On the problem of Frattini duality in the theory of Fitting classes
UDC 512.542 We determine the application of the Frattini duality to the description of multiple local Fitting classes. In particular, we establish a necessary and sufficient condition for the local Fitting class to be a formation.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1486 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507270882787328 |
|---|---|
| author | Vorob’ev, N. T. Nanying, Yang Shuya, Zhao Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао |
| author_facet | Vorob’ev, N. T. Nanying, Yang Shuya, Zhao Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао |
| author_sort | Vorob’ev, N. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:08Z |
| description | UDC 512.542
We determine the application of the Frattini duality to the description of multiple local Fitting classes.
In particular, we establish a necessary and sufficient
condition for the local Fitting class to be a formation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
Наньин Ян, Шуя Чжао* (Школа науки, Цзяннан. ун-т, Китай),
Н. Т. Воробьев** (Витеб. гос. ун-т им. П. М. Машерова, Беларусь)
О ПРОБЛЕМЕ ФРАТТИНИЕВОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ
В ТЕОРИИ КЛАССОВ ФИТТИНГА
We determine the application of the Frattini duality to the description of multiple local Fitting classes. In particular, we
establish a necessary and sufficient condition for the local Fitting class to be a formation.
Знайдено застосування фраттiнiєвої двоїстостi для опису кратно локальних класiв Фiттiнга. Зокрема, встановлено
необхiдну i достатню умову, при якiй локальний клас Фiттiнга є формацiєю.
1. Введение. В работе рассматриваются только конечные группы, если не оговорено противное.
Напомним, что класс групп — множество групп, которое наряду с каждой группой содержит ей
изоморфные. Отображение \tau множества классов групп во множество классов групп называется
операцией замыкания (см. [1], II, определение 1.4), если для любых классов групп X и Y
выполняются следующие условия: 1) X \subseteq \tau X; 2) \tau X = \tau (\tau X); 3) если X \subseteq Y, то \tau X \subseteq \tau Y.
В дальнейшем будем использовать общепринятые обозначения операций замыкания: Sn,
Q, R0, N0 и E\phi , которые для класса групп X определяются следующим образом:
\mathrm{S}nX = (G : G\unlhd \unlhd H для некоторой группыH \in X),
\mathrm{Q}X = (G : \exists H \in X и эпиморфизмHнаG),
\mathrm{R}0X =
\Bigl(
G : \exists Ni \unlhd G (i = 1, . . . , r), G/Ni \in X и
r\bigcap
i=1
Ni = 1
\Bigr)
,
\mathrm{N}0X =
\bigl(
G : \exists Ki \unlhd \unlhd G (i = 1, . . . , r),Ki \in X иG = \langle K1, . . . ,Kr\rangle
\bigr)
,
\mathrm{E}\phi X =
\bigl(
G : \exists N \unlhd G,N \leq \Phi (G) иG/N \in X
\bigr)
, где \Phi (G) — подгруппа Фраттини G.
Класс групп X называют \tau -замкнутым, если \tau X = X. Если X одновременно Q-замкнут и
R0-замкнут, то класс X называется формацией, а в случае, когда X одновременно Sn-замкнут и
N0-замкнут, X называется классом Фиттинга. Формацию X называют насыщенной, если она
E\phi -замкнута, т. е. из условия G/\Phi (G) \in X следует G \in X.
Пусть \BbbP — множество всех простых чисел. Отображения f : \BbbP \rightarrow \{ формации групп\} и h :
\BbbP \rightarrow \{ классы Фиттинга\} называют формационной функцией [1] (IV, 3.1(a)) и функцией Хартли
или коротко H -функцией [2] соответственно.
Символами \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f) и \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h) обозначают соответственно множества \{ p \in \BbbP : f(p) \not = \varnothing \}
и \{ p \in \BbbP : h(p) \not = \varnothing \} , а символами \frakE \pi , \frakN p и \frakE p\prime — классы всех \pi -групп (\pi \subseteq \BbbP ), всех p-групп
и всех p\prime -групп (p\prime = \BbbP \setminus \{ p\} ).
Если X и \frakH — классы групп, то их произведение — класс X\frakH = (G : \exists K \in Xи G/K \in X).
* Исследования поддержаны НФСО грант Китая (грант № 11301227) и проектом Фонда естественных наук
провинции Цзянсу (грант № БК20130119)).
** Исследования поддержаны Государственной программой научных исследований Беларуси „Конвергенция”
(2016 – 2020)).
c\bigcirc НАНЬИН ЯН, ШУЯ ЧЖАО, Н. Т. ВОРОБЬЕВ, 2019
922 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О ПРОБЛЕМЕ ФРАТТИНИЕВОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ТЕОРИИ КЛАССОВ ФИТТИНГА 923
Пусть LF (f) и LR(h) — классы групп \frakE \pi \cap
\Biggl( \bigcap
p\in \pi
\frakE p\prime \frakN pf(p)
\Biggr)
и \frakE \sigma \cap
\Biggl( \bigcap
p\in \sigma
h(p)\frakN p\frakE p\prime
\Biggr)
,
где \pi = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f) и \sigma = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h).
Определение 1.1. Класс групп \frakF называется:
1) локальной формацией [1] (IV, 3.1(в)), если \frakF = LF (f) для некоторой формационной
функции f ;
2) локальным классом Фиттинга [2], если \frakF = LR(h) для некоторой H -функции h.
Основополагающим результатом в теории формаций групп является следующая теорема
Гашюца – Любезедер – Шмида [3, 4] (см. также [1], IV, теорема 4.6): непустая формация \frakF ло-
кальна в том и только в том случае, когда \frakF насыщена. Дальнейшее развитие этот результат
получил в работах А. Н. Скибы и Л. А. Шеметкова [5, 6], где найдены характеризации частично
локальных формаций посредством частичной насыщенности. Однако в [7] (теорема 2.1) было
установлено, что получить дуальный аналог теоремы Гашюца – Любездер – Шмида в теории
классов Фиттинга посредством применения подгруппы \Psi (G) группы G, двойственной под-
группе Фраттини G, невозможно. Напомним, что подгруппа \Psi (G) была определена Ито [8] и
изучалась Гашюцом [9] как подгруппа группы G, порожденная всеми минимальными подгруп-
пами G. В связи с этим для характеризации классов Фиттинга Дерком и Хауком [7, 10] было
предложено использовать фраттиниевую двойственность в смысле следующего определения.
Определение 1.2 ([10], определение 2.2, см. также [1], XI, 6). Пусть \tau — операция замы-
кания, G — группа и \Psi \tau (G) — наименьшая из нормальных подгрупп G такая, что \tau (\Psi \tau (G) \cap
\cap M) \supseteq \tau (M) для всех M \unlhd \unlhd G. Класс Фиттинга \frakF называется \tau -насыщенным или E\Psi \tau -
замкнутым, если из условия \Psi \tau (G) \in \frakF всегда следует G \in \frakF .
Заметим, что если \tau 1 и \tau 2 — операции замыкания, то \tau 1 \leq \tau 2 в том и только в том случае,
когда \tau 1X \subseteq \tau 2X для всех групп класса X. Класс групп X называют разрешимым, если X \subseteq S,
где S — класс Фиттинга всех разрешимых групп.
Дерк и Хоукс [1] сформулировали следующую общую проблему для характеризации \tau -
насыщенных классов Фиттинга.
Проблема 1.1 [1, с. 829]. Для данной операции замыкания \tau (Sn \leq \tau ) какие классы Фит-
тинга в классе S групп являются \tau -насыщенными?
Основная цель настоящей работы — нахождение счетного множества семейств разрешимых
классов Фиттинга, для которых \tau \leq Sn и каждый из классов Фиттинга этих семейств является
\tau -насыщенным. Для решения этой задачи будем использовать идею локализации Хартли [11]
и кратной локализации Скибы [12].
Любой класс Фиттинга \frakF будем считать 0-кратно локальным, а при натуральном m >
> 0 класс \frakF называется m-кратно локальным [2], если он определяется H -функцией f, все
значения которой являются (m - 1)-кратно локальными классами Фиттинга. Класс Фиттинга
\frakF называют тотально локальным, если он n-кратно локален для всех n \in \BbbN .
Определение 1.3. Пусть m \in \BbbN и \tau m — операция, сопоставляющая каждому классу групп
X пересечение всех тех m-кратно локальных классов Фиттинга, содержащих X, которые
являются формациями.
Легко видеть, что \tau m — операция замыкания и Sn \leq \tau m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
924 НАНЬИН ЯН, ШУЯ ЧЖАО, Н. Т. ВОРОБЬЕВ
Следующая теорема дает ответ на вопрос 1.1 для счетного множества семейств классов
Фиттинга и, в частности, классифицирует локальные классы Фиттинга, которые являются фор-
мациями.
Теорема 1.1. Пусть \frakF — разрешимый m-кратно локальный класс Фиттинга (m \geq 1) и
\tau m — операция замыкания из определения 1.3. \frakF является формацией тогда и только тогда,
когда \frakF \tau m-насыщен.
Следствие 1.1. Разрешимый локальный класс Фиттинга является формацией тогда и
только тогда, когда он \tau 1-насыщен.
Пусть \tau \infty — операция замыкания, которая сопоставляет каждому классу групп X тотально
локальный класс Фиттинга, порожденный X. Как установлено в [2], разрешимый тотально
локальный класс Фиттинга \frakF — это в точности класс Фиттинга, замкнутый относительно
взятия подгрупп. Кроме того, согласно теореме Брайса – Косси [13], это равносильно тому,
что \frakF — примитивная насыщенная формация. Поэтому из теоремы 1.1 получаем следующие
утверждения.
Следствие 1.2. Разрешимый класс Фиттинга \frakF является \tau \infty -насыщенным в том и только
в том случае, когда \frakF тотально локален.
Следствие 1.3 (теорема Дерка – Хаука [7], теорема 2.5). Разрешимый класс Фиттинга \frakF
является \tau \infty -насыщенным тогда и только тогда, когда \frakF — формация, замкнутая относи-
тельно взятия подгрупп.
2. Необходимые сведения. Пусть X — класс групп и \tau — операция замыкания. Симво-
лом E\Psi \tau будем обозначать класс (G : \exists N \unlhd \unlhd G такая, что\Psi \tau (G) \leq N \in X) (см. [1], определе-
ние XI, 6.10). Если X = \{ G\} , то \tau \{ G\} будем обозначать просто \tau G.
Из определения формации (класса Фиттинга) следует, что для любой группы G в G су-
ществует наименьшая (наибольшая) нормальная подгруппа G\frakF (G\frakF ) такая, что G/G\frakF \in \frakF
(G\frakF \in \frakF ). Такую подгруппу называют \frakF -корадикалом (\frakF -радикалом) G соответственно. Если
\frakF и \frakH — классы Фиттинга, то класс \frakF \frakH = (G : G/G\frakF \in \frakH ) — произведение \frakF и \frakH . Известно,
что произведение \frakF \frakH — класс Фиттинга и операция умножения классов Фиттинга ассоциативна
(см. [1], теорема IX, 1.12(a), (c)).
Группу G называют комонолитической, если она имеет единственную максимальную нор-
мальную подгруппу — комонолит G.
Мы неоднократно будем использовать следующие свойства комонолитических групп, по-
лученные в универсуме S Дерком [14].
Лемма 2.1 ([14], леммы 1 – 3). Справедливы следующие утверждения:
1) если N \unlhd G, G/N — комонолитическая группа и S — минимальное субнормальное
добавление к N в G, то S — комонолитическая группа;
2) если N1, N2 — такие нормальные подгруппы группы G, что N1N2 \not = G, N1 \cap N2 = 1,
G/Ni, i = 1, 2, — комонолитическая группа, и S — минимальное субнормальное добавление
N1N2 в G, то S — такая комонолитическая группа, что S/S \cap Ni
\sim = G/Ni для i = 1, 2. Кроме
того, если G/N1N2 является p-группой, то S/(S \cap Ni)(S \cap Ni) — нетривиальная циклическая
p-группа;
3) если \frakF — класс Фиттинга, p — простое число и G1 — такая группа, что (G1)\frakF —
комонолит индекса p в группе G1 и G2 — комонолитическая не p-совершенная группа, принад-
лежащая \frakF , то существует комонолитическая группа S со следующими свойствами:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О ПРОБЛЕМЕ ФРАТТИНИЕВОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ТЕОРИИ КЛАССОВ ФИТТИНГА 925
а) S имеет такие нормальные подгруппы S1 и S2, что S1\cap S2 = 1, S1S2/S2 — циклическая
нетривиальная p-группа и S/Si
\sim = Gi для i = 1, 2;
б) S\frakF — максимальная нормальная подгруппа S индекса p.
Мы будем использовать также операцию Локетта \ast из [15].
Напомним, что если \frakF — непустой класс Фиттинга, то операция \ast сопоставляет \frakF наимень-
ший из классов Фиттинга \frakF \ast , содержащий \frakF и такой, что (G \times H)\frakF \ast = G\frakF \ast \times H\frakF \ast для всех
групп G и H. Класс Фиттинга \frakF называют классом Локетта, если \frakF = \frakF \ast .
Лемма 2.2 ([16], лемма 5). Каждый локальный класс Фиттинга является классом Ло-
кетта.
Лемма 2.3 (усиленный вариант квази-R0-леммы, [1], теорема X, 1.24). Следующие утверж-
дения эквивалентны:
1) \frakF — класс Локетта;
2) для каждой группы G с нормальными подгруппами N1 и N2 такими, что G/N1N2 —
нильпотентная группа, справедливо следующее условие:
G \in \frakF \leftrightarrow G/N1 и G/N2 \in \frakF .
Символом G\mathrm{w}\mathrm{r}H будем обозначать регулярное сплетение групп G и H. Если K \leq G, то
обозначим через K\ast подгруппу базисной группы G\mathrm{w}\mathrm{r}H, изоморфную прямому произведению
| H| множителей группы K. Символом Zn будем обозначать циклическую группу порядка n.
Лемма 2.4 ([1], A, 18.11(a)). Если p \in \BbbP и n \in \BbbN , W = Zpn - 1 \mathrm{w}\mathrm{r}Zp, то W содержит
субнормальную подгруппу, изоморфную Zpn .
Лемма 2.5 ([1], X, 2.1(a)). Пусть \frakF — класс Локетта и G — группа. Если G /\in \frakF , то
(G\mathrm{w}\mathrm{r}H)\frakF = (G\frakF )
\ast для всех групп H.
Лемма 2.6 ([1], лемма А, 18.2). Пусть W = G\mathrm{w}\mathrm{r}H. Тогда если K \unlhd G, то K\ast \unlhd W и
W/K\ast \sim = (G/K) \mathrm{w}\mathrm{r}H.
Если X — класс групп, то символами \sigma (X) и \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(X) обозначают соответственно мно-
жество всех простых делителей всех групп из X и характеристику класса X — множество
\{ p \in \BbbP : Zp \in X\} .
Лемма 2.7. Если \frakF = LR(f) для некоторой H -функции f с носителем функции \pi , то
справедливы следующие утверждения:
1) \pi = \sigma (\frakF ) = \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(\frakF ) [18] (лемма 2.3);
2) LR(f) = LR(f\ast ), где f\ast — такая H -функция, что f\ast (p) = (f(p))\ast для всех p \in \pi [17]
(теорема 1).
3. Доказательство теоремы 1.1.
Лемма 3.1. Для каждого локального класса Фиттинга \frakF и любой комонолитической груп-
пы G \in \frakF с комонолитом M индекса p в G регулярное сплетение G\mathrm{w}\mathrm{r}Zp \in \frakF .
Доказательство. Пусть G — комонолитическая \frakF -группа с комонолитом M индекса p в
G и W = G\mathrm{w}\mathrm{r}Zp. Поскольку \frakF — локальный класс Фиттинга, то G \in \frakE \pi \cap
\Biggl( \bigcap
p\in \pi
f(p)\frakN p\frakE p\prime
\Biggr)
,
где \pi = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f).
Очевидно, что Op\prime (G) \not = 1. Если Op\prime (G) \lneqq G и M — комонолит группы G, то Op\prime (G) \leq M
и индекс | G : M | — p\prime -число, что противоречит выбору группы G. Следовательно, G = Op\prime (G)
для всех p \in \pi и в силу утверждения 1 леммы 2.7 W \in \frakE \pi .
Осталось показать, что W \in f(p)\frakN p\frakE p\prime для всех p \in \pi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
926 НАНЬИН ЯН, ШУЯ ЧЖАО, Н. Т. ВОРОБЬЕВ
Поскольку G \in \frakF , то G \in f(p)\frakN p\frakE p\prime для каждого p \in \pi . Согласно утверждению 2 лем-
мы 2.7 и теореме X. 1.8 (a) [7], получаем
f(p)\frakN p\frakE p\prime = f\ast (p)\frakN p\frakE p\prime .
Поэтому без ограничения общности можем предположить, что f — H -функция \frakF такая, что
f(p) является классом Локетта для каждого p \in \pi .
Если G \in f(p), то, очевидно, W \in f(p)\frakN p\frakE p\prime . Пусть G \in f(p)\frakN p \setminus f(p). Тогда в силу
леммы 2.5 Wf(p) = (Gf(p))
\ast . Следовательно, по лемме 2.6 W/Wf(p)
\sim = (G/Gf(p)) \mathrm{w}\mathrm{r}Zp и
W \in f(p)\frakN p \subseteq f(p)\frakN p\frakE p\prime .
Пусть G \in f(p)\frakN p\frakE p\prime \setminus f(p)\frakN p. Аналогично, применяя леммы 2.5 и 2.6, получаем
W/Wf(p)\frakN p
\sim = (G/Gf(p)\frakN p
) \mathrm{w}\mathrm{r}Zp. Учитывая условие G = Op\prime (G) \not = 1, имеем W \in f(p)\frakN p\frakE p\prime .
Следовательно, W \in f(p)\frakN p\frakE p\prime для всех p \in \pi и W \in \frakF .
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть \frakF — m-кратно локальный класс Фиттинга, который
является формацией. Докажем, что \frakF \tau m-насыщен. Пусть G — группа наименьшего порядка
такая, что \Psi \tau m(G) \in \frakF и G /\in \frakF и M — любая максимальная нормальная подгруппа G.
Покажем, что \Psi \tau m(M) \leq \Psi \tau m(G). Пусть K \unlhd \unlhd M. Тогда, очевидно, K \unlhd \unlhd G. Следовательно,
\tau mK \leq \tau m(K \cap \Psi \tau m(G)) = \tau m(K \cap (M \cap \Psi \tau m(G))). Отсюда следует, что \Psi \tau m(M) \leq M \cap
\cap \Psi \tau m(G) \leq \Psi \tau m(G) и поэтому \Psi \tau m(M) \in \frakF . Следовательно, по индукции M \in \frakF и M = G\frakF .
Итак, группа G комонолитична.
Поскольку G \in \tau mG и G\frakF \unlhd G, то G\frakF \in \tau mG и \tau mG\frakF \subseteq \tau mG.
Если \tau mG\frakF = \tau mG, то \tau mG \subseteq \tau m\frakF = \frakF . Следовательно, G \in \frakF , что противоречит выбору
группы G.
Пусть \tau mG\frakF \subsetneqq \tau mG. Тогда G = \Psi \tau m(G) \in \frakF . Полученное противоречие завершает доказа-
тельство того, что класс Фиттинга \frakF \tau m-насыщен.
Докажем обратное утверждение. Пусть \frakF — \tau m-насыщенный m-кратно локальный класс
Фиттинга. Покажем, что \frakF является формацией, т. е. класс \frakF одновременно Q-замкнут и R0-
замкнут.
Докажем вначале, что \frakF — Q-замкнутый класс Фиттинга.
Предположим, что \frakF не является Q-замкнутым классом. Пусть G — группа наименьшего
порядка такая, что G \in \frakF и G/K /\in \frakF для некоторой нормальной подгруппы K группы G.
Тогда в G/K существует такая субнормальная подгруппа H/K, все собственные нормальные
подгруппы которой являются \frakF -группами. Пусть L/K — \frakF -радикал группы H/K. Согласно вы-
бору G мы можем считать L = G. Следовательно, группа G/K комонолитична и ее комонолит
(G/K)\frakF . Вследствие разрешимости G/K индекс | G/K : (G/K)\frakF | = p, где p \in \BbbP . Пусть S —
минимальное субнормальное добавление K в G. Тогда из G \in \frakF следует S \in \frakF . Следователь-
но, по утверждению 1 леммы 2.1 группа S комонолитична. Кроме того, G/K \sim = S/S \cap K /\in \frakF .
В результате выбора группы G можем считать S = G. Следовательно, G — комонолитическая
\frakF -группа. Поскольку G \in \tau mG и класс Фиттинга \tau mG является Q-замкнутым, G/K \in \tau mG и
имеет место включение
\tau m(G/K) \subseteq \tau mG. (3.1)
Пусть M — комонолит группы G. Тогда \tau nM \subseteq \tau nG. Предположим, что справедливо
равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О ПРОБЛЕМЕ ФРАТТИНИЕВОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ТЕОРИИ КЛАССОВ ФИТТИНГА 927
\tau nM = \tau nG. (3.2)
Пусть G = G/K. Очевидно, группа G комонолитична и G\frakF — ее комонолит, причем индекс
| G : G\frakF | = p для некоторого простого p. Кроме того, G — комонолитическая не p-совершенная
\frakF -группа. Следовательно, по утверждению 3 леммы 2.1 существует комонолитическая группа
R со свойствами:
а) R имеет такие нормальные подгруппы R1 и R2, что R1 \cap R2 = 1, R/R1R2 — цикличе-
ская нетривиальная p-группа, R/R1
\sim = G, R/R2
\sim = G и R\frakF /R1
\sim = M, R\frakF /R1
\sim = G\frakF ;
б) R\frakF — максимальная нормальная подгруппа индекса p в группе R.
Тогда R/R1 \in \tau mG и, согласно (3.1), R/R2 \in \tau mG.
С другой стороны, учитывая свойство а), заключаем, что G — гомоморфный образ группы R.
Следовательно, G \in Q(\tau mR) = \tau mR и \tau mG \subseteq \tau mR. Итак, справедливо равенство \tau mR = \tau mG.
Рассуждая аналогично, из M \in QR\frakF \subseteq Q(\tau mR\frakF ) = \tau mR\frakF получаем \tau mM \subseteq \tau mR\frakF . Теперь,
согласно предположению (3.2), имеем \tau mG = \tau mM \subseteq \tau mR\frakF \subseteq \tau mR = \tau mG. Следовательно,
\tau mR\frakF = \tau mR и \Psi \tau m(R) \leq R\frakF . Значит, \Psi \tau m(R) \in \frakF . Поскольку класс Фиттинга \frakF \tau m-насыщен,
то R \in \frakF , что противоречит свойству б). Это доказывает, что равенство (3.2) невозможно.
Следовательно, справедливо включение
\tau nM \varsubsetneqq \tau n(G). (3.3)
Пусть W = G\mathrm{w}\mathrm{r}Zp. Тогда M\ast = M\times . . .\times M — подгруппа базисной группы G\ast группы W.
Заметим, что в данном случае M = G\tau mM является максимальной нормальной подгруппой
индекса p в G. Так как M \unlhd G, то по лемме 2.6 W/M\ast \sim = (G/M) \mathrm{w}\mathrm{r}Zp. Следовательно,
W/M\ast \sim = Zp\mathrm{w}\mathrm{r}Zp. Теперь, применяя лемму 2.4, заключаем, что сплетение Zp\mathrm{w}\mathrm{r}Zp имеет
циклическую подгруппу Zp2 такую, что пересечение базисной группы Zp\mathrm{w}\mathrm{r}Zp с Zp2 является
циклической группой порядка p. Пусть Zp2 — полный прообраз Zp2 в W. Поскольку W/M\ast \in
\in \frakN p \subseteq \frakN , то Zp2 \unlhd \unlhd W. Кроме того, в силу изоморфизма W/M\ast \sim = Zp\mathrm{w}\mathrm{r}Zp следует, что
Zp2/M
\ast \sim = Zp2 и (Zp2 \cap G\ast )/M\ast является подгруппой порядка p группы Zp2/M
\ast . Так как
G \in \tau mG и \tau mG — локальный класс Фиттинга, то по лемме 2.5 W \in \tau mG. Теперь, учитывая
Zp2 \unlhd \unlhd W, получаем Zp2 \in \tau mG. Следовательно, \tau mZp2 \subseteq \tau nG.
С другой стороны, по лемме 2.2 из локальности класса \tau mZp2 следует, что \tau mZp2 является
классом Локетта. Так как Zp2 \nsubseteq G\ast , то, применяя лемму 2.5, получаем W \in \tau mZp2 . Следова-
тельно, группа G \in \tau mZp2 и справедливо включение \tau mG \subseteq \tau mZp2 . Таким образом, доказано
равенство
\tau mZp2 = \tau mG. (3.4)
Как уже установлено выше, W \in \tau mG, и поэтому \tau mW \subseteq \tau mG. Поскольку Zp2 \unlhd \unlhd W, то
\tau mZp2 \subseteq \tau mW. Теперь, учитывая (3.4), получаем равенство
\tau mZp2 = \tau mW. (3.5)
Пусть F — минимальное субнормальное добавление M\ast в группе Zp2 . Тогда \tau mF \subseteq \tau mZp2 .
Предположим, что F \subseteq G\ast . В этом случае Zp2 \subseteq G\ast , что невозможно, так как (Zp2\cap G\ast )/M\ast —
подгруппа порядка p в Zp2/M. Следовательно, F \nleq G\ast . Поскольку класс \tau mF локален, то по
лемме 2.2 \tau mF — класс Локетта. Следовательно, по лемме 2.5 W \in \tau mF. Поэтому, учиты-
вая (3.5), имеем включение \tau mZp2 \subseteq \tau mF. Таким образом, справедливы равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
928 НАНЬИН ЯН, ШУЯ ЧЖАО, Н. Т. ВОРОБЬЕВ
\tau mF = \tau mZp2 = \tau mG. (3.6)
Поскольку Zp2/M
\ast — комонолитическая группа, то по утверждению 1 леммы 2.1 добавле-
ние F в M\ast также является комонолитической группой. Заметим, что вследствие изоморфизма
F/F \cap M\ast \sim = Zp2/M
\ast группа F/F \cap M\ast является циклической порядка p2 и F \cap G\ast — макси-
мальная нормальная подгруппа F.
Далее покажем справедливость равенства
\tau mF = \tau m(F \cap G\ast ). (3.7)
Пусть (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) \nleq G\ast . Так как по лемме 2.2 \tau m(F \cap G\ast ) является классом Локетта,
то по лемме 2.5 W \in \tau m(F \cap G\ast ). Поскольку Zp2 \unlhd \unlhd W, то Zp2 \in \tau m(F \cap G\ast ). Теперь из
F\unlhd \unlhd Zp2 получаем F \in \tau m(F \cap G\ast ) и, значит, \tau mF \subseteq \tau m(F \cap G\ast ). Так как обратное включение
очевидно, равенство (3.7) в данном случае справедливо.
Предположим, что (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) \leq G\ast . Если (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) = G\ast , то получаем противо-
речие с тем, что G\ast \nleq Zp2 . Следовательно, (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) \leq (G\ast )\tau mM = M\ast < G.
Заметим, что к указанному соотношению приводят те соображения, что по лемме 2.2 ра-
дикалы прямых произведений групп для локальных классов Фиттинга совпадают с прямыми
произведениями радикалов этих групп для этих классов, и поэтому между радикалами групп
G и G\ast существует взаимно однозначное соответствие.
Но F \cap G\ast \nleq M\ast , и поэтому случай (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) \leq M\ast невозможен.
Таким образом, остается признать, что (Zp2)\tau m(F\cap G\ast ) \nleq G\ast и равенство (3.7) доказано.
Применяя теперь равенство (3.5), имеем \Psi \tau m(F ) \leq F \cap G\ast \in \frakF . Следовательно, с учетом
\tau m-насыщенности \frakF получаем F \in \frakF .
Теперь, согласно (3.6), заменим в равенстве (3.1) \tau mG на \tau mF, равенство (3.2) на равен-
ство (3.7) и, проведя для групп G и F рассуждения, аналогичные рассуждениям для групп
G и G, построим, применив утверждение 3 леммы 2.1, комонолитическую группу \widetilde R, которая
не является \frakF -группой. Но \Psi \tau m( \widetilde R) \in \frakF и вследствие \tau m-насыщенности \frakF имеем \widetilde R \in \frakF .
Полученное противоречие завершает доказательство Q-замкнутости класса Фиттинга \frakF .
Докажем, что \frakF — R0-замкнутый класс Фиттинга.
Пусть G — контрпример минимального порядка. Тогда в G найдутся такие нормальные
подгруппы K1 и K2, что K1 \cap K2 = 1, G/Ki \in \frakF и G /\in \frakF , i = 1, 2.
Пусть K1K2 < G. Покажем, что в этом случае группа G комонолитична с комоноли-
том G\frakF индекса p. Пусть L/K1 — максимальная нормальная погруппа группы G/K1. Тогда
L/K1 \in \frakF . Кроме того, вследствие изоморфизма L/L \cap K2
\sim = LK2/K2, группа L/L \cap K2 \in \frakF .
Следовательно, по индукции L/K1 \cap L \cap K2 = L \in \frakF . Если в G/K1 существует другая мак-
симальная нормальная подгруппа L1/K1, то, рассуждая аналогично, получаем L1 \in \frakF . Но
тогда G = L1L2 \in \frakF . Полученное противоречие доказывает, что группа G/K1 комонолитична.
Аналогично заключаем, что G/K2 — комонолитическая группа.
Пусть H — минимальное субнормальное добавление K1K2 в G. Поскольку группа G/Ki,
i = 1, 2, комонолитична, то по утверждению 2 леммы 2.1 следует комонолитичность группы
H и H/H \cap Ki
\sim = G/Ki. Поскольку | K1K2| < | G| и K1K2/Ki \in \frakF , i = 1, 2, по индукции
K1K2/Ki \in \frakF . Но тогда из условия G /\in \frakF следует H /\in \frakF . Так как H/H \cap Ki \in \frakF , учиты-
вая минимальность выбора группы G, получаем H = G и G — комонолитическая группа с
комонолитом G\frakF индекса p в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О ПРОБЛЕМЕ ФРАТТИНИЕВОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ТЕОРИИ КЛАССОВ ФИТТИНГА 929
Теперь из утверждения 3 леммы 2.1 для комонолитических групп G/K1 и G/K2 следует
существование комонолитической группы M с двумя максимальными нормальными подгруп-
пами M1 и M2 такими, что M1 \cap M2 = 1, M/M1M2 — нетривиальная циклическая p-группа
и M/Mi
\sim = G/Ki для i = 1, 2. Так как G/Ki \in \frakF , то по квази-R0-лемме (см. [1], теорема IX,
1.13) M \in \frakF . Учитывая лемму 2.2, заключаем, что \tau mM — класс Локетта. Следовательно, по
лемме 2.3 (усиленный вариант квази-R0-леммы) получаем G/Ki
\sim = M/Mi \in \tau mM, i = 1, 2.
Поскольку G \in \tau mM, имеет место включение
\tau mG \subseteq \tau mM. (3.8)
Таким образом, мы установили, что G — комонолитическая группа с комонолитом G\frakF
индекса p в G и M — комонолитическая \frakF -группа.
Далее следуя доказательству Q-замкнутости класса \frakF , путем очевидных изменений и замен
(3.1) на (3.8) и групп G на G, G на M приходим к противоречию с \tau m-насыщенностью
класса \frakF .
Предположим, что G = K1K2. В данном случае K2
\sim = G/K1 и K2
\sim = G/K2. Следовательно,
G = G/K1 \cap K2 \in \frakF . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Литература
1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
2. Воробьев Н. Т. О предположении Хоукса для радикальных классов // Сиб. мат. журн. – 1996. – 37, № 6. –
С. 1296 – 1302.
3. Gaschütz W., Lubeseder U. Kennzeichnung gesättigter Formationen // Math. Z. – 1963. – 82, № 3. – S. 198 – 199.
4. Schmid P. Every saturated formation is a local formation // J. Algebra. – 1978. – 51, № 1. – P. 144 – 148.
5. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно \omega -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Мат. тр. –
1999. – 2, № 2. – С. 114 – 147.
6. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно \frakL -композиционные формации конечных групп // Укр. мат. журн. – 2000. –
52, № 6. – С. 783 – 797.
7. Doerk K., Hauck P. Frattini duale und Fitting klassen endlicher auflösbarer Gruppen // J. Algebra. – 1981. – 69,
№ 2. – P. 402 – 415.
8. Ito N. Über eine zur Frattini-Gruppe duale Bildung // Nagoja Math. J. – 1955. – № 9. – P. 123 – 127.
9. Gaschütz W. Über das Frattinidual // Arch. Math. – 1965. – 16, № 1. – S. 1 – 2.
10. Doerk K., Hauck P. Über Frattiniduale in endlichen Gruppen // Arch. Math. – 1980. – 35, № 1. – S. 218 – 227.
11. Hartley B. On Fischer’s dualization of formation theory // Proc. London Math. Soc. – 1969. – 3, № 2. – P. 193 – 207.
12. Скиба А. Н. Алгебра формаций. – Минск: Беларус. навука, 1997. – 240 c.
13. Bryce R. A., Cossey J. Subgroup Fitting classes // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1982. – 91, № 2. – P. 225 – 258.
14. Doerk K. Über den Rand einer Fittingklasse auflösbarer Gruppen // J. Algebra. – 1978. – 51, № 2. – P. 619 – 630.
15. Lockett P. The Fitting class \frakF \ast // Math. Z. – 1974. – 137, № 2. – S. 131 – 136.
16. Воробьев Н. Т. О радикальных классах конечных групп с условием Локетта // Мат. заметки. – 1988. – 43,
№ 2. – С. 91 – 94.
17. Воробьев Н. Т. О максимальных групповых функциях локальных классов Фиттинга // Вопросы алгебры. –
1992. – № 7. – С. 60 – 69.
18. Guo W., Liu Xi, Li Baojun. On \frakF -radicals of finite \pi -soluble group // Algebra and Discrete Math. – 2006. – № 3. –
P. 49 – 54.
Получено 04.12.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1486 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:39Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ab/4f0fe56c8898444bf844840074bc68ab.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14862019-12-05T08:57:08Z On the problem of Frattini duality in the theory of Fitting classes О проблеме фраттиниевой двойственности в теории классов Фиттинга Vorob’ev, N. T. Nanying, Yang Shuya, Zhao Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао UDC 512.542 We determine the application of the Frattini duality to the description of multiple local Fitting classes. In particular, we establish a necessary and sufficient condition for the local Fitting class to be a formation. УДК 512.542 Знайдено застосування фраттінієвої двоїстості для опису кратно локальних класів Фіттінга. Зокрема, встановлено необхідну і достатню умову, при якій локальний клас Фіттінга є формацією. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1486 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 922-929 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 922-929 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1486/470 Copyright (c) 2019 Vorob’ev N. T.; Nanying Yang; Shuya Zhao |
| spellingShingle | Vorob’ev, N. T. Nanying, Yang Shuya, Zhao Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао Воробьев, Н. Т. Наньин, Ян Шуя, Чжао On the problem of Frattini duality in the theory of Fitting classes |
| title | On the problem of Frattini duality in the theory
of Fitting classes |
| title_alt | О проблеме фраттиниевой двойственности в теории
классов Фиттинга |
| title_full | On the problem of Frattini duality in the theory
of Fitting classes |
| title_fullStr | On the problem of Frattini duality in the theory
of Fitting classes |
| title_full_unstemmed | On the problem of Frattini duality in the theory
of Fitting classes |
| title_short | On the problem of Frattini duality in the theory
of Fitting classes |
| title_sort | on the problem of frattini duality in the theory
of fitting classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1486 |
| work_keys_str_mv | AT vorobevnt ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT nanyingyang ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT shuyazhao ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT vorobʹevnt ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT nanʹinân ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT šuâčžao ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT vorobʹevnt ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT nanʹinân ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT šuâčžao ontheproblemoffrattinidualityinthetheoryoffittingclasses AT vorobevnt oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT nanyingyang oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT shuyazhao oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT vorobʹevnt oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT nanʹinân oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT šuâčžao oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT vorobʹevnt oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT nanʹinân oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga AT šuâčžao oproblemefrattinievojdvojstvennostivteoriiklassovfittinga |