Discontinuity points of separately continuous mappings with at most countable set of values
UDC 517.51 We obtain a general result on the constancy of separately continuous mappings and their analogs, which implies the wellknown Sierpi´nski theorem. By using this result, we study the set of continuity points of separately continuous mappings with at most countably many values including, in...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1477 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507258877640704 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Filipchuk, O. I. Маслюченко, В. К. Філіпчук, О. І. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Filipchuk, O. I. Маслюченко, В. К. Філіпчук, О. І. |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:42Z |
| description | UDC 517.51
We obtain a general result on the constancy of separately continuous mappings and their analogs, which implies the wellknown
Sierpi´nski theorem. By using this result, we study the set of continuity points of separately continuous mappings
with at most countably many values including, in particular, the mappings defined on the square of the Sorgenfrey line
with values in the Bing plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. К. Маслюченко, О. I. Фiлiпчук (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПРО РОЗРИВИ НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ
З НЕ БIЛЬШ НIЖ ЗЛIЧЕННОЮ МНОЖИНОЮ ЗНАЧЕНЬ
We obtain a general result on the constancy of separately continuous mappings and their analogs, which implies the well-
known Sierpiński theorem. By using this result, we study the set of continuity points of separately continuous mappings
with at most countably many values including, in particular, the mappings defined on the square of the Sorgenfrey line
with values in the Bing plane.
Отримано загальний результат про сталiсть нарiзно неперервних вiдображень та їхнiх аналогiв, наслiдком якого
є вiдома теорема Серпiнського. З його допомогою вивчено множину точок неперервностi нарiзно неперервних
вiдображень з не бiльш нiж злiченною множиною значень, зокрема вiдображень квадрата прямої Зорґенфрея у
площину Бiнґа.
1. Вступ. У працi [1] було доведено, що нарiзно неперервнi вiдображення f : [0, 1]2 \rightarrow Cp[0, 1]
зi значеннями у просторi Cp[0, 1] усiх неперервних функцiй z : [0, 1] \rightarrow \BbbR iз топологiєю поточ-
кової збiжностi мають залишкову, а отже, i скрiзь щiльну в квадратi [0, 1]2 множину C(f) точок
неперервностi. Разом з тим у [2] наведено приклад нарiзно неперервного вiдображення f0 :
[0, 1]2 \rightarrow Cp[0, 1], у якого множина точок розриву D(f0) = ([0, 1]\times \{ 0\} ) \cup (\{ 0\} \times [0, 1]), тобто
такого вiдображення f0, що не має точок неперервностi на горизонталi y = 0 i вертикалi x = 0.
З iншого боку, з результатiв працi [3] випливає, що для берiвських просторiв X, Y таких,
що Y має не бiльш нiж злiченну псевдобазу, i \sigma -метризовного простору Z у кожного нарiзно
неперервного вiдображення f : X\times Y \rightarrow Z множина C(f) залишкова в добутку X\times Y, а отже,
i скрiзь щiльна в ньому, адже i добуток за даних умов буде берiвським. До того ж, якщо простiр
X берiвський, Y задовольняє першу аксiому злiченностi i Z є сильно \sigma -метризовним, то для
кожного нарiзно неперервного вiдображення f : X \times Y \rightarrow Z i довiльного y \in Y множина
Cy(f) = \{ x \in X : (x, y) \in C(f)\} є залишковою, а отже, i скрiзь щiльною в X.
Тому постало питання: чи iснують такi непорожнi топологiчнi простори X, Y i Z, що
X та Y — берiвськi, Y задовольняє першу аксiому злiченностi i має не бiльш нiж злiченну
псевдобазу, а Z — \sigma -метризовний, i таке нарiзно неперервне вiдображення f : X \times Y \rightarrow Z,
що Cy(f) = \varnothing для деякого y \in Y ?
Приклад iз [2] тут не пiдходить, тому що простiр Cp[0, 1] не є \sigma -метризовним [1]. У працi [4]
вивчалися нарiзно неперервнi вiдображення зi значеннями у площинi Бiнґа \BbbB i було показано,
що \BbbB — \sigma -метризовний i не сильно \sigma -метризовний простiр, а також для будь-яких c-зв’язних
просторiв X i Y кожне нарiзно неперервне вiдображення f : X \times Y \rightarrow \BbbB є сталим. Пряма
Зорґенфрея \BbbL [5, c. 47] — це незв’язний берiвський простiр iз першою аксiомою злiченностi
i злiченною псевдобазою. Так виникла задача про дослiдження множини точок неперервностi
нарiзно неперервних вiдображень f : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB .
В результатi такого дослiдження було встановлено загальнi теореми, з яких випливає, що у
кожного нарiзно неперервного вiдображення f : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB множина Lc(f) точок його локальної
сталостi є вiдкритою i скрiзь щiльною в \BbbL 2 i для кожної точки b \in \BbbL у звуження g = f | E ,
де E = Lc(f) \cup (X \times \{ b\} ), множина Cb(g) = \{ x \in X : (x, b) \in C(g)\} є залишковою i скрiзь
щiльною в \BbbL . Крiм того, ми встановлюємо загальну теорему про сталiсть нарiзно неперервної
c\bigcirc В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. I. ФIЛIПЧУК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6 801
802 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. I. ФIЛIПЧУК
функцiї (теорема 2), з якої, як наслiдок, випливає вiдома теорема Серпiнського [6]. Спорiдненi
результати отримано в [7, 8].
Крiм того, нещодавно було отримано позитивну вiдповiдь на поставлене питання [12],
зокрема побудовано приклад нарiзно неперервного вiдображення f : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB , множина точок
розриву якого — це горизонтальна пряма \BbbL \times \{ b\} . У працi [13] показано, що розривами нарiзно
неперервного вiдображення f : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB може бути i графiк \mathrm{G}\mathrm{r} g будь-якої неперервної функцiї
g : \BbbL \rightarrow \BbbL . Варто зауважити, що точки неперервностi нарiзно неперервних вiдображень зi
значеннями у \sigma -метризовних просторах вивчалися також у статтях Т. Банаха [14, 15], де було
введено клас просторiв Маслюченка, який охоплює клас \sigma -метризовних просторiв.
2. Горизонтальна квазiнеперервнiсть. Нагадаємо, що вiдображення f : X \rightarrow Y мiж топо-
логiчними просторами X i Y називається квазiнеперервним у точцi x0 з X, якщо для кожного
околу V точки f(x0) в Y i кожного околу U точки x0 в X iснує така вiдкрита в X непорожня
множина G, що G \subseteq U i f(G) \subseteq V.
Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори. Вiдображення f : X \times Y \rightarrow Z називається
горизонтально квазiнеперервним у точцi p0 = (x0, y0) \in X \times Y, якщо для кожного околу W
точки f(p0) у просторi Z i для довiльних околiв U i V точок x0 i y0 вiдповiдно у просторах X i
Y iснують вiдкрита в X непорожня множина G i точка b \in V такi, що G \subseteq U i f(G\times \{ b\} ) \subseteq W.
Вiдображення f називається квазiнеперервним чи горизонтально квазiнеперервним, якщо воно
є таким у кожнiй точцi областi визначення.
Нескладно встановити такi властивостi.
Лема 1. Вiдображення f : X \rightarrow Y буде квазiнеперервним тодi i тiльки тодi, коли для
довiльної вiдкритої множини G в X i такої множини A в X, що G \subseteq A, виконується
включення f(G) \subseteq f(A).
Лема 2. Нехай f : X \times Y \rightarrow Z — горизонтально квазiнеперервне вiдображення, G —
вiдкрита множина в X, A — така пiдмножина X, що G \subseteq A, i H — вiдкрита множина в Y.
Тодi
f(G\times H) \subseteq f(A\times H).
На вiдмiну вiд леми 1 властивiсть горизонтальної квазiнеперервностi не випливає з леми 2.
Вiдображення f : X \times Y \rightarrow Z, що мають сформульовану в лемi 2 властивiсть, називаються
слабко горизонтально квазiнеперервними (див. [9] i наведену там бiблiографiю).
Нам буде потрiбне ще одне послаблення квазiнеперервностi. Вiдображення f : X \rightarrow Y
називається ледь неперервним у точцi x0 з X, якщо для кожного околу V точки f(x0) в Y
iснує така вiдкрита непорожня множина G в X, що f(G) \subseteq V, i просто ледь неперервним,
якщо воно є таким у кожнiй точцi з X.
