New general solutions of ordinary differential equations and the methods of solving the boundary-value problems
UDC 517.624 New general solutions of ordinary differential equations are introduced and their properties are established. We develop new methods of solving the boundary-value problems based on the construction and solving of the systems of algebraic equations for arbitrary vectors of the general so...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1483 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507269122228224 |
|---|---|
| author | Dzhumabaev, D. S. Джумабаев, Д. С. Джумабаев, Д. С. |
| author_facet | Dzhumabaev, D. S. Джумабаев, Д. С. Джумабаев, Д. С. |
| author_sort | Dzhumabaev, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:08Z |
| description | UDC 517.624
New general solutions of ordinary differential equations are introduced and their properties are established. We develop
new methods of solving the boundary-value problems based on the construction and solving of the systems of algebraic
equations for arbitrary vectors of the general solutions. An approach to finding the initial approximation to the solution of
a nonlinear boundary-value problem is proposed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.624
Д. С. Джумабаев (Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан,
Междунар. ун-т информ. технологий, Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби, Алматы)
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ*
New general solutions of ordinary differential equations are introduced and their properties are established. We develop
new methods of solving the boundary-value problems based on the construction and solving of the systems of algebraic
equations for arbitrary vectors of the general solutions. An approach to finding the initial approximation to the solution of
a nonlinear boundary-value problem is proposed.
Уведено новi загальнi розв’язки звичайних диференцiальних рiвнянь i встановлено їхнi властивостi. Розроблено
методи розв’язування крайових задач, що ґрунтуються на побудовi i розв’язаннi систем алгебраїчних рiвнянь
вiдносно довiльних векторiв загальних розв’язкiв. Запропоновано пiдхiд до знаходження початкового наближення
до розв’язку нелiнiйної крайової задачi.
1. Введение. Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения
(ОДУ)
dx
dt
= f(t, x), t \in (0, T ), x \in Rn, (1.1)
g[x(0), x(T )] = 0, (1.2)
где f : [0, T ]\times Rn \rightarrow Rn и g : Rn\times Rn \rightarrow Rn — непрерывные функции, \| x\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | xi| .
Через C([0, T ], Rn) обозначим пространство непрерывных функций x : [0, T ] \rightarrow Rn с нор-
мой \| x\| 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ] \| x(t)\| .
Решением задачи (1.1), (1.2) является непрерывно дифференцируемая на (0, T ) функция
x(t) \in C([0, T ], Rn), удовлетворяющая дифференциальному уравнению (1.1) и краевому усло-
вию (1.2).
Начальные и краевые задачи для ОДУ различными методами исследованы многими авто-
рами (см. [1 – 9, 19, 21 – 24, 27 – 31] и приведенную в них библиографию).
Нелинейность задачи (1.1), (1.2) приводит к принципиальным трудностям как при исследо-
вании качественных свойств краевой задачи, так и при нахождении ее решения. Так, одной из
таких проблем является нахождение начального приближения к решению нелинейной краевой
задачи.
Целью настоящей статьи является разработка конструктивного метода исследования и ре-
шения краевых задач для ОДУ, включающего также алгоритм нахождения начального при-
ближения к решению нелинейной краевой задачи (1.1), (1.2). При этом используется новый
подход к общему решению ОДУ и метод параметризации [10]. Этот подход к общему решению
предложен в [11] для линейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. Новые
общие решения для линейных нагруженных дифференциальных уравнений и семейства таких
уравнений введены в [12, 13]. Метод параметризации использован при решении различных
задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений [14 – 18, 26].
* Выполнена при поддержке Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант № АРО5132486).
c\bigcirc Д. С. ДЖУМАБАЕВ, 2019
884 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 885
Опишем кратко строение статьи. В пункте 2 рассматривается линейная краевая задача.
Интервал [0, T ] разбивается на N частей в соответствии с разбиением
\Delta N : t0 = 0 < t1 < t2 < . . . < tN = T
и вводится \Delta N -общее решение линейного ОДУ. \Delta N -Общее решение обозначается через
x(\Delta N , t, \lambda ), оно зависит от произвольного вектора \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN . С помощью
x(\Delta N , t, \lambda ) устанавливается критерий разрешимости линейной краевой задачи и предлагается
алгоритм нахождения ее решения.
В пункте 3 понятие \Delta N -общего решения распространяется на нелинейное ОДУ (1.1).
Применение нового общего решения сводит разрешимость краевой задачи (1.1), (1.2) к разре-
шимости системы нелинейных алгебраических уравнений
Q\ast (\Delta N ;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN . (1.3)
Система (1.3) составляется с помощью нового общего решения уравнения (1.1), краевого усло-
вия (1.2) и условий непрерывности решения в промежуточных точках разбиения \Delta N .
Пункт 4 посвящен методу решения нелинейной краевой краевой задачи (1.1), (1.2), осно-
ванному на решении системы (1.3). В этом методе для заданного \lambda \in RnN значения Q\ast (\Delta N ;\lambda )
и матрицы Якоби \partial Q\ast (\Delta N ;\lambda )/\partial \lambda определяются решениями задач Коши для ОДУ на подын-
тервалах. Построен итерационный процесс для решения системы (1.3) и установлены условия
его сходимости.
В пункте 5 исследуются вопросы построения приближенного \Delta N -общего решения урав-
нения (1.1) и предлагается один подход к нахождению начального приближения к решению
системы (1.3).
2. \bfDelta \bfitN -Общее решение линейного ОДУ, и его применение для решения линейной
краевой задачи. Рассмотрим линейную краевую задачу
dx
dt
= A(t)x+ f(t), t \in (0, T ), x \in Rn, (2.1)
Bx(0) + Cx(T ) = d, d \in Rn, (2.2)
где (n\times n)-матрица A(t) и n-вектор f(t) непрерывны на [0, T ].
Возьмем разбиение \Delta N : t0 = 0 < t1 < t2 < . . . < tN = T. Через \Delta 1 обозначим слу-
чай отсутствия разбиения интервала [0, T ]. Пусть C([0, T ],\Delta N , RnN ) — пространство сис-
тем функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)), где функции xr : [tr - 1, tr) \rightarrow Rn непрерыв-
ны и имеют конечные левосторонние пределы \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 xr(t) для всех r = 1, N с нормой
\| x[\cdot ]\| 2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}r=1,N \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [tr - 1,tr) \| xr(t)\| .
Предположим, что x(t) — решение уравнения (2.1) и xr(t) — его сужение на интервал
[tr - 1, tr), т. е. xr(t) = x(t), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N. Тогда система функций
x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) принадлежит пространству C([0, T ],\Delta N , RnN ), и еe элемен-
ты xr(t), r = 1, N, удовлетворяют системе линейных ОДУ
dxr
dt
= A(t)xr + f(t), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N. (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
886 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Введем параметры \lambda r = xr(tr - 1), r = 1, N. Выполняя замену ur(t) = xr(t) - \lambda r на каждом
r-м интервале [tr - 1, tr), получаем систему ОДУ с параметрами
dur
dt
= A(t)(ur + \lambda r) + f(t), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, (2.4)
и начальными условиями
ur(tr - 1) = 0, r = 1, N. (2.5)
Для каждых фиксированных \lambda r \in Rn и r задача Коши (2.4), (2.5) имеет единственное ре-
шение ur(t, \lambda r), и система функций u[t, \lambda ] = (u1(t, \lambda 1), u2(t, \lambda 2), . . . , uN (t, \lambda N )) принадлежит
пространству C([0, T ],\Delta N , RnN ).
Система функций u[t, \lambda ] называется решением задачи Коши с параметрами (2.4), (2.5). Если
система функций \widetilde x[t] = (\widetilde x1(t), \widetilde x2(t), . . . , \widetilde xN (t)) принадлежит пространству C([0, T ],\Delta N , RnN )
и функции \widetilde xr(t), r = 1, N, удовлетворяют уравнениям (2.3), то система функций
u[t, \widetilde \lambda ] = (u1(t, \widetilde \lambda 1), u2(t, \widetilde \lambda 2), . . . , uN (t, \widetilde \lambda N )) с элементами ur(t, \widetilde \lambda r) = \widetilde xr(t) - \widetilde \lambda r,\widetilde \lambda r = \widetilde xr(tr - 1), r = 1, N, является решением задачи Коши с параметрами (2.4), (2.5) при \lambda r =
= \widetilde \lambda r, r = 1, N. Наоборот, если система функций u[t, \lambda \ast ] = (u1(t, \lambda
\ast
1), u2(t, \lambda
\ast
2), . . . , uN (t, \lambda \ast
N ))
является решением задачи (2.4), (2.5) при \lambda r = \lambda \ast
r , r = 1, N, то система функций
x\ast [t] = (x\ast 1(t), x
\ast
2(t), . . . , x
\ast
N (t)) с элементами x\ast r(t) = \lambda \ast
r + ur(t, \lambda
\ast
r), r = 1, N, принадлежит
пространству C([0, T ],\Delta N , RnN ), и функции x\ast r(t), r = 1, N, удовлетворяют уравнениям (2.3).
Теперь введем определение нового общего решения ОДУ (2.1).
Определение 2.1. Пусть u[t, \lambda ] = (u1(t, \lambda 1), u2(t, \lambda 2), . . . , uN (t, \lambda N )) является решением
задачи Коши (2.4), (2.5) для параметра \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN . Тогда функция x(\Delta N , t, \lambda ),
определенная равенствами
x(\Delta N , t, \lambda ) = \lambda r + ur(t, \lambda r) для t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
и
x(\Delta N , T, \lambda ) = \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \lambda N ),
называется \Delta N -общим решением уравнения (2.1).
Как следует из определения 2.1, \Delta N -общее решение зависит от N произвольных векторов
\lambda r \in Rn и удовлетворяет уравнению (2.1) для всех t \in (0, T )\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} .
Возьмем Xr(t), фундаментальную матрицу ОДУ
dx
dt
= A(t)x, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N,
и решения задачи Коши с параметрами (2.4), (2.5) запишем в виде
ur(t, \lambda r) = Xr(t)
t\int
tr - 1
X - 1
r (\tau )A(\tau )d\tau \lambda r+Xr(t)
t\int
tr - 1
X - 1
r (\tau )f(\tau )d\tau , t \in [tr - 1, tr), r = 1, N.
Рассмотрим задачи Коши на подынтервалах
dz
dt
= A(t)z + P (t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N, (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 887
где P (t) — непрерывная на [0, T ] квадратная матрица или вектор размерности n. Через ar(P, t)
обозначим единственное решение задачи Коши (2.6) на каждом r-м интервале. Из единствен-
ности решения задачи Коши для линейных ОДУ следует, что
ar(P, t) = Xr(t)
t\int
tr - 1
X - 1
r (\tau )P (\tau )d\tau , t \in [tr - 1, tr], r = 1, N.
Поэтому мы можем представить \Delta N -общее решение уравнения (2.1) в виде
x(\Delta N , t, \lambda ) = \lambda p + ap(A, t)\lambda p + ap(f, t), t \in [tp - 1, tp), p = 1, N - 1, (2.7)
x(\Delta N , t, \lambda ) = \lambda N + aN (A, t)\lambda N + aN (f, t), t \in [tN - 1, tN ]. (2.8)
Следующее утверждение показывает, что функцию x(\Delta N , t, \lambda ) можно рассматривать как „об-
щее решение”.
Теорема 2.1. Пусть заданы кусочно-непрерывная на [0, T ] функция \widetilde x(t) с возможными
точками разрыва t = tp, p = 1, N - 1, и \Delta N -общее решение x(\Delta N , t, \lambda ) уравнения (2.1).
Предположим, что функция \widetilde x(t) имеет непрерывную производную и удовлетворяет уравнению
(2.1) для всех t \in (0, T )\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} . Тогда существует единственный параметр \widetilde \lambda =
= (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ) \in RnN такой, что равенство x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ) = \widetilde x(t) выполняется для всех
t \in [0, T ].
Поскольку доказательство этой теоремы несложно, мы его не приводим.
Следствие 2.1. Пусть x\ast (t) — решение уравнения (2.1) и x(\Delta N , t, \lambda ) — \Delta N -общее решение
уравнения (2.1). Тогда существует единственный параметр \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) \in RnN
такой, что равенство x(\Delta N , t, \lambda \ast ) = x\ast (t) выполняется для всех t \in [0, T ].
Если x(t) является решением уравнения (2.1) и x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) — система
функций, состоящая из его сужений на подынтервалы [tr - 1, tr), r = 1, N, то имеют место
равенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
xp(t) = xp+1(tp), p = 1, N - 1. (2.9)
Эти равенства являются условиями непрерывности решения уравнения (2.1) во внутренних
точках разбиения \Delta N .
Теорема 2.2. Пусть система функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) принадлежит про-
странству C([0, T ],\Delta N , RnN ). Предположим, что функции xr(t), r = 1, N, удовлетворяют
уравнениям (2.3) и условиям непрерывности (2.9). Тогда функция x\ast (t), определяемая равен-
ствами x\ast (t) = xr(t) при t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, и x\ast (T ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 xN (t), непрерывна на
[0, T ], непрерывно дифференцируема на (0, T ) и удовлетворяет уравнению (2.1).
Доказательство. Равенства (2.9) и x\ast (T ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 xN (t), а также принадлежность сис-
темы функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) пространству C([0, T ],\Delta N , RnN ) обеспечивают
непрерывность функции x\ast (t) на интервале [0, T ]. Поскольку функции xr(t), r = 1, N, удовле-
творяют уравнениям (2.3), то функция x\ast (t) имеет непрерывную производную и удовлетворяет
уравнению (2.1) для всех t \in [0, T ]\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} . Существование и непрерывность про-
изводной функции x\ast (t) в точках t = tp, p = 1, N - 1, следуют из соотношений
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
\.x\ast (t) = A(tp)x
\ast (tp) + f(tp) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp+0
\.x\ast (t), p = 1, N - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
888 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Следовательно, функция x\ast (t) удовлетворяет уравнению (2.1) и во внутренних точках разбие-
ния \Delta N .
Теорема 2.2 доказана.
\Delta N -Общее решение позволяет свести разрешимость краевой задачи к разрешимости сис-
темы линейных алгебраических уравнений относительно произвольных векторов \lambda r \in Rn,
r = 1, N. Подставляя соответствующие выражения \Delta N -общего решения (2.7), (2.8) в крае-
вое условие (2.2) и условия непрерывности (2.9), получаем систему линейных алгебраических
уравнений
B\lambda 1 + C\lambda N + CaN (A, T )\lambda N = d - CaN (f, T ), (2.10)
\lambda p + ap(A, tp)\lambda p - \lambda p+1 = - ap(f, tp), p = 1, N - 1. (2.11)
Через Q\ast (\Delta N ) обозначим (nN \times nN)-матрицу, соответствующую левой части системы (2.10),
(2.11), и запишем систему в виде
Q\ast (\Delta N )\lambda = - F\ast (\Delta N ), \lambda \in RnN , (2.12)
где F\ast (\Delta N ) =
\bigl(
- d+ CaN (f, T ), a1(f, t1), a2(f, t2), . . . , aN - 1(f, tN - 1)
\bigr)
\in RnN .
Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что для любого разбиения \Delta N имеет место следующее утвер-
ждение.
Лемма 2.1. Если x\ast (t) — решение задачи (2.1), (2.2) и \lambda \ast
r = x\ast (tr - 1), r = 1, N, то
вектор \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) \in RnN является решением системы (2.12). Наоборот, если
элементы вектора \~\lambda = (\~\lambda 1, \~\lambda 2, . . . , \~\lambda N ) \in RnN удовлетворяют системе (2.12) и u[t, \~\lambda ] =
= (u1(t, \~\lambda 1), u2(t, \~\lambda 2), . . . , uN (t, \~\lambda N )) — решение задачи Коши (2.4), (2.5) при \lambda r = \~\lambda r, r = 1, N,
то функция \~x(t), определяемая равенствами \~x(t) = \~\lambda r + ur(t, \~\lambda r), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
и \~x(T ) = \~\lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 uN (t, \~\lambda N ), удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1) и
краевому условию (2.2).
Определение 2.2. Краевая задача (2.1), (2.2) называется однозначно разрешимой, если для
любой пары (f(t), d), где f(t) \in C([0, T ], Rn) и d \in Rn, она имеет единственное решение.
Из леммы 2.1 и известных теорем линейной алгебры вытекают следующие утверждения.
Теорема 2.3. Краевая задача (2.1), (2.2) разрешима тогда и только тогда, когда вектор
F\ast (\Delta N ) ортогонален ядру транспонированной матрицы (Q\ast (\Delta N ))
\prime
, т. е. для любого \zeta \in
\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(Q\ast (\Delta N ))
\prime
справедливо равенство (F\ast (\Delta N ), \zeta ) = 0, где (\cdot , \cdot ) — скалярное произведение
в RnN .
Теорема 2.4. Краевая задача (2.1), (2.2) однозначно разрешима тогда и только тогда,
когда (nN \times nN)-матрица Q\ast (\Delta N ) обратима.
Основываясь на результатах этого пункта, мы предлагаем следующий алгоритм нахождения
решения линейной краевой задачи (2.1), (2.2).
Шаг 1. Решаем задачи Коши на подынтервалах
dz
dt
= A(t)z +A(t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr],
dz
dt
= A(t)z + f(t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr],
и находим ar(A, tr) и ar(f, tr), r = 1, N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 889
Шаг 2. Используя найденные матрицы и векторы, составляем систему линейных алгебра-
ических уравнений (2.12).
Шаг 3. Решаем систему (2.12) и находим \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) \in RnN . Заметим, что
элементы \lambda \ast являются значениями решения задачи (2.1), (2.2) в левых концах подынтервалов:
\lambda \ast
r = x\ast (tr - 1), r = 1, N.
Шаг 4. Решаем задачи Коши
dx
dt
= A(t)x+ f(t), x(tp - 1) = \lambda \ast
p, t \in [tp - 1, tp), p = 1, N - 1,
dx
dt
= A(t)x+ f(t), x(tN - 1) = \lambda \ast
N , t \in [tN - 1, tN ],
и определяем значения решения x\ast (t) в остальных точках подынтервалов.
Как следует из леммы 2.1, любое решение системы (2.12) определяет значения решения
задачи (2.1), (2.2) в начальных точках подынтервалов. Следовательно, в случае N = 1 пред-
ложенный алгоритм является вариантом „метода стрельбы”. В случае N \geq 2 мы получаем
вариант „метода параллельной стрельбы”.
Точность предложенного алгоритма зависит от точности вычисления коэффициентов и пра-
вых частей системы (2.12).
Задача Коши для ОДУ является основной вспомогательной задачей в предложенном алго-
ритме. Выбирая приближенный метод решения этой задачи, мы получаем приближенный метод
решения краевой задачи (2.1), (2.2). Решение же задач Коши численными методами приводит
к численным методам решения задачи (2.1), (2.2).
3. \bfDelta \bfitN -Общее решение нелинейного ОДУ и его свойства. Пусть x0 \in Rn, \rho > 0,
S(x0, \rho ) = \{ x \in Rn : \| x - x0\| < \rho \} , G0(\rho ) = \{ (t, x) : t \in [0, T ], \| x - x0\| < \rho \} и \Delta N является
разбиением: t0 = 0 < t1 < t2 < . . . < tN = T.
Условие \bfscrA . Функция f(t, x) непрерывна и ограничена в G0(\rho ), а также выполняются
следующие неравенства:
1) \| f(t, x) - f(t, \=x)\| \leq L\| x - \=x\| , L — постоянная, x, x \in S(x0, \rho ),
2) Mr \cdot (tr - tr - 1) \leq
\rho
2
, где Mr = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(t,x)\in [tr - 1,tr)\times S(x0,\rho ) \| f(t, x)\| , r = 1, N.
Введем следующие множества:
G0
p(\rho ) =
\bigl\{
(t, x) : t \in [tp - 1, tp), \| x - x0\| < \rho - Mp \cdot (tp - t)
\bigr\}
, p = 1, N - 1,
G0
N (\rho ) =
\bigl\{
(t, x) : t \in [tN - 1, tN ], \| x - x0\| < \rho - MN \cdot (tN - t)
\bigr\}
,
и
G0(\Delta N , \rho ) =
N\bigcup
r=1
G0
r(\rho ).
Если функция x(t) удовлетворяет уравнению (1.1) и (t, x(t)) \in G0(\Delta N , \rho ), то функции
xr(t), r = 1, N, как сужения функции x(t) на [tr - 1, tr), удовлетворяют нелинейным ОДУ
dxr
dt
= f(t, xr), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, (3.1)
и (t, xr(t)) \in G0
r(\rho ), r = 1, N. Вводя параметры \lambda r = xr(tr - 1) и выполняя замены ur(t) =
= xr(t) - \lambda r, получаем задачи Коши для нелинейных ОДУ с параметрами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
890 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
dur
dt
= f(t, ur + \lambda r), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr), r = 1, N. (3.2)
При условии \scrA задачи Коши (3.2) имеют единственные решения ur(t, \lambda r) для любого \lambda r \in
\in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, и существуют конечные пределы \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 ur(t, \lambda r),
r = 1, N. Система функций u[t, \lambda ] = (u1(t, \lambda 1), u2(t, \lambda 2), . . . , uN (t, \lambda N )) называется решением
задачи Коши с параметрами (3.2).
Определение 3.1. Пусть выполняется условие \scrA и система функций u[t, \lambda ] = (u1(t, \lambda 1),
u2(t, \lambda 2), . . . , uN (t, \lambda N )) — решение задачи Коши (3.2) с параметром \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ),
где \lambda r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N. Тогда функция x(\Delta N , t, \lambda ), определяемая ра-
венствами x(\Delta N , t, \lambda ) = \lambda r + ur(t, \lambda r) для t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, и x(\Delta N , T, \lambda ) = \lambda N +
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 uN (t, \lambda N ), называется \Delta N -общим решением для уравнения (1.1) в G0(\Delta N , \rho ).
Условие \scrA обеспечивает существование и единственность \Delta N -общего решения уравнения
(1.1) в G0(\Delta N , \rho ). Очевидно, что для любого \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN с \lambda r \in S(x0, \rho -
- Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, функция x(\Delta N , t, \lambda ) удовлетворяет уравнению (1.1) для всех
t \in (0, T )\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} , и пара (t, x(\Delta N , t, \lambda )) принадлежит множеству G0(\Delta N , \rho ).
В приведенных ниже теореме и следствии предположим, что x(\Delta N , t, \lambda ) является \Delta N -
общим решением уравнения (1.1) в G0(\Delta N , \rho ).
Теорема 3.1. Пусть задана кусочно-непрерывная на [0, T ] функция \widetilde x(t) с возможными
точками разрыва t = tp, p = 1, N - 1, и (t, \widetilde x(t)) \in G0(\Delta N , \rho ). Предположим, что функ-
ция \widetilde x(t) имеет непрерывную производную и удовлетворяет уравнению (1.1) для всех t \in
\in (0, T )\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} . Тогда существует единственный параметр \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ) \in
\in RnN с \widetilde \lambda r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, такой, что равенство x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ) = \widetilde x(t)
выполняется для всех t \in [0, T ].
Доказательство. Возьмем систему функций \widetilde x[t] = (\widetilde x1(t), \widetilde x2(t), . . . , \widetilde xN (t)), где \widetilde xr(t) —
сужение функции \widetilde x(t) на [tr - 1, tr), r = 1, N. При предположениях теоремы функция \widetilde xr(t)
является решением уравнения (3.1), а пара (t, \widetilde xr(t)) принадлежит множеству G0
r(\rho ) для всех
r = 1, N. Для функции \widetilde x(t) определим параметр \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ) \in RnN , где \widetilde \lambda r =
= \widetilde xr(tr - 1). Очевидно, что \widetilde \lambda r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)) для всех r = 1, N. Решаем задачи
Коши (3.2) с параметрами \lambda r = \widetilde \lambda r, r = 1, N. В силу условия \scrA существует единственное
решение ur(t, \widetilde \lambda r), и пара (t, \widetilde \lambda r + ur(t, \widetilde \lambda r)) принадлежит G0
r(\rho ), r = 1, N. Теперь, учитывая
соотношения между решениями системы ОДУ на подынтервалах и задачи Коши с параметрами,
указанные в пункте 2, получаем
\widetilde x(t) = \widetilde xr(t) = \widetilde \lambda r + ur(t, \widetilde \lambda r) = x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
\widetilde x(T ) = \widetilde \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \widetilde \lambda r) = x(\Delta N , T, \widetilde \lambda ).
Условие \scrA и определение 3.1 обеспечивают единственность \widetilde \lambda .
Теорема 3.1 доказана.
Следствие 3.1. Пусть x\ast (t) — решение уравнения (1.1) и (t, x\ast (t)) \in G0(\Delta N , \rho ).
Тогда существует единственный параметр \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) \in RnN , где \lambda \ast
r \in
\in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, такой, что равенство x(\Delta N , t, \lambda \ast ) = x\ast (t) выполняется
для всех t \in [0, T ].
Если x(t) — решение уравнения (1.1) и x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) — система функций,
составленная из его сужений на подынтервалах [tr - 1, tr), r = 1, N, то справедливы следующие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 891
равенства:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
xp(t) = xp+1(tp), p = 1, N - 1. (3.3)
Равенства (3.3) являются условиями непрерывности решения уравнения (1.1) во внутренних
точках разбиения \Delta N .
Теорема 3.2. Пусть система функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) принадлежит про-
странству C([0, T ],\Delta N , RnN ), a пара (t, xr(t)) — множеству G0
r(\rho ) для всех r = 1, N. Пред-
положим, что функции xr(t), r = 1, N, удовлетворяют уравнениям (3.1) и условиям непре-
рывности (3.3). Тогда функция x\ast (t), определяемая равенствами x\ast (t) = xr(t), t \in [tr - 1, tr),
r = 1, N, x\ast (T ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 xN (t), непрерывна на [0, T ], непрерывно дифференцируема на
(0, T ), удовлетворяет уравнению (1.1) и (t, x\ast (t)) \in G0(\Delta N , \rho ).
Доказательство. По предположению теоремы x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) \in
\in C([0, T ],\Delta N , RnN ). Следовательно, равенства x\ast (T ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 xN (t) и (3.3) обеспечи-
вают непрерывность функции x\ast (t) на [0, T ]. Из принадлежности (t, xr(t)) множеству G0
r(\rho ),
r = 1, N, следует, что (t, x\ast (t)) \in G0(\Delta N , \rho ). Поскольку функции xr(t), r = 1, N, удовле-
творяют уравнениям (3.1), функция x\ast (t) имеет непрерывную производную и удовлетворяет
уравнению (1.1) для всех t \in (0, T )\setminus \{ tp, p = 1, N - 1\} . Существование и непрерывность \.x\ast (t)
в точках t = tp, p = 1, N - 1 следуют из непрерывности функции f(t, x) в G0(\rho ) и следующих
соотношений:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
\.x\ast (t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
f(t, x\ast (t)) = f(tp, x
\ast (tp)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp+0
\.x\ast (t), p = 1, N - 1.
Таким образом, функция x\ast (t) удовлетворяет уравнению (1.1) и во внутренних точках
разбиения интервала [0, T ].
Теорема 3.2 доказана.
\Delta N -Общее решение для уравнения (1.1) позволяет свести разрешимость краевой задачи
(1.1), (1.2) к разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений относительно па-
раметров \lambda r \in Rn, r = 1, N. Для этого условия непрерывности (3.3) запишем в следующем
виде:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
x(\Delta N , t, \lambda ) - x(\Delta N , tp, \lambda ) = 0, p = 1, N - 1,
где x(\Delta N , t, \lambda ) — \Delta N -общее решение уравнения (1.1). Подставляя соответствующие выра-
жения \Delta N -общего решения в краевое условие и условия непрерывности, получаем систему
нелинейных алгебраических уравнений
g[\lambda 1, \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \lambda N )] = 0, (3.4)
\lambda p + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
up(t, \lambda p) - \lambda p+1 = 0, p = 1, N - 1. (3.5)
Запишем систему (3.4), (3.5) в виде
Q\ast (\Delta N ;\lambda ) = 0, \lambda \in RnN . (3.6)
В следующей теореме предполагается, что выполняется условие \scrA и x(\Delta N , t, \lambda ) — \Delta N -общее
решение уравнения (1.1) в G0(\Delta N , \rho ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
892 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Теорема 3.3. Пусть функция x\ast (t) — решение задачи (1.1), (1.2) и (t, x\ast (t)) \in G0(\Delta N , \rho ).
Тогда параметр \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) с элементами \lambda \ast
r = x\ast (tr - 1), r = 1, N, является
решением системы (3.6) и \lambda \ast
r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N. Наоборот, если \widetilde \lambda =
= (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ), где \widetilde \lambda r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, — решение системы (3.6), то
функция \widetilde x(t) = x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ) является решением задачи (1.1), (1.2) и (t, \widetilde x(t)) \in G0(\Delta N , \rho ).
Доказательство. Если функция x\ast (t) является решением задачи (1.1), (1.2), то справед-
ливы равенства
g[x\ast (0), x\ast (T )] = 0, (3.7)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
x\ast (t) - x\ast (tp+1) = 0, p = 1, N - 1. (3.8)
Возьмем \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, . . . , \lambda
\ast
N ) с элементами \lambda \ast
r = x\ast (tr - 1), r = 1, N. Из принадлежности
(t, x\ast (t)) множеству G0(\Delta N , \rho ) следует, что \lambda \ast
r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)) для всех r =
= 1, N. Поскольку функция x\ast (t) удовлетворяет и уравнению (1.1), то по теореме 3.1 равенство
x\ast (t) = x(\Delta N , t, \lambda \ast ) выполняется для всех t \in [0, T ]. Подставляя соответствующие выражения
x(\Delta N , t, \lambda \ast ) в (3.7) и (3.8), получаем
g[\lambda \ast
1, \lambda
\ast
N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \lambda \ast
N )] = 0,
\lambda \ast
p + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
up(t, \lambda
\ast
p) - \lambda \ast
p+1 = 0, p = 1, N - 1,
т. е. \lambda \ast \in RnN является решением системы (3.6).
Теперь предположим, что параметр \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ) с элементами \widetilde \lambda r \in S(x0, \rho -
- Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N, является решением системы (3.6). Подставляя \widetilde \lambda в \Delta N -общее ре-
шение, получаем функцию \widetilde x(t) = x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ). Из условия \scrA следует, что (t, \widetilde x(t)) \in G0(\Delta N , \rho ).
Поскольку из Q\ast (\Delta N ; \widetilde \lambda ) = 0 следуют равенства
g
\Bigl[ \widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \widetilde \lambda N )
\Bigr]
= 0,
\widetilde \lambda p + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tp - 0
up(t, \widetilde \lambda p) - \widetilde \lambda p+1 = 0, p = 1, N - 1,
и по oпределению 3.1
\widetilde x(t) = x(\Delta N , t, \widetilde \lambda ) = \widetilde \lambda r + ur(t, \widetilde \lambda r), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
\widetilde x(T ) = x(\Delta N , T, \widetilde \lambda ) = \widetilde \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN (t, \widetilde \lambda N ),
то функция \widetilde x(t) удовлетворяет краевому условию (1.2) и условиям непрерывности (3.3). По-
этому согласно теореме 3.2 функция \widetilde x(t) удовлетворяет и уравнению (1.1), т. е. функция \widetilde x(t)
является решением задачи (1.1), (1.2).
Теорема 3.3 доказана.
Следствие 3.2. При выполнении условия \scrA нелинейная краевая задача (1.1), (1.2) име-
ет решение в G0(\Delta N , \rho ) тогда и только тогда, когда система (3.6) имеет решение \lambda =
= (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ), где \lambda r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 893
4. Применение \bfDelta \bfitN -общего решения для решения нелинейной краевой задачи (1.1),
(1.2). В этом пункте мы предлагаем метод решения нелинейной краевой задачи (1.1), (1.2),
основанный на свойствах \Delta N -общего решения уравнения (1.1) и нахождении решения системы
нелинейных алгебраических уравнений
Q\ast (\Delta N ;\lambda ) = 0, \lambda \in RnN . (4.1)
Для решения системы уравнений (4.1) мы используем одно утверждение из [14] относительно
нелинейного операторного уравнения
F (x) = 0, x \in X, (4.2)
где оператор F : X \rightarrow Y имеет производную Фреше F \prime (x) в S(x0, \rho 0) = \{ x \in X : \| x - x0\| X <
< \rho 0\} , X и Y — банаховы пространства с нормами \| \cdot \| Xи \| \cdot \| Y соответственно, L(Y,X) —
пространство ограниченных линейных операторов \Lambda : Y \rightarrow X с индуцированной нормой.
Теорема А [14, c. 39]. Пусть выполнены следующие условия: 1) производная Фреше F \prime (x)
равномерно непрерывна в S(x0, \rho 0); 2) F \prime (x) ограниченно обратима для всех x \in S(x0, \rho 0) и
\| [F \prime (x)] - 1\| L(Y,X) \leq \gamma , \gamma — постоянная; 3) \gamma \| F (x0)\| Y < \rho 0. Тогда существует число \alpha 0 \geq 1
такое, что для любого \alpha \geq \alpha 0 последовательность \{ x(n+1)\} , n = 0, 1, 2, . . . , определяемая
итерационным процессом
x(0) = x0, x(n+1) = x(n) - 1
\alpha
[F \prime (x(n))] - 1F (x(n)), n = 0, 1, 2, . . . , (4.3)
содержится в S(x0, \rho 0) и сходится к x\ast — решению уравнения (4.2), принадлежащему S(x0, \rho 0),
a также справедлива оценка
\| x\ast - x0\| X \leq \gamma \| F (x0)\| Y . (4.4)
При этом любое решение уравнения (4.2) в S(x0, \rho 0) изолированно.
Пусть условие \scrA выполнено и задан параметр \lambda (0) = (\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
2 , . . . , \lambda
(0)
N ) \in RnN с элемен-
тами \lambda
(0)
r \in S(x0, \rho - Mr(tr - tr - 1)), r = 1, N.
Решая задачи Коши
dur
dt
= f(t, ur + \lambda (0)
r ), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N, (4.5)
находим функции ur(t, \lambda
(0)
r ), r = 1, N. Функцию x(0)(t) на [0, T ] определим равенствами
x(0)(t) = \lambda (0)
r + ur(t, \lambda
(0)
r ), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, x(0)(T ) = \lambda
(0)
N + uN (T, \lambda
(0)
N ).
Эта функция кусочно-непрерывна на [0, T ] с возможными точками разрыва t = tp, p =
= 1, N - 1.
Построим множество G(x(0)(t), \rho 0) =
\bigl\{
(t, x) : t \in [0, T ], \| x - x(0)(t)\| < \rho 0
\bigr\}
и предположим,
что G(x(0)(t), \rho 0) \subseteq G0(\Delta N , \rho ).
Условие \scrB . Функции f(t, x) и g(v, w) имеют равномерно непрерывные частные произ-
водные f \prime
x(t, x) и g\prime v(v, w), g
\prime
w(v, w) в G(x(0)(t), \rho 0) и S(x(0)(0), \rho 0)\times S(x(0)(T ), \rho 0) соответ-
ственно, и выполняются неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
894 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
\| f \prime
x(t, x)\| \leq L, \| g\prime v(v, w)\| \leq L1 и \| g\prime w(v, w)\| \leq L2.
Возьмем любой параметр \widehat \lambda = (\widehat \lambda 1, \widehat \lambda 2, . . . , \widehat \lambda N ) \in S(\lambda (0), \rho 0), где
S(\lambda (0), \rho 0) = \{ \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN : \| \lambda r - \lambda (0)
r \| < \rho 0, r = 1, N\} .
Для вычисления значения вектора Q\ast (\Delta N ;\lambda ) при \lambda = \widehat \lambda решаем задачи Коши для нелинейных
ОДУ на подынтервалах
dur
dt
= f(t, ur + \widehat \lambda r), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N,
и находим функции ur(t, \widehat \lambda r), r = 1, N. Тогда
Q\ast (\Delta N ; \widehat \lambda ) =
\left(
g[\widehat \lambda 1, \widehat \lambda N + uN (T, \widehat \lambda N )]\widehat \lambda 1 + u1(t1, \widehat \lambda 1) - \widehat \lambda 2
. . .\widehat \lambda N - 1 + uN - 1(tN - 1, \widehat \lambda N - 1) - \widehat \lambda N
\right) . (4.6)
Чтобы определить
\partial ur(t, \lambda r)
\partial \lambda r
, r = 1, N, мы снова рассмотрим задачи Коши с параметрами
dur
dt
= f(t, ur + \lambda r), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N.
Дифференцируя обе части дифференциального уравнения и начальных условий относительно
\lambda r, имеем
d
dt
\biggl(
\partial ur(t, \lambda r)
\partial \lambda r
\biggr)
= f \prime
x(t, ur(t, \lambda r)+\lambda r)
\partial ur(t, \lambda r)
\partial \lambda r
+f \prime
x(t, ur(t, \lambda r)+\lambda r), t \in [tr - 1, tr], r = 1, N,
и
\partial ur(t, \lambda r)
\partial \lambda r
\bigm| \bigm| \bigm|
t=tr - 1
= 0, r = 1, N.
Поэтому
\partial ur(t, \widehat \lambda r)
\partial \lambda r
является единственным решением матричной задачи Коши для линейного
ОДУ
dz
dt
= \widehat Ar(t)z + \widehat Ar(t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], (4.7)
с \widehat Ar(t) = f \prime
x(t, ur(t,
\widehat \lambda r) + \widehat \lambda r), r = 1, N. Через \widehat ar( \widehat Ar, t), t \in [tr - 1, tr], r = 1, N, обозначим
единственное решение задачи Коши (4.7).
Очевидно, что в силу условия \scrB вектор-функция Q\ast (\Delta N ;\lambda ) размерности nN имеет рав-
номерно непрерывную матрицу Якоби
\partial Q\ast (\Delta N ; \widehat \lambda )
\partial \lambda
: RnN \rightarrow RnN в S(\lambda (0), \rho 0). При этом
матрица Якоби имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 895\left(
\widehat B O O . . . O \widehat C[I + \widehat aN ( \widehat AN , T )]
I + \widehat a1( \widehat A1, t1) - I O . . . O O
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
O O O . . . I + \widehat aN - 1( \widehat AN - 1, tN - 1) - I
\right) , (4.8)
где
\widehat B = g\prime v[
\widehat \lambda 1, \widehat \lambda N + uN (T, \widehat \lambda N )], \widehat C = g\prime w[
\widehat \lambda 1, \widehat \lambda N + uN (T, \widehat \lambda N )]. (4.9)
Таким образом, для заданного \widehat \lambda = (\widehat \lambda 1, \widehat \lambda 2, . . . , \widehat \lambda N ) \in S(\lambda (0), \rho 0) значения вектора Q\ast (\Delta N ; \widehat \lambda ) и
матрицы Якоби
\partial Q\ast (\Delta N ; \widehat \lambda )
\partial \lambda
находим, решая только задачи Коши для ОДУ на подынтервалах.
Задачи Коши для нелинейных ОДУ определяют элементы вектора, а задачи Коши для линейных
матричных ОДУ — элементы матрицы Якоби.
Выберем \lambda (0) = (\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
2 , . . . , \lambda
(0)
N ) \in RnN как начальное приближение и найдем решение
системы (4.1) с помощью итерационного процесса
\lambda (k+1) = \lambda (k) +\Delta \lambda (k), k = 0, 1, 2, . . . . (4.10)
Здесь \Delta \lambda (k) — решение системы линейных алгебраических уравнений
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda (k))
\partial \lambda
\Delta \lambda = - 1
\alpha
Q\ast (\Delta N ;\lambda (k)), (4.11)
где \alpha \geq 1.
Применяя теорему А к системе (4.1), получаем следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть выполняется условие \scrB , матрица Якоби
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda )
\partial \lambda
: RnN \rightarrow RnN
обратима для всех \lambda \in S(\lambda (0), \rho 0) и имеют место неравенства\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda )
\partial \lambda
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \gamma \ast , \gamma \ast
\bigm\| \bigm\| Q\ast (\Delta N ;\lambda (0))
\bigm\| \bigm\| < \rho 0,
\gamma \ast — постоянная. Тогда существует число \alpha 0 \geq 1 такое, что для всех \alpha \geq \alpha 0 последо-
вательность \{ \lambda (k)\} , k = 0, 1, 2, . . . , определяемая итерационным процессом (4.10), (4.11),
принадлежит S(\lambda 0, \rho 0) и сходится к изолированному решению \lambda \ast системы (4.1), а также
справедлива оценка \bigm\| \bigm\| \lambda \ast - \lambda (0)
\bigm\| \bigm\| \leq \gamma \ast
\bigm\| \bigm\| Q\ast (\Delta N ;\lambda (0))
\bigm\| \bigm\| . (4.12)
При определенных предположениях относительно f(t, x) и g(v, w) можно выбрать \alpha = 1
в итерационном процессе (4.10), (4.11). В этом случае мы получим итерационный процесс
Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (4.1).
Предполагая, что условия теоремы 4.1 выполнены, предлагаем следующий алгоритм реше-
ния задачи (1.1), (1.2).
Шаг 1. a) Используя векторы ur(tr, \lambda
(0)
r ), r = 1, N, найденные при решении задач
Коши (4.5), и формулу (4.6), определяем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
896 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Q\ast (\Delta N ;\lambda (0)) =
\left(
g[\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
N + uN (T, \lambda
(0)
N )]
\lambda
(0)
1 + u1(t1, \lambda
(0)
1 ) - \lambda
(0)
2
. . .
\lambda
(0)
N - 1 + uN - 1(tN - 1, \lambda
(0)
N - 1) - \lambda
(0)
N
\right) .
b) Вычисляем (n\times n)-матрицы A(0)(t) = f \prime
x(t, x
(0)(t)). Решаем матричные задачи Коши для
линейных ОДУ на подынтервалах
dz
dt
= A(0)(t)z+A(0)(t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r =
= 1, N, и находим (n\times n)-матрицы a
(0)
r (A(0), tr), r = 1, N. Используя найденные матрицы и
формулы (4.8), (4.9), составляем (nN \times nN)-матрицу Якоби
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda (0))
\partial \lambda
=
=
\left(
B(0) O O ... O C(0)[I + a
(0)
N (A(0), T )]
I + a
(0)
1 (A(0), t1) - I O ... O O
... ... ... ... ... ...
O O O ... I + a
(0)
N - 1(A
(0), tN - 1) - I
\right) ,
где
B(0) = g\prime v
\Bigl[
\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
N + uN (T, \lambda
(0)
N )
\Bigr]
и C(0) = g\prime w
\Bigl[
\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
N + uN (T, \lambda
(0)
N )
\Bigr]
.
c) Решая систему линейных алгебраических уравнений
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda (0))
\partial \lambda
\Delta \lambda = - 1
\alpha
Q\ast (\Delta N ;\lambda (0)),
находим \Delta \lambda (0). Параметр \lambda (1) определяется равенством \lambda (1) = \lambda (0) +\Delta \lambda (0).
d) Решаем задачи Коши для нелинейных ОДУ с параметрами на подынтервалах
dur
dt
= f(t, ur + \lambda (1)
r ), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N,
и находим функции ur(t, \lambda
(1)
r ), r = 1, N. Равенствами
x(1)(t) = \lambda (1)
r + ur(t, \lambda
(1)
r ), t \in [tr - 1, tr), r = 1, N, и x(1)(T ) = \lambda
(1)
N + uN (T, \lambda
(1)
N )
определяем кусочно-непрерывную функцию x(1)(t) на [0, T ].
Шаг 2. a) Используя найденные ur(tr, \lambda
(1)
r ), r = 1, N, и формулу (4.6), вычисляем
Q\ast (\Delta N ;\lambda (1)).
b) Определяем (n \times n)-матрицу A(1)(t) = f \prime
x(t, x
(1)(t)). Решаем матричные задачи Коши
для линейных ОДУ на подынтервалах
dz
dt
= A(1)(t)z +A(1)(t), z(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr), r = 1, N,
и находим (n\times n)-матрицы a
(1)
r (A(1), tr), r = 1, N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 897
Используя формулы (4.8) и (4.9), строим (nN \times nN)-матрицу Якоби
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda (1))
\partial \lambda
.
c) Решая систему линейных алгебраических уравнений
\partial Q\ast (\Delta N ;\lambda (1))
\partial \lambda
\Delta \lambda =
= - 1
\alpha
Q\ast (\Delta N ;\lambda (1)), находим \Delta \lambda (1) и определяем \lambda (2) = \lambda (1) +\Delta \lambda (1).
d) Решаем задачу Коши для нелинейных ОДУ на подынтервалах
dur
dt
= f(t, ur + \lambda (2)
r ), ur(tr - 1) = 0, t \in [tr - 1, tr], r = 1, N,
и находим функции ur(t, \lambda
(2)
r ), r = 1, N. Равенствами x(2)(t) = \lambda
(2)
r +ur(t, \lambda
(2)
r ), t \in [tr - 1, tr),
r = 1, N, и x(2)(T ) = \lambda
(2)
N + uN (T, \lambda
(2)
N ) определяем кусочно-непрерывную функцию x(2)(t)
на [0, T ].
Продолжая итерационный процесс, на k-м шаге получаем \lambda (k) = (\lambda
(k)
1 , \lambda
(k)
2 , . . . , \lambda
(k)
N ) \in
\in RnN и x(k)(t), t \in [0, T ]. Нетрудно установить, что\bigm\| \bigm\| \lambda (k) - \lambda \ast \bigm\| \bigm\| \leq \gamma \ast
\bigm\| \bigm\| Q\ast (\Delta N ;\lambda (k))
\bigm\| \bigm\| .
Используя неравенство Гронуолла – Беллмана, получаем оценку
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| x(k)(t) - x\ast (t)
\bigm\| \bigm\| \leq \gamma \ast
\bigm\| \bigm\| Q\ast (\Delta N ;\lambda (k))
\bigm\| \bigm\| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\Bigl( L \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,N
(tr - tr - 1)
\Bigr)
,
которая показывает погрешность между приближенным и точным решениями через k шагов
алгоритма.
5. Построение приближенного общего решения уравнения (1.1) и один подход к нахож-
дению начального приближения к решению системы (1.3). Разобьем интервал [0, T ] на N
частей с шагом h > 0 : Nh = T и обозначим через \Delta h разбиение: t0 = 0 < t1 = h < . . .
. . . < tr = rh < . . . < tN = T.
Условие \bfitA \bfzero . Функция f(t, x) непрерывна и ограничена в G0(\rho ) = \{ (t, x) : t \in [0, T ], \| x -
- x0\| < \rho \} , и выполняются следующие неравенства:
1) \| f(t, x) - f(t, \=x)\| \leq L\| x - \=x\| , L = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, x, x \in S(x0, \rho ),
2) Mh \leq \rho
2
, где M = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(t,x)\in [0,T ]\times S(x0,\rho ) \| f(t, x)\| .
При условии A0 задача Коши с параметром
dur
dt
= f(t, ur + \lambda r), ur[(r - 1)h] = 0, t \in [(r - 1)h, rh), (5.1)
имеет единственное решение ur(t, \lambda r) для любого \lambda r \in S(x0, \rho - Mh) и r = 1, N. При этом
выполняются следующие неравенства:
\| ur(t, \lambda r)\| \leq M [t - (r - 1)h], t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N. (5.2)
Задача Коши (5.1) эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра второго рода
ur(t, \lambda r) =
t\int
(r - 1)h
f
\Bigl(
\tau 1, \lambda r + ur(\tau 1, \lambda r)
\Bigr)
d\tau 1, t \in [(r - 1)h, rh). (5.3)
Заменяя ur(\tau 1, \lambda r) соответствующей правой частью (5.3), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
898 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
ur(t, \lambda r) =
t\int
(r - 1)h
f
\left( \tau 1, \lambda r +
\tau 1\int
(r - 1)h
f (\tau 2, \lambda r + ur(\tau 2, \lambda r)) d\tau 2
\right) d\tau 1,
t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N.
Повторяя этот процесс \nu , \nu = 1, 2, . . . , раз, имеем
ur(t, \lambda r) =
=
t\int
(r - 1)h
f
\left( \tau 1, \lambda r +
\tau 1\int
(r - 1)h
f
\left( \tau 2, \lambda r + . . .+
\tau \nu - 1\int
(r - 1)h
f(\tau \nu , \lambda r + ur(\tau \nu , \lambda r))d\tau \nu . . .
\right) d\tau 2
\right) d\tau 1,
t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N.
Введем следующие функции:
ur,\nu (t, \lambda r) =
t\int
(r - 1)h
f
\left( \tau 1, \lambda r +
\tau 1\int
(r - 1)h
f
\left( \tau 2, \lambda r + . . .+
\tau \nu - 1\int
(r - 1)h
f(\tau \nu , \lambda r)d\tau \nu . . .
\right) d\tau 2
\right) d\tau 1,
t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N. (5.4)
Из условия A0 и неравенства (5.2) следуют оценки
\| ur,\nu (t, \lambda r) - ur(t, \lambda r)\| \leq
t\int
(r - 1)h
L
\left( \tau 1\int
(r - 1)h
L
\left( . . .
\left( \tau \nu - 1\int
(r - 1)h
L\| ur(\tau \nu , \lambda r)\| d\tau \nu
\right) . . .
\right) d\tau 2
\right) d\tau 1 \leq
\leq M(L)\nu
1
(\nu + 1)!
[t - (r - 1)h]\nu +1, t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N. (5.5)
Поскольку оценки (5.5) справедливы для всех \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN с \lambda r \in S(x0, \rho - Mh),
r = 1, N, то при больших \nu или малых h > 0 : Nh = T мы можем аппроксимировать ur(t, \lambda r)
функцией ur,\nu (t, \lambda r). Обозначим приближенное \Delta h-общее решение уравнения (1.1) с \nu через
x(\Delta h, \nu , t, \lambda ) и определим его равенствами
x(\Delta h, \nu , t, \lambda ) = \lambda r + ur,\nu (t, \lambda r), t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N,
x(\Delta h, \nu , T, \lambda ) = \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
uN,\nu (t, \lambda N ),
где \nu — натуральное число.
Рассмотрим нелинейную краевую задачу (1.1), (1.2). Для разбиения \Delta h краевое условие и
условия непрерывности запишем следующим образом:
g[x(0), x(T )] = 0, (5.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 899
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ph - 0
x(t) - x(ph) = 0, p = 1, N - 1. (5.7)
Используя (5.6), (5.7) и \Delta h-общее решение уравнения (1.1), имеем
Q\ast (\Delta
h;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN . (5.8)
Если же мы используем \Delta h-приближенное общее решение с некоторым \nu , то, подставляя
правую часть (5.4) в (5.6), (5.7), получаем следующую систему нелинейных алгебраических
уравнений относительно \lambda r, r = 1, N :
g
\left[ \lambda 1, \lambda N +
Nh\int
(N - 1)h
f
\left( \tau 1, \lambda N + . . .+
\tau \nu - 1\int
(N - 1)h
f(\tau \nu , \lambda N )d\tau \nu . . .
\right) d\tau 1
\right] = 0, (5.9)
\lambda p +
ph\int
(p - 1)h
f
\left( \tau 1, \lambda p + . . .+
\tau \nu - 1\int
(p - 1)h
f(\tau \nu , \lambda p)d\tau \nu . . .
\right) d\tau 1 - \lambda p+1 = 0, p = 1, N - 1. (5.10)
Запишем систему уравнений (5.9), (5.10) в виде
Q\nu (\Delta
h;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN . (5.11)
Пусть \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1, \widetilde \lambda 2, . . . , \widetilde \lambda N ) \in RnN — решение системы (5.11) для некоторого \nu \in \BbbN и h > 0 :
Nh = T, т. е. Q\nu (\Delta
h; \widetilde \lambda ) = 0.
Решая задачи Коши
dur
dt
= f(t, ur + \widetilde \lambda r), ur[(r - 1)h] = 0, t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N,
находим ur(t, \widetilde \lambda r), r = 1, N. Равенствами \widetilde x(t) = \widetilde \lambda r +ur(t, \widetilde \lambda r), t \in [(r - 1)h, rh), r = 1, N,
и \widetilde x(T ) = \widetilde \lambda N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 uN (t, \widetilde \lambda N ) определим функцию \widetilde x(t) на [0, T ]. Выберем \widetilde \rho > 0 и
составим множество G(\widetilde x(t), \widetilde \rho ) = \bigl\{ (t, x) : t \in [0, T ], \| x - \widetilde x(t)\| < \widetilde \rho \bigr\} .
Условие \bfitB \bfzero . Функции f(t, x) и g(v, w) имеют равномерно непрерывные частные произ-
водные f \prime
x(t, x) и g\prime v(v, w), g
\prime
w(v, w) в G(\widetilde x(t), \widetilde \rho ) и S(\widetilde x(0), \widetilde \rho ) \times S(\widetilde x(T ), \widetilde \rho ) соответственно, а
также выполняются следующие неравенства:
\| f \prime
x(t, x)\| \leq L, \| g\prime v(v, w)\| \leq L1, \| g\prime w(v, w)\| \leq L2.
При выполнении условия B0 из оценки (5.5) и вида уравнений (5.9), (5.10) следует, что
\| Q\ast (\Delta
h; \widetilde \lambda )\| = \| Q\ast (\Delta
h; \widetilde \lambda ) - Q\nu (\Delta
h; \widetilde \lambda )\| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(1, L2)
h\nu +1
(\nu + 1)!
L\nu M. (5.12)
Таким образом, для больших натуральных чисел \nu или малых шагов разбиения h > 0 : Nh = T
мы можем рассматривать решение системы (5.11) как приближенное решение системы (5.8).
Отметим, что система (5.11) становится более сложной для больших \nu \in \BbbN . Уменьшение h > 0
приводит к увеличению числа неизвестных параметров \lambda r \in Rn, r = 1, N. Однако, в отличие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
900 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
от системы (5.8), система (5.11) полностью определяется через данные краевой задачи (1.1),
(1.2). Качественные свойства этой системы также определяются свойствами функций f(t, x) и
g(v, w).
Пусть \lambda h = (\lambda h
1 , \lambda
h
2 , . . . , \lambda
h
N ) \in RnN является решением системы (5.8). Решая задачи Коши
с параметрами
dur
dt
= f(t, \lambda h
r + ur), ur[(r - 1)h] = 0, t \in [(r - 1)h, (r - 0, 5)h],
находим значения функций ur(t, \lambda
h
r ) в точках t = (r - 0, 5)h, r = 1, N. Составим вектор
\lambda h/2 = (\lambda
h/2
1 , \lambda
h/2
2 , . . . , \lambda
h/2
2N - 1, \lambda
h/2
2N ) \in R2nN с элементами \lambda
h/2
1 = \lambda h
1 , \lambda
h/2
2 = \lambda h
1 +u1(h/2, \lambda
h
1),
\lambda
h/2
3 = \lambda h
2 , \lambda
h/2
4 = \lambda h
2 + u2(3h/2, \lambda
h
2), . . . , \lambda h/2
2N - 1 = \lambda h
N , \lambda
h/2
2N = \lambda h
N + uN (T - h/2, \lambda h
N ).
Легко проверить, что вектор \lambda h/2 \in R2nN удовлетворяет системе Q\ast (\Delta
h/2;\lambda ) = 0, \lambda \in
\in R2nN . Предположим, что для h = h0 > 0 : N0h0 = T и \nu = \nu 0 мы можем найти решение
или его приближение для системы нелинейных алгебраических уравнений
Q\nu 0(\Delta
h0 ;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N0) \in RnN0 . (5.13)
Основываясь на указанной выше взаимосвязи между \lambda h \in RnN и \lambda h/2 \in R2nN , мы можем
уменьшить шаг разбиения h наполовину. Возьмем h1 = h0/2 и рассмотрим систему 2nN0
нелинейных алгебраических уравнений
Q\nu 0(\Delta
h0/2;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda 2N0) \in R2nN0 . (5.14)
Решая задачи Коши
dur
dt
= f(t, ur+\lambda (0)
r ), ur[(r - 1)h0] = 0, t \in [(r - 1)h0, (r - 0, 5)h0],
находим ur[(r - 0, 5)h0, \lambda
(0)
r ], r = 1, N0. Выберем \lambda (1,0) = (\lambda
(1,0)
1 , \lambda
(1,0)
2 , . . . , \lambda
(1,0)
2N0
) \in R2nN0 с
элементами
\lambda
(1,0)
1 = \lambda
(0)
1 , \lambda
(1,0)
2 = \lambda
(0)
1 + u1(h0/2, \lambda
(0)
1 ), \lambda
(1,0)
3 = \lambda
(0)
2 ,
\lambda
(1,0)
4 = \lambda
(0)
2 + u2(3h0/2, \lambda
(0)
2 ), . . . , \lambda
(1,0)
2N0 - 1 = \lambda
(0)
N0
,
\lambda
(1,0)
2N0
= \lambda
(0)
N0
+ uN0(T - h0/2, \lambda
(0)
N0
),
как начальное приближение к \lambda (1) — решению системы (5.14).
Применяя подходящий метод, например метод Ньютона [9, 20, 25], находим \lambda (1) или его
приближение. Далее берем h2 = h0/4 и, повторяя вышеописанный процесс, находим решение
системы 4nN0 нелинейных алгебраических уравнений и т. д.
Учитывая вид Q\nu (\Delta
h;\lambda ), устанавливаем оценку\bigm\| \bigm\| \bigm\| Q\nu +1(\Delta
h;\lambda ) - Q\nu (\Delta
h;\lambda )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(1, L2)L
\nu M
h\nu +1
(\nu + 1)!
(5.15)
для любого \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N ) \in RnN с \lambda r \in S(\widetilde \lambda r, \widetilde \rho ), r = 1, N.
Теперь зафиксируем h0 и увеличим \nu . Возьмем \nu = \nu 0+1 и решим систему nN0 нелиней-
ных алгебраических уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 901
Q\nu 0+1(\Delta
h0 ;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda N0) \in RnN0 . (5.16)
Здесь размерность неизвестного вектора \lambda \in RnN0 не меняется, однако, как было отмечено вы-
ше, система (5.11) становится более сложной. Основываясь на (5.15), берем
\lambda (0) = (\lambda
(0)
1 , \lambda
(0)
2 , . . . , \lambda
(0)
N ) \in RnN — решение уравнения (5.13) — как начальную итерацию
и решаем систему (5.16) итерационным методом.
Пример 5.1. На [0, 1] рассмотрим периодическую краевую задачу для дифференциального
уравнения Матье
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
= - x1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t \cdot x1 +
1
2
x31 + f(t), (5.17)
x1(0) = x1(1), x2(0) = x2(1), (5.18)
где
f(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi t \cdot
\biggl(
- 2\pi 2 +
1
2
- 1
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1
16
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 2\pi t
\biggr)
.
Введем функции F1(t, x1, x2) = x2 и F2(t, x1, x2) = - x1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t \cdot x1+
1
2
x31+f(t). Запишем
(5.17), (5.18) в векторной форме
dx
dt
= F (t, x), t \in (0, 1), x \in R2, (5.19)
x(0) = x(1). (5.20)
Функция F (t, x) определена для всех (t, x) \in [0, 1]\times R2, и \Delta 1-приближенное общее решение
с \nu = 1 имеет вид
x(\Delta 1, 1, t, \lambda ) = \lambda +
t\int
0
F (\tau , \lambda )d\tau , t \in [0, 1], \lambda \in R2. (5.21)
Подставляя правую часть (5.21) в краевое условие (5.20), получаем систему нелинейных
алгебраических уравнений относительно координат вектора \lambda = (\lambda 1, \lambda 2) \in R2 :
1\int
0
dt\lambda 2 = 0, - \lambda 1 +
1\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2tdt\lambda 1 +
1
2
(\lambda 1)3 +
1\int
0
f(t)dt = 0.
Эта система имеет три приближенных решения: \lambda (1) = (1, 1445; 0), \lambda (2) = ( - 0, 9014; 0) и
\lambda (3) = ( - 0, 2431; 0).
Разобьем интервал [0, 1] пополам и построим \Delta 0,5-приближенное общее решение с \nu = 1:
x(\Delta 0,5, 1, t, \lambda ) = \lambda 1 +
t\int
0
F (\tau , \lambda 1)d\tau , t \in [0; 0, 5), \lambda 1 \in R2,
x(\Delta 0,5, 1, t, \lambda ) = \lambda 2 +
t\int
0,5
F (\tau , \lambda 2)d\tau , t \in [0, 5; 1], \lambda 2 \in R2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
902 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
Подставляя соответствующие выражения в краевое условие (5.20) и условие непрерывности
решения в точке t = 0, 5, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений
\lambda 11 - \lambda 21 -
1\int
0,5
\lambda 22dt = 0, \lambda 12 - \lambda 22 -
1\int
0,5
\biggl(
\lambda 21(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1) +
1
2
\lambda 3
21 + f(t)
\biggr)
dt = 0,
\lambda 11 +
0,5\int
0
\lambda 12dt - \lambda 21 = 0, \lambda 12 +
0,5\int
0
\biggl(
\lambda 11(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1) +
1
2
\lambda 3
11 + f(t)
\biggr)
dt - \lambda 22 = 0,
которую запишем в виде
Q1(\Delta
0,5;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2) \in R4, \lambda 1 = (\lambda 11, \lambda 12), \lambda 2 = (\lambda 21, \lambda 22). (5.22)
Используя метод Рунге – Кутта четвертого порядка с шагом h = 0, 005 и решая задачи Коши
du
dt
= F (t, \lambda (i) + u), u(0) = 0, t \in [0; 0, 5), u \in R2, i = 1, 2, 3, получаем u(0, 5;\lambda (i)).
Составим начальные приближения к решению системы (5.22):
\lambda
(0)
(1) = (\lambda (1), \lambda (1) + u(0, 5;\lambda (1))) = (1, 1445; 0; - 0, 3663; - 6, 1195),
\lambda
(0)
(2) = (\lambda (2), \lambda (2) + u(0, 5;\lambda (2))) = ( - 0, 9014; 0; - 2, 5675; - 7, 0909),
\lambda
(0)
(3) = (\lambda (3), \lambda (3) + u(0, 5;\lambda (3))) = ( - 0, 2431; 0; - 1, 8216; - 6, 419).
Применение итерационного метода Ньютона с этими начальными приближениями приводит
к одному и тому же решению системы (5.22), параметру
\lambda (0,0) = ( - 0, 0885; 3, 1334; 1, 4782; - 3, 1334).
Теперь мы используем \Delta 0,5-приближенное общее решение уравнения (5.19) с \nu = 2:
x(\Delta 0,5, 2, t, \lambda ) = \lambda 1 +
t\int
0
F
\left( \tau 1, \lambda 1 +
\tau 1\int
0
F (\tau 2, \lambda 1)d\tau 2
\right) d\tau 1, t \in [0; 0, 5), \lambda 1 \in R2,
x(\Delta 0,5, 2, t, \lambda ) = \lambda 2 +
t\int
0,5
F
\left( \tau 1, \lambda 2 +
\tau 1\int
0,5
F (\tau 2, \lambda 2)d\tau 2
\right) d\tau 1, t \in [0, 5; 1], \lambda 2 \in R2.
Подставляя правые части этих равенств в краевое условие (5.20) и условия непрерывности
решения в точке t = 0, 5, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений
\lambda 11 - \lambda 21 -
1\int
0,5
\left( \lambda 22 +
t\int
0,5
\biggl(
\lambda 21(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\tau - 1) +
1
2
\lambda 3
21 + f(\tau )
\biggr)
d\tau
\right) dt = 0,
\lambda 12 - \lambda 22 -
1\int
0,5
\left(
\left( \lambda 21 +
t\int
0,5
\lambda 22d\tau
\right) (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1) +
1
2
\left( \lambda 21 +
t\int
0,5
\lambda 22d\tau
\right) 3
+ f(t)
\right) dt = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 903
\lambda 11 +
0,5\int
0
\left( \lambda 12 +
t\int
0
\biggl(
\lambda 11(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\tau - 1) +
1
2
\lambda 3
11 + f(\tau )
\biggr)
d\tau
\right) dt - \lambda 21 = 0,
\lambda 12 +
0,5\int
0
\left(
\left( \lambda 11 +
t\int
0
\lambda 12d\tau
\right) (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t - 1) +
1
2
\left( \lambda 11 +
t\int
0
\lambda 12d\tau
\right) 3
+ f(t)
\right) dt - \lambda 22 = 0.
Запишем эту систему в виде
Q2(\Delta
0,5;\lambda ) = 0, \lambda = (\lambda 1, \lambda 2) \in R4. (5.23)
Выбирая \lambda (0,0) \in R4 как начальную итерацию и решая систему (5.23) методом Ньютона,
находим \lambda (0) = ( - 0, 2875; 3, 1203; - 0, 2961; - 3, 118).
Далее выбираем \lambda (0) как начальное приближение к решению системы нелинейных алгеб-
раических уравнений Q\ast (\Delta
0,5;\lambda ) = 0, \lambda \in R4, и решаем краевую задачу (5.17), (5.18)
с помощью алгоритма, предложенного в пункте 4.
Задачи Коши для нелинейных ОДУ на подынтервалах имеют вид
dur
dt
= F (t, ur + \lambda r), ur
\bigl[
0, 5(r - 1)
\bigr]
= 0, t \in
\bigl[
0, 5(r - 1), 0, 5r
\bigr]
, r = 1, 2. (5.24)
Значение Q\ast (\Delta
0,5;\lambda ) для заданного \widehat \lambda = (\widehat \lambda 1, \widehat \lambda 2) \in R4 определяется равенством
Q\ast (\Delta
0,5;\lambda ) =
\Biggl( \widehat \lambda 1 - \widehat \lambda 2 - u2(1, \widehat \lambda 2)\widehat \lambda 1 + u1(0, 5; \widehat \lambda 1) - \widehat \lambda 2
\Biggr)
,
где ur(t, \widehat \lambda r) — решение задачи Коши (5.24) для \lambda r = \widehat \lambda r, r = 1, 2.
(2\times 2)-Матрица \widehat A(t) имеет вид
\widehat A(t) =
\left( 0 1
- 1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2t+
3
2
[\widehat x1(t)]2 0
\right) .
Здесь \widehat x1(t) — первая координата вектор-функции \widehat x(t), определяемая равенствами
\widehat x(t) = \widehat \lambda r + ur(t, \widehat \lambda r), t \in
\bigl[
0, 5(r - 1), 0, 5r
\bigr)
, r = 1, 2,
и \widehat x(1) = \widehat \lambda 2 + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 1 - 0
u2(t, \widehat \lambda 2).
Матрица Якоби
\partial Q\ast (\Delta
0,5;\lambda )
\partial \lambda
: R4 \rightarrow R4 дается формулой
\Biggl(
I - I - \widehat a2( \widehat A, 1)
I + \widehat a1( \widehat A; 0, 5) - I
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
904 Д. С. ДЖУМАБАЕВ
В этой формуле (2 \times 2)-матрицы \widehat ar( \widehat A; 0, 5r) определяются решениями задач Коши для ли-
нейных матричных ОДУ на подынтервалах
dz
dt
= \widehat A(t)z + \widehat A(t), z
\bigl[
0, 5(r - 1)
\bigr]
= 0, t \in
\bigl[
0, 5(r - 1), 0, 5r
\bigr]
, r = 1, 2. (5.25)
Задачи Коши (5.24) и (5.25) решаются методом Рунге – Кутта четвертого порядка с шагом
h = 0, 005. Чтобы определить решения задачи Коши на всем интервале [0, 1], мы используем
кубическую сплайн-аппроксимацию.
Представим результаты первых четырех шагов алгоритма:
\lambda (1) = (0, 0997; 3, 1454; 0, 099; - 3, 1518),
\lambda (2) = ( - 0, 0035; 3, 1433; - 0, 0034; - 3, 1431),
\lambda (3) = (3, 4005 \cdot 10 - 6; 3, 141592; 3.381 \cdot 10 - 6; - 3, 1592),
\lambda (4) = ( - 1, 565 \cdot 10 - 10; 3, 14159265; - 7, 8773 \cdot 10 - 11; - 3, 14159265).
Решением задачи (5.17), (5.18) является вектор-функция x\ast (t) = (x\ast 1(t), x
\ast
2(t)) с координатами
x\ast 1(t) = 0, 5 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi t) и x\ast 2(t) = \pi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi t). Таким образом, значения решения в точках t0 = 0
и t1 = 0, 5 дает вектор \lambda \ast = (0, \pi , 0, - \pi ).
Поскольку \| \lambda \ast - \lambda (0)\| < 0, 3, \| \lambda \ast - \lambda (1)\| < 0, 1, \| \lambda \ast - \lambda (2)\| < 0, 004, \| \lambda \ast - \lambda (3)\| < 10 - 5
и \| \lambda \ast - \lambda (4)\| < 10 - 9, то справедливы следующие утверждения:
a) начальное приближение \lambda (0) отличается от \lambda \ast менее чем на 0, 3,
b) основной алгоритм сходится к \lambda \ast квадратично.
Поскольку \lambda 1 и \lambda 2 являются значениями решения задачи (5.17), (5.18) в точках t0 = 0 и
t1 = 0, 5 соответственно, то вектор \lambda (k) = (\lambda
(k)
1 , \lambda
(k)
2 ), k = 1, 4, дает приближенные значения
решения в начальных точках подынтервалов [0; 0, 5) и [0, 5; 1]. Приближенные значения реше-
ния в остальных точках интервала [0, 1] находим, решая задачи Коши на этих подынтервалах.
6. Заключение. Основная идея предлагаемого метода заключается в построении и реше-
нии систем алгебраических уравнений относительно произвольных параметров новых общих
решений. Для линейной краевой задачи эта система будет линейной. Решение нелинейной
краевой задачи приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Задачи Коши для
ОДУ на подынтервалах являются основным инструментом построения этих систем. Числен-
ные результаты, полученные в вычислительном эксперименте, показывают, что предлагаемый
метод решения нелинейной краевой задачи имеет квадратичную сходимость, если начальное
приближение достаточно близко к решению. Алгоритм определения хорошего начального при-
ближения предложен в пункте 5.
Литература
1. Aziz A. Numerical solutions for ordinary differential equations. – New York: Acad. Press, 1975.
2. Ascher U. M., Mattheij R. M., Russel R. D. Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential
equations // SIAM Classics Appl. Math. – 1995. – 13.
3. Babenko K. I. Fundamentals of numerical analysis. – Moscow: Nauka, 1986.
4. Bakhvalov N. S. Numerical methods: analysis, algebra, ordinary differential equations. – Moscow: Mir, 1977.
5. Bellman R., Kalaba R. Quasilinearization and nonlinear boundary value problems. – New York: Amer. Elsevier, 1965.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 905
6. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Berlin:
De Gruyter, 2016.
7. Brugnano L., Trigiante D. Solving differential problems by multistep initial and boundary value methods. –
Amsterdam: Gordon and Breach, 1998.
8. Butcher J. C. The numerical analysis of ordinary differential equations. – New York: Wiley, 1987.
9. Deuflhard P. Newton methods for nonlinear problems. – Springer, 2004.
10. Dzhumabayev D. S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential
equation // USSR Comput. Math. and Math. Phys. – 1989. – 29. – P. 34 – 46.
11. Dzhumabaev D. S. New general solutions to linear Fredholm integro-differential equations and their applications on
solving the boundary value problems // J. Comput. and Appl. Math. – 2018. – 327. – P. 79 – 108.
12. Dzhumabaev D. S. Computational methods of solving the boundary value problems for the loaded differential and
Fredholm integro-differential equations // Math. Methods Appl. Sci. – 2018. – 41. – P. 1439 – 1462.
13. Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary-value problem for a system of loaded hyperbolic equations
and an algorithm for finding its solution // J. Math. Anal. and Appl. – 2018. – 461. – P. 817 – 836.
14. Dzhumabaev D. S., Temesheva S. M. A parametrization method for solving nonlinear two-point boundary value
problems // Comput. Math. and Math. Phys. – 2007. – 47. – P. 37 – 61.
15. Dzhumabaev D. S., Temesheva S. M. Criteria for the existence of an isolated solution of a nonlinear boundary-value
problem // Ukr. Math. J. – 2018. – 70, № 4. – P. 410 – 421.
16. Dzhumabaev D. S. On one approach to solve the linear boundary value problems for Fredholm integro-differential
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 2016. – 294. – P. 342 – 357.
17. Dzhumabaev D. S. Necessary and sufficient conditions for the solvability of linear boundary-value problems for the
Fredholm integrodifferential equations // Ukr. Math. J. – 2015. – 66, № 9. – P. 1200 – 1219.
18. Dzhumabaev D. S. Solvability of a linear boundary value problem for a Fredholm integro-differential equation with
impulsive inputs // Different. Equat. – 2015. – 51. – P. 1180 – 1196.
19. Keller H. B. Numerical methods for two-point poundary value problems. – New York: Dover, 1992.
20. Kelley C. T. Solving nonlinear equations with Newton’s method. – Philadelphia: SIAM Publ., 2003.
21. Lakshmikantham V., Vatsala A. S. Generalized quasilinearization for nonlinear problems. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1998.
22. Lampert J. D. Computational methods in ordinary differential equations. – New York: Wiley, 1973.
23. Hall G., Watt J. M. (Eds.) Modern numerical methods for ordinary differential equations. – Oxford: Clarendon, 1976.
24. Ntouyas S. K. Nonlocal initial and boundary value problems: a survey // Handb. Different. Equat. – 2005. – 2. –
P. 461 – 557.
25. Ortega J. M., Rheinboldt W. C. Iterative solution of nonlinear equations in several variables. – New York; London:
Acad. Press, 1970.
26. Pokutnyi O. O. Approximation of generalized bounded solutions of evolution equations with unbounded operator //
Nonlinear Oscillations. – 2011. – 14. – P. 95 – 101.
27. Roberts S. M., Shipman J. S. Two-point boundary-value problems: shooting methods. – New York: Elsevier, 1972.
28. Ronto M., Samoilenko A. M. Numerical-analytic methods in the theory of boundary-value problems. – New York:
World Sci., River Edge, 2000.
29. Ronto A., Ronto M. Successive approximation techniques in non-linear boundary value problems for ordinary
differential equations // Handbook Different. Equat.: Ordinary Different. Equat. – 2008. – 4. – P. 441 – 592.
30. Shampine L. F. Numerical solution of ordinary differential equations. – New York: Chapman & Hall, 1994.
31. Stoer J., Bulirsch D. Introduction to numerical analysis. – 3rd ed. – New York: Springer, 2002.
Получено 24.09.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1483 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:37Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ec/4a984e5c7255a17187f6fa1a38f5e7ec.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14832019-12-05T08:57:08Z New general solutions of ordinary differential equations and the methods of solving the boundary-value problems Новые общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения краевых задач Dzhumabaev, D. S. Джумабаев, Д. С. Джумабаев, Д. С. UDC 517.624 New general solutions of ordinary differential equations are introduced and their properties are established. We develop new methods of solving the boundary-value problems based on the construction and solving of the systems of algebraic equations for arbitrary vectors of the general solutions. An approach to finding the initial approximation to the solution of a nonlinear boundary-value problem is proposed. УДК 517.624 Уведено новi загальнi розв’язки звичайних диференцiальних рiвнянь i встановлено їхнi властивостi. Розроблено методи розв’язування крайових задач, що ґрунтуються на побудовi i розв’язаннi систем алгебраїчних рiвнянь вiдносно довiльних векторiв загальних розв’язкiв. Запропоновано пiдхiд до знаходження початкового наближення до розв’язку нелiнiйної крайової задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1483 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 884-905 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 884-905 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1483/467 Copyright (c) 2019 Dzhumabaev D. S. |
| spellingShingle | Dzhumabaev, D. S. Джумабаев, Д. С. Джумабаев, Д. С. New general solutions of ordinary differential equations and the methods of solving the boundary-value problems |
| title | New general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| title_alt | Новые общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений
и методы решения краевых задач |
| title_full | New general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| title_fullStr | New general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | New general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| title_short | New general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| title_sort | new general solutions of ordinary differential equations and the methods
of solving the boundary-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1483 |
| work_keys_str_mv | AT dzhumabaevds newgeneralsolutionsofordinarydifferentialequationsandthemethodsofsolvingtheboundaryvalueproblems AT džumabaevds newgeneralsolutionsofordinarydifferentialequationsandthemethodsofsolvingtheboundaryvalueproblems AT džumabaevds newgeneralsolutionsofordinarydifferentialequationsandthemethodsofsolvingtheboundaryvalueproblems AT dzhumabaevds novyeobŝierešeniâobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijimetodyrešeniâkraevyhzadač AT džumabaevds novyeobŝierešeniâobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijimetodyrešeniâkraevyhzadač AT džumabaevds novyeobŝierešeniâobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijimetodyrešeniâkraevyhzadač |