Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II
UDC 517.9 The differential-geometric and topological structures related to the Delsarte transmutation operators and the Gelfand – Levitan – Marchenko equations that describe these operators are studied by using sutable differential de Rham – Hodge – Skrypnik complexes. The correspondence between...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1478 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507262451187712 |
|---|---|
| author | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Blackmore, D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:56:42Z |
| description | UDC 517.9
The differential-geometric and topological structures related to the Delsarte transmutation operators and the Gelfand – Levitan – Marchenko equations that describe these operators are studied by using sutable differential de Rham – Hodge – Skrypnik complexes.
The correspondence between the spectral theory and special Berezansky-type congruence properties of the Delsarte transmutation operators is established. Some applications to multidimensional differential operators are presented, including the three-dimensional Laplace operator, the two-dimensional classical Dirac operator, and its multidimensional affine extension associated with self-dual Yang – Mills equations.
Soliton solutions of a certain class of dynamical systems are discussed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
Я. А. Прикарпатський (Iн-т математики НАН України, Київ; Ун-т сiл. госп-ва у Краковi, Польща),
Д. Блекмор (Технол. iн-т Нью-Джерсi, США),
А. К. Прикарпатський (Технол. ун-т iм. Т. Костюшка, Кракiв, Польща)
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ
ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II
The differential-geometric and topological structures related to the Delsarte transmutation operators and the Gelfand –
Levitan – Marchenko equations that describe these operators are studied by using sutable differential de Rham – Hodge –
Skrypnik complexes. The correspondence between the spectral theory and special Berezansky-type congruence properties
of the Delsarte transmutation operators is established. Some applications to multidimensional differential operators are
presented, including the three-dimensional Laplace operator, the two-dimensional classical Dirac operator, and its multidi-
mensional affine extension associated with self-dual Yang – Mills equations. Soliton solutions of a certain class of dynamical
systems are discussed.
Вивчаються диференцiально-геометричнi та топологiчнi структури операторiв трансмутацiї Дельсарта й асоцiйованi
з ними рiвняння типу Гельфанда – Левiтана – Марченка за допомогою диференцiальних комплексiв де Рама – Ходжа –
Скрипника. Встановлено вiдповiдностi мiж спектральною теорiєю та спецiальними конгруентними властивостями
типу Березанського трансмутованих операторiв Дельсарта. Наведено деякi застосування до багатовимiрних ди-
ференцiальних операторiв, включаючи тривимiрний оператор Лапласа, двовимiрний класичний оператор Дiрака i
його багатовимiрне афiнне розширення, пов’язане з самоспряженими рiвняннями Янга – Мiллса. Обговорюються
солiтоннi розв’язки певного класу асоцiйованих динамiчних систем.
1. Деякi аспекти узагальненої теорiї де Рама – Ходжа i асоцiйованi з нею бiнарнi транс-
формацiї типу Дельсарта – Дарбу. Диференцiально-геометричний аналiз трансформацiй типу
Дельсарта – Дарбу був проведений у пунктi 3 [52] для диференцiальних операторних виразiв,
що дiють у функцiональному просторi \scrH = L2(\mathrm{T};H), де \mathrm{T} = \BbbR 2 i H := L2(\BbbR 2;\BbbC 2). Цi
трансформацiї, як виявилось, мають глибокий зв’язок iз класичною теорiєю де Рама – Ходжа
[57, 59 – 62, 64], побудованою в серединi минулого столiття для комплексiв диференцiаль-
них операторiв, визначених у загальному випадку на розшаруваннях до гладких компактних
m-вимiрних многовидiв. Перш нiж розглядати проблему опису диференцiально-геометричної i
спектральної структури операторiв трансмутацiй типу Дельсарта – Дарбу, дiючих в \scrH , спочатку
зупинимося на основних положеннях узагальненої теорiї де Рама – Ходжа, розвиненої Я. Б. Ло-
патинським та I. В. Скрипником [31, 32, 59 – 62] для вивчення спецiальних диференцiальних
комплексiв. Розглянемо гладкий метричний простiр M, що є вiдповiдним чином компактифi-
кованою формою простору \BbbR m, m \in \BbbZ +. Тодi можна визначити на MT := \mathrm{T}\times M стандартну
алгебру Грассмана \Lambda (MT;\scrH ) диференцiальних форм на \mathrm{T}\times M i розглянути узагальнений зов-
нiшнiй антидиференцiальний оператор d\scrL : \Lambda (MT;\scrH ) \rightarrow \Lambda (MT;\scrH ), який дiє таким чином:
для будь-яких \beta (k) \in \Lambda k(MT;\scrH ), k = 1,m,
d\scrL \beta
(k) :=
2\sum
j=1
dtj \wedge \mathrm{L}j(t;x | \partial )\beta (k) \in \Lambda k+1(MT;\scrH ), (1.1)
де
\mathrm{L}j(t;x | \partial ) := \partial
\partial tj
- Lj(t;x | \partial ) (1.2)
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2019
808 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 809
для всiх j = 1, 2, — це вiдповiдно визначенi лiнiйнi диференцiальнi оператори в \scrH , що кому-
тують один з одним, тобто
[\mathrm{L}1,\mathrm{L}2] = 0.
Ми покладемо в загальному, що диференцiальнi вирази
Lj(t;x | \partial ) :=
nj(L)\sum
| \alpha | =0
a(j)\alpha (t;x)
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
(1.3)
з коефiцiєнтами a
(j)
\alpha \in C1
\bigl(
\mathrm{T};C\infty (M ; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N )
\bigr)
, | \alpha | = 0, nj(L), n
\alpha
j \in \BbbZ +, j = 0, 1, є деякими
замкненими нормальними щiльно визначеними операторами у просторi Гiльберта H для будь-
яких t \in \mathrm{T}. Легко зауважити, що антидиференцiювання d\scrL , визначене в (1.1), є узагальненням
звичайного зовнiшнього антидиференцiювання
d =
m\sum
j=1
dxj \wedge
\partial
\partial xj
+
2\sum
s=1
dts \wedge
\partial
\partial ts
, (1.4)
для якого, очевидно, мають мiсце комутацiйнi спiввiдношення\biggl[
\partial
\partial xj
,
\partial
\partial xk
\biggr]
= 0,
\biggl[
\partial
\partial ts
,
\partial
\partial tl
\biggr]
= 0,
\biggl[
\partial
\partial xj
,
\partial
\partial ts
\biggr]
= 0
для всiх j, k = 1,m i s, l = 1, 2. Пiдставляючи в (1.4) \partial /\partial xj - \rightarrow \mathrm{A}j , \partial /\partial ts - \rightarrow \mathrm{L}s, j = 1,m,
s = 1, 2, отримуємо антидиференцiювання
d\scrA :=
m\sum
j=1
dxj \wedge \mathrm{A}j(t;x | \partial ) +
2\sum
j=1
dts \wedge \mathrm{L}s(t;x | \partial ), (1.5)
де диференцiальнi вирази \mathrm{A}j ,\mathrm{L}S : \scrH - \rightarrow \scrH для всiх j, k = 1,m i s, l = 1, 2, задовольняють ко-
мутацiйнi спiввiдношення [\mathrm{A}j ,\mathrm{A}k] = 0, [\mathrm{L}s,\mathrm{L}s] = 0, [\mathrm{A}j ,\mathrm{L}s] = 0. Тодi операцiя (1.5) визначає
на \Lambda (MT;\scrH ) антидиференцiювання, по вiдношенню до якого коланцюговий комплекс
\scrH - \rightarrow \Lambda 0(MT;\scrH )
d\scrA - \rightarrow \Lambda 1(MT;\scrH )
d\scrA - \rightarrow . . .
d\scrA - \rightarrow \Lambda m+2(MT;\scrH )
d\scrA - \rightarrow 0 (1.6)
є, очевидно, замкненим, тобто d\scrA d\scrA \equiv 0. Оскiльки антидиференцiювання (1.1) є частковим
випадком (1.5), то вiдповiдний до нього коланцюговий комплекс (1.6) також є замкненим.
Нижче ми скористаємось iдеями, розвиненими в [57, 59 – 62]. Диференцiальну форму \beta \in
\in \Lambda (MT;\scrH ) назвемо d\scrA -замкненою, якщо d\scrA \beta = 0; форму \gamma \in \Lambda (MT;\scrH ) назвемо точною
або d\scrA -гомологiчною до нуля, якщо iснує на MT така форма \omega \in \Lambda (MT;\scrH ), що \gamma = d\scrA \omega .
Розглянемо тепер стандартну [12, 57, 64, 65] алгебраїчну \ast -операцiю Ходжа
\ast : \Lambda k(MT;\scrH ) - \rightarrow \Lambda m+2 - k(MT;\scrH ), k = 0,m+ 2,
у такому виглядi: якщо \beta \in \Lambda k(MT;\scrH ), то форма \ast \beta \in \Lambda m+2 - k(MT;\scrH ) є такою, що:
(m - k + 2)-вимiрний об’єм | \ast \beta | форми \ast \beta дорiвнює k-вимiрному об’єму | \beta | форми \beta ;
(m+ 2)-вимiрна мiра \=\beta \intercal \wedge \ast \beta > 0 щодо фiксованої орiєнтацiї на MT .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
810 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Визначимо також на просторi \Lambda (MT;\scrH ) такий природний скалярний добуток: для будь-
яких \beta , \gamma \in \Lambda k(MT;\scrH ), k = 0,m,
(\beta , \gamma ) :=
\int
MT
\=\beta \intercal \ast \gamma . (1.7)
Маючи скалярний добуток (1.7), можна природним чином побудувати гiльбертiв простiр
\scrH \Lambda (MT) :=
m+2
\oplus
k=0
\scrH k
\Lambda (MT),
який буде потрiбен для подальшого розгляду. Зазначимо, що \ast -операцiя Ходжа задовольняє
властивiсть, яку легко перевiрити: для будь-яких \beta , \gamma \in \scrH k
\Lambda (MT), k = 0,m,
(\beta , \gamma ) = (\ast \beta , \ast \gamma ),
тобто операцiя Ходжа \ast : \scrH \Lambda (MT) \rightarrow \scrH \Lambda (MT) є унiтарною i її стандартна спряжена операцiя
по вiдношенню до скалярного добутку (1.7) задовольняє умову (\ast )\prime = (\ast ) - 1.
Позначимо через d
\prime
\scrL формально спряжений вираз до слабкої диференцiальної операцiї (1.1).
З допомогою операцiй d\prime \scrL i d\scrL в \scrH \Lambda (MT) можна природним чином визначити [12, 57, 59, 64, 65]
узагальнений оператор Лапласа – Ходжа \Delta \scrL : \scrH 1(MT) - \rightarrow \scrH 1(MT) як
\Delta \scrL = d\prime \scrL d\scrL + d\prime \scrL d\scrL . (1.8)
Вiзьмемо форму \beta \in \scrH \Lambda (MT), що задовольняє рiвнiсть
\Delta \scrL \beta = 0. (1.9)
Таку форму називають [12, 57, 59, 65] гармонiчною. Можна перевiрити, що гармонiчна форма
\beta \in \scrH \Lambda (MT) задовольняє двi спряженi умови
d\prime \scrL \beta = 0, d\scrL \beta = 0,
що легко випливають з (1.8) i (1.9).
Легко перевiрити, що диференцiальнi оператори в \scrH \Lambda (MT)
d\ast \scrL := \ast d\prime \scrL (\ast ) - 1 (1.10)
визначають також нову зовнiшню операцiю антидиференцiювання в \scrH \Lambda (MT).
Лема 1.1. Вiдповiдний дуальний до (1.6) коланцюговий комплекс
\scrH - \rightarrow \Lambda 0(MT;\scrH )
d\ast \scrL - \rightarrow \Lambda 1(MT;\scrH )
d\ast \scrL - \rightarrow . . .
d\ast \scrL - \rightarrow \Lambda m+2(MT;\scrH )
d\ast \scrL - \rightarrow 0
є точним.
Доведення випливає завдяки властивостi замкненостi d\ast \scrL d
\ast
\scrL = 0, що справджується згiдно
з визначенням (1.10).
Позначимо через \scrH k
\Lambda (\scrL )(MT), k = 0,m+ 2, групи когомологiй d\scrL -замкненої, через
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast )(MT), k = 0,m+ 2, k = 0,m+ 2, групи когомологiй d\ast \scrL -замкнених диференцiальних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 811
форм вiдповiдно, а через \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL )(MT), k = 0,m+ 2, абелевi групи гармонiчних диференцi-
альних форм iз гiльбертових пiдпросторiв \scrH k
\Lambda (MT), k = 0,m+ 2.
Перш нiж формулювати наступнi результати, визначимо стандартнi оснащенi ланцюгами
Гiльберта – Шмiдта [3, 4] позитивний i негативний гiльбертовi простори диференцiальних форм
\scrH k
\Lambda ,+(MT) \subset \scrH k
\Lambda (MT) \subset \scrH k
\Lambda , - (MT),
вiдповiднi оснащенi ланцюги гармонiчних форм
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ),+(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL )(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ), - (MT)
i ланцюги груп когомологiй
\scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL )(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (MT),
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast ),+(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast )(MT) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT)
(1.11)
для всiх k = 0,m+ 2. Припустимо також, що оператор Лапласа – Ходжа (1.8) є редукованим на
простiр \scrH 0
\Lambda (M). Тепер, використовуючи обґрунтування, як в [12, 57, 65], можна сформулювати
таке узагальнення [57, 60 – 62] теореми де Рама – Ходжа.
Теорема 1.1. Група гармонiчних форм \scrH k
\Lambda ,+(MT), k = 0,m+ 2, є вiдповiдно iзоморфною
до груп когомологiй
\bigl(
Hk(MT;\BbbC )
\bigr) | \Sigma |
, k = 0,m+ 2, де Hk(MT;\BbbC ) — k-та когомологiчна група
многовиду MT з комплексними коефiцiєнтами, \Sigma \subset \BbbC p, p \in \BbbZ +, — множина вiдповiдних
„спектральних” параметрiв, що визначають лiнiйний простiр незалежних d\ast \scrL -замкнених 0-
форм з \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (MT), i, бiльше того, розклади на прямi суми
\scrH k
\Lambda ,+(MT) = \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ),+(MT)\oplus \Delta \scrL \scrH k
\Lambda ,+(MT) =
= \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ),+(MT)\oplus d\scrL \scrH k - 1
\Lambda ,+(MT)\oplus d\prime \scrL \scrH k+1
\Lambda ,+(MT)
справедливi для будь-яких k = 0,m+ 2.
Iнший варiант твердження, подiбного до наведеного вище, був сформульований у [59, 60] i
є наступним узагальненням теореми де Рама – Ходжа.
Теорема 1.2. Узагальненi групи когомологiй \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT), k = 0,m+ 2, iзоморфнi вiдпо-
вiдно до груп когомологiй (Hk(MT;\BbbC ))| \Sigma | , k = 0,m+ 2.
Доведення ґрунтується на деяких спецiальних наслiдках тотожностей типу Лагранжа.
Визначимо замкнений пiдпростiр
\scrH \ast
0 :=
\bigl\{
\varphi (0)(\eta ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) : d\ast \scrL \varphi
(0)(\eta ) = 0, \varphi (0)(\eta )| \Gamma , \eta \in \Sigma
\bigr\}
для деякої гладкої (m + 1)-вимiрної гiперповерхнi \Gamma \subset MT i \Sigma \subset (\sigma (L) \cap \=\sigma (L)) \times \Sigma \sigma \subset \BbbC p,
де \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) — як i вище, вiдповiдно оснащена за Гельфандом [3, 4] група когомологiй
Гiльберта – Шмiдта нульового порядку гiльбертового простору з коланцюгом, що заданий за
допомогою виразу (1.11), \sigma (L) i \sigma (L\ast ) — вiдповiдно взаємнi узагальненi спектри множин дифе-
ренцiальних операторiв L i L\ast в H при t = 0 \in \mathrm{T}. Таким чином, вимiр \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrH \ast
0 = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\Sigma := | \Sigma |
вважається вiдомим. Наступна лема була вперше сформульована I. В. Скрипником [59, 60] i
має фундаментальне значення для доведення теореми 1.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
812 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Лема 1.2. Iснують множина диференцiальних (k + 1)-форм Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in
\in \Lambda k+1(MT;\BbbC ), k = 0,m+ 2, i множина k-форм Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr]
\in \Lambda k(MT;\BbbC ), k =
= 0,m+ 2, параметризованих множиною \Sigma \ni \eta , що є напiвлiнiйними щодо
\bigl(
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr)
\in
\in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda ,+(MT) i такими, що
Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
= dZk
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr]
(1.12)
для всiх k = 0,m+ 2 i \eta \in \Sigma .
Доведення ґрунтується на тотожностi типу Лагранжа при узагальненнi її з [59], яка спра-
ведлива для будь-якої пари
\bigl(
\varphi 0(\eta ), \psi (k)
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda ,+(MT):
0 =
\Bigl\langle
d\ast \scrL \varphi
(0)(\eta ), \ast (\psi (k) \wedge \gamma )
\Bigr\rangle
=
\Bigl\langle
\ast d\prime \scrL (\ast ) - 1\varphi (0)(\eta ), \ast (\psi (k) \wedge \gamma )
\Bigr\rangle
=
=
\Bigl\langle
\ast d\prime \scrL (\ast ) - 1\varphi (0)(x), \psi (k) \wedge \gamma )
\Bigr\rangle
=
=
\Bigl\langle
(\ast ) - 1\varphi (0)(\eta ), d\scrL \psi
(k) \wedge \gamma
\Bigr\rangle
+ Z(k+1)
\bigl[
\psi (0)(\eta ), d\scrL \psi (k)
\bigr]
\wedge \gamma =
=
\Bigl\langle
(\ast ) - 1\varphi
(0)(\eta ), d\scrL \psi
(k) \wedge \gamma
\Bigr\rangle
+ dZ(k)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr]
\wedge \gamma , (1.13)
де Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in \Lambda k+1(MT;\BbbC ), k = 0,m+ 2, та Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr]
\in \Lambda k(MT;\BbbC ),
k = 0,m+ 2, — деякi напiвлiнiйнi диференцiальнi форми на MT, параметризованi параметром
\lambda \in \Sigma , i \gamma \in \Lambda m+1 - k(MT;\BbbC ) — довiльна константна (m + 1 - k)-форма. Таким чином,
напiвлiнiйнi диференцiальнi (k + 1)-форми Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in \Lambda k+1(MT;\BbbC ) i k-форми
Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), \psi (k)
\bigr]
\in \Lambda k(MT;\BbbC ), k = 0,m+ 2, \lambda \in \Sigma , побудованi вище, є саме тими, якi
потрiбнi в лемi.
Ґрунтуючись на лемi 1.2, можна побудувати iзоморфiзм групи когомологiй, про який йдеться
в теоремi 1.2. А саме, дотримуючись [59, 60], вiзьмемо деякий сингулярний симплiцiальний
[57, 58, 64, 65] комплекс \scrK (MT) компактного метричного простору MT i введемо множину
лiнiйних вiдображень B(k)
\lambda : \scrH k
\Lambda ,+(MT) - \rightarrow Ck(MT;\BbbC ), k = 0,m+ 2, \lambda \in \Sigma , де Ck(MT;\BbbC ),
k = 0,m+ 2, — довiльна абелева група над полем \BbbC , що генерована вiдповiдно всiма k-
ланцюгами сингулярних симплексiв S(k) \subset MT, k = 0,m+ 2, з симплiцiального комплексу
\scrK (MT) таким чином:
B
(k)
\lambda (\psi (k)) :=
\sum
S(k)\in Ck(MT;\BbbC ))
S(k)
\int
S(k)
Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
, (1.14)
де \psi (k) \in \scrH k
\Lambda ,+(MT), k = 0,m+ 2. Справедливою є наступна теорема [59, 60], що ґрунтується
на вiдображеннях (1.14).
Теорема 1.3. Множина операторiв (1.14), параметризована спектральним параметром
\lambda \in \Sigma , реалiзує групу когомологiї iзоморфiзму, сформульованого в теоремi 1.2.
Доведення можна провести, переходячи в (1.14) до вiдповiдних когомологiчних \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT)
i гомологiчних Hk(MT;\BbbC ) груп простору MT для кожного k = 0,m+ 2. Якщо взяти елемент
\psi (k) := \psi (k)(\mu ) \in \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT), k = 0,m+ 2, розв’язуючи рiвняння d\scrL \psi (k)(\mu ) = 0 з \mu \in \Sigma k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 813
що є деякою множиною асоцiйованих „спектральних” параметрiв, маркуючих елементи пiдпро-
стору \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (MT), то з (1.14) i тотожностi (1.12) легко отримати, що dZ(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )
\bigr]
=
= 0 для всiх (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma k, k = 0,m+ 2. Це, в певному сенсi, означає, згiдно з лемою
Пуанкаре [7, 20, 57, 64], що iснують диференцiальнi (k - 1)-форми \Omega (k - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu
\bigr]
\in
\in \Lambda k - 1(M ;\BbbC ), k = 0,m+ 2, такi, що
Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )
\bigr]
= d\Omega (k - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )
\bigr]
для всiх пар
\bigl(
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT), параметризованих через (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma k,
k = 0,m+ 2. Як результат переходу в правiй частинi (1.14) до груп гомологiй Hk(MT;\BbbC ),
k = 0,m+ 2, отримуємо, використовуючи теорему Стокса [20, 57, 64], що вiдображення
B
(k)
\lambda : \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT) - \rightarrow Hk(MT;\BbbC )
є iзоморфiзмами для кожного k = 0,m+ 2 i \lambda \in \Sigma . З огляду на дуалiзм Пуанкаре [12, 57, 64] мiж
групами гомологiй Hk(MT;\BbbC ), k = 0,m+ 2, i групами когомологiй Hk(M ;\BbbC ), k = 0,m+ 2,
вiдповiдно отримуємо твердження теореми 1.3.
2. Спектральна структура операторiв трансмутацiї типу Дельсарта – Лiонса в бага-
товимiрному випадку. Вiзьмемо тепер до уваги, що диференцiальнi оператори \mathrm{L}j : \scrH \rightarrow
\rightarrow \scrH , j = 1, 2, мають спецiальний вигляд (1.2). Припустимо також, що диференцiальнi ви-
рази (1.3) є нормальними замкненими операторами, що визначенi на щiльному пiдпросторi
D(L) \subset L2(M ;\BbbC N ). Тодi, згiдно з теоремою 1.3, можна знайти таку пару (\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )) \in
\in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda (\scrL ),+(MT), параметризовану елементами (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma k, для якої справджується
рiвнiсть
B
(m)
\lambda
\bigl(
\psi (0)(\mu ) dx
\bigr)
= S
(m)
(t;x)
\int
\partial S
(m)
(t;x)
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
, (2.1)
де S(m)
(t;x) \in Hm(MT;\BbbC ) — деякий довiльний фiксований елемент, параметризований довiльно
вибраною точкою (t;x) \in MT \cap \partial S(m)
(t;x). Розглянемо iнтегральнi вирази
\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) :=
\int
\sigma
(m - 1)
(t;x)
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
,
\Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) :=
\int
\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr] (2.2)
з точкою (t0;x0) \in MT \cap \partial S(m)
(t0;x0)
iз фiксованими межами \sigma (m - 1)
(t;x) := \partial S
(m)
t;x , \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
:= \partial S
(m)
t0;x0
,
гомологiчними мiж собою, коли (t;x0) - \rightarrow (t;x) \in MT, (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma k, i iнтерпретуємо
їх як ядра [3, 4, 13] вiдповiдних оборотних iнтегральних операторiв типу Гiльберта – Шмiдта
\Omega (t;x),\Omega (t0;x0) : L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) - \rightarrow L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ), де \rho — деяка фiнiтна борелiвська мiра на множинi
параметрiв \Sigma . Визначимо тепер оборотнi операторнi вирази
\bfOmega \pm : \psi (0)(\mu ) - \rightarrow \~\psi (0)(\mu )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
814 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
для \psi (0)(\mu ) dx \in \scrH m
\Lambda (\scrL ),+(MT) i деяких \~\psi (0)(\mu ) dx \in \scrH m
\Lambda (\scrL ),+(MT), \mu \in \Sigma , де, за визначенням,
для будь-яких \eta \in \Sigma
\~\psi (0)(\eta ) := \psi (0)(\eta ) \cdot \Omega - 1
(t;x) \cdot \Omega (t0;x0) =
=
\int
\Sigma
d\rho (\mu )
\int
\Sigma
d\rho (\xi )\psi (0)(\mu )\Omega - 1
(t;x)(\mu , \xi )\Omega (t0;x0)(\xi , \eta ) (2.3)
мотивоване виразом (2.1). А саме, розглянемо дiаграму вiдображень
\scrH m
\Lambda (\scrL ),+(MT)
\Omega \pm - \rightarrow \scrH m
\Lambda ( \~\scrL ),+(MT),
B
(m)
\lambda \downarrow \swarrow \~B
(m)
\lambda
Hm(MT;\BbbC )
(2.4)
яку припускаємо комутативною для деякого iншого асоцiйованого коланцюгового комплексу
\scrH - \rightarrow \Lambda 0(MT;\scrH )
d \~\scrL - \rightarrow \Lambda 1(MT;\scrH )
d \~\scrL - \rightarrow . . .
d \~\scrL - \rightarrow \Lambda m+2(MT;\scrH )
d \~\scrL - \rightarrow 0.
Тут, за визначенням, узагальнене антидиференцiювання задано як
d \~\scrL :=
2\sum
j=1
dtj \wedge \~\mathrm{L}j(t;x | \partial )
з операторами
\~\mathrm{L}j = \partial /\partial tj - \~Lj(t;x | \partial ),
\~Lj(t;x | \partial ) :=
nj(\~L)\sum
| \alpha | =0
\~a(j)\alpha (t;x)
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
,
де коефiцiєнти
\~a(j)\alpha \in C1
\bigl(
\mathrm{T};C\infty (M ; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N )
\bigr)
, | \alpha | = 0, nj( \~L), nj(\~L) := nj(L) \in \BbbZ +, j = 1, 2.
Вiдповiднi iзоморфiзми \~B
(m)
\lambda : \scrH m
\Lambda (\scrL ),+(MT) - \rightarrow Hm(MT;\BbbC ), \lambda \in \Sigma , дiють, за визначенням,
таким чином:
\~B
(m)
\lambda ( \~\psi (0)(\mu ) dx) = S
(m)
(t;x)
\int
\partial S
(m)
(t;x)
\~\Omega (m - 1)
\bigl[
\~\varphi (0)(\lambda ), \~\psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
,
де \~\varphi (0)(\lambda ) \in \~\scrH \ast
0 \subset \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT), \lambda \in (\sigma (\~L) \cap \=\sigma (\~L\ast ))\times \Sigma \sigma ,
\~\scrH \ast
0 :=
\bigl\{
\~\varphi (0)(\lambda ) \in \scrH m
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) : d\ast \~\scrL \~\varphi (0)(x) = 0, \~\varphi (0)(\lambda ) | \~\Gamma = 0, \lambda \in \Sigma
\bigr\}
для деякого гiперпростору \~\Gamma \subset MT . Вiдповiдно визначаємо замкнений пiдпростiр
\~\scrH 0 :=
\Bigl\{
\~\psi (0)(\mu ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) : d\ast \~\scrL
\~\psi (0)(\lambda ) = 0, \~\psi (0)(\mu ) | \~\Gamma = 0, \mu \in \Sigma
\Bigr\}
(2.5)
для гiперпростору \~\Gamma \subset MT, введеного вище.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 815
Зауваження 2.1. Припустимо тепер, що елементи (2.3) належать замкненому пiдпросто-
ру (2.5), тобто
d \~\scrL
\~\psi (0)(\mu ) = 0.
Визначимо подiбно до (2.5) замкнений пiдпростiр \~\scrH \ast
0 \subset \scrH m
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) таким чином:
\scrH 0 :=
\bigl\{
\psi (0)(\lambda ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (MT) : d\scrL \psi
(0)(\lambda ) = 0, \psi (0)(\lambda ) | \Gamma = 0, \lambda \in \Sigma
\bigr\}
для всiх \mu \in \Sigma . Тодi завдяки комутативностi дiаграми (2.4) iснують два вiдповiднi оборотнi
вiдображення
\bfOmega \pm : \scrH 0 \rightarrow \~\scrH 0 (2.6)
залежно вiд шляху їх розширення на весь простiр Гiльберта \scrH m
\Lambda , - (MT). Розширимо тепер
оператори (2.6) на весь гiльбертiв простiр \scrH m
\Lambda , - (MT) за допомогою стандартного методу [8,
52, 54] варiацiї сталих, врахувавши, що ядра \Omega (t;x)(\lambda , \mu ),\Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) \in L
(p)
2 (\Sigma ;\BbbC )\otimes L(p)
2 (\Sigma ;\BbbC ),
\lambda , \mu \in \Sigma . Можна записати такi спiввiдношення:
\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) - \Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) =
=
\int
\partial S
(m)
(t;x)
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(x), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
-
\int
\partial S
(m)
(t0;x0)
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
=
=
\int
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x)
,\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr) d\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
=
=
\int
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x)
,\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr) Z(m)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu ) dx
\bigr]
, (2.7)
де, за визначенням, m-вимiрнi вiдкритi пiдпростори S
(m)
\pm
\Bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x) , \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\subset MT гладко на-
тягненi без самоперетинiв мiж двома гомологiчними циклами \sigma
(m - 1)
(t;x) = \partial S
(m)
(t;x) i \sigma (m - 1)
(t0;x0)
=
= \partial S
(m)
(t0;x0)
\in Cm - 1(MT;\BbbC ) таким чином, що границя
\partial
\Bigl(
S
(m)
+
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
, \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr)
\cup S(m)
-
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x) , \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr) \Bigr)
= \varnothing .
Використовуючи спiввiдношення (2.7), легко знайти iнтегральнi вирази в \scrH - :
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta ) \~\psi (0)(\xi )\Omega - 1
(t0;x0)
(\xi , \eta )\times
\times
\int
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x)
,\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr) Z(m)
\bigl[
\varphi (0)(\eta ), (\cdot ) dx
\bigr]
, (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
816 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
визначенi для фiксованих пар
\bigl(
\varphi (0)(\xi ), \psi (0)(\eta )
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 i
\bigl(
\~\varphi (0)(\xi ), \~\psi (0)(\mu )
\bigr)
\in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0,
\lambda , \mu \in \Sigma , що є обмеженими оборотними операторами типу Вольтерра [5, 13, 21, 37, 38] на
всьому гiльбертовому просторi \scrH . Бiльше того, для диференцiальних операторiв \~\mathrm{L}j : \scrH - \rightarrow \scrH ,
j = 1, 2, легко отримати вирази
\~\mathrm{L}j = \bfOmega \pm \mathrm{L}j\bfOmega
- 1
\pm (2.9)
для j = 1, 2, в яких лiва частина не залежить вiд знакiв \pm у правiй частинi. Таким чи-
ном, iнтегральнi оператори Вольтерра (2.8) є операторами трансмутацiї Дельсарта – Лiонса, що
вiдображають задану множину \scrL диференцiальних операторiв у нову множину \~\scrL диференцi-
альних операторiв, перетворених за допомогою операторiв трансмутацiї Дельсарта (2.9).
Припустимо тепер, що всi диференцiальнi оператори Lj(t;x | \partial ), j = 1, 2, розглянутi вище,
не залежать вiд змiнної t \in \mathrm{T}. Тодi, очевидно, можна взяти
\scrH 0 :=
\Bigl\{
\psi (0)
\mu (\xi ) \in L2. - (M ;\BbbC N ) : Lj\psi
(0)
\mu (\xi ) = \mu j\psi
(0)
\mu (\xi ),
j = 1, 2, \psi (0)
\mu (\xi )| \~\Gamma = 0, \mu = (\mu 1, \mu 2) \in \sigma (\~L) \cap \sigma (L\ast ), \xi \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\~\scrH 0 :=
\Bigl\{
\~\psi (0)
\mu (\xi ) \in L2. - (M ;\BbbC N ) : \~Lj
\~\psi (0)
\mu (\xi ) = \mu j \~\psi
(0)
\mu (\xi ),
j = 1, 2, \~\psi (0)
\mu (\xi )
\bigm| \bigm|
\~\Gamma
= 0, \mu = (\mu 1, \mu 2) \in \sigma (\~L) \cap \sigma (L\ast ), \xi \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in L2. - (M ;\BbbC N ) : L\ast
j\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = \=\lambda j\varphi
(0)
\lambda (\eta ), j = 1, 2,
\varphi
(0)
\lambda (\eta )| \~\Gamma = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2) \in \sigma (\~L) \cap \sigma (L\ast ), \eta \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\~\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in L2. - (M ;\BbbC N ) : \~L\ast
j \~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = \=\lambda j\varphi
(0)
\lambda (\eta ),
j = 1, 2, \~\varphi
(0)
\lambda (\eta )
\bigm| \bigm|
\~\Gamma
= 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2) \in \sigma (\~L) \cap \sigma (L\ast ), \eta \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
i побудувати вiдповiднi оператори трансмутацiї Дельсарта – Лiонса
\bfOmega \pm = 1 -
\int
\sigma (\~L)\cap \sigma (L\ast )
d\rho \sigma (\lambda )
\int
\Sigma \sigma \times \Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi ) d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
\times
\int
S
(m)
\pm \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
,\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
dx \~\psi
(0)
\lambda (\xi )\Omega - 1
x0
(\lambda ; \xi ; \eta ) \=\varphi
(0),\intercal
\lambda (\eta )(\cdot ), (2.10)
що дiють на просторi Гiльберта L2,+(M ;\BbbC N ), де для будь-яких (\lambda ; \xi , \eta ) \in
\bigl(
\sigma (\~L)\cap \sigma (L\ast )
\bigr)
\times \Sigma 2
\sigma
ядра
\Omega (x0)(\lambda ; \xi , \eta ) :=
\int
\sigma
(m - 1)
x0
\Omega (m - 1)
\bigl[
\varphi
(0)
\lambda (\xi ), \psi
(0)
\lambda (\eta ) dx
\bigr]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 817
для (\xi , \eta ) \in \Sigma 2
\sigma i кожного \lambda \in \sigma (\~L) \cap \sigma (L\ast ) належать L(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ) \otimes L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ). Бiльше того,
оскiльки \partial \bfOmega \pm /\partial tj = 0, j = 1, 2, легко отримати множину диференцiальних виразiв
\~Lj(x | \partial ) := \bfOmega \pm Lj(x | \partial )\bfOmega - 1
\pm , j = 1, 2, (2.11)
що комутують, очевидно, мiж собою.
Оператори Вольтерра (2.10) мають деякi додатковi властивостi, а саме, визначимо iнте-
гральний оператор типу Фредгольма в H :
\bfOmega := \bfOmega - 1
+ \bfOmega - , (2.12)
який можна записати у виглядi
\bfOmega =\bfone + \Phi (\bfOmega ), (2.13)
де оператор \Phi (\bfOmega ) \in \scrB \infty (H) є компактним. Бiльше того, враховуючи спiввiдношення (2.11),
легко переконатися, що виконуються комутаторнi умови
[\bfOmega , Lj ] = 0 (2.14)
для j = 1, 2.
Позначимо через \^\Phi (\bfOmega ) \in H - \otimes H - i \^K+(\bfOmega ), \^K - (\bfOmega ) \in H - \otimes H - ядра вiдповiдних
[3, 4, 37, 38] операторiв \Phi (\bfOmega ) \in \scrB \infty (H) i \bfOmega \pm - \bfone \in \scrB \infty (H). Тодi, враховуючи факт, що
носiй \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}K+(\bfOmega ) \cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}K - (\bfOmega ) = \sigma
(m - 1)
x \cup \sigma (m - 1)
x0 , з (2.12), (2.13) отримуємо вiдоме лiнiйне
iнтегральне рiвняння Гельфанда – Левiтана – Марченка
\^K+(\bfOmega ) + \^\Phi (\bfOmega ) + \^K+(\bfOmega )+ \ast \^\Phi (\bfOmega ) = \^K - (\bfOmega ), (2.15)
що дозволяє знайти факторизацiю [37, 38] фредгольмiвського операторного ядра (2.12)
\^K+(\bfOmega )(x; y) \in H - \otimes H - для всiх y \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}K+(\bfOmega ). Умови (2.14) можна записати таким
чином:
(Lj,ext \otimes \bfone )\^\Phi (\bfOmega ) = (1\otimes L\ast
j,ext)
\^\Phi (\bfOmega ) (2.16)
для j = 1, 2, де Lj,ext \in \scrL (H - ), j = 1, 2, i його спряжений L\ast
j,ext \in \scrL (H - ), j = 1, 2, є
вiдповiдно розширеннями [3, 4, 55] диференцiальних операторiв Lj i L\ast
j \in \scrL (H), j = 1, 2.
Беручи до уваги спiввiдношення (2.11), можна записати [3, 55] умови на ядра подiбно до
(2.16):
(\~Lj,ext \otimes \bfone ) \^K\pm (\bfOmega ) = (\bfone \otimes L\ast
j,ext)
\^K\pm (\bfOmega ), (2.17)
де, як i вище, \~Lj,ext \in \scrL (H - ), j = 1, 2, — вiдповiдно оснащенi розширення диференцiальних
операторiв \~Lj \in \scrL (H), j = 1, 2.
Перейдемо тепер до аналiзу питання про загальну диференцiальну структуру трансфор-
мованих операторних розширень (2.9). Очевидно, що умови (2.15) i (2.16) на ядра \^K\pm (\bfOmega ) \in
\in \scrH - \otimes \scrH - операторiв трансмутацiї Дельсарта – Лiонса є необхiдними для того, щоб операторнi
розширення (2.9) iснували i були диференцiйовними. Поставимо тепер питання: чи цi умови
є достатнiми? Для вивчення цього питання розглянемо оператори Вольтерра (2.8), (2.10) з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
818 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
ядрами, що задовольняють умови (2.15), (2.16), вважаючи, що вiдповiдно орiєнтованi поверхнi
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma (t;x)(m - 1) , \sigma (t0;x0)(m - 1)
\bigr)
\in Cm(MT;\BbbC ) задано таким чином:
S
(m)
+ (\sigma (t;x)(m - 1) , \sigma (t0;x0)(m - 1)) =
\bigl\{
(t\prime ;x\prime ) \in MT : t\prime = P (t;x | x\prime ), t \in \mathrm{T}
\bigr\}
,
S
(m)
- (\sigma (t;x)(m - 1) , \sigma (t0;x0)(m - 1)) =
\bigl\{
(t\prime ;x\prime ) \in MT : t\prime = P (t;x | x\prime ) \in \mathrm{T}\setminus [t0, t]
\bigr\}
,
де вiдображення P \in C\infty (MT\times M ; \mathrm{T}) є гладким i таким, що границi \partial S(m)
\pm
\Bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x) , \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
=
= \pm
\Bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x) - \sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
з циклами \sigma (m - 1)
(t;x) i \sigma (m - 1)
(t0;x0)
\in \scrK (MT) гомологiчнi мiж собою для будь-
яких вибраних точок (t0;x0) i (t;x) \in MT. Тодi легко переконатися за допомогою простих,
але громiздких обчислень, що ґрунтуються на мiркуваннях з [17, 19], у тому, що результуючi
вирази для правої частини
\~\mathrm{L} = \mathrm{L} +
\bigl[
\mathrm{K}\pm (\bfOmega ),\mathrm{L}
\bigr]
\cdot \bfOmega - 1
\pm (2.18)
є диференцiальними виразами \mathrm{L} \in \scrL (\scrH ), що збiгаються мiж собою.
Розглядаючи оборотнi оператори \bfOmega - 1
\pm \in \scrB (\scrH ), що входять у (2.18), можна зауважити, що
завдяки функцiональнiй симетрiї мiж замкненими пiдпросторами \scrH 0 i \~\scrH 0 \subset \~\scrH - спiввiдно-
шення (2.6) та (2.3) є реверсивними, тобто iснують оборотнi операторнi вiдображення \bfOmega - 1
\pm :
\~\scrH 0 \rightarrow \scrH 0 такi, що
\bfOmega - 1
\pm : \~\psi (0)(\lambda ) - \rightarrow \psi (0)(\lambda ) := \~\psi (0)(\lambda ) \cdot \~\Omega - 1
(t;x)
\~\Omega (t;x) (2.19)
для деяких вiдповiдних ядер \~\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) i \~\Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) \in L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC )\otimes L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ), що пов’язанi
природно з перетвореним диференцiальним виразом \~\mathrm{L} \in \scrL (\scrH ). Таким чином, завдяки вира-
зам (2.19) можна записати подiбно до (2.10) вiдповiднi iнверснi iнтегральнi оператори
\bfOmega - 1
\pm = \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\xi )
\int
\Sigma
d\rho (\eta )\psi (0)(\xi )\~\Omega - 1
t0;x0
(\xi , \eta )\times
\times
\int
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(t;x)
,\sigma
(m - 1)
(t0;x0)
\bigr) \~Z(m)
\bigl[
\~\varphi (0)(\eta ), (\cdot ) dx
\bigr]
,
якi визначенi для фiксованих пар
\bigl(
\~\varphi (0)(\xi ), \~\psi (0)(\eta )
\bigr)
\in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0 i
\bigl(
\varphi (0)(\xi ), \psi (0)(\eta )
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH 0,
\xi , \eta \in \Sigma , i є обмеженими оборотними операторами типу Вольтерра в усьому просторi Гiльберта
\scrH . А саме, умови сумiсностi \bfOmega \pm \bfOmega
- 1
\pm = \bfone = \bfOmega - 1
\pm \bfOmega \pm повиннi бути виконаними тотожно в
\scrH , обумовлювати деякi обмеження, визначати мiри \rho , \Sigma i можливi асимптотичнi умови на
коефiцiєнтнi функцiї диференцiального виразу \mathrm{L} \in \scrL . Такого типу обмеження були вже згаданi
в [28, 66, 67], де, зокрема, розглядалися зв’язки з локальною та нелокальною проблемами
Рiмана.
В рамках загальної конструкцiї, викладеної вище, можна дати природну iнтерпретацiю
так званих трансформацiй Беклунда для коефiцiєнтних функцiй заданого диференцiального
операторного виразу \mathrm{L} \in \scrL (\scrH ). А саме, дотримуючись символiчного розгляду в [29], ми
переiнтерпретуємо пiдхiд, запропонований там, для побудови перетворень Беклунда, викори-
ставши технiку, що ґрунтується на теорiї операторiв трансмутацiї Дельсарта. Визначимо два
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 819
рiзнi трансформованi за Дельсартом диференцiальнi операторнi вирази
\mathrm{L}1 = \bfOmega 1,\pm \mathrm{L}\bfOmega
- 1
1,\pm , \mathrm{L}2 = \bfOmega 2,\pm \mathrm{L}\bfOmega
- 1
2,\pm , (2.20)
де \bfOmega 1,+,\bfOmega 2, - \in \scrB (\scrH ) — деякi оператори Вольтерра трансмутацiї Дельсарта в \scrH iз борелiв-
ськими спектральними мiрами \rho 1 i \rho 2 на \Sigma такими, що виконуються умови
\bfOmega - 1
1,+\bfOmega 1, - = \bfOmega = \bfOmega - 1
2,+\bfOmega 2, - . (2.21)
Використовуючи тепер умови (2.20) i спiввiдношення (2.21), легко переконатися, що оператор
\mathrm{B} := \bfOmega 2, - \bfOmega
- 1
1,+ \in \scrB (\scrH ) задовольняє операторнi рiвняння
\mathrm{L}2\mathrm{B} = \mathrm{B}\mathrm{L}1, \bfOmega 2,\pm \mathrm{B} = \mathrm{B}\bfOmega 1,\pm , (2.22)
якi мотивують наступне означення.
Означення 2.1. Оборотне символiчне вiдображення \mathrm{B} : \scrL (\scrH ) - \rightarrow \scrL (\scrH ) будемо нази-
вати перетворенням Дарбу – Беклунда оператора \mathrm{L}1 \in \scrL (\scrH ) в оператор \mathrm{L}2 \in \scrL (\scrH ), якщо
виконується умова
[\mathrm{Q}\mathrm{B},\mathrm{L}1] = 0 (2.23)
для деякого лiнiйного диференцiального виразу \mathrm{Q} \in \scrL (\scrH ).
Умову (2.23) можна реалiзувати таким чином. Вiзьмемо будь-який диференцiальний вираз
\mathrm{q} \in \scrL (\scrH ), що задовольняє символiчне рiвняння
[\mathrm{q}\mathrm{B},\mathrm{L}] = 0.
Тодi, використовуючи перетворення, подiбне до (2.20), з (2.21) знаходимо
[\mathrm{Q}\mathrm{B},\mathrm{L}1] = 0,
де завдяки (2.22)
\mathrm{Q}\mathrm{B} := \bfOmega 1,+q\mathrm{B}\bfOmega
- 1
1,+ = \bfOmega 1,+\mathrm{q}\bfOmega
- 1
2,+\mathrm{B}.
Отже, вираз \mathrm{Q} = \bfOmega 1,+q\bfOmega
- 1
2,+ теж є диференцiальним завдяки умовам (2.22).
Мiркування, пов’язане з символiчним вiдображенням \mathrm{B} : \scrL (\scrH ) \rightarrow \scrL (\scrH ), приводить до
ефективного знаряддя для побудови автоперетворення Беклунда для коефiцiєнтiв диферен-
цiальних операторних виразiв \mathrm{L}1,\mathrm{L}2 \in \scrL (\scrH ), що мають багато застосувань [9, 13, 26, 34, 47,
49, 54, 56] у спектральнiй i солiтоннiй теорiях.
Повернемось тепер до вивчення структури трансформацiй Дельсарта – Лiонса для в’язок
полiномiальних диференцiальних операторiв
\mathrm{L}(\lambda ;x | \partial ) :=
n(L)\sum
j=0
Lj(x | \partial )\lambda j , (2.24)
де n(L) \in \BbbZ + i \lambda \in \BbbC — комплекснозначний параметр. Потрiбно знайти вiдповiднi до (2.24)
перетворення Дельсарта – Лiонса \bfOmega \lambda ,\pm \in \scrB (\scrH ), \lambda \in \BbbC , такi, що для деяких в’язок полiномi-
альних диференцiальних операторiв \~\mathrm{L}(\lambda ;x | \partial ) \in \scrL (\scrH ) виконуються трансмутацiйнi умови
Дельсарта – Лiонса [16]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
820 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\~\mathrm{L}\bfOmega \lambda ,\pm = \bfOmega \lambda ,\pm \mathrm{L}
для майже всiх \lambda \in \BbbC . Для знаходження таких перетворень \bfOmega \lambda ,\pm \in \scrB (\scrH ) розглянемо залежний
вiд параметра \tau \in \BbbR диференцiальний оператор \mathrm{L}\tau (x | \partial ) \in \scrL (\scrH \tau )
\mathrm{L}\tau (x | \partial ) :=
n(L)\sum
j=0
Lj(x | \partial )\partial j/\partial \tau j ,
що дiє в функцiональному просторi \scrH \tau = Cq(L)(\BbbR \tau ;\scrH ) для деякого q(L) \in \BbbZ +. Тодi можна
легко побудувати вiдповiднi перетворення Дельсарта – Лiонса \bfOmega \tau ,\pm \in \scrB (\scrH \tau ) типу Вольтерра
для деякого диференцiального виразу
\~\mathrm{L}\tau (x | \partial ) :=
n(L)\sum
j=0
\~Lj(x | \partial )\partial j/\partial \tau j ,
якщо справджуються трансмутацiйнi умови Дельсарта – Лiонса [16]
\~\mathrm{L}\tau \bfOmega \tau ,\pm = \bfOmega \tau ,\pm \mathrm{L}\tau
в \scrH \tau . Отже, використовуючи результати, отриманi вище, можна записати, що перетворення
\bfOmega \tau ,\pm = \bfone -
\int
\Sigma
d\rho \Sigma (\xi )
\int
\Sigma
d\rho \Sigma (\eta ) \~\psi
(0)
\tau (\lambda ; \xi )\Omega - 1
(\tau 0;x0)
(\lambda ; \xi , \eta )\times
\times
\int
S
(m)
\pm (\sigma
(m - 1)
(\tau ;x)
,\sigma
(m - 1)
(\tau 0;x0)
)
Z(m)
\bigl[
\varphi (0)
\tau (\lambda ; \eta ), (\cdot ) dx
\bigr]
(2.25)
визначене за допомогою замкнених пiдпросторiв \scrH \tau ,0 \subset \scrH \tau , - i \scrH \ast
\tau ,0 \subset \scrH \ast
\tau , - :
\scrH \tau ,0 :=
\bigl\{
\psi (0)
\tau (\lambda ; \xi ) \in \scrH \tau , - : \mathrm{L}\tau \psi
(0)
\tau (\lambda ; \xi ) = 0,
\psi (0)
\tau (\lambda ; \xi )| \tau =0 = \psi (0)(\lambda ; \xi ) \in \scrH , \mathrm{L}\psi (0)(\lambda ; \xi ) = 0,
\psi (0)(\lambda ; \xi )| \Gamma = 0, \lambda \in \BbbC , \xi \in \Sigma
\bigr\}
,
\scrH \ast
\tau ,0 :=
\bigl\{
\varphi (0)
\tau (\lambda ; \eta ) \in \scrH \ast
\tau , - : \mathrm{L}\tau \varphi
(0)
\tau (\lambda ; \eta ) = 0,
\varphi (0)
\tau (\lambda ; \eta )| \tau =0 = \varphi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH \ast , \mathrm{L}\varphi (0)(\lambda ; \eta ) = 0,
\varphi (0)(\lambda ; \eta )| \Gamma = 0, \lambda \in \BbbC , \eta \in \Sigma
\bigr\}
.
