On the approximation of functions from the Hölder class given on a segment by their biharmonic Poisson operators
UDC 517.5 We obtain the exact equality for the upper bounds of deviations of biharmonic Poisson operators on the Hölder classes of functions continuous on the segment $[-1;1]$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1485 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507270251544576 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, K. M. Zhyhallo, T. V. Жигалло, К. М. Жигалло, Т. В. |
| author_facet | Zhyhallo, K. M. Zhyhallo, T. V. Жигалло, К. М. Жигалло, Т. В. |
| author_sort | Zhyhallo, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-30T12:26:24Z |
| description | UDC 517.5
We obtain the exact equality for the upper bounds of deviations of biharmonic Poisson operators on the Hölder classes of functions continuous on the segment $[-1;1]$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. М. Жигалло, Т. В. Жигалло (Схiдноєвр. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПРО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ ГЕЛЬДЕРА, ЗАДАНИХ НА ВIДРIЗКУ,
ЇХНIМИ БIГАРМОНIЧНИМИ ОПЕРАТОРАМИ ПУАССОНА
We obtain the exact equality for the upper bounds of deviations of biharmonic Poisson operators on the Hölder classes of
functions continuous on the segment [ - 1; 1].
Отримано точну рiвнiсть для верхнiх меж вiдхилень бiгармонiчних операторiв Пуассона на класах Гельдера непе-
рервних на вiдрiзку [ - 1; 1] функцiй.
1. Постановка задачi та деякi iсторичнi вiдомостi. Нехай \^T0(x) =
1\surd
\pi
, \^Tk(x) =
=
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} k \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x, k \in \BbbN , — ортонормована з вагою
1\surd
1 - x2
на [ - 1; 1] система полiномiв
Чебишoва першого роду. Для кожної неперервної функцiї f позначимо через ck = ck(f) =
=
\int 1
- 1
f(t) \^Tk(t)\surd
1 - t2
dt послiдовнiсть її коефiцiєнтiв Фур’є по системi \^Tk(x) (див., наприклад, [1]).
Тодi
\sum \infty
k=0
ck \^Tk(x) називають рядом Фур’є – Чебишoва функцiї f .
Лiнiйнi методи пiдсумовування рядiв та iнтегралiв Фур’є (методи Фур’є, Фейєра [2, c. 36],
Валле Пуссена [3, 4], Абеля – Пуассона [5, 6], бiгармонiчного iнтеграла [7, 8]) мають аналоги у
випадку пiдсумовування рядiв Фур’є – Чебишoва. Зокрема, аналогом сум Фур’є Sn(f ;x) в алге-
браїчному випадку є суми Фур’є – Чебишoва Sn(f ;T ;x) =
\sum n - 1
k=0
ck \^Tk, аналогом сум Фейєра
\sigma n(f ;x) — суми Фейєра – Чебишoва \sigma n(f ;T ;x) =
1
n
\sum n - 1
k=0
Sk(f ;T ;x), аналогом iнтегралiв
Абеля – Пуассона — оператори Абеля – Пуассона [1] Pr(f ;T ;x) =
\sum \infty
k=0
rkck \^Tk(x), 0 \leq r < 1,
аналогом же бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона є бiгармонiчнi оператори Пуассона [9] вигляду
Br(f ;T ;x) =
\infty \sum
k=0
\biggl(
1 +
k
2
\bigl(
1 - r2
\bigr) \biggr)
rkck \^Tk(x), 0 \leq r < 1.
Через H\alpha , як загальноприйнято, будемо позначати клас Гельдера порядку \alpha , 0 < \alpha \leq 1,
функцiй f, що задовольняють умову Лiпшиця
| f(x1) - f(x2)| \leq | x1 - x2| \alpha \forall x1, x2 \in [ - 1; 1].
Дану роботу присвячено вивченню поведiнки величини
\scrE (H1;Br;x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in H1
| f(x) - Br(f ;T ;x)| (1)
у кожнiй точцi x вiдрiзка [ - 1; 1] при 0 < r < 1.
Асимптотичнi оцiнки наближення функцiй iз класу Гельдера методом пiдсумовування,
що визначається множниками \eta
(n)
k =
k\pi
2n
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
k\pi
2n
, n \in \BbbN , k = 1, 2, . . . , n - 1, встановив
С. М. Нiкольський [10]. Ним також було дослiджено питання щодо наближення функцiй iз
класу H1 частинними сумами порядку n ряду Фур’є – Чебишoва Sn(f ;T ;x). Пiзнiше
c\bigcirc К. М. ЖИГАЛЛО, Т. В. ЖИГАЛЛО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7 915
916 К. М. ЖИГАЛЛО, Т. В. ЖИГАЛЛО
О. П. Тiман [11] отримав асимптотичнi рiвностi для величин типу (1) у випадку наближен-
ня функцiй iз класу Гельдера порядку \alpha , 0 < \alpha \leq 1, сумами Sn(f ;T ;x) i \sigma n(f ;T ;x). За-
дачу типу (1) для операторiв Абеля – Пуассона на класi H\alpha , 0 < \alpha \leq 1, розв’язано у роботi
Ю. I. Русецького [1]. Питанням рiвномiрного наближення неперервних на вiдрiзку функцiй ал-
гебраїчними многочленами присвячено роботу I. О. Шевчука [12]. Результати щодо наближення
алгебраїчними многочленами деяких функцiй i класiв функцiй у просторах C, L1, а також щодо
наближення з урахуванням положення точки на вiдрiзку отримано в роботах О. В. Моторної та
В. П. Моторного (див., наприклад, [13, 14]). Метою ж даної роботи, як зазначено вище, є знахо-
дження точної рiвностi величин (1) для бiгармонiчного оператора Пуассона Br(f ;T ;x) на класi
H1 у кожнiй точцi x вiдрiзка [ - 1; 1] при 0 < r < 1. Зауважимо, що поведiнка верхнiх меж
наближень на класах перiодичних функцiй, що задовольняють умову Лiпшиця, iнтегралами
Абеля – Пуассона i бiгармонiчними iнтегралами Пуассона дослiджувалася в роботах [15 – 18].
2. Точна рiвнiсть для верхнiх меж вiдхилень бiгармонiчних операторiв Пуассона на
класах \bfitH 1 неперервних на вiдрiзку [ - \bfone ; \bfone ] функцiй. Основним результатом даної роботи
є таке твердження.
Теорема. Для кожного x \in [ - 1; 1], 0 < r < 1, має мiсце рiвнiсть
\scrE (H1;Br;x) =
(1 - r2)2
2\pi r
\sqrt{}
1 - x2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
(1 + r)2 - 4rx2
1 - r
+
+
1 - r
2\pi
\Bigl(
2(\pi - 2 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)x+ (1 + r)2
\sqrt{}
1 - x2
\Bigr)
+
+
(1 - r)2
2\pi r
\bigl(
(1 - r)2 - 2r2
\bigr)
x \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
2rx
\surd
1 - x2
1 + r - 2rx2
+
+
(1 - r)2
2\pi
(1 + r)
\bigl(
(1 + r)2 - 4rx2
\bigr) \surd
1 - x2
(1 + r)2 - 4rx
. (2)
Доведення. В роботi [9] показано, що
\scrE (H1;Br;x) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t|
\Biggl(
1 +
\infty \sum
k=1
(2 + (1 - r)2k)rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\Biggr)
. (3)
Покладемо
K1
r (t; y) = 1 + 2
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky, K2
r (t; y) = (1 - r2)
\infty \sum
k=1
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky,
тодi спiввiдношення (3) можна записати так:
\scrE
\bigl(
H1;Br;x
\bigr)
=
1
\pi
y\int
0
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt+
+
1
\pi
\pi \int
y
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt. (4)
Розглянемо перший доданок у правiй частинi (4), використавши при цьому такi позначення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ПРО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ ГЕЛЬДЕРА, ЗАДАНИХ НА ВIДРIЗКУ . . . 917
1
\pi
y\int
0
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt = I1 - I2, (5)
I1 =
1
\pi
y\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tK1
r (t; y)dt+
1
\pi
y\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tK2
r (t; y)dt :=
1
\pi
(I11 + I21 ), (6)
I2 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\pi
y\int
0
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt :=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\pi
(I12 + I22 ). (7)
У роботi [1] показано, що
I11 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\biggl(
y +
1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
\biggr)
+
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
. (8)
Для величини I21 очевидно:
I21 =
1 - r2
2
\Biggl(
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
2
+
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr) \Biggr)
. (9)
Iз спiвввiдношень (6), (8) i (9) випливає, що
I1 =
1
\pi
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\biggl(
y +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
2
\biggr)
+
1 - r2
4
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y+
+
\infty \sum
k=2
\biggl(
1 +
1 - r2
2
k
\biggr)
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr) \Biggr)
. (10)
З рiвностi (7), оскiльки
I12 = y + 2
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky, I22 = (1 - r2)
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky,
випливає
I2 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\pi
\Biggl(
y + 2
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky + (1 - r2)
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
\Biggr)
. (11)
Об’єднуючи спiввiдношення (10), (11) i (5), отримуємо
1
\pi
y\int
0
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt =
1
\pi
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\biggl(
y +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
2
\biggr)
-
- y \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y +
1 - r2
4
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y +
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
-
- 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky +
1 - r2
2
\Biggl( \infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
918 К. М. ЖИГАЛЛО, Т. В. ЖИГАЛЛО
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
- 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
\Biggr) \Biggr)
. (12)
Другий доданок iз правої частини (4) записуємо у виглядi
1
\pi
\pi \int
y
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt = I3 - I4, (13)
I3 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\pi
\left( \pi \int
y
K1
r (t; y)dt+
\pi \int
y
K2
r (t; y)dt
\right) :=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\pi
\bigl(
I13 + I23
\bigr)
, (14)
I4 =
1
\pi
\left( \pi \int
y
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tK1
r (t; y)dt+
\pi \int
y
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tK2
r (t; y)dt
\right) :=
1
\pi
(I14 + I24 ). (15)
Далi маємо
I13 = \pi - y - 2
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky, I23 = -
\bigl(
1 - r2
\bigr) \infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky. (16)
Для знаходження iнтеграла I14 скористаємось оцiнкою iнтеграла I4 з роботи [1, с. 142].
Таким чином,
I14 = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\biggl(
\pi - y - 1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
\biggr)
-
-
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
. (17)
I, насамкiнець, для iнтеграла I24 отримуємо
I24 =
1 - r2
2
\pi \int
y
\infty \sum
k=1
krk (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(k - 1)t+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(k + 1)t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kydt =
= - 1 - r2
2
\Biggl(
r
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y +
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr) \Biggr)
. (18)
Зiставляючи спiввiдношення (13) – (18), можемо записати
\pi \int
y
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\bigl(
K1
r (t; y) +K2
r (t; y)
\bigr)
dt = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\Biggl(
\pi - y -
- 2
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky -
\bigl(
1 - r2
\bigr) \infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
\Biggr)
+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ПРО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ ГЕЛЬДЕРА, ЗАДАНИХ НА ВIДРIЗКУ . . . 919
- r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\biggl(
\pi - y - 1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
\biggr)
+
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
+
+
1 - r2
2
\Biggl(
r
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y +
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr) \Biggr)
. (19)
Пiдставляючи (12) i (19) у праву частину (4), отримуємо
\pi \scrE
\bigl(
H1;Br;x
\bigr)
= 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y(\pi - 2y)(1 - r)+
+2
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
- 4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\infty \sum
k=1
rk
k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky+
+
1 - r2
2
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y - 2(1 - r2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky+
+(1 - r2)
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
. (20)
Зауважимо, що для величини \scrE
\bigl(
H1;Pr;x
\bigr)
, де Pr — оператори Абеля – Пуассона, при всiх
x \in [ - 1; 1] було отримано (див. [1, с. 142]) рiвнiсть
\pi \scrE
\bigl(
H1;Pr;x
\bigr)
=
1 - r2
r
\sqrt{}
1 - x2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
(1 + r)2 - 4rx2
1 - r
+
+(1 - r)(\pi - 2 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)x+
(1 - r)2
r
x \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
2rx
\surd
1 - x2
1 + r - 2rx2
, 0 < r < 1. (21)
Завершуючи доведення теореми, позначаємо
\Omega :=
1 - r2
2
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y - 2(1 - r2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\infty \sum
k=1
rk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky+
+(1 - r2)
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
\biggr)
. (22)
Тодi
\Omega = (1 - r2)
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky\Delta 2
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
k
\biggr)
- 1 - r2
2
r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y+
+(1 - r2)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)
\infty \sum
k=2
rk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2ky, (23)
де \Delta 2
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
k
\biggr)
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k - 1)y
k - 1
- 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
k
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(k + 1)y
k + 1
. Використовуючи тотожнiсть
n\sum
k=2
uk\Delta
2(vk) =
n\sum
k=2
vk\Delta
2(uk) + u2v1 - u1v2 + unvn+1 - un+1vn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
920 К. М. ЖИГАЛЛО, Т. В. ЖИГАЛЛО
знаходимо
\infty \sum
k=2
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky\Delta 2
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
k
\biggr)
=
=
\infty \sum
k=2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky
k
\Delta 2
\Bigl(
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\Bigr)
+ 2r2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2y \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2y
2
, (24)
оскiльки
nrn \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n+ 1)y
n+ 1
- (n+ 1)rn+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n+ 1)y
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ny
n
= o(1).
Крiм того, неважко переконатися в тому, що
\Delta 2
\Bigl(
krk \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky
\Bigr)
= krk\Delta 2 (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky) + krk
\biggl(
(1 - r)2
r
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y+
+
1 - r2
r
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y
\biggr)
- rk
\biggl(
1 - r2
r
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y +
1 + r2
r
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ky \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y
\biggr)
.
Спiввiдношення (23), з урахуванням останньої рiвностi та (24), а також того, що \Delta 2 (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky) =
= 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ky(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y - 1), записуємо у виглядi
\Omega =
\infty \sum
k=1
1 + r
2r
(1 - r)2
\biggl(
1 - r - 1 + r
k
\biggr)
rk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2ky \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y+
+
\infty \sum
k=1
(1 - r)2
2r
\biggl(
(1 + r)2 - 1 + r2
k
\biggr)
rk(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2ky) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y. (25)
Беручи до уваги формули 1.447(1) та 1.447(2) з [19], 0 < r < 1, а також 1.448(1) та 1.448(2),
з рiвностi (25) для величини \Omega , що визначена за допомогою формули (22), де y = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x,
отримуємо
\Omega =(1 + r)(1 - r)3
x2
\surd
1 - x2
(1 + r)2 - 4rx2
+
(1 + r)2
2
(1 - r)2
\sqrt{}
1 - x2
\biggl(
1
1 - r
+
1 + r - 2x2
(1 + r)2 - 4rx2
\biggr)
-
- (1 + r)2
2r
(1 - r)2x \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
2rx
\surd
1 - x2
1 + r - 2rx2
-
- 1 + r2
2r
(1 - r2)
\sqrt{}
1 - x2 \mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
(1 + r)2 - 4rx2
1 - r
. (26)
Iз рiвностi (20), враховуючи (21), (22) i (26), отримуємо (2).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ПРО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ ГЕЛЬДЕРА, ЗАДАНИХ НА ВIДРIЗКУ . . . 921
Лiтература
1. Русецкий Ю. И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона // Сиб. мат.
журн. – 1968. – 9, № 1. – С. 136 – 144.
2. Степанец А. И. Методы теории приближения: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. –
427 с.
3. Rukasov V. I., Chaichenko S. O. Approximation of analytic periodic functions by de la Vallee-Poussin sums // Ukr.
Math. J. – 2002. – 54, № 12. – P. 2006 – 2024.
4. Rukasov V. I., Chaichenko S. O. Approximation by de la Vallee-Poussin operators on the classes of functions locally
summable on the real axis // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 7. – P. 1126 – 1138.
5. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo T. V. Approximation of (\psi ;\beta )-differentiable functions defined on the real axis by Abel –
Poisson operators // Ukr. Math. J. – 2005. – 57, № 8. – P. 1297 – 1315.
6. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel – Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 1. – P. 86 – 98.
7. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo T. V. Approximation of function from class \^C\psi \beta ,\infty by Poisson biharmonic operators in the
uniform metric // Ukr. Math. J. – 2008. – 60, № 5. – P. 769 – 798.
8. Zhyhallo T. V., Kharkevych Yu. I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes \^L\psi \beta ,1 //
Ukr. Math. J. – 2017. – 69, № 5. – P. 757 – 765.
9. Zhyhallo T. V. Approximation of functions holding the Lipschitz conditions on a finite segment of the real axis by the
Poisson – Chebyshev integrals // J. Automat. and Inform. Sci. – 2018. – 50, № 5. – P. 34 – 48.
10. Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица //
Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1946. – 27, № 4. – С. 295 – 318.
11. Тиман А. Ф. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица, обыкновенными многочленами //
Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951. – 77, № 6. – С. 969 – 972.
12. Шевчук И. А. K равномерному приближению функций на отрезке // Мат. заметки. – 1986. – 40, № 1. – С. 36 – 48.
13. Motornyi V. P., Motornaya O. V. On asymptotically exact estimates for the approximation of certain classes of functions
by algebraic polynomials // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, № 1. – P. 91 – 107.
14. Motornyi V. P. Approximation of certain classes of singular integrals by algebraic polynomials // Ukr. Math. J. –
2001. – 53, № 3. – P. 377 – 394.
15. Kal’chuk I. V., Kharkevych Yu. I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by
the Poisson integrals // Acta Comment. Univ. Tartu. Math. – 2018. – 22, № 1. – P. 23 – 36.
16. Kharkevych Yu. I., Pozharska K. V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by the Poisson integrals //
Acta Comment. Univ. Tartu. Math. – 2018. – 22, № 2. – P. 235 – 243.
17. Hembars’ka S. B., Zhyhallo K. M. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes // Ukr.
Math. J. – 2017. – 69, № 7. – P. 1075 – 1084.
18. Hrabova U. Z., Kal’chuk I. V., Stepanyuk T. A. Про наближення бiгармонiчними iнтегралами Пуассона класiв
W r
\beta H
\alpha // Ukr. Math. J. – 2018. – 70, № 5. – P. 719 – 729.
19. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматиз, 1963. –
1100 с.
Одержано 21.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1485 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:39Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/2c522a9818fd5c1fd32d303cf19a6f3d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14852020-03-30T12:26:24Z On the approximation of functions from the Hölder class given on a segment by their biharmonic Poisson operators Про наближення функцій класу Гельдера, заданих на відрізку, їхніми бігармонічними операторами Пуассона Zhyhallo, K. M. Zhyhallo, T. V. Жигалло, К. М. Жигалло, Т. В. UDC 517.5 We obtain the exact equality for the upper bounds of deviations of biharmonic Poisson operators on the Hölder classes of functions continuous on the segment $[-1;1]$. УДК 517.5 Отримано точну рівність для верхніх меж відхилень бігармонічних операторів Пуассона на класах Гельдера неперервних на відрізку $[-1;1]$ функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1485 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 915-921 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 915-921 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1485/469 Copyright (c) 2019 Zhyhallo K. M.; Zhyhallo T. V. |
| spellingShingle | Zhyhallo, K. M. Zhyhallo, T. V. Жигалло, К. М. Жигалло, Т. В. On the approximation of functions from the Hölder class given on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title | On the approximation of functions from the Hölder class given
on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title_alt | Про наближення функцій класу Гельдера, заданих на відрізку,
їхніми бігармонічними операторами Пуассона |
| title_full | On the approximation of functions from the Hölder class given
on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title_fullStr | On the approximation of functions from the Hölder class given
on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title_full_unstemmed | On the approximation of functions from the Hölder class given
on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title_short | On the approximation of functions from the Hölder class given
on a segment by their biharmonic Poisson operators |
| title_sort | on the approximation of functions from the hölder class given
on a segment by their biharmonic poisson operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1485 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallokm ontheapproximationoffunctionsfromtheholderclassgivenonasegmentbytheirbiharmonicpoissonoperators AT zhyhallotv ontheapproximationoffunctionsfromtheholderclassgivenonasegmentbytheirbiharmonicpoissonoperators AT žigallokm ontheapproximationoffunctionsfromtheholderclassgivenonasegmentbytheirbiharmonicpoissonoperators AT žigallotv ontheapproximationoffunctionsfromtheholderclassgivenonasegmentbytheirbiharmonicpoissonoperators AT zhyhallokm pronabližennâfunkcíjklasugelʹderazadanihnavídrízkuíhnímibígarmoníčnimioperatoramipuassona AT zhyhallotv pronabližennâfunkcíjklasugelʹderazadanihnavídrízkuíhnímibígarmoníčnimioperatoramipuassona AT žigallokm pronabližennâfunkcíjklasugelʹderazadanihnavídrízkuíhnímibígarmoníčnimioperatoramipuassona AT žigallotv pronabližennâfunkcíjklasugelʹderazadanihnavídrízkuíhnímibígarmoníčnimioperatoramipuassona |