Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems for systems of differential equations
UDC 517.927 We establish sufficient conditions for the sequence of solutions of general boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval to be convergent in the uniform norm.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1487 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507272377008128 |
|---|---|
| author | Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. |
| author_facet | Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. |
| author_sort | Pelekhata, O. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:29:21Z |
| description | UDC 517.927
We establish sufficient conditions for the sequence of solutions
of general boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval to be convergent in the uniform norm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
О. Б. Пелехата, Н. В. Рева (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We establish sufficient conditions for the sequence of solutions of general boundary-value problems for systems of linear
ordinary differential equations of any order on a finite interval to be convergent in the uniform norm.
Знайдено достатнi умови збiжностi послiдовностi розв’язкiв загальних крайових задач для систем лiнiйних звичай-
них диференцiальних рiвнянь довiльного порядку у рiвномiрнiй нормi на скiнченному iнтервалi.
1. Вступ. Граничнi теореми для розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь вини-
кають у багатьох задачах сучасного аналiзу i його застосувань. Становлення i розвиток цього
наукового напрямку пов’язанi з фундаментальними результатами вiдомих математикiв. Так,
Й. I. Гiхман [1], а пiзнiше М. А. Красносельський i С. Г. Крейн [2], Я. Курцвейль i З. Ворел
[3], А. М. Самойленко [4, 5] довели ряд теорем про характер залежностi розв’язкiв диферен-
цiальних рiвнянь i їх систем вiд параметра. Частина цих теорем пов’язана з обґрунтуванням
вiдомого принципу усереднення М. М. Боголюбова в нелiнiйнiй механiцi та характеризується
спiльною точкою зору на лiнiйний i нелiнiйний випадки.
Для лiнiйних задач Кошi цi результати посилювалися та уточнювалися в роботах [7 – 11].
Бiльш складний випадок лiнiйних крайових задач дослiджував I. Т. Кiгурадзе [6]. Цi результати
отримали подальший розвиток у роботах [12 – 14].
Метою даної роботи є знаходження достатнiх умов збiжностi єдиних розв’язкiв систем
лiнiйних диференцiальних рiвнянь довiльного порядку. При цьому автори орiєнтувалися на
пошук конструктивних умов, якi б забезпечили рiвномiрну збiжнiсть послiдовностi розв’язкiв
до розв’язку граничної крайової задачi.
2. Постановка задачi. Розглянемо на скiнченному iнтервалi (a, b) \subset \BbbR систему m \in \BbbN
лiнiйних диференцiальних рiвнянь порядку r \in \BbbN
y(r)(t, 0) +Ar - 1(t, 0)y
(r - 1)(t, 0) + . . .+A0(t, 0)y(t, 0) = f(t, 0) (1)
iз неоднорiдними крайовими умовами
Bj(0)y(\cdot , 0) = cj(0), j \in \{ 1, 2, . . . , r\} =: [r], (2)
де лiнiйнi неперервнi оператори
Bj(0) : C(r - 1) ([a, b];\BbbC m) \rightarrow \BbbC m, j \in [r].
Припускається, що матрицi-функцiї Aj - 1(\cdot , 0) належать L([a, b];\BbbC m\times m), вектор-функцiя f(\cdot , 0)
належить L([a, b];\BbbC m), а вектори cj(0) належать \BbbC m.
Пiд розв’язком системи диференцiальних рiвнянь (1) будемо розумiти вектор-функцiю
y(\cdot , 0) \in W r
1 ([a, b];\BbbC m), яка абсолютно неперервна на вiдрiзку [a, b] разом зi своїми похiдними
до порядку r - 1 i задовольняє векторне рiвняння (1) майже скрiзь.
Неоднорiднi крайовi умови (2) коректно визначенi на розв’язках системи (1) i охоплюють
всi класичнi види крайових умов.
c\bigcirc О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА, 2019
930 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 931
Крайова задача (1), (2) є фредгольмовою з нульовим iндексом [16]. Тому для однозначної
скрiзь розв’язностi цiєї задачi необхiдно i достатньо, щоб вiдповiдна однорiдна крайова задача
мала лише тривiальний розв’язок.
Нехай поряд iз задачею (1), (2) заданo послiдовнiсть неоднорiдних крайових задач
y(r)(t, n) +Ar - 1(t, n)y
(r - 1)(t, n) + . . .+A0(t, n)y(t, n) = f(t, n) (3)
iз крайовими умовами
Bj(n)y(\cdot , n) = cj(n), (4)
де j \in [r], n \in \BbbN , матрицi-функцiї Aj - 1(\cdot , n), оператори Bj(n), вектор-функцiї f(\cdot , n) i вектори
cj(n) задовольняють наведенi вище умови для задачi (1), (2).
Нехай вiдомо, що розв’язки задачi (1), (2) однозначно визначенi. Тодi цiкавими є такi задачi:
при яких умовах на лiвi частини задач (3), (4) їхнi розв’язки y(\cdot , n) iснують i єдинi при достатньо
великих n \in \BbbN ;
якi додатковi умови на лiвi i правi частини задач (3), (4) гарантують, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(j - 1)(\cdot , 0) - y(j - 1)(\cdot , n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\rightarrow 0, n \rightarrow \infty , j \in [r], (5)
де \| \cdot \| \infty — \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}-норма на вiдрiзку [a, b].
Уперше цi питання дослiдив I. Т. Кiгурадзе [6] для випадку r = 1. При цьому припускалося,
що всi функцiї в задачах є дiйснозначними.
3. Формулювання результатiв. Далi вважатимемо, що j \in [r], n \in \BbbN \cup \{ 0\} , а всi
асимптотичнi спiввiдношення розглядаються при n \rightarrow \infty . Введемо деякi позначення:
RAj - 1(\cdot , n) := Aj - 1(\cdot , 0) - Aj - 1(\cdot , n) \in L([a, b];\BbbC m\times m),
F (\cdot , n) :=
\left[
f1(\cdot , n) 0 . . . 0
f2(\cdot , n) 0 . . . 0
...
...
. . .
...
fm(\cdot , n) 0 . . . 0
\right] \in L([a, b];\BbbC m\times m),
RF (\cdot , n) := F (\cdot , 0) - F (\cdot , n),
R\vee
F (t, n) :=
t\int
a
RF (s, n)ds, R\vee
Aj - 1
(t, n) :=
t\int
a
RAj - 1(s, n)ds,
де \| \cdot \| 1 — норма у просторi Лебега вектор(матриць)-функцiй на вiдрiзку [a, b].
Для випадку r = 1 в роботi [6] доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай:
(0) однорiдна крайова задача (1), (2) має лише тривiальний розв’язок;
(I) \| R\vee
Aj - 1
(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0;
(II) \| RAj - 1(\cdot , n)\| 1 = O(1);
(III) Bj(n)y \rightarrow Bj(0)y для кожного y(\cdot ) \in C(r - 1)([a, b];\BbbC m).
Тодi для достатньо великих n задача (3), (4) має єдиний розв’язок.
Якщо, крiм того, виконано такi умови на правi частини задач:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
932 О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
(IV) cj(n) \rightarrow cj(0);
(V) \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0,
то єдинi розв’язки задач (1), (2) i (3), (4) задовольняють граничну рiвнiсть (5).
Приклади показують, що в теоремi I. T. Кiгурадзе всi умови є суттєвими i жодну з них не
можна вiдкинути. Однак частину умов можна послабити. Зокрема, в роботi [12] для випадку
r = 1 доведено таку теорему.
Теорема 2. У теоремi 1 умову (II) можна замiнити на слабшу
(II)\prime \| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)RAj - 1(\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0,
якщо виконано додаткову умову
(VI) \| F (\cdot , n)\| 1 = O(1).
Основним результатом даної роботи є така теорема.
Теорема 3. У формулюваннi теореми 2 умову (VI) можна замiнити на умову
(VI)\prime \| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)RF (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0.
Ця теорема доповнює теорему 1 i узагальнює теорему 2.
З нерiвностей
\| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)RAj - 1(\cdot , n)\| 1 \leq \| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)\| \infty \| RAj - 1(\cdot , n)\| 1,
\| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)RF (\cdot , n)\| 1 \leq \| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)\| \infty \| RF (\cdot , n)\| 1
випливає, що умови (II)\prime i (VI)\prime виконано, якщо
\| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)\| \infty \cdot \| RAj - 1(\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0,
\| R\vee
Ar - 1
(\cdot , n)\| \infty \cdot \| RF (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0.
Останнi умови завiдомо виконано, якщо \| Aj - 1(\cdot , n)\| 1 = O(1), j \in [r - 1], \| RF (\cdot , n)\| 1 = O(1).
4. Доведення теореми 3. Спочатку розглянемо випадок r = 1. У цьому випадку крайовi
задачi (1), (2) i (3), (4) мають вигляд
y\prime (t, n) +A0(t, n)y(t, n) = f(t, n), B1(n)y(\cdot , n) = c1(n), (6)
де n \in \{ 0\}
\bigcup
\BbbN . Накладенi на задачi (6) умови запишемо у виглядi
(I) \| R\vee
A0
(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0;
(II)\prime \| R\vee
A0
(\cdot , n)RA0(\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0;
(III) B1(n)y \rightarrow B1(0)y для кожного y(\cdot ) \in C([a, b];\BbbC m);
(IV) c1(n) \rightarrow c1(0);
(V) \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0;
(VI)\prime \| R\vee
A0
(\cdot , n)RF (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0.
Справедливiсть першого твердження теореми 3 випливає з теореми 2. Тому достатньо
довести друге твердження.
Поряд iз вихiдними неоднорiдними крайовими задачами (6) вiдносно вектор-функцiй y(\cdot , n)
розглянемо ще три векторнi напiводнорiднi послiдовностi задач:
z\prime (t, n) +A0(t, n)z(t, n) = 0, B1(n)z(\cdot , n) = c1(n), (7)
x\prime (t, n) +A0(t, n)x(t, n) = f(t, n), x(a, n) = 0, (8)
w\prime (t, n) +A0(t, n)w(t, n) = f(t, n), B1(n)w(\cdot , n) = 0. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 933
Як вiдомо, крайова задача (8) (задача Кошi) має єдиний розв’язок. Iз першої частини теореми 2
випливає, що задачi (7) i (9) для достатньо великих n мають єдинi розв’язки. При n = 0 цей
факт випливає з припущення (0) i фредгольмовостi з нульовим iндексом розглядуваних задач.
Звiдси випливає, що
y(\cdot , n) = z(\cdot , n) + w(\cdot , n) при n >> 1.
Тому для доведення теореми 3 достатньо показати, що при її умовах
\| z(\cdot , 0) - z(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0, (10)
\| w(\cdot , 0) - w(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (11)
Асимптотична рiвнiсть (10) випливає з другої частини теореми 2.
Лема 1. Нехай задачi (8) задовольняють умови (I), (II)\prime , (VI)\prime i (V). Тодi
\| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (12)
Доведення. Визначимо за заданими матрицями-функцiями A0(\cdot , n) i F (\cdot , n) блочнi
(2m\times 2m)-матрицi-функцiї
AF (\cdot , n) :=
\biggl(
A0(\cdot , n) F (\cdot , n)
0m 0m
\biggr)
, RAF (\cdot , n) := AF (\cdot , 0) - AF (\cdot , n),
R\vee
AF (t, n) :=
t\int
a
RAF (s, n)ds.
Розглянемо тепер матричнi задачi Кошi
S\prime (t, n) +AF (t, n)S(t, n) = 0, S(a, n) = I2m. (13)
Тодi
R\vee
AF (\cdot , n)RAF (\cdot , n) =
\biggl(
R\vee
A0
(\cdot , n)RA0(\cdot , n) R\vee
A0
(\cdot , n)RF (\cdot , n)
0m 0m
\biggr)
,
звiдки згiдно з припущеннями (II)\prime i (VI)\prime
\| R\vee
AF (\cdot , n)RAF (\cdot , n)\| 1 = \| R\vee
A0
(\cdot , n)RA0(\cdot , n)\| 1 + \| R\vee
A0
(\cdot , n)RF (\cdot , n)\| 1 \rightarrow 0,
крiм того, згiдно з (I) i (V) маємо
\| R\vee
AF (\cdot , n)\| \infty = \| R\vee
A0
(\cdot , n)\| \infty + \| R\vee
F (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0.
Звiдси вiдповiдно до теореми Лєвiна [9, 10] випливає, що
\| S(\cdot , 0) - S(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (14)
Розглянемо тепер послiдовнiсть матричних задач
T \prime (t, n) +AF (t, n)T (t, n) = 0, T (a, n) = C \in \BbbC 2m\times 2m. (15)
Розв’язки цих задач можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
934 О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
T (\cdot , n) = S(\cdot , n)C.
Тому
\| T (\cdot , 0) - T (\cdot , n)\| \infty = \| (S(\cdot , 0) - S(\cdot , n))C\| \infty \leq \| S(\cdot , 0) - S(\cdot , n)\| \infty \| C\| \rightarrow 0.
Визначимо для розв’язкiв x(\cdot , n) = (x1(\cdot , n), x2(\cdot , n), . . . , xm(\cdot , n)) крайових задач (8) матрицi-
функцiї
X(\cdot , n) :=
\left(
x1(\cdot , n) 0 . . . 0
x2(\cdot , n) 0 . . . 0
...
...
. . .
...
xm(\cdot , n) 0 . . . 0
\right) .
Векторнi крайовi задачi (8) рiвносильнi матричним задачам
X \prime (t, n) +A0(t, n)X(t, n) = F (t, n), X(a, n) \equiv 0. (16)
Неважко переконатися, що розв’язки задач (15) i (16) пов’язанi мiж собою рiвностями
T (\cdot , n) =
\biggl(
X(\cdot , n) 0m
Im 0m
\biggr)
, C \equiv
\biggl(
0m 0m
Im 0m
\biggr)
.
Тому з доведеного вище спiввiдношення випливає, що
\| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty = \| X(\cdot , 0) - X(\cdot , n)\| \infty = \| T (\cdot , 0) - T (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0.
Лему 1 доведено.
Лема 2. В умовах теореми 3 виконується гранична рiвнiсть (11).
Доведення. Покладемо
v(\cdot , n) := x(\cdot , n) - w(\cdot , n).
Тодi вектор-функцiї v(\cdot , n) є розв’язками крайових задач
v\prime (t, n) +A0(t, n)v(t, n) = 0, B1(n)v(\cdot , n) = B1(n)x(\cdot , n) =: \widetilde c1(n),
aле
\| B1(0)x(\cdot , 0) - B1(n)x(\cdot , n)\| \leq \| (B1(0) - B1(n))x(\cdot , 0)\| + \| B1(n)\| \| x(\cdot , 0) - x(\cdot , n)\| \infty . (17)
Перший доданок у правiй частинi нерiвностi (17) прямує до нуля за припущенням (III) теореми.
З цiєї ж умови за принципом рiвномiрної обмеженостi для лiнiйних операторiв випливає також,
що \| B1(n)\| = O(1). Тому зi спiввiдношення (12) випливає, що лiва частина нерiвностi (17)
прямує до нуля, тобто \widetilde c1(n) \rightarrow \widetilde c1(0). Але
v(\cdot , n) = Y (\cdot , n) c1(n),
де вектор c1(n) належить \BbbC m, Y (\cdot , n) — матричний розв’язок задачi Кошi
Y \prime (t, n) +A0(t, n)Y (t, n) = 0, Y (a, n) = Im,
а вектори c1(n) i \widetilde c1(n) пов’язанi мiж собою рiвнiстю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 935
[B1(n)Y (\cdot , n)] c1(n) = \widetilde c1(n).
Тут вираз (так званi дужки Кiгурадзе)
[B1(n)Y (\cdot , n)] (18)
позначає числову (m \times m)-матрицю, k-й стовпець якої є результатом дiї оператора B1(n)
на k-й стовпець квадратної матрицi Y (\cdot , n). Iз однозначної розв’язностi крайових задач (7)
при n >> 1 випливає [12], що матрицi (18) оборотнi при достатньо великих n. Крiм того,
\| Y (\cdot , 0) - Y (\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0 за теоремою 2. Тому
c1(n) = [B1(n)Y (\cdot , n)] - 1 \widetilde c1(n) \rightarrow [B1(0)Y (\cdot , 0)] - 1 \widetilde c1(0) = c1(0)
з урахуванням умови (III) i доведеної властивостi \widetilde c1(n) \rightarrow \widetilde c1(0). Звiдси випливає, що
\| v(\cdot , 0) - v(\cdot , n)\| \infty \rightarrow 0. (19)
Тепер спiввiдношення (11) випливає з рiвностей w(\cdot , n) = x(\cdot , n) - v(\cdot , n) i спiввiдношень
(12), (19).
Лему 2 доведено, а разом з нею доведено i теорему 3 для випадку r = 1.
Покажемо, що випадок r \geq 2 може бути редукований до випадку r = 1.
Диференцiальнi рiвняння (1) i (3) порядку r \geq 2 зводяться до системи m\prime = rm диферен-
цiальних рiвнянь першого порядку
x\prime (t, n) + \widetilde A0(t, n)x(t, n) = \widetilde f(t, n), (20)
якщо покласти
x(\cdot , n) := (y(\cdot , n), y\prime (\cdot , n), . . . , y(r - 1)(\cdot , n)), \widetilde f(\cdot , n) := (0, . . . , 0, f(\cdot , n)) \in L([a, b];\BbbC rm),
а блочну матрицю-функцiю \widetilde A0(\cdot , n) визначити рiвнiстю
\widetilde A0(\cdot , n) :=
\left[
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
- A0(\cdot , n) - A1(\cdot , n) - A2(\cdot , n) . . . - Ar - 1(\cdot , n)
\right] . (21)
Кожен з операторiв Bj(n) в крайових умовах (2), (4) допускає однозначне зображення [15]
Bj(n)y =
r - 1\sum
l=1
\alpha j,l(n)y
(l - 1)(a) +
b\int
a
[d\Phi j(t, n)] y
(r - 1)(t), (22)
де числовi матрицi \alpha j,l(n) належать \BbbC m\times m, (m \times m)-матрицi-функцiї \Phi j(\cdot , n) мають обме-
жену варiацiю на [a, b], неперервнi злiва на iнтервалi (a, b) i \Phi j(a, n) = 0m, а iнтеграл в (22)
розумiється як iнтеграл Рiмана – Стiльтьєса.
Визначимо, виходячи з формули (22), r2 лiнiйних операторiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
936 О. Б. ПЕЛЕХАТА, Н. В. РЕВА
Bj,l(n) : C(r - 1) ([a, b];\BbbC m) \rightarrow \BbbC m,
покладаючи для j, l \in [r]
Bj,l(n)y := \alpha j,l(n)y
(l - 1), l \in [r - 1], (23)
Bj,r(n)y :=
b\int
a
[d\Phi j(t, n)] y
(r - 1)(t). (24)
Визначимо тепер оператори \widetilde B1(n), поклавши
\widetilde B1(n) :=
\left[ B1,1(n) . . . B1,r(n)
...
. . .
...
Br,1(n) . . . Br,r(n)
\right] , \widetilde c1(n) := (c1(n), . . . , cr(n)) \in \BbbC rm. (25)
Лема 3 [15]. Неоднорiднi крайовi задачi (1), (2) i (3), (4) еквiвалентнi неоднорiдним кра-
йовим задачам для системи диференцiальних рiвнянь (20) iз крайовими умовами
\widetilde B1(n)y = \widetilde c1(n), (26)
якi задаються формулами (23) – (25).
Iз результатiв роботи [15] випливає така лема.
Лема 4. Якщо для крайових задач вигляду (1), (2) i (3), (4) виконано умови теореми 3, то
задачi вигляду (20), (26) також задовольняють умови цiєї теореми.
Тепер теорема 3 у випадку r \geq 2 випливає з лем 3, 4 i того факту, що цю теорему ми довели
у випадку r = 1.
Порiвняємо на прикладi умови теорем 1 – 3 про неперервнiсть розв’язкiв загальних крайових
задач за параметром. Оскiльки умови на граничнi оператори в усiх теоремах однаковi, то
достатньо порiвняти умови на лiвi i правi частини неоднорiдних крайових задач.
Приклад. Розглянемо крайову задачу для скалярного звичайного диференцiального рiв-
няння першого порядку
Ly = y\prime (t) + a(t)y(t) = f(t), t \in (a, b), (27)
де a(\cdot ) i f(\cdot ) належать простору L([a, b],\BbbC ).
Розглянемо тепер послiдовнiсть неоднорiдних крайових задач
L(n)y(t;n) = y\prime (t;n) + (a(t) + n\alpha ein
\beta t)y(t;n) = f(t) + n\gamma ein
\delta t, t \in (a, b), n \in \BbbN , (28)
де \alpha , \beta , \gamma , \delta — дiйснi числовi параметри.
Тодi
Ra(t, n) = n\alpha ein
\beta t, Rf (t, n) = n\gamma ein
\delta t,
R\vee
a (t, n) = n\alpha ein
\beta t/in\beta , R\vee
f (t, n) = n\gamma ein
\delta t/in\delta .
Зауважимо, що умови на параметри \alpha , \beta вiдповiдають умовам на лiвi частини задач, а на
параметри \gamma , \delta — умовам на правi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 937
Легко перевiрити, що для виконання умов теорем 1 – 3 параметри повиннi задовольняти
вiдповiдно умови
\alpha < \beta , \alpha \leq 0, \gamma < \delta ;
\alpha < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\beta ,
\beta
2
\biggr\}
, \gamma < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 0, \delta \} ;
\alpha < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\beta ,
\beta
2
\biggr\}
, \gamma < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \beta - \alpha , \delta \} .
Таким чином, теорема 3 доповнює теорему I. Т. Кiгурадзе в частинi умов на коефiцiєнти
рiвнянь i покращує теорему Т. I. Кодлюк, В. А. Михайлеця, Н. В. Реви, послаблюючи її умови
на правi частини задач.
Лiтература
1. Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр. мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215 – 219.
2. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. –
10, вып. 3. – С. 147 – 153.
3. Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра //
Чех. мат. журн. – 1957. – 7, № 4. – С. 568 – 583.
4. Самойленко А. М. Про неперервну залежнiсть розв’язкiв диференцiальних рiвнянь вiд параметра // Доп. АН
УРСР. Сер. А. – 1962. – № 10. – С. 1290 – 1293.
5. Самойленко А. М. Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от
параметра // Укр. мат. журн. – 1962. – 14, № 3. – С. 289 – 298.
6. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Совр. пробл.
математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
7. Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems // J. Different. Equat. – 1967. – 3, № 3. – Р. 423 – 439.
8. Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of differential equations // J. Different. Equat. – 1967. –
3. – Р. 571 – 579.
9. Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем \.X = An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176,
№ 4. – С. 774 – 777.
10. Левин А. Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения. I // Вестн. Ярослав.
ун-та. – 1973. – Вып. 5. – С. 105 – 132.
11. Нгуен Тхе Хоан. О зависимости от параметра решений линейной системы дифференциальных уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, № 6. – С. 970 – 975.
12. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 1. – С. 77 – 90.
13. Hnyp Y. V., Mikhailets V. A., Murach A. A. Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – № 81. – P. 1 – 13.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. O. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – № 87. – P. 1 – 16.
15. Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
16. Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C(n)[a, b] // Доп.
НАН України. – 2014. – № 7. – C. 24 – 28.
Одержано 24.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1487 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:41Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/37982870e02c819f8c8ccdb64e305278.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14872020-03-29T18:29:21Z Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems for systems of differential equations Граничні теореми для розв’язків лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. UDC 517.927 We establish sufficient conditions for the sequence of solutions of general boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of any order on a finite interval to be convergent in the uniform norm. УДК 517.927 Знайдено достатні умови збіжності послідовності розв’язків загальних крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку у рівномірній нормі на скінченному інтервалі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1487 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 930-937 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 930-937 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1487/471 Copyright (c) 2019 Pelekhata O. B.; Reva N. V. |
| spellingShingle | Pelekhata, O. B. Reva, N. V. Пелехата, О. Б. Рева, Н. В. Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems for systems of differential equations |
| title | Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| title_alt | Граничні теореми для розв’язків лінійних крайових задач
для систем диференціальних рівнянь |
| title_full | Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| title_fullStr | Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| title_full_unstemmed | Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| title_short | Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| title_sort | limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems
for systems of differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1487 |
| work_keys_str_mv | AT pelekhataob limittheoremsforthesolutionsoflinearboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequations AT revanv limittheoremsforthesolutionsoflinearboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequations AT pelehataob limittheoremsforthesolutionsoflinearboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequations AT revanv limittheoremsforthesolutionsoflinearboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequations AT pelekhataob graničníteoremidlârozvâzkívlíníjnihkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT revanv graničníteoremidlârozvâzkívlíníjnihkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT pelehataob graničníteoremidlârozvâzkívlíníjnihkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT revanv graničníteoremidlârozvâzkívlíníjnihkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ |