On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo and Erdelyi – Kober operators of fractional order
UDC 517.9 We establish the existence and uniqueness of the solution of a local problem for the degenerate parabolic-hyperbolic-type equations with loaded terms containing the trace of solution in the Erdelyi – Kober integrals. Since, the trace of solution (i.e., $u(x, 0)$) appears in the Erdelyi –...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1471 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507254118154240 |
|---|---|
| author | Abdullaev, O. Kh. Абдуллаев, О. Х. Абдуллаев, О. Х. |
| author_facet | Abdullaev, O. Kh. Абдуллаев, О. Х. Абдуллаев, О. Х. |
| author_sort | Abdullaev, O. Kh. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:42Z |
| description | UDC 517.9
We establish the existence and uniqueness of the solution of a local problem for the degenerate parabolic-hyperbolic-type
equations with loaded terms containing the trace of solution in the Erdelyi – Kober integrals. Since, the trace of solution
(i.e., $u(x, 0)$) appears in the Erdelyi – Kober integrals and the hyperbolic-type equation is degenerated in the line $y = 0$,
we use some properties and estimates for hypergeometric functions and, in addition, some integral equalities in proving the
existence and uniqueness of solution of the investigated problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Х. Абдуллаев (Нац. ун-т Узбекистана, Ташкент)
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
С ОПЕРАТОРАМИ КАПУТО И ЭРДЕЛИ – КОБЕРА ДРОБНОГО ПОРЯДКА
We establish the existence and uniqueness of the solution of a local problem for the degenerate parabolic-hyperbolic-type
equations with loaded terms containing the trace of solution in the Erdelyi – Kober integrals. Since, the trace of solution
(i.e., u(x, 0)) appears in the Erdelyi – Kober integrals and the hyperbolic-type equation is degenerated in the line y = 0,
we use some properties and estimates for hypergeometric functions and, in addition, some integral equalities in proving the
existence and uniqueness of solution of the investigated problem.
Встановлено iснування й єдинiсть розв’язку локальної задачi для вироджуваного рiвняння параболо-гiперболiчного
типу з навантаженими доданками, в яких слiд розв’язку знаходиться в iнтегралах Ерделi – Кобера. Оскiльки слiд
розв’язку (тобто u(x, 0)) знаходиться в iнтегралах Ерделi – Кобера i гiперболiчне рiвняння вироджується на лiнiї
y = 0, в процесi доведення iснування й єдиностi дослiджуваної задачi використано властивостi й оцiнки гiпергео-
метричних функцiй та деякi iнтегральнi тотожностi.
1. Введение. Теория дробных дифференциальных и интегральных операторов является важной
частью (не)линейного анализа, поскольку она естественным образом возникает во многих об-
ластях математики и математической физики, инженерии, нейробиологии, экономики, теории
управления и науки о горении [1 – 4]. Кроме того, в области динамических систем и теории
управления система дробного порядка представляет собой динамическую систему, которая
может моделироваться дифференциальным уравнением дробного порядка, содержащим про-
изводные нецелого порядка [5]. Производные и интегралы дробных порядков используются
для описания объектов, которые также могут быть охарактеризованы степенной нелокально-
стью [6].
Известно, что существуют разные подходы к исследованию дифференциальных уравнений
дробного порядка (ДУДП), кроме того, это зависит от рассматриваемого процесса, который опи-
сывается с помощью ДУДП и уравнений такого типа. Например, приближенные и численные
методы были использованы и для ДУДП (подробности см. в [7, 8]). Кроме того, существуют
некоторые классические методы, которые применимы для решения некоторых ДУДП с исполь-
зованием известных операторов, таких как операторы Римана – Лиувилля, Капуто, Эрдели –
Кобера и др. Отметим, что, применяя классические методы, мы можем получить классические
решения, которые более полезны на практике.
Как известно, дробная производная Капуто является одним из наиболее используемых
определений дробной производной наряду с определениями Римана – Лиувилля и Грюнваль-
да – Летникова. В математических тематиках и приложениях также часто используется так
называемая дробная производная Эрдели – Кобера. В работах [9 – 12] исследованы некоторые
модификации типа Капуто оператора Эрдели – Кобера и их связи с масштабно-инвариантными
c\bigcirc О. Х. АБДУЛЛАЕВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6 723
724 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
решениями диффузионно-свободных уравнений. Значительное развитие дробные дифференци-
альные уравнения получили в работах [13 – 15].
Дифференциальные уравнения с частными производными были успешно использованы для
моделирования нескольких физических процессов (подробности см. в [16 – 18]). В работах [19 –
21] дробное исчисление применено в исследованиях вырождающихся уравнений в частных
производных смешанного типа и гиперболических уравнений.
2. Постановка задачи и необходимые соотношения. Рассмотрим уравнение
0 =
\left\{
uxx - CD
\alpha
oyu+
\sum n
k=1
pk
\Bigl(
I\gamma 1k,\sigma 1k
\beta 1k
u
\Bigr)
x при y > 0,
( - y)muxx - uyy +
\sum n
k=1
qk
\Bigl(
I\gamma 2k,\sigma 2k
\beta 2k
u
\Bigr)
\eta при y < 0
(1)
с операторами (см. [9, 11 – 13])
CD
\alpha
oyu =
1
\Gamma (1 - \alpha )
y\int
0
(y - t) - \alpha ut(x, t)dt,
\Bigl(
I\gamma ,\sigma \beta u
\Bigr)
x =
\beta
\Gamma (\beta )
x - \beta (\gamma +\sigma )
x\int
0
t\beta (\gamma +1) - 1
(x\beta - t\beta )
1 - \sigma u(t, 0)dt,
(2)
где \eta = x + (1 - 2\delta )( - y)
1
1 - 2\delta , m, \alpha , \beta jk, \gamma jk, \sigma jk, pk, qk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, m > 0, 0 < \alpha , \beta jk, \gamma jk,
\sigma jk < 1, более того, 0 < \gamma jk + \sigma jk < 1, j = 1, 2, k = 1, 2, . . . , n, \delta =
m
2(m+ 2)
.
Пусть \Omega — конечная область, ограниченная сегментами A1A2 = \{ (x, y) : x = 1, 0 < y <
h\} , B1B2 = \{ (x, y) : x = 0, 0 < y < h\} , B2A2 = \{ (x, y) : y = h, 0 < x < 1\} при y >
> 0, с характеристиками A1C : x + (1 - 2\delta )( - y)
1
(1 - 2\delta ) = 1, B1C : x - (1 - 2\delta )( - y)
1
1 - 2\delta = 0
уравнения (1) при y < 0, где A1 = (1; 0), A2 = (1;h), B1 = (0; 0), B2 = (0;h), C =
=
\Biggl(
1
2
; -
\biggl(
m+ 2
4
\biggr) 1 - 2\delta
\Biggr)
.
Введем обозначения \Omega + = \Omega \cap (y > 0), \Omega - = \Omega \cap (y < 0), I1 =
\biggl\{
x : 0 < x <
1
2
\biggr\}
,
I2 = \{ y : 0 < y < h\} .
Формулировка задачи. Требуется найти решение u(x, y) уравнения (1) из класса функций
W =
\bigl\{
u(x, y) : u(x, y) \in C(\=\Omega ) \cap C2(\Omega - ) , uxx \in C
\bigl(
\Omega +
\bigr)
, CD
\alpha
oyu \in C
\bigl(
\Omega +
\bigr) \bigr\}
,
удовлетворяющее краевым
u(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| A1A2
= \varphi (y), 0 \leq y \leq h, (3)
u(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| B1B2
= \psi (y), 0 \leq y \leq h, (4)
u(x, y)| B1C
= h(x), x \in I1, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 725
и разрывным условиям склеивания
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +0
y1 - \alpha uy(x, y) = \lambda uy(x, - 0), (x, 0) \in A1B1, (6)
где \varphi (y), \psi (y), h(x) — заданные функции, причем \lambda = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \lambda \in \BbbR +.
Известно, что функция Римана для уравнения (1) при y < 0 (в характеристических коорди-
натах \xi = x - (1 - 2\delta )( - y)
1
1 - 2\delta и \eta = x+ (1 - 2\delta )( - y)
1
1 - 2\delta ) определяется через гипергеомет-
рическую функцию Гаусса [22]
R(\xi 0, \eta 0; \xi , \eta ) =
(\eta - \xi )2\delta
(\eta - \xi 0)
\delta (\eta 0 - \xi )\delta
H
\biggl(
\delta , \delta , 1;
(\xi 0 - \xi ) (\eta - \eta 0)
(\eta - \xi 0) (\eta 0 - \xi )
\biggr)
, (7)
где
H(a1, a2, a3; z) =
\Gamma (a3)
\Gamma (a2)\Gamma (a3 - a2)
1\int
0
xa2 - 1(1 - x)a3 - a2 - 1(1 - zx) - a1dx,
0 < \mathrm{R}\mathrm{e} a2 < \mathrm{R}\mathrm{e} a3, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(1 - z)| < \pi .
Отметим, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области \Omega - с начальными данными
u(x, 0) = \tau (x), 0 \leq x \leq 1; uy(x, - 0) = \nu - (x), 0 < x < 1, (8)
дается формулой [20, 22]
u(\xi , \eta ) = k1
\eta \int
\xi
(s - \xi ) - \delta (\eta - s) - \delta \nu - (s) ds -
- k2
\eta \int
\xi
(\eta - \xi )1 - 2\delta (s - \xi )\delta - 1(\eta - s)\delta - 1\tau - (s) ds+
+
n\sum
k=1
\eta \int
\xi
qkI
\gamma 2k, \sigma 2k
\beta 2k
\tau (s)ds
\eta \int
s
(\eta - \xi )2\delta
(\eta - s)\delta (z - \xi )\delta
H
\biggl(
\delta , \delta , 1;
(s - \xi ) (\eta - z)
(\eta - s) (z - \xi )
\biggr)
dz, (9)
где k1 =
(2 - 4\delta )2\delta - 1\Gamma (2 - 2\delta )
\Gamma 2(1 - \delta )
, k2 =
\Gamma (2\delta )
\Gamma 2(\delta )
.
Учитывая (5), (2) и используя свойства оператора Римана – Луувилля [13], из (9) получаем
\nu - (\eta ) =
k2\Gamma (\delta )
k1\Gamma (1 - \delta )
D1 - 2\delta
0 \eta \tau (\eta ) - 2
k1\Gamma (1 - \delta )
\eta 3\delta D1 - \delta
0 \eta
\eta \int
0
n\sum
k=1
qk\beta 2k
\Gamma (\beta k)
t - \beta 2k(\gamma 2k+\sigma 2k)dt\times
\times
t\int
0
s\beta 2k(\gamma 2k+1) - 1
(t\beta 2k - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\tau (s)ds
\eta \int
t
1
(\eta - t)\delta z\delta
H
\biggl(
\delta , \delta , 1;
t (\eta - z)
z (\eta - t)
\biggr)
dz+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
726 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
+
2
k1\Gamma (1 - \delta )
\eta \delta D1 - \delta
0 \eta h
\Bigl( \eta
2
\Bigr)
. (10)
Здесь D\alpha
axf, \alpha \in R+, — дробное дифференцирование Римана – Лиувилля, которое имеет вид
[13, с. 70]
(D\alpha
axf)x =
1
\Gamma (n - \alpha )
\biggl(
d
dx
\biggr) n
x\int
a
f(t)
(x - t)\alpha - n+1 dt, n = [\alpha ] + 1, x > a.
С другой стороны, в силу обозначений (8) и равенства \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow +0 y
1 - \alpha uy(x, y) = \nu +(x), 0 < x <
< 1, из (6) имеем
\nu +(x) = \lambda \nu - (x). (11)
Далее, из уравнения (1) при y \rightarrow +0 с учетом (11) и равенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
D\alpha - 1
0y f(y) = \Gamma (\alpha ) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
y1 - \alpha f(y)
получаем
\tau \prime \prime (x) - \Gamma (\alpha )\nu +(x) +
n\sum
k=1
pkI
\gamma 1k,\sigma 1k
\beta 1k
\tau (x) = 0, 0 < x < 1. (12)
3. Теорема единственности.
Теорема 1. Пусть \lambda > 0 и выполняются условия
0 < \alpha , \beta jk, \gamma jk, \sigma jk < 1, 0 < \gamma jk + \sigma jk < 1, pk < 0, qk < 0, j = 1, 2, k = 1, 2, . . . , n. (13)
Тогда решение исследуемой задачи единственно.
Доказательство. Исследуем интеграл J =
\int 1
0
\tau (t)\nu +(t)dt. Для этого обе части уравнения
(12) умножим на \tau (x) и проинтегрируем от 0 до 1:
\Gamma (\alpha )
1\int
0
\tau (t)\nu +(t)dt =
1\int
0
\tau \prime \prime (t)\tau (t)dt+
1\int
0
\tau (t)
n\sum
k=1
pkI
\gamma 1k,\sigma 1k
\beta 1k
\tau (t)dt. (14)
В силу [\varphi (y) \equiv \psi (y) \equiv 0] с учетом того, что \tau (0) = \tau (1) = 0, после некоторых вычислений
получим
J \equiv
1\int
0
\tau (t)\nu +(t)dt = -
1\int
0
\bigl(
\tau \prime (t)
\bigr) 2
dt+
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
1\int
0
\tau (t)dt
t\int
0
z\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(t\beta 1k - z\beta 1k)
1 - \sigma 1k
\tau (z)dz.
Далее, учитывая равенство
x\int
0
\beta t\beta \gamma +\beta - 1
(x\beta - t\beta )
1 - \delta
\tau (t)dt =
x\beta \int
0
t\gamma
(x\beta - t)
1 - \delta
\tau
\Bigl(
t1/\beta
\Bigr)
dt (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 727
и применяя формулу [22, с. 188]
| x - t| - \delta =
1
\Gamma (\delta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi \delta
2
\infty \int
0
z\delta - 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} [z(x - t)] dz, 0 < \delta < 1,
после некоторых упрощений окончательно получаем [20]
1\int
0
\tau (x)dx
x\int
0
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1\tau (t)
(x\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt =
1\int
0
x1/\beta 1k - 1\tau (x1/\beta 1k)dx
x\int
0
t\gamma 1k\tau (t1/\beta 1k)
(x - t)1 - \sigma 1k
dt \geq 0.
Следовательно, в силу (13) имеем
1\int
0
\tau (t)\nu +(t)dt \leq 0. (16)
Теперь докажем, что
\int 1
0
\tau (t)\nu - (t)dt \geq 0 в области \Omega - .
Используя замену t\beta 2k \sim t, s\beta 2k \sim s и z\beta 2k \sim z, из (10) находим
\nu - (\eta ) =
k2\Gamma (\delta )
k1\Gamma (1 - \delta )
D1 - 2\delta
0 \eta \tau (\eta ) - 2\eta 3\delta
k1\Gamma (1 - \delta )
D1 - \delta
0 \eta
n\sum
k=1
qk
\beta 2k\Gamma (1 + \beta 2k)
\eta \beta 2k\int
0
t1/\beta 2k - 1
t\gamma 2k+\sigma 2k
dt\times
\times
t\int
0
s\gamma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds
\eta \beta 2k\int
t
z
1 - \delta
\beta 2k
- 1\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta H
\Biggl(
\delta , \delta , 1;
t1/\beta 2k
\bigl(
\eta - z1/\beta 2k
\bigr)
z1/\beta 2k
\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \Biggr) dz+
+
2
k1\Gamma (1 - \delta )
\eta \delta D1 - \delta
0 \eta h
\Bigl( \eta
2
\Bigr)
. (17)
Исследуем интеграл (см. (17))
A(\eta ) \equiv 2\eta 3\delta
k1\Gamma (1 - \delta )
D1 - \delta
0 \eta
n\sum
k=1
qk
\beta 2k\Gamma (1 + \beta 2k)
\eta \beta 2k\int
0
t1/\beta 2k - 1
t\gamma 2k+\sigma 2k
dt\times
\times
t\int
0
s\gamma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr) \eta \beta 2k\int
t
z
1 - \delta
\beta 2k - 1\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta H
\Biggl(
\delta , \delta , 1;
t1/\beta 2k
\bigl(
\eta - z1/\beta 2k
\bigr)
z1/\beta 2k
\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \Biggr) dz.
Вводя замену
t1/\beta 2k
\bigl(
\eta - z1/\beta 2k
\bigr)
z1/\beta 2k
\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) = \theta
в последнем интеграле, после несложных упрощений имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
728 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
A(\eta ) \equiv 2\eta 1 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )
D1 - \delta
0 \eta
n\sum
k=1
qk
\Gamma (1 + \beta 2k)
\eta \beta 2k\int
0
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2k
t\gamma 2k+\sigma 2k
\bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
t\int
0
s\gamma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
\eta - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta =
=
2\eta 1 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
d
d\eta
\eta \int
0
(\eta - y)\delta - 1dy
n\sum
k=1
qk
\Gamma (1 + \beta 2k)
y\beta 2k\int
0
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)\bigl(
y - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
t\int
0
s\gamma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
y - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta .
Далее, также вводя замену y \sim y\eta , t \sim (\eta y)\beta 2kt в первом и во втором интегралах, получаем
A(\eta ) \equiv 2\eta 1 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
qk
\Gamma (1 + \beta 2k)
d
d\eta
\eta 1 - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k
1\int
0
y1 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k
(1 - y)1 - \delta
dy\times
\times
1\int
0
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2k\bigl(
1 - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
t\gamma 2k+\sigma 2k
dt
(\eta y)\beta 2k t\int
0
s\gamma 2k\tau (s1/\beta 2k)\Bigl(
t(\eta y)\beta 2k - s
\Bigr) 1 - \sigma 2k
ds
1\int
0
H (\delta , \delta , 1; \theta )\bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\bigl(
1 - t1/\beta 2k
\bigr) \bigr) 2 - \delta
d\theta .
Интегрируя по частям в третьем интеграле, имеем
A(\eta ) \equiv 2\eta 1 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
qk(1 - (\gamma 2k + \sigma 2k)\beta 2k)
\Gamma (1 + \beta 2k)\sigma 2k
\eta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k\times
\times
1\int
0
y1 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k
(1 - y)1 - \delta
dy
1\int
0
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)\bigl(
1 - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
(\eta y)\beta 2k t\int
0
s\gamma 2k\tau
\bigl(
s1/\beta 2k
\bigr) \Bigl(
t(\eta y)\beta 2k - s
\Bigr) 1 - \sigma 2k
ds
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
1 - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2\eta 1 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
qk\eta
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
\Gamma (1 + \beta 2k)
1\int
0
y1 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma k)\beta k
(1 - y)1 - \delta
dy\times
\times
1\int
0
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k\bigl(
1 - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt
(\eta y)\beta 2k t\int
0
\gamma k\beta 2ks
\gamma 2k - 1\tau (s1/\beta 2k) + s\gamma 2k+1/\beta 2k - 1\tau \prime
\bigl(
s1/\beta 2k
\bigr) \Bigl(
t(\eta y)\beta 2k - s
\Bigr) 1 - \sigma 2k
ds\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 729
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
1 - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta . (18)
Вводя обратные замены y\eta \sim y, (\eta y)\beta 2kt \sim t, окончательно находим
A(\eta ) \equiv 2\eta 2 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
qk(1 - (\gamma 2k + \sigma 2k)\beta 2k)
\Gamma (1 + \beta 2k)\sigma 2k
\eta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k\times
\times
\eta \beta 2k\int
0
s\gamma 2k\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds
\eta \int
s1/\beta 2k
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(y\eta )\beta 2k\int
s
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)
(t - s)1 - \sigma 2k
\bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2\eta 2 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
\gamma kqk\eta
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
\Gamma (\beta 2k)
\eta \beta 2k\int
0
s\gamma 2k - 1\tau
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds\times
\times
\eta \int
s1/\beta 2k
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(y\eta )\beta 2k\int
s
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2\eta 2 - \delta
k1\Gamma (1 - \delta )\Gamma (\delta )
n\sum
k=1
qk\eta
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
\Gamma (1 + \beta 2k)
\eta \beta 2k\int
0
s\gamma 2k+1/\beta 2k - 1\tau \prime
\Bigl(
s1/\beta 2k
\Bigr)
ds\times
\times
\eta \int
s1/\beta 2k
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(y\eta )\beta 2k\int
s
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s)1 - \sigma 2k
\bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
y\eta - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H(\delta , \delta , 1; \theta )d\theta . (19)
С учетом (19) элементарно доказывается аналогичная лемма, как и в работе [19].
На основе упомянутой леммы (см. [19]) заключаем, что
\int 1
0
\tau (x)\nu - (x)dx \geq 0, следова-
тельно, в силу (16) и (11) получаем равенство
\int 1
0
\tau (x)\nu - (x)dx = 0, из которого следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
730 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
\tau (x) \equiv 0, \nu - (x) \equiv 0. В итоге убеждаемся, что u(x, y) \equiv 0 в \Omega
+
и \Omega
-
. Отметим, что если
однородная задача имеет только тривиальное решение, то соответствующая основная задача
имеет единственное решение.
Теорема 1 доказана.
4. Существование решения исследуемой задачи.
Теорема 2. Если выполнены все условия теоремы 1 и
\varphi (y), \psi (y) \in C
\bigl(
I2
\bigr)
\cap C1(I2), h(x) \in C1(I1) \cap C2(I1), (20)
то решение исследуемой задачи существует.
Доказательство. В силу (11) из уравнения (12) получаем
\tau \prime \prime (x) = f(x), (21)
где
f(x) = \lambda \Gamma (\alpha )\nu - (x) -
n\sum
k=1
\psi (0)pk\beta 1kx
\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(x\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
-
n\sum
k=1
pk\beta 1kx
\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
\tau \prime (z)dz
x\int
z
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(x\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt. (22)
Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям \tau (0) = \psi (0), \tau (1) = \varphi (0), имеет вид
\tau (x) =
x\int
0
(x - t)f(t)dt - x
1\int
0
(1 - t)f(t)dt+ \varphi (0)(1 - x) + x\psi (0),
следовательно,
\tau \prime (x) =
x\int
0
f(t)dt -
1\int
0
(1 - t)f(t)dt+ \psi (0) - \varphi (0). (23)
В силу (19), подставляя (17) в (22), после некоторых упрощений имеем
f(x) = k11x
2\delta - 1\psi (0) - k11
x\int
0
(x - t)2\delta - 1\tau \prime (t)dt -
-
n\sum
k=1
\psi (0)pk\beta 1kx
\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(x\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
-
n\sum
k=1
pk\beta 1kx
\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
\tau \prime (z)dz
x\int
z
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(x\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 731
- 2k11x
2 - \delta
k2
n\sum
k=1
\omega kx
- (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k
x\int
0
\tau \prime (z)dz
x\int
z
s\beta 2k
(\gamma 2k+1) - 1
ds\times
\times
x\int
s
dy
(1 - yx)1 - \delta
(yx)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yx - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yx - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta -
- 2k11x
2 - \delta
k2
n\sum
k=1
\omega kx
- (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2k\psi (0)
x\int
0
s\beta 2k
(\gamma 2k+1) - 1
ds\times
\times
x\int
s
dy
(1 - yx)1 - \delta
(yx)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yx - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yx - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2k11x
2 - \delta
k2
n\sum
k=1
\gamma kqkx
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
\tau \prime (z)dz
x\int
z
s\beta 2k\gamma 2k - 1ds\times
\times
x\int
s
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(yx)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yx - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yx - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2k11x
2 - \delta
k2
n\sum
k=1
\gamma kqkx
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k\psi (0)
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
s\beta 2k\gamma 2k - 1ds\times
\times
x\int
s
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(yx)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yx - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
732 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yx - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta +
+
2k11x
2 - \delta
k2
n\sum
k=1
qkx
(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
s\beta 2k\gamma 2k\tau \prime (s)ds\times
\times
x\int
s
dy
(1 - yx)1 - \delta
(yx)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yx - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yx - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta , (24)
где k11 =
k2\lambda \Gamma (\alpha )\Gamma (\delta )
k1\Gamma (1 - \delta )
, \omega k =
qk(1 - (\gamma 2k + \sigma 2k)\beta 2k)
\Gamma (\beta 2k)\sigma 2k
.
Далее, рассматривая (24), из (23) получаем
\tau \prime (x) =
2k11
k2
n\sum
k=1
qk
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Ak(s, z)\tau
\prime (s)ds+
+
2k11
k2
n\sum
k=1
\gamma kqk
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Bk(\mu , z)\tau
\prime (\mu )d\mu -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
\omega k
x\int
0
z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Ck(\mu , z)\tau
\prime (\mu )d\mu -
-
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
z\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
0
\tau \prime (s)ds
z\int
s
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
- k11
x\int
0
dz
z\int
0
(z - t)2\delta - 1\tau \prime (t)dt -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
qk
\Gamma (\beta 2k)
1\int
0
(1 - z)z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Ak(s, z)\tau
\prime (s)ds -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
\gamma kqk
\Gamma (\beta 2k)
1\int
0
(1 - z)z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Bk(\mu , z)\tau
\prime (\mu )d\mu +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 733
+
2k11
k2
n\sum
k=1
\omega k
1\int
0
(1 - z)z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kdz
z\int
0
Ck(\mu , z)\tau
\prime (\mu )d\mu +
+
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
1\int
0
(1 - z)z\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
0
\tau \prime (s)ds
z\int
s
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt+
+k11
1\int
0
(1 - z)dz
z\int
0
(z - t)2\delta - 1\tau \prime (t)dt+ F (x), (25)
где
Ak(s, z) = s\beta 2k\gamma 2k
z\int
s
dy
(1 - yz)1 - \delta
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yz - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta , (26)
Bk(\mu , z) =
z\int
\mu
s\beta 2k\gamma 2k - 1ds
z\int
s
dy
(1 - y\eta )1 - \delta
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yz - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta , (27)
Ck(\mu , z) =
z\int
\mu
s\beta 2k
(\gamma 2k+1) - 1
ds
z\int
s
dy
(1 - yz)1 - \delta
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt - (\gamma 2k+\sigma 2k)
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta - 1
dt\times
\times
1\int
0
\Bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\Bigl(
yz - t1/\beta 2k
\Bigr) \Bigr) \delta - 2
H (\delta , \delta , 1; \theta ) d\theta , (28)
F (x) =
n\sum
k=1
\psi (0)pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
1\int
0
1 - z
z - \beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)
dz
z\int
0
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
-
n\sum
k=1
\psi (0)pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
x\int
0
z\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
0
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
734 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
- 2k11\psi (0)
k2
n\sum
k=1
\omega k
x\int
0
z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kCk(0, z)dz+
+
2k11
k2
n\sum
k=1
\gamma kqk\psi (0)
\Gamma (\beta 2k)
x\int
0
z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kBk(0, z)dz+
+
2k11\psi (0)
k2
n\sum
k=1
\omega k
1\int
0
(1 - z)z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kCk(0, z)dz -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
\gamma kqk\psi (0)
\Gamma (\beta 2k)
1\int
0
(1 - z)z2 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kBk(0, z)dz+
+
k11
2\delta
x2\delta \psi (0) + (\psi (0) - \varphi (0))(x - 1) - k11\psi (0)
2\delta (2\delta + 1)
. (29)
После некоторых упрощений из (25) окончательно получаем
\tau \prime (x) =
1\int
0
K(x, t)\tau \prime (t)dt+ F (x). (30)
Здесь
K(x, t) =
\Biggl\{
K1(x, t), 0 \leq t \leq x,
K2(x, t), x \leq t \leq 1,
(31)
K1(x, s) =
2k11
k2
n\sum
k=1
qk
\Gamma (\beta 2k)
x\int
s
[Ak(s, z) + \gamma kBk(s, z)] z
3 - \delta +(1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2kdz -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
qk
\Gamma (\beta 2k)
1\int
x
1 - z
z\delta - 2 - (1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
[Ak(s, z) + \gamma kBk(s, z)] dz -
- 2k11
k2
n\sum
k=1
\omega k
x\int
s
Ck(s, z)z
3 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kdz+
+
2k11
k2
n\sum
k=1
\omega k
1\int
x
(1 - z)z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kCk(s, z)dz -
-
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
x\int
s
z1+\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
s
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 735
+
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
1\int
x
(1 - z)z\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
s
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
dt+
+k11
x\int
s
(1 - z)(z - s)2\delta - 1dz + k11
1\int
s
(1 - z)(z - s)2\delta - 1dz +
k11
2\delta
(x - s)2\delta , (32)
K2(x, s) = - 2k11
k2
n\sum
k=1
qk
\Gamma (\beta 2k)
1\int
s
1 - z
z\delta - 2 - (1 - \gamma 2k - \sigma 2k)\beta 2k
[Ak(s, z) + \gamma kBk(s, z)] dz+
+
2k11
k2
n\sum
k=1
\omega k
1\int
s
(1 - z)z2 - \delta - (\gamma 2k+\sigma 2k)\beta 2kCk(s, z)dz+
+
n\sum
k=1
pk\beta 1k
\Gamma (\beta 1k)
1\int
s
(1 - z)z\beta 1k(\gamma 1k+\sigma 1k)dz
z\int
s
t\beta 1k(\gamma 1k+1) - 1dt
(z\beta 1k - t\beta 1k)
1 - \sigma 1k
+
+k11
1\int
s
(1 - z)(z - s)2\delta - 1dz. (33)
Поскольку [13]
H(a1, a2, a3; z) \leq
\left\{
c1, если a3 - a1 - a2 > 0, 0 \leq z \leq 1,
c2(1 - z)a3 - a1 - a2 , если a3 - a1 - a2 < 0, 0 < z < 1,
c3 (1 + | \mathrm{l}\mathrm{n}(1 - z)| ) , если a3 - a1 - a2 = 0,
(34)
интегрируя по частям, из (26) находим
Ak(s, z) \leq
\delta 2\Gamma (1 - 2\delta )s\beta 2k\gamma 2k
| \delta - 1| \Gamma 2(1 - \delta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\int
s
(yz)\delta - 1
(1 - yz)1 - \delta
dy
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\delta 2s\beta 2k\gamma 2k
| \delta - 1|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\int
s
dy
(1 - yz)1 - \delta
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(1 - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\delta 2s\beta 2k\gamma 2k
| \delta - 1|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\int
s
dy
(1 - yz)1 - \delta
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
t(2 - \delta - \beta 2k)/\beta 2kt1 - \gamma 2k - \sigma 2k
(t - s\beta 2k)
1 - \sigma 2k
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \delta dt\times
\times
1\int
0
\bigl(
t1/\beta 2k + \theta
\bigl(
yz - t1/\beta 2k
\bigr) \bigr) \delta - 1
(1 - \theta )2\delta
H (1 - \delta , 1 - \delta , 2; \theta ) d\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
736 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
Далее, учитывая неравенства 2 - 1+ \delta - 1+ \delta = 2\delta > 0, | \theta | \leq 1, имеем (см. (34)) H(1 - \delta , 1 -
- \delta , 2; \theta ) \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Рассматривая
(yz)\beta 2k\int
s\beta 2k
dt =
s
\beta 2k
0\int
s\beta 2k
dt+
(yz)\beta 2k\int
s
\beta 2k
0
dt,
после несложных оценок заключаем, что
| Ak(s, z)| \leq c1s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\int
s
(yz)1 - (\sigma 2k+\gamma 2k)\beta 2k
\Bigl(
s\beta k
0 - s\beta k
\Bigr) \sigma k
(1 - yz)1 - \delta (yz - s0)
\delta
dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+c2s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\int
s
(yz)(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k
\Bigl(
s\beta k
0 - s\beta k
\Bigr) \sigma k - 1
(yz - s0)
\delta (1 - yz)1 - \delta
dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
На основании того, что
z\int
s
dy =
s0/z\int
s
dy +
z\int
s0/z
dy,
можно заключить, что
| Ak(s, z)| \leq c11s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| s\beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k
(1 - s0)
\delta - 1| sz - s0| 1 - \delta z1 - (\sigma 2k+\gamma 2k)\beta 2k+
+c12s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| s\beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k - 1
(1 - s0)
\delta - 1| sz - s0| 2 - \delta z2(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1+
+c21s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| s\beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k \bigm| \bigm| z2 - s0
\bigm| \bigm| 1 - \delta \bigl(
1 - z2
\bigr) \delta - 1
z1 - 2(\sigma 2k+\gamma 2k)\beta 2k+
+c22s
\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| s\beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k - 1\bigm| \bigm| z2 - s0
\bigm| \bigm| 2 - \delta \bigl(
1 - z2
\bigr) \delta - 1
z2(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1 \leq
\leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} s\beta 2k\gamma 2k
\bigm| \bigm| \bigm| s\beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k - 1
(1 - s0)
\delta - 1\bigl( 1 - z2
\bigr) \delta - 1
z2(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1. (35)
Аналогично получаем
| Bk(\mu , z)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (1 - s0)
\delta - 1\bigl( 1 - z2
\bigr) \delta - 1
z2(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k - 1
\times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| z\gamma 2k\beta 2k - \mu \gamma 2k\beta 2k
\bigm| \bigm| \bigm| , (36)
| Ck(\mu , z)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (1 - s0)
\delta - 1\bigl( 1 - z2
\bigr) \delta - 1
z2(1 - \sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \beta 2k - s\beta 2k
0
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma 2k - 1
\times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| z(1+\gamma 2k)\beta 2k - \mu (1+\gamma 2k)\beta 2k
\bigm| \bigm| \bigm| , (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
О ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА . . . 737
| Bk(0, z)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} s
\beta 2k(\sigma 2k - 1)
0 (1 - s0)
\delta - 1\bigl( 1 - z2
\bigr) \delta - 1
z(2 - 2\sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1, (38)
| Ck(0, z)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} s
\beta 2k(\sigma 2k - 1)
0 (1 - s0)
\delta - 1\bigl( 1 - z2
\bigr) \delta - 1
z(3 - 2\sigma 2k - \gamma 2k)\beta 2k - 1. (39)
Таким образом, в силу класса заданных функций (см. (20)) и (13), учитывая (35) – (39), из
(31) – (33) и (29) соответственно получаем | K(x, s)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} и | F (x)| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} для всех 0 \leq
\leq x \leq 1. Следовательно, решая интегральное уравнение (30), находим \tau (x), далее из (10) и
(11) соответственно находим \nu - (x) и \nu +(x) (см. [19]). Единственное решение исследуемой
задачи в области \Omega + представимо в виде [22, 23]
u(x, y) =
y\int
0
G\xi (x, y, 0, \eta )\psi (\eta )d\eta -
y\int
0
G\xi (x, y, 1, \eta )\varphi (\eta )d\eta +
1\int
0
G0(x - \xi , y)\tau (\xi )d\xi -
-
y\int
0
1\int
0
G(x, y, \xi , \eta )d\xi d\eta
n\sum
k=1
pk
\Bigl(
I\gamma 1k,\sigma 1k
\beta 1k
\tau
\Bigr)
\xi .
Здесь
G0(x - \xi , y) =
1
\Gamma (1 - \alpha )
y\int
0
\eta - \alpha G(x, y, \xi , \eta )d\eta ,
G(x, y, \xi , \eta ) =
(y - \eta )\alpha / 2 - 1
2
\infty \sum
n= - \infty
\Biggl[
e
1,\alpha /2
1,\alpha /2
\Biggl(
- | x - \xi + 2n|
(y - \eta )\alpha /2
\Biggr)
- e
1,\alpha /2
1,\alpha /2
\Biggl(
- | x+ \xi + 2n|
(y - \eta )\alpha /2
\Biggr) \Biggr]
— функция Грина, как и в работах [19, 22, 23],
e1,\delta 1,\delta (z) =
\infty \sum
n=0
zn
n!\Gamma (\delta - \delta n)
— функция типа Райта [23].
Таким образом, теорема 2 доказана.
Литература
1. Lundstrom B. N., Higgs M. H., Spain W. J., Fairhall A. L. Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons //
Nature Neurosci. – 2018. – 11, № 11. – P. 1335 – 1342.
2. Mairnardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. – London: Imperial College Press, 2010.
3. Scalas E. The application of continuos-time random walks in finance and economics // Phys. A. – 2006. – 362, № 2. –
P. 225 – 239.
4. Vinagre B. M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V. Some approximations of fractional order operators used in control
theory and application // Fract. Calc. and Appl. Anal. – 2000. – 3, № 3. – P. 231 – 248.
5. Monje C. A. Fundamentals and applications. – Springer, 2010.
6. Cattani C., Srivastava H. M., Yang Xiao-Jun. Fractional dynamics. – Walter de Gruyter, 2015.
7. Bhrawy A. H., Doha E. H., Baleanu D., Ezz-eldein S. S. A spectral tau algorithm based on Jacobi operational matrix
for numerical solution of time fractional diffusion wave equations // J. Comput. Phys. – 2015. – 293. – P. 142 – 156.
8. Baleanu D., Mehdi M., Hakimeh B. A fractional derivative inclusion problem via an integral boundary condition //
J. Comput. Anal. and Appl. – 2016. – 21, № 3. – P. 504 – 514.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
738 О. Х. АБДУЛЛАЕВ
9. Luchko Y., Trujilo J. J. Caputo-type modification of the Erdelyi – Kober fractional derivative // Fract. Calc. and Apll.
Anal. – 2007. – 10, № 3. – P. 251 – 267.
10. Gorenflo R., Luchko Yu. F., Mainardi F. Wright functions as scale-invariant solutions of the diffusion-wave equation //
J. Comput. and Appl. Math. – 2000. – 118, № 1 – 2. – P. 175 – 191.
11. Kiryakova V. Generalized fractional calculus and applications. – Harlow: Longman Sci. and Techn., 1994.
12. Sneddon I. N. The use in mathematical analysis of Erdelyi – Kober operators and some of their applications // Fract.
Calc. and Appl.: Lect. Notes Math. – 1975. – 457. – P. 35 – 79.
13. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations // North-
Holland Math. Stud. – 2006. – 204.
14. Podlubny I. Fractional differential equations. – New York: Acad. Press, 1999.
15. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integral and derivatives: theory and applications. – Longhorne,
PA: Gordon and Breach, 1993.
16. Маричев O. И., Килбас A. A., Репин О. А. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных
производных с разрывными коэффициентами. – Самара: Изд-во Самар. гос. экон. ун-та, 2008.
17. Килбас A. A., Репин O. A. Аналог задачи Бицадзе – Самарского для уравнения смешанного типа с дробным
дифференцированием // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 5. – С. 674 – 680.
18. Kilbas A. A., Repin O. A. An analog of the Tricomi problem for a mixed type equation with a partial fractional
derivative // Fract. Calc. and Appl. Anal. – 2010. – 13, № 1. – P. 69 – 84.
19. Islomov B. I., Abdullaev O. Kh., Ochilova N. K. On a problem for the loaded degenerating mixed type equation
involving integral-differential operators // Nanosystems: Phys., Chem., Math. – 2017. – 8, № 3. – P. 323 – 333.
20. Sadarangani K., Abdullaev O. Kh. A non-local problem with discontinuous matching condition for loaded mixed
type equation involving the Caputo fractional derivative // Adv. Difference Equat. – 2016.
21. Abdullayev O. Kh. Solvability of a non-local problem with integral gluing condition for mixed type equation with
Erdelyi – Kober operators // Fract. Differen. Calc. – 2017. – 7, № 2. – P. 371 – 383.
22. Смирнов M. M. Уравнения смешанного типа. – М.: Наука, 2000.
23. Псху A. В. Решение краевой задачи для дробного диффузионного уравнения методом функции Грина //
Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 10. – С. 1509 – 1513.
Получено 20.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1471 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:23Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/27/4a7cc24a0788e9d99ee26431dc301f27.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14712019-12-05T08:56:42Z On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo and Erdelyi – Kober operators of fractional order О задаче для вырождающегося уравнения смешанного типа с операторами Капуто и Эрдели – Кобера дробного порядка Abdullaev, O. Kh. Абдуллаев, О. Х. Абдуллаев, О. Х. UDC 517.9 We establish the existence and uniqueness of the solution of a local problem for the degenerate parabolic-hyperbolic-type equations with loaded terms containing the trace of solution in the Erdelyi – Kober integrals. Since, the trace of solution (i.e., $u(x, 0)$) appears in the Erdelyi – Kober integrals and the hyperbolic-type equation is degenerated in the line $y = 0$, we use some properties and estimates for hypergeometric functions and, in addition, some integral equalities in proving the existence and uniqueness of solution of the investigated problem. УДК 517.9 Встановлено iснування й єдинiсть розв’язку локальної задачi для вироджуваного рiвняння параболо-гiперболiчного типу з навантаженими доданками, в яких слiд розв’язку знаходиться в iнтегралах Ерделi – Кобера. Оскiльки слiд розв’язку (тобто $u(x, 0)$) знаходиться в iнтегралах Ерделi –Кобера i гiперболiчне рiвняння вироджується на лiнiї $y = 0$, в процесi доведення iснування й єдиностi дослiджуваної задачi використано властивостi й оцiнки гiпергеометричних функцiй та деякi iнтегральнi тотожностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1471 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 723-738 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 723-738 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1471/455 Copyright (c) 2019 Abdullaev O. Kh. |
| spellingShingle | Abdullaev, O. Kh. Абдуллаев, О. Х. Абдуллаев, О. Х. On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title | On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo
and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title_alt | О задаче для вырождающегося уравнения смешанного типа с операторами
Капуто и Эрдели – Кобера дробного порядка |
| title_full | On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo
and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title_fullStr | On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo
and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title_full_unstemmed | On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo
and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title_short | On the problem for the mixed-type degenerate equation with Caputo
and Erdelyi – Kober operators of fractional order |
| title_sort | on the problem for the mixed-type degenerate equation with caputo
and erdelyi – kober operators of fractional order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1471 |
| work_keys_str_mv | AT abdullaevokh ontheproblemforthemixedtypedegenerateequationwithcaputoanderdelyikoberoperatorsoffractionalorder AT abdullaevoh ontheproblemforthemixedtypedegenerateequationwithcaputoanderdelyikoberoperatorsoffractionalorder AT abdullaevoh ontheproblemforthemixedtypedegenerateequationwithcaputoanderdelyikoberoperatorsoffractionalorder AT abdullaevokh ozadačedlâvyroždaûŝegosâuravneniâsmešannogotipasoperatoramikaputoiérdelikoberadrobnogoporâdka AT abdullaevoh ozadačedlâvyroždaûŝegosâuravneniâsmešannogotipasoperatoramikaputoiérdelikoberadrobnogoporâdka AT abdullaevoh ozadačedlâvyroždaûŝegosâuravneniâsmešannogotipasoperatoramikaputoiérdelikoberadrobnogoporâdka |