) d\tau .
Звiдси та з неперервностi функцiй \vec{}F1 (\vec{}r
\ast
2 (s - \tau \ast 2 (s)), \vec{}r
\ast
1 (s)) ,
\vec{}F2 (\vec{}r
\ast
1 (s - \tau \ast 1 (s)), \vec{}r
\ast
2 (s)) на [t0, t1]
випливає, що функцiї \vec{}r \ast
1 (t), \vec{}r
\ast
2 (t) двiчi неперервно диференцiйовнi на [t0, t1] i є розв’язками
системи (1) – (4) на вiдрiзку [t0, t1].
Далi покажемо єдинiсть розв’язку системи (1) – (4) у випадку заданих початкових значень
\vec{}r1(t), \vec{}r2(t) на початковому промiжку [t0 - \Delta , t0] i при достатньо малiй рiзницi t1 - t0.
Ця властивiсть розв’язкiв випливає з того, що вiдображення \Gamma [t0,t1] при малiй рiзницi t1 - t0
є стискаючим. Справдi, використаємо диференцiйовнiсть функцiй \vec{}Fk(\vec{}u, \vec{}w), k = 1, 2, в точках
(\vec{}u, \vec{}w), де \vec{}u \not = \vec{}w. Завдяки цiй властивостi для кожного числа \delta > 0 iснують такi залежнi вiд \delta
додатнi сталi L1, L2, що\bigm| \bigm| \bigm| \vec{}Fk(\vec{}u1, \vec{}w1) - \vec{}Fk(\vec{}u2, \vec{}w2)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Lk(| \vec{}u1 - \vec{}u2| + | \vec{}w1 - \vec{}w2| ), k = 1, 2, (41)
для всiх векторiв \vec{}u1, \vec{}w1, \vec{}u2, \vec{}w2, для яких
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
k=1,2
| \vec{}uk - \vec{}wk| > \delta . (42)
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що завдяки (23) i (24) нерiвнiсть (41) справ-
джується.
Покажемо, що вiдображення \Gamma [t0,t1] : \scrM 1,[t0,t1]\times \scrM 2,[t0,t1] \rightarrow \scrM 1,[t0,t1]\times \scrM 2,[t0,t1] при малiй
рiзницi t1 - t0 є стискаючим.
Розглянемо довiльнi \vec{}r1,\ast , \vec{}r1,\ast \ast \in \scrM 1,[t0,t1] i \vec{}r2,\ast , \vec{}r2,\ast \ast \in \scrM 2,[t0,t1]. Нехай \tau 1,\ast (t), \tau 2,\ast (t),
\tau 1,\ast \ast (t) i \tau 2,\ast \ast (t) — функцiї, для яких
c\tau 1,\ast (t) \equiv | \vec{}r1,\ast (t - \tau 1,\ast (t)) - \vec{}r2,\ast (t)| ,
c\tau 2,\ast (t) \equiv | \vec{}r2,\ast (t - \tau 2,\ast (t)) - \vec{}r1,\ast (t)| ,
c\tau 1,\ast \ast (t) \equiv | \vec{}r1,\ast \ast (t - \tau 1,\ast \ast (t)) - \vec{}r2,\ast \ast (t)| ,
c\tau 2,\ast \ast (t) \equiv | \vec{}r2,\ast \ast (t - \tau 2,\ast \ast (t)) - \vec{}r1,\ast \ast (t)| .
Оцiнимо зверху величини
\bigm\| \bigm\| \Gamma \nu ,[t0,t1] (\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast ) - \Gamma \nu ,[t0,t1](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigm\| \bigm\|
C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2)
, \nu =
= 1, 2, використавши формули (39), (40), пов’язанi з означенням вiдображення \Gamma \nu ,[t0,t1]. Оскiль-
ки для всiх t, s \in [t0, t1]\bigl(
\Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t) -
\bigl(
\Gamma 1,[t0,t1] (\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t) =
= \vec{}r1,\ast (t0) + (t - t0) \.\vec{}r1,\ast (t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1 (\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)), \vec{}r1,\ast (s)) ds
\right) d\tau -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
688 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
-
\left( \vec{}r1,\ast \ast (t0) + (t - t0) \.\vec{}r1,\ast \ast (t0) +
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s)) ds
\right) d\tau
\right) =
=
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)), \vec{}r1,\ast (s)) ds
\right) d\tau -
-
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\vec{}F1(\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s)) ds
\right) d\tau =
=
t\int
t0
\left( \tau \int
t0
\Bigl(
\vec{}F1(\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)), \vec{}r1,\ast (s)) - \vec{}F1(\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s))
\Bigr)
ds
\right) d\tau ,
d
\bigl(
\Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t)
dt
-
d
\bigl(
\Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t)
dt
=
=
t\int
t0
\Bigl(
\vec{}F1(\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)) , \vec{}r1,\ast (s)) - \vec{}F1 (\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s))
\Bigr)
ds,
\bigm| \bigm| \bigm| \vec{}F1(\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)), \vec{}r1,\ast (s)) - \vec{}F1(\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s))
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq L1 (| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) | + | \vec{}r1,\ast (s) - \vec{}r1,\ast \ast (s)| )
(тут враховано (41) i те, що \vec{}r1,\ast (t0) = \vec{}r1,\ast \ast (t0), \.\vec{}r1,\ast (t0) = \.\vec{}r1,\ast \ast (t0)) i для всiх s \in [t0, t1]
| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| \leq
\leq | \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)) - \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| + | \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| \leq
\leq (v\ast + \varepsilon ) | \tau 2,\ast (s) - \tau 2,\ast \ast (s)| + | \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| ,
| \tau 2,\ast (s) - \tau 2,\ast \ast (s)| \leq
\leq 1
c - v\ast - \varepsilon
(| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| + | \vec{}r1,\ast (s) - \vec{}r1,\ast \ast (s)| )
(тут використано лему 1, в якiй v\ast замiнено на v\ast + \varepsilon ), i тому\bigm| \bigm| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))
\bigm| \bigm| \leq
\leq v\ast + \varepsilon
c - v\ast - \varepsilon
\bigl( \bigm| \bigm| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \vec{}r1,\ast (s) - \vec{}r1,\ast \ast (s)
\bigm| \bigm| \bigr) +
+ | \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))| =
=
c
c - v\ast - \varepsilon
\bigm| \bigm| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))
\bigm| \bigm| + v\ast + \varepsilon
c - v\ast - \varepsilon
\bigm| \bigm| \vec{}r1,\ast (s) - \vec{}r1,\ast \ast (s)
\bigm| \bigm| ,
то \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}F1
\bigl(
\vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast (s)), \vec{}r1,\ast (s)
\bigr)
- \vec{}F1
\bigl(
\vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)), \vec{}r1,\ast \ast (s)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 689
\leq L1c
c - v\ast - \varepsilon
\bigl( \bigm| \bigm| \vec{}r2,\ast (s - \tau 2,\ast \ast (s)) - \vec{}r2,\ast \ast (s - \tau 2,\ast \ast (s))
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \vec{}r1,\ast (s) - \vec{}r1,\ast \ast (s)
\bigm| \bigm| \bigr) .
Звiдси випливає, що для кожного t \in [t0, t1]\bigm| \bigm| \bigl( \Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t) -
\bigl(
\Gamma 1,[t0,t0](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t)
\bigm| \bigm| \leq
\leq L1ct
2
1
2(c - v\ast - \varepsilon )
\bigl(
\| \vec{}r2,\ast - \vec{}r2,\ast \ast \| C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2) + \| \vec{}r1,\ast - \vec{}r1,\ast \ast \| C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2)
\bigr)
(43)
i \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d
\bigl( \bigl(
\Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t) -
\bigl(
\Gamma 1,[t0,t1](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t)
\bigr)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq L1ct1
c - v\ast - \varepsilon
\bigl(
\| \vec{}r2,\ast - \vec{}r2,\ast \ast \| C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2) + \| \vec{}r1,\ast - \vec{}r1,\ast \ast \| C1([t0 - \Delta ,t1],\BbbR 2)
\bigr)
. (44)
Нерiвностi (43) i (44) виконуються i для
\bigl(
\Gamma 2,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t) -
\bigl(
\Gamma 2,[t0,t1](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t) та
d
\bigl( \bigl(
\Gamma 2,[t0,t1](\vec{}r1,\ast , \vec{}r2,\ast )
\bigr)
(t) -
\bigl(
\Gamma 2,[t0,t1](\vec{}r1,\ast \ast , \vec{}r2,\ast \ast )
\bigr)
(t)
\bigr)
dt
.
Отже, якщо t1 є таким, що
L1c
c - v\ast - \varepsilon
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
(t1 - t0)
2
2
, t1 - t0
\biggr\}
< 1, (45)
то вiдображення \Gamma [t0,t1] є стискаючим.
Тодi за принципом стискаючих вiдображень [17, 18] вiдображення \Gamma [t0,t1] має єдину неру-
хому точку
\bigl(
\vec{}r \ast
0,1, \vec{}r
\ast
0,2
\bigr)
\in \scrM 1,[t0,t1] \times \scrM 2,[t0,t1].
Таким чином, система (1) – (4) у випадку заданих початкових значень \vec{}r1(t), \vec{}r2(t) на по-
чатковому вiдрiзку [t0 - \Delta , t0] i t1, для якого виконується (45), має єдиний розв’язок. Цей
розв’язок можна знайти у виглядi границь послiдовностей функцiй (32), (33). Зазначимо, що цi
послiдовностi збiгаються до розв’язку системи (1) рiвномiрно на [t0 - \Delta , t1] (на пiдставi вла-
стивостей принципу стискаючих вiдображень). Завдяки цьому i лемi 1 послiдовностi функцiй
(34) i (35) також збiгаються рiвномiрно на [t0, t1] до розв’язкiв рiвнянь (2) i (3) вiдповiдно.
Очевидно, що швидкiсть збiжностi послiдовностей (32) – (35) у випадку (45) залежить вiд
мализни величини
q =
L1c
c - v\ast - \varepsilon
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
(t1 - t0)
2
2
, t1 - t0
\biggr\}
.
Теорему 2 доведено.
3. Знаходження розв’язку системи (1) – (4) на великих промiжках часу. Зазначимо, що
теорема 2 є локальною теоремою iснування розв’язку системи (1) – (4), оскiльки вона гаран-
тує iснування та єдинiсть розв’язку цiєї системи на деякому вiдрiзку [t0, t1] малої довжини
(значення t1 можна оцiнити, використавши (45)).
Знайдений iз використанням теореми 2 i методу iтерацiй розв’язок системи (1) – (4) на вiд-
рiзку [t0, t1] можна продовжити на деякий вiдрiзок [t1, t2], t1 < t2 < T, з малою довжиною, що
залежить вiд розв’язку. Продовження цього розв’язку здiйснюється iз застосуванням теореми 2
до системи (1) – (4), методу iтерацiй до системи iнтегральних рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
690 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\vec{}r1(t) = \vec{}r1(t1) + (t - t1) \.\vec{}r1(t1) +
t\int
t1
\left( \tau \int
t1
\vec{}F1(\vec{}r2(s - \tau 2(s)), \vec{}r1(s)) ds
\right) d\tau
i
\vec{}r2(t) = \vec{}r2(t1) + (t - t1) \.\vec{}r2(t1) +
t\int
t1
\left( \tau \int
t1
\vec{}F2(\vec{}r1(s - \tau 1(s)), \vec{}r2(s)) ds
\right) d\tau , t \in [t1, T ),
що аналогiчна системi (30), (31), i з урахуванням значень розв’язку системи на вiдрiзку [t0, t1],
знайденого на попередньому кроцi.
Операцiю продовження розв’язку можна повторювати як завгодно багато разiв. Так, на k-му
кроцi (k \geq 2) при знаходженнi продовження розв’язку системи (1) – (4) на вiдрiзок [tk, tk+1],
tk < tk+1 < T, використовуються iнтегральнi рiвняння
\vec{}r1(t) = \vec{}r1(tk) + (t - tk) \.\vec{}r1(tk) +
t\int
tk
\left( \tau \int
tk
\vec{}F1(\vec{}r2(s - \tau 2(s)), \vec{}r1(s)) ds
\right) d\tau
i
\vec{}r2(t) = \vec{}r2(tk) + (t - tk) \.\vec{}r2(tk) +
t\int
tk
\left( \tau \int
tk
\vec{}F2(\vec{}r1(s - \tau 1(s)), \vec{}r2(s)) ds
\right) d\tau , t \in [tk, T ).
Очевидно, що на кожному кроцi також потрiбно знаходити функцiї \tau 1(t) i \tau 2(t).
Такий метод знаходження розв’язку, пов’язаний iз продовженням його з вiдрiзка [tk - 1, tk]
на вiдрiзок [tk, tk+1] при кожному k \geq 1, називатимемо методом крокiв.
У результатi за допомогою методу крокiв отримаємо непродовжуваний (глобальний) розв’я-
зок або розв’язок на вiдносно великому вiдрiзку [0, T \ast ] \subset [0, T ). Цей розв’язок єдиний завдяки
єдиностi на кожному кроцi продовжень розв’язку на вiдповiднi вiдрiзки. Зазначимо, що при
побудовi глобального розв’язку системи довжини вiдрiзкiв, на якi продовжується розв’язок,
можуть прямувати до нуля.
Видiлимо випадок, коли знаходження розв’язку системи (1) – (4) є бiльш ефективним.
Результати статтi [13] показують, що система (1) – (4) може мати розв’язки \vec{}r1(t) i \vec{}r2(t), для
яких | \vec{}r1(t) - \vec{}r2(t)| \rightarrow +\infty при t \rightarrow +\infty . Врахування цього та дослiдження пп. 2.3 приводять до
висновку, що такого типу розв’язки також можна знаходити методами крокiв та iтерацiй. При
цьому сталi L1 i L2 в (41) будуть зменшуватися, а величина \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}k\geq p(tk+1 - tk) буде монотонно
зростати зi зростанням p. Це буде прискорювати процес знаходження розв’язкiв системи (1) –
(4) на великих промiжках часу.
4. Додатковi зауваження, лiтературнi вказiвки та можливi застосування результатiв
дослiджень. 1. Основнi моменти сучасного стану теорiї диференцiальних рiвнянь iз вiдхилю-
вальним аргументом викладено в [1 – 11] та iнших працях. Ця теорiя має важливе значення для
небесної механiки, що пiдтверджується статтями [12, 13]. Без неї важко розв’язувати деякi проб-
леми сучасної небесної механiки. Оволодiння математичним апаратом цiєї теорiї є корисним
для кожного, коло iнтересiв якого охоплює некласичну небесну механiку зi скiнченною швид-
кiстю гравiтацiї. Сподiваюся, що ця стаття, а також статтi [12, 13] сприятимуть активнiшому
впровадженню в небесну механiку методiв теорiї диференцiальних рiвнянь iз вiдхилювальним
аргументом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ДОСЛIДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЮВАННЯМИ Й ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 691
2. Рух двох тiл iз масами m1 i m2 на пiдставi другого закону Ньютона та закону всесвiтнього
тяжiння з урахуванням скiнченної швидкостi гравiтацiї описується системою (1) – (4) у випадку
A1 = Gm2, A2 = Gm1, де G — гравiтацiйна стала, c — швидкiсть гравiтацiї (див. [12, 13]).
3. Результати цiєї статтi є важливим додатком (з математичної точки зору) до дослiджень
iз небесної механiки, що враховують скiнченнiсть швидкостi гравiтацiї i наведенi в [12, 13].
У цих працях побудовано математичну модель Сонячної системи i, зокрема, розглянуто за-
дачу двох тiл зi скiнченною швидкiстю гравiтацiї, а також вивчено деякi їхнi властивостi.
Використання принципу запiзнювання гравiтацiї дозволило вiдкрити новi властивостi руху тiл
(закон зростання секторної швидкостi, некеплеровiсть та нестiйкiсть руху двох тiл, спiральнi
траєкторiї руху тiл тощо). Зазначимо, що без використання диференцiальних рiвнянь iз запiз-
нювальним аргументом, що розглядаються в цiй статтi (цi рiвняння використанi в [12, 13]),
виявити такi властивостi руху тiл неможливо.
4. Iтерацiйнi методи знаходження розв’язкiв системи (1) – (4) дають можливiсть використо-
вувати для знаходження розв’язкiв цифровi технологiї i дослiджувати траєкторiї руху двох тiл
як на малих, так i на великих промiжках часу. Цi методи сприятимуть подальшому розвитку
iтерацiйних методiв обчислювальної математики.
Лiтература
1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – М.; Л.: Гостехиздат,
1951. – 255 с.
2. Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом // Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 2. – C. 21 – 57.
3. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом //
Успехи мат. наук. – 1977. – 32, № 2. – C. 173 – 202.
4. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 248 с.
5. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1967. – 548 с.
6. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
7. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том. – М.: Наука, 1971. – 296 с.
8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 423 с.
9. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зинатне, 1986. –
288 с.
10. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных
уравнений. – М.: Наука, 1991. – 280 с.
11. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту водн.
госп-ва та природокористування, 2003. – 366 с.
12. Слюсарчук В. Ю. Математична модель Cонячної системи з урахуванням швидкостi гравiтацiї // Нелiнiйнi
коливання. – 2018. – 21, № 2. – С. 238 – 261.
13. Слюсарчук В. Ю. Некеплеровiсть та нестiйкiсть руху двох тiл, спричиненi скiнченнiстю швидкостi гравiтацiї //
Нелiнiйнi коливання. – 2018. – 21, № 3. – С. 397 – 419.
14. Копейкин С. М., Фомалонт Э. Фундаментальный предел скорости гравитации и его измерение // Земля и
Вселенная. – 2004. – № 3.
15. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука, 1966. – Т. 1. –
608 с.
16. Зорич В. А. Математический анализ. – М.: Наука, 1984. – Ч. II. – 640 с.
17. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. – Минск: Университетское,
1984. – 351 с.
18. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. – Київ: Вища шк., 1974. –
456 с.
19. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. – М.: Мир, 1977. – 233 с.
Одержано 25.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1466 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:16Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/4f5d5d3769cc1e6d603126a5777be210.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14662020-04-15T13:59:03Z Investigation of systems of differential equations with delays and constraints imposed on the delays and derivatives of the solutions Дослідження систем диференціальних рівнянь із запізнюваннями й обмеженнями на запізнювання та похідні розв’язків Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. UDC 517.929; 517.958:531–133 We establish conditions for the existence and uniqueness of the solutions of nonlinear systems of differential equations with delays and restrictions imposed on the delays and derivatives of the solutions. УДК 517.929; 517.958:531–133 Знайдено умови існування та єдиності розв'язків нелінійних систем диференціальних рівнянь із запізнюваннями й обмеженнями на запізнювання та похідні розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1466 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 677-691 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 677-691 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1466/450 Copyright (c) 2019 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Investigation of systems of differential equations with delays and constraints imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title | Investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title_alt | Дослідження систем диференціальних рівнянь із запізнюваннями
й обмеженнями на запізнювання та похідні розв’язків |
| title_full | Investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title_fullStr | Investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title_full_unstemmed | Investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title_short | Investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| title_sort | investigation of systems of differential equations with delays and constraints
imposed on the delays and derivatives of the solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1466 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu investigationofsystemsofdifferentialequationswithdelaysandconstraintsimposedonthedelaysandderivativesofthesolutions AT slûsarčukvû investigationofsystemsofdifferentialequationswithdelaysandconstraintsimposedonthedelaysandderivativesofthesolutions AT slyusarchukvyu doslídžennâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznûvannâmijobmežennâminazapíznûvannâtapohídnírozvâzkív AT slûsarčukvû doslídžennâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznûvannâmijobmežennâminazapíznûvannâtapohídnírozvâzkív |