Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line and the inequalities of various metrics
UDC 517.5 For given $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ and any fixed interval $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ we solve the extremal problem $$ \int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p, $$ on a set of functions $x\in L^r_{\infty}$ such that $$ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1476 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| Резюме: | UDC 517.5
For given $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ and any fixed
interval $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ we solve the extremal problem
$$
\int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p,
$$
on a set of functions $x\in L^r_{\infty}$ such that
$$
\|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x\|_{p, \delta} \le
\|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \delta}, \quad \delta \in (0,
\pi/ \lambda],
$$
where
$$
\|x\|_{p, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a,
\,b \in {\rm \bf R}, \; 0< b-a \le \delta \}
$$
and $\varphi_{\lambda, r}$ is the $(2\pi/\lambda)$-periodic Euler spline
of order $r.$
In particular, we solve the same problem for
the intermediate derivatives $x^{(k)},$ $k=1,\ldots,r-1,$
with $q \ge 1.$
In addition, we prove the inequalities of various metrics for the quantities
$\|x\|_{p, \delta}.$ |
|---|