Lower bounds for the volume of the image of a ball
UDC 517.5 We consider ring $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus in the space $\Bbb R^{n}$ as $p>n$. We obtain a lower bound for the volume of the image of a ball under these mappings. We solve the extremal problems of minimization of functionals of the volume of the image of a b...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1475 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507256783634432 |
|---|---|
| author | Klishchuk, B. A. Salimov, R. R. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Klishchuk, B. A. Salimov, R. R. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. |
| author_sort | Klishchuk, B. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:42Z |
| description | UDC 517.5
We consider ring $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus in
the space $\Bbb R^{n}$ as $p>n$.
We obtain a lower bound for the volume of the image of a ball under these mappings.
We solve the extremal problems of minimization of functionals of the volume of the image of a ball and the area of the image of a sphere. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Б. А. Клищук, Р. Р. Салимов (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА
We consider ring Q-homeomorphisms with respect to p-modulus in the space \BbbR n as p > n. We obtain a lower bound for
the volume of the image of a ball under these mappings. We solve the extremal problems of minimization of functionals of
the volume of the image of a ball and the area of the image of a sphere.
Розглядаються кiльцевi Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля у просторi \BbbR n при p > n. Отримано нижню оцiнку
об’єму образу кулi при таких вiдображеннях. Розв’язано екстремальнi задачi про мiнiмiзацiю функцiоналiв об’єму
образу кулi i площi образу сфери.
1. Введение. В конце 20 – начале 21-го столетия произошел переход от отображений с огра-
ниченным искажением по Решетняку (см. [1 – 5]) к изучению так называемых отображений с
конечным искажением по Иванцу, характеристики которых уже не являются ограниченными
в области задания, а лишь конечными почти всюду [6, 7]. В настоящей статье исследуются
отображения, удовлетворяющие определенным верхним модульным оценкам, теория которых
применима к отображениям, квазиконформным в среднем [8], отображениям с конечным иска-
жением длины [9] и отображениям с конечным искажением [10 – 13].
Задача об искажении площадей при квазиконформных отображениях берет свое начало в
работе Б. Боярского [14]. Ряд результатов в этом направлении получен в работах [3, 14 – 17].
Впервые верхняя оценка площади образа круга при квазиконформных отображениях встреча-
ется в монографии М. А. Лаврентьева [18]. В монографии [5] (см. предложение 3.7) получено
уточнение неравенства Лаврентьева в терминах угловой дилатации. Также ранее в работах [10,
19, 20] были получены верхние оценки искажения площади круга для кольцевых и нижних
Q-гомеоморфизмов. В. А. Кругликовым получена оценка меры образа шара для отображений,
квазиконформных в среднем в \BbbR n (см. лемму 9 в [21]). В данной работе установлены ниж-
ние оценки меры образа шара при кольцевых Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля в
пространстве \BbbR n при p > n.
Напомним некоторые определения. Пусть задано семейство \Gamma кривых \gamma в пространстве \BbbR n,
n \geq 2. Борелевскую функцию \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] называют допустимой для \Gamma (пишут \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma ),
если \int
\gamma
\rho (x) ds \geq 1
для каждой кривой \gamma \in \Gamma . Пусть p \in (1,\infty ). Тогда p-модулем семейства \Gamma называется величина
\mathrm{M}p(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
\BbbR n
\rho p(x) dm(x).
Здесь m обозначает меру Лебега в \BbbR n.
Для произвольных множеств E, F и G в \BbbR n через \Delta (E,F,G) обозначим семейство всех
непрерывных кривых \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n, которые соединяют E и F в G, т. е. \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F
и \gamma (t) \in G при a < t < b. Пусть D — область в \BbbR n, x0 \in D и d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D). Положим
c\bigcirc Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ, 2019
774 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 775
\BbbA (x0, r1, r2) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2
\bigr\}
,
B(x0, r) = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| \leq r\} ,
Si = S(x0, ri) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| = ri
\bigr\}
, i = 1, 2.
