Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs under contragredient equivalence
UDC 512.64 A complex matrix pencil $A-\lambda B$ is called structurally stable if there exists its neighborhood in which all pencils are strictly equivalent to this pencil. We describe all complex matrix pencils that are structurally stable. It is shown that there are no pairs $(M,N)$ of $m\times n...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1468 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507247753297920 |
|---|---|
| author | García-Planas, M. I. Klymchuk, T. Гарсіа-Планас, М. І. Климчук, Т. |
| author_facet | García-Planas, M. I. Klymchuk, T. Гарсіа-Планас, М. І. Климчук, Т. |
| author_sort | García-Planas, M. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 512.64
A complex matrix pencil $A-\lambda B$ is called structurally stable if there exists its neighborhood in which all pencils are strictly equivalent to this pencil. We describe all complex matrix pencils that are structurally stable. It is shown that there are no pairs $(M,N)$ of $m\times n$ and $n\times m$ complex matrices ($m,n\ge 1$) that are structurally stable under the contragredient equivalence $(S^{-1}MR, R^{-1}NS),$ in which $S$ and $R$ are nonsingular. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.64
М. I. Гарсiа-Планас, Т. Климчук (Полiтехн. ун-т Каталонiї, Барселона, Iспанiя)
СТРУКТУРНА СТIЙКIСТЬ МАТРИЧНИХ В’ЯЗОК I МАТРИЧНИХ ПАР
ВIДНОСНО КОНТРАГРЕДIЄНТНОЇ ЕКВIВАЛЕНТНОСТI
A complex matrix pencil A - \lambda B is called structurally stable if there exists its neighborhood in which all pencils are strictly
equivalent to this pencil. We describe all complex matrix pencils that are structurally stable. It is shown that there are no
pairs (M,N) of m \times n and n \times m complex matrices (m,n \geq 1) that are structurally stable under the contragredient
equivalence (S - 1MR,R - 1NS), in which S and R are nonsingular.
Комплексна матрична в’язка A - \lambda B називається структурно стiйкою, якщо iснує її окiл, що складається зi строго
еквiвалентних їй в’язок. У статтi описано всi структурно стiйкi в’язки. Також доведено неiснування пар (M,N)
комплексних матриць розмiру m \times n та n \times m, m, n \geq 1, структурно стiйких вiдносно контрагредiєнтної еквiва-
лентностi (S - 1MR,R - 1NS), де S i R — невиродженi матрицi.
1. Вступ. Кожна матрична задача \scrM над \BbbC задається множиною n-к \scrM 0 комплексних матриць
i множиною дозволених перетворень \scrM 1 над ними. Матрична n-ка \scrA = (A1, . . . , An) \in \scrM 0
називається структурно стiйкою, якщо кожна достатньо близька до неї n-ка \scrB \in \scrM 0 може
бути зведена до \scrA дозволеними перетвореннями. Таке означення використовується в [6, 7, 15].
Воно визначається по аналогiї з означенням структурної стiйкостi динамiчних систем, яке було
введене в [1] (див. також [12, 14]). Якщо матрична n-ка \scrA \in \scrM 0 вiдома тiльки приблизно (на-
приклад, одержана в результатi вимiрювань), то важливо знати, чи є вона структурно стiйкою.
Матриця розмiру m \times n є структурно стiйкою вiдносно елементарних перетворень тодi i
тiльки тодi, коли її ранг дорiвнює \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(m,n). Кожна квадратна матриця A є структурно нестiй-
кою вiдносно перетворень подiбностi, оскiльки як завгодно малi збурення можуть змiнити її
власнi числа.
У пунктi 2 описано всi пари (A,B) комплексних матриць розмiру m\times n, якi є структурно
стiйкими вiдносно перетворень еквiвалентностi (S - 1AR,S - 1BR), де R i S — невиродженi
матрицi (тобто описано всi структурно стiйкi матричнi в’язки A - \lambda B). У пунктi 3 показано, що
не iснує структурно стiйких пар комплексних матриць (M,N) розмiру m\times n i n\times m вiднос-
но контрагредiєнтної еквiвалентностi (S - 1MR,R - 1NS). Збурення матричних пар вiдносно
еквiвалентностi i контрагредiєнтної еквiвалентностi вивчається в [8, 9, 11].
2. Критерiй структурної стiйкостi для матричних пар вiдносно перетворень еквiвалент-
ностi. У цьому пунктi кожна матрична пара складається з комплексних матриць однакового
розмiру.
Задача класифiкацiї комплексних матричних в’язок A - \lambda B є задачею класифiкацiї пар
матриць вiдносно перетворень еквiвалентностi
(A,B) \mapsto \rightarrow (S - 1AR,S - 1BR), (1)
де S i R — невиродженi матрицi. Згiдно з теоремою Кронекера для матричних в’язок (див.
[5], роздiл 1.8), пара (A,B) еквiвалентна прямiй сумi, однозначно визначенiй iз точнiстю до
c\bigcirc М. I. ГАРСIА-ПЛАНАС, Т. КЛИМЧУК, 2019
706 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
СТРУКТУРНА СТIЙКIСТЬ МАТРИЧНИХ В’ЯЗОК I МАТРИЧНИХ ПАР . . . 707
перестановки доданкiв, пар вигляду
(Ir, Jr(\lambda )), (Jr(0), Ir), (Lr, Rr), (L
T
r , R
T
r ), r = 1, 2, . . . , (2)
де
Jr(\lambda ) :=
\left[
\lambda 0
1 \lambda
. . . . . .
0 1 \lambda
\right] (розмiру r \times r, \lambda \in \BbbC ),
Lr :=
\left[ 1 0 0
. . . . . .
0 1 0
\right] , Rr :=
\left[ 0 1 0
. . . . . .
0 0 1
\right] (розмiру (r - 1)\times r). (3)
Зауважимо, що (L1, R1) = (010, 001); через 0mn позначено нульову матрицю розмiру m\times n, де
m,n = 0, 1, 2, . . . . Пряма сума матричних пар визначається таким чином:
(A,B)\oplus (A\prime , B\prime ) := (A\oplus A\prime , B \oplus B\prime ).
Теорема 1. Пара (A,B) комплексних матриць однакового розмiру є структурно стiйкою
вiдносно перетворень еквiвалентностi тодi i тiльки тодi, коли пара (A,B) або (AT , BT )
еквiвалентна парi вигляду
(Lr, Rr)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus (Lr, Rr)\underbrace{} \underbrace{}
p разiв
\oplus (Lr+1, Rr+1)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus (Lr+1, Rr+1)\underbrace{} \underbrace{}
q разiв
, (4)
де p \geq 1 i q \geq 0.
Доведення. =\Rightarrow Нехай пара (A,B) структурно стiйка i є прямою сумою пар вигляду (2).
Тодi вона не мiстить доданкiв вигляду (Ir, Jr(\lambda )) i (Jr(0), Ir). Крiм того, вона не мiстить
доданкiв вигляду (Lr, Rr) \oplus (LT
s , R
T
s ), оскiльки Lr \oplus Ls — квадратна вироджена матриця,
яка як завгодно малими збуреннями може бути перетворена на невироджену. Отже, (A,B) є
прямою сумою доданкiв вигляду (Lr, Rr) або прямою сумою доданкiв вигляду (LT
r , R
T
r ).
Нехай (A,B) є прямою сумою доданкiв вигляду (Lr, Rr) i не має вигляду (4). Тодi (A,B)
мiстить прямий доданок (Lr, Rr)\oplus (Ls, Rs) з s - r \geq 2. Покрзува [13] (теорема 3) описав усi
вiдношення включення мiж замиканнями класiв еквiвалентностi двох матричних в’язок. Вико-
риставши теорему 2.2 з [2], отримаємо, що як завгодно малими збуреннями пара (Lr, Rr) \oplus
\oplus (Ls, Rs) може бути зведена до пари, яка еквiвалентна (Lr+1, Rr+1)\oplus (Ls - 1, Rs - 1), що супе-
речить структурнiй стiйкостi (A,B). Отже, пара (A,B) має вигляд (4).
\Leftarrow = Нехай пара (A,B) має вигляд (4). Покажемо, що вона є структурно стiйкою.
Для кожної матричної пари (C,D) позначимо через \scrB (C,D) її пачку, що визначається
таким чином (див. [4]). Нехай
\scrJ r1(\lambda 1)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus \scrJ rk(\lambda k)\oplus \scrL , \lambda 1, . . . , \lambda k \in \BbbC \cup \infty ,
— канонiчна форма Кронекера пари (C,D), де \scrJ r(\lambda ) := (Ir, Jr(\lambda )) при \lambda \in \BbbC , \scrJ r(\infty ) :=
:= (Jr(0), Ir), i \scrL — пряма сума пар вигляду (Lr, Rr) та (LT
r , R
T
r ). Тодi \scrB (C,D) — множина
всiх матричних пар, чиї канонiчнi форми Кронекера мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
708 М. I. ГАРСIА-ПЛАНАС, Т. КЛИМЧУК
\scrJ r1(f(\lambda 1))\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus \scrJ rk(f(\lambda k))\oplus \scrL , f : \BbbC \cup \infty \rightarrow \BbbC \cup \infty — бiєкцiя.
Зокрема, \scrB := \scrB (A,B) складається зi всiх матричних пар, що еквiвалентнi (A,B).
Щоб отримати суперечнiсть, припустимо, що в кожному околi (A,B) iснує пара, яка не
належить \scrB . Оскiльки множина матричних пар однакового розмiру розкладається на скiнченну
множину пачок, то iснує така пачка \scrC \not = \scrB , що кожний окiл пари (A,B) мiстить пару з \scrC . Це
неможливо для пачки \scrB , згiдно з теоремою 3.3 [4], в якiй описано вiдношення включення для
замикання пачок.
Тому в пачцi \scrB мiститься окiл пари (A,B), всi пари якого еквiвалентнi (A,B).
Теорему 1 доведено.
3. Всi матричнi пари нестiйкi вiдносно контрагредiєнтної еквiвалентностi. У даному
пунктi розглядаються пари комплексних матриць розмiру m \times n та n \times m, m, n = 1, 2, . . . ,
вiдносно перетворень контрагредiєнтної еквiвалентностi
(A,B) \mapsto \rightarrow (S - 1AR,R - 1BS), S i R — невиродженi матрицi.
Зауважимо, що матрицi пари зустрiчних лiнiйних вiдображень U \rightleftarrows V перетворюються
такими перетвореннями.
У статтi [3] описано канонiчну форму пар матриць вiдносно перетворень контрагредiєнтної
еквiвалентностi: кожна пара (A,B) контрагредiєнтно еквiвалентна прямiй сумi, визначенiй з
точнiстю до перестановки доданкiв, пар вигляду
(Ir, Jr(\lambda )), (Jr(0), Ir), (Lr, R
T
r ), (L
T
r , Rr), r = 1, 2, . . . , (5)
де Lr i Rr визначенi в (3).
Iнше доведення цiєї канонiчної форми та її застосування наведено в [10].
Теорема 2. Кожна пара (A,B) комплексних матриць вiдповiдних розмiрiв m\times n i n\times m з
m \geq 1 i n \geq 1 є структурно нестiйкою вiдносно перетворень контрагредiєнтної еквiвалент-
ностi.
Доведення. Достатньо показати, що пари (5) є структурно нестiйкими. Якщо пари (A,B)
i (A\prime , B\prime ) контрагредiєнтно еквiвалентнi, то матрицi AB i A\prime B\prime подiбнi. Позначимо через Epq
матрицю розмiру p \times q, в якiй на мiсцi (1,1) стоїть як завгодно мале комплексне число \varepsilon \not = 0,
а на iнших мiсцях стоять нулi.
Пари (Ir, Jr(\lambda )) i (Ir, Jr(\lambda ) + Err) не контрагредiєнтно еквiвалентнi, оскiльки матрицi
Ir \cdot Jr(\lambda ) = Jr(\lambda ) i Ir(Jr(\lambda ) + Err) = Jr(\lambda ) + Err не подiбнi.
Пари (Lr, R
T
r ) i (Lr, R
T
r + Er,r - 1) не контрагредiєнтно еквiвалентнi, оскiльки матрицi
LrR
T
r = Jr - 1(0) i Lr(R
T
r + Er,r - 1) = Jr - 1(0) + Er - 1,r - 1 не подiбнi.
Тому всi пари (5) структурно нестiйкi.
Автори щиро вдячнi професору Володимиру Васильовичу Сергейчуку за стимулюючi обго-
ворення i кориснi поради.
Лiтература
1. Andronov A. A., Pontryagin L. S. Systèmes grossieres // Докл. АН СССР. – 1937. – 14, № 5. – С. 247 – 250.
2. Dmytryshyn A., Dopico F. M. Generic skew-symmetric matrix polynomials with fixed rank and fixed odd grade //
Linear Algebra and Appl. – 2018. – 536. – P. 1 – 18.
3. Добровольская Н. М., Пономарев В. А. Пара встречных операторов // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 6. –
С. 81 – 86.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
СТРУКТУРНА СТIЙКIСТЬ МАТРИЧНИХ В’ЯЗОК I МАТРИЧНИХ ПАР . . . 709
4. Edelman A., Elmroth E., Kågström B. A geometric approach to perturbation theory of matrices and matrix pencils.
Part II: A stratification-enhanced staircase algorithm // SIAM J. Matrix Anal. and Appl. – 1999. – 20. – P. 667 – 699.
5. Gabriel P., Roiter A. V. Representations of finite-dimensional algebras // Encycl. Math. Sci. – 1992. – Vol. 73.
6. Garcı́a-Planas M. I., Magret M. D. A generalized Sylvester equation: a criterion for structural stability of triples of
matrices // Linear and Multilinear Algebra. – 1998. – 44, № 2. – P. 93 – 109.
