Concave shells of continuity modules
UDC 517.9 The inequality $$ \overline{\omega}(t)\leq\inf_{s>0}\left(\omega\left(\dfrac{s}{2}\right)+\dfrac{\omega(s)}{s}t\right) $$ is proved, where $\omega(t)$ is a function of the modulus of continuity type and $\overline{\omega}(t)$ is its smallest concave majorant. The consequences...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1470 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507248975937536 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:08Z |
| description | UDC 517.9
The inequality
$$
\overline{\omega}(t)\leq\inf_{s>0}\left(\omega\left(\dfrac{s}{2}\right)+\dfrac{\omega(s)}{s}t\right)
$$
is proved, where $\omega(t)$ is a function of the modulus of continuity type and $\overline{\omega}(t)$ is its smallest concave majorant. The consequences obtained for Jackson's inequalities in $C_{2\pi}$ are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
ВОГНУТЫЕ ОБОЛОЧКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
The inequality
\omega (t) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
s>0
\biggl(
\omega
\Bigl( s
2
\Bigr)
+
\omega (s)
s
t
\biggr)
is proved, where \omega (t) is a function of the modulus of continuity type and \omega (t) is its smallest concave majorant. The
consequences obtained for Jackson’s inequalities in C2\pi are presented.
Доведено нерiвнiсть
\omega (t) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
s>0
\biggl(
\omega
\Bigl( s
2
\Bigr)
+
\omega (s)
s
t
\biggr)
,
де \omega (t) — функцiя типу модуля неперервностi, а \omega (t) — її найменша вгнута мажоранта. Наведено наслiдки для
нерiвностей Джексона в C2\pi .
Пусть \omega (t) : R+ \rightarrow R+ — функция типа модуля непрерывности, т. е. \omega (t) — непрерывная
неубывающая функция, \omega (0) = 0 и \omega (t1 + t2) \leq \omega (t1) + \omega (t2); \Omega — класс всех таких функций.
Для наименьшей вогнутой мажоранты \omega (t) справедлива следующая лемма.
Лемма. Для любой \omega \in \Omega и всех k \in N выполняются неравенства
\omega (kt) \leq (k + 1)\omega (t). (1)
Неравенства (1) являются точными на классе \Omega , т. е. при каждом t > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \Omega
\omega (kt)
\omega (t)
= k + 1. (2)
При k = 1 лемма доказана С. Б. Стечкиным [1], а при k \in N — Н. П. Корнейчуком [2].
Пусть
\omega (f, h) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| t| \leq h
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x
| f(x+ t) - f(x)| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| t| \leq h
\| f(\cdot + t) - f(\cdot )\|
— модуль непрерывности 2\pi -периодической непрерывной функции f в пространстве C2\pi ,
\| f\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x | f(x)| . Тогда \omega (f, h) \in \Omega , и дополнительно выполняется свойство
\omega (f, h) = \omega (f, \pi ) (3)
для всех h \geq \pi .
Будем считать, что класс \Omega содержит только те функции \omega , для которых выполняется
дополнительное свойство (3). Для любой такой \omega из \Omega существует функция f \in C2\pi такая, что
[3] (§ 7.1) для всех t > 0
\omega (f, t) = \omega (t). (4)
Мы докажем некоторое уточнение неравенства (1).
c\bigcirc С. А. ПИЧУГОВ, 2019
716 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ВОГНУТЫЕ ОБОЛОЧКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ 717
Теорема. Пусть \omega \in \Omega . Тогда для всех t > 0
\omega (t) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
s>0
\biggl(
\omega
\Bigl( s
2
\Bigr)
+
\omega (s)
s
t
\biggr)
. (5)
В частности,
\omega (kt) \leq \omega
\biggl(
t
2
\biggr)
+ k\omega (t). (6)
При всех k \in N неравенство (6) при каждом t \in
\Bigl(
0,
\pi
k
\Bigr)
является неулучшаемым на классе \Omega
в том смысле, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \Omega
\omega (kt)
\omega
\biggl(
t
2
\biggr)
+ k\omega (t)
= 1. (7)
Доказательство. По теореме Петре [4]
1
2
\omega (f, 2t) = K(f, t;C,C1) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g\in C1
(\| f - g\| + t\| g\prime \| ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
N>0
\{ \| f - g\| + tN ; \| g\prime \| \leq N\} . (8)
Согласно теореме Н. П. Корнейчука [3] (§ 8.3)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| ; \| g\prime \| \leq N\} =
1
2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,\pi ]
(\omega (f, y) - Ny). (9)
Из (4), (8) и (9) следует, что
\omega (t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
N>0
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,\pi ]
(\omega (y) - Ny) +Nt
\biggr)
.
Для произвольного s \in (0, \pi ) положим N =
\omega (s)
s
, тогда
\omega (t) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
s
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,\pi ]
\biggl(
\omega (y) - \omega (s)
s
y
\biggr)
+
\omega (s)
s
t
\biggr)
. (10)
Заметим, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,\pi ]
\biggl(
\omega (y) - \omega (s)
s
y
\biggr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,s]
\biggl(
\omega (y) - \omega (s)
s
y
\biggr)
. (11)
Действительно, пусть y > s, т. е. имеет вид y = ks+ y\prime , где k \in N, y\prime \in [0, s]. Тогда
\omega (y) - \omega (s)
s
y = \omega (ks+ y\prime ) - \omega (s)
s
(ks+ y\prime ) \leq
\leq (k\omega (s) + \omega (y\prime )) -
\biggl(
k\omega (s) +
\omega (s)
s
y\prime
\biggr)
= \omega (y\prime ) - \omega (s)
s
y\prime .
Теперь покажем, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in [0,s]
\biggl(
\omega (y) - \omega (s)
s
y
\biggr)
\leq \omega
\Bigl( s
2
\Bigr)
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
718 С. А. ПИЧУГОВ
Для y \in
\Bigl[
0,
s
2
\Bigr]
это очевидно. Пусть y \in
\Bigl[ s
2
, s
\Bigr]
, тогда
\omega (y) - \omega (s)
s
y \leq \omega (s) - \omega (s)
s
s
2
=
1
2
\omega
\Bigl(
2 \cdot s
2
\Bigr)
\leq \omega
\Bigl( s
2
\Bigr)
.
Вследствие произвольности s из (10) – (12) следует (5).
Поскольку \omega
\biggl(
t
2
\biggr)
+ k\omega (t) \leq (k + 1)\omega (t), то (7) следует из (2):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \Omega
\omega (kt)
\omega
\biggl(
t
2
\biggr)
+ k\omega (t)
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \Omega
\omega (kt)
(k + 1)\omega (t)
= 1.
Теорема доказана.
Соотношение (2) оказалось полезным для доказательства точных неравенств Джексона для
наилучших равномерных приближений непрерывных периодических функций тригонометри-
ческими полиномами. Если
en - 1(f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ Ck\}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
\sum
| k| \leq n - 1
Cke
ikx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
то по теореме Н. П. Корнейчука [3] (§ 7.6)
en - 1(f) \leq
1
2
\omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
, (13)
и из (2) следует, что для k \in N
en - 1(f) \leq
k + 1
2
\omega
\Bigl(
f,
\pi
nk
\Bigr)
.
Это неравенство при каждом k \in N является точным равномерно по n, а именно [2]\biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
1
2
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi
en - 1(f)
(k + 1)\omega
\Bigl(
f,
\pi
nk
\Bigr) \leq 1
2
. (14)
Если к неравенству (13) вместо (2) применить (5), то получим следующую форму неравен-
ства Джексона:
en - 1(f) \leq
1
2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
s>0
\biggl(
\omega
\Bigl(
f,
s
2
\Bigr)
+
\omega (f, s)
s
\pi
n
\biggr)
. (15)
Отметим частные случаи значений s, при которых константа
1
2
в правой части (15) является
неулучшаемой: \biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
1
2
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi
en - 1(f)
\omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
+
1
2
\omega
\biggl(
f,
2\pi
n
\biggr) \leq 1
2
,
при k \in N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
ВОГНУТЫЕ ОБОЛОЧКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ 719\biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
1
2
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi
en - 1(f)
\omega
\Bigl(
f,
\pi
2nk
\Bigr)
+ k\omega
\Bigl(
f,
\pi
nk
\Bigr) \leq 1
2
.
В частности, \biggl(
1 - 1
2n
\biggr)
1
2
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C2\pi
en - 1(f)
\omega
\Bigl(
f,
\pi
2n
\Bigr)
+ \omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr) \leq 1
2
. (16)
Здесь оценки снизу непосредственно следуют из (14).
Заметим, что аналогичные (16) соотношения с такой же точной константой 1/2 справедливы
и в пространствах Lp[0, 2\pi ], p \in [1, 2].
Пусть
\| f\| p =
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
| f(x)| pdx
\right) 1/p ,
en - 1(f)p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ Ck\}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) -
\sum
| k| \leq n - 1
Cke
ikx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
,
\omega (f, h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\| \Delta tf(x)\| p, \Delta tf(x) = f(x+ t) - f(x).
Н. И. Черных доказал точные при всех n \in N неравенства Джексона [5, 6]
en - 1(f)2 \leq
1
21/2
\omega
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
2
,
en - 1(f)p \leq
1
2
1 - 1
p
\omega
\biggl(
f,
2\pi
n
\biggr)
p
, p \in [1, 2),
(17)
которые следовали из доказанных им более точных неравенств
e2n - 1(f)2 \leq
n
4
\pi /n\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt\| \Delta tf\| 22dt,
epn - 1(f)p \leq
1
2p - 1
n
4
2\pi /n\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
n
2
t\| \Delta tf\| pp dt, p \in [1, 2).
(18)
Поскольку
n
4
\pi /n\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt\| \Delta tf\| 22 dt =
n
4
\pi /2n\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt\| \Delta tf\| 22 dt+
n
4
\pi /n\int
\pi /2n
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt\| \Delta tf\| 22 dt \leq
\leq 1
4
\omega 2
\Bigl(
f,
\pi
2n
\Bigr)
2
+
1
4
\omega 2
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
720 С. А. ПИЧУГОВ
то
en - 1(f)2 \leq
1
2
\Bigl(
\omega 2
\Bigl(
f,
\pi
2n
\Bigr)
2
+ \omega 2
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
2
\Bigr) 1/2
. (19)
Аналогичным образом при p \in [1, 2)
en - 1(f)p \leq
1
2
\Biggl(
\omega p
\Bigl(
f,
\pi
n
\Bigr)
p
+ \omega p
\biggl(
f,
2\pi
n
\biggr)
p
\Biggr) 1/p
. (20)
Константа 1/2 в неравенствах (19), (20) является точной в Lp[0, 2\pi ] при каждом n; экстре-
мальные функции те же, что и для (17) (см. [5, 6]).
При p \in (2,\infty ) точные неравенства, аналогичные (17), (18), известны только при n = 1:
неравенство
e0(f)p \leq
1
21/p
\omega (f, \pi )p
получено в [7], а неравенство
e0(f)p \leq
1
21/p
\left( 1
\pi
\pi \int
0
\| \Delta tf\| p
\prime
p dt
\right) 1/p\prime , (21)
где p\prime = p(p - 1) - 1, — в [8]. Из (21) следует аналог точных неравенств (19), (20) при n = 1 и
p > 2:
e0(f)p \leq
1
21/p
\left( 1
\pi
\pi /2\int
0
\omega p\prime (f, t)pdt+
1
\pi
\pi \int
\pi /2
\omega p\prime (f, t)pdt
\right)
1/p\prime
\leq
\leq 1
2
\biggl(
\omega p\prime
\Bigl(
f,
\pi
2
\Bigr)
p
+ \omega p\prime (f, \pi )p
\biggr) 1/p\prime
. (22)
Экстремальной в (22) является последовательность \delta -образных функций.
Литература
1. Ефимов А. В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Мат. сб. – 1961. – 54,
№ 1. – С. 51 – 90.
2. Корнейчук Н. П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций //
Мат. заметки. – 1982. – 32, № 5. – С. 669 – 674.
3. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
4. Peetre J. Exact interpolation theorems for Lipschitz continuous functions // Ric. Mat. – 1969. – 18. – P. 1 – 21.
5. Черных Н. И. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами периодических функций в L2 //
Мат. заметки. – 1967. – 2, № 5. – С. 513 – 522.
6. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2\pi ) (1 \leq p \leq 2) с точной константой // Тр. Мат. ин-та РАН. –
1992. – 198. – С. 232 – 241.
7. Пичугов С. А. Константа Юнга пространства Lp // Мат. заметки. – 1988. – 43, № 5. – С. 604 – 614.
8. Иванов В. И. О модуле непрерывности в Lp // Мат. заметки. – 1987. – 41, № 5. – С. 382 – 385.
Получено 15.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1470 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:18Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8e/8635fe626345e3ee9b25c3527fdfd88e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14702019-12-05T08:56:08Z Concave shells of continuity modules Вогнутые оболочки модулей непрерывности Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. UDC 517.9 The inequality $$ \overline{\omega}(t)\leq\inf_{s>0}\left(\omega\left(\dfrac{s}{2}\right)+\dfrac{\omega(s)}{s}t\right) $$ is proved, where $\omega(t)$ is a function of the modulus of continuity type and $\overline{\omega}(t)$ is its smallest concave majorant. The consequences obtained for Jackson's inequalities in $C_{2\pi}$ are presented. УДК 517.9 Доведено нерівність $$ \overline{\omega}(t)\leq\inf_{s>0}\left(\omega\left(\dfrac{s}{2}\right)+\dfrac{\omega(s)}{s}t\right)\!, $$ де $\omega(t)$ — функція типу модуля неперервності, а $\overline{\omega}(t)$ — її найменша вгнута мажоранта. Наведено наслідки для нерівностей Джексона в $C_{2\pi}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1470 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 5 (2019); 716-720 Український математичний журнал; Том 71 № 5 (2019); 716-720 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1470/454 Copyright (c) 2019 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Concave shells of continuity modules |
| title | Concave shells of continuity modules |
| title_alt | Вогнутые оболочки модулей непрерывности |
| title_full | Concave shells of continuity modules |
| title_fullStr | Concave shells of continuity modules |
| title_full_unstemmed | Concave shells of continuity modules |
| title_short | Concave shells of continuity modules |
| title_sort | concave shells of continuity modules |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1470 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa concaveshellsofcontinuitymodules AT pičugovsa concaveshellsofcontinuitymodules AT pičugovsa concaveshellsofcontinuitymodules AT pichugovsa vognutyeoboločkimodulejnepreryvnosti AT pičugovsa vognutyeoboločkimodulejnepreryvnosti AT pičugovsa vognutyeoboločkimodulejnepreryvnosti |