Пусть Q : D \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция. Будем говорить, что гомеоморфизм f :
D \rightarrow \BbbR n является кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля в точке x0 \in D, если
соотношение
\mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (fS1, fS2, fD)
\bigr)
\leq
\int
\BbbA
Q(x) \eta p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x)
выполнено для любого кольца \BbbA = \BbbA (x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0, и для каждой измеримой
функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
r2\int
r1
\eta (r) dr = 1.
Пусть \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n, qx0(r) =
1
\omega n - 1 rn - 1
\int
S(x0,r)
Q(x) d\scrA —
среднее интегральное значение по сфере S(x0, r) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| = r
\bigr\}
, d\scrA — элемент
площади поверхности.
Ниже приведен критерий принадлежности классу кольцевых Q-гомеоморфизмов относи-
тельно p-модуля при p > 1 в \BbbR n.
Предложение 1. Пусть D — область в \BbbR n и Q : D \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу
функция, удовлетворяющая условию qx0(r) \not = \infty для почти всех r \in (0, d0), d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D).
Гомеоморфизм f : D \rightarrow \BbbR n является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 \in D тогда и
только тогда, когда для любых 0 < r1 < r2 < d0
\mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (fS1, fS2, fD)
\bigr)
\leq \omega n - 1\left( \int r2
r1
dr
r
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
\right) p - 1 ,
где S1 и S2 — сферы S(x0, r1) и S(x0, r2) (см. теорему 2.3 в [20]).
Отметим, что Q-отображения, допускающие точки ветвления, изучались в работах [9, 22 –
26].
Следуя работе [2], пару \scrE = (A,C), где A \subset \BbbR n — открытое множество, а C — непус-
тое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. Говорят также, что
конденсатор \scrE = (A,C) лежит в области D, если A \subset D. Очевидно, что если f : D \rightarrow \BbbR n —
непрерывное, открытое отображение и \scrE = (A,C) — конденсатор в D, то (fA, fC) — также
конденсатор в fD. Далее f\scrE = (fA, fC).
Пусть \scrE = (A,C) — конденсатор. Обозначим через \scrC 0(A) множество непрерывных функций
u : A \rightarrow \BbbR 1 с компактным носителем. \scrW 0(\scrE ) = \scrW 0(A,C) — семейство неотрицательных
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
776 Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ
функций u : A \rightarrow \BbbR 1 таких, что: 1) u \in \scrC 0(A), 2) u(x) \geq 1 для x \in C и 3) u принадлежит
классу \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{L}, и пусть
| \nabla u| =
\Biggl(
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr) 1
2
.
При p \geq 1 величину
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in \scrW 0(\scrE )
\int
A
| \nabla u| pdm(x)
называют p-емкостью конденсатора \scrE . Известно, что при p > 1
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE = \mathrm{M}p
\bigl(
\Delta (\partial A, \partial C;A \setminus C)
\bigr)
(1)
(см. теорему 1 в [27]). Имеет место неравенство
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE \geq
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} mn - 1\sigma
\bigr) p\bigl[
m(A\setminus C)
\bigr] p - 1 , (2)
где mn - 1\sigma — (n - 1)-мерная мера Лебега C\infty -многообразия \sigma , являющегося границей \sigma = \partial U
ограниченного открытого множества U, содержащего C и содержащегося вместе со своим
замыканием U в A, а точная нижняя грань берется по всем таким \sigma .
Установленные в работе нижние оценки для меры образа шара обобщают известную лемму
Геринга для шара E = B(x0, r) (см. ниже).
Лемма G. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n и E — произвольное измеримое по
Борелю множество в D. Предположим, что f : D \rightarrow \BbbR n — гомеоморфизм, удовлетворяющий
условию
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE \leq K \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p \scrE
при p > n, где \scrE =
\bigl(
B(x0, r2), B(x0, r1)
\bigr)
, x0 \in D, 0 < r1 \leq r2 < d0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D). Тогда
имеет место оценка
m(fE) \geq K
n
n - pm(E)
(см. лемму 7 в [28]).
2. Искажение объема шара. В этом пункте приведены нижние оценки меры образа шара
для кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля при p > n.
Теорема 1. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n и f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-
гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D. Тогда для всех r \in (0, d0) имеет
место оценка
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq \Omega n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) n(p - 1)
p - n
\left( r\int
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right)
n(p - 1)
p - n
, (3)
где \Omega n — объем единичного шара в \BbbR n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 777
Доказательство Пусть \scrE = (A,C) — конденсатор, где A =
\bigl\{
x \in D : | x - x0| < t +\Delta t
\bigr\}
,
C =
\bigl\{
x \in D : | x - x0| \leq t
\bigr\}
. Тогда f\scrE = (fA, fC) — кольцевой конденсатор в fD и согласно (1)
имеем равенство
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE = \mathrm{M}p
\Bigl(
\Delta
\bigl(
\partial fA, \partial fC; f(A \setminus C)
\bigr) \Bigr)
.
В силу неравенства (2) получаем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE \geq (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} mn - 1\sigma )
p\bigl[
m(fA\setminus fC)
\bigr] p - 1 , (4)
где mn - 1\sigma — (n - 1)-мерная мера Лебега C\infty -многообразия \sigma , являющегося границей \sigma = \partial U
ограниченного открытого множества U, содержащего fC и содержащегося вместе со своим
замыканием U в fA, а точная нижняя грань берется по всем таким \sigma . С другой стороны, в
силу предложения 1 имеем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE \leq \omega n - 1\left( \int t+\Delta t
t
ds
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\right) p - 1 . (5)
Комбинируя неравенства (4) и (5), получаем
(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} mn - 1\sigma )
p\bigl[
m(fA\setminus fC)
\bigr] p - 1 \leq \omega n - 1\left( \int t+\Delta t
t
ds
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\right) p - 1 .
Таким образом,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} mn - 1\sigma \leq \omega
1
p
n - 1
\bigl[
m(fA \setminus fC)
\bigr] p - 1
p
\left[ t+\Delta t\int
t
ds
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\right]
1 - p
p
.
Далее, используя изопериметрическое неравенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} mn - 1\sigma \geq n\Omega
1
n
n
\bigl(
m(fC)
\bigr) n - 1
n ,
имеем
n\Omega
1
n
n
\bigl(
m(fC)
\bigr) n - 1
n \leq \omega
1
p
n - 1
\left(
m (fA \setminus fC)\int t+\Delta t
t
ds
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\right)
p - 1
p
. (6)
Полагая \Phi (t) := m(fB(x0, t)), из соотношения (6) получаем оценку
n\Omega
1
n
n \Phi
n - 1
n (t) \leq \omega
1
p
n - 1
\left(
\Phi (t+\Delta t) - \Phi (t)
\Delta t
1
\Delta t
\int t+\Delta t
t
ds
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\right)
p - 1
p
. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
778 Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ
Заметим, что в силу предложения 1 и гомеоморфности отображения f
1
s
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (s)
\in L1
loc(0, d0).
Далее, устремляя в неравенстве (7) \Delta t к 0, а также учитывая монотонное возрастание функции
\Phi (t) по t \in (0, d0) и равенство \omega n - 1 = n\Omega n, убеждаемся, что для почти всех t существует
производная \Phi \prime (t) и
n\Omega
p - n
n(p - 1)
n
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\leq \Phi \prime (t)
\Phi
p(n - 1)
n(p - 1) (t)
.
Отсюда легко следует неравенство
n\Omega
p - n
n(p - 1)
n
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\leq
\left( \Phi
p - n
n(p - 1) (t)
p - n
n(p - 1)
\right)
\prime
. (8)
Рассмотрим неравенство (8) при p > n. Заметим, что функция g(t) =
\Phi
p - n
n(p - 1) (t)
p - n
n(p - 1)
является
неубывающей. Интегрируя обе части этого неравенства по t \in [\varepsilon , r] и учитывая, что
r\int
\varepsilon
\left( \Phi
p - n
n(p - 1) (t)
p - n
n(p - 1)
\right)
\prime
dt =
r\int
\varepsilon
g\prime (t)dt \leq g(r) - g(\varepsilon ) \leq \Phi
p - n
n(p - 1) (r) - \Phi
p - n
n(p - 1) (\varepsilon )
p - n
n(p - 1)
(см., например, теорему IV. 7.4 в [29]), получаем
n\Omega
p - n
n(p - 1)
n
r\int
\varepsilon
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\leq \Phi
p - n
n(p - 1) (r) - \Phi
p - n
n(p - 1) (\varepsilon )
p - n
n(p - 1)
. (9)
Устремляя в неравенстве (9) \varepsilon к 0 и учитывая, что \Phi (0) = 0, имеем
\Phi (r) \geq \Omega n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) n(p - 1)
p - n
\left( r\int
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right)
n(p - 1)
p - n
.