Оскiльки оператори Lj \in \scrL (\scrH ), j = 0, r(L), не залежать вiд параметра \tau \in \BbbR , з (2.25) можна
легко визначити
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\Sigma
d\rho \Sigma (\xi )
\int
\Sigma
d\rho \Sigma (\eta ) \~\psi
(0)(\lambda ; \xi )\Omega - 1
(x0)
(\lambda ; \xi , \eta )\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 821
\times
\int
S
(m)
\pm (\sigma
(m - 1)
(x)
,\sigma
(m - 1)
(x0)
)
Z
(m)
0 [\varphi (0)(\lambda ; \eta ), (\cdot ) dx], (2.26)
де ми поклали \sigma (m - 1)
x := \sigma
(m - 1)
(\tau 0;x)
, \sigma
(m - 1)
x0 := \sigma
(m - 1)
(\tau 0;x0)
\in Cm - 1(\BbbR m;\BbbC ) i
Z
(m)
0
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ; \eta ), \psi (0)dx
\bigr]
:= Z(m)
\bigl[
\varphi (0)
\tau (\lambda ; \eta ), \psi (0)
\tau dx
\bigr] \bigm| \bigm|
d\tau =0
.
Вiдповiдно до (2.26) замкненi пiдпростори \scrH 0 \in \scrH - i \scrH \ast
0 \in \scrH \ast
- задаються таким чином:
\scrH 0 :=
\bigl\{
\psi (0)(\lambda ; \xi ) \in \scrH - : \mathrm{L}\psi (0)(\lambda ; \xi ) = 0, \psi (0)(\lambda ; \xi )| \Gamma = 0, \lambda \in \BbbC , \xi \in \Sigma
\bigr\}
,
\scrH \ast
\tau ,0 :=
\bigl\{
\varphi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH \ast
- : \mathrm{L}\varphi (0)(\lambda ; \eta ) = 0, \varphi (0)(\lambda ; \eta )| \Gamma = 0, \lambda \in \BbbC , \eta \in \Sigma
\bigr\}
.
Отже, використовуючи вирази (2.26), можна побудувати перетворену за Дельсартом – Лiонсом
лiнiйну диференцiальну в’язку \~\mathrm{L} \in \scrL (\scrH ), коефiцiєнти якої певним чином асоцiйованi з ко-
ефiцiєнтами в’язки \mathrm{L} \in \scrL (\scrH ) через деякi спiввiдношення типу Беклунда, якi кориснi для
застосувань (див. [8, 24, 28, 30, 49, 51, 54]) у теорiї солiтонiв.
3. Оператори трансмутацiї Дельсарта – Лiонса для спецiальних багатовимiрних дифе-
ренцiальних виразiв та їх застосування.
Приклад 3.1. Збурений самоспряжений оператор Лапласа в \BbbR n.
Розглянемо оператор Лапласа - \Delta m в H := L(\BbbR m;\BbbC ), який збурений оператором множення
на функцiю q \in W 2
2 (\BbbR m;\BbbC ), тобто оператор
L(x | \partial ) := - \Delta m + q(x), (3.1)
де x \in \BbbR m. Оператор (3.1) є самоспряженим в H. Застосовуючи результати з пункту 1 до
диференцiального виразу (3.1) у гiльбертовому просторi H, можна записати оборотнi оператори
трансмутацiї Дельсарта – Лiонса:
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\sigma (L)
d\rho \sigma (\xi )
\int
\sigma (L)
d\rho \sigma (\xi )
\int
\Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi )
\int
\Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
\times \~\psi (0)(\lambda ; \xi )\Omega - 1
(x0)
(\lambda ; \xi , \eta )
(0)\int
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
(x)
, \sigma
(m - 1)
(x0)
\bigr) dy \=\varphi (0)\intercal (\lambda ; \eta )(\cdot ), (3.2)
де \sigma (m - 1)
x \in \scrK (\BbbR m) — замкнена, можливо, не компактна, симплiцiальна гiперповерхня в \BbbR m,
параметризована бiжучою точкою x \in \sigma
(m - 1)
x , i \sigma (m - 1)
x0 \in \scrK (\BbbR m) — вiдповiдна гомологiчна до
\sigma
(m - 1)
x симплiцiальна гiперповерхня в \BbbR m, параметризована точкою x0 \in \sigma
(m - 1)
x0 . Iснують два
m-вимiрнi пiдпростори, що пов’язують їх, наприклад S(m)
\pm
\bigl(
\sigma
(m - 1)
x , \sigma
(m - 1)
x0
\bigr)
\in \scrK (\BbbR m), такi, що
S
(m)
+
\bigl(
\sigma
(m - 1)
x , \sigma
(m - 1)
x0
\bigr)
\cup S(m)
-
\bigl(
\sigma
(m - 1)
x , \sigma
(m - 1)
x0
\bigr)
= \BbbR m. Беручи до уваги цi пiдпростори, можна
записати компактно оператори трансмутацiї Дельсарта – Лiонса (3.2) для (3.1):
\bfOmega \pm = \bfone +
\int
S
(m)
\pm (\sigma
(m - 1)
x ,\sigma
(m - 1)
x0
)
dy \^K\pm (\bfOmega )(x; y)(\cdot ), (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
822 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
де, як i ранiше, x \in \sigma
(m - 1)
x i ядра \^K\pm (\bfOmega ) \in H - \otimes H - задовольняють рiвняння (2.17), або,
еквiвалентно,
- \Delta m(x; \partial ) \^K\pm (\bfOmega )(x; y) + \Delta m(y; \partial ) \^K\pm (\bfOmega )(x; y) =
= (q(y) - \~q(x)) \^K\pm (\bfOmega )(x; y)
для всiх x, y \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K\pm (\bfOmega ). Вiзьмемо для простоти некомпактну замкнену симплiцiальну
гiперповерхню \sigma
(m - 1)
x = \sigma
(m - 1)
x,\gamma := \{ y \in \BbbR m : \langle x - y, \gamma \rangle = 0\} i вироджений симплiцiальний
цикл \sigma (m - 1)
x0 := x0 = \infty \in \BbbR m, де \gamma \in \BbbS m - 1 — довiльний версор, \| \gamma \| = 0. Тодi, очевидно,
S
(m)
\pm
\bigl(
\sigma (m - 1)
x,\gamma , \sigma (m - 1)
\infty
\bigr)
:= S
(m)
\pm \gamma ,x =
\bigl\{
y \in \BbbR m : \langle x - y,\pm \gamma \rangle \geq 0
\bigr\}
i оператори трансмутацiї (3.3) наберуть вигляду
\bfOmega \pm \gamma = \bfone +
\int
S
(m)
\pm \gamma ,x
dy \^K\pm \gamma (\bfOmega )(x; y)(\cdot ), (3.4)
де \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K\pm \gamma (\bfOmega ) = S
(m)
\pm \gamma ,x, S
(m)
+\gamma ,x\cap S
(m)
- \gamma ,x = \sigma
(m - 1)
x,\gamma \cup \sigma (m - 1)
\infty i S(m)
+\gamma ,x\cup S
(m)
- \gamma ,x = \BbbR m для будь-якого
напрямку \gamma \in \BbbS m - 1.
Оборотнi оператори трансмутацiї Вольтерра, подiбнi до (3.4), були побудованi ранiше
Л. Д. Фаддєєвим [17] для самоспряженого збуреного оператора Лапласа (3.1) в \BbbR 3. Вiн на-
звав їх [17] операторами перетворення з вольтеррiвським напрямком \gamma \in \BbbS m - 1. Легко бачити,
що вирази Фаддєєва (3.4) є спецiальним випадком загального виразу (3.3).
Визначимо тепер, використавши (3.3), оператор Фредгольма у просторi Гiльберта H :
\bfOmega := (\bfone +K+(\bfOmega )) - 1(\bfone +K - (\bfOmega )) = \bfone +\Phi (\bfOmega ) (3.5)
з компактною частиною \Phi (\bfOmega ) \in \scrB \infty (H). Тодi справджується комутаторна рiвнiсть
[L,\Phi (\bfOmega )] = \bfzero
разом iз рiвнянням Гельфанда – Левiтана – Марченка
K+(\bfOmega ) + \^\Phi (\bfOmega ) + \^K+(\bfOmega ) + \^\Phi (\bfOmega ) = \^K - (\bfOmega )
для вiдповiдних ядер \^K\pm (\bfOmega ) i \^\Phi (\bfOmega ) \in H - \otimes H - .
У статтi [17] ретельно проаналiзовано спектральну структуру ядер \^K\pm (\bfOmega ) \in H - \otimes H - у (3.4)
за допомогою аналiтичних властивостей вiдповiдних функцiй Грiна оператора (3.1). Як можна
бачити з (3.2), цi властивостi сильно залежать вiд структури спектральних мiр \rho \sigma на \sigma (L) i
\rho \Sigma \sigma на \Sigma \sigma , а також вiд аналiтичної поведiнки ядра \Omega \infty (\lambda ; \xi , \eta ) \in L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ) \otimes L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ),
\xi , \eta \in \Sigma \sigma , для всiх \lambda \in \sigma (L). У [17] було встановлено, що для будь-якого напрямку \gamma \in \BbbS m - 1
залежнiсть ядер \^K\pm (\bfOmega ) \in H - \otimes H - вiд регуляризованого визначника резольвенти R\mu (L) \in
\in \scrB (H), \mu \in \BbbC /\sigma (L), є регулярною для оператора (3.1). Цю залежнiсть можна пояснити, якщо
використати пiдхiд iз пункту 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 823
Приклад 3.2. Двовимiрний оператор Дiрака.
Визначимо в H := L2(\BbbR 2;\BbbC 2) двовимiрний оператор типу Дiрака
\~\mathrm{L}1(x; \partial ) :=
\Biggl(
\partial /\partial x1 \~u1(x)
\~u2(x) \partial /\partial x2
\Biggr)
, (3.6)
де x := (x1, x2) \in \BbbR 2 i коефiцiєнти \~uj \in W 1
2 (\BbbR 2;\BbbC ), j = 1, 2. Трансформацiйнi властивостi
оператора (3.6) були ретельно вивченi Л. П. Нижником в [41 – 45]. Зокрема, вiн побудував
деякий спектральний клас операторiв трансмутацiї Дельсарта – Лiонса у виглядi
\bfOmega \pm = \bfone +
\int
S
(2)
\pm (\sigma
(1)
x ,\sigma
(1)
\infty )
dy \^K\pm (\bfOmega )(x; y)(\cdot ), (3.7)
де для двох ортонормованих версорiв \gamma 1 i \gamma 2 \in \BbbS 1, \| \gamma 1\| = 1 = \| \gamma 2\| ,
S
(2)
+
\bigl(
\sigma (1)x , \sigma (1)\infty
\bigr)
:=
\bigl\{
y \in \BbbR 2 : \langle x - y, \gamma 1\rangle \geq 0
\bigr\}
\cap
\cap
\bigl\{
y \in \BbbR 2 : \langle x - y, \gamma 2\rangle \geq 0
\bigr\}
,
S
(2)
-
\bigl(
\sigma (1)x , \sigma (1)\infty
\bigr)
:=
\bigl\{
y \in \BbbR 2 : \langle x - y, \gamma 1\rangle \leq 0
\bigr\}
\cup
\cup
\bigl\{
y \in \BbbR 2 : \langle x - y, \gamma 2\rangle \leq 0
\bigr\}
.
У випадку, коли \langle x, \gamma j\rangle = xj \in \BbbR , j = 1, 2, вiдповiдне ядро
\^K+(\bfOmega ) =
\left( K(1)
+,11\delta \langle y - x,\gamma 1\rangle +K
(0)
+,11(x; y) K
(1)
+,12\delta \langle y - x,\gamma 2\rangle +K
(0)
+,12
K
(1)
+,21\delta \langle y - x,\gamma 1\rangle +K
(0)
+,21(x; y) K
(1)
+,22\delta \langle y - x,\gamma 2\rangle +K
(0)
+,22
\right) (3.8)
є сингулярним з особливостями типу дельта-функцiї Дiрака, локалiзованими на \langle y - x, \gamma 2\rangle = 0
i \langle y - x, \gamma 1\rangle = 0, i з регулярними коефiцiєнтами K
(l)
+,ij \in C1(\BbbR 2 \times \BbbR 2;\BbbC ) для всiх i, j =
= 1, 2 i l = 0, 1. Така властивiсть трансмутацiйних ядер для збуреного оператора Лапласа (3.1)
спостерiгалася також в [17], де це було мотивовано необхiдними умовами диференцiальностi
для перетвореного оператора \~L(x; \partial ) \in \scrL (H). Як можна легко переконатися, деякi причини
iснування вказаних сингулярностей мiстяться в (3.8).
Розглянемо тепер загальний вираз типу (3.3) для вiдповiдних пiдпросторiв S(2)
\pm
\bigl(
\sigma
(1)
x , \sigma
(1)
\infty
\bigr)
,
що пов’язують замкнений некомпактний цикл \sigma (1)x \in \scrK (\BbbR 2) i нескiнченну точку \sigma (1)\infty := \infty \in
\in \scrK (\BbbR 2). Бiжуча точка x \in \sigma
(1)
x є довiльною, але, як правило, фiксованою. Ядра \^K\pm (\bfOmega ) \in
\in H - \times H - у (3.7) задовольняють стандартнi умови (2.16), (2.17), тобто
(\~\mathrm{L}1,ext \otimes \bfone ) \^K\pm (\bfOmega ) = (\bfone \otimes \mathrm{L}\ast
1,ext)
\^K\pm (\bfOmega ), (3.9)
[\mathrm{L}1,\Phi (\bfOmega )] = 0
для деякого матричного диференцiального оператора Дiрака \mathrm{L}1 \in \scrL (H) у формi (3.1). Разом
з цим оператором Дiрака в [41 – 45] вивчався матричний диференцiальний оператор другого
порядку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
824 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\~\mathrm{L}2(x; \partial ) := \bfone
\partial
\partial t
+
\left(
\partial 2
\partial x21
\pm \partial 2
\partial x22
- \~v2 - 2
\partial \~u1
\partial x2
- 2
\partial \~u2
\partial x1
\partial 2
\partial x21
\pm \partial 2
\partial x22
- \~v1
\right) (3.10)
у параметричному просторi \scrH := C1(\BbbR ;H), для якого було розвинено теорiю розсiяння i наве-
дено її застосування для побудови солiтоноподiбних точних розв’язкiв до так званої нелiнiйної
динамiчної системи Девi – Стюартсона в частинних похiдних. Останнє ґрунтувалося на фактi,
що два оператори \~\mathrm{L}1 i \~\mathrm{L}2 \in \scrL (H) комутують один з одним. А саме, розглянемо оператори
Вольтерра \bfOmega \pm \in \scrB (\scrH ), що реалiзують такi трансмутацiї Дельсарта – Лiонса:
\~\mathrm{L}1\bfOmega \pm = \bfOmega \pm \mathrm{L}1, \~\mathrm{L}2\bfOmega \pm = \bfOmega \pm \mathrm{L}2. (3.11)
Тут ми поклали
\mathrm{L}1(x; \partial ) :=
\left(
\partial
\partial x1
0
0
\partial
\partial x2
\right) , (3.12)
\mathrm{L}2(x; \partial ) := \bfone
\partial
\partial t
+
\left(
\partial 2
\partial x21
\pm \partial 2
\partial x22
- \alpha 2(x2) 0
0
\partial 2
\partial x21
\pm \partial 2
\partial x22
- \alpha 1(x1)
\right) ,
де \alpha j \in W 1
2 (\BbbR ;\BbbC ), j = 1, 2, — деякi заданi функцiї. Очевидно, що оператори (3.12) комутують
один з одним. Тодi, якщо оператори \bfOmega \pm \in \scrB (H) iснують i задовольняють (3.11), справджуються
комутацiйнi умови \bigl[
\~\mathrm{L}1, \~\mathrm{L}2
\bigr]
= 0, (3.13)
що стверджувалося вище i ефективно використовувалося в [41 – 45].
Нагадаємо тепер, що для iснування операторiв \bfOmega \pm \in \scrB (H) повиннi виконуватися додатковi
умови на ядра (3.9) i \bigl(
\~\mathrm{L}2,ext \otimes \bfone
\bigr)
\^K\pm (\bfOmega ) =
\bigl(
\bfone \otimes \mathrm{L}\ast
2,ext
\bigr)
\^K\pm (\bfOmega ), (3.14)\bigl[
\mathrm{L}2,\Phi (\bfOmega )
\bigr]
= 0,
де, як i ранiше, оператор \Phi (\bfOmega ) \in \scrB \infty (H) визначено через (3.5) як
\bfOmega := \bfone +\Phi (\bfOmega ).
Завдяки очевиднiй комутацiйнiй умовi (3.13) множина рiвнянь (3.9), (3.14) є сумiсною i приво-
дить до виразу типу (3.7), де ядро \^K+(\bfOmega ) \in H - \otimes H - задовольняє множину диференцiальних
рiвнянь, узагальнюючи такi ж iз [41 – 45]:
\partial K+,11
\partial x1
+
\partial K+,11
\partial y1
+ \~u1K+,21 = 0,
\partial K+,12
\partial x1
+
\partial K+,12
\partial y1
+ \~u1K+,22 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 825
\partial K+,21
\partial x2
+
\partial K+,21
\partial x1
+ \~u2K+,11 = 0,
\partial K+,22
\partial x2
+
\partial K+,22
\partial y2
+ \~u2K+,12 = 0,
(3.15)
\pm \partial \~u1
\partial x2
K+,21 =
\partial K+,11
\partial t
+
\biggl[ \biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr) \biggr]
K+,11 + (\alpha 2(x2) - \~v2(x))K+,11,
\pm \partial \~u2
\partial x1
K+,21 =
\partial K+,22
\partial t
+
\biggl[ \biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr) \biggr]
K+,22 + (\alpha 1(x1) - \~v1(x))K+,22,
\mp 2
\partial \~u1
\partial x2
K+,22 =
\partial K+,12
\partial t
+
\biggl[ \biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr) \biggr]
K+,12 + (\alpha 1(x1) - \~v2(x))K+,22,
2
\partial \~u2
\partial x1
K+,22 =
\partial K+,21
\partial t
+
\biggl[ \biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr) \biggr]
K+,21 + (\alpha 2(x2) - \~v1(x))K+,11.
Бiльше того, справджуються умови
\~u1(x) = - K(0)
+,12
\bigm| \bigm|
y=x
, \~u2(x) = - K(0)
+,21
\bigm| \bigm|
y=x
,
\~v2(x)| x1= - \infty = \alpha 2(x2), \~v1(x)| x2= - \infty = \alpha 1(x1)
(3.16)
для всiх x \in \BbbR 2 i y \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K+(\bfOmega ), де ми врахували розклад
\^K+(\bfOmega ) =
p(K+)\sum
s=0
K
(s)
+ \delta
(s - 1)
\sigma
(1)
x
(3.17)
для деякого визначеного цiлого p(K+) \in \BbbZ + по вiдношенню до функцiї Дiрака \delta
\sigma
(1)
x
:
W q
2 (\BbbR 2;\BbbC ) \rightarrow \BbbR , q \in \BbbZ +, i похiдних, маючи носiй (див. [19], роздiл 3), що збiгається iз
замкненим циклом \sigma
(1)
x \in \scrK (\BbbR 2).
Зауваження 3.1. Розглянемо спецiальний випадок (3.8), обговорений ранiше в [41 – 45].
Можна легко отримати, що p(K+) = 1 i \sigma (1)x = \partial
\bigl(
\cap j=1,2
\bigl\{
y \in \BbbR 2 : \langle y - x, \gamma j\rangle = 0
\bigr\} \bigr)
\subset
\subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K+(\bfOmega ). Ранiше було також показано, що рiвняння типу (3.15), (3.16) мають розв’язки,
якщо рiвняння Гельфанда – Левiтана – Марченка (2.15) має розв’язки.
Використовуючи тепер точнi форми операторiв \mathrm{L}1 i \mathrm{L}2 \in \scrL (\scrH ), легко отримати з (3.9) i
(3.14) вiдповiдну множину диференцiальних рiвнянь для компонент ядра \^\Phi (\bfOmega ) \in H - \otimes H - :
\partial \Phi 11
\partial x1
+
\partial \Phi 11
\partial y1
= 0,
\partial \Phi 12
\partial x1
+
\partial \Phi 12
\partial y1
= 0,
\partial \Phi 21
\partial x2
+
\partial \Phi 21
\partial y2
= 0,
\partial \Phi 22
\partial x2
+
\partial \Phi 22
\partial y2
= 0,
\partial \Phi 11
\partial t
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr)
\Phi 11 + (\alpha 2(y2) - \alpha 2(x2))\Phi 11 = 0,
(3.18)
\partial \Phi 12
\partial t
\pm
\biggl(
\partial 2
\partial x22
- \partial 2
\partial y22
\biggr)
\Phi 12 + (\alpha 1(y1) - \alpha 2(x2))\Phi 12 = 0,
\partial \Phi 21
\partial t
+
\biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\Phi 21 + (\alpha 2(y2) - \alpha 1(x1))\Phi 21 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
826 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\partial \Phi 22
\partial t
+
\biggl(
\partial 2
\partial x21
- \partial 2
\partial y21
\biggr)
\Phi 22 + (\alpha 1(y1) - \alpha 1(x1))\Phi 22 = 0
для всiх (x, y) \in \BbbR 2 \times \BbbR 2. Рiвняння (3.18) узагальнюють рiвняння, знайденi ранiше в [41 – 45],
i були використанi для iнтегрування вiдомого диференцiального рiвняння Девi – Стюартсона
[8, 18, 41, 44, 45, 47, 66] i знаходження так званих солiтонних розв’язкiв. Стосовно нашо-
го узагальненого випадку ядро (3.17) є розв’язком таких рiвнянь типу Гельфанда – Левiтана –
Марченка:
K
(0)
+ (x; y) + \Phi (0)(x; y) +
\int
S
(2)
+ (\sigma
(1)
x ,\sigma
(1)
\infty )
K
(0)
+ (x; \xi )\Phi (0)(\xi ; y) d\xi +
+
\int
\sigma
(1)
x
K
(1)
+ (x; \xi )\Phi (0)(\xi ; y)d\sigma (1)x = 0,
(3.19)
K
(1)
+ (x; y) + \Phi (1)(x; y) +
\int
S
(2)
+ (\sigma
(1)
x ,\sigma
(1)
\infty )
K
(0)
+ (x; \xi )\Phi (1)(\xi ; y) d\xi +
+
\int
\sigma
(1)
x
K
(1)
+ (x; \xi )\Phi (1)(\xi ; y)d\sigma (1)x = 0,
де y \in S
(2)
+
\bigl(
\sigma
(1)
x , \sigma
(1)
\infty
\bigr)
для всiх x \in \BbbR 2 i, за означенням,
\^\Phi (\bfOmega ) := \Phi (0) +\Phi (1)\delta
\sigma
(1)
x
(3.20)
є вiдповiдним розкладом ядра (3.17). Оскiльки ядро (3.20) є сингулярним, диференцiальнi
рiвняння (3.18) можна трактувати в природно узагальненому сенсi розподiлiв [19].
Беручи до уваги точну форму „одягнених” диференцiальних операторiв \mathrm{L}j \in \scrL (\scrH ), j = 1, 2,
заданих через (3.6) i (3.10), легко отримуємо, що умова комутативностi (3.13) приводить до
того, що \~\mathrm{L}j \in \scrL (\scrH ), j = 1, 2, є еквiвалентною до згаданої вище динамiчної системи Девi –
Стюартсона
d\~u1
dt
= - (\~u1,xx + \~u1,yy) + 2(\~v1 - \~v2),
d\~u2
dt
= \~u2,xx + \~u2,yy + 2(\~v2 - \~v1),
\~v1,x = (\~u1\~u2)y, \~v2,x = (\~u1\~u2)x
(3.21)
на функцiональному нескiнченновимiрному многовидi Mu \subset \scrS (\BbbR 2;\BbbC ). Точнi солiтоноподiбнi
розв’язки (3.21) задаються виразами (3.16), де ядро K
(1)
+ (\bfOmega ) розв’язує друге лiнiйне рiвнян-
ня (3.19). З iншого боку, iснує точний вираз (2.3), який розв’язує множину „одягнених” рiвнянь
\~\mathrm{L}1
\~\psi (0)(\eta ) = 0, \~\mathrm{L}2
\~\psi (0)(\eta ) = 0.
Оскiльки ядра \Omega (\lambda , \mu ) \in L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) \otimes L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) для \lambda , \mu \in \Sigma , (t;x) \in MT\cap S
(2)
+ (\sigma
(1)
x , \sigma
(1)
\infty )
заданi за допомогою точних виразiв (2.2), то можна знайти з використанням простих обчислень
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 827
вiдповiдний аналiтичний вираз для функцiй (\~u1, \~u2) \in Mu, що розв’язують динамiчну систему
(3.21). Цю процедуру часто називають перетворенням типу Дарбу. Її було використано в [54]
як частковий випадок конструкцiї, запропонованої вище, для знаходження солiтоноподiбних
розв’язкiв для системи Девi – Стюартсона (3.21) i пов’язаних з нею модифiкованих двовимiр-
них потокiв типу Кортевега – де Врiза на Mu. Бiльше того, як можна зауважити iз технiчної
конструкцiї методу, використаного для побудови операторiв трансмутацiї Дельсарта – Лiонса
\bfOmega \pm \in \scrB (\scrH ), множина розв’язкiв (3.21), отримана за допомогою перетворень Дарбу, збiгається
повнiстю з вiдповiдною множиною розв’язкiв, отриманих за допомогою розв’язку асоцiйованої
системи iнтегральних рiвнянь Гельфанда – Левiтана – Марченка (3.18), (3.19).
Приклад 3.3. Узагальнений афiнний диференцiальний комплекс де Рама – Ходжа i асоцiйо-
ванi узагальненi самоспряженi потоки Янга – Мiллса.
Розглянемо множину афiнних диференцiальних виразiв в \scrH := C1(\BbbR m+1;H), H :=
:= L2(\BbbR m;\BbbC N ):
\mathrm{L}i(\lambda ) := \bfone
\partial
\partial pi
- \lambda
\partial
\partial xi
+Ai(x; p | t), (3.22)
де x \in \BbbR m, (t, p) \in \BbbR m+1, матрицi Ai \in C1
\bigl(
\BbbR m+1;S(\BbbR m; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N )
\bigr)
, i = 1,m, i параметр
\lambda \in \BbbC . Тепер можна легко побудувати точний узагальнений диференцiальний комплекс де
Рама – Ходжа на MT := \BbbR m+1\times \BbbR m як
\scrH \rightarrow \Lambda (MT;\scrH )
d\scrL (\lambda )\rightarrow \Lambda 1(MT;\scrH )
d\scrL (\lambda )\rightarrow . . .
d\scrL (\lambda )\rightarrow \Lambda 2m+1(MT;\scrH )
d\scrL (\lambda )\rightarrow 0, (3.23)
де, за означенням, диференцiювання
d\scrL (\lambda ) := dt \wedge \mathrm{B}(\lambda ) +
m\sum
i=1
dpi \wedge \mathrm{L}i(\lambda ) (3.24)
i афiнна матриця
\mathrm{B}(\lambda ) := \partial /\partial t -
n(B)+q\sum
s=0
Bs(x; p | t)\lambda n(B) - s (3.25)
з матрицями Bs \in C1
\bigl(
\BbbR m+1;S(\BbbR m; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N )
\bigr)
, s = 0, n(B) + q, n(B), q \in \BbbZ +. Афiнний
комплекс (3.23) буде замкненим i точним для всiх \lambda \in \BbbC тодi i тiльки тодi, коли справджуються
узагальненi самоспряженi рiвняння Янга – Мiллса [24]
\partial Ai/\partial pj - \partial Aj/\partial pi - [Ai, Aj ] = 0, \partial Ai/\partial xj - \partial Aj/\partial xi = 0,
\partial B0/\partial xi = 0, \partial Bn(B)+q/\partial pi = 0, \partial Bs/\partial xi = \partial Bs - 1/\partial pi + [Ai, Bs - 1] = 0, (3.26)
\partial Ai/\partial t+ \partial Bn(B)/\partial pi - \partial Bn(B)+1/\partial xi + [Ai, Bn(B)] = 0
для всiх i, j = 1,m i s = 0, n(B) \vee n(B) + q, n(B) + 2. Припустимо тепер, що умови (3.26) на
MT виконано. Тодi, виконуючи замiну \BbbC \ni \lambda \rightarrow \partial /\partial \tau : \scrH \rightarrow \scrH , \tau \in \BbbR , знаходимо множину
явних диференцiальних виразiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
828 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\mathrm{L}i(\tau ) := \bfone
\partial
\partial pi
- \partial 2
\partial \tau \partial xi
+Ai(x; p | t),
\mathrm{B}(\tau ) :=
\partial
\partial t
-
n(B)+q\sum
s=0
Bs(x; p | t)
\biggl(
\partial
\partial \tau
\biggr) n(B) - s
,
(3.27)
де матрицi Ai, i = 1,m, i Bs, s = 0, n(B) + q, не залежать вiд змiнної \tau \in \BbbR . Тепер за допо-
могою операторних диференцiальних виразiв (3.27) можна побудувати новий диференцiальний
комплекс, пов’язаний iз комплексом (3.23):
\scrH (\tau ) \rightarrow \Lambda (MT,\tau ;\scrH (\tau ))
d\scrL \rightarrow \Lambda 1(MT,\tau ;\scrH (\tau ))
d\scrL \rightarrow . . .
d\scrL \rightarrow \Lambda 2m+2(MT,\tau ;\scrH (\tau ))
d\scrL \rightarrow 0, (3.28)
де, за означенням, \scrH (\tau ) := C1(\BbbR m+1;H(\tau )), H(\tau ) := L2(\BbbR m \times \BbbR \tau ;\BbbC N ) i
d\scrL := dt \wedge \mathrm{B}(\tau ) +
m\sum
i=1
dpi \wedge \mathrm{L}i(\tau ).
Завдяки умовi (3.26) справедливою є така лема.
Лема 3.1. Диференцiальний комплекс (3.28) є замкненим i точним.
Таким чином, можна побудувати стандартний узагальнений типу де Рама – Ходжа розклад
простору Гiльберта
\scrH \Lambda (MT,\tau ) :=
k=2m+2
\oplus
k=0
\scrH k
\Lambda (MT,\tau ),
а також вiдповiдне оснащення Гiльберта – Шмiдта
\scrH \Lambda ,+(MT,\tau ) \subset \scrH \Lambda (MT,\tau ) \subset \scrH \Lambda , - (MT,\tau ).
Використовуючи результати, отриманi в пунктi 1, можна визначити замкненi пiдпростори Дель-
сарта \scrH 0(\tau ) i \~\scrH 0(\tau ) \subset \scrH (\tau ) - , асоцiйованi з точним комплексом (3.28):
\scrH 0(\tau ) :=
\Bigl\{
\psi
(0)
(\tau )(\xi ) \in \scrH 0
\Lambda , - (MT,\tau ) : \mathrm{L}j(\tau )\psi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0,
\mathrm{B}(\tau )\psi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0, \psi
(0)
(\tau )(\xi )| \Gamma = 0, \psi
(0)
(\tau )(\xi )| t=0 = e\lambda \tau \psi
(0)
\lambda (\eta ) \in \scrH 0
\Lambda , - (M\BbbR m,\tau ),
\mathrm{L}j(\lambda )\psi
(0)
\lambda (\eta ) = 0, \xi = (\lambda ; \eta ) \in \Sigma : = \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
,
(3.29)
\~\scrH 0(\tau ) :=
\Bigl\{
\~\psi
(0)
(\tau )(\xi ) \in \scrH 0
\Lambda , - (MT,\tau ) : \~\mathrm{L}(0)
j(\tau )
\~\psi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0,
\~\mathrm{B}(\tau )
\~\psi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0, \~\psi
(0)
(\tau )(\xi )| \~\Gamma = 0, \~\psi
(0)
(\tau )(\xi )| t=0 = e\lambda \tau \~\psi
(0)
\lambda (\eta ) \in \scrH 0
\Lambda , - (M\BbbR m,\tau ),
\~\mathrm{L}j(\lambda ) \~\psi
(0)
\lambda (\eta ) = 0, \xi = (\lambda ; \eta ) \in \Sigma : = \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
,
де \Gamma i \~\Gamma \subset MT,\tau — деякi гладкi гiперпростори. Подiбнi вирази вiдповiдають спряженим
замкненим пiдпросторам \scrH \ast
0(\tau ) i \~\scrH \ast
0(\tau ) \subset \scrH \ast
\tau , - :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 829
\~\scrH 0(\tau ) :=
\Bigl\{
\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) \in \scrH 0
\Lambda , - (MT,\tau ) : \mathrm{L}\ast
j(\tau )\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0,
\mathrm{B}(\tau )\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0, \varphi
(0)
(\tau )(\xi )| \Gamma = 0, \varphi
(0)
(\tau )(\xi )| t=0 = e -
\=\lambda \tau \varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in \scrH 0
\Lambda , - (M\BbbR m,\tau ),
\mathrm{L}\ast
j (\lambda )\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = 0, \xi = (\lambda ; \eta ) \in \Sigma : = \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
,
(3.30)
\~\scrH 0(\tau ) :=
\Bigl\{
\~\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) \in \scrH 0
\Lambda , - (MT,\tau ) : \~\mathrm{L}\ast
j(\tau ) \~\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0,
\~\mathrm{B}\ast
(\tau ) \~\varphi
(0)
(\tau )(\xi ) = 0, \~\varphi
(0)
(\tau )(\xi )| \~\Gamma = 0, \~\varphi
(0)
(\tau )(\xi )| t=0 = e -
\=\lambda \tau \~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in \scrH 0
\Lambda , - (M\BbbR m,\tau ),
\~\mathrm{L}\ast
j (\lambda ) \~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = 0, \xi = (\lambda ; \eta ) \in \Sigma : = \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
.
Враховуючи замкненi пiдпростори (3.30), (3.29), можна вiдповiдно побудувати ядро типу Дарбу
\~\Omega (t,x;\tau )(\eta , \xi ) \in L
(\rho )
2 (\Sigma
(m)
\BbbC ;\BbbC ) \otimes L
(\rho )
2 (\Sigma
(m)
\BbbC ;\BbbC ), \eta , \xi \in \Sigma
(m)
\BbbC , i пiзнiше вiдповiднi трансмутацiйнi
вiдображення Дельсарта \bfOmega \pm \in \scrB (H(\tau )). А саме, припустимо, що виконуються умови
\psi
(0)
(\tau )(\xi ) :=
\~\psi
(0)
(\tau )(\xi ) \cdot \~\Omega
- 1
(t,p;x;\tau )
\~\Omega (t0,p0,x0;\tau ) (3.31)
для будь-якого \xi \in \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC , де
\~\Omega (t,x;\tau )(\mu , \xi ) :=
\int
\sigma (t;x;\tau )
\~\Omega
(2m+1)
(\tau ) [e -
\=\lambda \tau \~\varphi (0)(\mu ), e\lambda \tau \~\psi (0)(\eta ) dx \wedge dp \wedge dt],
\~Z
(2m+1)
(\tau )
\Biggl[
e -
\=\lambda \tau \~\varphi (0)(\mu ),
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\xi (i)) \wedge d\tau \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
:=
:= d\~\Omega
(2m)
(\tau )
\Biggl[
e -
\=\lambda \tau \~\varphi (0)(\mu ),
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\xi (i)) \wedge d\tau \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
,
i, вiдповiдно до (1.13), справджується спiввiдношення\Biggl\langle
d\ast \~\scrL \~\varphi (0)(\mu )e -
\=\lambda \tau , \ast
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\xi (i)) dt \wedge d\tau \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
(\ast ) - 1 \~\varphi (0)(\mu )e -
\=\lambda \tau , d \~\scrL
\Biggl(
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\xi (i)) dt \wedge d\tau \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr) \Biggr\rangle
+
+d \~Z
(2m+1)
(\tau )
\Biggl[
\~\varphi (0)(\mu )e -
\=\lambda \tau ,
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\xi (i)) dt \wedge d\tau \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
, (3.32)
що визначає точну (2m + 1)-форму \~Z
(2m+1)
(\tau ) \in \Lambda 2m+1(MT,\tau ;\BbbC ). Обчислимо тепер трансфор-
мованi за Дельсартом диференцiальнi вирази
\mathrm{L}j(\tau ) := \^\bfOmega - 1
(\tau )\pm
\~\mathrm{L}j(\tau )
\^\bfOmega (\tau )\pm , \mathrm{B}(\tau ) := \^\bfOmega - 1
(\tau )\pm
\~\mathrm{B}(\tau )
\^\bfOmega (\tau )\pm (3.33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
830 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
для будь-якого j = 1,m, де, за визначенням,
\~\mathrm{L}j(\tau ) := \bfone
\partial
\partial pj
- \partial 2
\partial \tau \partial xj
+ \=Aj ,
\mathrm{B}(\tau ) :=
\partial
\partial t
-
n(B)+q\sum
s=0
\=Bs
\biggl(
\partial
\partial \tau
\biggr) n(B) - s
(3.34)
з усiма матрицями \=Aj \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC m, j = 1,m, i \=Bs \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC m, s = 0, n(B) + q, що є сталими. Це
означає, зокрема, що справджуються комутацiйнi спiввiдношення
[\~\mathrm{L}j(\tau ), \~\mathrm{L}i(\tau )] = 0, [\~\mathrm{L}j(\tau ), \~\mathrm{B}(\tau )] = 0
для всiх i, j = 1,m. Завдяки виразам (3.33), справедливими є iндукованi комутацiйнi спiввiд-
ношення
[\mathrm{L}j(\tau ),\mathrm{L}i(\tau )] = 0, [\mathrm{L}j(\tau ),\mathrm{B}(\tau )] = 0,
що збiгаються точно зi спiввiдношеннями (3.26). Бiльше того, редукуючи диференцiальнi ви-
рази (3.33) на функцiональнi пiдпростори \scrH (\lambda ) := e\lambda \tau \scrH , \lambda \in \BbbC , отримуємо множину афiнних
диференцiальних виразiв (3.22) та (3.25). Запишемо тепер вiдповiдно зредукованi оператори
трансмутацiї Дельсарта
\^\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\Sigma
(m)
\BbbC
d\rho
\Sigma
(m)
\BbbC
(\nu )
\int
\Sigma
(m)
\BbbC
d\rho
\Sigma
(m)
\BbbC
(\eta )\psi (0)(\lambda ; \nu )\~\Omega - 1
(t0,p0;x0)
(\lambda ; \nu , \eta )\times
\times
\int
S
(2m+1)
\pm (\sigma
(2m)
(t,p;x)
,\sigma
(2m)
(tt0,p0;x0)
)
\~Z(2m+1)
\Biggl[
\~\varphi (0)(\lambda ; \nu ), (\cdot )
m\sum
i=1
dt \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
, (3.35)
де \sigma
(2m)
(t,p;x) i \sigma (2m)
(tt0,p0;x0)
\in \scrK (MT) — деякi 2m-вимiрнi замкненi сингулярнi симплекси i, за
визначенням,
\~Z(2m+1)
\Biggl[
\~\varphi (0)(\lambda ; \nu ),
m\sum
i=1
\~\psi (0)(\lambda ; \eta (i)) dt \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
:=
:= \~Z
(2m+1)
(\tau )
\Biggl[
e -
\=\lambda \tau \~\varphi (0)(\lambda ; \nu ),
m\sum
i=1
e\lambda \tau \~\psi (0)(\lambda ; \eta (i))d\tau \wedge dt \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d\tau =0
,
(3.36)
d\~\Omega (t,p;x)(\lambda ; \nu , \eta ) := \~Z(2m+1)
\Biggl[
\~\varphi (0)(\lambda ; \nu ),
m\sum
i=1
\~\psi (0)(\lambda ; \eta (i)) dt \wedge dx
m
\wedge
j \not =i
dpj
\Biggr]
,
оскiльки (2m + 1)-форма (3.36) завдяки (3.32) є теж точною для будь-яких (\lambda ; \nu , \eta ) \in \BbbC \times
\times (\Sigma
(m)
\BbbC \partial \times \Sigma
(m)
\BbbC ). Таким чином, операторний вираз (3.35), якщо його застосувати до опе-
ратора (3.34), редукованого на функцiональний пiдпростiр \scrH (\lambda ) \simeq \scrH , \lambda \in \BbbC , приводить до
диференцiальних виразiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 831
\mathrm{L}j(\lambda ) := \^\bfOmega - 1
\pm
\~\mathrm{L}j(\lambda )\^\bfOmega \pm , \mathrm{B}(\lambda ) := \^\bfOmega - 1
\pm
\~\mathrm{B}(\lambda )\^\bfOmega \pm ,
де \mathrm{L}j(\lambda )\scrH (\lambda ) = \mathrm{L}j(\tau )\scrH (\lambda ), \mathrm{B}(\lambda )\scrH (\lambda ) = \mathrm{B}(\tau )(\lambda )\scrH (\lambda ), j = 1,m, збiгається з афiнними диферен-
цiальними виразами (3.22) i (3.25). Стосовно застосування цих результатiв для знаходження
точних солiтоноподiбних розв’язкiв самоспряжених рiвнянь Янга – Мiллса (3.26) достатньо
згадати, що спiввiдношення (3.31), редуковане на пiдпростiр \scrH (\lambda ) \simeq \scrH , \lambda \in \BbbC , приводить до
вiдображення
\psi (0)(\lambda ; \eta ) := \~\psi (0)(\lambda ; \eta ) \cdot \~\Omega - 1
(t,p;x)
\~\Omega (t0,p0;x0), (3.37)
де ядра \~\Omega (t,p;x;\tau )(\lambda ; \eta , \xi ) \in L
(\rho )
2
\bigl(
\Sigma
(m)
\BbbC ;\BbbC
\bigr)
\otimes L
(\rho )
2 (\Sigma
(m)
\BbbC ;\BbbC ), \eta , \xi \in \Sigma
(m)
\BbbC , для всiх (t, p;x) \in MT i
\lambda \in \BbbC . Оскiльки елемент \psi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH - для будь-яких (\lambda ; \xi ) \in \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC задовольняє множину
диференцiальних рiвнянь
Li(\lambda )\psi
(0)(\lambda ; \eta ) = 0, B(\lambda )\psi (0)(\lambda ; \eta ) = 0, (3.38)
для всiх i = 1,m, з (3.37) i (3.38) знаходимо точнi вирази для вiдповiдних матриць Aj i
Bs \in C1
\bigl(
\BbbR \times \BbbR m+1;S
\bigl(
\BbbR m; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N
\bigr) \bigr)
, j = 1,m, s = 0, n(B) + q, задовольняючи самоспряженi
рiвняння Янга – Мiллса (3.26). Таким чином, справджується наступна теорема.
Теорема 3.1. Iнтегральнi вирази (3.35) в \scrH є операторами трансмутацiї Дельсарта, що
вiдповiдають афiнним диференцiальним виразам (3.22), (3.26) i константним операторам
\~\mathrm{L}i(\lambda ) := \bfone
\partial
\partial pi
- \lambda
\partial
\partial xi
+ \=A, \~\mathrm{B}(\lambda ) :=
\partial
\partial t
-
n(B)+q\sum
s=0
\=Bs\lambda
n(B) - s (3.39)
для будь-яких \lambda \in \BbbC . Вiдображення (3.37) реалiзує iзоморфiзм мiж замкненими пiдпросторами
\scrH 0 :=
\Bigl\{
\psi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH - : d \~\scrL (\lambda )\psi
(0)(\lambda ; \eta ) = 0, \psi (0)(\lambda ; \eta )
\bigm| \bigm|
t=0
=
= \psi
(0)
\lambda (\eta ) \in H - , \psi
(0)(\lambda ; \eta )
\bigm| \bigm|
\Gamma
= 0, (\lambda ; \eta ) \in \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
i
\~\scrH 0 :=
\Bigl\{
\~\psi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH - : d(0)\~\scrL (\lambda )
\~\psi (\lambda ; \eta ) = 0, \~\psi (0)(\lambda ; \eta )
\bigm| \bigm|
t=0
=
= \~\psi
(0)
\lambda (\eta ) \in H - , \~\psi (0)(\lambda ; \eta )
\bigm| \bigm|
\~\Gamma
= 0, (\lambda ; \eta ) \in \BbbC \times \Sigma
(m)
\BbbC
\Bigr\}
для будь-якого параметра \lambda \in \BbbC . Бiльше того, вирази (3.37) генерують стандартнi перетво-
рення типу Дарбу для множини операторiв (3.39) i (3.22), (3.25) через вiдповiдну множину
лiнiйних рiвнянь (3.38), таким чином продукуючи точнi солiтоноподiбнi розв’язки самоспря-
женого рiвняння Янга – Мiллса (3.26).
Як простий частковий наслiдок з теореми 3.1 можна одержати всi результати, отриманi в
[24], де вiдображення Дельсарта – Лiонса (3.37) було вибране a priori без будь-якого доведення
i мотивацiї в формi деякого афiнного калiбрувального перетворення.
Результати, подiбнi до отриманих вище, можуть бути з невеликими змiнами застосова-
нi також до узагальненого диференцiального комплексу де Рама – Ходжа (3.23) iз зовнiшнiм
диференцiюванням (3.24), де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
832 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\mathrm{L}i(\lambda ) := \bfone
\partial
\partial pi
-
\Biggl(
ni(L)\sum
k=0
aik\lambda
k+1
\Biggr)
\partial
\partial xi
+
ni(L)\sum
k=0
Aik\lambda
k,
\~\mathrm{B}(\lambda ) :=
\partial
\partial t
-
n(B)+q\sum
s=0
\=Bs\lambda
n(B) - s,
(3.40)
або
\mathrm{L}i(\lambda ) := \bfone
\partial
\partial pi
-
\Biggl(
ni(L)\sum
k=0
a
(j)
ik \lambda
k+1
\Biggr)
\partial
\partial xj
+
ni(L)\sum
k=0
Aik\lambda
k,
\~\mathrm{B}(\lambda ) :=
\partial
\partial t
-
n(B)+q\sum
s=0
\=Bs\lambda
n(B) - s
(3.41)
для i = 1,m, \lambda \in \BbbC . Випадок (3.40) проаналiзовано в [30] за допомогою вiдповiдного афiнного
калiбрувального перетворення, яке було використане в [24]. На жаль, отриманi там результати
є надто складними i ними важко оперувати, тому потрiбно використовувати бiльш мотивованi
математично, зрозумiлi i менш громiздкi методи для знаходження перетворень Дельсарта –
Лiонса i пов’язаних з ними точних солiтоноподiбних розв’язкiв.
4. Узагальненi комплекси де Рама – Ходжа, асоцiйованi класи Черна та застосуван-
ня до iнтегровних багатовимiрних диференцiальних систем на рiманових многовидах.
4.1. Узагальнена зв’язнiсть, форма кривизни та iнтегровнiсть диференцiальних систем.
Ми розглядаємо гладкий скiнченновимiрний многовид Рiмана M i два лiнiйних розшарування
волокон на ньому: дотичне розшарування T (M) i розшарування E(M) разом iз деяким дiйсним
скалярним добутком \langle , \cdot , \cdot \rangle E на їхнiх волокнах E . Асоцiйованi векторнi поля на M є гладкими
перерiзами T (M) i E(M). Можемо ввести [25, 27, 33, 65] на E(M) зв’язнiсть \Gamma за допомогою
dA : \scrE (M) \rightarrow \Lambda 1(M)\otimes \scrE (M), (4.1)
яка задовольняє властивiсть
dA(f\alpha + \beta ) := df \otimes \alpha + fdA\alpha + dA\beta
для будь-якої гладкої функцiї f \in D(M) i \alpha , \beta \in E(M). Нехай \Lambda (M) := \oplus dimM
p=0 \Lambda p(M)
визначає звичайну [1, 2, 25, 27, 65] алгебру Грассмана диференцiальних форм на M. Якщо
визначити асоцiйованi лiнiйнi розшарування \Lambda p(M,E) := \Lambda p(M) \otimes E(M) для p = 0,m, то
вiдображення зв’язностi (4.1) можна природно розширити на \Lambda p(M,E) таким чином:
dA : \Lambda p(M,E) \rightarrow \Lambda p+1(M,E), (4.2)
причому задовольняється правило Лейбнiца
dA
\bigl(
f (p) \wedge \alpha (q)
\bigr)
:= df (p) \wedge \alpha (q) + ( - 1)pf (p) \wedge dA\alpha (q)
для будь-яких f (p) \in \Lambda p(M) i \alpha (q) \in \Lambda q(M,E), q, p = 0,m.
Операцiя зв’язностi (4.2) має цiкаву i важливу властивiсть: композицiя d2A := dAdA є лiнiй-
ною над гладким кiльцем функцiй D(M):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 833
d2A
\bigl(
f\alpha (p) + \beta (p)
\bigr)
= fd2A\alpha
(p) + d2A\beta
(p),
де f \in D(M) i \alpha (p), \beta (p) \in \Lambda p(M,E), p = 0,m, є довiльними. Вихiдне лiнiйне тензорне
вiдображення \Omega (2) := d2A : E(M) \rightarrow \Lambda 2(M,E) називається тензором кривизни i має багато
застосувань у геометричному аналiзi iнтегровних багатовимiрних диференцiальних систем на
M . Iдеали типу Громова [23] генеруються iнтегровними iдеалами Картана [7, 11, 25, 56, 63]
I(\alpha ) \subset \Lambda (M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E) := \Lambda (M) \otimes \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E(M) на M. Можна побудувати гладке вкладення iнте-
грального пiдмноговиду i\alpha : M\alpha \rightarrow M для iдеалу I(\alpha ) \subset \Lambda (M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E), яке задовольняє таку
умову: 2-форма кривизни \Omega (2) \in \Lambda 2(M,E), редукована на M\alpha , анулюється, тобто i\ast \alpha \Omega
(2) = 0.
З цього також випливає, що асоцiйований редукований коланцюг
E \rightarrow \Lambda 0(M\alpha , E)
d\alpha \rightarrow \Lambda 1(M\alpha , E)
d\alpha \rightarrow . . .
d\alpha \rightarrow \Lambda m\alpha (M\alpha , E)
d\alpha \rightarrow 0 (4.3)
є комплексом де Рама, тобто d2\alpha = 0, де d\alpha := i\ast \alpha dA i m\alpha := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M\alpha . Оскiльки пiдмноговид
M\alpha \subset M також має iндуковану структуру Рiмана g\alpha : T (M\alpha ) \times T (M\alpha ) \rightarrow \BbbR , можна побуду-
вати з (4.3) вiдповiдний узагальнений комплекс де Рама – Ходжа просторiв Гiльберта Hp
\Lambda (M\alpha ),
p = 0,m\alpha , властивостi яких, як показано в [10, 25, 50, 53], дозволяють описати так званi
оператори трансмутацiї Дельсарта – Лiонса типу Вольтерра. Це допоможе побудувати iнтегров-
нi багатовимiрнi диференцiальнi системи на многовидах Рiмана i знайти їхнi спецiальнi типи
точних розв’язкiв.
З iншого боку, можна розглянути узагальнений ланцюг модулiв над M
E \rightarrow \Lambda 0(M,E)
dA\rightarrow \Lambda 1(M,E)
dA\rightarrow . . .
dA\rightarrow \Lambda m(M,E) \rightarrow 0, (4.4)
який не є комплексом де Рама – Ходжа, але визначає [6, 33, 35, 65] такий важливий об’єкт,
як характеристичнi класи i символи Черна. Їхнi властивостi i асоцiйованi геометричнi аспекти
задачi iнтегровностi багатовимiрних диференцiальних систем типу Громова [23] розглянуто в
наступному пiдпунктi.
4.2. Класи Черна i асоцiйованi диференцiальнi iнварiанти. Вiдображення зв’язностi (4.2)
на M можна записати локально на вiдкритому околi U \subset M за допомогою виразу
dA | U = d+A(1), (4.5)
де A(1) \in \Lambda (U,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E) — вiдповiдно визначенi \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E(U)-значнi диференцiальнi 1-форми на
U \subset M . У локальних координатах точки u \in U можна записати
A(1) :=
m\sum
i=1
Ai(u) du
i,
де Ai(u) \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E(U), i = 1,m. Використовуючи вираз (4.5), отримуємо локальний вираз для
2-форми кривизни \Omega (2)| U \in \Lambda 2(U)\otimes \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E(U):
\Omega (2)
\bigm| \bigm|
U
= dA(1) +A(1) \wedge A(1). (4.6)
Вираз (4.6) є зручним для локального визначення когомологiй характеристичних класiв Черна,
пов’язаних з комплексом (4.4):
\mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A}) | U := \mathrm{t}\mathrm{r}
\bigl(
\Omega (2) | U
\bigr) j \in \Lambda 2j(U), (4.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
834 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
де j \in \BbbZ +. Завдяки властивостi лiнiйностi векторного розшарування E(M) вираз (4.7) можна
iнварiантно розширити на весь многовид M як коректно визначенi диференцiальнi форми на
M, таким чином визначаючи класи Черна
\mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A}) = \mathrm{t}\mathrm{r}(\Omega (2))j \in \Lambda 2j(M) (4.8)
для j \in \BbbZ + на M . Для подальших застосувань потрiбнi такi леми.
Лема 4.1. Усi диференцiальнi 2-форми \mathrm{c}\mathrm{h}j(A) \in \Lambda 2j(M), j \in \BbbZ +, є замкненими, тобто
d \mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A}) = 0. (4.9)
Доведення проводиться пiдстановкою локального виразу (4.6) у (4.8) i перевiркою (4.9).
Як наслiдок леми можна зауважити, що включення\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A})
\bigr]
\in H2j(M,\BbbR )
справедливi на M для всiх j \in \BbbZ +.
Лема 4.2. Класи когомологiй де Рама
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{h}j(A)
\bigr]
\in H2j(M,\BbbR ), j \in \BbbZ +, не залежать вiд
вибору вiдображення зв’язностi
dA : \Lambda (M,E) \rightarrow \Lambda (M,E)
або вiд вибору ермiтової метрики на E.
Доведення. Стандартна конструкцiя гомотопного цилiндра [33, 64, 65], застосована до двох
рiзних зв’язностей, доводить першу частину твердження леми. Такi самi гомотопнi аргументи
доводять незалежнiсть вiд метрики.
Як результат цiєї леми можна визначити для кожного ермiтового розшарування E(M) над
M множину вiдповiдних характеристичних класiв Черна
\mathrm{c}\mathrm{h}j(E,M) :=
\bigl[
\mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A})
\bigr]
для j \in \BbbZ +, за допомогою яких символ Черна \mathrm{c}\mathrm{h}(E,M) цього лiнiйного розшарування E(M)
визначається як
\mathrm{c}\mathrm{h}(E,M) := \oplus j\in \BbbZ +(j!)
- 1\mathrm{c}\mathrm{h}j(E,M) =
\bigl[
\mathrm{t}\mathrm{r} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
\Omega (2)
\bigr) \bigr]
.
Символ Черна, як вiдомо [6, 33, 65], має багато застосувань у сучаснiй диференцiальнiй топо-
логiї i математичнiй фiзицi.
Стосовно застосування до сильно iнтегровних багатовимiрних диференцiальних систем на
многовидах Рiмана розглянемо геометричну картину Картана, розвинену в [7, 8, 11, 25, 56, 63].
В цьому пiдходi нелiнiйну багатовимiрну диференцiальну систему \^\alpha записано у виглядi iн-
тегровного iдеалу Картана I(\alpha ) \subset \Lambda (M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E) з коефiцiєнтами з \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E(M), де E(M) —
спецiально вибране ермiтове лiнiйне розшарування над вiдповiдно вибраним багатовимiрним
многовидом M . Вiдповiдний iнтегральний пiдмноговид M\alpha \subset M iдеалу I(\alpha ) в загальному
випадку є локально еквiвалентним множинi незалежних змiнних iнтегровної нелiнiйної дифе-
ренцiальної системи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 835
Зауважимо, що ми називаємо розглядувану багатовимiрну диференцiальну систему сильно
iнтегровною, якщо вона дозволяє вiдповiдну зв’язнiсть \Gamma \lambda , параметрично залежну вiд \lambda \in
\in \BbbR , 2-форма кривизни якої \Omega (2)
\lambda \in \Lambda 2(M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E) анулюється на iнтегральному пiдмноговидi
M\alpha \subset M iдеалу I(\alpha ) \subset \Lambda (M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E). Остання умова, очевидно, еквiвалентна включенню
\Omega
(2)
\lambda \in I(\alpha ) (4.10)
для всiх допустимих значень \lambda \in \BbbR . Якщо зв’язнiсть \Gamma тривiально залежить вiд параметра
\lambda \in \BbbR , то багатовимiрна диференцiальна система називається iнтегровною.
З iншого боку, умова (4.10) використовується [25, 56] для знаходження вiдповiдного вiдо-
браження зв’язностi (4.2), якщо воно iснує. Вихiдний алгоритм пошуку сильно залежить [7,
25, 56] вiд властивостей гомологiчної групи зв’язностi \Gamma \lambda , \lambda \in \BbbR , на головному розшаруваннi
P (M,G), природно асоцiйованому з розшаруванням E(M), де G називається структурною
групою зв’язностi \Gamma \lambda , \lambda \in \BbbR . Щодо деталей алгоритму див. [7, 25, 56].
Умова (4.10) є надто важливою на пiдставi леми 4.2. Дiйсно, оскiльки спiввiдношення (4.9)
є справедливим, якщо H2j(M,\BbbR ) = 0, j \in Z+, безпосередньо знаходимо
\mathrm{c}\mathrm{h}j(\mathrm{A}) := d\chi j(\mathrm{A})
для деяких вiдповiдно визначених глобально диференцiальних (2j - 1)-форм \chi j(A) \in \Lambda 2j - 1(M),
j \in Z+, на M. Бiльше того, оскiльки всi степенi (\Omega (2))j належать I(\alpha ) для j \in \BbbZ +, з умови
i\ast \alpha I(\alpha ) = 0, де i\alpha : M\alpha \rightarrow M — вiдображення вкладення iнтегрального пiдмноговиду, отриму-
ємо, що i\ast \alpha \mathrm{c}\mathrm{h}j(A) = 0, або, еквiвалентно,
d\chi j(\mathrm{A}) = 0 (4.11)
для всiх j \in \BbbZ +. Це приводить до нових диференцiальних iнварiантiв типу Черна на M\alpha .
Можна сформулювати отриманий результат таким чином.
Теорема 4.1. Якщо iнтегровна багатовимiрна нелiнiйна диференцiальна система \^\alpha еквi-
валентна iнтегровному iдеалу Картана I(\alpha ) \subset \Lambda (M,\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}E) на многовидi Рiмана M i задо-
вольняє умови H2j(M,\BbbR ) = 0, j \in \BbbZ +, то вона має множину диференцiальних iнварiантiв
Картана (4.11) на iнтегральному пiдмноговидi M\alpha \subset M iдеалу I(\alpha ). Якщо цi iнварiанти є не-
тривiальними, то вони описують, зокрема, вiдповiдно асоцiйований простiр модулiв лiнiйного
розшарування E(M).
Варто зазначити, що бiльшiсть диференцiальних iнварiантiв (4.11) редукуються до ну-
ля при великих iндексах j \in \BbbZ + . Фактично всi диференцiальнi iнварiанти \chi j(A) для j \geq
\geq [\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M\alpha /2] + 1 є нулями. Зокрема, для випадку багатовимiрних iнтегровних нелiнiйних
диференцiальних систем, для яких \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M\alpha = 2 або 3, повинен iснувати хоча б один диферен-
цiальний iнварiант. Бiльше того, якщо для таких диференцiальних систем вiдповiднi структурнi
групи мають алгебри Лi без слiду, то не iснує iнварiантiв на M\alpha .
Цей результат досить повчальний для математичної теорiї геометрично iнтегровних бага-
товимiрних нелiнiйних диференцiальних систем, якi мають вiдповiднi вiдображення зв’язностi
(4.2) на \Lambda (M,E) з додатковими умовами когомологiї H2j(M,\BbbR ) = 0, j \in \BbbZ + . Зокрема, для
iснування цих вiдображень зв’язностi на \Lambda (M,E) в багатовимiрному випадку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M\alpha \geq 4,
нетривiальнi диференцiальнi iнварiанти можуть iснувати. Це приводить до певних топологiч-
них перешкод, якi потрiбно розглянути. Дiйсно, нетривiальний диференцiальний iнварiант
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
836 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
обумовлює нетривiальнi топологiчнi обмеження Hs(M,\BbbR ) \not = 0 для деяких s \in \BbbZ +, що су-
перечить когомологiчнiй умовi анулювання при цих значеннях s \in \BbbZ +, описанiй вище. Якщо
H2s(M,\BbbR ) \not = 0 для деяких s \in \BbbZ +, то пов’язанi характеристичнi класи Черна \mathrm{c}\mathrm{h}s(E,M) для
цих s \in \BbbZ + є, в загальному, сильно нетривiальними i завдяки лемi Пуанкаре визначають ди-
ференцiальнi (2s - 1)-форми \chi s(A) \in \Lambda 2s - 1
loc (M) тiльки локально. Цi локальнi диференцiальнi
форми, редукованi на iнтегральний пiдмноговид M\alpha \subset M, генерують множину диференцi-
альних багатозначних квазiiнварiантiв \chi s(A) \in \Lambda 2s - 1
loc (M\alpha ), де d\chi s(A) = 0, iснування яких
може означати, зокрема, що нелiнiйнi диференцiальнi системи є в деякому сенсi некоректно
заданими. Зауважимо, що цi асоцiйованi структури нелiнiйних диференцiальних систем також
вивчалися за допомогою вiдповiдних комплексiв де Рама – Ходжа (4.3).
5. Висновки. Отриманi результати присвячено розвитку узагальненої теорiї де Рама –
Ходжа спецiальних диференцiальних комплексiв, яка приводить до ефективних аналiтичних
виразiв для вiдповiдних операторiв трансмутацiї типу Вольтерра в заданому просторi Гiль-
берта \scrH . Зокрема, показано, що їх можна ефективно застосувати до вивчення iнтегральної
операторної структури операторiв трансмутацiї Дельсарта для полiномiальних в’язок диферен-
цiальних операторiв в \scrH , яка має багато застосувань в спектральнiй теорiї таких операторних
в’язок i в теорiї солiтонiв [39, 44, 45, 47, 56] багатовимiрних iнтегровних динамiчних систем
на функцiональних многовидах.
Якщо розглядають спектральний диференцiальний оператор \scrL : \scrH \rightarrow \scrH , то вважають,
що його спектр є вiдомим. За допомогою загальної форми операторiв трансформацiї Дель-
сарта можна побудувати iнший трансформований, бiльш складнiший диференцiальний опе-
ратор \~\mathrm{L} = \^\bfOmega \pm \mathrm{L} \^\bfOmega - 1
\pm в \scrH з iншим спектром. Такi трансформованi оператори можна ефек-
тивно використовувати для вивчення спектральних властивостей диференцiальних операторiв
[15 – 17, 41, 42, 44, 45] i конструювати широкий клас нетривiальних диференцiальних операто-
рiв iз вже заданим спектром, як це зроблено в [34, 36] для одного вимiру. Цi трансформованi
за Дельсартом оператори також кориснi для вивчення узагальнених спектральних властивостей
диференцiальних операторiв i операторних в’язок у багатьох вимiрах.
Як показано в [17, 40 – 42, 44, 45] для двовимiрного оператора Дiрака i тривимiрного збу-
реного оператора Лапласа, ядра вiдповiдних операторiв трансмутацiї Дельсарта задовольняють
деякi спецiальнi лiнiйнi iнтегральнi рiвняння типу Фредгольма (рiвняння Гельфанда – Левiтана –
Марченка), якi є важливими для розв’язання вiдповiдної оберненої спектральної задачi та iнших
задач математичної фiзики. Такi рiвняння можна легко конструювати також для багатьох ви-
мiрiв, що дає можливiсть сформулювати вiдповiдну обернену спектральну задачу для опису
широкого класу багатовимiрних операторiв iз вже заданими спектральними характеристиками.
Також можна використовувати такi результати для вивчення так званих повнiстю iнтегровних
нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь, особливо для побудови за допомогою спецiальних перетво-
рень типу Дарбу [34] їхнiх точних розв’язкiв.
Також проаналiзовано диференцiально-геометричнi аспекти узагальнених комплексiв де Ра-
ма – Ходжа, природно пов’язанi з iнтегровними багатовимiрними диференцiальними системами
типу Громова. Показано важливiсть характеристичних класiв Черна для вивчення диференцi-
альних систем. Побудовано спецiальнi диференцiальнi iнварiанти типу Черна i розглянуто їх
важливiсть i застосування до аналiзу iнтегровностi багатовимiрних нелiнiйних диференцiаль-
них систем на многовидах Рiмана.
Автори вдячнi колегам з Iнституту математики НАН України, механiко-математичного фа-
культету Київського нацiонального унiверситету iменi Т. Шевченка та механiко-математичного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 837
факультету Львiвського нацiонального унiверситету iменi I. Франка за кориснi обговорення те-
орiї операторiв трансмутацiї Дельсарта. Особливо хочемо вiдзначити плiднi дискусiї i кориснi
поради та зауваження, наданi професором Л. П. Нижником та доцентом Я. В. Микитюком пiд
час пiдготовки рукопису до публiкацiї.
Лiтература
1. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. – New York: Cummings, 1978. – 806 p.
2. Arnold V. I. Mathematical methods of classical mechanics. – New York: Springer, 1978. – 472 p.
3. Berezansky Yu. Expansion in eigenfunction of self-adjoint operators. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968.
4. Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger equation // Math. and Its Appl. – Netherlands: Springer, 1991. – 66.
5. Bukhgeim A. L. Volterra equations and inverse problems. – Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).
6. Donaldson S. An application of gauge theory to four dimensional topology // J. Different. Geom. – 1983. – 18. –
P. 279 – 315.
7. Blackmore D. L., Prykarpatsky Ya. A., Samulyak R. V. The integrability of Lie-invariant geometric objects generated
by ideals in Grassmann algebras // J. Nonlinear Math. Phys. – 1998. – 5. – P. 54 – 67.
8. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral
and differential-geometrical integrability analysis. – New Jersey: World Sci. Publ., 2011.
9. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Zagrodzinski J. Lax-type flows on Grassmann manifolds and dual momentum
mappings // Rep. Math. Phys. – 1997. – 40, № 3. – P. 539 – 549.
10. Bogoliubov N. N., Prykarpatsky Ya. A., Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K. A generalized de Rham – Hodge theory
of multidimensional Delsarte transformations of differential operators and its applications for nonlinear dynamic
systems // Phys. Particles and Nuclei. – 2005. – 36, № 1. – P. 110 – 121.
11. Cartan E. Lecons sur invariants integraux. – Paris: Hermann, 1971. – 260 p.
12. Chern S. S. Complex manifolds. – Chicago Univ. Publ., 1956.
13. Danford N., Schwartz J. T. Linear operators. – New York: InterSci. Publ., 1963. – Vol. 2.
14. Datta B. N., Sarkissian D. R. Feedback control in distributed parameter gyroscopic systems: a solution of the partial
eigenvalue assignment problem // Mech. Syst. and Sign. Proces. – 2002. – 16, № 1. – P. 3 – 17.
15. Delsarte J. Sur certaines transformations fonctionelles relative aux equations lineaires aux derives partielles du second
ordre // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1938. – 206. – P. 178 – 182.
16. Delsarte J., Lions J. Transmutations d’operateurs differentielles dans le domain complex // Comment. Math. Helv. –
1957. – 52. – P. 113 – 128.
17. Faddeev L. D. Inverse problem in quantum scattering theory // J. Soviet Math. – 1976. – 5, № 3.
18. Faddeev L., Takhtadjyan L. Hamiltonian methods in the theory of solitons // Theor., Math. and Comput. Phys. –
Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.
19. Gelfand I. M., Shilov G. E. Generalized functions. Vol. 2: Spaces of fundamental and generalized functions. – Amer.
Math. Soc., 2016.
20. Godbillon C. Geometrie differentielle et mechanique analytique. – Paris: Hermann, 1969.
21. Gokhberg I. C., Krein M. G. Theory and applications of Volterra operators in Hilbert space // Transl. Math. Monogr. –
Amer. Math. Soc., 2004.
22. Golenia J., Prykarpatsky Y. A., Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K. The general differential-geometric structure
of multidimensional Delsarte transmutation operators in parametric functional spaces and their applications in soliton
theory. Pt 2 // Opuscula Math. – 2004. – № 24.
23. Gromov M. Partial differential relations. – New York: Springer, 1986. – 536 p.
24. Gu C. H. Generalized self-dual Yahg – Mills flows, explicit solutions and reductions // Acta Appl. Math. – 1995. –
39. – P. 349 – 360.
25. Hentosh O. Ye., Prytula M. M., Prykarpatsky A. K. Differential-geometric integrability fundamentals of nonlinear
dynamical systems on functional manifolds. – Lviv: Lviv. Univ. Publ., 2006. – 408 p.
26. Hruslov E. J. Asymptotics of the solution of the Cauchy problem for the KdV equation with step-like initial data //
Math. USSR-Sb. – 1976. – 28. – P. 229 – 248.
27. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of differential geometry. – New York: John Wiley and Sons, 1963. – Vol. 1. –
344 p.; 1969. – Vol. 2. – 357 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
838 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
28. Konopelchenko B. G. On the integrable equations and degenerate dispersion laws in multidimensional spaces // J.
Phys. A: Math. and Gen. – 1983. – 16. – P. L311 – L316.
29. Levi D., Pilloni L., Santini P. M. Backlund transformations for nonlinear evolution equations in (2+1)-dimensions //
Phys. Lett. A. – 1981. – 81, № 8. – P. 419 – 423.
30. Liu Wen. Darboux transformations for a Lax integrable systems in 2n-dimensions // arXive:solve-int/9605002 v1
15 may 1996
31. Lopatynski Y. B. On harmonic fields on Riemannian manifolds // Ukr. Math. J. – 1950. – 2, № 1. – P. 56 – 60
(in Russian).
32. Лопатинский Я. Г. Введение в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных. –
Киев: Наук. думка, 1980.
33. Moore J. D. Lectures on Seiberg – Witten invariants. – Second ed. – Springer, 2001. – 160 p.
34. Matveev V. B., Salle M. I. Darboux – Backlund transformations and applications. – New York: Springer, 1993.
35. Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Introduction to differential geometry and topology. – Moscow Univ. Publ., 1983. –
439 p.
36. Marchenko V. A. Sturm – Liouville operator and applications. – Basel: Birkhäuser, 1986.
37. Mykytiuk Ya. V. Factorization of Fredholmian operators // Math. Stud. Proc. Lviv Math. Soc. – 2003. – 20, № 2. –
P. 185 – 199 (in Ukrainian).
38. Mykytiuk Ya. V. Factorization of Fredholmian operators in operator algebras // Math. Stud. Proc. Lviv Math. Soc. –
2004. – 21, № 1. – P. 87 – 97 (in Ukrainian).
39. Newell A. C. Solitons in mathematics and physics. – Arisona: SIAM Publ., 1985.
40. Newton R. G. Inverse Schrödinger scattering in three dimensions. – Berlin etc.: Springer, 1989.
41. Нижник Л. П. Интегрирование нелинейных многомерных уравнений методом обратной задачи // Докл. АН
СССР. – 1980. – 254, № 2. – С. 332 – 335.
42. Нижник Л. П. Обратная задача рассеяния для гиперболических уравнений. – Киев: Наук. думка, 1991.
43. Nizhnik L. P., Pochynaiko M. D. Integration of the nonlinear two-dimensional spatial Schrödinger equation by the
inverse-problem method // Funct. Anal. and Appl. – 1982. – 16, № 1. – P. 66 – 69.
44. Nizhnik L. P. The inverse scattering problems for the hyperbolic equations and their applications to non-linear
integrable equations // Rep. Math. Phys. – 1988. – 26, № 2. – P. 261 – 283.
45. Nizhnik L. P. Inverse scattering problem for the wave equation and its application // Parameter Identification and
Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology. – 1996. – P. 233 – 238.
46. Nimmo J. C. C. Darboux transformations from reductions of the KP-hierarchy. – 2002. – 11 p. – (Preprint / Univ.
Glasgow).
47. Novikov S. P., Manakov S. V., Pitaevskii L. P., Zakharov V. E. Theory of solitons. The inverse scattering method. –
Springer, 1984.
48. Pochynaiko M. D., Sydorenko Yu. M. Integrating some (2 + 1)-dimensional integrable systems by methods of inverse
scattering problem and binary Darboux transformations // Mat. Stud. – 2003. – № 20. – P. 119 – 132.
49. Prykarpatsky A., Blackmore D. Versal deformations of a Dirac type differential operator // J. Nonlinear Math. Phys. –
1999. – 6, № 3. – P. 246 – 254.
50. Prykarpatsky Y. A., Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K. The multi-dimensional Delsarte transmutation operators,
their differential-geometric structure and applications. Pt 1 // Opuscula Math. – 2003. – 23. – P. 71 – 80.
51. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A., Samoylenko V. G. Structure of binary transformations of Darboux type and
their application to soliton theory // Ukr. Math. J. – 2003. – 55, № 12. – P. 2041 – 2059.
52. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А., Блекмор Д., Прикарпатський А. К. Теорiя багатовимiрних операторiв
трансмутацiї Дельсарта – Лiонса. I // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 12. – С. 1660 – 1695.
53. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Ya. A., Prykarpatsky A. K. The spectral and differential geometric aspects of
a generalized De Rham – Hodge theory related with Delsarte transmutation operators in multidimension and its
applications to spectral and soliton problems // Nonlinear Anal. – 2006. – 65. – P. 395 – 432.
54. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебро-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних динамiчних систем
та їх збурень. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – 41.
55. Prykarpatsky Y. A., Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. The Delsarte – Darboux type binary
transformations and their differential-geometric and operator structure // arXiv: math-ph/0403055 v 1 29 Mar 2004
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. II 839
56. Prykarpatsky A. K., Mykytiuk I. V. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: classical and
quantum aspects. – Netherlands: Kluwer Acad. Publ., 1998.
57. De Rham G. Varietes differentielles. – Paris: Hermann, 1955.
58. De Rham G. Sur la theorie des formes differentielles harmoniques // Ann. Univ. Grenoble. – 1946. – 22. – P. 135 – 152.
59. Skrypnik I. V. Periods of A-closed forms // Proc. USSR Acad. Sci. – 1965. – 160, № 4. – P. 772 – 773.
60. Skrypnik I. V. A harmonique fields with peculiarities // Ukr. Math. J. – 1965. – 17, № 4. – P. 130 – 133.
61. Skrypnik I. V. The generalized De Rham theorem // Proc. UkrSSR Acad. Sci. – 1965. – № 1. – P. 18 – 19.
62. Skrypnik I. V. A harmonic forms on a compact Riemannian space // Proc. UkrSSR Acad. Sci. – 1965. – № 2. –
P. 174 – 175.
63. Sternberg S. Lectures on differential geometry. – Prentice Hall, USA, 1956. – 410 p.
64. Teleman R. Elemente de topologie si varietati diferentiabile. – Bucuresti Publ., 1964.
65. Warner F. Foundations of differential manifolds and Lie groups. – New York: Acad. Press, 1971.
66. Zakharov V. E., Shabat A. B. A scheme of integration of nonlinear equations of mathematical physics via the inverse
scattering problem. I // Funct. Anal. and Appl. – 1974. – 8, № 3. – P. 226 – 235; 1979. – 13, № 3. – P. 166 – 174.
67. Zakharov V. E. Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes Phys. – 1982. – 153. – P. 190 – 216.
68. Zakharov V. E., Manakov S. V. On a generalization of the inverse scattering problem // Theor. and Math. Phys. –
1976. – 27, № 3. – P. 283 – 287.
Одержано 04.11.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1478 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:31Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/ba3acdefe957fd66f6bf90c48f50525c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14782019-12-05T08:56:42Z Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II Теорія багатовимірних операторів трансмутації Дельсарта – Ліонса. II Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. UDC 517.9 The differential-geometric and topological structures related to the Delsarte transmutation operators and the Gelfand – Levitan – Marchenko equations that describe these operators are studied by using sutable differential de Rham – Hodge – Skrypnik complexes. The correspondence between the spectral theory and special Berezansky-type congruence properties of the Delsarte transmutation operators is established. Some applications to multidimensional differential operators are presented, including the three-dimensional Laplace operator, the two-dimensional classical Dirac operator, and its multidimensional affine extension associated with self-dual Yang – Mills equations. Soliton solutions of a certain class of dynamical systems are discussed. УДК 517.9 Вивчаються диференціально-геометричні та топологічні структури операторів трансмутації Дельсарта й асоційовані з ними рівняння типу Гельфанда – Левітана – Марченка за допомогою диференціальних комплексів де Рама – Ходжа – Скрипника. Встановлено відповідності між спектральною теорією та спеціальними конгруентними властивостями типу Березанського трансмутованих операторів Дельсарта. Наведено деякі застосування до багатовимірних диференціальних операторів, включаючи тривимірний оператор Лапласа, двовимірний класичний оператор Дірака і його багатовимірне афінне розширення, пов'язане з самоспряженими рівняннями Янга – Міллса. Обговорюються солітонні розв'язки певного класу асоційованих динамічних систем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1478 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 808-839 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 808-839 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1478/462 Copyright (c) 2019 Blackmore D.; Prykarpatsky A. K.; Prykarpatsky Ya. A.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title_alt | Теорія
багатовимірних операторів трансмутації Дельсарта – Ліонса. II |
| title_full | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title_fullStr | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title_full_unstemmed | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title_short | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. II |
| title_sort | theory
of multidimensional delsarte – lions transmutation operators. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1478 |
| work_keys_str_mv | AT blackmored theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT prykarpatskyak theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT prykarpatskyyaa theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT samoilenkoam theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT blekmord theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT prikarpatsʹkijak theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT prikarpatsʹkijâa theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT samojlenkoam theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsii AT blackmored teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT prykarpatskyak teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT prykarpatskyyaa teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT samoilenkoam teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT blekmord teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT prikarpatsʹkijak teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT prikarpatsʹkijâa teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii AT samojlenkoam teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsaii |