Model of stationary diffusion with absorption in domains with fine-grained random boundaries
UDC 517.95, 519.21 We consider a boundary-value problem for the equation of stationary diffusion in a porous medium filled with small ball inclusions with absorbing surfaces. Absorption is described by a Robin’s nonlinear boundary condition. The locations and radii of the inclusions are randomly di...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1467 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507246831599616 |
|---|---|
| author | Khilkova, L. O. Khruslov, E. Ya. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. |
| author_facet | Khilkova, L. O. Khruslov, E. Ya. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. |
| author_sort | Khilkova, L. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.95, 519.21
We consider a boundary-value problem for the equation of stationary diffusion in a porous medium filled with small ball inclusions with absorbing surfaces. Absorption is described by a Robin’s nonlinear boundary condition. The locations and radii of the inclusions are randomly distributed and described by a set of finite-dimensional distribution functions. We study the asymptotic behavior of solutions to the problem when the number of balls increases and their radii decrease. We derive a homogenized equation for the main term of the asymptotics, and determine sufficient conditions for the distribution functions under which the solutions converge to the solutions of the homogenized problem in probability. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95, 519.21
Е. Я. Хруслов, Л. А. Хилькова (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ
В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ СЛУЧАЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ
We consider a boundary-value problem for the equation of stationary diffusion in a porous medium filled with small ball
inclusions with absorbing surfaces. Absorption is described by a Robin’s nonlinear boundary condition. The locations and
radii of the inclusions are randomly distributed and described by a set of finite-dimensional distribution functions. We
study the asymptotic behavior of solutions to the problem when the number of balls increases and their radii decrease. We
derive a homogenized equation for the main term of the asymptotics, and determine sufficient conditions for the distribution
functions under which the solutions converge to the solutions of the homogenized problem in probability.
Розглядається крайова задача для рiвняння стацiонарної дифузiї в пористому середовищi, заповненому дрiбними
включеннями — кулями з поглинаючою поверхнею. Поглинання описується нелiнiйною крайовою умовою типу
Робена. Розташування i радiуси куль випадковi i описуються сукупнiстю скiнченновимiрних функцiй розподiлу.
Вивчається асимптотична поведiнка розв’язкiв задачi, коли кiлькiсть куль збiльшується, а їхнi радiуси зменшуються.
Виведено усереднене рiвняння, що описує головний член асимптотики, i визначено достатнi умови для функцiй
розподiлу, при яких розв’язки за ймовiрнiстю збiгаються до розв’язкiв усередненої задачi.
1. Введение. С конца прошлого века особое внимание физиков и математиков привлечено
к рассмотрению диффузионных процессов в микронеоднородных средах с реакцией (погло-
щением) на границе микроскопических частиц или пор. Для стационарных диффузионных
процессов плотность диффундирующего вещества u\varepsilon (x) описывается краевой задачей с гра-
ничными условиями типа Робена:
- D\Delta u\varepsilon = f \varepsilon (x), x \in \Omega \varepsilon = \Omega \setminus B\varepsilon , (1.1)
\partial u\varepsilon
\partial \nu
+ \varepsilon \sigma (u\varepsilon ) = 0, x \in \partial B\varepsilon , (1.2)
u\varepsilon (x) = 0, x \in \partial \Omega . (1.3)
Здесь D — коэффициент диффузии, \varepsilon — малый параметр, характеризующий масштаб микро-
структуры, \Omega \in R3 — ограниченная область, в которой рассматривается процесс, B\varepsilon — сильно
„изрыхленное” множество в \Omega типа пористого тела, функция \sigma (u) характеризует поглощение
вещества на границе пор \partial B\varepsilon . Приведем некоторые практически важные функции поглощения
\sigma (u), используемые в химических технологиях (при малых \varepsilon ):
1) \sigma (u) =
\alpha u
1 + \beta u
, \alpha , \beta > 0 (кинетика Лангмюра);
2) \sigma (u) = | u| p - 1u, 0 < p < 1 (кинетика Френдлиха).
Сложная структура области \Omega \varepsilon не вносит дополнительных затруднений в изучение разре-
шимости задачи (1.1) – (1.3): для каждого фиксированного \varepsilon при различных предположениях
можно доказать существование решения (см., например, [1]), однако при малых \varepsilon (вследствие
сильной изрыхленности области \Omega \varepsilon ) практически невозможно найти эти решения. Но часто
такие среды имеют устойчивые макроскопические характеристики, поэтому естественный под-
ход в этом случае состоит в построении и переходе к макроскопической (усредненной) модели
процесса. Для этого изучается асимптотическое поведение решений u\varepsilon (x) задачи (1.1) – (1.3)
c\bigcirc Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА, 2019
692 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 693
при \varepsilon \rightarrow 0 и выводится усредненное уравнение, описывающее главный член асимптотики,
которое и принимают за усредненную модель процесса.
Типичной макроскопической моделью стационарной диффузии в пористой среде с нели-
нейным поглощением на границе является уравнение вида
-
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xi
\biggl(
aij(x)
\partial u
\partial xj
\biggr)
+ C(x, u) = F (x), (1.4)
рассматриваемое во всей области \Omega , коэффициенты которого являются эффективными характе-
ристиками среды: тензор \{ aij(x)\} 3i,j=1 характеризует проводимость пористой среды, а функция
C(x, u) — поглощение на ее границе.
Уравнение (1.4) получается в результате усреднения задачи (1.1) – (1.3) в перфорированной
области, удовлетворяющей условию сильной связности. В частности, если перфорирующее
множество B\varepsilon является объединением не пересекающихся \varepsilon -периодически расположенных в
R3 частиц B\varepsilon
i (B\varepsilon = \cup iB
\varepsilon
i ) размера порядка O(\varepsilon ), то это условие заведомо выполняется.
Задачи усреднения краевых задач типа (1.1) – (1.3) в таких областях исследованы достаточно
подробно (см. [2 – 12]), полученные для них эффективные тензор проводимости \{ aij\} 3i,j=1 и
функция поглощения C(u) не зависят от x \in \Omega . Характерной чертой таких задач усреднения
является то, что площадь поверхности \partial B\varepsilon увеличивается при \varepsilon \rightarrow 0 как величина порядка
O(\varepsilon - 1), поэтому в граничном условии (1.2) введен малый множитель \varepsilon , обеспечивающий
конечность эффективного поглощения в пределе при \varepsilon \rightarrow 0.
В последние годы, в связи с развитием нанотехнологий, внимание математиков стали при-
влекать задачи усреднения в областях «малой» перфорации, когда перфорирующее множество
B\varepsilon состоит из частиц диаметра порядка O(\varepsilon \alpha ), \alpha > 1, значительно меньших, чем расстояния
между ними, которое в среднем имеет порядок O(\varepsilon ). Впервые задача усреднения в областях
«малой» перфорации была рассмотрена в 1964 году в работе В. А. Марченко, Е. Я. Хрус-
лова [13], в которой исследовалась задача Дирихле в области, перфорированной частицами
критического размера порядка O(\varepsilon 3). В работе [13] такие области были названы областями с
мелкозернистой границей. Следуя ей, мы используем этот термин в настоящей работе.
Первые результаты по усреднению уравнения диффузии в областях с мелкозернистой пог-
лощающей границей были получены в работах [14, 15]. Так, в работе [15] рассматривалась
краевая задача вида (1.1) – (1.3) в области, перфорированной системой мелких одинаковых
шаров радиуса C\varepsilon \alpha , 1 < \alpha < 2, с центрами, образующими \varepsilon -периодическую решетку. По-
скольку площадь поглощающей поверхности в этом случае имеет порядок O(\varepsilon 2\alpha - 3), то в
граничное условие (1.2) вместо \varepsilon был введен множитель \varepsilon \beta , \beta \leq 3 - 2\alpha , что обеспечива-
ет ненулевое эффективное поглощение. В этой работе было получено усредненное уравнение
вида (1.4), в котором aij(x) = \delta ij , и выведена формула для определения эффективного погло-
щения C(x, u) = C\alpha \beta (u) при различных значениях \alpha и \beta .
В последнее десятилетие появилось большое число работ, посвященных аналогичным зада-
чам (см. [16 – 23]). Заметим, что в работах [14 – 23] рассматривались перфорированные области
\Omega \varepsilon = \Omega \setminus \cup iB
\varepsilon
i , где B\varepsilon
i — мелкие не пересекающиеся частицы, периодически распределенные в
\Omega с периодом \varepsilon . Представляет, однако, большой интерес изучение таких задач и в более общем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
694 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
случае, когда перфорирующие множество B\varepsilon распределяется в области \Omega не периодически, а
произвольно (в том числе случайно).
В 2017 году вышла работа Л. А. Хильковой [24], в которой изучена задача усреднения
уравнения диффузии с нелинейным поглощением на границе \partial B\varepsilon = \cup i\partial B
\varepsilon
i , где B\varepsilon
i — шары
радиусов r\varepsilon i = ci\varepsilon
\alpha , \alpha > 1, с центрами x\varepsilon i , произвольно распределенными в области \Omega . При
определенных условиях на расположения центров x\varepsilon i и радиусов шаров r\varepsilon i получен результат,
обобщающий результат работы [15] на случай непериодического распределения (см. пункт 3).
Эти условия запрещают шарам очень сильно сближаться и образовывать плотные группы
(кластеры) и гарантируют выполнение условия сильной связности для областей \Omega \varepsilon . Провер-
ка этих условий затруднительна. Но оказывается, что если радиусы шаров малы r\varepsilon i = ci\varepsilon
\alpha ,
\alpha > 2, и шары распределены в области \Omega случайно, то эти условия выполняются с боль-
шой вероятностью. Точная формулировка этого результата была приведена в работе [25] без
доказательства, в данной работе мы даем его полное доказательство.
2. Постановка задачи и основной результат. Пусть \Omega \in R3 — ограниченная область с
гладкой границей \partial \Omega , в которой расположены включения B\varepsilon
i = B(xi\varepsilon , r\varepsilon i ) — не пересекающиеся
шары радиусов r\varepsilon i с центрами в точках xi\varepsilon , i = 1, . . . , N \varepsilon . Малый параметр \varepsilon является порядком
„среднего” расстояния между ближайшими шарами и также характеризует размеры шаров. Мы
предполагаем, что количество шаров N \varepsilon = O(\varepsilon - 3), а их радиусы r\varepsilon i = O(\varepsilon \alpha ), где \alpha > 2, т. е.
размеры шаров значительно меньше расстояния между ними.
Определим перфорированную область
\Omega \varepsilon = \Omega \setminus B\varepsilon
\Biggl(
B\varepsilon =
N\varepsilon \bigcup
i=1
B\varepsilon
i
\Biggr)
,
в которой рассматривается следующая краевая задача для уравнения Пуассона с нелинейным
граничным условием типа Робена на поверхности шаров B\varepsilon
i , i = 1, . . . , N \varepsilon :
- \Delta u\varepsilon (x) = F (x), x \in \Omega \varepsilon , (2.1)
\partial u\varepsilon (x)
\partial \nu
+ \sigma \varepsilon (xi\varepsilon , u\varepsilon ) = 0, x \in \partial B\varepsilon
i , i = 1, . . . , N \varepsilon , (2.2)
u\varepsilon (x) = 0, x \in \partial \Omega . (2.3)
Здесь \Delta =
\sum 3
i=1
\partial 2
\partial x2i
— оператор Лапласа, \nu — единичная нормаль к границе \partial B\varepsilon , внешняя по
отношению к области \Omega \varepsilon ; функция источников F (x) \in L2(\Omega ) и функция поглощения \sigma \varepsilon (x, u)
заданы, а функция \sigma \varepsilon (x, u) удовлетворяет условиям:
a1) \sigma \varepsilon (x, u) = \varepsilon \beta \sigma (x, u), где \beta \in \BbbR , \sigma (x, u) \in C(\Omega , C1(\BbbR ));
a2) \sigma (x, 0) = 0;
a3) \forall x \in \Omega : 0 < k1 \leq
\partial
\partial u
\sigma (x, u) \leq k2(1 + | u| \theta ), где 0 \leq \theta < 1.
Задача (2.1) – (2.3) описывает процесс стационарной диффузии частиц в перфорированной
области \Omega \varepsilon , сопровождаемый поглощением на поверхности включений B\varepsilon . Как известно, при
каждом фиксированном \varepsilon существует единственное решение u\varepsilon (x) задачи (2.1) – (2.3). В данной
работе изучается асимптотическое поведение u\varepsilon (x) при \varepsilon \rightarrow 0, когда число шаров N \varepsilon \rightarrow \infty , их
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 695
радиусы r\varepsilon i \rightarrow 0, i = 1, . . . , N \varepsilon , а расположение шаров в \Omega и значения их радиусов случайны.
Точнее, мы предполагаем, что центры xi\varepsilon шаров B\varepsilon
i и их радиусы r\varepsilon i определяются набором
s-частичных функций распределения [26]
f \varepsilon
s (x
1, x2, . . . , xs; r1, r2, . . . , rs) : (\Omega )s \times [0,\infty )s \rightarrow [0,\infty ), s = 1, 2, . . . , N \varepsilon , (2.4)
так что вероятность нахождения центров и радиусов данной группы s шаров в интервалах
(xi, xi + dxi), (ri, ri + dri), i = 1, . . . , n, равна
f \varepsilon
s (x
1, x2, . . . , xs; r1, r2, . . . , rs) dx
1 . . . dxsdr1 . . . drs.
Эти функции удовлетворяют условиям симметрии, нормализации и согласования, согласно их
вероятностной интерпретации [27]:
f \varepsilon
s (x
1, . . . , xk, . . . , xl . . . , xs; r1, . . . , rk, . . . , rl, . . . , rs) =
= f \varepsilon
s (x
1, . . . , xl, . . . , xk . . . , xs; r1, . . . , rl, . . . , rk, . . . , rs),\int
\Omega
\infty \int
0
. . .
\int
\Omega
\infty \int
0
f \varepsilon
s (x
1, . . . , xs; r1, . . . , rs) dr1dx
1 . . . drsdx
s = 1, s = 1, . . . , N \varepsilon ,
\int
\Omega
\infty \int
0
f \varepsilon
s (x
1, . . . , xs; r1, . . . , rs) drsdx
s = f \varepsilon
s - 1(x
1, . . . , xs - 1; r1, . . . , rs - 1), s = 2, . . . , N \varepsilon .
Поскольку шары не должны пересекаться между собой и с границей \partial \Omega , то эти функции
должны также удовлетворять условию
f \varepsilon
s (x
1, . . . , xs; r1, . . . , rs) = 0,
если | xi\varepsilon - xj\varepsilon | < r\varepsilon i + r\varepsilon j для некоторых i \not = j, i, j = 1, . . . , s, или \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(xi\varepsilon , \partial \Omega ) \leq r\varepsilon i для
некоторого i = 1, . . . , s.
Одно- и двухчастичную функции распределения f \varepsilon
1 и f \varepsilon
2 выберем так, чтобы для них
выполнялись условия:
b1) f \varepsilon
1 (x; r) = \varepsilon - \alpha f(x; \varepsilon - \alpha r), где параметр \alpha > 2, f(x, r) \in L\infty (\Omega \times [0,\infty )) — неотри-
цательная функция с компактным носителем \Omega \prime \times [a0, A0] в \Omega \times [0,\infty ), 0 < a0 < A0 < \infty ,
нормированная на 1 в L1(\Omega \times [0,\infty ));
b2) f \varepsilon
2 (x
1, x2; r1, r2) = f \varepsilon
1 (x
1; r1)f
\varepsilon
1 (x
2; r2) + q\varepsilon (x1, x2; r1, r2), где функция q\varepsilon (x1, x2; r1,
r2) = - f \varepsilon
1 (x
1; r1)f
\varepsilon
1 (x
2; r2) при | xi\varepsilon - xj\varepsilon | < r\varepsilon i + r\varepsilon j и при \varepsilon \ll 1 в среднем мала так, что при
любых \varkappa 1,\varkappa 2 \geq 0\int
\Omega
\infty \int
0
\int
\Omega
\infty \int
0
r\varkappa 1
1 r\varkappa 2
2
\bigm| \bigm| q\varepsilon (x1, x2; r1, r2)\bigm| \bigm| dr1dx1dr2dx2 < C\varepsilon \alpha (\varkappa 1+\varkappa 2+3).
Замечание 2.1. Из условия b1) следует, что с вероятностью 1 шары B\varepsilon
i имеют радиусы r\varepsilon i ,
удовлетворяющие неравенству a0\varepsilon
\alpha \leq r\varepsilon i \leq A0\varepsilon
\alpha , \alpha > 2, и не пересекаются с границей \partial \Omega .
В силу условия b2) шары B\varepsilon
i с вероятностью 1 не пересекаются между собой, располагают-
ся на расстояниях больших, чем 2A0\varepsilon
\alpha , и распределены почти независимо. Таким образом,
условие b2) является аналогом условия ослабления корреляции [27].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
696 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
При любом \varepsilon > 0 функции распределения (2.4) порождают вероятностную меру \mathrm{P}\varepsilon в
вероятностном пространстве \BbbP \varepsilon [26, 28]. Точки \omega \varepsilon этого пространства находятся во взаимно
однозначном соответствии со случайными множествами B(\omega \varepsilon ) = \cup iB
\varepsilon
i в \Omega . Для каждой
реализации множества B(\omega \varepsilon ) существует единственное обобщенное решение u(x, \omega \varepsilon ) задачи
(2.1) – (2.3) в области \Omega (\omega \varepsilon ) = \Omega \setminus B(\omega \varepsilon ).
Определение 2.1. Будем говорить, что случайная функция u(x, \omega \varepsilon ) \in H1(\Omega (\omega \varepsilon )) сходит-
ся при \varepsilon \rightarrow 0 по вероятности \mathrm{P}\varepsilon в метрике пространства Lp(\Omega (\omega \varepsilon )) к функции u(x) \in H1(\Omega ),
если
\forall \delta > 0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon
\left\{ \omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon :
\int
\Omega (\omega \varepsilon )
\bigm| \bigm| u(x, \omega \varepsilon ) - u(x)
\bigm| \bigm| p dx < \delta
\right\} = 1.
В данной работе мы докажем, что если u(x, \omega \varepsilon ) — обобщенное решение задачи (2.1) – (2.3),
то предельная функция u(x) является решением усредненной краевой задачи
- \Delta u(x) + Cu(x, u) = F (x) в \Omega , (2.5)
u(x) = 0 на \partial \Omega , (2.6)
где Cu(x, u) =
\partial
\partial u
C(x, u), а функция C(x, u) характеризует эффективное поглощение мелко-
зернистой границы \partial B\varepsilon области \Omega \varepsilon и определяется формулой
C(x, u) =
\infty \int
0
C\alpha \beta (x, u; r)f(x; r) dr, (2.7)
в которой f(x; r) — функция из условия b1), а функции C\alpha \beta (x, u; r) имеют следующие опреде-
ления в зависимости от значений параметров (\alpha , \beta ) \in \Lambda p = \{ 2 < \alpha \leq 3, \beta \geq 3 - 2\alpha \} \cup \{ \alpha >
> 3, - \infty < \beta < \infty \} :
C\alpha \beta (x, u; r) =
\left\{
2\pi r2g(x, u) при (\alpha , \beta ) \in \ell 1,
2\pi r [u - V ]2 + 2\pi r2g(x, V ) при (\alpha , \beta ) = \lambda 0,
2\pi ru2 при (\alpha , \beta ) \in \ell 2,
0 при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \setminus (\ell 1 \cup \lambda 0 \cup \ell 2).
(2.8)
Здесь через \ell 1, \ell 2, \lambda 0 обозначены отдельные участки границы области \Lambda p : \ell 1 = \{ 2 < \alpha <
< 3, \beta = 3 - 2\alpha \} , \ell 2 = \{ \alpha = 3, \beta < - \alpha \} , \lambda 0 = (3, - 3) (см. рисунок, a),
g(x, u) = 2
u\int
0
\sigma (x, s) ds (2.9)
и V = V (u) — решение уравнения
V (u) = u - r\sigma (x, V ). (2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 697
a
b
Lp
3
-3
l
2
l
1 l0
2
а
a
b
L
d
3
-3
l
2
l
1
l0
1
б
Область изменения параметров \alpha , \beta : а — вероятностная модель, б — детерминированная модель.
Замечание 2.2. Из (2.7) – (2.10) и свойств функции \sigma (x, u) следует, что C(x, u) \in L\infty \bigl( \Omega ,
C2(\BbbR )
\bigr) \bigl(
C(x, u) = 0 при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \setminus (\ell 1 \cup \lambda 0 \cup \ell 2), отлична от 0 и конечна на ломаной \ell 1 \cup
\cup \lambda 0\cup \ell 2
\bigr)
и
\partial 2C(x, u)
\partial u2
\geq 0, поэтому функция Cu(x, u) =
\partial
\partial u
C(x, u) удовлетворяет неравенству\bigl(
Cu(x, u2) - Cu(x, u1)
\bigr)
(u2 - u1) \geq 0,
которое гарантирует единственность решения задачи (2.5), (2.6).
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть функции распределения f \varepsilon
1 , f
\varepsilon
2 удовлетворяют условиям b1), b2). Тогда
обобщенное решение u\varepsilon (x) задачи (2.1) – (2.3), рассмотренной при случайных распределениях
шаров \omega \varepsilon , является случайной функцией u(x, \omega \varepsilon ), которая при \varepsilon \rightarrow 0 сходится по вероятности
\mathrm{P}\varepsilon в метрике пространства Lp(\Omega (\omega \varepsilon )), p < 6 (в смысле определения 2.1), к неслучайной
функции u(x) — обобщенному решению краевой задачи (2.5), (2.6).
Доказательство теоремы 2.1 базируется на доказательстве теоремы 1 работы [24], в которой
была рассмотрена аналогичная детерминированная модель для более широкой области значе-
ний параметров \alpha , \beta (см. рисунок, б). Теорема 1 работы [24] доказывалась при определенных
условиях для распределения шаров B\varepsilon
i и их радиусов, эти условия и сама теорема (теорема 3.1)
для удобства читателей приведены в пункте 3. При доказательстве теоремы 2.1 настоящей ра-
боты мы покажем, что если функции распределения f \varepsilon
1 , f
\varepsilon
2 удовлетворяют условиям b1), b2),
то условия теоремы 3.1 при \alpha > 2 выполнены „в вероятностном смысле”. При значениях па-
раметра 1 < \alpha \leq 2 вопрос о сходимости решений третьей краевой задачи, рассматриваемой в
областях с мелкозернистой случайной границей, остается открытым.
3. Детерминированное распределение шаров. В этом пункте для удобства читателей мы
представляем основные результаты работы [24], которые будут использованы при доказатель-
стве теоремы 2.1.
Рассмотрим задачу (2.1) – (2.3) в детерминированной области \Omega \varepsilon = \Omega \setminus \cup N\varepsilon
i=1B
\varepsilon
i , где B\varepsilon
i =
= B(xi\varepsilon , r\varepsilon i ), i = 1, . . . , N \varepsilon , — шары с центрами в заданных точках xi\varepsilon радиусов r\varepsilon i , которые
мы определим равенством
r\varepsilon i = a\varepsilon i \varepsilon
\alpha , i = 1, . . . , N \varepsilon . (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
698 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
Здесь параметр \alpha > 1, а числа a\varepsilon i выбираются так, что 0 < a0 \leq a\varepsilon i \leq A0 < \infty и a0, A0 не
зависят от \varepsilon .
Обозначим через
d\varepsilon i = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\left( xi\varepsilon ,\bigcup
i \not =j
xj\varepsilon \cup \partial \Omega
\right) (3.2)
расстояние от центра i-го шара до центра ближайшего шара или до границы \partial \Omega ;
b\varepsilon i =
\left\{ \varepsilon \beta (r\varepsilon i )
2 при \beta \geq - \alpha ,
r\varepsilon i при \beta < - \alpha ,
(3.3)
числа b\varepsilon i характеризуют порядок малости поглощающей способности каждого шара при раз-
личных значениях параметров \alpha , \beta .
Будем предполагать, что шары в области \Omega располагаются так, что выполняются следующие
условия:
c1) \exists 2
3
< \varkappa 1 < 1 : d\varepsilon i \geq (r\varepsilon i )
\varkappa 1 и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i d
\varepsilon
i \rightarrow 0;
c2) \exists 6
4 - \theta
< \varkappa 2 \leq 2 :
\sum N(\varepsilon )
i=1
(b\varepsilon i )
\varkappa 2
(d\varepsilon i )
3(\varkappa 2 - 1)
\leq Cb, где Cb не зависит от \varepsilon и 0 \leq \theta < 1.
Замечание 3.1. Если учесть, что среднее расстояние между центрами шаров B\varepsilon
i имеет
порядок \varepsilon , то условия c1), c2) требуют, чтобы шары располагались не слишком близко один к
другому. В остальном расположение шаров можно считать произвольным.
Пространственное распределение плотности поглощения в области \Omega зададим с помощью
обобщенной функции от x, зависящей от параметров \varepsilon , u:
C\varepsilon (x, u) =
N\varepsilon \sum
i=1
C\varepsilon
i (u) \cdot \delta (x - xi\varepsilon )
\bigl(
\forall \varepsilon > 0 \forall u \in \BbbR : C\varepsilon (x, u) \in D\prime (\Omega )
\bigr)
, (3.4)
где \delta (x) — дельта-функция Дирака, а C\varepsilon
i (u) — функции поглощательной способности шаров,
определенные при (\alpha , \beta ) \in \Lambda d равенствами
C\varepsilon
i (u) =
\left\{
2\pi (a\varepsilon i )
2g(xi\varepsilon , u)\varepsilon 2\alpha +\beta при \alpha + \beta > 0,
2\pi a\varepsilon i [u - V \varepsilon
i ]
2 \varepsilon \alpha + 2\pi (a\varepsilon i )
2g(xi\varepsilon , V \varepsilon
i )\varepsilon
2\alpha +\beta при \alpha + \beta = 0,
2\pi a\varepsilon iu
2\varepsilon \alpha при \alpha + \beta < 0.
(3.5)
В этих равенствах функция g(x, u) определена формулой (2.9) и V \varepsilon
i = V \varepsilon
i (u) — решение
уравнения
V \varepsilon
i (u) = u - a\varepsilon i\sigma (x
i\varepsilon , V \varepsilon
i ),
аналогичного уравнению (2.10).
Определение 3.1. Будем говорить, что последовательность функций
\bigl\{
u\varepsilon (x) \in Lp(\Omega \varepsilon )
\bigr\}
\varepsilon
называется сходящейся в Lp(\Omega \varepsilon ,\Omega ), если существует функция u(x) \in Lp(\Omega ) такая, что u\varepsilon (x)
сходится к u(x) по норме в Lp(\Omega \varepsilon ):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\| u\varepsilon - u\| Lp(\Omega \varepsilon ) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 699
В работе [24] была доказана следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть области \Omega \varepsilon удовлетворяют условиям c1), c2) и при \varepsilon \rightarrow 0 обобщен-
ные функции C\varepsilon (x, u) при всех u \in \BbbR сходятся в слабой топологии пространства D\prime (\Omega ) к
функции C(x, u) \in C(\Omega , C1(\BbbR )). Тогда обобщенное решение u\varepsilon (x) задачи (2.1) – (2.3) сходит-
ся в Lp(\Omega \varepsilon ,\Omega ) (при p < 6) к функции u(x), являющейся обобщенным решением усредненной
задачи (2.5), (2.6), где функция C(x, u) определена формулой (3.4).
4. Вероятностный аналог условий теоремы 3.1. Покажем, что условия теоремы 3.1 вы-
полняются по вероятности. Сразу можем отметить, что в силу условия b1) условие c1) выпол-
няется с вероятностью 1.
Покажем выполнение условия c2). Обозначим через T r
i = B(xi\varepsilon , r) шар с центром в точке
xi\varepsilon радиуса r. Пусть
2
\alpha
< \mu < 1 и T r\varepsilon
i — шар радиуса r\varepsilon = \varepsilon \alpha \mu . Очевидно, что B\varepsilon
i \subset T r\varepsilon
i при
малых \varepsilon и, поскольку носитель \Omega \prime функции f(x; r) по x компактен в \Omega , то шары T r\varepsilon
i , как и
шары B\varepsilon
i , не пересекаются с границей области \partial \Omega .
Рассмотрим событие A\varepsilon
\mu \in \BbbP \varepsilon , заключающееся в том, что шары T r\varepsilon
i взаимно не пересека-
ются:
A\varepsilon
\mu = \{ \omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : T r\varepsilon
i \cap T r\varepsilon
j = \varnothing , i, j = 1, . . . , N \varepsilon , i \not = j\} .
Лемма 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon \{ A\varepsilon
\mu \} = 1.
Доказательство. Определим событие, обратное событию A\varepsilon
\mu : A\varepsilon
\mu = \BbbP \varepsilon \setminus A\varepsilon
\mu . Оно состоит
в том, что хотя бы одна пара шаров имеет пересечение, т. е. существуют i, j, i \not = j, такие, что
T r\varepsilon
i \cap T r\varepsilon
j \not = \varnothing . Тогда
\mathrm{P}\varepsilon (A\varepsilon
\mu ) = 1 - \mathrm{P}\varepsilon (A\varepsilon
\mu ),
\mathrm{P}\varepsilon (A\varepsilon
\mu ) =
N\varepsilon \sum
i=1,j=i+1
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
T 2r\varepsilon
i
\infty \int
0
f \varepsilon
2 (x
i, xj ; ri, rj) drjdx
jdridx
i =
=
N \varepsilon (N \varepsilon - 1)
2
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
T 2r\varepsilon
1
\infty \int
0
f \varepsilon
2 (x
1, x2; r1, r2) dr2dx
2dr1dx
1. (4.1)
Поскольку N \varepsilon = \varepsilon - 3 и \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\Bigl(
T 2r\varepsilon
1 \setminus T r\varepsilon 1+r\varepsilon 2
1
\Bigr)
= O
\bigl(
\varepsilon 3\mu \alpha
\bigr)
, из этого равенства и условий b1), b2)
получаем
\mathrm{P}\varepsilon (A\varepsilon
\mu ) =
\varepsilon - 6
2
\int
\Omega
\infty \int
0
f \varepsilon
1 (x
1; r1)
\left( \int
T 2r\varepsilon
1 \setminus T
r\varepsilon 1+r\varepsilon 2
1
\infty \int
0
f \varepsilon
1 (x
2; r2) dr2dx
2
\right) dr1dx
1+
+
\varepsilon - 6
2
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
T 2r\varepsilon
1 \setminus T
r\varepsilon 1+r\varepsilon 2
1
\infty \int
0
q\varepsilon (x1, x2; r1, r2) dr2dx
2dr1dx
1 = O
\Bigl(
\varepsilon 3\mu \alpha - 6
\Bigr)
+O
\bigl(
\varepsilon 3\alpha - 6
\bigr)
.
Так как \alpha > 2 и \mu \alpha > 2, то из полученного неравенства и (4.1) следует утверждение леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
700 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и
2
\alpha
< \varkappa 1 < 1 в условии c1). Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : d\varepsilon i \geq (r\varepsilon i )
\varkappa 1 , i = 1, . . . , N \varepsilon
\bigr\}
= 1.
Далее будем рассматривать условие c2). Определим случайную величину
\zeta \varepsilon \varkappa (\omega
\varepsilon ) =
N\varepsilon \sum
i=1
(b\varepsilon i )
\varkappa
(d\varepsilon i )
3(\varkappa - 1)
,
где d\varepsilon i определена в (3.2), а b\varepsilon i — в (3.3).
Лемма 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и
6
4 - \theta
< \varkappa < 2, 0 \leq \theta < 1. Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : \zeta \varepsilon \varkappa (\omega
\varepsilon ) \leq N
\bigr\}
\geq 1 - C(\varkappa )
N
,
где N — произвольное положительное число и константа C не зависит от N.
Доказательство. Из определения d\varepsilon i (3.2) следует, что
\zeta \varepsilon \varkappa (\omega
\varepsilon ) \leq \zeta \varepsilon 1\varkappa (\omega
\varepsilon ) + \zeta \varepsilon 2\varkappa (\omega
\varepsilon ), (4.2)
где
\zeta \varepsilon 1\varkappa (\omega
\varepsilon ) =
N\varepsilon \sum
i=1
(b\varepsilon i )
\varkappa \bigl[
\rho (xi\varepsilon , \partial \Omega )
\bigr] 3(\varkappa - 1)
, \zeta \varepsilon 2\varkappa (\omega
\varepsilon ) =
N\varepsilon \sum
i=1
(b\varepsilon i )
\varkappa
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i \not =j | xi\varepsilon - xj\varepsilon | 3(\varkappa - 1)
.
В силу неравенства Чебышева [26], (4.2) и свойств математического ожидания для произволь-
ного положительного числа N имеем
\mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : \zeta \varepsilon \varkappa (\omega
\varepsilon ) \leq N
\bigr\}
\geq 1 - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon 1\varkappa )
N
- \mathrm{M}(\zeta \varepsilon 2\varkappa )
N
. (4.3)
Оценим математическое ожидание случайной величины \zeta \varepsilon 1\varkappa (\omega
\varepsilon ). Применяя свойство b1)
функции распределения f \varepsilon
1 (x; r), получаем
\mathrm{M}(\zeta \varepsilon 1\varkappa ) =
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
(b\varepsilon (r))\varkappa f \varepsilon
1 (x; r)\bigl[
\rho (x, \partial \Omega )
\bigr] 3(\varkappa - 1)
dr dx = N \varepsilon
\int
\Omega \prime
A0\int
a0
(b\varepsilon (\varepsilon \alpha \^r))\varkappa f(x; \^r)\bigl[
\rho (x, \partial \Omega )
\bigr] 3(\varkappa - 1)
d\^r dx, (4.4)
где функция b\varepsilon (r) определена формулой
b\varepsilon (r) =
\left\{ \varepsilon \beta r2 при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \cap \{ \beta \geq - \alpha \} ,
r при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \cap \{ \beta < - \alpha \} .
Обозначим
\eta (\alpha , \beta ) =
\left\{ \beta + 2\alpha при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \cap \{ \beta \geq - \alpha \} ,
\alpha при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p \cap \{ \beta < - \alpha \} ,
(4.5)
тогда для любого r в силу свойства c1) справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 701
b\varepsilon (r) \leq C\varepsilon \eta . (4.6)
Поскольку \Omega \prime \subset \subset \Omega , то существует положительная константа \rho 0 такая, что \forall x \in \Omega \prime : \rho (x, \partial \Omega ) \geq
\geq \rho 0 > 0. Следовательно, из (4.4) получаем
\mathrm{M}(\zeta \varepsilon 1\varkappa ) \leq C\varepsilon \varkappa \eta - 3,
а так как \eta \geq 3 для любых \alpha , \beta \in \Lambda p, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{M}(\zeta \varepsilon 1\varkappa ) = 0. (4.7)
Теперь оценим математическое ожидание случайной величины \zeta \varepsilon 2\varkappa (\omega
\varepsilon ). Для любых точек
xi\varepsilon , xj\varepsilon \in \Omega выполняется неравенство
1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i \not =j
| xi\varepsilon - xj\varepsilon | 3(\varkappa - 1)
< \varepsilon 3(1 - \varkappa ) +
\sum
i \not =j
\chi \varepsilon
\bigl(
| xi\varepsilon - xj\varepsilon |
\bigr)
| xi\varepsilon - xj\varepsilon | 3(\varkappa - 1)
,
где \chi \varepsilon (t) — характеристическая функция отрезка [0, \varepsilon ]. Используя это неравенство, свойства
b1), b2) функций распределения, оценку (4.6) и обозначая через ji номер ближайшего к i шара,
получаем
\mathrm{M}(\zeta \varepsilon 2\varkappa ) =
\int
\Omega
\infty \int
0
. . .
\int
\Omega
\infty \int
0
\Biggl[
N\varepsilon \sum
i=1
(b\varepsilon (ri))
\varkappa
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i \not =j | xi - xj | 3(\varkappa - 1)
\Biggr]
f \varepsilon
N\varepsilon (x1, . . . , rN\varepsilon ) dr1 . . . dx
N\varepsilon
=
=
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
\Omega
\infty \int
0
(b\varepsilon (ri))
\varkappa f \varepsilon
2 (x
i, xji ; ri, rji)
| xi - xji | 3(\varkappa - 1)
dridx
idrjidx
ji =
=
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
\Omega
\infty \int
0
(b\varepsilon (ri))
\varkappa f \varepsilon
1 (x
i; ri)f
\varepsilon
1 (x
ji ; rji)
| xi - xji | 3(\varkappa - 1)
dridx
idrjidx
ji+
+
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
\Omega
\infty \int
0
(b\varepsilon (ri))
\varkappa q\varepsilon (xi, xji ; ri, rji)
| xi - xji | 3(\varkappa - 1)
dridx
idrjidx
ji \leq
\leq C1\varepsilon
\varkappa (\eta - 3) + C2\varepsilon
\eta \varkappa - 3+3\alpha (2 - \varkappa )+
+C3\varepsilon
\varkappa \eta - 6
\varepsilon \int
2a0\varepsilon \alpha
r2
r3(\varkappa - 1)
dr <
\biggl(
C1 +
C3
6 - 3\varkappa
\biggr)
\varepsilon \varkappa (\eta - 3) + C2\varepsilon
\eta \varkappa - 3+3\alpha (2 - \varkappa ) \leq
\leq C(\varkappa )
\Bigl(
\varepsilon \varkappa (\eta - 3) + \varepsilon \eta \varkappa - 3+3\alpha (2 - \varkappa )
\Bigr)
.
Здесь C(\varkappa ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
C1 +
C3
6 - 3\varkappa
, C2
\Bigr)
, \eta = \eta (\alpha , \beta ) определена в (4.5) и, так как \eta (\alpha , \beta ) \geq 3,
получаем окончательную оценку для \mathrm{M}(\zeta \varepsilon 2\varkappa ):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{M}(\zeta \varepsilon 2\varkappa ) \leq C(\varkappa ). (4.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
702 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
Утверждение леммы следует из (4.3), (4.7) и (4.8).
Далее для произвольной функции \varphi (x) \in C1
0 (\Omega ) определим случайную величину
\zeta \varepsilon \varphi (\omega
\varepsilon ) =
\int
\Omega
C\varepsilon (x, \varphi (x);\omega \varepsilon ) dx,
где C\varepsilon (x, u;\omega \varepsilon ) определена в (3.4) при (\alpha , \beta ) \in \Lambda p и распределении шаров \omega \varepsilon .
Лемма 4.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, тогда для любых \delta > 0 и \varphi (x) \in
\in C1
0 (\Omega )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon
\left\{ \omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \zeta \varepsilon \varphi (\omega \varepsilon ) -
\int
\Omega
C(x, \varphi (x)) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta
\right\} = 1,
где функция C(x, u) определена в (2.7).
Доказательство. В силу неравенства Чебышева [26]
\mathrm{P}\varepsilon
\Bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon :
\bigm| \bigm| \zeta \varepsilon \varphi (\omega \varepsilon ) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigm| \bigm| < \delta
\Bigr\}
\geq 1 -
\mathrm{D}(\zeta \varepsilon \varphi )
\delta 2
, (4.9)
где \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi ) и \mathrm{D}(\zeta \varepsilon \varphi ) — математическое ожидание и дисперсия случайной величины \zeta \varepsilon \varphi (\omega
\varepsilon ).
Использовав (2.8), (3.4) и (3.5), представим случайную величину \zeta \varepsilon \varphi (\omega
\varepsilon ) в виде
\zeta \varepsilon \varphi (\omega
\varepsilon ) =
N\varepsilon \sum
i=1
C\varepsilon
i
\bigl(
\varphi (xi\varepsilon )
\bigr)
=
N\varepsilon \sum
i=1
C\alpha \beta
\bigl(
xi\varepsilon , \varphi (xi\varepsilon ); a\varepsilon i
\bigr)
\varepsilon 3 =
N\varepsilon \sum
i=1
C\alpha \beta
\bigl(
xi\varepsilon , \varphi (xi\varepsilon ); \varepsilon - \alpha r\varepsilon i
\bigr)
\varepsilon 3,
где r\varepsilon i — радиусы, а xi\varepsilon — центры шаров B\varepsilon
i при распределении \omega \varepsilon . Используя это представле-
ние, свойства s-частичных функций распределения и то, что N \varepsilon = \varepsilon - 3, записываем
\mathrm{M}
\bigl(
\zeta \varepsilon \varphi
\bigr)
= \varepsilon 3
\int
\Omega
\infty \int
0
. . .
\int
\Omega
\infty \int
0
N\varepsilon \sum
i=1
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri)f
\varepsilon
N\varepsilon (x1, . . . , rN\varepsilon ) dr1 . . . dx
N\varepsilon
=
= \varepsilon 3
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri)\times
\times
\left( \int
\Omega
. . .
\infty \int
0
f \varepsilon
N\varepsilon (x1, . . . , rN\varepsilon )dr1 . . . dx
i - 1dri+1 . . . dx
N\varepsilon
\right) dridx
i =
=
\int
\Omega
\infty \int
0
C\alpha \beta (x, \varphi (x); \varepsilon
- \alpha r)f \varepsilon
1 (x; r) drdx =
\int
\Omega
\infty \int
0
C\alpha \beta (x, \varphi (x); a)f(x; a) da dx.
Тогда в силу определения функции C(x, u) (2.7) имеем
\mathrm{M}
\bigl(
\zeta \varepsilon \varphi
\bigr)
=
\int
\Omega
C(x, \varphi (x)) dx. (4.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 703
Далее, использовав (4.10), оценим дисперсию
\mathrm{D}(\zeta \varepsilon \varphi ) = \mathrm{M}
\Bigl[ \bigl(
\zeta \varepsilon \varphi - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr) 2\Bigr]
= \mathrm{M}
\left[ \Biggl( N\varepsilon \sum
i=1
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri)\varepsilon
3 - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\Biggr) 2
\right] =
=
\int
\Omega
\infty \int
0
. . .
\int
\Omega
\infty \int
0
\Biggl(
N\varepsilon \sum
i=1
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri)\varepsilon
3 - \mathrm{M}
\bigl(
\zeta \varepsilon \varphi
\bigr) \Biggr) 2
f \varepsilon
N\varepsilon (x1, . . . , rN\varepsilon ) dr1 . . . dx
N\varepsilon
=
= \varepsilon 6
N\varepsilon \sum
i=1
\int
\Omega
\infty \int
0
\bigl(
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr) 2
f \varepsilon
1 (x
i; ri) dridx
i+
+\varepsilon 6
N\varepsilon \sum
i,j=1,i \not =j
\int
\Omega
\infty \int
0
\int
\Omega
\infty \int
0
\bigl(
C\alpha \beta (x
i, \varphi (xi); \varepsilon - \alpha ri) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr) \bigl(
C\alpha \beta
\bigl(
xj , \varphi (xj); \varepsilon - \alpha rj
\bigr)
- \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr)
\times
\times f \varepsilon
2 (x
i, xj ; ri, rj) dridx
idrjdx
j \leq \varepsilon 3
\int
\Omega
\infty \int
0
\bigl(
C\alpha \beta (x, \varphi (x); a) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr) 2
f(x; a) da dx+
+(1 - \varepsilon 3)
\left( \int
\Omega
\infty \int
0
\bigl(
C\alpha \beta (x, \varphi (x); a) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr)
f(x; a) da dx
\right) 2
+ C\varepsilon 3\alpha =
= \varepsilon 3
\int
\Omega
\infty \int
0
\bigl(
C\alpha \beta (x, \varphi (x); a) - \mathrm{M}(\zeta \varepsilon \varphi )
\bigr) 2
f(x; a) da dx+ C\varepsilon 3\alpha .
Таким образом,
\mathrm{D}(\zeta \varepsilon \varphi ) = O(\varepsilon 3). (4.11)
Из (4.9) – (4.11) следует справедливость утверждения леммы.
5. Доказательство теоремы 2.1. Определим следующие события в вероятностном про-
странстве \BbbP \varepsilon :
A\varepsilon
1 =
\Bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : a0\varepsilon
\alpha \leq r\varepsilon i \leq A0\varepsilon
\alpha (\alpha > 2); i = 1, . . . , N \varepsilon
\Bigr\}
,
A\varepsilon
2 =
\biggl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : d\varepsilon i \geq (r\varepsilon i )
\varkappa 1
\biggl(
2
\alpha
< \varkappa 1 < 1
\biggr)
; i = 1, . . . , N \varepsilon
\biggr\}
,
A\varepsilon
3(N) =
\Biggl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon :
N\varepsilon \sum
i=1
(b\varepsilon i )
\varkappa 2
(d\varepsilon i )
3(\varkappa 2 - 1)
< N
\biggl(
6
4 - \theta
< \varkappa 2 < 2, 0 \leq \theta < 1
\biggr) \Biggr\}
,
A\varepsilon
4(j,m) =
\left\{ \omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Omega
C\varepsilon (x, \varphi j(x);\omega
\varepsilon ) dx -
\int
\Omega
C(x, \varphi j(x)) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
m
\right\} , m \in \BbbN .
Здесь \{ \varphi j(x)\} — последовательность функций, плотная в пространстве C1
0 (\Omega );
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
704 Е. Я. ХРУСЛОВ, Л. А. ХИЛЬКОВА
A\varepsilon
5(\delta ) =
\bigl\{
\omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon : \rho (\omega \varepsilon ) > \delta (\delta > 0)
\bigr\}
.
В силу условий теоремы 2.1
\mathrm{P}\varepsilon \{ A\varepsilon
1\} = 1. (5.1)
Далее доказательство проведем от противного. Предположим, что теорема 2.1 не справедлива,
тогда существуют числа \delta > 0, 0 < \mu < 1 и последовательность \{ \varepsilon = \varepsilon k, k = 1, . . . ,\infty \} такие,
что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon =\varepsilon k\rightarrow 0
\mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
A\varepsilon
5(\delta )
\bigr\}
> \mu . (5.2)
С другой стороны, в силу следствия 4.1 и лемм 4.2, 4.3 для любых j,m \in \BbbN и N > 0
существуют константа C(\varkappa 2) и значение \varepsilon 0 = \varepsilon 0(\mu , j,m,N) такие, что для любых \varepsilon < \varepsilon 0
будут выполняться неравенства
\mathrm{P}\varepsilon \{ A\varepsilon
2\} \geq 1 - \mu
4
, \mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
A\varepsilon
3(N)
\bigr\}
\geq 1 - C(\varkappa 2)
N
, \mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
A\varepsilon
4(j,m)
\bigr\}
\geq 1 - \mu
4 \cdot 2j+m
. (5.3)
Для произвольного k выберем jk и mk так, чтобы неравенства (5.3) выполнялись для \varepsilon k
(mk \rightarrow \infty , jk \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty ), следовательно, они будут выполняться и для любых
0 < \varepsilon \leq \varepsilon k, m = 1, . . . ,mk, j = 1, . . . , jk. Далее положим N =
4C(\varkappa 2)
\mu
, определим и
упростим, использовав (5.1), событие
A\varepsilon k := A
\varepsilon k
1
\bigcap
A
\varepsilon k
2
\bigcap
A
\varepsilon k
3 (N)
\bigcap \left[ mk\bigcap
m=1
jk\bigcap
j=1
A
\varepsilon k
4 (jk,mk)
\right] \bigcap A
\varepsilon k
5 =
= A
\varepsilon k
2
\bigcap
A
\varepsilon k
3 (N)
\bigcap \left[ mk\bigcap
m=1
jk\bigcap
j=1
A
\varepsilon k
4 (jk,mk)
\right] \bigcap A
\varepsilon k
5 .
Для любого k событие A\varepsilon k не пусто. Действительно, оценим вероятность противоположного
события, использовав неравенства (5.2), (5.3):
\mathrm{P}\varepsilon
\bigl\{
A\varepsilon k
\bigr\}
= \mathrm{P}\varepsilon
\left\{ A
\varepsilon k
2
\bigcup
A
\varepsilon k
3 (N)
\bigcup \left[ mk\bigcup
m=1
jk\bigcup
j=1
A
\varepsilon k
4 (jk,mk)
\right] \right\} \leq \mu
4
+
\mu
4
+
\mu
4
\infty \sum
j,m=1
1
2j+m
=
3\mu
4
,
тогда
\mathrm{P}\varepsilon \{ A\varepsilon k\} \geq 1 - 3\mu
4
,
и, значит, существуют точки \omega \varepsilon \in \BbbP \varepsilon , удовлетворяющие событию A\varepsilon k . Выберем любую из них
и рассмотрим соответствующее ей распределение шаров B\varepsilon (\omega \varepsilon ) в области \Omega . Как следует из
определения события A\varepsilon k , все условия теоремы 3.1 выполнены, но заключение этой теоремы
не выполняется. Полученное противоречие и доказывает теорему 2.1.
Литература
1. Khruslov E. Ya., Khilkova L. O., Goncharenko M. V. Integral conditions for convergence of solutions of non-linear
Robin’s problem in strongly perforated domains // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2017. – 13, № 3. – P. 1 – 31.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ . . . 705
2. Cabarrubias B., Donato P. Homogenization of a quasilinear elliptic problem with nonlinear Robin boundary
condition // Appl. Anal. – 2012. – 91, № 6. – P. 1111 – 1127.
3. Cioranescu D., Donato P. On Robin problems in perforated domains // Math. Sci. and Appl. – 1997. – 9. – P. 123 – 135.
4. Cioranescu D., Donato P., Zaki R. The periodic unfolding method in perforated domains // Port. Math. – 2006. – 63,
№ 4. – P. 467 – 496.
5. Conca C., Diaz J., Linan A., Timofte C. Homogenization in chemical reactive floes // Electron. J. Different. Equat. –
2004. – 40. – P. 1 – 22.
6. Conca C., Diaz J., Linan A., Timofte C. Homogenization results for chemical reactive flows through porous media //
New Trends Contin. Mech. – 2005. – P. 99 – 107.
7. Diaz J. Two problems in homogenization of porous media // Extracta Math. – 1999. – 14. – P. 141 – 155.
8. J̈ager W., Oleinik O. A., Shamaev A. S. On homogenization of solutions of boundary value problem for the Laplace
equation in partially perforated domain with the third boundary type condition on the boundary of cavities // Trudy
Mosk. Mat. Obshch. – 1997. – 58. – P. 187 – 223.
9. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic analysis of a boundary-value problem with the nonlinean multiphase interactions
in a perforated domain // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 4. – C. 494 – 512.
10. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic approximations for solutions to quasilinear and linear elliptic problems with
different perturbed boundary conditions in perforated domains // Asymptot. Anal. – 2011. – 75. – P. 79 – 92.
11. Piatnitski A., Rybalko V. Homogenization of boundary value problems for monotone operators in perforated domains
with rapidly oscillating boundary conditions of Fourier type // J. Math. Sci. – 2011. – 177, № 1. – P. 109 – 140.
12. Timofte C. Homogenization in nonlinear chemical reactive flows // Proc. 9th WSEAS Intern. Conf. Appl. Math.
(Istambul, Turkey, May 27-29, 2006). – P. 250 – 255.
13. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Мат. сб. – 1964. – 65. – С. 458 – 472.
14. Kaizu S. The Poisson equation with semilinear boundary conditions in domains with liny holes // J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo. Sect. IA. Math. – 1989. – 36. – P. 43 – 86.
15. Goncharenko M. The asymptotic behaviour of the third boundary-value problem solutions in domains with fine-
grained boundaries // Math. Sci. and Appl. – 1997. – 9. – P. 203 – 213.
16. Brillard A., Gómez D., Lobo M., Pérez E., Shaposhnikova T. A. Boundary homogenization in perforated domains for
adsorption problems with an advection term // Appl. Anal. – 2016. – P. 1 – 17.
17. Diaz J., Gómez-Castro D., Timofte C. The effectiveness factor of reaction-diffusion equations: homogenization and
existence of optimal pellet shapes // J. Elliptic and Parabol. Equat. – 2016. – 2. – P. 119 – 129.
18. Diaz J., Gómez-Castro D., Shaposhnikova T. A., Zubova M. N. The effectiveness factor of reaction-diffusion equations:
homogenization and existence of optimal pellet shapes // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – 178. – P. 1 – 25.
19. Gómez D., Pérez E., Shaposhnikova T. A. On homogenization of nonlinear Robin type boundary conditions for
cavities along manifolds and associated spectral problems // Asymptot. Anal. – 2012. – 80. – P. 289 – 322 .
20. Jäger W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T. A. Homogenization limit for the diffusion equation with nonlinear flux
condition on the boundary of very thin holes periodically distributed in a domain, in case of a critical size // Dokl.
Mat. – 2010. – 82, № 2. – P. 736 – 740.
21. Pérez M. E., Zubova M. N., Shaposhnikova T. A. A homogenization problem in a domain perforated by tiny
isoperimetric holes with nonlinear Robin type boundary conditions // Dokl. Mat. – 2014. – 90, № 1. – P. 489 – 494.
22. Zubova M. N., Shaposhnikova T. A. Homogenization of boundary value problems in perforated domains with the third
boundary condition and the resulting change in the character of the nonlinearity in the problem // Different. Equat. –
2011. – 47, № 1. – P. 78 – 90.
23. Zubova M. N., Shaposhnikova T. A. Homogenization of the boundary value problem for the Laplace operator in a
perforated domain with a rapidly oscillating nonhomogeneous Robin-type condition on the boundary of holes in the
critical case // Dokl. Mat. – 2017. – 96, № 1. – P. 344 – 347.
24. Хилькова Л. А. Усреднение уравнения диффузии в областях с мелкозернистой границей с нелинейным гра-
ничным условием типа Робена // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Математика, прикл. математика i механiка. – 2016. –
84. – C. 93 – 111.
25. Хруслов Е. Я., Хилькова Л. А. Нелинейная задача Робена в областях с мелкозернистой случайной границей //
Доп. НАН України. – 2017. – № 9. – С. 3 – 8.
26. Ширяев А. Н. Вероятность-1. – М.: МЦНМО, 2004. – 520 с.
27. Боголюбов Н. Н. Избранные труды: В 3 т. – Киев: Наук. думка, 1970. – T. 2. – 522 с.
28. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. – Киев: Вища
шк., 1973. – 408 с.
Получено 03.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1467 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:16Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/24/fe337d4d306744d5aad080b0b90f6024.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14672019-12-05T08:56:08Z Model of stationary diffusion with absorption in domains with fine-grained random boundaries Модель стационарной диффузии с поглощением в областях с мелкозернистой случайной границей Khilkova, L. O. Khruslov, E. Ya. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. UDC 517.95, 519.21 We consider a boundary-value problem for the equation of stationary diffusion in a porous medium filled with small ball inclusions with absorbing surfaces. Absorption is described by a Robin’s nonlinear boundary condition. The locations and radii of the inclusions are randomly distributed and described by a set of finite-dimensional distribution functions. We study the asymptotic behavior of solutions to the problem when the number of balls increases and their radii decrease. We derive a homogenized equation for the main term of the asymptotics, and determine sufficient conditions for the distribution functions under which the solutions converge to the solutions of the homogenized problem in probability. УДК 517.95, 519.21 Розглядається крайова задача для рівняння стаціонарної дифузії в пористому середовищі, заповненому дрібними включеннями --- кулями з поглинаючою поверхнею. Поглинання описується нелінійною крайовою умовою типу Робена. Розташування і радіуси куль випадкові і описуються сукупністю скінченновимірних функцій розподілу. Вивчається асимптотична поведінка розв'язків задачі, коли кількість куль збільшується, а їхні радіуси зменшуються. Виведено усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики, і визначено достатні умови для функцій розподілу, при яких розв'язки за ймовірністю збігаються до розв'язків усередненої задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1467 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 692-705 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 692-705 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1467/451 Copyright (c) 2019 Khilkova L. O.; Khruslov E. Ya. |
| spellingShingle | Khilkova, L. O. Khruslov, E. Ya. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. Хилькова, Л. А. Хруслов, Е. Я. Model of stationary diffusion with absorption in domains with fine-grained random boundaries |
| title | Model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| title_alt | Модель стационарной диффузии с поглощением в областях
с мелкозернистой случайной границей |
| title_full | Model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| title_fullStr | Model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| title_full_unstemmed | Model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| title_short | Model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| title_sort | model of stationary diffusion with absorption in domains
with fine-grained random boundaries |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1467 |
| work_keys_str_mv | AT khilkovalo modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT khrusloveya modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT hilʹkovala modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT hrusloveâ modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT hilʹkovala modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT hrusloveâ modelofstationarydiffusionwithabsorptionindomainswithfinegrainedrandomboundaries AT khilkovalo modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej AT khrusloveya modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej AT hilʹkovala modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej AT hrusloveâ modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej AT hilʹkovala modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej AT hrusloveâ modelʹstacionarnojdiffuziispogloŝeniemvoblastâhsmelkozernistojslučajnojgranicej |