Наконец, обозначая в последнем неравенстве \Phi (r) = m(fB(x0, r)), получаем оценку
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq \Omega n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) n(p - 1)
p - n
\left( r\int
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right)
n(p - 1)
p - n
.
Теорема 1 доказана.
В частности, справедлива следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 779
Теорема 2. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n, n \geq 2, и f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой
Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D при p > n. Предположим, что
функция Q удовлетворяет условию
qx0(t) \leq q0 t
- \alpha , q0 \in (0,\infty ), \alpha \in [0,\infty ), (10)
для почти всех t \in (0, \varepsilon 0), \varepsilon 0 \in (0, d0). Тогда при всех r \in (0, \varepsilon 0) имеет место оценка
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq \Omega n
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0 r
n(\alpha +p - n)
p - n . (11)
Доказательство. Воспользовавшись условием (10), оценим правую часть неравенства (3).
Затем с помощью элементарных преобразований получим оценку (11).
Полагая в теореме 2 \alpha = 0, получаем следующее заключение.
Следствие 1. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n, f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-
гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D при p > n и qx0(t) \leq q0, 0 < q0 < \infty ,
для почти всех t \in (0, d0). Тогда имеет место оценка
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq q
n
n - p
0 \Omega nr
n
для всех r \in (0, d0).
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и Q(z) \leq K, K \in (0,\infty ), для почти
всех x \in D. Тогда имеет место оценка
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq K
n
n - pm
\bigl(
B(x0, r)
\bigr)
для всех r \in (0, d0).
Замечание 1. Следствие 2 является частным случаем результата Геринга для шара E =
= B(x0, r) (см. лемму G).
Следующий результат доказывается аналогично теореме 2.
Теорема 3. Пусть f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в
точке x0 \in D при p > n. Предположим, что функция Q : D \rightarrow [0,\infty ] удовлетворяет условию
qx0(t) \leq q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) k(p - 1)
tp - n, q0 \in (0,\infty ), k \in (1,\infty ),
для почти всех t \in (0, \delta 0), \delta 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, d(x0, \partial D)\} , где qx0(t) =
1
\omega n - 1 tn - 1
\int
S(x0,t)
Q(x)d\scrA —
среднее интегральное значение по сфере S(x0, t) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| = t
\bigr\}
. Тогда при всех
r \in (0, \delta 0) имеет место оценка
m
\bigl(
fB(x0, r)
\bigr)
\geq \Omega n
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)n(p - 1)
p - n
,
где B(x0, r) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| \leq r
\bigr\}
, \Omega n — объем единичного шара в \BbbR n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
780 Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ
3. Искажение площади по Минковскому. Для множества E \subset \BbbR n зададим верхний
(n - 1)-мерный объем Минковского
M\ast n - 1(E) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
m\{ x : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x;E) < \varepsilon \}
2 \varepsilon
и (n - 1)-мерный нижний объем Минковского
Mn - 1
\ast (E) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
m\{ x : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x;E) < \varepsilon \}
2 \varepsilon
.
В случае, когда верхний и нижний объемы Минковского совпадают, их общее значение назы-
вается (n - 1)-мерным объемом Минковского Mn - 1(E) (см. [30, c. 294]). Известно, что если
E \subset \BbbR n и m(E) < \infty , то
Mn - 1
\ast (\partial E) \geq n\Omega
1
n
n
\bigl(
m(E)
\bigr) n - 1
n (12)
(см. [30, c. 299], п. 3.2.43).