7. Garcı́a-Planas M. I., Magret M. D., Sergeichuk V. V., Zharko N. A. Rigid systems of second-order linear differential
equations // Linear Algebra and Appl. – 2006. – 414. – P. 517 – 532.
8. Garcı́a-Planas M. I., Sergeichuk V. V. Simplest miniversal deformations of matrices, matrix pencils, and contragredient
matrix pencils // Linear Algebra and Appl. – 1999. – 302/303. – P. 45 – 61.
9. Garcı́a-Planas M. I., Sergeichuk V. V. Generic families of matrix pencils and their bifurcation diagrams // Linear
Algebra and Appl. – 2001. – 332/334. – P. 165 – 179.
10. Horn R. A., Merino D. I. Contragredient equivalence: A canonical form and some applications // Linear Algebra and
Appl. – 1995. – 214. – P. 43 – 92.
11. Klimenko L., Sergeichuk V. V. Block triangular miniversal deformations of matrices and matrix pencils // Matrix
Methods: Theory, Algorithms and Appl. – Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2010. – P. 69-84.
12. López de Medrano S. Topological aspects of matrix problems // Representations of Algebras (Puebla, 1980): Lect.
Notes Math. – 1981. – 903. – P. 196 – 210.
13. Pokrzywa A. On perturbations and the equivalence orbit of a matrix pencil // Linear Algebra and Appl. – 1986. – 82. –
P. 99 – 121.
14. Robbin J. W. Topological conjugacy and structural stability for discrete dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. –
1972. – 78. – P. 923 – 952.
15. Willems J. C. Topological classification and structural stability of linear systems // J. Different. Equat. – 1980. – 35,
№ 3. – P. 306 – 318.
Одержано 24.08.18,
пiсля доопрацювання — 12.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1468 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:17Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/db/0e84bbe57cb5f172561b0bcd90a1d5db.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14682019-12-05T08:56:08Z Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs under contragredient equivalence Структурна стійкість матричних в’язок i матричних пар відносно контрагредієнтної еквівалентності García-Planas, M. I. Klymchuk, T. Гарсіа-Планас, М. І. Климчук, Т. UDC 512.64 A complex matrix pencil $A-\lambda B$ is called structurally stable if there exists its neighborhood in which all pencils are strictly equivalent to this pencil. We describe all complex matrix pencils that are structurally stable. It is shown that there are no pairs $(M,N)$ of $m\times n$ and $n\times m$ complex matrices ($m,n\ge 1$) that are structurally stable under the contragredient equivalence $(S^{-1}MR, R^{-1}NS),$ in which $S$ and $R$ are nonsingular. УДК 512.64 Комплексна матрична в'язка $A-\lambda B$ називається структурно стійкою, якщо існує її окіл, що складається зі строго еквівалентних їй в'язок. У статті описано всі структурно стійкі в'язки. Також доведено неіснування пар $(M,N)$ комплексних матриць розміру $m\times n$ та $n\times m,$ $m,n\ge 1,$ структурно стійких відносно контрагредієнтної еквівалентності $(S^{-1}MR, R^{-1}NS),$ де $S$ і $R$ --- невироджені матриці. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1468 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 706-709 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 706-709 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1468/452 Copyright (c) 2019 García-Planas M. I.; Klymchuk T. |
| spellingShingle | García-Planas, M. I. Klymchuk, T. Гарсіа-Планас, М. І. Климчук, Т. Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs under contragredient equivalence |
| title | Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| title_alt | Структурна стійкість матричних в’язок i матричних пар
відносно контрагредієнтної еквівалентності |
| title_full | Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| title_fullStr | Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| title_full_unstemmed | Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| title_short | Structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| title_sort | structural stability of matrix pencils and of matrix pairs
under contragredient equivalence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1468 |
| work_keys_str_mv | AT garciaplanasmi structuralstabilityofmatrixpencilsandofmatrixpairsundercontragredientequivalence AT klymchukt structuralstabilityofmatrixpencilsandofmatrixpairsundercontragredientequivalence AT garsíaplanasmí structuralstabilityofmatrixpencilsandofmatrixpairsundercontragredientequivalence AT klimčukt structuralstabilityofmatrixpencilsandofmatrixpairsundercontragredientequivalence AT garciaplanasmi strukturnastíjkístʹmatričnihvâzokimatričnihparvídnosnokontragredíêntnoíekvívalentností AT klymchukt strukturnastíjkístʹmatričnihvâzokimatričnihparvídnosnokontragredíêntnoíekvívalentností AT garsíaplanasmí strukturnastíjkístʹmatričnihvâzokimatričnihparvídnosnokontragredíêntnoíekvívalentností AT klimčukt strukturnastíjkístʹmatričnihvâzokimatričnihparvídnosnokontragredíêntnoíekvívalentností |