Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line and the inequalities of various metrics
UDC 517.5 For given $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ and any fixed interval $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ we solve the extremal problem $$ \int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p, $$ on a set of functions $x\in L^r_{\infty}$ such that $$ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1476 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507259562360832 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:42Z |
| description | UDC 517.5
For given $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ and any fixed
interval $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ we solve the extremal problem
$$
\int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p,
$$
on a set of functions $x\in L^r_{\infty}$ such that
$$
\|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x\|_{p, \delta} \le
\|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \delta}, \quad \delta \in (0,
\pi/ \lambda],
$$
where
$$
\|x\|_{p, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a,
\,b \in {\rm \bf R}, \; 0< b-a \le \delta \}
$$
and $\varphi_{\lambda, r}$ is the $(2\pi/\lambda)$-periodic Euler spline
of order $r.$
In particular, we solve the same problem for
the intermediate derivatives $x^{(k)},$ $k=1,\ldots,r-1,$
with $q \ge 1.$
In addition, we prove the inequalities of various metrics for the quantities
$\|x\|_{p, \delta}.$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепр. нац. ун-т)
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ
И НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК
For given r \in \bfN , p, \lambda > 0 and any fixed interval [a, b] \subset \bfR we solve the extremal problem
b\int
a
| x(t)| qdt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,
on a set of functions x \in Lr
\infty such that
\| x(r)\| \infty \leq 1, \| x\| p,\delta \leq \| \varphi \lambda ,r\| p,\delta , \delta \in (0, \pi /\lambda ],
where
\| x\| p,\delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta \}
and \varphi \lambda ,r is the (2\pi /\lambda )-periodic Euler spline of order r. In particular, we solve the same problem for the intermediate
derivatives x(k), k = 1, . . . , r - 1, with q \geq 1. In addition, we prove the inequalities of various metrics for the quantities
\| x\| p,\delta .
Для заданих r \in \bfN , p, \lambda > 0 i довiльного фiксованого вiдрiзка [a, b] \subset \bfR розв’язано екстремальну задачу
b\int
a
| x(t)| qdt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,
на деякiй пiдмножинi функцiй x \in Lr
\infty таких, що
\| x(r)\| \infty \leq 1, \| x\| p,\delta \leq \| \varphi \lambda ,r\| p,\delta , \delta \in (0, \pi /\lambda ],
де
\| x\| p,\delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta \} ,
а \varphi \lambda ,r — (2\pi /\lambda )-перiодичний сплайн Ейлера порядку r. Як наслiдок розв’язано ту ж саму екстремальну задачу для
промiжних похiдних x(k), k = 1, . . . , r - 1, при q \geq 1.
Крiм того, доведено нерiвностi рiзних метрик для величин \| x\| p,\delta .
1. Введение. Пусть G = \bfR , G = [a, b] или G = I2\pi — отрезок [0, 2\pi ] с отождествленными
концами. Будем рассматривать пространства Lp(G), 0 < p \leq \infty , всех измеримых функций x :
G \rightarrow \bfR , для которых величина \| x\| Lp(G) конечна, где
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
| x (t)| p dt
\biggr) 1/p
, если 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x (t)| , если p = \infty .
Для r \in \bfN и p, s \in (0,\infty ] через Lr
p,s обозначим пространство всех функций x \in Lp(\bfR ),
имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка, причем x(r) \in
\in Ls(\bfR ). Будем писать \| x\| p вместо \| x\| Lp(R) и Lr
\infty вместо Lr
\infty ,\infty .
Известно (см., например, [1, с. 47]), что задача нахождения точной константы C в неравен-
стве типа Колмогорова – Надя
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, 2019
786 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 787
\| x(k)\| q \leq C \| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
s
(1.1)
на классе функций x \in Lr
p,s, где \alpha =
r - k + 1/q - 1/s
r + 1/p - 1/s
, а параметры q, p, s \geq 1, r \in \bfN ,
k \in \bfN 0 := \bfN
\bigcup
\{ 0\} , k < r, удовлетворяют условию \alpha \leq (r - k)/r, равносильна экстремальной
задаче
\| x(k)\| q \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} (1.2)
на классе функций x \in Lr
p,s, удовлетворяющих ограничениям
\| x(r)\| s \leq Ar, \| x\| p \leq A0, (1.3)
где A0, Ar — заданные положительные числа.
Несмотря на большое количество работ по этой тематике точная константа C в неравенстве
(1.1) известна для всех r \in \bfN и всех k < r лишь в немногих случаях. Подробную библиогра-
фию можно найти в работах [1 – 3]. Поэтому представляет интерес модификация задачи (1.2)
с ограничениями (1.3), рассмотренная Б. Бояновым и Н. Найденовым [4]. Для произвольного
отрезка [a, b] \subset \bfR ими решена проблема
b\int
a
\Phi (| x(k)(t)| )dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 1, . . . , r - 1,
на классе функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих условиям (1.3) с p = s = \infty , где \Phi — непрерывно
дифференцируемая функция на [0,\infty ), положительная на (0,\infty ) и такая, что \Phi (t)/t не убывает
и \Phi (0) = 0. Важнейший пример такой функции дается равенством \Phi (t) = tp, p \geq 1.
Обозначим через W класс непрерывных, неотрицательных и выпуклых функций \Phi , опре-
деленных на [0,\infty ), таких, что \Phi (0) = 0. Для p > 0 положим [5]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\bigr\}
. (1.4)
Отметим, что L(x)\infty = \| x\| \infty и L(x\prime )1 \leq 2\| x\| \infty .
В работе [6] решена следующая модификация задачи Боянова и Найденова:
b\int
a
\Phi (| x(t)| p)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.5)
на классе функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих ограничениям
\| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0. (1.6)
Как следствие получено решение задачи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
788 В. А. КОФАНОВ
b\int
a
\Phi (| x(k)(t)| )dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, . . . , r - 1, (1.7)
на классе всех функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих условиям (1.6).
Обобщение результатов работы [6] получено в [7, 8].
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим r-й 2\pi -периодический интеграл с нулевым средним зна-
чением на периоде от функции \varphi 0 (t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t и для \lambda > 0 положим \varphi \lambda ,r (t) := \lambda - r\varphi r (\lambda t) .
В данной работе получено решение задач (1.5) и (1.7) (теоремы 1 и 3) на классе функций
x \in Lr
\infty , удовлетворяющих условиям
\| x(r)\| \infty \leq Ar, \| x\| p,\delta \leq Ar\| \varphi \lambda ,r\| p,\delta , \delta \in (0, \pi /\lambda ], (1.8)
где
\| x\| p, \delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta \} . (1.9)
Отметим, что при p \geq 1 величина \| x\| p, \delta является нормой в отличие от величины L(x)p,
определенной равенством (1.4).
Изучено также соотношение между классами функций x \in Lr
\infty , задаваемыми ограничения-
ми (1.6), и классами функций x \in Lr
\infty , которые удовлетворяют условиям (1.8) (теоремы 2 и 4).
Кроме того, получены точные неравенства разных метрик для величин \| x\| p,\delta , определенных
равенством (1.9) (теоремы 5 – 8).
2. Вспомогательные утверждения. Пусть r \in \bfN и p, \lambda > 0. Введем класс функций
F r
p (\lambda ) := \{ x \in Lr
\infty : \| x\| p,\delta \leq \| \varphi \lambda ,r\| p,\delta \| x(r)\| \infty , \delta \in (0, \pi /\lambda ]\} , (2.1)
где величина \| x\| p,\delta определена равенством (1.9).
Примеры функций x \in F r
p (\lambda ) приведены в теоремах 2 и 4. В частности, из этих теорем
следует, что произвольная функция x \in Lr
\infty при любом p > 0 принадлежит классу F r
p (\lambda )
с некоторым \lambda > 0, а любая функция x \in Lr
\infty (I2\pi ), в среднем равная нулю на периоде,
принадлежит классу F r
p (1) при p \geq 1.
Через \~F r
p (\lambda ) обозначим класс функций x \in F r
p (\lambda ), для которых при любых \Phi \in W и
\delta \in (0, \pi /\lambda ] каждая из точных верхних граней
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (| x(t)| p) dt : \alpha , \beta \in \bfR , \beta - \alpha \leq \delta
\right\} (2.2)
и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| L\infty [\alpha ,\beta ] : \alpha , \beta \in \bfR , \beta - \alpha \leq \delta \}
достигается на некотором отрезке [\alpha , \beta ] (зависящем от \Phi и \delta ). Примерами функций класса
\~F r
p (\lambda ) являются функции x \in F r
p (\lambda ), имеющие одно из следующих свойств:
1) x — периодическая функция (произвольного периода),
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} | t| \rightarrow \infty x(t) = 0,
3) x \in Lp,\infty при p < \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 789
4) x — финитная функция.
Отметим, что имеет место включение \~F r
p (\lambda ) \subset \~F r
q (\lambda ) при q > p > 0 (следствие 1 из
леммы 3).
Лемма 1 [9]. Если функция x непрерывна на \bfR , а точная верхняя грань в определении
(1.9) реализуется на отрезке [a, b], то
| x(a)| = | x(b)| .
Лемма 2. Пусть r \in \bfN , p, \lambda > 0. Тогда для любой функции x \in F r
p (\lambda ) имеет место
неравенство
\| x\| \infty \leq \| \varphi \lambda ,r\| \infty \| x(r)\| \infty . (2.3)
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in F r
p (\lambda ). Вследствие однородности неравен-
ства (2.3) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (2.4)
Пусть m — точка максимума сплайна \varphi \lambda ,r. Заметим, что
\| \varphi \lambda ,r\| pp,\delta =
m+\delta /2\int
m - \delta /2
| \varphi \lambda ,r(t)| pdt, \delta \in (0, \pi /\lambda ].
Поэтому из (2.1) и (2.4) для произвольного a \in \bfR следует, что
1
\delta
a+\delta \int
a
| x(t)| pdt \leq 1
\delta
m+\delta /2\int
m - \delta /2
| \varphi \lambda ,r(t)| pdt =
2
\delta
m+\delta /2\int
m
| \varphi \lambda ,r(t)| pdt.
Переходя в этом соотношении к пределу при \delta \rightarrow 0, получаем
| x(a)| p \leq | \varphi \lambda ,r(m)| p = \| \varphi \lambda ,r\| p\infty .
Отсюда в силу (2.4) и произвольности a \in \bfR следует (2.3).
Лемма 2 доказана.
Для суммируемой на отрезке [a, b] функции x cимволом r(x, t) обозначим перестановку
функции | x| (см., например, [11], § 1.3). При этом условимся, что r(x, t) = 0 для t > b - a.
Лемма 3. Пусть r \in \bfN , p, \lambda > 0, \Phi \in W. Тогда для любой функции x \in \~F r
p (\lambda ) и отрезка
[a, b] \subset \bfR , для которого b - a \leq \pi /\lambda , выполнено неравенство
b\int
a
\Phi (| x(t)| p) dt \leq
m+\Theta \int
m - \Theta
\Phi (| Ar\varphi \lambda ,r(t)| p) dt, (2.5)
где Ar = \| x(r)\| \infty , m — точка локального максимума сплайна \varphi \lambda ,r, а число \Theta удовлетворяет
условиям
\varphi \lambda ,r(m - \Theta ) = \varphi \lambda ,r(m+\Theta ), 2\Theta = b - a.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
790 В. А. КОФАНОВ
В частности,
b\int
a
\Phi (| x(t)| p) dt \leq
c+\pi /\lambda \int
c
\Phi (| Ar\varphi \lambda ,r(t)| p) dt, (2.6)
где c — нуль сплайна \varphi \lambda ,r.
Доказательство. Зафиксируем функцию x и отрезок [a, b], удовлетворяющие условиям
леммы. Докажем неравенство (2.5). Не ограничивая общности можем считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (2.7)
Положим \delta := b - a. По определению класса \~F r
p (\lambda ) точная верхняя грань (2.2) реализуется
на некотором отрезке [\alpha , \beta ]. Среди таких отрезков, очевидно, найдется такой, что \beta - \alpha = \delta .
Неравенство (2.5) достаточно доказать для [a, b] = [\alpha , \beta ]. Тогда в силу леммы 1
| x(a)| = | x(b)| . (2.8)
Обозначим через x сужение функции x на отрезок [a, b], а через \varphi = \varphi \lambda ,r сужение сплайна
\varphi \lambda ,r на [m - \Theta ,m+\Theta ]. Докажем сначала неравенство
\xi \int
0
rp(x, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi \lambda ,r, t)dt, \xi > 0. (2.9)
Убедимся прежде всего в том, что разность \delta (t) := r(x, t) - r(\varphi \lambda ,r, t) меняет знак на [0,\infty ) не
более одного раза (с минуса на плюс). Для этого заметим, что
\delta (0) \leq \| x\| \infty - \| \varphi \lambda ,r\| \infty \leq 0 (2.10)
в силу леммы 2 и предположения (2.7). Далее положим
A := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ | x(t)| : t \in [a, b]\} , B := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | x(t)| : t \in [a, b]\} .
Если B \leq | \varphi \lambda ,r(m + \Theta )| , то разность \delta (t) не меняет знак. Пусть B > | \varphi \lambda ,r(m + \Theta )| . Тогда
положим C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ A, | \varphi \lambda ,r(m+\Theta )| \} . В силу (2.8) и (2.10) для любого z \in (C,B) существуют
точки
ti \in [a, b], i = 1, . . . ,m, m \geq 2, yj \in [m - \Theta ,m+\Theta ], j = 1, 2,
такие, что
z = | x(ti)| = | \varphi \lambda ,r(yj)| . (2.11)
В силу (2.7) и (2.10) выполнены условия теоремы сравнения Колмогорова [10]. По этой теореме
для точек ti и yj , удовлетворяющих условию (2.11), выполнены неравенства
| x \prime (ti)| \leq | \varphi \prime
\lambda ,r(yj)| .
Поэтому если точки \Theta 1,\Theta 2 > 0 выбраны так, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 791
z = r(x,\Theta 1) = r(\varphi ,\Theta 2),
то по теореме о производной перестановки (см., например, [11], предложение 1.3.2)
| r\prime (x, \theta 1)| =
\Biggl[
m\sum
i=1
| x\prime (ti)| - 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
| \varphi \prime (yj)| - 1
\right] - 1
= | r\prime (\varphi , \theta 2)| .
Отсюда следует, что разность \delta (t) := r(x, t) - r(\varphi , t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного
раза (с минуса на плюс). То же самое справедливо и для разности \delta p(t) := rp(x, t) - rp(\varphi , t).
Рассмотрим интеграл
Ip(\xi ) :=
\xi \int
0
\delta p(t)dt.
Ясно, что Ip(0) = 0, и в силу определения класса \~F r
p (\lambda ) и предположения (2.7) имеем
Ip(\xi ) = \| x\| p,\delta - \| \varphi \lambda ,r\| p, \delta \leq 0, \xi \geq \delta .
Кроме того, производная I \prime p(t) = \delta p(t) меняет знак не более одного раза (с минуса на плюс).
Таким образом, Ip(\xi ) \leq 0 для всех \xi \geq 0 и неравенство (2.9) доказано. Из него в силу теоремы
Харди – Литлвуда – Полиа (см., например, [11], предложение 1.3.11) и условия (2.7) следует
неравенство (2.5). Ясно, что (2.6) непосредственно следует из (2.5).
Лемма 3 доказана.
Следствие 1. Пусть r \in \bfN , p, \lambda > 0. Тогда для любого q > p имеет место включение
\~F r
p (\lambda ) \subset \~F r
q (\lambda ).
Доказательство. Включение \~F r
p (\lambda ) \subset F r
q (\lambda ) следует из определения (2.1) и неравенства
(2.5), если положить в нем \Phi (t) = tq/p, q > p. Докажем требуемое включение \~F r
p (\lambda ) \subset \~F r
q (\lambda ).
Учитывая (2.2) и определение класса \~F r
q (\lambda ), зафиксируем произвольную функцию \Phi \in W и
покажем, что для любого \delta \in (0, \pi /\lambda ) точная верхняя грань
Sq(\Phi ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\beta \int
\alpha
\Phi (| x(t)| q) dt : \alpha , \beta \in \bfR , \beta - \alpha \leq \delta
\right\}
достигается на некотором отрезке. Положим \Phi 1(t) = tq/p. Тогда Sq(\Phi ) = Sp(\Phi (\Phi 1)). Ясно, что
суперпозиция функций класса W является функцией этого класса. Следовательно, указанная
точная верхняя грань Sq(\Phi ) достигается, если x \in \~F r
p (\lambda ), так как в этом случае достигается
верхняя грань Sp(\Phi (\Phi 1)).
Следствие 1 доказано.
3. Основные результаты. Пусть r \in \bfN , p, \lambda > 0, [a, b] \subset \bfR . Следуя Б. Боянову и
Н. Найденову [4], представим длину отрезка [a, b] в виде
b - a = n
\pi
\lambda
+ 2\Theta , n \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , 2\Theta \in [0, \pi /\lambda ). (3.1)
Пусть далее \tau \in \bfR таково, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
792 В. А. КОФАНОВ
| \varphi \lambda ,r(a+\Theta + \tau )| = | \varphi \lambda ,r(b - \Theta + \tau )| = \| \varphi \lambda ,r\| \infty . (3.2)
Ясно, что \varphi \lambda ,r(\cdot + \tau ) \in \~F r
p (\lambda ) для любых \tau \in \bfR и p > 0.
Следующая теорема дает решение задачи (1.5) с ограничениями (1.8). Не теряя общности
будем считать, что Ar = 1 в (1.8), и положим
W r
\infty :=
\Bigl\{
x \in Lr
\infty :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq 1
\Bigr\}
.
Теорема 1. Пусть r \in \bfN , p, \lambda > 0. Тогда для любой функции \Phi \in W и произвольного
отрезка [a, b] \subset \bfR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi (| x(t)| p) dt : x \in \~F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty
\right\} =
b\int
a
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t+ \tau )| p) dt, (3.3)
где число \tau определено соотношением (3.2). В частности, для любого q \geq p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
| x(t)| qdt : x \in \~F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty
\right\} =
b\int
a
| \varphi \lambda ,r(t+ \tau )| qdt.
Доказательство. Зафиксируем произвольные функцию x \in \~F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty и отрезок [a, b] \subset
\subset \bfR . Представим длину отрезка [a, b] в виде (3.1). Пусть ak := a+ k\pi /\lambda , k = 0, 1, . . . , n. По
лемме 3
ak+1\int
ak
\Phi (| x(t)| p)dt \leq
c+\pi /\lambda \int
c
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t)| p)dt, k = 0, 1, . . . , n - 1,
и
b\int
an
\Phi (| x(t)| p)dt \leq
m+\Theta \int
m - \Theta
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t)| p)dt,
где c — нуль, m — точка локального максимума сплайна \varphi \lambda ,r, а число \Theta определено равенством
(3.1). Таким образом,
b\int
a
\Phi (| x(t)| p)dt \leq n
c+\pi /\lambda \int
c
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t)| p)dt+
m+\Theta \int
m - \Theta
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t)| p)dt =
=
b\int
a
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t+ \tau )| p) dt,
причем равенство здесь достигается для функции x(t) = \varphi \lambda ,r(t+ \tau ). Соотношение (3.3) дока-
зано. Полагая в нем \Phi (t) = tq/p, получаем второе утверждение теоремы.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 793
Теорема 2. Пусть r \in \bfN , p > 0. Если для функции x \in Lr
\infty число \lambda выбрано так, что
L(x)p \leq L(\varphi \lambda ,r)p\| x(r)\| \infty , (3.4)
где величина L(x)p определена равенством (1.4), то x принадлежит F r
p (\lambda ).
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x \in Lr
\infty и число \delta \in (0, \pi /\lambda ].
Докажем неравенство
\| x\| p,\delta \leq \| \varphi \lambda ,r\| p,\delta \| x(r)\| \infty . (3.5)
Вследствие однородности неравенств (3.4), (3.5) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (3.6)
Для функций, удовлетворяющих ограничениям (3.4) и (3.6), в работе [6] (лемма 3) доказано
неравенство
b\int
a
\Phi (| x(t)| p) dt \leq
m+\Theta \int
m - \Theta
\Phi (| \varphi \lambda ,r(t)| p) dt, \Phi \in W,
для произвольного отрезка [a, b], для которого b - a \leq \pi /\lambda , где m — точка локального мак-
симума сплайна \varphi \lambda ,r, а 2\Theta = b - a. Полагая в этом неравенстве \Phi (t) = t и учитывая (3.6),
получаем оценку (3.5) и, как следствие, включение x \in F r
p (\lambda ).
Теорема 2 доказана.
Пусть k, r \in \bfN , k < r, p > 0, [a, b] \subset \bfR . Снова представим длину отрезка [a, b] в виде
(3.1). Пусть далее \tau k \in \bfR таково, что
| \varphi \lambda ,r - k(a+\Theta + \tau k)| = | \varphi \lambda , r - k(b - \Theta + \tau k)| = \| \varphi \lambda , r - k\| \infty . (3.7)
Следующая теорема дает решение задачи (1.7) с ограничениями (1.8).
