On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations in Banach spaces
UDC 517.937 We obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions bounded on the real axis with precompact sets of values of linear almost periodic differential-functional equations in Banach spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1489 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507276155027456 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:08Z |
| description | UDC 517.937
We obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions bounded on the real axis with
precompact sets of values of linear almost periodic differential-functional equations in Banach spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.937
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \bfscrH -КЛАСIВ
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
We obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions bounded on the real axis with
precompact sets of values of linear almost periodic differential-functional equations in Banach spaces.
Отримано необхiднi й достатнi умови iснування й єдиностi обмежених на числовiй осi розв’язкiв iз передком-
пактними множинами значень лiнiйних майже перiодичних диференцiально-функцiональних рiвнянь у банаховому
просторi.
1. Основнi означення й об’єкт дослiджень. Нехай \BbbN — множина натуральних чисел, \BbbK —
дiйсне поле \BbbR або комплексне поле \BbbC , E — нескiнченновимiрний банаховий простiр над полем
\BbbK з нормою \| \cdot \| E , X i Y — довiльнi банаховi простори i L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних
неперервних операторiв A : X \rightarrow Y з нормою
\| A\| L(X,Y ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| X=1
\| Ax\| Y .
Позначимо через C0 банаховий простiр обмежених i неперервних на \BbbR функцiй x = x(t) зi
значеннями в E з нормою
\| x\| C0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| x(t)\| E ,
а через C1 банаховий простiр функцiй x \in C0, для кожної з яких
dx
dt
\in C0, з нормою
\| x\| C1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\| x\| C0 ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0
\biggr\}
.
У просторi C0 визначимо оператор зсуву Sh, h \in \BbbR , за допомогою спiввiдношення
(Shx)(t) = x(t+ h), t \in \BbbR .
Очевидно, що кожен iз просторiв C0 i C1 є iнварiантним по вiдношенню до операторiв Sh,
h \in \BbbR .
Означення 1. Елемент y \in Ck, k = 0, 1, називається майже перiодичним (див. [1, 2]),
якщо замикання множини \{ Shy : h \in \BbbR \} у просторi Ck є компактною пiдмножиною цього
простору, тобто з кожної послiдовностi (Shny)n\geq 1 можна видiлити збiжну в Ck пiдпослi-
довнiсть.
Множина майже перiодичних елементiв простору Ck є пiдпростором цього простору з
нормою \| \cdot \| Ck . Цей пiдпростiр позначимо через Bk.
Означення 2. Оператор A \in L(Ck, Cm), k,m \in \{ 0, 1\} , називається майже перiодичним
(див. [3, 4]), якщо для кожної послiдовностi (hs)s\geq 1 дiйсних чисел iснує така пiдпослiдовнiсть
(hsl)l\geq 1 , що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l1\rightarrow \infty , l2\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Shsl1
AS - hsl1
- Shsl2
AS - hsl2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(Ck,Cm)
= 0.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2019
952 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 953
Означення 3. Оператор A \in L(Ck, Cm) називається автономним, якщо
ShAS - h = A
для всiх h \in \BbbR .
Очевидно, що автономний оператор є майже перiодичним.
Нехай \scrK — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K \subset E, \scrK a.v. — множина
всiх абсолютно опуклих [5] множин K \in \scrK i R(x) — множина значень функцiї x = x(t),
тобто \{ x(t) : t \in \BbbR \} . Для K \in \scrK позначимо через \frakD 0
K множину всiх елементiв x \in C0, для
кожного з яких R(x) \subset K, а через \frakD 1
K множину всiх елементiв x \in C1, для кожного з яких
R(x) \cup R(dx/dt) \subset K.
Зручним для дослiдження майже перiодичних рiвнянь є наступне означення майже перiо-
дичного оператора, вперше розглянуте автором у [6] у випадку дискретних рiвнянь.
Означення 4. Оператор A \in L(Ck, Cm), k,m \in \{ 0, 1\} , будемо називати майже перiо-
дичним, якщо для кожних множини K \in \scrK i послiдовностi (hs)s\geq 1 дiйсних чисел iснує така
пiдпослiдовнiсть (hsl)l\geq 1 , що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l1\rightarrow \infty , l2\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \frakD k
K
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Shsl1
AS - hsl1
x - Shsl2
AS - hsl2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Cm
= 0. (1)
Аналогiчнi означення майже перiодичного оператора автор використовував при знаходженнi
умов майже перiодичностi обмежених розв’язкiв диференцiальних, рiзницевих, функцiональ-
них i диференцiально-функцiональних рiвнянь (див. [6 – 16]).
Зауважимо, що майже перiодичний у сенсi означення 4 оператор A може не бути майже
перiодичним у сенсi означення 2 (приклад такого оператора при k = m = 0 наведено в [15]).
У випадку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}E < \infty обидва твердження рiвносильнi.
Для подальшого розгляду потрiбнi множини
S0 =
\bigcup
K\in \scrK
\frakD 0
K i S1 =
\bigcup
K\in \scrK
\frakD 1
K .
Цi множини є пiдпросторами просторiв C0 i C1 вiдповiдно з нормами \| \cdot \| S0 = \| \cdot \| C0 i
\| \cdot \| S1 = \| \cdot \| C1 (див. п. 2). Аналогiчно множини
S0
K =
\bigcup
\lambda \in \BbbR
\lambda \frakD 0
K i S1
K =
\bigcup
\lambda \in \BbbR
\lambda \frakD 1
K ,
де \lambda \frakD 0
K = \{ \lambda x : x \in \frakD 0
K\} i \lambda \frakD 1
K = \{ \lambda x : x \in \frakD 1
K\} , у випадку K \in \scrK a.v. також є пiдпросто-
рами просторiв C0 i C1 вiдповiдно з нормами \| \cdot \| S0
K
= \| \cdot \| C0 i \| \cdot \| S1
K
= \| \cdot \| C1 (див. п. 2).
Очевидно, що B0 \subset S0 i B1 \subset S1.
У цiй статтi будемо використовувати означення майже перiодичного оператора.
Означення 5. Оператор A \in L(Ck, Cm), де k,m \in \{ 0, 1\} , будемо називати (Sk,Sm)-
майже перiодичним, якщо ASk\subset Sm i для кожної послiдовностi (hs)s\geq 1 дiйсних чисел iснує
така пiдпослiдовнiсть (hsl)l\geq 1 , що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l1\rightarrow \infty , l2\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in Sk, \| x\|
Sk=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Shsl1
AS - hsl1
x - Shsl2
AS - hsl2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Sm
= 0. (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
954 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Це означення наводиться вперше. Очевидно, що майже перiодичний у сенсi означення 5
оператор A є майже перiодичним i в сенсi означення 4. Однак такий оператор може не бути
майже перiодичним у сенсi означення 2, що пiдтверджується згаданим вище прикладом опера-
тора, наведеним у [15] (для вiдповiдного оператора в [15] виконується не лише спiввiдношення
(1), а i спiввiдношення (2)).
Якщо в означеннi 5 простори Sk i Sm замiнити просторами Sk
K i Sm
K , K \in \scrK a.v., вiдпо-
вiдно, то отримаємо ще один клас майже перiодичних операторiв.
У подальшому будемо використовувати також оператори, надiленi властивiстю c-неперерв-
ностi.
Означення 6. Нехай X \in \{ C0,S0,S0
K\} i Y \in \{ C1,S1,S1
K\} , де K \in \scrK a.v.. Послiдовностi
елементiв xk \in X, yk \in Y, k \in \BbbN , будемо називати локально збiжними до елементiв x \in X,
y \in Y при k \rightarrow \infty вiдповiдно, якщо цi послiдовностi обмеженi i для кожного числа T > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| t| \leq T
\| xk(t) - x(t)\| E = 0
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| t| \leq T
\biggl(
\| yk(t) - y(t)\| E +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dyk(t)dt
- dy(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr)
= 0.
Нехай R = X
\bigcup
Y i Z \in R. Для локально збiжної послiдовностi елементiв zk \in Z до
елемента z \in Z при k \rightarrow \infty будемо використовувати позначення
zk
loc, Z - - - \rightarrow z при k \rightarrow \infty .
Поняття локально збiжної послiдовностi введено автором (див. [17, 18]).
Означення 7. Оператор A \in L(X,Y) називається c-неперервним, якщо
Axk
loc, Y - - - - \rightarrow Ax при k \rightarrow \infty
для кожної послiдовностi
xk
loc, X - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty .
c-Неперервнi оператори (на мовi „\varepsilon , \delta ”) введенi Е. Мухамадiєвим (див. [3, 4]).
У подальшому будемо використовувати ще одне означення.
Розглянемо диференцiально-функцiональне рiвняння
dx
dt
= Ax (3)
з лiнiйним майже перiодичним у сенсi означення 5 оператором A \in L(C0, C0). Оператору A
поставимо у вiдповiднiсть замикання множини \{ ShAS - h : h \in \BbbR \} у просторi L(C0, C0), яке
позначимо через \scrH (A).
Означення 8. \scrH -класом рiвняння (3) називається множина рiвнянь
dx
dt
= \~Ax, (4)
де \~A \in \scrH (A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 955
Розглянемо диференцiально-функцiональне рiвняння
dx
dt
= Ax+ y, (5)
де A : C0 \rightarrow C0 — оператор, що i в рiвняннi (3), i y \in S0.
Метою статтi є знаходження для (5) умов без використання \scrH -класу рiвняння (3), при
виконаннi яких рiвняння (5) для кожної функцiї y \in S0 має єдиний розв’язок x \in S1, що є
майже перiодичним, якщо y \in B0.
2. Теореми Фавара i Мухамадiєва та iншi допомiжнi твердження. Спочатку наведемо
потрiбнi для подальшого два твердження, в яких банаховий простiр E вважається скiнченно-
вимiрним, а оператор A \in L(C1, C), що розглядається в першому твердженнi, має вигляд
(Ax)(t) = B(t)x(t),
де B(t) — неперервна майже перiодична в сенсi означення 1 функцiя зi значеннями в L(E,E).
Теорема 1 (Фавар [2, 19]). Якщо рiвняння (4) для кожного \~A \in \scrH (A) не має обмежених
ненульових розв’язкiв, то для рiвняння (5), де y \in C0, його обмежений розв’язок, якщо вiн
iснує, є майже перiодичним.
Теорема 2 (Мухамадiєв [3]). Нехай майже перiодичний у сенсi означення 2 оператор A \in
\in L(C0, C0) є c-неперервним i рiвняння (4) не має ненульових розв’язкiв у C0 для всiх \~A \in \scrH (A).
Тодi рiвняння (5) для кожної функцiї y \in C0 має єдиний розв’язок x \in C0, який майже
перiодичний, якщо y \in B0.
Очевидно, що теорема Мухамадiєва узагальнює i посилює теорему Фавара.
У подальшому банаховий простiр E буде нескiнченновимiрним, оператор A буде задо-
вольняти менше умов, нiж у теоремi Мухамадiєва, i при дослiдженнi рiвняння (5) не буде
використовуватися \scrH -клас рiвняння (3).
Перш нiж сформулювати основний результат, наведемо чотири допомiжнi твердження.
Теорема 3. Нехай K належить \scrK a.v.. Множини S0, S0
K i S1, S1
K — пiдпростори про-
сторiв C0 i C1 вiдповiдно.
Доведення. Доведення того, що S0 — пiдпростiр простору C0, повторює доведення анало-
гiчного твердження у випадку E = l1 [15], тому ми його не наводимо.
Доведемо, що S1 — пiдпростiр простору C1.
Очевидно, що x+ y, \alpha x \in S1, якщо x, y \in S1 i \alpha \in \BbbK . Тому S1 — векторний простiр. Цей
простiр, очевидно, також є нормованим простором iз нормою \| \cdot \| C1 .
Покажемо, що простiр S1 є повним, тобто замикання множини значень кожного елемента
множини S1 є компактною множиною (S1 — замикання множини S1 у просторi C1).
Нехай z належить S1 i \varepsilon — довiльне додатне число. Iснує елемент w \in S1, для якого
\| z - w\| C1 <
\varepsilon
2
,
i тому
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\| a - b\| E : a \in R(z), b \in R(w)
\Bigr\}
<
\varepsilon
2
, (6)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Biggl\{
\| a - b\| E : a \in R
\biggl(
dz
dt
\biggr)
, b \in R
\biggl(
dw
dt
\biggr) \Biggr\}
<
\varepsilon
2
. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
956 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Нехай M1 i M2 — скiнченнi
\varepsilon
2
-сiтки [20] для компактних множин R(w) i R
\biggl(
dw
dt
\biggr)
вiдповiдно.
Тодi на пiдставi (6) i (7) множини M1 i M2 — скiнченнi \varepsilon -сiтки для множин R(z) и R
\biggl(
dz
dt
\biggr)
вiдповiдно.
Отже, завдяки довiльностi вибору числа \varepsilon > 0 множини R(z) i R
\biggl(
dz
dt
\biggr)
компактнi, i тому
S1 — пiдпростiр банахового простору C1.
Множини S0
K i S1
K також є пiдпросторами просторiв C0 i C1 вiдповiдно, що встановлю-
ється аналогiчним чином. Потрiбно використати абсолютну опуклiсть множини K \in \scrK a.v., на
пiдставi якої x+ y, \alpha x \in S0
K , якщо x, y \in S0
K i \alpha \in \BbbK , i x+ y, \alpha x \in S1
K , якщо x, y \in S1
K i
\alpha \in \BbbK .
Теорему 3 доведено.
У подальшому також будемо використовувати твердження про локально збiжнi послiдов-
ностi елементiв просторiв S0 i S1.
Розглянемо один клас допомiжних операторiв. Кожному n \in \BbbN поставимо у вiдповiднiсть
функцiю pn \in C1 (у випадку E = \BbbR ) i оператор Pn \in L(C0, C0)
\bigcup
L(C1, C1) рiвностями
pn(t) =
\left\{
1, якщо | t| \leq n,
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
| t| - n
2
, якщо | t| \in (n, n+ \pi ],
0, якщо | t| \geq n+ \pi ,
i
(Pnx)(t) = pn(t)x(t).
Очевидно, що \| pn\| C0 = \| pn\| C1 = 1, \| Pn\| L(C0,C0) = 1 i \| Pn\| L(C1,C1) = 2 для всiх n \geq 1.
Теорема 4. Нехай X належить \{ C0, C1,S0,S1,S0
K ,S1
K\} , K \in \scrK v, (xk)k\geq 1 — обме-
жена послiдовнiсть елементiв простору X i для кожного n \in \BbbN послiдовнiсть (Pnxk)k\geq 1
передкомпактна в X.
Тодi iснують строго зростаюча послiдовнiсть (kl)l\geq 1 натуральних чисел i елемент x \in X,
для яких
xkl
loc, X - - - \rightarrow x при l \rightarrow \infty (8)
i
\| x\| X \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
l\geq 1
\| xkl\| X. (9)
Доведення. На пiдставi умов теореми iснують збiжнi послiдовностi
P1xk1,1 , P1xk1,2 , . . . , P1xk1,m , . . . ,
P2xk2,1 , P2xk2,2 , . . . , P2xk2,m , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pmxkm,1 , Pmxkm,2 , . . . , Pmxkm,m , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 957
для яких послiдовностi (kl,p)p\geq 1, l \in \BbbN , є строго зростаючими i
\{ kl,p : p \in \BbbN \} \supset \{ kl+1,p : p \in \BbbN \} (10)
для кожного l \in \BbbN .
Позначимо через bm границю \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}p\rightarrow \infty Pmxkm,p , яка, очевидно, є елементом простору X.
Завдяки властивостям послiдовностей, що розглядаються, для кожного k \in \BbbN
Pkbm1 = Pkbm2 ,
якщо k < m1 < m2. Тому iснує такий елемент b \in X, що
Pmb = Pmbm+1
для всiх m \geq 1.
Iз (10) випливає, що
kq,q \in \{ km,p : p \in \BbbN \}
для q \geq m i m \in \BbbN . Тому послiдовнiсть
Pnxk1,1 , Pnxk2,2 , . . . , Pnxkq,q , . . .
є збiжною для кожного n \in \BbbN i, отже,
xkq,q
loc, X - - - \rightarrow b при q \rightarrow \infty , (11)
тобто для послiдовностi (xkq,q)q\geq 1 виконується спiввiдношення (8).
Нерiвнiсть (9) для послiдовностi (xkq,q)q\geq 1 випливає з (11).
Теорему 4 доведено.
Теорема 5. Нехай K \in \scrK a.v. i (xk)k\geq 1 — обмежена послiдовнiсть елементiв просто-
ру S1
K .
Тодi iснують строго зростаюча послiдовнiсть (kl)l\geq 1 натуральних чисел i елемент x \in S0
K ,
для яких виконуються спiввiдношення (8) i (9) при X = S0
K .
Завдяки умовам теореми для кожного n \in \BbbN сiм’я \{ Pnxk : k \geq 1\} \subset S0
K функцiй Pnxk
є рiвномiрно обмеженою i рiвностепенево неперервною на \BbbR . Отже, на пiдставi узагальненої
теореми Арцела (див. [20, с. 110]) для кожного n \in \BbbN послiдовнiсть (Pnxk)k\geq 1 передкомпактна
в S0
K . Тому теорема 5 є окремим випадком теореми 4.
Далi наведемо ще одне важливе для подальшого твердження.
Розглянемо визначену i неперервну разом iз похiдною першого порядку функцiю q = q(t),
для якої q(t) = 1, якщо | t| \leq 1/2, q(t) = 0, якщо | t| \geq 1, i 0 \leq q(t) \leq 1 для всiх t \in [ - 1, 1].
Визначимо оператор Q\varepsilon ,\tau \in L(S1,S0) рiвнiстю
(Q\varepsilon ,\tau x)(t) = q(\varepsilon (t - \tau ))x(t).
Теорема 6. Нехай (S1,S0)-майже перiодичний оператор D \in L(S1,S0) є c-неперерв-
ним.
Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| Q\varepsilon ,TDx - DQ\varepsilon ,Tx\| S0 = 0. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
958 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Оскiльки завдяки (S1,S0)-майже перiодичностi оператора D замикання
\{ ShDS - h : h \in \BbbR \} множини \{ ShDS - h : h \in \BbbR \} у просторi L(S1,S0) компактне в цьому
просторi, то на пiдставi c-неперервностi всiх елементiв множини \{ ShDS - h : h \in \BbbR \}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in \BbbR , \| x\| S1=1
\| (Dx)(\tau ) - (DQ\varepsilon ,\tau x)(\tau )\| S0 = 0. (13)
Зафiксуємо довiльнi числа \delta > 0 i \varepsilon > 0. Розглянемо величини
\alpha (\delta , \varepsilon ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau ,T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| (DQ\varepsilon ,Tx)(\tau ) - (DQ\delta ,\tau Q\varepsilon ,Tx)(\tau )\| E ,
\beta (\delta , \varepsilon ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau ,T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| q(\varepsilon (\tau - T ))(Dx)(\tau ) - q(\varepsilon (\tau - T ))(DQ\delta ,\tau x)(\tau )\| E
i
\gamma (\delta , \varepsilon ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau ,T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| (DQ\delta ,\tau (Q\varepsilon ,T - Q\varepsilon ,\tau )x)(\tau )\| E .
На пiдставi нерiвностi трикутника
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| Q\varepsilon ,TDx - DQ\varepsilon ,Tx\| S0 \leq \alpha (\delta , \varepsilon )+
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau ,T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| q(\varepsilon (\tau - T ))(Dx)(\tau ) - (DQ\delta ,\tau Q\varepsilon ,Tx)(\tau )\| E \leq \alpha (\delta , \varepsilon ) + \beta (\delta , \varepsilon )+
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau ,T\in \BbbR , \| x\| S1=1
\| (DQ\delta ,\tau (Q\varepsilon ,T - Q\varepsilon ,\tau )x)(\tau )\| E = \alpha (\delta , \varepsilon ) + \beta (\delta , \varepsilon ) + \gamma (\delta , \varepsilon ).
Наведенi нерiвностi виконуються для всiх \delta > 0 i \varepsilon > 0. Звiдси i зi спiввiдношень
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0
\alpha (\delta , \varepsilon ) = 0 для всiх \varepsilon > 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0
\beta (\delta , \varepsilon ) = 0 для всiх \varepsilon > 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\gamma (\delta , \varepsilon ) = 0 для всiх \delta > 0,
що випливають iз (13), отримуємо (12).
Теорему 6 доведено.
Зауваження 1. У теоремi 6 i в доведеннi цiєї теореми простори S0 i S1 можна замiнити
просторами S0
K i S1
K вiдповiдно для кожного K \in \scrK a.c..
3. Основний результат. Основним результатом статтi є наступне твердження.
Теорема 7. Нехай оператор A \in L(C0, C0) є (S0,S0)-майже перiодичним, c-неперерв-
ним i для кожної компактної множини C \in \scrK iснують абсолютно опукла компактна множина
K \in \scrK a.c. i додатне число \omega , для яких C \subset K i A\frakD 0
K \subset \omega \frakD 0
K (множину всiх таких абсолютно
опуклих множин позначимо через \scrK A
a.c.).
Для того щоб рiвняння (5) для кожного y \in S0 мало єдиний розв’язок x \in S1 i x \in B1,
якщо y \in B0, необхiдно i достатньо, щоб
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt - Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
> 0 (14)
для кожного K \in \scrK A
a.c..
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 959
Очевидно, що спiввiдношення (14) рiвносильне спiввiдношенню
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt - A| S0
K
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakD 0
K
> 0 (15)
для кожного K \in \scrK A
a.c., де A| S0
K
— звуження A на S0
K .
Доведення. Достатнiсть. Зафiксуємо довiльний елемент y \in S0. Для передкомпактної
множини R(y) iснують абсолютно опукла компактна множина K \in \scrK A
a.c., для якої R(y) \subset K
(тодi y \in \frakD 0
K ), i число \omega > 0, для яких A\frakD 0
K \subset \omega \frakD 0
K .
Для рiвняння (5) розглянемо допомiжне рiвняння
dx
dt
= A| S0
K
x+ y, (16)
де звуження A| S0
K
оператора A на простiр S0
K є c-неперервним елементом простору
L(S0
K ,S0
K). Завдяки умовам теореми iснує строго зростаюча i необмежена послiдовнiсть
(\omega l)l\geq 1 дiйсних чисел, бiльших за 1, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in S0
K , \| x\|
S0
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| S\omega l
A| S0
K
S - \omega l
x - A| S0
K
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0. (17)
Позначимо через Sk
K,\omega l
, k \in \{ 0, 1\} , банаховий пiдпростiр простору Sk
K \omega l -перiодичних
функцiй з нормою \| \cdot \| Sk
K,\omega l
= \| \cdot \| Sk
K
.
Визначимо оператор A\omega l
\in L(S0
K,\omega l
,S0
K,\omega l
) рiвнiстю (A\omega l
x)(t) = y(t), де y(t) — \omega l -перiо-
дична функцiя, що задається на вiдрiзку [0, \omega l] формулою
y(t) =
\left\{
\Bigl(
A| S0
K
x
\Bigr)
(t) при t \in [1/l, \omega l] ,
(1 - lt)
\Bigl(
A| S0
K
x
\Bigr)
(t+ \omega l) + lt
\Bigl(
A| S0
K
x
\Bigr)
(t) при t \in [0, 1/l) .
Iз спiввiдношення (17) випливає, що iснує послiдовнiсть (\alpha l)l\geq 1 додатних чисел \alpha l \rightarrow +\infty ,
для яких \alpha l < \omega l, l \geq 1, i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in S0
K,\omega l
, \| x\|
S0
K,\omega l
=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [ - \alpha l,\omega l]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (A\omega l
x)(t) -
\Bigl(
A| S0
K
x
\Bigr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
= 0. (18)
Покажемо, що для деякого числа d > 0 виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\|
S1
K,\omega l
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A\omega l
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K,\omega l
\geq d. (19)
Припустимо протилежне, тодi на пiдставi (18) iснують послiдовнiсть (lk)k\geq 1 натуральних
чисел lk (lk \geq k, k \geq 1) i послiдовнiсть (zk)k\geq 1 функцiй zk \in S1
K,\omega lk
(\| zk\| S1
K,\omega lk
= 1, k \geq 1),
для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [ - \alpha lk
,\omega lk
]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( \biggl( d
dt
- A| S0
K
\biggr)
zk
\biggr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
= 0. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
960 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Завдяки включенню zk \in S1
K,\omega lk
знайдеться число sk \in [ - \alpha lk/2, \omega lk - \alpha lk/2], для якого
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\| zk(sk)\| E ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dzk(sk)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\biggr\}
= 1. (21)
Розглянемо функцiю qk = q
\biggl(
2
\alpha lk
(t - sk)
\biggr)
. Iз (20) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| qk \biggl( d
dt
- A| S0
K
\biggr)
zk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0.
Тому на пiдставi теореми 6 i зауваження 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| qk \biggl( d
dt
- A| S0
K
\biggr)
zk -
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
qkzk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0.
Теорему 6 i зауваження 1 можна застосовувати, оскiльки на пiдставi того, що оператор A| S0
K
:
S0
K \rightarrow S0
K є (S0
K ,S0
K)-майже перiодичним i c-неперервним, оператор
d
dt
- A : S1
K \rightarrow S0
K є
(S1
K ,S0
K)-майже перiодичним i c-неперервним. Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A| S0
K
\biggr)
qkzk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0,
що суперечить (14), оскiльки завдяки (21) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \| qkzk\| S1
K
\in [1, 2].
Отже, припущення про невиконання спiввiдношення (19) є хибним.
Не обмежуючи загальностi доведення можна вважати, що замiсть спiввiдношення (19) ви-
конується спiввiдношення
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\|
S1
K,\omega l
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A\omega l
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K,\omega l
\geq d, l \geq 1. (22)
Далi покажемо, що рiвняння (16) iз зафiксованим довiльним елементом y \in S0 (y \in \frakD 0
K )
має єдиний розв’язок x \in S1
K . Якщо y — нульовий елемент простору S0
K , то, очевидно,
завдяки (14) рiвняння (16) має лише нульовий розв’язок x \in S1
K . Будемо вважати, що y \not = 0.
Вiзьмемо довiльну послiдовнiсть функцiй yk \in S0
K,\omega lk
, k \geq 1, для якої
\| yk\| S0
K,\omega lk
\leq \| y\| S0
K,\omega lk
, k \geq 1, (23)
i
yk
loc, S0
K - - - - - \rightarrow y при k \rightarrow \infty . (24)
Розглянемо рiвняння
dx(t)
dt
- (A\omega lk
x)(t) = yk(t). (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 961
Тут оператор A\omega lk
: S1
K,\omega lk
\rightarrow S0
K,\omega lk
цiлком неперервний (на пiдставi узагальненої теореми
Арцела), оскiльки кожна обмежена множина елементiв x \in S1
K,\omega lk
є рiвностепенево неперерв-
ною пiдмножиною простору S0
K,\omega lk
. Тому рiвняння (25) на пiдставi (22) має єдиний розв’язок
xk \in S1
K,\omega lk
, причому
\| xk\| S1
K,\omega lk
\leq
\| y\| S0
K,\omega lk
d
, k \geq 1. (26)
Справдi, задача про iснування розв’язкiв рiвняння (25) у просторi S1
K,\omega lk
зводиться до
дослiдження iнтегрального рiвняння
x(t) =
t\int
- \infty
e - (t - s)
\Bigl[
x(s) + (A\omega lk
x)(s)
\Bigr]
ds+
t\int
- \infty
e - (t - s)yk(s) ds (27)
iз цiлком неперервним оператором \frakA k : S1
K,\omega lk
\rightarrow S1
K,\omega lk
, що визначається рiвнiстю
(\frakA kx)(t) =
t\int
- \infty
e - (t - s)
\Bigl[
x(s) + (A\omega lk
x)(s)
\Bigr]
ds.
Цiлковита неперервнiсть оператора \frakA k : S1
K,\omega lk
\rightarrow S1
K,\omega lk
випливає з того, що оператор
(Dkx)(t) = x(t) + (A\omega lk
x)(t)
є цiлком неперервним елементом простору L
\Bigl(
S1
K,\omega lk
,S0
K,\omega lk
\Bigr)
. На пiдставi повної неперерв-
ностi оператора \frakA k рiвняння (27) є фредгольмовим [21], i тому завдяки (22) рiвняння (27),
а отже i рiвняння (25), для кожної функцiї yk \in S0
K,\omega lk
має єдиний розв’язок xk \in S1
K,\omega lk
.
Спiввiдношення (26) випливає iз спiввiдношень (22) i (23).
Iз спiввiдношень (24) – (26) i теореми 5 випливає, що iснують такi функцiя u \in S0
K i строго
зростаюча послiдовнiсть (kn)n\geq 1 натуральних чисел, що
xkn
loc, S0
K - - - - - \rightarrow u при n \rightarrow \infty . (28)
Оскiльки xk — розв’язок рiвняння (25), то завдяки цьому рiвнянню
xkn(t) - xkn(0) -
t\int
0
\Bigl(
A| S0
K
xkn
\Bigr)
(s)ds -
t\int
0
\Bigl( \Bigl(
A\omega lkn
- A| S0
K
\Bigr)
xkn
\Bigr)
(s)ds =
t\int
0
ykn(s) ds
для всiх t \in \BbbR . Тому на пiдставi (24), (18), (28) i c-неперервностi оператора A| S0
K
u(t) - u(0) -
t\int
0
\Bigl(
A| S0
K
u
\Bigr)
(s)ds =
t\int
0
y(s) ds
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
962 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
для всiх t \in \BbbR . Звiдси випливає, що функцiя u(t) є неперервно диференцiйовною на \BbbR i
du(t)
dt
-
\Bigl(
A| S1
K
u
\Bigr)
(t) \equiv y(t).
Таким чином, показано, що для кожної функцiї y \in S0
K рiвняння (16), тобто рiвняння
(5) у просторi S1
K , має розв’язок u \in S1
K . Завдяки (14) цей розв’язок єдиний. Отже, опе-
ратор
d
dt
- A| S0
K
: S1
K \rightarrow S0
K на пiдставi теореми Банаха про обернений оператор [20] має
неперервний обернений
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
.
Далi покажемо, що \biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
B0 \subset B1. (29)
Спочатку покажемо, що оператор
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
: S0
K \rightarrow S1
K майже перiодичний. Iз рiвно-
стей
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau = S\tau
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
S - \tau , S
- 1
\tau = S - \tau , де \tau \in \BbbR , випливає, що оператор
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau має неперервний обернений
\biggl(
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau
\biggr) - 1
,
\biggl(
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau
\biggr) - 1
=
= S\tau
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
S - \tau i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(S0
K ,S1
K)
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(S0
K ,S1
K)
(30)
для всiх \tau \in \BbbR .
Використаємо замкненi множини
\scrH S1
K ,S0
K
=
\biggl\{
Sh
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
S - h : h \in \BbbR
\biggr\}
i
\scrH S0
K ,S1
K
=
\Biggl\{
Sh
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
S - h : h \in \BbbR
\Biggr\}
у просторах L(S1
K ,S0
K) i L(S0
K ,S1
K) вiдповiдно. Перша iз цих множин компактна. Покажемо,
що друга множина має таку ж властивiсть.
Розглянемо довiльну послiдовнiсть (Dn)n\geq 1 елементiв Dn \in \scrH S0
K ,S1
K
. Iснує така послiдов-
нiсть (\tau n)n\geq 1 дiйсних чисел, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Dn -
\biggl(
d
dt
- S\tau nA| S0
K
S - \tau n
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(S0
K ,S1
K)
<
1
n
, n \geq 1. (31)
Iз компактностi множини \scrH S1
K ,S0
K
випливає iснування оператора B \in \scrH S1
K ,S0
K
i строго зро-
стаючої послiдовностi натуральних чисел nk, для яких
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 963
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| B -
\biggl(
d
dt
- S\tau nk
A| S0
K
S - \tau nk
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(S1
K ,S0
K)
= 0. (32)
Iз спiввiдношень (30), (32) i рiвностей\biggl(
d
dt
- S\tau A| S0
K
S - \tau
\biggr)
S1
K = S\tau
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
S - \tau S
1
K =
= S\tau
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
S1
K = S\tau S
0
K = S0
K , \tau \in \BbbR ,
випливає, що оператор B має неперервний обернений B - 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
d
dt
- S\tau nk
A| S0
K
S - \tau nk
\biggr) - 1
- B - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(S0
K ,S1
K)
= 0
i
B - 1 \in \scrH S1
K ,S0
K
.
Тодi завдяки (31)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| Dnk
- B - 1
\bigm\| \bigm\|
L(S0
K ,S1
K)
= 0,
що доводить компактнiсть множини \scrH S0
K ,S1
K
. Отже,
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
— майже перiодичний
елемент простору L(S0
K ,S1
K).
Тепер доведемо включення (29).
Нехай y \in B0. Покажемо, що
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
y \in B1, тобто замикання M множини M =
=
\Biggl\{
S\tau
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
y : \tau \in \BbbR
\Biggr\}
в B1 компактне в B1. Позначимо через \scrH B0(y) замикання
множини \{ S\tau y : \tau \in \BbbR \} в B0. Очевидно, що M \subset N , де N = \{ Bz : B \in \scrH S0
K ,S1
K
, z \in \scrH B0(y)\} .
Оскiльки множина \scrH S0
K ,S1
K
компактна в L(S0
K ,S1
K), а множина \scrH B0(y) компактна в B0 зав-
дяки включенню y \in B0, то множина N компактна в B1, тобто
\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr) - 1
y \in B1.
Таким чином, достатнiсть доведено.
Необхiднiсть. Нехай рiвняння (5) для кожного y \in S0 має єдиний розв’язок x \in S1 i x \in
\in B1, якщо y \in B0. Тодi оператор
d
dt
- A : S1 \rightarrow S0 має неперервний обернений
\biggl(
d
dt
- A
\biggr) - 1
i, отже,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1, \| x\| S1=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
> 0.
Оскiльки для всiх K \in \scrK A
a.c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
964 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A| S0
K
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
\geq
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1, \| x\| S1=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( d
dt
- A
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
,
то необхiднiсть доведено.
Теорему 7 доведено.
Окремими випадками теореми 7 є такi два твердження.
Наслiдок 1. Нехай звуження A| S0 оператора A \in L(C0, C0) на простiр S0 є автономним
c-неперервним елементом простору L(S0,S0) i AS0 \subset S0.
Для того щоб рiвняння (5) для кожного y \in S0 мало єдиний розв’язок x \in S1 i x \in B1,
якщо y \in B0, необхiдно i достатньо, щоб\biggl(
d
dt
- A
\biggr)
z \not = 0 (33)
для всiх ненульових z \in S1.
Доведення. Очевидно, що достатньо показати рiвносильнiсть спiввiдношень (15) i (33).
Iз (15), очевидно, випливає (33).
Покажемо, що з (33) випливає (15). Припустимо, що для деякого K \in \scrK A
a.c.
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt - A| S0
K
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0. (34)
Завдяки автономностi оператора A| S0 iснують нормована послiдовнiсть (xn)n\geq 1 елементiв
простору S1 i число \delta > 0, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxndt
- A| S0
K
xn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
= 0
i
\| xn(0)\| E \geq \delta , n \geq 1.
Не обмежуючи загальностi доведення можна вважати, що на пiдставi теореми 5 iснує функцiя
u \in S0
K , для якої
xn
loc, S0
K - - - - - \rightarrow u при n \rightarrow \infty
i
\delta \leq \| u\| S0
K
\leq 1.
Аналогiчно, як i при доведеннi достатностi теореми 7 з урахуванням c-неперервностi оператора
A| S0 , переконуємося в тому, що u належить S1
K i\biggl(
d
dt
- A| S0
K
\biggr)
u = 0.
Отримана рiвнiсть суперечить (33).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 965
Отже, припущення про виконання спiввiдношення (34) для деякого K \in \scrK A
a.c. є хибним.
Таким чином, спiввiдношення (15) i (33) рiвносильнi. Звiдси випливає твердження наслiд-
ку 1.
Наслiдок 2. Нехай оператор A \in L(C0, C0) для деякого K \in \scrK A
a.c. є (S0
K ,S0
K)-майже
перiодичним i звуження A| S0
K
оператора A на простiр S0
K є c-неперервним елементом про-
стору L(S0
K ,S0
K).
Для того щоб рiвняння (5) для кожного y \in S0
K мало єдиний розв’язок x \in S1
K i x \in B1,
якщо y \in B0, необхiдно i достатньо, щоб
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S1
K , \| x\|
S1
K
=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt - Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S0
K
> 0.
Зауваження 2. Теорема 7 i, зокрема, наслiдок 2 узагальнюють теорему Мухамадiєва (те-
орему 2), оскiльки, наприклад, у наслiдку 2 множина K \in \scrK A
a.c. може не бути пiдмножиною
скiнченновимiрного простору. Також важливою властивiстю цих тверджень є те, що в них не
використовується \scrH -клас рiвняння (3).
4. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Основнi результати статтi (теорема
7 i наслiдки 1, 2) є важливим доповненням до дослiджень майже перiодичностi обмеже-
них розв’язкiв лiнiйних i нелiнiйних рiвнянь без використання \scrH -класiв вiдповiдних рiвнянь
[6 – 16].
Теорема 7 i наслiдок 2 узагальнюють теорему Мухамадiєва (теорему 2) про оборотнiсть
майже перiодичних у сенсi означення 2 диференцiально-функцiональних операторiв у просторi
обмежених на осi функцiй зi значеннями в скiнченновимiрному просторi E (у теоремi 7 та
наслiдку 2 простiр E нескiнченновимiрний i не використовуються \scrH -класи дослiджуваних
рiвнянь).
Усi наведенi в п. 3 результати про iснування й єдинiсть обмежених i майже перiодичних
розв’язкiв лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь є новими, оскiльки банаховий
простiр E нескiнченовимiрний. На вiдмiну вiд теорем Фавара [1, 2, 19], Амерiо [22, 23] i
Мухамадiєва [3, 4] в теоремi 7 i наслiдку 2 не використовуються \scrH -класи вiдповiдних рiвнянь.
Самостiйний iнтерес мають означення 5 (Sk,Sm)-майже перiодичного оператора i теореми
4 – 6.
Дослiдженню майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Для звичайних лi-
нiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi
Фаваром у роботi [19], а для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [22]. У
цих працях суттєво використовуються \scrH -класи дослiджуваних рiвнянь, а в [22] — також вимога
вiдокремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара суттєво покращенi Е. Му-
хамадiєвим [3, 4]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено статтi [24 – 26]. Важливi
результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [1], М. А. Шубiну [27] i В. В. Жи-
кову [28].
Необхiднi i достатнi умови iснування й єдиностi обмежених i майже перiодичних розв’язкiв
нелiнiйного диференцiального рiвняння
dx(t)
dt
+ f(x(t) + h1(t)) = h2(t), t \in \BbbR ,
де f : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервне вiдображення i h1, h2 — елементи простору C0 або B0 при E = \BbbR ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
966 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
розглянуто у [29] (у випадку h1(t) \equiv 0), у [30] (у випадку h2(t) \equiv 0) i в [31] (у випадку
| h1(t)| + | h2(t)| \not \equiv 0).
Лiтература
1. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
3. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
4. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
5. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. – М.: Мир, 1967. – 258 с.
6. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних дискретних систем, що можуть не бути майже
перiодичними за Бохнером // Нелiнiйнi коливання. – 2014. – 17, № 3. – С. 407 – 418.
7. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь, що можуть не бути майже перiодичними
за Бохнером // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 2. – С. 230 – 244.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з непе-
рервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 118 – 124.
9. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
10. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з диск-
ретним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
11. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 384 – 393.
12. Slyusarchuk V. Yu. Almost periodic solutions of difference equations with discrete argument on metric space // Miskolc
Math. Notes. – 2014. – 15, № 1. – P. 211 – 215.
13. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не исполь-
зующее \scrH -классы этих уравнений // Мат. сб. – 2014. – 205, № 6. – С. 139 – 160.
14. Слюсарчук В. Е. Условия почти периодичности ограниченных решений нелинейных дифференциально-
разностных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2014. – 78, № 6. – С. 179 – 192.
15. Слюсарчук В. Е. К теории Фавара для функциональных уравнений // Сиб. мат. журн. – 2017. – 58, № 1. –
С. 206 – 218.
16. Слюсарчук В. Ю. Теорiя Фавара – Амерiо для майже перiодичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь без
використання \scrH -класiв цих рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 6. – С. 788 – 802.
17. Слюсарчук В. Е. Метод c-непрерывных операторов в теории импульсных систем // Тез. докл. Всесоюз. конф.
по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. – 1987. – С. 102 – 103.
18. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения импульсных систем // Мат. физика и нелинейная механика. –
1991. – Вып. 15(49). – С. 32 – 35.
19. Favard J. Sur les \'\mathrm{e}quations diff\'\mathrm{e}rentielles \`\mathrm{a} coefficients presquep\'\mathrm{e}riodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. –
496 с.
21. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
22. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
Mat. Pura ed Appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
23. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. Mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
24. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116, № 4.– С. 483 – 501.
25. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130, № 1. – С. 86 – 104.
26. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ДО ТЕОРIЇ ФАВАРА БЕЗ \scrH -КЛАСIВ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 967
27. Шубин М. А. Почти периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными //
Успехи мат. наук. – 1978. – 28, вып. 2. – С. 3 – 47.
28. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае про-
извольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
29. Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and almost-periodic
solutions of nonlinear differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 65, № 1–3. – P. 333 – 341.
30. Слюсарчук В. Ю. Умови розв’язностi нелiнiйних диференцiальних рiвнянь зi збуренням розв’язкiв у просторi
обмежених на осi функцiй // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 9. – С. 1286 – 1296.
31. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных реше-
ний уравнения
dx(t)
dt
= f(x(t) + h1(t)) + h2(t) // Мат. сб. – 2017. – 208, № 2. – С. 88 – 103.
Одержано 20.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1489 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5d/c306e32cf676a7791cf53f10ac1e905d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14892019-12-05T08:57:08Z On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations in Banach spaces До теорії Фавара без $H$ -класів для диференціально-функціональних рівнянь у банаховому просторі Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. UDC 517.937 We obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions bounded on the real axis with precompact sets of values of linear almost periodic differential-functional equations in Banach spaces. УДК 517.937 Отримано необхiднi й достатнi умови iснування й єдиностi обмежених на числовiй осi розв’язкiв iз передкомпактними множинами значень лiнiйних майже перiодичних диференцiально-функцiональних рiвнянь у банаховому просторi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1489 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 952-967 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 952-967 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1489/473 Copyright (c) 2019 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations in Banach spaces |
| title | On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations
in Banach spaces |
| title_alt | До теорії Фавара без $H$ -класів для диференціально-функціональних
рівнянь у банаховому просторі |
| title_full | On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations
in Banach spaces |
| title_fullStr | On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations
in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations
in Banach spaces |
| title_short | On the Favard theory without $H$ -classes for differential-functional equations
in Banach spaces |
| title_sort | on the favard theory without $h$ -classes for differential-functional equations
in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1489 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu onthefavardtheorywithouthclassesfordifferentialfunctionalequationsinbanachspaces AT slûsarčukvû onthefavardtheorywithouthclassesfordifferentialfunctionalequationsinbanachspaces AT slyusarchukvyu doteoríífavarabezhklasívdlâdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT slûsarčukvû doteoríífavarabezhklasívdlâdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí |