Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation and homoclinic chaos
UDC 517.9 The paper is devoted to the investigation of bounded solutions of a nonlinear Lyapunov-type problem in Banach and Hilbert spaces. Necessary and sufficient conditions for the existence of bounded solutions are obtained under the assumption that the homogeneous equation admits exponential d...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1474 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507257205161984 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Покутний, O. О. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Покутний, O. О. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-30T12:28:15Z |
| description | UDC 517.9
The paper is devoted to the investigation of bounded solutions of a nonlinear Lyapunov-type problem in Banach and Hilbert
spaces. Necessary and sufficient conditions for the existence of bounded solutions are obtained under the assumption that
the homogeneous equation admits exponential dichotomy on the semiaxes. Conditions for the existence of homoclinic
chaos in nonlinear evolution equations are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. A. Бойчук, О. О. Покутний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА
ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС
The paper is devoted to the investigation of bounded solutions of a nonlinear Lyapunov-type problem in Banach and Hilbert
spaces. Necessary and sufficient conditions for the existence of bounded solutions are obtained under the assumption that
the homogeneous equation admits exponential dichotomy on the semiaxes. Conditions for the existence of homoclinic
chaos in nonlinear evolution equations are presented.
Роботу присвячено дослiдженню обмежених розв’язкiв нелiнiйного рiвняння типу Ляпунова у банахових i гiль-
бертових просторах. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв за умови
експоненцiальної дихотомiї на пiвосях однорiдного рiвняння. Наведено умови iснування гомоклiнiчного хаосу не-
лiнiйних еволюцiйних рiвнянь.
Вступ. Питанню iснування обмежених розв’язкiв рiзного класу еволюцiйних рiвнянь при-
свячено значну кiлькiсть робiт. Такi питання тiсно пов’язанi з властивiстю дихотомiї вiдпо-
вiдного однорiдного рiвняння. Це клас рiвнянь, розв’язки яких можуть як спадати до нуля з
експоненцiальною швидкiстю, так i необмежено зростати. Вiдзначимо роботи [1 – 20], у яких
дослiджується iснування обмежених розв’язкiв для еволюцiйних задач, що є експоненцiально
дихотомiчними на всiй осi чи пiвосях. Розрiзняють рiзнi види дихотомiй як у звичайному сен-
сi, так i \mu -, \nu -рiвномiрнi та нерiвномiрнi [15, 16], (h, k) дихотомiї [17]. Оскiльки цi питання
пов’язанi зi стiйкiстю та нестiйкiстю розв’язкiв, то природним чином вони мають вiдношен-
ня до вiдомого рiвняння Ляпунова, яке розглядається у роботi. Вiдомо також, що властивiсть
дихотомiї часто може свiдчити про наявнiсть складної поведiнки вiдповiдної системи. А са-
ме, вiдома теорема Палмера [18 – 20] дає достатнi умови гомоклiнiчного хаосу у нелiнiйних
скiнченновимiрних системах. Цi умови перевiряються за допомогою певного функцiонального
рiвняння — вiдомої функцiї Мельникова [21] або її узагальнення (рiвняння для породжуючих
амплiтуд [22], рiвняння для породжуючих констант [23]).
У цiй статтi дослiджується задача про розгалуження розв’язкiв рiвняння Ляпунова як у
скiнченновимiрному, так i нескiнченновимiрному випадках.
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв рiвняння
Ляпунова у просторах Гiльберта, Банаха i розгалуження його розв’язкiв (нелiнiйний випа-
док). За допомогою введеного узагальненого оператора Грiна побудовано вiдповiдну множину
розв’язкiв резонансного рiвняння [24].
Встановлено необхiднi та достатнi умови розгалуження обмежених розв’язкiв рiвняння Ля-
пунова [25]. Введено рiвняння для породжуючих операторiв, за допомогою якого вдається
дослiдити поставлену задачу. Показано, що у випадку скiнченновимiрного простору цi умови
перетворюються на стандартнi умови теореми Палмера i таким чином поширюють цю теорiю
на нескiнченновимiрний випадок та дають можливiсть встановити наявнiсть гомоклiнiчного
хаосу у нелiнiйних еволюцiйних задачах. Отриманi умови у скiнченновимiрному випадку є
аналогом умови простоти кореня функцiї Мельникова. Наведено приклад застосування отри-
маних результатiв.
c\bigcirc О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6 761
762 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Постановка задачi. Розглянемо рiвняння
\.Z(t, \varepsilon ) = A(t)Z(t, \varepsilon ) - Z(t, \varepsilon )B(t) + \varepsilon R
\bigl(
Z(t, \varepsilon )
\bigr)
+\Phi (t), (1)
де Z = Z(t, \varepsilon ) — невiдома оператор-функцiя з простору обмежених разом iз похiдною оператор-
функцiй BC1
\bigl(
\BbbR ;\scrL (H)
\bigr)
\times C(0; \varepsilon 0] для фiксованого \varepsilon 0 > 0; сильно неперервнi оператор-функцiї
A(t), B(t), \Phi (t) належать BC
\bigl(
\BbbR ,\scrL (H)
\bigr)
,
BC
\bigl(
\BbbR ,\scrL (H)
\bigr)
=
\Bigl\{
\Phi (t) \in C(\BbbR ,\scrL (H)), | | | \Phi | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| \Phi (t)\| <\infty , \| \Phi (t)\| = \| \Phi (t)\| \scrL (H)
\Bigr\}
;
\scrL (H) — простiр лiнiйних i обмежених операторiв, R
\bigl(
Z(t, \varepsilon )
\bigr)
— нелiнiйна за змiнною Z строго
диференцiйовна оператор-функцiя. Необхiдно знайти розв’язок нелiнiйної задачi (1), який при
\varepsilon = 0 перетворюється в один з обмежених розв’язкiв породжуючої лiнiйної задачi.
Лiнiйний випадок. Розглянемо спочатку умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв
породжуючої задачi (\varepsilon = 0)
\.Z0(t) = A(t)Z0(t) - Z0(t)B(t) + \Phi (t), (2)
де Z0(t) \in BC1
\bigl(
\BbbR ;\scrL (H)
\bigr)
. Позначимо через N(t) еволюцiйний оператор однорiдного рiвняння
Z
\prime
0(t) = A(t)Z0(t) - Z0(t)B(t), (3)
N \prime (t) = A(t)N(t) - N(t)B(t), N(0) = I, (4)
де N(t) = U(t)V - 1(t) U(t) i V (t) — еволюцiйнi оператори однорiдних рiвнянь
U \prime (t) = A(t)U(t), U(0) = I,
V \prime (t) = B(t)V (t), V (0) = I.
Розглянемо лiнiйний оператор Kt
\tau , який переводить оператор-функцiю \Phi = \Phi (t) в оператор-
функцiю Kt
\tau [\Phi ] вигляду
Kt
\tau
\bigl[
\Phi (\tau )
\bigr]
= Kt
\tau [\Phi ] := U(t)U - 1(\tau )\Phi (\tau )V - 1(t)V (\tau ). (5)
За допомогою цього оператора загальний розв’язок неоднорiдного рiвняння (2) можна подати
у виглядi
Z(t) = Kt
0[M ] +
t\int
0
Kt
\tau [\Phi (\tau )]d\tau , (6)
де довiльний оператор M \in \scrL (H). Будемо припускати, що однорiдне рiвняння (3) допускає
експоненцiальну дихотомiю на пiвосях \BbbR + i \BbbR - iз проекторами P i Q вiдповiдно, тобто
iснують проектори P (P 2 = P ) i Q(Q2 = Q), сталi k1,2 \geq 1 i \alpha 1,2 > 0 такi, що для довiльного
оператора M \in \scrL (H) \bigm\| \bigm\| Kt
s[PM ]
\bigm\| \bigm\| \leq k1e
- \alpha 1(t - s)\| M\| , t \geq s,\bigm\| \bigm\| Kt
s[(I - P )M ]
\bigm\| \bigm\| \leq k1e
- \alpha 1(s - t)\| M\| \forall t, s \in \BbbR +, s \geq t,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 763
i \bigm\| \bigm\| Kt
s[QM ]
\bigm\| \bigm\| \leq k2e
- \alpha 2(t - s)\| M\| , t \geq s,\bigm\| \bigm\| Kt
s[(I - Q)M ]
\bigm\| \bigm\| \leq k2e
- \alpha 2(s - t)\| M\| \forall t, s \in \BbbR - , s \geq t.
Для рiвняння (2) справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Припустимо, що однорiдне рiвняння (2) є експоненцiально дихотомiчним на
пiвосях \BbbR + i \BbbR - з проекторами P i Q вiдповiдно. Якщо оператор
D = P - (I - Q) : \scrL (H) \rightarrow \scrL (H), (7)
який дiє з простору Банаха \scrL (H) у себе, є узагальнено-оборотним, то:
(i) для того щоб iснували розв’язки рiвняння (2), обмеженi на всiй осi, необхiдно i достат-
ньо, щоб оператор-функцiя \Phi (t) \in BC(\BbbR ,\bfB ) задовольняла умову
+\infty \int
- \infty
H(\tau )
\bigl[
\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau = 0, (8)
де
H(t) = PYD
K0
tQ = PYD
K0
t (I - P );
(ii) за виконання умови (8) обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (2) мають вигляд
Z0(t, C) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
\bigr]
+
\bigl(
G[\Phi ]
\bigr)
(t) \forall C \in \scrL (H), (9)
де
\bigl(
G[\Phi ]
\bigr)
(t) =
\left\{
\int +\infty
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau +
+
\int t
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau , t \geq 0,
\int t
- \infty
Kt
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
-
\int 0
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - Q)\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau , t \leq 0,
— узагальнений оператор Грiна задачi про обмеженi на всiй осi розв’язки, D - — узагальнено-
обернений до оператора D, проектори PN(D) = I - D - D i PYD
= I - DD - [26], C — довiльний
елемент — лiнiйний та обмежений оператор iз простору \scrL (H). PYD
проектує простiр \scrL (H)
на \scrL (H)\ominus R(D).
Доведення. Розв’язки рiвняння (2), обмеженi на пiвосях \BbbR + та \BbbR - , мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
764 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Z0(t,M) =
\left\{
Kt
0[PM ] -
\int +\infty
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau +
+
\int t
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau , t \geq 0,
Kt
0[(I - Q)M ] +
\int t
- \infty
Kt
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
-
\int 0
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - Q)\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau , t \leq 0.
(10)
Дiйсно, \bigm\| \bigm\| Kt
0[PM ]
\bigm\| \bigm\| \leq k1e
- \alpha 1t\| M\| ,
d
\bigl(
Kt
0[PM ]
\bigr)
dt
=
d
dt
(U(t)U - 1(0)PMV - 1(t)V (0)) = U \prime (t)PMV - 1(t) + U(t)PM
\bigl(
V - 1(t)
\bigr) \prime
=
= A(t)U(t)PMV - 1(t) - U(t)PMV - 1(t)B(t) = A(t)Kt
0[PM ] - Kt
0[PM ]B(t).
Таким чином, вираз Kt
0[PM ] визначає всi обмеженi на \BbbR + розв’язки однорiдного рiвняння (3).
Доведемо тепер обмеженiсть одного з iнтегралiв, визначених у (10):\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \Phi (\tau )\bigm\| \bigm\| +\infty \int
t
k1e
- \alpha 1(t - \tau )d\tau =
k1
\alpha 1
| | | \Phi | | | < +\infty .
Обмеженiсть iнших iнтегралiв перевiряється аналогiчним чином.
Виходячи з того, що
\partial
\biggl( \int t
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
\int +\infty
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\biggr)
\partial t
=
= Kt
t
\bigl[
P\Phi (t)
\bigr]
+Kt
t
\bigl[
(I - P )\Phi (t)
\bigr]
+A(t)
t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau B(t) -
- A(t)
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau B(t) =
= \Phi (t) +A(t)
t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau B(t) -
- A(t)
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau B(t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 765
= \Phi (t) +A(t)
\left( t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\right) -
-
\left( t\int
0
Kt
\tau
\bigl[
P\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau -
+\infty \int
t
Kt
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\right) B(t),
переконуємось у тому, що вираз (10) дiйсно визначає всi обмеженi розв’язки рiвняння (2) на
пiвосях (аналогiчно для другої пiвосi).
Для того щоб вираз (10) визначав обмеженi у просторi BC1(\BbbR ,\scrL (H)) розв’язки на всiй осi,
необхiдно й достатньо, щоб виконувалась умова
Z(0+,M) = Z(0 - ,M).
Ця умова еквiвалентна розв’язностi операторного рiвняння
PM -
+\infty \int
0
K0
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau = (I - Q)M +
0\int
- \infty
K0
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau . (11)
Якщо M — розв’язок рiвняння (11), то, пiдставивши його у (10), отримаємо обмежений на
всiй осi розв’язок рiвняння (2).
Згiдно з позначеннями, умова iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв рiвняння (2)
рiвносильна розв’язностi операторного рiвняння
DM =
0\int
- \infty
K0
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau +
+\infty \int
0
K0
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau . (12)
Оскiльки оператор D узагальнено-оборотний, то рiвняння (12) має розв’язки тодi й лише то-
дi [23], коли
PYD
\left\{
0\int
- \infty
K0
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau +
+\infty \int
0
K0
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\right\} = 0.
За виконання цiєї умови рiвняння (12) має множину розв’язкiв
M = D -
\left( 0\int
- \infty
K0
\tau
\bigl[
Q\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau +
+\infty \int
0
K0
\tau
\bigl[
(I - P )\Phi (\tau )
\bigr]
d\tau
\right) + PN(D)C,
де C — довiльний елемент (лiнiйний та обмежений оператор) простору Банаха \scrL (H). Пiдстав-
ляючи отриманi розв’язки в (10), отримуємо вiдповiдне зображення, що й доводить теорему.
Нелiнiйний випадок. Перейдемо до дослiдження нелiнiйної задачi (1). Будемо шукати
обмежений розв’язок Z(t, \varepsilon ) рiвняння (1), який при \varepsilon = 0 перетворюється в один iз розв’язкiв
Z(t, 0) = Z0(t, C) породжуючого рiвняння (2).
Для знаходження необхiдної умови достатньо припустити неперервнiсть у околi породжую-
чого розв’язку, тобто що оператор-функцiя R(Z(t, \varepsilon )) задовольняє вимогу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
766 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
R(\cdot ) \in C
\bigl[
\| Z - Z0\| \leq q
\bigr]
,
де q — деяка додатна стала.
Покажемо, що цю проблему можна розв’язати за допомогою операторного рiвняння
F (C) :=
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
R(Z0(t, C))
\bigr]
dt = 0. (13)
Будемо називати його рiвнянням для породжуючих операторiв.
Теорема 2 (необхiдна умова). Припустимо, що однорiдне рiвняння (3) є експоненцiально
дихотомiчним на пiвосях \BbbR + i \BbbR - з проекторами P i Q вiдповiдно, а нелiнiйне рiвняння (1) має
обмежений розв’язок Z(\cdot , \varepsilon ), який при \varepsilon = 0 перетворюється в один iз розв’язкiв породжуючого
рiвняння (2) з оператором C = C0 : Z(t, 0) = Z0(t, C
0). Тодi оператор C0 є коренем рiвняння
для породжуючих операторiв (13).
Доведення. Якщо рiвняння (1) має обмежений розв’язок Z(t, \varepsilon ), то згiдно з теоремою 1
виконується умова розв’язностi
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
\Phi + \varepsilon R(Z)
\bigr]
dt = 0. (14)
Використовуючи умову (8), переконуємося, що умова (14) еквiвалентна такiй:
\varepsilon
+\infty \int
- \infty
H(t)[R]dt = 0.
Пiсля скорочення на \varepsilon \not = 0 i переходу до границi при \varepsilon \rightarrow 0 маємо
\bigl(
використовуючи неперерв-
нiсть оператор-функцiї R
\bigl(
Z(t, \varepsilon )
\bigr)
, Z(t, \varepsilon ) \rightarrow Z0(t, C
0)
\bigr)
F (C0) =
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
R
\bigl(
Z0(t, C
0)
\bigr) \bigr]
dt = 0.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. У скiнченновимiрному випадку рiвняння для породжуючих операторiв буде
збiгатися з вiдомим рiвнянням для породжуючих констант [23], а у перiодичному випадку — з
рiвнянням для породжуючих амплiтуд [22, 27].
Для отримання достатньої умови iснування обмежених розв’язкiв рiвняння (1) будемо додат-
ково припускати, що оператор-функцiя R
\bigl(
Z(t, \varepsilon )
\bigr)
сильно диференцiйовна в околi породжую-
чого розв’язку (має похiдну Фреше у кожнiй точцi околу породжуючого розв’язку)
R(\cdot ) \in C1
\bigl[
\| Z - Z0\| \leq q
\bigr]
.
Покажемо, що цю задачу можна розв’язати за допомогою оператора B0, дiя якого визна-
чається таким чином:
B0C =
+\infty \int
- \infty
H(t)
\Bigl[
A1(t)K
t
0
\bigl[
PPN(D)C
\bigr] \Bigr]
dt : \scrL (H) \rightarrow \scrL (H), (15)
де A1(t) = R
\prime
Z(v) | v=Z0;\varepsilon =0 (похiдна у сенсi Фреше).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 767
Теорема 3 (достатня умова). Припустимо, що однорiдне рiвняння (3) допускає експонен-
цiальну дихотомiю на пiвосях \BbbR + i \BbbR - з проекторами P i Q вiдповiдно, а рiвняння (2) має
обмеженi розв’язки у виглядi (10). Нехай для оператора B0 виконано такi умови:
1) оператор B0 є узагальнено-оборотним;
2) PN(B\ast
0 )
PYD
= 0.
Тодi для довiльного оператора C = C0 \in \scrL (H), що задовольняє рiвняння для породжую-
чих операторiв (13), iснує принаймнi один обмежений на всiй осi розв’язок рiвняння (1). Цей
розв’язок можна знайти за допомогою iтерацiйного процесу
Y k+1(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
R(Z0(\tau , C
0) + Yk(\tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, \varepsilon ),
Ck = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(\tau )
\bigl[
A1(\tau )Y k(\tau , \varepsilon ) +\scrR (Yk(\tau , \varepsilon ))
\bigr]
d\tau ,
Yk+1(t, \varepsilon ) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)Ck
\bigr]
+ Y k+1(t, \varepsilon ),
Zk(t, \varepsilon ) = Z0(t, C
0) + Yk(t, \varepsilon ), k = 0, 1, 2, . . . , Y0(t, \varepsilon ) = 0,
Z(t, \varepsilon ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
Zk(t, \varepsilon ).
Доведення. У рiвняннi (1) виконаємо замiну змiнних Z(t, \varepsilon ) = Z0(t, C
0) + Y (t, \varepsilon ), де
оператор C0 згiдно з теоремою 3 задовольняє (13). У результатi отримаємо таке рiвняння
для Y :
dY (t, \varepsilon )
dt
= A(t)Y (t, \varepsilon ) - Y (t, \varepsilon )B(t) + \varepsilon R
\bigl(
Z0(t, C
0) + Y (t, \varepsilon )
\bigr)
. (16)
Знайдемо обмежений розв’язок
Y (t, \varepsilon ) : Y (\cdot , \varepsilon ) \in BC1
\bigl(
\BbbR ,\scrL (H)
\bigr)
, Y (t, \cdot ) \in C[0, \varepsilon 0], Y (t, 0) = 0.
Умова розв’язностi рiвняння (16) для Y має вигляд
+\infty \int
- \infty
H(t)[R(Z0(t, C
0) + Y (t, \varepsilon ))]dt = 0. (17)
При виконаннi умови (17) множина обмежених розв’язкiв рiвняння (16) має вигляд
Y (t, \varepsilon ) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
\bigr]
+ Y (t, \varepsilon ),
де
Y (t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
R(Z0 + Y )
\bigr]
(t, \varepsilon ).
Оскiльки оператор R(Z(t, \varepsilon )) диференцiйовний за Фреше в околi породжуючого розв’язку, то
для нього справджується зображення
R
\bigl(
Z0(t, C
0) + Y (t, \varepsilon )
\bigr)
= R
\bigl(
Z0(t, C
0)
\bigr)
+A1(t)Y (t, \varepsilon ) +\scrR
\bigl(
Y (t, \varepsilon )
\bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
768 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
де A1(t) = R
\prime
Z(v) | v=Z0,\varepsilon =0 (похiдна у сенсi Фреше), а для членiв \scrR (Y ) бiльш високого порядку
по Y виконуються спiввiдношення
\scrR (0) = 0, \scrR \prime
Z(0) = 0.
Тут
\scrR
\bigl(
Y (t, \varepsilon )
\bigr)
= R(Z0(t, C
0) + Y
\bigl(
t, \varepsilon )
\bigr)
- R
\bigl(
Z0(t, C
0)
\bigr)
- A1(t)Y (t, \varepsilon ).
Тодi умова (17) набере вигляду
+\infty \int
- \infty
H(t)
\Bigl[
R
\bigl(
Z0(t, C
0)
\bigr)
+A1(t)
\bigl\{
Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
\bigr]
+ Y (t, \varepsilon )
\bigr\} \Bigr]
dt+
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
\scrR (Y )
\bigr]
dt = 0. (18)
Використавши позначення (15), запишемо умову (18) у виглядi операторного рiвняння вiднос-
но C :
B0C = -
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
A1Y +\scrR (Y )
\bigr]
dt. (19)
Оскiльки оператор B0 узагальнено-оборотний, то, згiдно з результатами [23], необхiдною й
достатньою умовою розв’язностi операторного рiвняння (19) є умова
PN(B\ast
0 )
+\infty \int
- \infty
H(t)[A1Y +\scrR (Y )]dt = 0.
За припущенням теореми 3
PN(B\ast
0 )
H(t) = PN(B\ast
0 )
PYD
Kt
0Q = 0,
отже, умова розв’язностi операторного рiвняння (19) виконується. Один iз розв’язкiв оператор-
ного рiвняння (19) має вигляд
C = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
A1Y +\scrR (Y )
\bigr]
dt.
Таким чином, ми маємо операторну систему
Y (t, \varepsilon ) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
\bigr]
+ Y (t, \varepsilon ),
C = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
A1Y +\scrR (Y )
\bigr]
dt, (20)
Y (t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
R(Z0 + Y )
\bigr]
(t, \varepsilon ).
Уведемо допомiжний вектор u = (Y,C, Y )T \in \scrL (H)\times \scrL (H)\times \scrL (H), що належить декартовому
добутку \scrL (H)3 (T позначає операцiю транспонування). Розглядаючи допомiжний оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 769
L1[F ] := - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)[A1F ]dt = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
A1(t)F (t)
\bigr]
dt,
операторну систему (20) записуємо у виглядi
u =
\left[
0 Kt
0[PPN(D)\cdot ] I
0 0 L1
0 0 0
\right] u+
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)[\scrR ]dt
\varepsilon G
\bigl[
R(Z0 + Y )
\bigr]
(t, \varepsilon )
\right) .
У свою чергу ця операторна система еквiвалентна такiй:
\left[
I - Kt
0[PPN(D)\cdot ] - I
0 I - L1
0 0 I
\right] u =
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)[\scrR ]dt
\varepsilon G
\bigl[
R(Z0 + Y )
\bigr]
(t, \varepsilon )
\right) . (21)
Введемо позначення
M :=
\left[
I - Kt
0[PPN(D)\cdot ] - I
0 I - L1
0 0 I
\right] , g =
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)[\scrR ]dt
\varepsilon G
\bigl[
R(Z0 + Y )
\bigr]
(t, \varepsilon )
\right) .
Оператор M має обмежений обернений M - 1 :
M - 1 =
\left[
I Kt
0[PPN(D)\cdot ] Kt
0[PPN(D)L1\cdot ] + I
0 I L1
0 0 I
\right] .
Те, що так визначений оператор задовольняє рiвнiсть MM - 1 =M - 1M = I, перевiряється без-
посередньою пiдстановкою. Неважко побачити, що M - 1 є лiнiйним i обмеженим оператором.
Тодi операторну систему (20) записуємо у виглядi
u =M - 1g =M - 1S(\varepsilon )u,
де оператор S(\varepsilon ) у загальному випадку є нелiнiйним. Варiюючи параметром \varepsilon i використовуючи
обмеженiсть оператора M - 1, можемо досягти того, щоб оператор M - 1S(\varepsilon ) був стискаючим.
Тодi з принципу стискаючих вiдображень [29] випливає, що операторна система (20) має єдину
нерухому точку, яка й визначає обмежений розв’язок рiвняння (1).
Таким чином, зв’язок мiж необхiдною i достатньою умовами iснування обмежених розв’язкiв
рiвняння (1) встановлює теорема 3.
Розглянемо частинний випадок отриманої теореми, коли оператор B0 має обмежений обер-
нений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
770 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
Наслiдок. Припустимо, що оператор F (C) має похiдну у сенсi Фреше F (1)(C) для кож-
ного оператора C0 простору Банаха \scrL (H), що задовольняє рiвняння для породжуючих опе-
раторiв (13). Якщо оператор B0 має обмежений обернений, то рiвняння (1) має єдиний обме-
жений на всiй осi розв’язок для кожного C0.
Доведення. З теореми про суперпозицiю диференцiйовних вiдображень у просторi Банаха
[29] випливає зображення
F (1)(C0)[W ] =
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl[
R
\prime
Z(v)| v=Z0,\varepsilon =0
\bigr] \bigl[
Z
\prime
0(t, C
0)[W ]
\bigr]
dt.
Знайдемо похiдну вiд розв’язку Z0(t, C
0) по C. Оскiльки Z0(t, C
0) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
0
\bigr]
+
+
\bigl(
G[\Phi ]
\bigr)
(t), то [29]
Z0(t, C
0 +W ) - Z0(t, C
0) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
0 +W
\bigr]
+
\bigl(
G[\Phi ]
\bigr)
(t) -
- Kt
0
\bigl[
PPN(D)C
0
\bigr]
-
\bigl(
G[\Phi ]
\bigr)
(t) = Kt
0
\bigl[
PPN(D)W
\bigr]
= Z
\prime
0(t, C
0)[W ].
Остаточно маємо
F (1)(C0)[W ] =
+\infty \int
- \infty
H(t)A1(t)K
t
0
\bigl[
PPN(D)W
\bigr]
dt = B0[W ].
Зауваження 2. Оскiльки оператор F (1)(C0) = B0 є оборотним, рiвняння (13) має єдиний
розв’язок, а отже й рiвняння (1) має єдиний обмежений на всiй осi розв’язок.
Зауваження 3. Оскiльки оператор F (1)(C) є оборотним, то для оператора B0 умови 1 i 2
виконуються. У цьому випадку рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’язок для кожного
оператора C0 \in \scrL (H). Таким чином, умова оборотностi оператора F (1)(C) також пов’язує
мiж собою необхiдну й достатню умови. У скiнченновимiрному випадку умова оборотностi
оператора F (1)(C) еквiвалентна умовi простоти кореня C0 рiвняння для породжуючих кон-
стант [23].
Гомоклiнiчний хаос. Наведенi вище теореми дозволяють дослiджувати умови наявностi
можливої складної поведiнки динамiчної системи, що породжується рiвнянням (1) [30 – 33].
Далi нас буде цiкавити такий феномен, як гомоклiнiчний хаос, що є вiдомим i описується
знаменитою теоремою Смейла [30]. Для того щоб вказати на зв’язок отриманих у теоремах 1 – 3
умов iснування обмежених розв’язкiв вiдповiдного нелiнiйного рiвняння з наявнiстю хаотичної
динамiки, сформулюємо вiдому теорему Палмера [19 – 30]:
Припустимо, що g(x) — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя з \BbbR n у \BbbR n i рiвняння
x\prime = g(x) (22)
має нерухому гiперболiчну точку z0 та траєкторiю \{ z(t) : t \in \BbbR \} , гомоклiнiчну до z0. Припус-
тимо також, що рiвняння
y\prime = g\prime (z(t))y (23)
є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях \BbbR +, \BbbR - i y(t) = z\prime (t) — єдиний (з точнiстю до
сталої ) розв’язок рiвняння, обмежений на \BbbR . Нехай h(t, x, \mu ) — неперервно диференцiйовна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 771
вектор-функцiя, T -перiодична по t i визначена для t \in \BbbR , | x - z(t)| < \Delta 0, | \mu | < \sigma 0, \mu \in \BbbR .
Якщо
+\infty \int
- \infty
(\psi (t), h(t, z(t), 0))\BbbR ndt = 0,
+\infty \int
- \infty
(\psi (t), ht(t, z(t), 0))\BbbR ndt \not = 0, (24)
де \psi (t) — обмежений (з точнiстю до сталої ) розв’язок рiвняння, спряженого до (23), то
iснують \Delta i \sigma такi, що для 0 < | \mu | < \sigma збурене рiвняння x\prime = g(x) + \mu h(t, x, \mu ) має
обмежений на \BbbR розв’язок.
Перша з умов (24) свiдчить про те, що нелiнiйнiсть повинна бути ортогональною до
розв’язкiв однорiдного спряженого рiвняння. Теорема 3 є бiльш загальною у тому сенсi, що не
припускається єдинiсть з точнiстю до сталої розв’язку однорiдної спряженої системи. Рiвняння
для породжуючих операторiв (13) свiдчить про те, що нелiнiйнiсть повинна бути ортогональ-
ною до всiх обмежених розв’язкiв вiдповiдного однорiдного спряженого рiвняння. Аналогом
другої умови у (24) є умова на оборотнiсть оператора F (1)(C) = B0 : \scrL (H) \rightarrow \scrL (H), що
пов’язує необхiдну i достатню умови. Таким чином, теорему Палмера можна отримати як на-
слiдок теорем 2, 3. У розглядуваному випадку лiнiйне рiвняння Ляпунова (3) вiдiграє роль
лiнеаризацiї (аналог (23)) вздовж вiдповiдного розв’язку рiвняння (22).
Зв’язок iз функцiєю Мельникова. При дослiдженнi складної поведiнки рiвняння (1) роз-
глядають [31] так звану зсунуту траєкторiю Zs(t) = Z(t - s) нелiнiйної крайової задачi
\.Zs(t, \varepsilon ) = A(t - s)Zs(t, \varepsilon ) - Zs(t, \varepsilon )B(t - s) + \varepsilon R(Zs(t, \varepsilon )) + \Phi (t - s). (25)
Тодi умова (13) для задачi (25) набирає вигляду
\Delta (s) :=
+\infty \int
- \infty
H(t - s)
\bigl[
R(Z0(t - s, C))
\bigr]
dt = 0,
або
\Delta (s) :=
+\infty \int
- \infty
H(t - s)
\bigl[
R(Z0s(t, C))
\bigr]
dt = 0,
Z0s(t, C) = Z0(t - s, C), (26)
Z00(t, C) = Z0(t, C).
Оскiльки H(t) = PN(D\ast )K
0
tQ, то ця умова означає ортогональнiсть нелiнiйностi R до
розв’язкiв однорiдного спряженого рiвняння. Якщо однорiдне спряжене рiвняння має єдиний
(iз точнiстю до множника) обмежений розв’язок, то з умови (26) (s = 0) у припущеннi, що
оператор
B0(s) :=
+\infty \int
- \infty
H(t - s)A1(t - s)Kt - s
0 [PPN(D)\cdot ]dt
має обмежений обернений, тобто виконуються умови сформульованого вище наслiдку (вико-
нано другу умову (24)), випливає виконання умов теореми Палмера [20] (теорема 7.2 [31]). У
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
772 О. A. БОЙЧУК, О. О. ПОКУТНИЙ
скiнченновимiрному випадку ця умова еквiвалентна умовi простоти кореня рiвняння \Delta (s) = 0
i оператор \Delta (s) пов’язаний iз вiдомою функцiєю Мельникова [21] (\Phi (t) = 0, див., наприк-
лад, випадок рiвняння Дюфiнга [31, c. 410, 411]), яка з’являється при вивченнi так званих
трансверсальних траєкторiй:
\Delta (0) = F (C0) = 0, \Delta \prime (0) = F (1)(C0) = B0, \Delta \prime (s) = B0(s).
У випадку рiвняння (1) s = 0. Тодi отриманi результати перетворюються на стандартнi умо-
ви [21] для функцiї Мельникова, якi гарантують наявнiсть гомоклiнiчного хаосу [31].
Зсунута траєкторiя дає можливiсть дослiджувати питання iснування обмежених розв’язкiв
за умов дихотомiї на пiвосях \BbbR +
s = [s; +\infty ), \BbbR -
s = ( - \infty ; s] з проекторами Ps i Qs вiдповiдно.
Таким чином, наведенi теореми доводять наявнiсть гомоклiнiчного хаосу в операторно-
диференцiальних еволюцiйних рiвняннях типу Ляпунова як у скiнченновимiрному, так i не-
скiнченновимiрному випадках.
Аналогiчнi результати можна отримати у випадку нелiнiйних крайових задач для рiвняння
Ляпунова.
Лiтература
1. Coppel W. A. Dichotomies and reducibility // J. Different. Equat. – 1967. – 3. – P. 500 – 521.
2. Sacker R., Sell G. Existence of dichotomies and invariant splittings for linear differential systems, II // J. Different.
Equat. – 1976. – 22. – P. 478 – 496.
3. Sacker R. J. Existence dichotomies and invariant splittings for linear differential systems, IV // J. Different. Equat. –
1978. – 27. – P. 106 – 137.
4. Sacker R. J. The splitting index for linear differential systems // J. Different. Equat. – 1979. – 33. – P. 368 – 405.
5. Sacker R. J., Sell G. R. Dichotomies for linear evolutionary equaitons in Banach spaces // J. Different. Equat. –
1994. – 113. – P. 17 – 67.
6. Бойчук О. А. Розв’язки слабко нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, обмеженi на всiй осi // Нелiнiйнi коливан-
ня. – 1999. – 2, № 1. – С. 3 – 10.
7. Rodrigues H. M, Ruas-Filho J. G. Evolution equations: dichotomies and the Fredholm alternative for bounded
solutions // J. Different. Equat. – 1995. – 119. – P. 263 – 283.
8. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов // Мат. заметки. – 2000. – 67, № 6. –
C. 816 – 827.
9. Баскаков А. Г. О дифференциальных и разностных фредгольмовых операторах // Докл. РАН. – 2007. – 416,
№ 2. – C. 156 – 160.
10. Latushkin Yu., Tomilov Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients // J. Different. Equat. – 2005. –
208. – P. 388 – 429.
11. Бойчук А. А., Покутный А. А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 1. – C. 3 – 14.
12. Бойчук О. А., Покутний О. О. Обмеженi розв’язки слабконелiнiйних диференцiальних рiвнянь у банаховому
просторi // Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 2. – C. 151 – 160.
13. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A. Bounded solutions of linear perturbed differential equations in a Banach space // Tatra
Mt. Math. Publ. – 2007. – 38, № 4. – P. 29 – 40.
14. Бойчук А. А., Покутный А. А. Экспоненциальная дихотомия и ограниченные решения дифференциальных
уравнений в пространстве Фреше // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 12. – C. 1587 – 1598.
15. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф. Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем
с запаздыванием // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 4. – С. 431 – 445.
16. Barreira L., Valls C. Admissibility for nonuniform exponential contractions // J. Different. Equat. – 2010. – 249. –
P. 2889 – 2904.
17. Barreira L. Lyapunov functions // Milan J. Math. – 2013. – 81. – P. 153 – 169.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА ТА ГОМОКЛIНIЧНИЙ ХАОС 773
18. Atanasova P., Georgieva A., Konstantinov M. Dichotomous solutions of linear impulsive differential equations //
Math. Methods Appl. Sci. – 2018. – 41, № 5. – P. 1753 – 1760.
19. Chow S.-N., Lin X.-B., Palmer K. J. A shadowing lemma with applications to semilinear parabolic equations // SIAM
J. Math. Anal. – 1989. – 20. – P. 547 – 557.
20. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. – 1984. – 55. –
P. 225 – 256.
21. Palmer K. J. Exponential dichotomies, the shadowing lemma and transversal homoclinic points // Dyn. Rep. – 1988. –
1. – P. 265 – 306.
22. Мельников В. K. Устойчивость центра при периодических возмущениях // Труды Моск. мат. о-ва. – 1964. –
12. – C. 1 – 56.
23. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
24. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – 2nd ed. –
Berlin; Boston: Walter De Gruyter GmbH, 2016. – 296 p.
25. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. – Dordrecht: Kluwer, 1996.
26. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Умова бiфуркацiї розв’язкiв рiвняння Ляпунова у просторi Гiльберта //
Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 3. – С. 373 – 390.
27. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в одномерную теорию сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
28. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
29. Крейн С. Г. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
30. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 430 с.
31. Chueshov I. D. Introduction to the theory of infinite-dimensional dissipative systems. – Kyiv: Acta, 2002. – 416 p.
32. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. – New York:
Springer, 1983. – 559 p.
33. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations. – Berlin: Springer, 1981. – 376 p.
34. Nicolis G., Prigogine I. Exploring complexity. An introduction. – New York: W. H. Freeman and Co., 1989. – 328 p.
Одержано 08.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1474 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:26Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dd/c1a82a96fd267d82166846ec4d8bfbdd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14742020-03-30T12:28:15Z Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation and homoclinic chaos Обмежені розв’язки нелінійного рівняння Ляпунова та гомоклінічний хаос Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Покутний, O. О. UDC 517.9 The paper is devoted to the investigation of bounded solutions of a nonlinear Lyapunov-type problem in Banach and Hilbert spaces. Necessary and sufficient conditions for the existence of bounded solutions are obtained under the assumption that the homogeneous equation admits exponential dichotomy on the semiaxes. Conditions for the existence of homoclinic chaos in nonlinear evolution equations are presented. УДК 517.9 Роботу присвячено дослiдженню обмежених розв’язкiв нелiнiйного рiвняння типу Ляпунова у банахових i гiльбертових просторах. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв за умови експоненцiальної дихотомiї на пiвосях однорiдного рiвняння. Наведено умови iснування гомоклiнiчного хаосу нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1474 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 761-773 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 761-773 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1474/458 Copyright (c) 2019 Boichuk О. A.; Pokutnyi О. О. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Покутний, O. О. Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation and homoclinic chaos |
| title | Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| title_alt | Обмежені розв’язки нелінійного рівняння Ляпунова
та гомоклінічний хаос |
| title_full | Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| title_fullStr | Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| title_full_unstemmed | Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| title_short | Bounded solutions of the nonlinear Lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| title_sort | bounded solutions of the nonlinear lyapunov equation
and homoclinic chaos |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1474 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa boundedsolutionsofthenonlinearlyapunovequationandhomoclinicchaos AT pokutnyioo boundedsolutionsofthenonlinearlyapunovequationandhomoclinicchaos AT bojčukoa boundedsolutionsofthenonlinearlyapunovequationandhomoclinicchaos AT pokutnijoo boundedsolutionsofthenonlinearlyapunovequationandhomoclinicchaos AT boichukoa obmeženírozvâzkinelíníjnogorívnânnâlâpunovatagomoklíníčnijhaos AT pokutnyioo obmeženírozvâzkinelíníjnogorívnânnâlâpunovatagomoklíníčnijhaos AT bojčukoa obmeženírozvâzkinelíníjnogorívnânnâlâpunovatagomoklíníčnijhaos AT pokutnijoo obmeženírozvâzkinelíníjnogorívnânnâlâpunovatagomoklíníčnijhaos |