Пусть множество E \subset \BbbR n, n \geq 2, \partial E — граница множества E, тогда нижней (n - 1)-
мерной площадью Минковского границы \partial E будем называть (n - 1)-мерный нижний объем
Минковского.
Теорема 4. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n, p > n, и f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой
Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D. Тогда для всех r \in (0, d0) имеет
место оценка
Mn - 1
\ast
\bigl(
fS(x0, r)
\bigr)
\geq \omega n - 1
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
\left( r\int
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right)
(n - 1)(p - 1)
p - n
,
где \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доказательство. Применяя изопериметрическое неравенство (12) к оценке (3), приходим
к заключению теоремы.
Из теоремы 4 непосредственно вытекают следующие утверждения.
Теорема 5. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n и f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-
гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D при p > n. Предположим, что функ-
ция Q удовлетворяет условию
qx0(t) \leq q0 t
- \alpha , q0 \in (0,\infty ), \alpha \in [0,\infty ),
для почти всех t \in (0, d0). Тогда при всех r \in (0, d0) имеет место оценка
Mn - 1
\ast
\bigl(
fS(x0, r)
\bigr)
\geq \omega n - 1
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0 r
(n - 1)(\alpha +p - n)
p - n .
Следствие 3. Пусть D — ограниченная область в \BbbR n, f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-
гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 \in D при p > n и qx0(t) \leq q0, 0 < q0 < \infty ,
для почти всех t \in (0, d0). Тогда имеет место оценка
Mn - 1
\ast
\bigl(
fS(x0, r)
\bigr)
\geq q
n - 1
n - p
0 \omega n - 1 r
n - 1
для всех r \in (0, d0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 781
Следствие 4. Пусть выполнены условия теоремы 4 и Q(z) \leq K, K \in (0,\infty ), для почти
всех x \in D. Тогда имеет место оценка
Mn - 1
\ast
\bigl(
fS(x0, r)
\bigr)
\geq K
n - 1
n - p\omega n - 1r
n - 1
для всех r \in (0, d0).
Теорема 6. Пусть f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в
точке x0 \in D при p > n. Предположим, что функция Q : D \rightarrow [0,\infty ] удовлетворяет условию
qx0(t) \leq q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) k(p - 1)
tp - n, q0 \in (0,\infty ), k \in (1,\infty ),
для почти всех t \in (0, \delta 0), \delta 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
1, d(x0, \partial D)
\bigr\}
, где qx0(t) =
1
\omega n - 1 tn - 1
\int
S(x0,t)
Q(x) d\scrA —
среднее интегральное значение по сфере S(x0, t) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| = t
\bigr\}
. Тогда при всех
r \in (0, \delta 0) имеет место оценка
Mn - 1
\ast
\bigl(
fS(x0, r)
\bigr)
\geq \omega n - 1
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)(n - 1)(p - 1)
p - n
,
где S(x0, r) =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x - x0| = r
\bigr\}
, \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n.
4. Экстремальные задачи для функционалов объема и площади. Положим \BbbB n = \{ x \in
\in \BbbR n : | x| < 1\} , Br = B(0, r) и Sr = S(0, r) Пусть Q : \BbbB n \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу
функция и \scrH 1 = \scrH (p, q0, \alpha ) — множество всех кольцевых Q-гомеоморфизмов f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n
относительно p-модуля в точке x0 = 0 при p > n с условием
q(t) =
1
\omega n - 1 tn - 1
\int
St
Q(x) d\scrA \leq q0 t
- \alpha , q0 \in (0,\infty ), \alpha \in [0,\infty ),
для почти всех t \in (0, 1).
Рассмотрим на классе \scrH 1 функционал объема \bfV r(f) = m(fBr) и функционал площади по
Минковскому \bfA r(f) = Mn - 1
\ast (fSr). Докажем теорему о минимизации функционалов \bfV r(f) и
\bfA r(f).
Теорема 7. Для всех r \in [0, 1] справедливы равенства
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in \scrH 1
\bfV r(f) = \Omega n
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0 r
n(\alpha +p - n)
p - n ,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in \scrH 1
\bfA r(f) = \omega n - 1
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0 r
(n - 1)(\alpha +p - n)
p - n ,
где \Omega n — объем единичного шара в \BbbR n, \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доказательство. Из теорем 2 и 5 непосредственно следуют оценки
\bfV r(f) \geq \Omega n
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0 r
n(\alpha +p - n)
p - n , (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
782 Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ
\bfA r(f) \geq \omega n - 1
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0 r
(n - 1)(\alpha +p - n)
p - n . (14)
Построим гомеоморфизм f1 \in \scrH 1, на котором реализуются минимумы функционалов \bfV r(f) и
\bfA r(f). Пусть f1 : \BbbB n \rightarrow \BbbR n, где
f1(x) =
\left\{ q
1
n - p
0
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) p - 1
p - n
| x|
\alpha +p - n
p - n
x
| x|
, x \not = 0,
0, x = 0.
Нетрудно заметить, что оценки (13) и (14) являются точными и знак равенства в них дости-
гается на отображении f1 . Покажем, что отображение, определенное таким образом, является
кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля с функцией Q(x) = q0 | x| - \alpha в точке
x0 = 0. Очевидно, что qx0(t) = q0 t
- \alpha . Рассмотрим кольцо \BbbA (0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < 1.
Заметим, что отображение f1 преобразует кольцо \BbbA (0, r1, r2) в кольцо \widetilde \BbbA (0, \widetilde r1, \widetilde r2), где
\widetilde ri = q
1
n - p
0
\biggl(
p - n
\alpha + p - n
\biggr) p - 1
p - n
r
\alpha +p - n
p - n
i , i = 1, 2.
Обозначим через \Gamma семейство всех кривых, соединяющих сферы S(0, r1) и S(0, r2) в кольце
\BbbA (0, r1, r2). Тогда p-модуль семейства кривых f1\Gamma вычисляется в явном виде (см., например,
соотношение (2) в [28, с. 177])
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) = \omega n - 1
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1\biggl( \widetilde r p - n
p - 1
2 - \widetilde r p - n
p - 1
1
\biggr) 1 - p
.
Подставляя в предыдущее равенство значения \widetilde r1 и \widetilde r2, определенные выше, получаем
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) = \omega n - 1 q0
\biggl(
\alpha + p - n
p - 1
\biggr) p - 1 \biggl(
r
\alpha +p - n
p - 1
2 - r
\alpha +p - n
p - 1
1
\biggr) 1 - p
.
Заметим, что последнее соотношение можно записать в виде
\mathrm{M}p(f1\Gamma ) =
\omega n - 1\left( \int r2
r1
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right) p - 1 ,
где qx0(t) = q0 t
- \alpha .
Следовательно, в силу предложения 1 гомеоморфизм f1 является кольцевым Q-гомеомор-
физмом относительно p-модуля при p > n с функцией Q(x) = q0 | x| - \alpha в точке x0 = 0.
Теорема 7 доказана.
Далее, предположим, что Q : \BbbB n \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция, удовлетворяю-
щая условию
q(t) \leq q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) k(p - 1)
tp - n, q0 \in (0,\infty ), k \in (1,\infty ), (15)
при почти всех t \in (0, 1), и \scrH 2 = \scrH 2(q0, p, k) — множество всех кольцевых Q-гомеоморфизмов
f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n относительно p-модуля в точке x0 = 0 при p > n с условием (15).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 783
Теорема 8. Для всех r \in [0, 1) справедливы равенства
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in \scrH 2
\bfV r(f) = \Omega n
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)n(p - 1)
p - n
,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
f\in \scrH 2
\bfA r(f) = \omega n - 1
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)(n - 1)(p - 1)
p - n
,
где \Omega n — объем единичного шара в \BbbR n, \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n.
Доказательство. Из теорем 3 и 6 непосредственно следуют оценки
\bfV r(f) \geq \Omega n
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) n(p - 1)
p - n
q
n
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)n(p - 1)
p - n
,
\bfA r(f) \geq \omega n - 1
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) (n - 1)(p - 1)
p - n
q
n - 1
n - p
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - (k - 1)(n - 1)(p - 1)
p - n
.
Осталось построить гомеоморфизм f \in \scrH 2, на котором реализуется минимум функционалов
\bfV r(f) и \bfA r(f). Пусть f2 : \BbbB n \rightarrow \BbbR n, где
f2(x) =
\left\{ q
1
n - p
0
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) p - 1
p - n
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| x|
\biggr) - (k - 1)(p - 1)
p - n x
| x|
, x \not = 0,
0, x = 0.
Покажем, что отображение, определенное таким образом, является кольцевым Q-гомеомор-
физмом относительно p-модуля при p > n с Q(x) = q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| x|
\biggr) k(p - 1)
| x| p - n в точке x0 =
= 0. Рассмотрим кольцо \BbbA (0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < 1. Отображение f2 преобразует кольцо
\BbbA (0, r1, r2) в кольцо \widetilde \BbbA (0, \widetilde r1, \widetilde r2), где
\widetilde ri = q
1
n - p
0
\biggl(
p - n
(p - 1)(k - 1)
\biggr) p - 1
p - n
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
ri
\biggr) - (k - 1)(p - 1)
p - n
, i = 1, 2.
Пусть \Gamma — семейство всех кривых, соединяющих сферы S(0, r1) и S(0, r2) в кольце
\BbbA (0, r1, r2). Тогда p-модуль семейства кривых f2\Gamma вычисляется следующим образом (см., на-
пример, соотношение (2) в [28, с. 177]):
\mathrm{M}p(f2\Gamma ) = \omega n - 1
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1 \Bigl( \widetilde r2 p - n
p - 1 - \widetilde r1 p - n
p - 1
\Bigr) 1 - p
. (16)
Подставляя в (16) значения \widetilde r1 и \widetilde r2, определенные выше, получаем
\mathrm{M}p(f2\Gamma ) = \omega n - 1 q0
\left(
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r2
\biggr) - (k - 1)
-
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r1
\biggr) - (k - 1)
k - 1
\right)
1 - p
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
784 Б. А. КЛИЩУК, Р. Р. САЛИМОВ
Заметим, что последнее соотношение можно записать в виде
\mathrm{M}p(f2\Gamma ) =
\omega n - 1\left( \int r2
r1
dt
t
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (t)
\right) p - 1 ,
где qx0(t) = q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) k(p - 1)
tp - n .
Следовательно, в силу предложения 1 гомеоморфизм f2 является кольцевым Q-гомеомор-
физмом относительно p-модуля при p > n с Q(x) = q0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| x|
\biggr) k(p - 1)
| x| p - n в точке x0 = 0.
Теорема 8 доказана.
Литература
1. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
2. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 1969. –
448. – P. 1 – 40.
3. Bojarski B., Iwaniec T. Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in \BbbR n // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Math. – 1983. – 8, № 2. – P. 257 – 324.
4. Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Ryazanov V. I., Vuorinen M. Infinitesimal geometry of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math. 2000. – 25, № 1. – P. 101 – 130.
5. Bojarski B., Gutlyanskii V., Martio O., Ryazanov V. Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz
mappings in the plane // EMS Tracts Math. – 2013. – 19. – x+205 p.
6. Iwaniec T., Sverak V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. – 1993. – 118. – P. 181 – 188.
7. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001.
8. Golberg A. Integrally quasiconformal mappings in space // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7,
№ 2. – С. 53 – 64.
9. Salimov R., Sevost’yanov E. The Poletskii and Vaisala inequalities for the mappings with (p, q)-distortion // Complex
Var. and Elliptic Equat. – 2014. – 59, № 2. – P. 217 – 231.
10. Салимов Р. Р. Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболева // Алгебра и анализ. – 2014. – 26,
№ 6. – C. 143 – 171.
11. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Граничное поведение классов Орлича –
Соболева // Мат. заметки. – 2014. – 95, № 4. – С. 564 – 576.
12. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича – Соболева //
Алгебра и анализ. – 2013. – 25, № 6. – С. 49 – 101.
13. Ковтонюк Д. А., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории отображений классов Соболева и Орлича –
Соболева. – Киев: Наук. думка, 2013. – 303 с.
14. Боярский Б. В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // Докл. АН СССР. – 1955. – 102. – C. 661 – 664.
15. Gehring F. W., Reich E. Area distortion under quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 1966. –
388. – P. 1 – 15.
16. Astala K. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. – 1994. – 173. – P. 37 – 60.
17. Eremenko A., Hamilton D. H. On the area distortion by quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1995. –
123. – P. 2793 – 2797.
18. Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. – М.:
Наука, 1962. – 136 с.
19. Ломако Т. В., Салимов Р. Р. К теории экстремальных задач // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2010. – 7, № 2. – С. 264 – 269.
20. Салимов Р. Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. мат. журн. – 2012. – 53, № 6. – С. 920 – 930.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ОБРАЗА ШАРА 785
21. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Мат.
сб. – 1986. — 130, № 2. – С. 185 – 206.
22. Sevost’yanov E. A. The Väisälä inequality for mappings with finite length distortion // Complex Var. and Elliptic
Equat. – 2010. – 55. – P. 91 – 101.
23. Sevost’yanov E. A. Towards a theory of removable singularities for maps with unbounded charasteristic of quasi-
conformity // Izv. Math. – 2010. – 74, № 1. – P. 151 – 165.
24. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. — Киев: Наук.
думка, 2014. – 304 с.
25. Cristea M. Open discrete mapping having local ACLn inverses // Complex Var. and Elliptic Equat. – 2010. – 55. –
P. 61 – 90.
26. Cristea M. Some properties of open, discrete generalized ring mappings // Complex Var. and Elliptic Equat. – 2016. –
61. – P. 623 – 643.
27. Шлык В. A. O равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн. – 1993. – 34, № 6. – C. 216 – 221.
28. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Adv. Theory of Riemann Surfaces (Proc.
Conf. Stonybrook, New York, 1969): Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 – 193.
29. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. – 495 c.
30. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 c.
Получено 12.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1475 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:26Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/c02e6c75563a7375b2169dd3d10e4e42.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14752019-12-05T08:56:42Z Lower bounds for the volume of the image of a ball Нижние оценки объема образа шара Klishchuk, B. A. Salimov, R. R. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. UDC 517.5 We consider ring $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus in the space $\Bbb R^{n}$ as $p>n$. We obtain a lower bound for the volume of the image of a ball under these mappings. We solve the extremal problems of minimization of functionals of the volume of the image of a ball and the area of the image of a sphere. УДК 517.5 Розглядаються кільцеві $Q$-гомеоморфізми відносно $p$-модуля у просторі $\Bbb R^{n}$ при $p>n.$ Отримано нижню оцінку об'єму образу кулі при таких відображеннях. Розв'язано екстремальні задачі про мінімізацію функціоналів об'єму образу кулі і площі образу сфери. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1475 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 774-785 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 774-785 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1475/459 Copyright (c) 2019 Klishchuk B. A.; Salimov R. R. |
| spellingShingle | Klishchuk, B. A. Salimov, R. R. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Клищук, Б. А. Салимов, Р. Р. Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title | Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title_alt | Нижние оценки объема образа шара |
| title_full | Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title_fullStr | Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title_full_unstemmed | Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title_short | Lower bounds for the volume of the image of a ball |
| title_sort | lower bounds for the volume of the image of a ball |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1475 |
| work_keys_str_mv | AT klishchukba lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT salimovrr lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT kliŝukba lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT salimovrr lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT kliŝukba lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT salimovrr lowerboundsforthevolumeoftheimageofaball AT klishchukba nižnieocenkiobʺemaobrazašara AT salimovrr nižnieocenkiobʺemaobrazašara AT kliŝukba nižnieocenkiobʺemaobrazašara AT salimovrr nižnieocenkiobʺemaobrazašara AT kliŝukba nižnieocenkiobʺemaobrazašara AT salimovrr nižnieocenkiobʺemaobrazašara |