Теорема 3. Пусть k, r \in \bfN , k < r, \lambda > 0. Тогда для любой функции \Phi \in W и произволь-
ного отрезка [a, b] \subset \bfR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi
\Bigl(
| x(k)(t)|
\Bigr)
dt : x \in F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty
\right\} =
=
b\int
a
\Phi (| \varphi \lambda , r - k(t+ \tau k)| ) dt, (3.8)
где число \tau k определено в (3.7). В частности, для любого q \geq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
| x(k)(t)| qdt : x \in F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty
\right\} =
b\int
a
| \varphi \lambda , r - k(t+ \tau k)| qdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
794 В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем произвольные функцию x \in F r
p (\lambda )
\bigcap
W r
\infty и отрезок [a, b] \subset
\subset \bfR . Докажем (3.8). Без ограничения общности можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1.
Тогда согласно лемме 2
\| x\| \infty \leq \| \varphi \lambda ,r\| \infty .
Отсюда в силу неравенства Колмогорова [10] имеем
\| x(i)\| \infty \leq \| \varphi \lambda ,r - i\| \infty , i = 1, . . . , r - 1.
Поэтому для любого отрезка [\alpha , \beta ], для которого
| x(k)(t)| > 0, t \in (\alpha , \beta ),
получаем
\beta \int
\alpha
| x(k)(t)| dt = | x(k - 1)(\beta ) - x(k - 1)(\alpha )| \leq 2\| x(k - 1)\| \infty \leq
\leq 2\| \varphi \lambda ,r - k+1\| \infty = L(\varphi \lambda ,r - k)1,
где величина L(x)p определена равенством (1.4). Отсюда следует, что
L(x(k))1 \leq L(\varphi \lambda ,r - k)1.
Для функций x \in W r
\infty , удовлетворяющих этому ограничению, и для произвольного отрезка
[a, b] в работе [6] (теорема 1) получена оценка
b\int
a
\Phi
\Bigl(
| x(k)(t)|
\Bigr)
dt \leq
b\int
a
\Phi (| \varphi \lambda ,r - k(t+ \tau k)| ) dt, \Phi \in W,
где \tau k определено в (3.7). Равенство в этой оценке достигается для функции x(t) = \varphi \lambda ,r(t+\tau k).
Соотношение (3.8) доказано. Полагая в нем \Phi (t) = tq, получаем второе утверждение теоремы.
Теорема 3 доказана.
В следующей теореме содержатся примеры функций класса \~F r
p (1).
Теорема 4. Пусть k, r \in \bfN , k < r, p \geq 1. Тогда для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi ) имеет
место неравенство
L(x(k))p \leq L(\varphi r - k)p\| x(r)\| \infty , (3.9)
где величина L(x)p определена равенством (1.4). В частности, для любой функции x \in
\in Lr
\infty (I2\pi ), в среднем равной нулю на периоде, имеет место включение x \in \~F r
p (1).
Доказательство. В работе [12] для функций x \in Lr
\infty (I2\pi ) доказано неравенство
L(x(k))p \leq
L(\varphi r - k)p
\| \varphi r\| \alpha s
E0(x)
\alpha
s \| x(r)\| 1 - \alpha
\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 795
где p, s \geq 1, k < r, \alpha = (r - k + 1/p)/(r + 1/s), E0(x)s — наилучшее приближение функции x
константами в метрике пространства Ls. Из этого неравенства и известного неравенства типа
Бора – Фавара (см., например, [13], § 6.9)
E0(x)s \leq \| \varphi r\| s\| x(r)\| \infty
следует (3.9).
Пусть теперь функция x \in Lr
\infty (I2\pi ) в среднем равна нулю на периоде. Через x1 обозначим
ее первообразную. Ясно, что x1 \in Lr+1
\infty (I2\pi ). Применяя к x1 неравенство (3.9) при k = 1,
получаем
L(x)p \leq L(\varphi r)p\| x(r)\| \infty .
Из этого неравенства и теоремы 2 вследствие периодичности функции x следует включение
x \in \~F r
p (1).
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть r \in \bfN , q > p > 0, \varepsilon \in (0, \pi ]. Тогда для любой функции x \in \~F r
p (1)
имеет место неулучшаемое неравенство
\| x\| q,\varepsilon \leq
\| \varphi r\| q,\varepsilon
\| \varphi r\| \alpha p,\varepsilon
\| x\| \alpha p, \varepsilon \| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (3.10)
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p), а величина \| x\| p,\varepsilon определена равенством (1.9). В частности,
неравенство (3.10) при p \geq 1 имеет место для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi ), в среднем равной
нулю на периоде.
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in \~F r
p (1). Вследствие однородности неравенства
(3.10) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (3.11)
Выберем далее \lambda > 0 так, чтобы
\| x\| p,\varepsilon = \| \varphi \lambda , r\| p,\varepsilon /\lambda = \lambda - (r+1/p)\| \varphi r\| p,\varepsilon . (3.12)
Из (3.11) и (3.12) в силу включения x \in F r
p (1) следует, что
\lambda \geq 1. (3.13)
Докажем неравенство
\| x\| q,\varepsilon \leq \| \varphi \lambda ,r\| q,\varepsilon /\lambda . (3.14)
В силу включения x \in \~F r
p (1) существует отрезок [a, b], для которого
\| x\| q,\varepsilon = \| x\| Lq [a,b]. (3.15)
Среди таких отрезков найдется отрезок длиной \varepsilon . Поэтому можно считать, что b - a = \varepsilon .
Обозначим через x сужение функции x на отрезок [a, b], а через \varphi \lambda ,r сужение сплайна \varphi \lambda ,r на
[m - \Theta ,m + \Theta ], где m — точка локального максимума сплайна \varphi \lambda ,r, а 2\Theta = \varepsilon /\lambda . Покажем,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
796 В. А. КОФАНОВ
что разность \delta (t) := r(x, t) - r(\varphi \lambda ,r, t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного раза (с минуса
на плюс). Сначала убедимся в том, что
\| x\| \infty \leq \| \varphi \lambda ,r\| \infty . (3.16)
Предположим, что (3.16) не выполняется. Тогда существует такое \omega \in (0, \lambda ), для которого
\| x\| \infty = \| \varphi \omega ,r\| \infty . (3.17)
Если \mu — точка максимума сплайна \varphi \omega ,r, т. е.
\| \varphi \omega ,r\| \infty = \varphi \omega ,r(\mu ), (3.18)
то в силу (3.17) и определения класса \~F r
p (1) существует такое \tau \in \bfR , что
\| x\| \infty = | x(\mu + \tau )| . (3.19)
Заметим, что в силу равенств (3.11) и (3.17) функция x удовлетворяет условиям теоремы
сравнения Колмогорова [10]. Согласно этой теореме из соотношений (3.17) – (3.19) следует
неравенство
| x(t+ \tau )| \geq | \varphi \omega ,r(t)| , t \in (\mu - \pi /(2\omega ), \mu + \pi /(2\omega )).
Из него, принимая во внимание (3.13) и включение \omega \in (0, \lambda ), получаем
\| x\| p,\varepsilon \geq \| x\| p,\varepsilon /\lambda \geq \| \varphi \omega ,r\| Lp[\mu - \varepsilon /(2\lambda ), \mu +\varepsilon /(2\lambda )] = \| \varphi \omega ,r\| p,\varepsilon /\lambda > \| \varphi \lambda ,r\| p,\varepsilon /\lambda ,
что противоречит (3.12). Неравенство (3.16) доказано. Из него следует, что
\delta (0) \leq \| x\| \infty - \| \varphi \lambda ,r\| \infty \leq 0.
Далее повторяя (с небольшими изменениями) рассуждения из доказательства леммы 3 (после
неравенства (2.9)), убеждаемся в том, что разность \delta (t) меняет знак на [0,\infty ) не более од-
ного раза (с минуса на плюс) и то же свойство имеет разность \delta p(t) := rp(x, t) - rp(\varphi \lambda ,r, t).
Рассмотрим интеграл
Ip(\xi ) :=
\xi \int
0
\delta p(t)dt.
Ясно, что Ip(0) = 0, и для \xi \geq \varepsilon в силу условия (3.12) имеем
Ip(\xi ) \leq \| x\| p,\varepsilon - \| \varphi \lambda ,r\| p,\varepsilon /\lambda = 0.
Кроме того, производная I \prime p(t) = \delta p(t) меняет знак не более одного раза (с минуса на плюс).
Таким образом, Ip(\xi ) \leq 0 для всех \xi \geq 0, т. е.
\xi \int
0
rp(x, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi \lambda ,r, t)dt, \xi > 0.
Из этого неравенства в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см., например, [11], предложе-
ние 1.3.11) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 797
\| x\| Lq [a,b] \leq \| \varphi \lambda ,r\| Lq [m - \Theta ,m+\Theta ] = \| \varphi \lambda ,r\| q,\varepsilon /\lambda .
Отсюда в силу (3.15) непосредственно следует (3.14). Применяя (3.14) и (3.12), а также учитывая
определение \alpha , получаем оценку
\| x\| q,\varepsilon
\| x\| \alpha p,\varepsilon
\leq
\| \varphi \lambda ,r\| q,\varepsilon /\lambda
\| \varphi \lambda ,r\| \alpha p, \varepsilon /\lambda
=
\lambda - (r+1/q)\| \varphi r\| q,\varepsilon \bigl[
\lambda - (r+1/p)\| \varphi r\| p,\varepsilon
\bigr] \alpha =
\| \varphi r\| q,\varepsilon
\| \varphi r\| \alpha p,\varepsilon
.
Из этой оценки в силу (3.11) следует доказываемое неравенство (3.10) для функций x \in \~F r
p (1).
Ясно, что (3.10) обращается в равенство для функции x(t) = \varphi r(t).
Осталось заметить, что выполнение неравенства (3.10) при p \geq 1 для функций x \in Lr
\infty (I2\pi ),
в среднем равных нулю на периоде, следует из теоремы 4.
Теорема 5 доказана.
Замечание 1. Для характеристик L(x)p, определенных равенством (1.4), на классе функций
x \in Lr
\infty имеет место следующий аналог неравенства (3.10):
L(x)q \leq L(\varphi r)q
\biggl(
L(x)p
L(\varphi r)p
\biggr) \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , q > p > 0,
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p).
Это неравенство вытекает из леммы 1 работы [6] и следствия из нее.
Теорема 6. Пусть r \in \bfN , q > p > 0. Тогда для любой функции x \in \~F r
p (1) и любого
отрезка [a, b] \in \bfR с длиной, кратной числу \pi , имеет место неулучшаемое неравенство\left( 1
b - a
b\int
a
| x(t)| qdt
\right) 1/q
\leq
\left( 1
\pi
\pi \int
0
| \varphi r(t)| qdt
\right) 1/q \biggl(
\| x\| p,\pi
\| \varphi r\| p,\pi
\biggr) \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (3.20)
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p), а величина \| x\| p,\pi определена равенством (1.9). В частности,
для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi ), в среднем равной нулю на периоде, при p \geq 1 выполнено
неравенство
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\biggl(
\| x\| p, \pi
\| \varphi r\| p,\pi
\biggr) \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty . (3.21)
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in \~F r
p (1). Вследствие однородности неравенства
(3.20) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (3.22)
Выберем далее \lambda > 0 так, чтобы
\| x\| p,\pi = \| \varphi \lambda ,r\| p,\pi /\lambda = \lambda - (r+1/p)\| \varphi r\| p,\pi . (3.23)
При доказательстве теоремы 5 было установлено, что из (3.22) и (3.23) следует неравенство
\| x\| q,\pi \leq \| \varphi \lambda , r\| q,\pi /\lambda . (3.24)
По условию b - a = n\pi с некоторым n \in \bfN . Поэтому вследствие (3.24) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
798 В. А. КОФАНОВ
\| x\| qLq [a,b]
\leq n\| \varphi \lambda ,r\| qq,\pi /\lambda . (3.25)
Из (3.25) и (3.23), учитывая определение \alpha и равенство b - a = n\pi , получаем
\biggl(
1
b - a
\int b
a
| x(t)| qdt
\biggr) 1/q
\| x\| \alpha p, \varepsilon
\leq
\Biggl(
1
\pi
\int \pi /\lambda
0
| \varphi \lambda ,r(t)| qdt
\Biggr) 1/q
\| \varphi \lambda ,r\| \alpha p,\pi /\lambda
=
=
\lambda - (r+1/q)
\biggl(
1
\pi
\int \pi
0
| \varphi r(t)| qdt
\biggr) 1/q
\bigl(
\lambda - (r+1/p)\| \varphi r\| p,\pi
\bigr) \alpha =
\biggl(
1
\pi
\int \pi
0
| \varphi r(t)| qdt
\biggr) 1/q
\| \varphi r\| \alpha p,\pi
.
Из этой оценки в силу (3.22) следует неравенство (3.20). Оно обращается в равенство для
функции x(t) = \varphi r(t).
Выполнение неравенства (3.21) при p \geq 1 для функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), в среднем равных
нулю на периоде, следует из (3.20) и теоремы 4.
Теорема 6 доказана.
Известно (см., например, [14]), что для функции x такой, что x \in Lq[a, b] при любых
a, b \in \bfR , существует предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta \rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\in R
\left( 1
\Delta
a+\Delta \int
a
| x (t)| q dt
\right) 1/q
=: \| x\| Wq . (3.26)
Функционал \| x\| Wq используется при определении почти периодических в смысле Вейля
функций [15]. Отметим, что неравенства для производных в пространствах Вейля изучались в
работах [7, 16, 17].
Полагая в неравенстве (3.20) b - a = 2\pi n, n \in \bfN , и переходя к пределу при n \rightarrow \infty ,
получаем следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть r \in \bfN , q > p > 0. Тогда для любой функции x \in \~F r
p (1) имеет место
неулучшаемое неравенство
\| x\| Wq \leq
\left( 1
\pi
\pi \int
0
| \varphi r(t)| qdt
\right) 1/q \biggl(
\| x\| p,\pi
\| \varphi r\| p,\pi
\biggr) \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (3.27)
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p), а величины \| x\| Wq и \| x\| p,\pi определены равенствами (3.26) и (1.9)
соответственно.
Замечание 2. Для 2\pi -периодических функций класса F r
p (1) неравенство (3.27) трансфор-
мируется в неравенство (3.21).
Пусть n, r \in \bfN . Обозначим через Tn пространство тригонометрических полиномов порядка
не выше n, а символом Sn,r пространство 2\pi -периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с
узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ .
Теорема 8. Пусть r \in \bfN , q > p \geq 1. Тогда для любого тригонометрического полинома
T \in Tn, в среднем равного нулю на периоде, имеет место неулучшаемое на классе
\bigcup
n\in N
Tn
неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. . . 799
\| T\| Lq(I2\pi ) \leq n
1
p
- 1
q
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| Lq(I2\pi )
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| Lp(I2\pi )
\cdot 21/p \| T\| p,\pi , (3.28)
а для любого сплайна s \in Sn,r, в среднем равного нулю на периоде, имеет место неулучшаемое
на классе
\bigcup
n\in N
Sn,r неравенство
\| s\| Lq(I2\pi ) \leq n
1
p
- 1
q
\| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi )
\cdot 21/p \| s\| p,\pi . (3.29)
Доказательство. Зафиксируем полином T \in Tn, в среднем равный нулю на периоде, и
применим к нему неравенство (3.21):
\| T\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\biggl(
\| T\| p, \pi
\| \varphi r\| p,\pi
\biggr) \alpha
\| T (r)\| 1 - \alpha
\infty ,
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p). Применяя далее неравенство Бернштейна
\| T (r)\| \infty \leq nr\| T\| \infty ,
а затем переходя к пределу при r \rightarrow \infty и учитывая, что при этом
\| \varphi r\| Lp(I2\pi ) \rightarrow
4
\pi
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\cdot )\| Lp(I2\pi ), p > 0,
получаем (3.28). Ясно, что (3.28) обращается в равенство для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t.
Докажем (3.29). Зафиксируем сплайн s \in Sn,r, в среднем равный нулю на периоде, и
применим к нему неравенство (3.21):
\| s\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\biggl(
\| s\| p,\pi
\| \varphi r\| p,\pi
\biggr) \alpha
\| s(r)\| 1 - \alpha
\infty ,
где \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p). Применяя далее неравенство (см. [1, с. 477])
\| s(r)\| \infty \leq nr+1/p
\| s\| Lp(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi )
и учитывая, что \| s\| Lp(I2\pi ) \leq 21/p\| s\| p,\pi , получаем (3.29). Ясно, что (3.29) обращается в равен-
ство для сплайна s(t) = \varphi r(t).
Литература
1. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
2. Бабенко В. Ф. Исследования Днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических
функций и их приложениям // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 5 – 29.
3. Kwong M. K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer-Verlag,
1992. – 1536. – 150 p.
4. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
5. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
800 В. А. КОФАНОВ
6. Кофанов В. А. О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – С. 765 – 776.
7. Kofanov V. A. Some extremal problems various metrics and sharp inequalities of Nagy – Kolmogorov type // East J.
Approxim. – 2010. – 16, № 4. – P. 313 – 334.
8. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сравнения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
9. Кофанов В. А. Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 2. – С. 202 – 212.
10. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика. – М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
11. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
12. Kofanov V. A. Sharp inequalities of Bernstein and Kolmogorov type // East J. Approxim. – 2005. – 11, № 2. –
P. 131 – 145.
13. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1982. –
250 с.
14. Левитан Б. M. Почти периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
15. Weyl H. Almost periodic invariant vector sets in a metric vector spase // Amer. J. Math. – 1949. – 71, № 1. –
P. 178 – 205.
16. Бабенко В. Ф., Селиванова С. А. О неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических
функций // Диференцiальнi рiвняння та ı̈х застосування. – Днiпропетровськ: Днiпропетр. нац. ун-т, 1998. –
С. 91 – 95.
17. Кофанов В. А. Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных // Укр.
мат. журн. – 2014. – 66, № 2. – С. 216 – 225.
Получено 04.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1476 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b9/2dcab413bb878fee19e40061bc1b7eb9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14762019-12-05T08:56:42Z Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line and the inequalities of various metrics Задача Боянова – Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. UDC 517.5 For given $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ and any fixed interval $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ we solve the extremal problem $$ \int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p, $$ on a set of functions $x\in L^r_{\infty}$ such that $$ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x\|_{p, \delta} \le \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \delta}, \quad \delta \in (0, \pi/ \lambda], $$ where $$ \|x\|_{p, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, \,b \in {\rm \bf R}, \; 0< b-a \le \delta \} $$ and $\varphi_{\lambda, r}$ is the $(2\pi/\lambda)$-periodic Euler spline of order $r.$ In particular, we solve the same problem for the intermediate derivatives $x^{(k)},$ $k=1,\ldots,r-1,$ with $q \ge 1.$ In addition, we prove the inequalities of various metrics for the quantities $\|x\|_{p, \delta}.$ УДК 517.5 Для заданих $r \in {\rm \bf N},$ $p,\lambda > 0$ i довiльного фiксованого вiдрiзка $[a, b]\subset {\rm \bf R}$ розв'язано екстремальну задачу $$ \int\limits_{a}^{b} |x(t)|^q dt \to \sup, \quad q\ge p, $$ на деякiй пiдмножинi функцiй $x\in L^r_{\infty}$ таких, що $$ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le 1,\quad \|x\|_{p, \delta} \le \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \delta}, \quad \delta \in (0, \pi/ \lambda], $$ де $$ \|x\|_{p, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, \,b \in {\rm \bf R}, \; 0< b-a \le \delta \}, $$ а $\varphi_{\lambda, r}$ --- $(2\pi/\lambda)$-перiодичний сплайн Ейлера порядку $r.$ Як наслiдок розв'язано ту ж саму екстремальну задачу для промiжних похiдних $x^{(k)},$ $k=1,\ldots,r-1,$ при $q \ge 1.$ Крiм того, доведено нерiвностi рiзних метрик для величин $\|x\|_{p, \delta}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1476 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 786-800 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 786-800 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1476/460 Copyright (c) 2019 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line and the inequalities of various metrics |
| title | Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| title_alt | Задача Боянова – Найденова для дифференцируемых функций на оси
и неравенства разных метрик |
| title_full | Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| title_fullStr | Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| title_full_unstemmed | Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| title_short | Bojanov – Naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| title_sort | bojanov – naidenov problem for the differentiable functions on the real line
and the inequalities of various metrics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1476 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforthedifferentiablefunctionsonthereallineandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforthedifferentiablefunctionsonthereallineandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforthedifferentiablefunctionsonthereallineandtheinequalitiesofvariousmetrics AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâdifferenciruemyhfunkcijnaosiineravenstvaraznyhmetrik AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâdifferenciruemyhfunkcijnaosiineravenstvaraznyhmetrik AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâdifferenciruemyhfunkcijnaosiineravenstvaraznyhmetrik |