Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $
UDC 512.542 We describe finite simple groups with Hall biprimary subgroups of even order that contain Sylow subgroups of odd order of the $G$-group, except one of Sylow's subgroups of odd order.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1480 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507262000300032 |
|---|---|
| author | Bashun, S. Yu. Башун, C. Ю. Башун, C. Ю. |
| author_facet | Bashun, S. Yu. Башун, C. Ю. Башун, C. Ю. |
| author_sort | Bashun, S. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-30T12:29:40Z |
| description | UDC 512.542
We describe finite simple groups with Hall biprimary subgroups of even order that contain Sylow subgroups of odd order of the $G$-group, except one of Sylow's subgroups of odd order. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.542
C. Ю. Башун (Полоцк. гос. ун-т, Беларусь)
КОНЕЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ С ХОЛЛОВЫМИ \{ \bftwo , \bfitr \} -ПОДГРУППАМИ,
\bfitr \in \bfitpi (\bfitG )\setminus \{ \bftwo , \bfitt \} , \bfitt \in \bfitpi (\bfitG )
We describe finite simple groups with Hall biprimary subgroups of even order that contain Sylow subgroups of odd order
of the G-group, except one of Sylow’s subgroups of odd order.
Описано скiнченнi простi групи, якi мають холловi бiпримарнi пiдгрупи парного порядку, що мiстять силовськi
пiдгрупи непарного порядку групи G, за винятком однiєї з силовських пiдгруп непарного порядку.
Введение. В настоящей статье рассматриваются только конечные группы. При этом исполь-
зуются стандартные обозначения и терминология современной теории конечных групп (см.
[2, 3]). Как обычно, | X| — число различных элементов конечного множества (порядок мно-
жества X ), (a, b) — наибольший общий делитель чисел a и b, \pi — некоторое множество
различных простых чисел (\pi \in \BbbP ), \pi \prime = \BbbP \setminus \pi — множество простых чисел, не принадлежащих
\pi , \pi (n) — множество всех различных простых делителей целого числа n и \pi (G) = \pi (| G| ) —
множество попарно различных простых делителей порядка группы G. Соответственно, En —
элементарная абелева группа порядка n, Q8 — группа кватернионов порядка 8, Gp — силовская
p-подгруппа группы G и m-примарная группа — это группа G, у которой | \pi (G)| = m.
Напомним, что \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(p) — множество групп лиева типа с полем определения GF (q) харак-
теристики p, q = pf (поэтому иногда используется обозначение \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q)) и T -группа — группа,
у которой нет холловой \{ 2, t\} -группы для t \in \pi (G)\setminus \{ 2\} , а есть холловы \{ 2, r\} -подгруппы для
всех r \in \pi (G)\setminus \{ 2, t\} .
Определение 0.1 [2, c. 86]. Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q), q = pf . Тогда нормализатор силовской
p-подгруппы Gp группы G называется подгруппой Бореля группы G.
B = Gp \leftthreetimes K, где K называется подгруппой Картана группы G. Группа K всегда абелева
[2, c. 61].
Любая собственная подгруппа группы G, содержащая подгруппу B, называется парабо-
лической подгруппой группы G.
В дальнейшем нам также потребуется понятие \varepsilon = \varepsilon (q) = ( - 1)(q - 1)/2, где q = pf , p —
простое число.
1. Предварительные результаты. Для доказательства теоремы нам потребуются следую-
щие леммы.
Лемма 1.1 [2, c. 87] (предложение 2.17) и [10] (утверждение (2.1)). Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} (p),
B — подгруппа Бореля группы G и B \subset Y \subset G. Пусть Op(Y ) = P \ast , Y = Y/P \ast . Тогда
Y = H \cdot Y 1 \cdot . . . \cdot Y r, где H — подгруппа Картана группы G (B = Gp \leftthreetimes H), Y i \lhd Y ,
Y i \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(p), 1 \leq i \leq r, Y = P \ast \leftthreetimes H \cdot Y1 \cdot . . . \cdot Yr, где Yi \sim = Y i для всех i = 1, r (Yi, i = 1, r,
называют сомножителями Леви параболической подгруппы Y ).
c\bigcirc C. Ю. БАШУН, 2019
852 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
КОНЕЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ С ХОЛЛОВЫМИ \{ 2, r\} -ПОДГРУППАМИ, r \in \pi (G)\setminus \{ 2, t\} , t \in \pi (G) 853
Лемма 1.2. Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(p), P — разрешимая параболическая подгруппа группы G,
отличная от подгруппы Бореля. Тогда
p = 2, NP (P2) = NG(G2) = G2,
p = 3, NP (P3) = P3 = G3, а P2 — абелева группа.
Доказательство. По лемме 1.1 подгруппа P имеет только множители Леви, являющиеся
разрешимыми группами. По предложению 2.13 [2] это могут быть множители типов L2(2),
Sz(2), U3(2) для p = 2 или L2(3) для p = 3. Указанные группы изоморфны соответственно
группам Z3 \leftthreetimes Z2, Z5 \leftthreetimes Z4, E9 \leftthreetimes Q8, E4 \leftthreetimes Z3
\sim = A4 [7, с. XV]. Поэтому по лемме 1.1 для
P \ast = O2(P ) и P = P/P \ast имеем P = H \cdot Y 1 \cdot Y 2 \cdot . . . \cdot Y r, где H = H \cdot P \ast /P \ast \sim = H/ (H \cap P \ast ) ,
Y i = Yi \cdot P \ast /P \ast \sim = Yi/ (Yi \cap P \ast ) для i = 1, r и Yi \in \{ L2(2), Sz(2), U3(2)\} . Следовательно,
Yi \cap P \ast = 1, Y i \in \{ L2(2), Sz(2), U3(2)\} , H \sim = H вследствие H \cap P \ast = 1 (H — 2\prime -группа (см.
определение 0.1)). Таким образом, по лемме 1.1 подгруппа P — прямое произведение групп
вида Z3 \cdot Z2, Z5 \cdot Z4, E9 \cdot Q8. Но тогда NP (P 2) = P 2 и NP (P2) = P2, P2 = G2. Аналогично
Yi \sim = L2(3) для p = 3, i = 1, r. Снова NP (P 3) = P 3, NP (P3) = P3, P3 = G3, и P2 равна
прямому произведению групп, изоморфных E4 (в частности, P2 — абелева).
Лемма доказана.
Лемма 1.3 [2, с. 87] (предложение 2.17). Параболическая подгруппа P группы G\in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q),
q = pf , отличная от подгруппы Бореля группы G, неразрешима, за исключением случаев, пе-
речисленных в лемме 1.2.
Лемма 1.4 [4] (теорема 3.1). Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} (q) (нормальная или скрещенная), q = pf .
Пусть A — холлова \pi -подгруппа группы G, p \in \pi , 3 /\in \pi . Тогда или p = 2, или 2 /\in \pi . Более
того, A = G \sim = Sz
\bigl(
22k+1
\bigr)
или A содержится в подгруппе Бореля группы G.
Лемма 1.5 [6] (теорема 8.3). Пусть G — конечная группа лиева типа над полем характе-
ристики p \in \pi . Если H — \pi -холлова подгруппа группы G, то H либо содержится в подгруппе
Бореля группы G, либо является параболической подгруппой группы G.
Лемма 1.6 [5] (теорема 5.8). Пусть G — простая группа, M — собственная подгруппа в
G и | G : M | = rs, s — простое число. Тогда G принадлежит к одному из следующих типов:
(1) L2(11), M \sim = A5;
(2) L2(p), p \geq 7 — простое число Мерсенна, M = N(Gp);
(3) L2(2
n), M = N(G2), n = 3, rs = 32 или s = 1, r = 2n + 1 — простое число Ферма;
(4) U4(2) \sim = PSp4(3), r
s = 32;
(5) An, 5 \leq n = rs, M \sim = An - 1;
(6) M11, M \sim = M10 \supset A6, A6;
(7) M23, M = M22;
(8) Ln(q), n — нечетное простое число, (n, q - 1) = 1, M — максимальная параболическая
подгруппа индекса rs = (qn - 1) /(q - 1), Ln - 1(q) вкладывается в M.
M или холлова r\prime -подгруппа, или G типа (4) или (5), s \geq 2.
Лемма 1.7 [8] (теорема XI.13.7). Если G — простая неабелева группа с абелевой силовской
2-подгруппой, то G \in
\bigl\{
L2
\bigl(
2f
\bigr)
;L2(q), q \equiv \pm 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8);J1;
2G2
\bigl(
32n+1
\bigr) \bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
854 C. Ю. БАШУН
Лемма 1.8 [8] (теорема XI.13.2). Пусть G = 2G2(q), q = 32n+1, 3n = m. Тогда | G| =
= q3(q - 1)(q+1)(q+3m+1)(q - 3m+1), G2
\sim = E8, | NG(G2)| = 8\cdot 7\cdot 3. Группа G имеет холловы
подгруппы H1 и H2 порядков q + 3m + 1 и q - 3m + 1 соответственно, которые являются
централизаторами в G всех своих неединичных элементов, | NG(Hi)/Hi| = 6, i = 1, 2. Для
p > 3 силовские p-подгруппы группы G циклические.
Лемма 1.9 [9]. Пусть p и s — различные простые числа, m и n — натуральные числа и
pm = sn + 1. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:
(1) s = 2, p = 3, n = 3, m = 2; p = 3, m = 1, n = 1, s = 2;
(2) s = 2, m = 1, n — степень числа 2, p = sn + 1 — простое число Ферма;
(3) p = 2, n = 1, s = 2m - 1 — простое число Мерсенна, в частности, m — простое
число.
Лемма 1.10 [11]. Пусть x, y, q > 1, n > 2 — целые числа и n делится на нечетное
простое число p \leq 11. Тогда уравнение (xn - 1) /(x - 1) = yq имеет только следующие
решения:
(x, y, n, q) \in \{ (3, 11, 5, 2); (7, 20, 4, 2); (18, 7, 3, 3)\} .
Лемма 1.11. Пусть x, y, m \in \BbbN , x > 1. Предположим, что:
(1) x2 + x+ 1 = ym
или
(2) x2 - x+ 1 = ym.
Тогда m = 1, или в случае (1) x = 18, m = 4, y = 7, а в случае (2) x = 19, m = 3, y = 7.
Доказательство. (1) x2 + x + 1 =
\bigl(
x3 - 1
\bigr)
/(x - 1). По лемме 1.10 m = 1 или x = 18,
m = 3, y = 7.
(2) Пусть x = z + 1, z \in \BbbN . Тогда x2 = z2 + 2z + 1, x2 - x+ 1 = z2 + 2z + 1 - z - 1 + 1 =
= z2 + z + 1 = ym. По предыдущему случаю (1) z = 18, m = 3 или m = 1. Но если z = 18,
то x = 19.
Лемма доказана.
Лемма 1.12. Пусть группа G \sim = Sz(q), q = r2m+1. Тогда G не является T -группой.
Доказательство. Пусть r = 2m, тогда в G существуют холловы подгруппы U1 и U2
порядков q + 2r + 1 и q - 2r + 1 и в G нет холловых \{ 2, si\} -подгрупп для si \in \pi (Ui), i = 1, 2
[8] (теорема XI.3.10), т. е. G \sim = Sz(q) не удовлетворяет условию леммы.
Лемма доказана.
Лемма 1.13. Пусть G — конечная простая неабелева T -группа с абелевой силовской
2-подгруппой. Тогда или G \sim = L2(2
f ), q = 2f , 2f + 1 — простое число Ферма (f — сте-
пень числа 2) или q \equiv \pm 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8). Если 3 делит q + \varepsilon , 4 делит q - \varepsilon , то G \sim = L2(5). Если
4 делит q - \varepsilon и 3 делит q - \varepsilon , то q + \varepsilon = 2 \cdot tb и либо A4 — холлова подгруппа в G, либо 9
делит q - \varepsilon .
Доказательство. По лемме 1.7 G \in
\bigl\{
J1,
2G2
\bigl(
32n+1
\bigr)
, L2
\bigl(
2f
\bigr)
, L2(q), q \equiv \pm 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8)
\bigr\}
.
Если G \sim = J1, то | G| = 23 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19. Согласно [6] (таблица 4) G не имеет холловых
\{ 2, 11\} - и \{ 2, 19\} -подгрупп. Поэтому группа J1 не удовлетворяет условию леммы.
Если G \sim = 2G2(3
2n+1), то по лемме 1.8 в группе G содержатся силовские циклические
r-подгруппа и s-подгруппа из холловых подгрупп U1 и U2 соответственно. Можно взять r \not =
\not = 3 \not = s, так как в противном случае 3 делит q + 1, что невозможно. По условию в группе G
имеются холлова \{ 2, r\} -подгруппа X и холлова \{ 2, s\} -подгруппа Y. По лемме 1.4 тогда X и Y
содержатся в подгруппе Бореля B = G2 \leftthreetimes B2\prime группы G, т. е. Gr и Gs должны нормализовать
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
КОНЕЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ С ХОЛЛОВЫМИ \{ 2, r\} -ПОДГРУППАМИ, r \in \pi (G)\setminus \{ 2, t\} , t \in \pi (G) 855
G2, что противоречит лемме 1.8, согласно которой | NG(G2)| = 8 \cdot 7 \cdot 3 (числа q + 3m + 1 и
q - 3m+ 1 взаимно просты).
Если G \sim = L2(2
f ), q = 2f , то NG(G2) \sim = G2 \leftthreetimes Zq - 1. Поскольку в G есть холлова цикличе-
ская подгруппа X порядка 2f +1, то по условию в G должны быть холловы \{ 2, r\} -подгруппы
для всех r \in \pi (X)\setminus \{ t\} . Если существует r \not = t, то рассмотрим холлову \{ 2, r\} -подгруппу
Y. Согласно лемме 1.5 тогда Y либо содержится в подгруппе Бореля группы G (и, значит,
r \in \pi (NG(G2)), что невозможно вследствие (q - 1, q + 1) = 1), либо является разрешимой
параболической подгруппой. В последнем случае по определению 0.1 она должна содержать
подгруппу Бореля B = NG(G2) группы G. По лемме 1.2 это возможно, если q - 1 = 1. Но
тогда G \sim = L2(2) \sim = Z3\leftthreetimes Z2, что невозможно для простой группы G. Итак, r \not = t не существует
и поэтому q + 1 = tx, tx = t = 2f + 1 — простое число Ферма и f — степень простого числа 2
согласно лемме 1.9.
Пусть теперь G \sim = L2(q), q = pf , q \equiv \pm 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8). Тогда | G2| = 4, p \not = 2, 3.
Пусть 4 делит q - \varepsilon . В группе G имеется холлова разрешимая подгруппа X \sim = Dq - \varepsilon [3]
(теорема II.8.27). Поэтому в X имеются холловы \{ 2, r\} -подгруппы для всех r \in \pi (X)\setminus \{ 2\} .
Они являются также холловыми \{ 2, r\} -подгруппами в G. Поэтому t \in \pi (q+ \varepsilon ). Предположим,
что 2 < s \not = t и s делит q + \varepsilon . По условию в G имеется холлова \{ 2, s\} -подгруппа Y, так
как (q - \varepsilon , q + \varepsilon ) = 2. Если s \not = 3, то согласно теореме 8.9 [6] s \in \pi (q - \varepsilon ). Но по выбору
5 \in \pi (q + \varepsilon ). Это противоречие показывает, что не существует s \not = 3.
Если 3 \in \pi (q + \varepsilon ), то t = 3 и q + \varepsilon = 2 \cdot 3a.
В этом случае согласно [6] (таблица 10) K = A4 является холловой подгруппой в G (3 не
делит q - \varepsilon ). Тогда | G3| = 3, q + \varepsilon = 6, q = 6 - \varepsilon и q \in \{ 5, 7\} . Только q = 5 удовлетворяет
условию q \equiv - 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8).
Итак, если 3 \in \pi (q + \varepsilon ), то G \sim = L2(5).
Если 3 \in \pi (q - \varepsilon ), то q + \varepsilon = 2 \cdot tb, 9 делит q - \varepsilon , ибо в противном случае согласно [6]
(таблица 10) K \sim = A4 будет холловой подгруппой в G.
Итак, если K \sim = A4 не есть холлова \{ 2, 3\} -подгруппа в G, то 9 делит q - \varepsilon .
Лемма доказана.
2. Основной результат.
Теорема 2.1. Пусть G — конечная простая неабелева T -группа. Тогда группа G изоморф-
на одной из следующих групп:
L2
\bigl(
2f
\bigr)
, 2f + 1 — простое число Ферма (f — степень числа 2);
L2(7), L2(8), L2(5);
L2(q), q + \varepsilon = 2 \cdot 3a, a > 0;
L3(3);
L2(q), q \equiv \pm 3 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8). При этом если 3 делит q + \varepsilon , 4 делит q - \varepsilon , то G \sim = L2(5); если
4 делит q - \varepsilon и 3 делит q - \varepsilon , то в любом случае q + \varepsilon = 2 \cdot tb, и либо A4 является холловой
подгруппой, либо 9 делит q - \varepsilon .
Доказательство. Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q), q = pf .
(1) Рассмотрим случай t = p > 3.
По условию в G существуют холловы \{ 2, r\} -подгруппы для всех r \in \pi (G)\setminus \{ 2, t = p\} . По
теореме 8.9 [6] все простые числа r \not = 3, t содержатся в \pi (q - \varepsilon ). Но тогда \pi (q+\varepsilon ) не содержит
отличных от 3 нечетных простых чисел. Поскольку 2 \in \pi (q - \varepsilon ), то
\pi (G) = \pi (q - \varepsilon ) \cup \{ 3, t\} . (2.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
856 C. Ю. БАШУН
Предположим, что q3 - 1 делит | G| . Тогда q2+ q+1 делит | G| ,
\bigl(
q - \varepsilon , q2 + q + 1
\bigr)
\in \{ 1, 3\} .
Поэтому q2 + q + 1 = 3x, так как t = p. По лемме 1.11 x = 1. Тогда q(q + 1) = 2, что
невозможно.
Предположим, что q3+1 делит | G| . Тогда q2 - q+1 делит | G| ,
\bigl(
q - \varepsilon , q2 - q + 1
\bigr)
\in \{ 1, 3\} .
Поэтому q2 - q + 1 = 3y. По лемме 1.11 y = 1. Тогда q(q - 1) = 2, q = 2 = p < 3.
Итак,
\bigl(
q3 - 1
\bigr) \bigl(
q3 + 1
\bigr)
не делит | G| . По [7, с. XVI] G \in \{ L2(q), P\Omega 5(q)\} .
Предположим, что q2 + 1 делит | G| ,
\bigl(
q - \varepsilon , q2 + 1
\bigr)
= 2. Поэтому q2 + 1 = 2 \cdot 3z или
q2 + 1 = 3z. Но 3 не может делить q2 + 1, так как 3 делит q2 - 1 по теореме Эйлера (и тогда
число 3 делило бы и разность этих чисел, равную 2, что невозможно). Итак, q2 + 1 = 2y,
p2f + 1 = 2y. Поскольку p > 3, то по лемме 1.9(3) 2f = 1, что невозможно. Итак, q2 + 1 не
делит | G| и G \ncong P\Omega 5(q) [7, с. XVI]. Остается для рассмотрения случай с G \sim = L2(q).
Предположим, что 4 делит q+\varepsilon . Тогда 22 не делит q - \varepsilon , а в G имеется холлова диэдральная
подгруппа Dq+\varepsilon = H. Поэтому она содержит все холловы \{ 2, r\} -подгруппы группы G для
r \in \pi (H)\setminus \{ 2, s\} . Но тогда по (2.1) \pi (q + \varepsilon ) = \{ 2, 3\} . Пусть s \in \pi (q - \varepsilon )\setminus \{ 2\} . По условию
в G должна существовать холлова \{ 2, s\} -подгруппа, s \not = 3. Но по теореме II.8.27 [3] такой
подгруппы в группе G нет. Поэтому s не существует. Тогда \pi (q - \varepsilon ) = \{ 2\} , q - \varepsilon = 2, q = 3,
\varepsilon = 1. Но по предположению (1) q = pf , p > 3. Поэтому 4 не делит q + \varepsilon , 4 делит q - \varepsilon ,
q + \varepsilon = 2 \cdot 3a, a > 0. Итак, в случае (1) теорема доказана.
(2) Рассмотрим случай, когда t = p = 3.
Как и в случае (1), показываем, что \pi (G) = \pi (q - \varepsilon ) \cup \{ 3\} , либо по теореме 8.9 [6]
G \sim = 2G2
\bigl(
32m+1
\bigr)
. Но последний случай исключен в лемме 1.13.
Так же, как и в случае (1), показываем, что q3 \pm 1 не делит | G| .
Предположим, что q2+1 делит | G| . Из
\bigl(
q - \varepsilon , q2 + 1
\bigr)
= 2 и q = 3f следует, что q2+1 = 2b,
т. е. 32f + 1 = 2b. По лемме 1.9 это невозможно. Итак, в этом случае G \ncong P\Omega 5(q) [7, с. XVI],
G \sim = L2(q), q = 3f , q + \varepsilon = 2m, 3f + 1 = 2m или 3f - 1 = 2m (\varepsilon = 1 или \varepsilon = - 1). В
первом случае по лемме 1.9 f = 1. Но группа L2(3) не простая. Поэтому пусть 3f - 1 = 2m,
3f = 2m + 1. По лемме 1.9 m = 3, 3f = q = 9, или f = 1, m = 1 (этот случай уже исключен
выше). Итак, G \sim = L2(9). Но группа L2(9) не удовлетворяет условию теоремы [7, с. 4].
(3) Рассмотрим случай p \not = t = 3.
Пусть p \in \pi (G)\setminus \{ 3\} и 2 \in \pi (G)\setminus \{ 3\} . Предположим, что p \not = 2. По условию в G имеется
холлова \{ 2, p\} -подгруппа. Но тогда по лемме 1.4 p = 2, что противоречит предположению.
Итак, впредь считаем, что 2 = p \in \pi (G)\setminus \{ 3\} при p \not = t = 3.
Пусть r \in \pi (G)\setminus \{ 2, 3\} . По условию в G существует холлова \{ 2, r\} -подгруппа H. По
лемме 1.4 H \subseteq B, где B — подгруппа Бореля группы G. Тогда Hr нормализует G2 = H2.
Поскольку r пробегает все нечетные простые числа из \pi (G)\setminus \{ 2, t\} , то | G : NG(G2)| делит
| G3| . Тогда по лемме 1.6 G \sim = L2(8), так как в группе G \sim = PSp4(3) | G : NG(G2)| \not = 3x.
(4) Рассмотрим случай, когда p = 2, t \not = 3.
Предположим, что 3 не делит | G| . Тогда G \sim = Sz(q), q = 22m+1 [8] (теорема XI.3.6). Но
по лемме 1.12 G — не T -группа. Поэтому по случаю (3) можно считать, что в G существует
холлова \{ 2, 3\} -подгруппа Y, r = 3. По лемме 1.5 либо Y лежит в подгруппе Бореля B, либо
она сама является параболической разрешимой подгруппой в G. Поскольку G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} (2), то
по лемме 1.2 если Y — параболическая подгруппа в G, то подгруппа Картана K = 1.
Если простые числа, отличные от 2, 3, t, не делят | G| , то согласно [2, с. 20] G \in
\in
\bigl\{
L2(5) \sim = L2
\bigl(
22
\bigr)
, L2(7), L3(3)
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
КОНЕЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ С ХОЛЛОВЫМИ \{ 2, r\} -ПОДГРУППАМИ, r \in \pi (G)\setminus \{ 2, t\} , t \in \pi (G) 857
Если же r > 3, r \not = t, r делит | G| , то по условию в G существует холлова \{ 2, r\} -
подгруппа X и по лемме 1.4 X содержится в подгруппе Бореля B группы G, т. е. K \not = 1.
Поэтому Y также лежит в некоторой подгруппе Бореля группы G. Но тогда Y x \subseteq N(G2),
x \in G и \pi (B) = \pi (G)\setminus \{ t\} . Значит, | G : B| делит | Gt| и по лемме 1.6 G \sim = L2(8), или
G \sim = L2 (2
n) , | Gt| = t = 2n + 1 — простое число Ферма и, в частности, n — степень числа
2 (либо G \sim = U4(2) \sim = PSp4(3) что исключено выше). Для остальных случаев заключения
леммы 1.6 p \not = 2.
(5) Пусть p > 2, t \not = 3.
По условию в группе G имеется холлова \{ 2, p\} -подгруппа X. Если p \not = 3, то по лемме 1.4
X содержится в подгруппе Бореля B группы G. Тогда G2 содержится в подгруппе Картана
группы G и поэтому является абелевой (определение 0.1). Утверждение следует из леммы 1.13.
Если p = 3, то по лемме 1.5 либо холлова \{ 2, 3\} -подгруппа X содержится в подгруппе
Бореля группы G, и тогда G2 содержится в подгруппе Картана, поэтому G2 — абелева группа,
либо X сама является разрешимой параболической подгруппой в группе G. Тогда по лемме 1.2
X2 — абелева группа. Поскольку X — холлова подгруппа в G, то опять G2 — абелева группа.
Поэтому в случае p = 3 утверждение также следует из леммы 1.13.
Итак, в случае G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} (q) теорема доказана.
Если G \in \{ An/n \geq 5\} , то в G существуют бипримарные холловы только \{ 2, 3\} -подгруппы
[6] (таблица 2). Группы G \sim = A7 и G \sim = A8 не удовлетворяют условию, так как | \pi (G)| = 4.
Группа A5
\sim = L2(5) рассмотрена ранее.
Если G \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, то из таблицы 4 [6] и из порядков групп из множества \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} [8] (раздел 5.3)
следует, что группы множества \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} не удовлетворяют условию теоремы.
Теорема 2.1 доказана.
Литература
1. Тютянов В. Н. К гипотезе Холла // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 7. – С. 1181 – 1191.
2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. – М.: Мир, 1985. – 352 c.
3. Huppert В. Endliche Gruppen, I. – Berlin: Springer, 1967. – 793 S.
4. Gross F. Hall subgroups of order not divisible by 3 // Rocky Mountain J. Math. – 1993. – 23, № 2. – P. 569 – 591.
5. Arad Z., Fisman E. On finite factorizable groups // J. Algebra. – 1984. – 86, № 2. – P. 522 – 548.
6. Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа // Успехи мат. наук. – 2011. – 66, № 5(401). – С. 3 – 46.
7. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups. – London: Clarendon
Press, 1985. – 252 p.
8. Huppert В., Blackburn N. Finite groups, III. – Berlin etc.: Springer, 1982. – 454 p.
9. Zsigmondy K. Zur theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. – 1892. – 3, № 2. – S. 265 – 284.
10. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалье // Успехи мат. наук. – 1986. – 41, № 1(247). – С. 57 – 96.
11. Bugeaud Y., Hanrot G., Mignotte M. Sur e‘ equation diophantienne (xn - 1) /(x - 1) = ya. III // Proc. London
Math. Soc. – 2002. – 84, № 1. – P. 59 – 78.
Получено 08.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1480 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:31Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cf/2c0101d384bbe86b9e648e469e90e5cf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14802020-03-30T12:29:40Z Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ Конечные простые группы с холловыми $\{2, r\}$-подгруппами, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ Bashun, S. Yu. Башун, C. Ю. Башун, C. Ю. UDC 512.542 We describe finite simple groups with Hall biprimary subgroups of even order that contain Sylow subgroups of odd order of the $G$-group, except one of Sylow's subgroups of odd order. УДК 512.542 Описано скінченні прості групи, які мають холлові біпримарні підгрупи парного порядку, що містять силовські підгрупи непарного порядку групи $G,$ за винятком однієї з силовських підгруп непарного порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1480 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 6 (2019); 852-857 Український математичний журнал; Том 71 № 6 (2019); 852-857 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1480/464 Copyright (c) 2019 Bashun S. Yu. |
| spellingShingle | Bashun, S. Yu. Башун, C. Ю. Башун, C. Ю. Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title | Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title_alt | Конечные простые группы с холловыми $\{2, r\}$-подгруппами, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$,
$t \in π(G) $ |
| title_full | Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title_fullStr | Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title_full_unstemmed | Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title_short | Finite simple groups with Hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(G) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(G) $ |
| title_sort | finite simple groups with hall $\{2, r\}$-subgroups, $r \in π(g) \backslash \{2, t\}$, $t \in π(g) $ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1480 |
| work_keys_str_mv | AT bashunsyu finitesimplegroupswithhall2rsubgroupsrinpgbackslash2ttinpg AT bašuncû finitesimplegroupswithhall2rsubgroupsrinpgbackslash2ttinpg AT bašuncû finitesimplegroupswithhall2rsubgroupsrinpgbackslash2ttinpg AT bashunsyu konečnyeprostyegruppyshollovymi2rpodgruppamirinpgbackslash2ttinpg AT bašuncû konečnyeprostyegruppyshollovymi2rpodgruppamirinpgbackslash2ttinpg AT bašuncû konečnyeprostyegruppyshollovymi2rpodgruppamirinpgbackslash2ttinpg |