On the equicontinuity of families of mappings in the case of variable domains
UDC 517.5 We study the problem of local behavior of maps in the closure of a domain in the Euclidean space. The equicontinuity of families of these mappings is established in the case where the mapped domain is not fixed. We separately consider the domains with bad and good boundaries, as well as t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1488 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507276538806272 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:35:08Z |
| description | UDC 517.5
We study the problem of local behavior of maps in the closure of a domain in the Euclidean space. The equicontinuity of
families of these mappings is established in the case where the mapped domain is not fixed. We separately consider the
domains with bad and good boundaries, as well as the homeomorphisms and maps with branching. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ
В СЛУЧАЕ ПЕРЕМЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ
We study the problem of local behavior of maps in the closure of a domain in the Euclidean space. The equicontinuity of
families of these mappings is established in the case where the mapped domain is not fixed. We separately consider the
domains with bad and good boundaries, as well as the homeomorphisms and maps with branching.
Дослiджено питання про локальну поведiнку вiдображень у замиканнi областi евклiдового простору. Отримано
результати про одностайну неперервнiсть сiмей таких вiдображень у випадку, коли вiдображена область не є
фiксованою. Окремо розглянуто областi з поганими i гарними межами, а також гомеоморфiзми i вiдображення з
розгалуженням.
1. Введение. Основные определения и обозначения, используемые в статье, взяты из [1 – 4].
Недавно первый автор опубликовал результаты о поведении одного класса отображений в
замыкании области. „Замыкание” понималось в смысле так называемых простых концов, при
этом изучались как гомеоморфизмы, так и отображения с ветвлением (см., например, [5]). Ос-
новная цель статьи — распространить эти результаты на случай, когда отображенные области
могут меняться. Отметим, что в [5] изучались отображения двух фиксированных областей, при
этом рассматривались классы Орлича – Соболева и отображения с неравенством Полецкого. Мы
продолжаем исследования в этом направлении. Отдельно будут рассмотрены случаи однолист-
ных и неоднолистных отображений, а также случай областей, являющихся локально связными
на границе и не имеющих указанных свойств. В частности, случай простых концов относится
к последней из упомянутых ситуаций. (По этому поводу см. также классические результаты
Р. Някки и Б. Палка для квазиконформных отображений [6].) Теория простых концов, а также
граничное поведение квазиконформных отображений в их терминах развиты Р. Някки [7]. В
случае отображений с неограниченной характеристикой этот подход был использован в работах
В. Я. Гутлянского, В. И. Рязанова, Д. А. Ковтонюка и Э. Якубова (см. [3, 4]).
Здесь и далее
A(x0, r1, r2) := \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} , (1)
а Mp(\Gamma ) обозначает p-модуль семейства кривых \Gamma . Пусть p \geq 1 и Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — измеримая
по Лебегу функция, равная нулю вне D. Введем в рассмотрение следующее понятие (см. [1],
разд. 7.6). Будем говорить, что f : D \rightarrow \BbbR n — кольцевое Q-отображение в точке x0 \in D,
x0 \not = \infty , относительно p-модуля, если для некоторого r0 = r(x0) > 0, произвольных 0 <
< r1 < r2 < r0 и континуумов E1 \subset B(x0, r1) \cap D, E2 \subset
\bigl(
\BbbR n \setminus B(x0, r2)
\bigr)
\cap D отображение f
удовлетворяет соотношению
Mp
\bigl(
f(\Gamma (E1, E2, D))
\bigr)
\leq
\int
A
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (2)
для произвольной измеримой функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ], удовлетворяющей неравенству
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ, 2019
938 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 939
r2\int
r1
\eta (r) dr \geq 1. (3)
Аналогично, условимся говорить, что отображение f : D \rightarrow \BbbR n является кольцевым Q-отоб-
ражением в D \setminus \{ \infty \} относительно p-модуля, если условие (2) выполнено в каждой точке
x0 \in D \setminus \{ \infty \} . В точке x0 = \infty данное определение может быть cформулировано с помощью
инверсии: \varphi (x) =
x
| x| 2
, \infty \mapsto \rightarrow 0. В дальнейшем h(x, y) обозначает хордальное расстояние
между точками x, y \in \BbbR n, а h(E) — хордальный диаметр множества E \subset \BbbR n (см. [1], гл. 1).
Пусть I — фиксированный набор индексов и Di, i \in I, — некоторая последовательность
областей. Следуя [6] (разд. 2.4), будем говорить, что семейство областей \{ Di\} i\in I является
равностепенно равномерным относительно p-модуля, если для каждого r > 0 существует
такое число \delta > 0, что неравенство
Mp
\bigl(
\Gamma (F \ast , F,Di)
\bigr)
\geq \delta (4)
выполнено для всех i \in I и континуумов F, F \ast \subset D таких, что h(F ) \geq r и h(F \ast ) \geq r.
Замечание 1. В работе [6] рассматривался частный случай p = n, а неравенство (4) здесь
выполняется не только для континуумов F и F \ast , но и для произвольных связных множеств.
Указанное обстоятельство (несущественно) отличает приведенное выше определение от анало-
гичного определения Р. Някки и Б. Палка [6].
Покажем, что для фиксированной области Di соотношение (4) влечет так называемую
сильную достижимость ее границы относительно p-модуля (см. также [8], теорема 6.2). Зафик-
сируем для этого i \in I, точку x0 \in \partial Di и некоторую ее окрестность U. Можно считать, что
x0 \not = \infty . Пусть \varepsilon 1 > 0 таково, что V := B(x0, \varepsilon 1) и V \subset U. Предположим, что \partial U \not = \varnothing и
\partial V \not = \varnothing , тогда положим \varepsilon 2 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial U, \partial V ) > 0. Пусть континуумы F и G в области Di тако-
вы, что F \cap \partial U \not = \varnothing \not = F \cap \partial V и G \cap \partial U \not = \varnothing \not = G \cap \partial V. Из последних соотношений следует,
что h(F ) \geq \varepsilon 2 и h(G) \geq \varepsilon 2. Тогда согласно условию равностепенной равномерности обла-
стей Di относительно p-модуля найдется такое \delta = \delta (\varepsilon 2) > 0, что Mp(\Gamma (F,G,Di)) \geq \delta > 0
для континуумов F и G, указанных выше. В частности, для произвольной окрестности U
точки x0 нашлись окрестность V этой же точки, компакт F в Di и число \delta > 0 та-
кие, что Mp(\Gamma (F,G,Di)) \geq \delta > 0 для произвольного континуума G \subset Di такого, что
G \cap \partial U \not = \varnothing \not = G \cap \partial V. Это свойство и называется в дальнейшем сильной достижимостью
\partial Di в точке x0 относительно p-модуля, и оно установлено для любой области Di, являющейся
элементом некоторого равностепенно равномерного семейства \{ Di\} i\in I.
Теперь введем в рассмотрение два класса отображений, поведение которых мы будем иссле-
довать. Для p \geq 1, заданного числа \delta > 0, фиксированной области D \subset \BbbR n, n \geq 2, контину-
ума A \subset D и заданной функции Q : D \rightarrow [0,\infty ] обозначим через \frakF Q,A,p,\delta (D) семейство всех
кольцевых Q-гомеоморфизмов f : D \rightarrow \BbbR n в D относительно p-модуля, удовлетворяющих
условиям h(f(A)) \geq \delta и h(\BbbR n \setminus f(D)) \geq \delta . Полагаем
qx0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) dS,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
940 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
где dS — элемент площади поверхности S, и
q\prime b(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - b| =r
Q\prime (x) dS, Q\prime (x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ Q(x), 1\} .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D локально связна в каждой точке
x0 \in \partial D и области D\prime
f = f(D) являются равностепенно равномерными относительно p-
модуля по всем f \in \frakF Q,A,p,\delta (D). Если функция Q имеет конечное среднее колебание в D либо
в каждой точке x0 \in D при некотором \beta (x0) > 0 выполнено условие
\beta (x0)\int
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
\prime 1
p - 1
x0 (t)
= \infty , (5)
то каждое из отображений f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) имеет непрерывное продолжение в D и семейство
\frakF Q,A,p,\delta (D), состоящее из продолженных отображений f : D \rightarrow \BbbR n, является равностепенно
непрерывным в D.
В случае отображений с ветвлением теорема 1 допускает некоторое обобщение, в связи
с чем напомним следующее определение. Отображение f : D \rightarrow \BbbR n области D \subset \BbbR n на
область D\prime \subset \BbbR n назовем замкнутым, если C(f, \partial D) \subset \partial D\prime , где, как обычно, C(f, \partial D) —
предельное множество отображения f на \partial D. Для p \geq 1, фиксированной области D \subset \BbbR n,
множества E \subset \BbbR n и числа \delta > 0 обозначим через RQ,\delta ,p,E(D) семейство всех открытых
дискретных замкнутых кольцевых Q-отображений f : D \rightarrow \BbbR n \setminus E относительно p-модуля в
D со следующим условием: для любой области D\prime
f := f(D) найдется континуум Kf \subset D\prime
f
такой, что h(Kf ) \geq \delta и h(f - 1(Kf ), \partial D) \geq \delta > 0.
Теорема 2. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D локально связна в каждой точ-
ке x0 \in \partial D и, кроме того, области D\prime
f = f(D) являются равностепенно равномерными
относительно p-модуля по всем f \in RQ,\delta ,p,E(D). Пусть при p = n множество E имеет по-
ложительную емкость, а при n - 1 < p < n является произвольным замкнутым множеством.
Если функция Q имеет конечное среднее колебание в D либо в каждой точке x0 \in D при
некотором \beta (x0) > 0 выполнено условие (5), то каждое из отображений f \in RQ,\delta ,p,E(D)
имеет непрерывное продолжение в D и семейство RQ,\delta ,p,E(D), состоящее из продолженных
отображений f : D \rightarrow \BbbR n, является равностепенно непрерывным в D.
Теоремы 1 и 2 относятся к случаю локально связных границ, когда граничное продолжение
отображений и равностепенную непрерывность их семейств необходимо понимать в обычном,
„поточечном”, смысле. Случай более сложных границ соответствует ситуации так называемых
простых концов (определение и соответствующую терминологию см. в работе [3]). Будем го-
ворить, что граница области D в \BbbR n является локально квазиконформной, если каждая точка
x0 \in \partial D имеет окрестность U, которая может быть отображена квазиконформным отображени-
ем \varphi на единичный шар \BbbB n \subset \BbbR n так, что \varphi (\partial D\cap U) является пересечением \BbbB n с координатной
гиперплоскостью. Говорим, что ограниченная область D в \BbbR n регулярна, если D может быть
квазиконформно отображена на область с локально квазиконформной границей. Если DP яв-
ляется пополнением регулярной области D ее простыми концами, а g0 — квазиконформным
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 941
отображением области D0 с локально квазиконформной границей на D, то оно естественным
образом определяет в DP некоторую топологию (см. [3]). Соответствующее топологическое
пространство метризуемо (см. там же).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 3. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D регулярна и области D\prime
f =
= f(D) являются ограниченными равностепенно равномерными относительно p-модуля по
f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) областями с локально квазиконформной границей. Если функция Q имеет ко-
нечное среднее колебание в D либо в каждой точке x0 \in D при некотором \beta (x0) > 0 выполнено
условие (5), то каждое из отображений f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) имеет непрерывное продолжение f :
DP \rightarrow \BbbR n в DP и семейство \frakF Q,A,p,\delta (D), состоящее из всех таким образом продолженных
отображений f : DP \rightarrow \BbbR n, является равностепенно непрерывным в DP .
Теорема 4. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D регулярна и области D\prime
f =
= f(D) являются ограниченными равностепенно равномерными относительно p-модуля по
f \in RQ,\delta ,p,E(D) областями с локально квазиконформной границей. Пусть при p = n множе-
ство E имеет положительную емкость, а при n - 1 < p < n является произвольным замкну-
тым множеством. Если функция Q имеет конечное среднее колебание в D либо в каждой
точке x0 \in D при некотором \beta (x0) > 0 выполнено условие (5), то каждое из отображений
f \in RQ,\delta ,p,E(D) имеет непрерывное продолжение в DP и семейство RQ,\delta ,p,E(D), состоящее
из всех таким образом продолженных отображений f : DP \rightarrow \BbbR n, является равностепенно
непрерывным в DP .
Замечание 2. В теоремах 3 и 4 равностепенную непрерывность следует понимать в тер-
минах семейств отображений между метрическими пространствами (X, d) и (X \prime , d\prime ), где
X = DP , d — одна из возможных метрик, соответствующих топологическому пространству
DP , X
\prime = \BbbR n и d\prime — хордальная (сферическая) метрика.
2. Формулировки и доказательства основных лемм. Основным инструментом при до-
казательстве теорем 1 и 2 являются следующие два утверждения.
Лемма 1. Предположим, что область D локально связна в каждой точке x0 \in \partial D и
области D\prime
f = f(D) являются равностепенно равномерными относительно p-модуля по всем
f \in \frakF Q,A,p,\delta (D). Предположим также, что для каждой точки x0 \in D найдутся \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) >
> 0 и измеримая по Лебегу функция \psi : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] такие, что
I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0, (6)
и, кроме того, при \varepsilon \rightarrow 0 \int
A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi p(| x - x0| ) dm(x) = o(Ip(\varepsilon , \varepsilon 0)), (7)
где, как обычно, сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено, как в (1). Тогда каждое из отоб-
ражений f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) имеет непрерывное продолжение в D и семейство \frakF Q,A,p,\delta (D),
состоящее из всех таким образом продолженных отображений f : D \rightarrow \BbbR n, является равно-
степенно непрерывным в D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
942 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
A
x0 xm
D
ε0
γm
Γm
2–m
D
m Cm
xm fm(A)
fm(xm)
fm(xm)
fm(Γm)
fm
Рис. 1
Доказательство. Равностепенная непрерывность \frakF Q,A,p,\delta (D) внутри области D следует
из леммы 3.2.2 [2] в случае p = n и леммы 2.4 [9] при n - 1 < p < n. Возможность
продолжения каждого элемента f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) до непрерывного отображения в замыкании
D следует из леммы 1 [10] при p = n и с учетом замечания 1 (доказательство этого факта в
случае n - 1 < p < n проводится аналогично).
Осталось показать, что семейство \frakF Q,A,p,\delta (D) равностепенно непрерывно в точках \partial D.
Предположим противное, тогда найдутся x0 \in \partial D и число a > 0 со следующим свойством:
для каждого m = 1, 2, . . . существуют точка xm \in D и элемент fm семейства \frakF Q,A,p,\delta (D)
такие, что | x0 - xm| < 1/m и h(fm(xm), fm(x0)) \geq a. Поскольку fm имеет непрерывное
продолжение в точку x0, мы можем найти такую последовательность x\prime m \in D, x\prime m \rightarrow x0 при
m\rightarrow \infty , что h
\bigl(
fm(x\prime m), fm(x0)
\bigr)
\leq 1/m. Таким образом,
h
\bigl(
fm(xm), fm(x\prime m)
\bigr)
\geq a/2 \forall m \in \BbbN . (8)
Можно считать, что x0 \not = \infty . Ввиду возможности непрерывного продолжения каждого fm на
границу D можем считать, что xm \in D.
В силу локальной связности области D в точке x0 найдется последовательность окрестно-
стей Vm точки x0 с h(Vm) \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty такая, что множества D\cap Vm являются областями
и D \cap Vm \subset B(x0, 2
- m). Не ограничивая общности рассуждений, переходя к подпоследова-
тельности, если это необходимо, можем считать, что xm, x
\prime
m \in D \cap Vm. Соединим точки xm
и x\prime m кривой \gamma m : [0, 1] \rightarrow \BbbR n так, что \gamma m(0) = xm, \gamma m(1) = x\prime m и \gamma m(t) \in Vm при t \in (0, 1)
(см. рис. 1). Обозначим через Cm образ кривой \gamma m(t) при отображении fm. Из соотношения (8)
следует, что
h(Cm) \geq a/2 \forall m \in \BbbN , (9)
где h обозначает хордальный диаметр множества.
Не ограничивая общности рассуждений можно считать, что континуум A из определе-
ния класса \frakF Q,A,p,\delta (D) лежит вне шаров B(x0, 2
- m), m = 1, 2, . . . , и B(x0, \varepsilon 0) \cap A = \varnothing .
Пусть \Gamma m — семейство кривых, соединяющих \gamma m и A в D. Из определения кольцевого Q-
отображения относительно p-модуля в точке x0 следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 943
Mp(fm(\Gamma m)) \leq
\int
A(x0,
1
2m
,\varepsilon 0)
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (10)
для каждой измеримой функции \eta :
\biggl(
1
2m
, \varepsilon 0
\biggr)
\rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int \varepsilon 0
1
2m
\eta (r) dr \geq 1. Заметим,
что функция
\eta (t) =
\left\{ \psi (t)/I(2
- m, \varepsilon 0), t \in (2 - m, \varepsilon 0),
0, t \in \BbbR \setminus (2 - m, \varepsilon 0),
где I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t) dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3) при r1 := 2 - m,
r2 := \varepsilon 0, поэтому из условий (7) и (10) следует, что
Mp(fm(\Gamma m)) \leq \alpha (2 - m) \rightarrow 0 (11)
при m\rightarrow \infty , где \alpha (\varepsilon ) — некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при \varepsilon \rightarrow 0,
которая существует в силу условия (7).
С другой стороны, заметим, что fm(\Gamma m) = \Gamma (Cm, fm(A), D\prime
m). По условию леммы
h(fm(A)) \geq \delta при всех m \in \BbbN . Следовательно, в силу (9) h(fm(A)) \geq \delta 1 и h(Cm) \geq \delta 1,
где \delta 1 := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta , a/2\} . Воспользовавшись тем, что области D\prime
m := fm(D) являются равносте-
пенно равномерными относительно p-модуля, заключаем, что существует такое \sigma > 0, что
Mp(fm(\Gamma m)) =Mp
\bigl(
\Gamma (Cm, fm(A), D\prime
m)
\bigr)
\geq \sigma \forall m \in \BbbN ,
а это противоречит условию (11). Полученное противоречие свидетельствует о том, что пред-
положение об отсутствии равностепенной непрерывности семейства \frakF Q,A,p,\delta (D) было оши-
бочным.
Лемма 1 доказана.
В случае отображений с ветвлением лемма 1 принимает следующий вид.
Лемма 2. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D локально связна в каждой точке
x0 \in \partial D и области D\prime
f = f(D) являются равностепенно равномерными относительно p-
модуля по всем f \in RQ,\delta ,p,E(D). Пусть при p = n множество E имеет положительную
емкость, а при n - 1 < p < n является произвольным замкнутым множеством. Предположим
также, что для каждой точки x0 \in D найдутся \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 и измеримая по Лебегу
функция \psi : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством: для любого \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено
условие (6) и, кроме того, при \varepsilon \rightarrow 0 выполнено условие (7). Тогда каждое из отображений
f \in RQ,\delta ,p,E(D) имеет непрерывное продолжение в D и семейство RQ,\delta ,p,E(D), состоящее
из продолженных отображений f : D \rightarrow \BbbR n, является равностепенно непрерывным в D.
Доказательство. Равностепенная непрерывность внутри области D следует из лем-
мы 3.6.1 [2] в случае p = n и леммы 2.4 [9] при n - 1 < p < n, а возможность продолжения
каждого элемента f семейства отображений RQ,\delta ,p,E(D) до непрерывного отображения в за-
мыкании D — из леммы 1 [10] при p = n (здесь необходимо учесть замечание 1; доказательство
этого факта в случае n - 1 < p < n проводится аналогично).
Осталось показать, что семейство RQ,\delta ,p,E(D) равностепенно непрерывно в точках \partial D.
Предположим противное, тогда найдутся x0 \in \partial D и число a > 0 со следующим свойством: для
каждого m = 1, 2, . . . существуют точка xm \in D и элемент fm семейства RQ,\delta ,p,E(D) такие,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
944 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
D
x0 xm
ε0
γm
Γ
m
2–m
xm
fm
–1(Km)
fm(xm)
Γm = fm(Γ
m)
fm
D
m Cm
Km
fm(xm)
Рис. 2
что | x0 - xm| < 1/m и выполнено условие (8). Можно считать, что x0 \not = \infty . Ввиду возможности
непрерывного продолжения каждого fm на границу D можем считать, что xm \in D. Более того,
в силу того, что fm продолжается по непрерывности в точку x0, найдется последовательность
x\prime m \in D, сходящаяся к точке x0 при m \rightarrow \infty , такая, что при некотором a > 0 выполнены
неравенства в (8).
В силу локальной связности области D в точке x0 найдется последовательность окрестно-
стей Vm точки x0 с h(Vm) \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty такая, что множества D\cap Vm являются областями
и D \cap Vm \subset B(x0, 2
- m). Не ограничивая общности рассуждений, переходя к подпоследова-
тельности, если это необходимо, можем считать, что xm, x\prime m \in D \cap Vm. Соединим точки xm и
x\prime m кривой \gamma m : [0, 1] \rightarrow \BbbR n так, что \gamma m(0) = xm, \gamma m(1) = x\prime m и \gamma m(t) \in Vm \cap D при t \in (0, 1)
(см. рис. 2). Обозначим через Cm образ кривой \gamma m при отображении fm. Из соотношения (8)
следует, что выполнено условие вида (9), где h обозначает хордальный диаметр множества.
По определению семейства отображений RQ,\delta ,p,E(D) для любого fm \in RQ,\delta ,p,E(D) и
любой области D\prime
m := fm(D) найдется континуум Km \subset D\prime
m такой, что h(Km) \geq \delta и
h(f - 1
m (Km), \partial D) \geq \delta > 0. Поскольку по условию леммы области D\prime
m являются равностепенно
равномерными относительно p-модуля, в силу изложенного, учитывая условие (9), получаем,
что при всех m = 1, 2, . . . и некотором b > 0 выполняется неравенство
Mp
\bigl(
\Gamma (Km, Cm, D
\prime
m)
\bigr)
\geq b. (12)
Рассмотрим семейство \Gamma m, состоящее из всех кривых \beta : [0, 1) \rightarrow D\prime
m, где \beta (0) \in Cm и
\beta (t) \rightarrow p \in Km при t \rightarrow 1. Пусть \Gamma \ast
m — семейство всех полных поднятий \alpha : [0, 1) \rightarrow D
семейства \Gamma m при отображении fm с началом на \gamma m. Такое семейство корректно определено в
силу теоремы 3.7 [11]. Вследствие замкнутости отображения fm имеем \alpha (t) \rightarrow f - 1
m (Km), где
f - 1
m (Km) — полный прообраз континуума Km при отображении fm.
Заметим, что вследствие компактности пространства \BbbR n при каждом фиксированном \delta > 0
множество C\delta := \{ x \in D : h(x, \partial D) \geq \delta \} является компактом в D и f - 1
m (Km) \subset C\delta . Согласно
лемме 1 [12], множество C\delta можно вложить в континуум E\delta , лежащий в области D, при этом
можно считать, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, E\delta ) \geq \varepsilon 0 за счет уменьшения \varepsilon 0, если это необходимо. Тогда на
основании (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 945
Mp
\bigl(
fm(\Gamma \ast
m)
\bigr)
\leq Mp
\bigl(
fm(\Gamma (| \gamma m| , E\delta , D))
\bigr)
\leq
\int
A(x0,
1
2m
,\varepsilon 0)
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (13)
для каждой измеримой функции \eta :
\biggl(
1
2m
, \varepsilon 0
\biggr)
\rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int \varepsilon 0
1
2m
\eta (r) dr \geq 1. Заметим,
что функция
\eta (t) =
\left\{ \psi (t)/I(2
- m, \varepsilon 0), t \in (2 - m, \varepsilon 0),
0, t \in \BbbR \setminus (2 - m, \varepsilon 0),
где I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t) dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3) при r1 := 2 - m,
r2 := \varepsilon 0, поэтому из условий (7) и (13) следует, что
Mp
\bigl(
fm(\Gamma \ast
m)
\bigr)
\leq \alpha (2 - m) \rightarrow 0 (14)
при m\rightarrow \infty , где \alpha (\varepsilon ) — некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при \varepsilon \rightarrow 0,
которая существует в силу условия (7). Кроме того, заметим, что fm(\Gamma \ast
m) = \Gamma m и Mp(\Gamma m) =
=Mp
\bigl(
\Gamma (Km, Cm, D
\prime
m)
\bigr)
, так что
Mp
\bigl(
fm(\Gamma \ast
m)
\bigr)
=Mp
\bigl(
\Gamma (Km, Cm, D
\prime
m)
\bigr)
. (15)
Однако соотношения (14) и (15) в совокупности противоречат (12). Полученное противоречие
свидетельствует о том, что исходное предположение (8) было ошибочным, и, значит, семейство
отображений RQ,\delta ,p,E(D) равностепенно непрерывно в каждой точке x0 \in \partial D.
Лемма 2 доказана.
Приведем также доказательства утверждений, аналогичных леммам 1 и 2, для случая, когда
область D не является локально связной на своей границе.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D регулярна и области D\prime
f =
= f(D) являются ограниченными равностепенно равномерными относительно p-модуля по
f \in \frakF Q,A,p,\delta (D) областями с локально квазиконформной границей. Предположим также, что
для каждой точки x0 \in D найдутся \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 и измеримая по Лебегу функция \psi :
(0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством: для любого \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие (6) и,
кроме того, при \varepsilon \rightarrow 0 выполнено условие (7). Тогда каждое из отображений f \in \frakF Q,A,p,\delta (D)
имеет непрерывное продолжение f : DP \rightarrow \BbbR n в DP и семейство \frakF Q,A,p,\delta (D), состоящее
из всех таким образом продолженных отображений f : DP \rightarrow \BbbR n, является равностепенно
непрерывным в DP .
Доказательство. Равностепенная непрерывность внутри области D следует из лем-
мы 3.2.2 [2] в случае p = n и леммы 2.4 [9] при n - 1 < p < n, а возможность продолжения
каждого элемента f семейства отображений \frakF Q,A,p,\delta (D) до непрерывного отображения в за-
мыкании D — из леммы 3 [5]. В частности, из замечания 1 следует сильная достижимость
границы области в образе при отображении.
Покажем равностепенную непрерывность семейства \frakF Q,A,p,\delta (D) в точках ED, где ED обо-
значает пространство простых концов, соответствующих области D. Предположим противное,
а именно, что семейство \frakF Q,A,p,\delta (D) не является равностепенно непрерывным в некоторой
точке P0 \in ED. Тогда найдутся число a > 0, последовательность Pk \in DP , k = 1, 2, . . . , и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
946 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
D
Dk
A
x0
γk
Γk
xk
xk
D
k
fk(A)
fk(Γk)
fk
Ck
Рис. 3
элементы fk \in \frakF Q,A,p,\delta (D) такие, что d(Pk, P0) < 1/k и
h
\bigl(
fk(Pk), fk(P0)
\bigr)
\geq a, k = 1, 2, . . . . (16)
Ввиду возможности непрерывного продолжения каждого fk на границу D в терминах прос-
тых концов для любого k \in \BbbN найдется элемент xk \in D такой, что d(xk, Pk) < 1/k и
h(fk(xk), fk(Pk)) < 1/k. Тогда из (16) следует, что
h(fk(xk), fk(P0)) \geq a/2, k = 1, 2, . . . . (17)
Аналогично, в силу непрерывного продолжения отображения fk в DP найдется последова-
тельность x\prime k \in D, x\prime k \rightarrow P0 при k \rightarrow \infty , такая, что h(fk(x\prime k), fk(P0)) < 1/k при k = 1, 2, . . . .
Тогда из (17) следует, что
h(fk(xk), fk(x
\prime
k)) \geq a/4, k = 1, 2, . . . , (18)
где последовательности xk и x\prime k принадлежат D и сходятся к простому концу P0 при k \rightarrow \infty
(см. рис. 3). В силу леммы 2 [3] простой конец P0 регулярной области D в \BbbR n, n \geq 2,
содержит цепь разрезов \sigma k, лежащую на сферах Sk с центром в некоторой точке x0 \in \partial D
и с евклидовыми радиусами rk \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Пусть Dk — области, ассоциированные с
разрезами \sigma k, k = 1, 2, . . . . Поскольку последовательности xk и x\prime k сходятся к простому концу
P0 при k \rightarrow \infty , можем считать, что точки xk, x
\prime
k принадлежат Dk при всех k = 1, 2, . . . .
Соединим точки xk и x\prime k кривой \gamma k, полностью лежащей в Dk. Можно также считать, что
континуум A из определения класса \frakF Q,A,p,\delta (D) не пересекается ни с одной из областей Dk и
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\partial D,A) > \varepsilon 0.
Обозначим через Ck образ кривой \gamma k при отображении fk. Из соотношения (18) следует,
что
h(Ck) \geq a/4 \forall k \in \BbbN , (19)
где h обозначает хордальный диаметр множества.
Пусть \Gamma k — семейство кривых, соединяющих | \gamma k| и A в D. Из определения кольцевого
Q-отображения относительно p-модуля в точке x0 следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 947
Mp(fk(\Gamma k)) \leq
\int
A(x0,rk,\varepsilon 0)
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (20)
для каждой измеримой функции \eta : (rk, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int \varepsilon 0
rk
\eta (r) dr \geq 1. Заметим, что
функция
\eta (t) =
\left\{ \psi (t)/I(rk, \varepsilon 0), t \in (rk, \varepsilon 0),
0, t \in \BbbR \setminus (rk, \varepsilon 0),
где I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t) dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3), поэтому из условий (7)
и (20) следует, что
Mp(fk(\Gamma k)) \leq \alpha (rk) \rightarrow 0 (21)
при k \rightarrow \infty , где \alpha (\varepsilon ) — некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при \varepsilon \rightarrow 0,
которая существует в силу условия (7).
С другой стороны, заметим, что fk(\Gamma k) = \Gamma (Ck, fk(A), D
\prime
k), где D\prime
k = fk(D). Поскольку
по условию леммы h(fk(A)) \geq \delta при всех k \in \BbbN , в силу (19) h(fk(A)) \geq \delta 1 и h(Ck) \geq \delta 1, где
\delta 1 := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta , a/4\} . Вследствие того, что области D\prime
k являются равностепенно равномерными
относительно p-модуля, заключаем, что существует такое \sigma > 0, что
Mp(fk(\Gamma k)) =Mp
\bigl(
\Gamma (Ck, fk(A), D
\prime
k)
\bigr)
\geq \sigma \forall k \in \BbbN ,
а это противоречит условию (21). Полученное противоречие свидетельствует о том, что пред-
положение об отсутствии равностепенной непрерывности семейства \frakF Q,A,p,\delta (D) было оши-
бочным.
Лемма 3 доказана.
Для отображений с ветвлением лемма 3 принимает следующий вид.
Лемма 4. Предположим, что p \in (n - 1, n], область D регулярна и области D\prime
f =
= f(D) являются ограниченными равностепенно равномерными относительно p-модуля по
f \in RQ,\delta ,p,E(D) областями с локально квазиконформной границей. Пусть при p = n мно-
жество E имеет положительную емкость, а при n - 1 < p < n является произвольным
замкнутым множеством. Предположим также, что для каждой точки x0 \in D найдутся
\varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0 и измеримая по Лебегу функция \psi : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством:
для любого \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие (6) и, кроме того, при \varepsilon \rightarrow 0 выполнено условие (7).
Тогда каждое из отображений f \in RQ,\delta ,p,E(D) имеет непрерывное продолжение в DP и
семейство RQ,\delta ,p,E(D), состоящее из всех таким образом продолженных отображений f :
DP \rightarrow \BbbR n, является равностепенно непрерывным в DP .
Доказательство. Равностепенная непрерывность внутри области D следует из лем-
мы 3.6.1 [2] в случае p = n и леммы 2.4 [9] при n - 1 < p < n, а возможность продолжения
каждого элемента f семейства отображений RQ,\delta ,p,E(D) до непрерывного отображения в за-
мыкании DP — из леммы 3 [5]. Сильная достижимость границы отображенной области, как и
прежде, следует из замечания 1.
Осталось показать, что семейство RQ,\delta ,p,E(D) равностепенно непрерывно в точках \partial PD :=
:= DP \setminus D. Предположим противное. Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 3,
построим две последовательности xk и x\prime k \in D, сходящиеся к простому концу P0 при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
948 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
k \rightarrow \infty , для которых справедливо соотношение вида (18). Соединим точки xk и x\prime k кривой \gamma k :
[0, 1] \rightarrow \BbbR n так, что \gamma k(0) = xk, \gamma k(1) = x\prime k и \gamma k(t) \in D при t \in (0, 1). Обозначим через Ck
образ кривой \gamma k при отображении fk. Из соотношения (18) следует, что
h(Ck) \geq a/4, k = 1, 2, . . . . (22)
В силу леммы 2 [3] простой конец P0 регулярной области D в \BbbR n, n \geq 2, содержит цепь
разрезов \sigma k, лежащую на сферах Sk с центром в некоторой точке x0 \in \partial D и с евклидовыми
радиусами rk \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Пусть Dk — области, ассоциированные с разрезами \sigma k,
k = 1, 2, . . . . Поскольку последовательности xk и x\prime k сходятся к простому концу P0 при
k \rightarrow \infty , можно считать, что точки xk, x\prime k \in Dk при всех k = 1, 2, . . . .
По определению семейства отображений RQ,\delta ,p,E(D) для любого fk \in RQ,\delta ,p,E(D) и любой
области D\prime
k := fk(D) найдется континуум Kk \subset D\prime
k такой, что h(Kk) \geq \delta и h(f - 1(Kk), \partial D) \geq
\geq \delta > 0. Поскольку по условию леммы области D\prime
k являются равностепенно равномерными
относительно p-модуля, в силу изложенного, учитывая условие (22), получаем, что при всех
k = 1, 2, . . . и некотором b > 0 выполняется неравенство
Mp
\bigl(
\Gamma (Kk, Ck, D
\prime
k)
\bigr)
\geq b. (23)
Рассмотрим семейство \Gamma k, состоящее из всех кривых \beta : [0, 1) \rightarrow D\prime
k, где \beta (0) \in Ck и \beta (t) \rightarrow
\rightarrow p \in Kk при t \rightarrow 1. Пусть \Gamma \ast
k — семейство всех полных поднятий \alpha : [0, 1) \rightarrow D семейства
\Gamma k при отображении fk с началом на \gamma k. Такое семейство корректно определено в силу теоре-
мы 3.7 [11]. Вследствие замкнутости отображения fk имеем \alpha (t) \rightarrow f - 1
k (Kk) при t \rightarrow 1, где
f - 1
k (Kk) — полный прообраз континуума Kk при отображении fk.
Заметим, что в силу компактности пространства \BbbR n при каждом фиксированном \delta > 0
множество C\delta := \{ x \in D : h(x, \partial D) \geq \delta \} является компактом в D и f - 1
k (Kk) \subset C\delta . Согласно
лемме 1 [12] множество C\delta можно вложить в континуум E\delta , лежащий в области D, при этом
можно считать, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, E\delta ) \geq \varepsilon 0 за счет уменьшения \varepsilon 0, если это необходимо. Тогда на
основании (2)
Mp(fk(\Gamma
\ast
k)) \leq Mp
\bigl(
fk
\bigl(
\Gamma (| \gamma k| , E\delta , D)
\bigr) \bigr)
\leq
\int
A(x0,rk,\varepsilon 0)
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (24)
для каждой измеримой функции \eta : (rk, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int \varepsilon 0
rk
\eta (r) dr \geq 1. Заметим, что
функция
\eta (t) =
\left\{ \psi (t)/I(rk, \varepsilon 0), t \in (rk, \varepsilon 0),
0, t \in \BbbR \setminus (rk, \varepsilon 0),
где величина I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t) dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3). Тогда из
условий (7) и (24) следует, что
Mp(fk(\Gamma k)) \leq \alpha (rk) \rightarrow 0 (25)
при k \rightarrow \infty , где \alpha (\varepsilon ) — некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при \varepsilon \rightarrow 0
и существующая в силу условия (7). Кроме того, заметим, что fk(\Gamma \ast
k ) = \Gamma k и, одновременно,
Mp(\Gamma k) =Mp
\bigl(
\Gamma (Kk, Ck, D
\prime
k)
\bigr)
. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 949
Mp(fk(\Gamma k)) =Mp
\bigl(
\Gamma (Kk, Ck, D
\prime
k)
\bigr)
. (26)
Объединяя соотношения (25) и (26), получаем противоречие с (23). Полученное противоречие
свидетельствует о том, что исходное предположение (8) было ошибочным, и, значит, семейство
отображений RQ,\delta ,p,E(D) равностепенно непрерывно в каждой точке x0 \in ED.
Лемма 4 доказана.
3. Доказательство основных результатов. Утверждения теорем 1 – 4 непосредственно
следуют из лемм 1 – 4 и предложения 2 [5] (см. детали доказательства теоремы 2, а также [2],
лемма 2.3.1).
Замечание 3. При p = n соответствующие версии теорем 3 и 4 получены первым автором
для случая общих метрических пространств (см. [13]). Здесь рассмотрены лишь конечносвяз-
ные на границе области, что является частным случаем рассмотренных в [13] областей. Опре-
деления исследуемых семейств отображений в настоящей работе также отличаются от [13].
4. Примеры. Для простоты рассмотрим случай p = n.
Пример 1. Как известно, дробно-линейные автоморфизмы единичного круга \BbbD \subset \BbbC на се-
бя задаются формулой f(z) = ei\theta
z - a
1 - az
, z \in \BbbD , a \in \BbbC , | a| < 1, \theta \in [0, 2\pi ). Полагая \theta = 0 и
a = (n - 1)/n, рассмотрим последовательность fn(z) =
z - (n - 1)/n
1 - z(n - 1)/n
, n \in \BbbN . Заметим, что
fn являются кольцевыми 1-гомеоморфизмами в любой точке z0 \in \BbbD (см., например, [14], тео-
рема 1). Кроме того, единичный круг является равномерной областью относительно конформ-
ного модуля как плоская конечносвязная на границе область с конечным числом граничных
компонент (см. [8], следствие 6.8). Очевидно также, что единичный круг является локально
связным на своей границе. Таким образом, выполнены все условия теоремы 1, кроме усло-
вия h(fn(A)) \geq \delta . Действительно, если бы fn \in \frakF 1,A,2,\delta (\BbbD ) хотя бы для одного континуума
A \subset \BbbD и \delta > 0, то по теореме 1 семейство \{ fn\} \infty n=1 было бы равностепенно непрерывным. В
то же время последовательность fn локально равномерно сходится к - 1 внутри \BbbD , при этом
fn(1) = 1. Значит, fn не равностепенно непрерывна в точке 1.
Также легко привести пример конформных автоморфизмов единичного круга, удовлетво-
ряющих условиям и заключению теоремы 1. Можно, например, взять fn(z) =
z + 1/n
1 + z/n
,
n \in \BbbN \setminus \{ 1\} , положив A = [0, 1/2], \delta = 1/4. Тогда fn \in \frakF 1,[0,1/2],2,1/4(\BbbD ) для больших
n \in \BbbN .
Пример 2. Семейство отображений fn(z) = zn, n = 1, 2, . . . , единичного круга на се-
бя является примером равностепенно непрерывного семейства отображений в \BbbD , которое не
является таковым на \partial \BbbD . Причиной последнего является нарушение условий h(Kf ) \geq \delta и
h
\bigl(
f - 1(Kf ), \partial \BbbD
\bigr)
\geq \delta > 0 в определении класса RQ,\delta ,p,E(\BbbD ) и условий теоремы 2. Опять-таки,
данные отображения являются кольцевыми 1-отображениями по теореме 1 [14] (см. также [1],
теорема 8.6).
Для того чтобы получить аналогичное „хорошее” семейство отображений, положим fn(z) =
=
\biggl(
z + 1/n
1 + z/n
\biggr) 2
, n \in \BbbN \setminus \{ 1\} . Отображения fn открыты, дискретны и замкнуты, при этом
являются 1-отображениями (см. [14], теорема 1). Если взять A = [0, 1/2], то
fn(A) =
\Biggl[
1
n2
,
\biggl(
n+ 2
2n+ 1
\biggr) 2
\Biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
950 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, С. А. СКВОРЦОВ
D
D
11
0 0–1
–1 1
f
f (P2)
f (P1)
P2
P1
Рис. 4
Тогда в определении класса RQ,\delta ,p,E(\BbbD ) положим
Q \equiv 1, p = 2, E = \BbbC \setminus \BbbD , Kfn = fn(A) =
\Biggl[
1
n2
,
\biggl(
n+ 2
2n+ 1
\biggr) 2
\Biggr]
.
Осталось определить число \delta > 0. Заметим, что f - 1
n (Kfn) = [ - 1/2, 1/2]. Поскольку h(x, y) \geq
\geq (1/2)| x - y| при x, y \in \BbbD , то h(f - 1
n (Kfn), \partial \BbbD ) \geq 1/4 и h(Kfn) \geq (1/2)(1/5) = 1/10 для
больших n \in \BbbN . Можно положить \delta = 1/10. Тогда fn \in R1,1/10,2,\BbbC \setminus \BbbD (\BbbD ) для достаточно
больших n \in \BbbN .
Пример 3. Рассмотрим семейство отображений с неограниченной характеристикой. Пусть
z = (x, y) \in \BbbR 2, (r, \varphi ) — полярные координаты точки (x, y) : x = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , y = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ,
r =
\sqrt{}
x2 + y2 и D = \{ z = (x, y) \in \BbbD : 0 < \varphi < 2\pi \} — единичный круг с разрезом по
лучу y = 0, x \geq 0. Положим f(z) = (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi /2, r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi /2). Тогда f является кольцевым Q-
отображением в D = \BbbD с некоторым Q, которое вычислим, исходя из следующих соображений.
Найдем производную отображения f по направлению вектора e = ( - r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi , r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi ), касатель-
ного к окружности \gamma (\varphi ) = (r0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , r0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ) в фиксированной точке z0 = (r0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 0, r0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi 0).
Путем прямых вычислений убеждаемся, что эта производная равна 1/2, в то же время растяже-
ние в радиальном (ортогональном к первому) направлении равно 1. В известных обозначениях
l(f \prime (x)) = 1/2, KI(x, f) = (1/2 \cdot 1)/1/22 = 2. Следовательно, отображение f является кольце-
вым 2-гомеоморфизмом в \BbbD в силу теоремы 8.6 [1] (см. также [14], теорема 1). Отображение f,
очевидно, не имеет поточечного непрерывного продолжения на D, однако имеет непрерывное
продолжение f : DP \rightarrow \BbbD в терминах простых концов ED \subset DP (см. рис. 4).
Определим теперь в той же области D семейство отображений
gm(z) =
\left\{
z\bigm| \bigm| (m - 1)/m
\bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} e
(m - 1)/m
, z \in D \cap B(0, (m - 1)/m),
z
| z| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} e
| z|
, z \in D \setminus B(0, (m - 1)/m).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ СЕМЕЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 951
В силу теоремы 8.6 [1] отображения gm являются кольцевыми Q-гомеоморфизмами в \BbbD при
Q(z) := \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
| z|
. Непосредственно проверяется, что функция Q удовлетворяет условию расхо-
димости интеграла (5).
Положим теперь Hm := f \circ gm. Отображения Hm переводят круг с разрезом D на полу-
круг D\prime = \{ z = (x, y) \in \BbbD : 0 < \varphi < \pi \} , являются кольцевыми Q1-гомеоморфизмами для
Q1(z) := 2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
| z|
и удовлетворяют всем условиям теоремы 3. В частности, полукруг является
равномерной областью в силу следствия 6.8 [8], так как область D\prime плоская, конечносвязная на
границе и имеет конечное число граничных компонент. Круг с разрезом D является регуляр-
ной областью в силу теоремы Римана. Семейство отображений Hm не является равностепенно
непрерывным на границе \BbbD в обычном смысле, так как эти отображения не имеют непрерывно-
го граничного продолжения. Тем не менее это семейство является равностепенно непрерывным
в терминах пространства DP по теореме 1.
Литература
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
2. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. – Киев: Наук.
думка, 2014.
3. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И. Простые концы и классы Орлича – Соболева // Алгебра и анализ. – 2015. – 27,
№ 5. – С. 81 – 116.
4. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Укр. мат. вiсн. – 2015. – 12,
№ 1. – С. 27 – 66.
5. Севостьянов Е. А. О граничном продолжении и равностепенной непрерывности семейств отображений в
терминах простых концов // Алгебра и анализ. – 2018. – 30, № 6. – С. 97 – 146.
6. Näkki R., Palka B. Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – 37,
№ 2. – P. 427 – 433.
7. Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 13 – 40.
8. Näkki R. Extension of Loewner’s capacity theorem // Trans. Amer. Math. Soc. – 1973. – 180. – P. 229 – 236.
9. Golberg A., Salimov R., Sevost’yanov E. Normal families of discrete open mappings with controlled p-module //
Contemp. Math. – 2016. – 667. – P. 83 – 103.
10. Севостьянов Е. А. О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характерис-
тикой // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 6. – С. 855 – 859.
11. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. Diss. – 1976. – 11. – P. 1 – 44.
12. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.
журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689.
13. Sevost’yanov E. On boundary extension of mappings in metric spaces in terms of prime ends // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. – 2019. – 44, № 1. – P. 65 – 90.
14. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. – 1970. – 83,
№ 2. – С. 261 – 272.
Получено 17.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1488 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/cba28e9aee512cce24afa6c3bfb0f259.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14882020-03-29T18:35:08Z On the equicontinuity of families of mappings in the case of variable domains О равностепенной непрерывности семейств отображений в случае переменных областей Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. UDC 517.5 We study the problem of local behavior of maps in the closure of a domain in the Euclidean space. The equicontinuity of families of these mappings is established in the case where the mapped domain is not fixed. We separately consider the domains with bad and good boundaries, as well as the homeomorphisms and maps with branching. УДК 517.5 Дослiджено питання про локальну поведiнку вiдображень у замиканнi областi евклiдового простору. Отримано результати про одностайну неперервнiсть сiмей таких вiдображень у випадку, коли вiдображена область не є фiксованою. Окремо розглянуто областi з поганими i гарними межами, а також гомеоморфiзми i вiдображення з розгалуженням. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1488 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 938-951 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 938-951 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1488/472 Copyright (c) 2019 Sevost'yanov E. A.; Skvortsov S. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. Севостьянов, Е. А. Скворцов, С. A. On the equicontinuity of families of mappings in the case of variable domains |
| title | On the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| title_alt | О равностепенной непрерывности семейств
отображений в случае переменных областей |
| title_full | On the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| title_fullStr | On the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| title_full_unstemmed | On the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| title_short | On the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| title_sort | on the equicontinuity of families of mappings in the case
of variable domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1488 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT skvortsovsa ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT sevostʹânovea ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT skvorcovsa ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT sevostʹânovea ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT skvorcovsa ontheequicontinuityoffamiliesofmappingsinthecaseofvariabledomains AT sevost039yanovea oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej AT skvortsovsa oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej AT skvorcovsa oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej AT skvorcovsa oravnostepennojnepreryvnostisemejstvotobraženijvslučaeperemennyhoblastej |