3. Лема Бреккенрiджа – Нiшiури i точки локальної сталостi. Нагадаємо, що пiдмножина
A топологiчного простору X називається нiде не щiльною, якщо для кожної вiдкритої непо-
рожньої множини U в X iснує така вiдкрита непорожня множина V в X, що V \subseteq U i
V \cap A = \varnothing . Множина A =
\infty \bigcup
n=1
An, де множини An нiде не щiльнi в X, називається множиною
першої категорiї в X, а її доповнення — залишковою в X множиною. Множина, яка не є
множиною першої категорiї, називається множиною другої категорiї. Кажуть, що простiр X
є берiвським, якщо в ньому кожна вiдкрита непорожня множина є множиною другої категорiї.
Це рiвносильно тому, що кожна залишкова в X множина скрiзь щiльна в X. Вiдомо, що межi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ПРО РОЗРИВИ НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З НЕ БIЛЬШ НIЖ ЗЛIЧЕННОЮ МНОЖИНОЮ . . . 803
вiдкритої i замкненої множин — це нiде не щiльнi множини. Звiдси легко вивести результат,
який ми називаємо лемою Бреккенрiджа – Нiшiури [10].
Лема 3. Нехай топологiчний простiр X покрито послiдовнiстю замкнених множин Fn i
Gn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Fn. Тодi множина G =
\infty \bigcup
n=1
Gn є вiдкритою i залишковою в X.
Нехай X — топологiчний простiр, Y — множина i x0 належить X. Ми кажемо, що x0 —
точка локальної сталостi вiдображення f : X \rightarrow Y, якщо iснують окiл U точки x0 в X i
елемент y0 \in Y такi, що f(x) = y0 на U. Множину точок локальної сталостi вiдображення f
ми позначатимемо символом Lc(f). Легко перевiрити, що Lc(f) — вiдкрита множина.
Теорема 1. Нехай X — берiвський простiр, Y — T1-простiр, f : X \rightarrow Y — неперервне вi-
дображення i | f(X)| \leq \aleph 0. Тодi множина G = Lc(f) точок локальної сталостi вiдображення
f вiдкрита i скрiзь щiльна в X.
Доведення. Оскiльки | f(X)| \leq \aleph 0, то
f(X) = \{ yn : n \in \BbbN \} .
Розглянемо множини En = f - 1(yn). Оскiльки Y — це T1-простiр, то множини \{ yn\} зам-
кненi в Y, а тодi i множини En замкненi в X, адже f — неперервне вiдображення. Крiм того,
X =
\infty \bigcup
n=1
En. За лемою 3 множина G0 =
\infty \bigcup
n=1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}En вiдкрита i залишкова в X. Але простiр X
є берiвським, тому G0 = X. Легко зрозумiти, що G0 = G. Таким чином, G — вiдкрита скрiзь
щiльна множина в X.
4. Теорема про сталiсть для функцiї двох змiнних. В. Серпiнський [6] довiв, що коли
нарiзно неперервнi функцiї f, g : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR збiгаються на скрiзь щiльнiй множинi, то вони є
рiвними. Цей результат було розвинуто у працях [7, 8]. Коли одна з функцiй є сталою, то
можна встановити значно загальнiший результат.
Нагадаємо, що система \scrB вiдкритих непорожнiх множин у топологiчному просторi Y на-
зивається локальною псевдобазою в точцi y , якщо кожний окiл V точки y в Y мiстить деяку
множину B з системи \scrB .
Теорема 2. Нехай X — берiвський простiр, Y — топологiчний простiр, який у кожнiй
точцi y \in Y має не бiльш нiж злiченну локальну псевдобазу, Z — гаусдорфовий топологiчний
простiр, f : X \times Y \rightarrow Z — слабко горизонтально квазiнеперервне вiдображення, яке ледь
неперервне вiдносно першої i неперервне вiдносно другої змiнної , c \in Z i прообраз f - 1(c)
скрiзь щiльний у добутку X \times Y. Тодi f(p) = c для всiх p \in X \times Y.
Доведення. Розглянемо довiльну точку p0 = (x0, y0) \in X \times Y i доведемо, що z0 = f(p0) =
= c. Нехай це не так, тобто z0 \not = c. Оскiльки простiр Z гаусдорфовий, то iснують вiдкритi
околи W0 точки z0 i W точки c в Z такi, що W0 \cap W = \varnothing .
Оскiльки fy0(x0) = f(p0) = z0 \in W0 i функцiя fy0 : X \rightarrow Z ледь неперервна в точцi x0, то
iснує така вiдкрита непорожня множина U в X, що fy0(U) \subseteq W0.
Нехай \{ Vn : n \in \BbbN \} — локальна псевдобаза в точцi y0 в Y. Для кожного номера n введемо
до розгляду множини An = \{ x \in U : fx(Vn) \subseteq W0\} . З неперервностi вiдображення fx :
Y \rightarrow Z у точцi y0 випливає, що
\infty \bigcup
n=1
An = U. Оскiльки простiр X є берiвським, то вiдкрита
непорожня множина U в ньому буде множиною другої категорiї. Тому iснує такий номер n,
що множина An буде десь щiльною, тобто для неї Un = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}An \not = \varnothing . Розглянемо вiдкриту в X
множину G = U \cap Un. З одного боку, G \subseteq U, а з iншого — G \subseteq Un \subseteq An. Оскiльки множина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
804 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. I. ФIЛIПЧУК
Un вiдкрита, то Un \subseteq Un \cap An, тому i A = Un \cap An \not = \varnothing . Але An \subseteq U, тому A \subseteq Un \cap U = G.
Крiм того, A \supseteq Un \supseteq G, отже, A \subseteq G \subseteq A, зокрема, i G \not = \varnothing , адже A \not = \varnothing .
Покладемо H = Vn. Оскiльки A \subseteq An, то fx(H) \subseteq W0 для кожного x \in A, отже,
f(A\times H) \subseteq W0 \subseteq Z \setminus W.
Зi слабкої горизонтальної квазiнеперервностi функцiї f отримуємо, що
f(G\times H) \subseteq f(A\times H) \subseteq Z \setminus W = Z \setminus W,
тобто f(G \times H) \cap W = \varnothing . Але за умовою f - 1(c) = X \times Y, а G \times H — вiдкрита непорожня
множина в X \times Y. Тому f - 1(c) \cap (G \times H) \not = \varnothing , тобто iснує точка (a, b) \in G \times H така, що
f(a, b) = c. Але c \in W, отже, i c = f(a, b) \in f(G\times H). Таким чином, W \cap f(G\times H) \not = \varnothing , що
приводить до суперечностi.
Наслiдок 1. Нехай X — берiвський простiр, Y — топологiчний простiр, що має не бiльш
нiж злiченну локальну псевдобазу в кожнiй точцi, E — скрiзь щiльна множина в добутку X\times Y,
g, h : X \times Y \rightarrow \BbbR — нарiзно неперервнi функцiї , для яких g| E = h| E . Тодi g = h.
Доведення. Функцiя f = g - h : X \times Y \rightarrow \BbbR є нарiзно неперервною i для неї f - 1(0) \supseteq E,
отже, f - 1(0) — скрiзь щiльна пiдмножина X\times Y. Тому за теоремою 2 отримуємо, що f(p) = 0
для кожного p \in X \times Y. Отже, g(p) = h(p) на X \times Y.
Зрозумiло, що цей результат узагальнює теорему Серпiнського.
Застосовуючи методи доведення теореми 2, можна довести i теорему В. Михайлюка [8] для
нарiзно неперервних вiдображень, у якiй простiр значень Z повинен бути урисоновим.
5. Множина точок локальної сталостi злiченнозначного нарiзно неперервного вiдобра-
ження. З теореми 2 випливає такий результат.
Теорема 3. Нехай X — берiвський простiр, Y — топологiчний простiр, що задовольняє
першу аксiому злiченностi, Z — гаусдорфовий топологiчний простiр, f : X\times Y \rightarrow Z — нарiзно
неперервне вiдображення, таке, що | f(X \times Y )| \leq \aleph 0 . Тодi множина Lc(f) точок локальної
сталостi вiдображення f є вiдкритою, залишковою у добутку P = X \times Y i скрiзь щiльною в
P, якщо добуток P берiвський.
Доведення. За умовою iснує така послiдовнiсть точок zn у Z, що f(X \times Y ) = \{ zn : n \in \BbbN \} .
Розглянемо множини En = f - 1(zn) для кожного номера n. Зрозумiло, що P =
\infty \bigcup
n=1
En. Нехай
Fn = En i Gn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Fn. Оскiльки множини Fn замкненi в P i P =
\infty \bigcup
n=1
Fn, то за лемою 3
вiдкрита множина G =
\infty \bigcup
n=1
Gn є залишковою в P.
Покажемо, що f(p) = zn на множинi Gn. Оскiльки множина Gn вiдкрита i Gn \subseteq En = Fn,
то для множини An = Gn \cap En будемо мати, що An \subseteq Gn \subseteq An. З означення множини An
випливає, що f(p) = zn на An. Розглянемо довiльну точку p0 = (x0, y0) \in Gn i доведемо, що
f(p0) = zn. З вiдкритостi множини Gn у добутку P випливає, що iснують такi вiдкритi околи
U i V точок x0 i y0 у просторах X i Y вiдповiдно, що U \times V \subseteq Gn. Звуження g = f | U\times V —
це нарiзно неперервне вiдображення g : U \times V \rightarrow Z, множина A = An \cap (U \times V ) мiститься
в добутку U \times V i U \times V \subseteq A, адже U \times V \subseteq An i множина U \times V вiдкрита в P. Тому
множина A скрiзь щiльна у добутку U \times V, що є пiдпростором добутку P. Оскiльки U, як
вiдкритий пiдпростiр берiвського простору X, є берiвським, а V, як пiдпростiр простору Y з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ПРО РОЗРИВИ НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З НЕ БIЛЬШ НIЖ ЗЛIЧЕННОЮ МНОЖИНОЮ . . . 805
першою аксiомою злiченностi, задовольняє першу аксiому злiченностi, то для вiдображення g :
U \times V \rightarrow Z виконуються всi умови теореми 2. Тому f(p) = g(p) = zn на U \times V, зокрема
f(p0) = zn. Таким чином, f(p) = zn на Gn i тому f є сталою на Gn. Оскiльки множина Gn
вiдкрита, то Gn \subseteq Lc(f), а отже, i G \subseteq Lc(f). Звiдси випливає, що i множина Lc(f) буде
залишковою в P разом iз множиною G.
У випадку беровостi добутку P множина Lc(f) скрiзь щiльна в P, адже кожна залишкова
множина в берiвському просторi є щiльною в ньому.
6. Поведiнка на горизонталях. Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори, f : X\times Y \rightarrow Z —
вiдображення, b \in Y, E = Lc(f) \cup (X \times \{ b\} ) i g = f | E . Результати цього пункту будуть
стосуватися величини множини
Cb(g) = \{ x \in X : (x, b) \in C(g)\} .
Теорема 4. Нехай X — довiльний топологiчний простiр, Y i Z — топологiчнi простори
з першою аксiомою злiченностi, f : X \times Y \rightarrow Z — нарiзно неперервне вiдображення, b \in Y,
c \in Z, fb(x) = c на X. Тодi множина Cb(g) залишкова в X i скрiзь щiльна в X, якщо простiр
X є берiвським.
Доведення. Нехай \scrV n = \{ Vn : n \in \BbbN \} — база вiдкритих околiв точки b у просторi Y i
\scrW n = \{ Wn : n \in \BbbN \} — база околiв точки c у просторi Z. Розглянемо множини
An,m = \{ x \in X : fx(Vn) \subseteq Wm\}
i Fn,m = An,m. Iз неперервностi x-розрiзiв fx : Y \rightarrow Z у точцi b випливає, що
\infty \bigcup
n=1
An,m =
\infty \bigcup
n=1
Fn,m = X
для кожного m. Нехай Gn,m = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Fn,m. За лемою 3 множина Gm =
\infty \bigcup
n=1
Gn,m є вiдкритою i
залишковою в X для кожного m. Тодi й множина E0 =
\infty \bigcap
m=1
Gm теж буде залишковою в X.
Доведемо, що E0 \subseteq Cb(g). Нехай x0 \in E0 i p0 = (x0, b). Покажемо, що p0 \in C(g).
Розглянемо довiльний окiл W точки c = f(p0) у просторi Z i знайдемо такий номер m, що
Wm \subseteq W. Оскiльки x0 \in E0, то x0 \in Gm. Тому iснує такий номер n, що x0 \in Gn,m. Покладемо
A = Gn,m \cap An,m. Нескладно перевiрити, що A \subseteq Gn,m \subseteq A. Для кожного x \in A виконується
включення fx(Vn) \subseteq Wm. Покладемо U = Gn,m i V = Vn. Множина U — це вiдкритий окiл
точки x0 в X, V — вiдкритий окiл точки b в Y, при цьому A \subseteq U \subseteq A i f(A \times V ) \subseteq W.
Множина U \times V — це окiл точки p0 в X \times Y. Покажемо, що f((U \times V ) \cap E) \subseteq W. Нехай
p = (x, y) \in (U \times V )\cap E. З’ясуємо, що f(p) \in W. Якщо p \in X \times \{ b\} , то f(p) = c \in W. Нехай
p \in Lc(f). Тодi f є локально сталою у точцi p, а отже, iснують такi околи \widetilde U точки x в X
та \widetilde V точки y в Y i точка \widetilde c \in Z, що f(p) = \widetilde c на \widetilde U \times \widetilde V . Оскiльки x \in U, y \in V i множини
U та V вiдкритi у просторах X i Y вiдповiдно, то U \cap \widetilde U i V \cap \widetilde V — це околи точок x i y
у просторах X i Y вiдповiдно. За побудовою U \subseteq A. Тому iснує точка u \in A \cap U \cap \widetilde U. Але
fu(V ) \subseteq Wm \subseteq W, тому, зокрема, f(u, y) \in W. Оскiльки (u, y) \in \widetilde U \times \widetilde V , а на \widetilde U \times \widetilde V функцiя
f є сталою, то f(p) = f(x, y) = f(u, y) \in W, що i дає потрiбне включення. Воно означає, що
p0 \in C(g), а отже, x0 \in Cb(g).
Таким чином, E0 \subseteq Cb(g), отже, множина Cb(g) буде залишковою в X, а отже, скрiзь
щiльною в X, якщо простiр X є берiвським.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
806 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. I. ФIЛIПЧУК
Теорема 5. Нехай X — топологiчний простiр, Y i Z — топологiчнi простори з першою
аксiомою злiченностi, причому Z — це T1-простiр, b \in Y, f : X\times Y \rightarrow Z — нарiзно неперервне
вiдображення, у якого | fb(X)| \leq \aleph 0. Тодi множина Cb(g) залишкова в X i скрiзь щiльна в X,
якщо простiр X є берiвським.
Доведення. Нехай fb(X) = \{ zn : n \in \BbbN \} , Fn = f - 1
b (zn) i Gn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}Fn. Множини Fn
замкненi в X, тому що функцiя fb : X \rightarrow Z неперервна i одноточковi множини \{ zn\} замкненi
в Z. За лемою 3 вiдкрита множина G =
\infty \bigcup
n=1
Gn є залишковою в X. Крiм того, fb(x) = zn на
Gn, адже Gn \subseteq Fn.
Для кожного номера n розглянемо добуток Pn = Gn\times Y i звуження fn = f | Pn . З вiдкритостi
множин Gn у X безпосередньо випливає, що i множини Pn вiдкритi в добутку P = X \times Y,
отже,
Lc(fn) = Lc(f) \cap Pn
для кожного n. Покладемо
En = Lc(fn) \cup (Gn \times \{ b\} ) i gn = fn| En .
Тодi
E \cap Pn = (Lc(f) \cup (X \times \{ b\} )) \cap Pn =
= (Lc(f) \cap Pn) \cup ((X \times \{ b\} ) \cap Pn) = Lc(fn) \cup (Gn \times \{ b\} ) = En,
отже, множина En є вiдкритою у пiдпросторi E. Крiм того, gn = fn| En = f | En , адже fn = f | Pn ,
En \subseteq Pn i g| En = f | En , бо g = f | E i En \subseteq E. Тому gn = g| En .
Оскiльки множина En є вiдкритою в E, то C(gn) \subseteq C(g), а отже, i
Cb(gn) = \mathrm{p}\mathrm{r}X
\bigl(
C(gn) \cap (Gn \times \{ b\} )
\bigr)
\subseteq \mathrm{p}\mathrm{r}X
\bigl(
C(g) \cap (Gn \times \{ b\} )
\bigr)
= Cb(g)
для кожного n. Тому
\infty \bigcup
n=1
Cb(gn) \subseteq Cb(g).
Оскiльки fn,b(x) = f(x, b) = fb(x) = zn на Gn, то за теоремою 4 множина Cb(gn) є залишковою
в Gn, тобто рiзниця An = Gn \setminus Cb(gn) буде множиною першої категорiї в Gn, а отже i в X,
для кожного n. Крiм того, за побудовою i доповнення A0 = X \setminus G є першої категорiї в X. Але
X \setminus Cb(g) \subseteq X \setminus
\infty \bigcup
n=1
Cb(gn) = (X \setminus G) \cup
\Biggl(
G \setminus
\infty \bigcup
n=1
Cb(gn)
\Biggr)
=
= A0 \cup
\Biggl( \infty \bigcup
n=1
Gn \setminus
\infty \bigcup
n=1
Cb(gn)
\Biggr)
\subseteq A0 \cup
\infty \bigcup
n=1
An =
\infty \bigcup
n=0
An.
Об’єднання
\infty \bigcup
n=0
An є множиною першої категорiї в X, тому i доповнення X \setminus Cb(g) — це
множина першої категорiї в X, а отже, Cb(g) — залишкова множина в X, яка буде i скрiзь
щiльною, якщо простiр X є берiвським.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ПРО РОЗРИВИ НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З НЕ БIЛЬШ НIЖ ЗЛIЧЕННОЮ МНОЖИНОЮ . . . 807
7. Про вiдображення \bfitf : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB . Символом \BbbL ми позначаємо пряму Зорґенфрея [5, c. 47],
тобто множину \BbbR дiйсних чисел, надiлену топологiєю, в якiй базу околiв точки x утворюють
промiжки [x, x + \varepsilon ), де \varepsilon > 0. Вiдомо, що пряма Зорґенфрея, як i числова пряма \BbbR , — це
сепарабельнi берiвськi простори з першою аксiомою злiченностi, тiльки \BbbR задовольняє i другу
аксiому злiченностi, а \BbbL — нi, вага простору \BbbL континуальна, тому простiр \BbbL не метризовний.
Крiм того, на вiдмiну вiд числової прямої, яка є зв’язним простором, компонентами зв’язностi
прямої Зорґенфрея є одноточковi множини.
Площиною Бiнґа ми називаємо топологiчний простiр \BbbB = \BbbQ \times \BbbQ +, де \BbbQ — множина
рацiональних чисел, а \BbbQ + = \{ y \in \BbbQ : y \geq 0\} , у якому базу околiв точки p = (x, 0) утворюють
множини W\varepsilon (p) =
\bigl\{
(u, 0) : u \in \BbbQ , x - \varepsilon < u < x+\varepsilon
\bigr\}
, де \varepsilon > 0, а базу околiв точки p = (x, y),
y > 0, — множини \{ p\} \cup W\varepsilon (p1) \cup W\varepsilon (p2), де p1 i p2 — точки прямої \BbbR \times \{ 0\} , такi, що
трикутник p1pp2 є рiвностороннiм (див. [5, c. 518; 11]). Вiдомо, що \BbbB — це злiченний зв’язний
гаусдорфовий i нерегулярний простiр.
З теорем 3 i 5 випливає така теорема.
Теорема 6. У кожного нарiзно неперервного вiдображення f : \BbbL 2 \rightarrow \BbbB множина Lc(f)
точок його локальної сталостi вiдкрита i скрiзь щiльна в \BbbL 2 i для кожної точки b \in \BbbL у
звуження g = f | E , де E = Lc(f) \cup (X \times \{ b\} ), множина Cb(g) залишкова i скрiзь щiльна в \BbbL .
Лiтература
1. Маслюченко В. К., Мироник О. Д. Нарiзно неперервнi вiдображення i вичерпнi простори // Мат. вiсн. НТШ. –
2010. – 7. – С. 98 – 110.
2. Маслюченко В. К., Мироник О. Д. Сукупна неперервнiсть вiдображень зi значеннями у рiзних узагальненнях
метризовних просторiв // Всеукр. наук. конф. „Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”
(Ворохта, 20 – 26 лютого 2012 р.): Тези доп. – Iвано-Франкiвськ, 2012. – С. 5 – 6.
3. Маслюченко В. К., Михайлюк В. В., Шишина О. I. Сукупна неперервнiсть горизонтально квазiнеперервних
вiдображень зi значеннями в \sigma -метризовних просторах // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2002. – 45, № 1. –
С. 42 – 46.
4. Карлова О. О., Маслюченко В. К., Мироник О. Д. Площина Бiнґа i нарiзно неперервнi вiдображення // Мат.
студ. – 2012. – 38, № 2. – С. 188 – 193.
5. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.
6. Sierpiński W. Sur une propriété de fonctions de deux variables réelles, continues par rapport à chacune de variables
// Publ. Math. Univ. Belgrade. – 1932. – 1. – P. 125 – 128.
7. Piotrowski Z., Wingler E. Y. On Sierpiński’s theorem on the determination of separately continuous functions //
Questions and Answers Gen. Topology. – 1997. – 15. – P. 15 – 19.
8. Михайлюк В. В. Топологiя нарiзної неперервностi та одне узагальнення теореми Серпiнського // Мат. студ. –
2000. – 14, № 2. – С. 193 – 196.
9. Нестеренко В. В. Слабка горизонтальна квазiнеперервнiсть // Мат. вiсн. НТШ. – 2008. – 5. – С. 177 – 182.
10. Breckenridge J. C., Nishiura T. Partial continuity, quasicontinuity and Baire spaces // Bull. Inst. Math. Acad. Sin. –
1976. – 4, № 2. – P. 191 – 203.
11. Bing R. H. A connected countable Hausdorff space // Proc. Amer. Math. Soc. – 1953. – 4. – P. 474.
12. Банах T. О., Маслюченко В. К., Фiлiпчук О. I. Приклади нарiзно неперервних вiдображень з суцiльними
розривами на горизонталях // Мат. вiсн. НТШ. – 2017. – 14. – C. 52 – 63.
13. Маслюченко В. К., Фiлiпчук О. I. Про розриви нарiзно неперервних функцiй на кривих у площинi Зорґенфрея //
Буков. мат. журн. – 2018. – 6, № 1-2. – С. 86 – 89.
14. Banakh T. Quasicontinuous and separately continuous functions with values in Maslyuchenko spaces // Topology and
Appl. – 2017. – 230. – P. 353 – 372.
15. Banakh T. Continuity points of separately continuous functions with values in \aleph 0 -spaces // Мат. вiсн. НТШ. –
2017. – 14. – C. 29 – 35.
Одержано 21.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1477 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/3b08abf5263dd8d3e6cea6cc911c74d7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14772019-12-05T08:56:42Z Discontinuity points of separately continuous mappings with at most countable set of values Про розриви нарізно неперервних відображень з не більш ніж зліченною множиною значень Maslyuchenko, V. K. Filipchuk, O. I. Маслюченко, В. К. Філіпчук, О. І. UDC 517.51 We obtain a general result on the constancy of separately continuous mappings and their analogs, which implies the wellknown Sierpi´nski theorem. By using this result, we study the set of continuity points of separately continuous mappings with at most countably many values including, in particular, the mappings defined on the square of the Sorgenfrey line with values in the Bing plane. УДК 517.51 Отримано загальний результат про сталiсть нарiзно неперервних вiдображень та їхнiх аналогiв, наслiдком якого є вiдома теорема Серпiнського. З його допомогою вивчено множину точок неперервностi нарiзно неперервних вiдображень з не бiльш нiж злiченною множиною значень, зокрема вiдображень квадрата прямої Зорґенфрея у площину Бiнґа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1477 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 801-807 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 801-807 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1477/461 Copyright (c) 2019 Maslyuchenko V. K.; Filipchuk O. I. |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Filipchuk, O. I. Маслюченко, В. К. Філіпчук, О. І. Discontinuity points of separately continuous mappings with at most countable set of values |
| title | Discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| title_alt | Про розриви нарізно неперервних відображень з не більш
ніж зліченною множиною значень |
| title_full | Discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| title_fullStr | Discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| title_full_unstemmed | Discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| title_short | Discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| title_sort | discontinuity points of separately continuous mappings
with at most countable set of values |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1477 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk discontinuitypointsofseparatelycontinuousmappingswithatmostcountablesetofvalues AT filipchukoi discontinuitypointsofseparatelycontinuousmappingswithatmostcountablesetofvalues AT maslûčenkovk discontinuitypointsofseparatelycontinuousmappingswithatmostcountablesetofvalues AT fílípčukoí discontinuitypointsofseparatelycontinuousmappingswithatmostcountablesetofvalues AT maslyuchenkovk prorozrivinaríznoneperervnihvídobraženʹznebílʹšnížzlíčennoûmnožinoûznačenʹ AT filipchukoi prorozrivinaríznoneperervnihvídobraženʹznebílʹšnížzlíčennoûmnožinoûznačenʹ AT maslûčenkovk prorozrivinaríznoneperervnihvídobraženʹznebílʹšnížzlíčennoûmnožinoûznačenʹ AT fílípčukoí prorozrivinaríznoneperervnihvídobraženʹznebílʹšnížzlíčennoûmnožinoûznačenʹ |