Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains
UDC 517.54 We consider the problem of maximum of the functional $$ r^\gamma\left(B_0,0\right)\prod\limits_{k=1}^n r\left(B_k,a_k\right), $$ where $B_{0},\ldots,B_{n}$, $n\geq 2$, are pairwise disjoint domains in $\overline{\mathbb{C}},$ $a_0=0,$ $|a_{k}|=1$, $k=\overline{1,n},$ and $\gamma\in (0, n...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1492 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507279702360064 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Денега, И. В. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Денега, И. В. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:08Z |
| description | UDC 517.54
We consider the problem of maximum of the functional
$$
r^\gamma\left(B_0,0\right)\prod\limits_{k=1}^n r\left(B_k,a_k\right),
$$
where $B_{0},\ldots,B_{n}$, $n\geq 2$, are pairwise disjoint
domains in $\overline{\mathbb{C}},$ $a_0=0,$ $|a_{k}|=1$,
$k=\overline{1,n},$ and $\gamma\in (0, n]$ ($r(B,a)$ is the inner
radius of the domain $B\subset\overline{\mathbb{C}}$ with respect to
$a$).
Show that it attains its maximum at a configuration of domains $B_{k}$ and points $a_{k}$ possessing rotational $n$-symmetry.
This problem was solved by Dubinin for $\gamma=1$ and by Kuz’mina for
$0 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.54
А. К. Бахтин, И. В. Денега (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ
НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ
We consider the problem of maximum of the functional
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r (Bk, ak) ,
where B0, . . . , Bn , n \geq 2, are pairwise disjoint domains in \BbbC , a0 = 0, | ak| = 1, k = 1, n, and \gamma \in (0, n] (r(B, a) is
the inner radius of the domain B \subset \BbbC with respect to a). Show that it attains its maximum at a configuration of domains
Bk and points ak possessing rotational n-symmetry. This problem was solved by Dubinin for \gamma = 1 and by Kuz’mina
for 0 < \gamma < 1. Later, Kovalev solved this problem for n \geq 5 under an additional assumption that the angles between
neighboring linear segments [0, ak] do not exceed 2\pi /
\surd
\gamma . We generalize this problem to the case of arbitrary locations
of the systems of points in the complex plane and obtain some estimates for the functional for all n and \gamma \in (1, n].
Розглядається задача про максимум функцiонала
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak),
де B0, . . . , Bn, n \geq 2, — областi в \BbbC , що взаємно не перетинаються, a0 = 0, | ak| = 1, k = 1, n, i \gamma \in (0, n]
(r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B \subset \BbbC вiдносно a). Потрiбно показати, що максимум досягається при
конфiгурацiї областей Bk i точок ak, якi мають n-кратну симетрiю. В. М. Дубiнiн розв’язав її при \gamma = 1,
Г. В. Кузьмiна — при 0 < \gamma < 1. Пiзнiше Л. В. Ковальов розв’язав цю задачу при n \geq 5 i додатковому припущеннi,
що кути мiж сусiднiми вiдрiзками [0, ak] не перевищують 2\pi /
\surd
\gamma . У статтi цю задачу узагальнено на випадок
довiльного розташування систем точок на комплекснiй площинi й отримано деякi оцiнки функцiонала для всiх n i
\gamma \in (1, n].
Задачи о максимизации произведения внутренних радиусов непересекающихся областей хо-
рошо известны в геометрической теории функций комплексной переменной [1 – 16]. Одна из
задач такого рода рассматривается в данной статье. Пусть \BbbC — комплексная плоскость, \BbbC =
= \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — одноточечная компактификация комплексной плоскости или сфера Римана, \BbbN ,
\BbbR — множества натуральных и вещественных чисел соответственно, \BbbR + = (0,\infty ). Величина
r(B, a) обозначает внутренний радиус области B \subset \BbbC относительно точки a \in B. Внутренний
радиус области B связан с обобщенной функцией Грина gB(z, a) области B соотношениями
gB(z, a) = - \mathrm{l}\mathrm{n} | z - a| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B, a) + o(1), z \rightarrow a,
gB(z,\infty ) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B,\infty ) + o(1), z \rightarrow \infty .
Систему точек An :=
\bigl\{
ak \in \BbbC , k = 1, n
\bigr\}
, n \in \BbbN , n \geq 2, назовем n-лучевой, если | ak| \in
\in \BbbR + при k = 1, n и 0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 < . . . < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an < 2\pi . Введем обозначения an+1 := a1,
\alpha k :=
1
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
ak+1
ak
, \alpha n+1 := \alpha 1, k = 1, n,
\sum n
k=1
\alpha k = 2.
Рассмотрим следующую экстремальную задачу со свободными полюсами на \BbbC .
c\bigcirc А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА, 2019
996 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 997
Задача. При всех фиксированных значениях параметра \gamma \in (0, n] и R \in \BbbR + найти максимум
функционала
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak), (1)
где n \in \BbbN , n \geq 2, a0 = 0, | ak| \in \BbbR +, 0 < | ak| \leq R, k = 1, n, — такая система различных точек,
что
\prod n
k=1
| ak| \leq 1, \{ Bk\} nk=0 — система взаимно непересекающихся областей (т. е. Bp\cap Bj = \varnothing
при p \not = j, p, j = 0, n) таких, что ak \in Bk \subset \BbbC при k = 0, n, и описать все экстремали.
Эта задача в случае | ak| = 1, k = 1, n, была поставлена в качестве открытой проблемы в
работе [1]. В настоящее время она полностью не решена, ее частичные случаи изучались во
многих работах (см., например, [1 – 16]). В работе [1] для случая единичной окружности она
была решена для значения параметра \gamma = 1 и всех значений натурального параметра n \geq 2. А
именно, было показано, что при ее условиях выполняется неравенство
r(B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq r(D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, dk),
где dk, Dk, k = 0, n, — полюсы и круговые области квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = - (n2 - 1)wn + 1
w2(wn - 1)2
dw2.
Л. В. Ковалев [3] в 1996 г. получил решение задачи при определенных достаточно жестких
ограничениях на геометрию расположения систем точек на единичной окружности, а именно
для систем точек, для которых выполняются условия
| ak| = 1, 0 < \alpha k \leq 2/
\surd
\gamma , k = 1, n, n \geq 5.
В работе [9] показано, что результат Л. В. Ковалева справедлив и при n = 4. В 2003 г. в работе
[2] было получено решение этой задачи при \gamma \in (0, 1]. В монографии [8] было показано, что
аналог результата В. Н. Дубинина [1] выполняется для произвольного \gamma \in \BbbR +, но начиная
с некоторого номера n0(\gamma ). Также в монографии [8] был предложен метод „управляющих”
функционалов, который позволяет ослабить условия на геометрию расположения систем точек.
В результате этого удалось обобщить проблему В. Н. Дубинина.
Поскольку решить эту задачу для всех \gamma \in (1, n] до сих пор не удалось, целью данной
работы является получение оценки для функционала (1) при всех \gamma \in (1, n], которая как
можно меньше уклоняется от значения функционала In(\gamma ), достигаемого на системе круговых
областей и полюсов квадратичного дифференциала (см. [1, 3, 7, 8])
Q(w)dw2 = -
\bigl(
n2 - \gamma
\bigr)
wn + \gamma
w2 (wn - 1)2
dw2. (2)
Справедливо следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
998 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА
Теорема 1. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (1, n]. Тогда для любой системы фиксированных
различных точек An = \{ ak\} nk=1 \in \BbbC /\{ 0\} такой, что
n\prod
k=1
| ak| \leq 1,
и любого набора взаимно непересекающихся областей Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0,
выполняется неравенство
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
r (Bk, ak)
\Biggr) 1 - \gamma
n
. (3)
Доказательство. Пусть d(E) — трансфинитный диаметр компактного множества E \subset \BbbC .
Тогда справедливы соотношения
r (B0, 0) = r
\bigl(
B+
0 ,\infty
\bigr)
=
1
d
\bigl(
\BbbC \setminus B+
0
\bigr) \leq 1
d
\biggl(
n\bigcup
k=1
B
+
k
\biggr) , (4)
где B+ =
\biggl\{
z;
1
z
\in B
\biggr\}
.
В силу известной теоремы Пойа [16, с. 28] имеет место неравенство
\mu E \leq \pi d2(E),
где \mu E обозначает лебегову меру компактного множества E. Отсюда получаем
d(E) \geq
\biggl(
1
\pi
\mu E
\biggr) 1
2
.
Тогда из (4) находим
r (B0, 0) \leq
1
d
\biggl(
n\bigcup
k=1
B
+
k
\biggr) \leq 1\sqrt{}
1
\pi
\mu
\biggl(
n\bigcup
k=1
B
+
k
\biggr) =
\Biggl[
1
\pi
n\sum
k=1
\mu B
+
k
\Biggr] - 1
2
. (5)
Для произвольной ограниченной области B, a \in B, рассмотрим класс всех регулярных функ-
ций \varphi (z), \varphi (a) = 0, \varphi \prime (a) = 1, заданных в области B, и площадь образа области B при
отображении произвольной функцией \varphi (z). Из теоремы о минимизации площади [5, с. 34]
следует, что \int \int
B
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy \geq \pi r2(B, a), (6)
где r(B, a) — внутренний радиус области B относительно точки a.
Пусть \varphi 1(z) = (z - a), тогда из (6) имеем
S(B) = \mu (B) \geq \pi r2(B, a).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 999
Из неравенства (5) непосредственно следует, что
r(B0, 0) \leq
\Biggl[
1
\pi
n\sum
k=1
\mu B
+
k
\Biggr] - 1
2
\leq
\Biggl[
1
\pi
n\sum
k=1
\mu B+
k
\Biggr] - 1
2
\leq
\Biggl[
n\sum
k=1
r2
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr) \Biggr] - 1
2
.
Отсюда получаем неравенство
r(B0, 0) \leq
1\Bigl[ \sum n
k=1
r2
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr) \Bigr] 1
2
.
Используя конформную инвариантность функции Грина, имеем
gBk
(z, ak) = gB+
k
\bigl(
w+, a+k
\bigr)
, w+ =
1
z
.
Тогда
gB+
k
\bigl(
w+, a+k
\bigr)
= gB+
k
\biggl(
1
z
,
1
ak
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1z - a+k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1).
Используя несложные преобразования, получаем
gB+
k
\bigl(
w+, a+k
\bigr)
= \mathrm{l}\mathrm{n}
| z| \bigm| \bigm| 1 - za+k
\bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
| z| \bigm| \bigm| a+k \bigm| \bigm| 1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1a+k - z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ak|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | akz| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ak|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ak| 2 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - 1
ak
(z - ak)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ak|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ak| 2r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
+ o(1).
Таким образом,
r
\bigl(
B+
k , a
+
k
\bigr)
=
r(Bk, ak)
| ak| 2
,
и мы приходим к неравенству
r(B0, 0) \leq
\left[ 1\sum n
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\right]
1
2
.
Из предположения теоремы следует соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
1000 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА
\Delta = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\prod n
k=1
r(Bk, ak)\biggl[ \sum n
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\biggr] \gamma
2
,
где \Delta — максимум функционала In(\gamma ). Из неравенства Коши автоматически получаем соотно-
шение
1
n
n\sum
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\geq
\Biggl[
n\prod
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\Biggr] 1
n
.
Отсюда, используя соотношение
n\prod
k=1
| ak| \leq 1,
нетрудно получить неравенства\Biggl[
n\sum
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\Biggr] \gamma
2
\geq
\left[ n\Biggl[ n\prod
k=1
r2(Bk, ak)
| ak| 4
\Biggr] 1
n
\right]
\gamma
2
\geq n
\gamma
2
\Biggl[
n\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr] \gamma
n
.
Таким образом,
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\prod n
k=1
r(Bk, ak)
n
\gamma
2
\Bigl[ \prod n
k=1
r(Bk, ak)
\Bigr] \gamma
n
= n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) 1 - \gamma
n
.
Отсюда получаем неравенство (3).
Теорема 1 доказана.
Замечание. Если \gamma = n, то при условиях теоремы 1 имеем соотношение
rn(B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - n
2 .
На множестве всех n-лучевых систем точек введем „управляющий” функционал
\scrL (An) :=
n\prod
k=1
\chi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ak+1
ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
2\alpha k
\Biggr)
| ak| , \chi (t) :=
1
2
\bigl(
t+ t - 1
\bigr)
.
Как следствие теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (1, n]. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = \{ ak\} nk=1 такой, что \scrL (An) = 1, и любого набора взаимно непересекающихся
областей Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, выполняется неравенство (3).
В работе [8] (теорема 5.1.1) для любой n-лучевой системы точек An = \{ ak\} nk=1 и любой
системы взаимно непересекающихся областей \{ Bk\} nk=1, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, n, доказано
неравенство
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n\scrL (An)
n\prod
k=1
\alpha k.
Используя это неравенство и теорему 2, получаем следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 1001
Следствие 1. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (1, n]. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = \{ ak\} nk=1 такой, что \scrL (An) = 1, и любых взаимно непересекающихся областей
Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, выполняется неравенство
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2(n - \gamma )n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
\alpha k
\Biggr) 1 - \gamma
n
.
В случае, когда \alpha k =
2
n
, k = 1, n, справедлив следующий результат.
Следствие 2. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (1, n]. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = \{ ak\} nk=1 такой, что \scrL (An) = 1, и любых взаимно непересекающихся областей
Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, выполняется неравенство
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma
2
\biggl(
4
n
\biggr) n - \gamma
.
При изучении сформулированной выше задачи в работах [1, 3, 7, 8] было показано, что
максимум функционала In(\gamma ) достигается на системе круговых областей Dk и системе полюсов
dk, k = 0, n, квадратичного дифференциала (2). Пусть
I0n(\gamma ) = r\gamma (D0, d0)
n\prod
k=1
r(Dk, dk),
тогда из теоремы 5.2.3 [8] имеем
I0n(\gamma ) =
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
4\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\Bigl(
1 - \gamma
n2
\Bigr) n+ \gamma
n
\left( 1 -
\surd
\gamma
n
1 +
\surd
\gamma
n
\right)
2
\surd
\gamma
.
Оценки максимума функционала In(\gamma ) из теоремы 1 и величины I0n(\gamma ) при \gamma = n для n = 2, 10
приведены в таблице.
n I0n(n) In(n) In(n) - I0n(n)
In(n) - I0n(n)
I0n(n)
2 0,4373948985 0,5000000000 0,0626051015 0,14313176
3 0,1670457996 0,1924500897 0,0254042901 0,15207979
4 0,0520245897 0,0625000000 0,0104754103 0,20135498
5 0,0135131849 0,0178885438 0,0043753589 0,32378443
6 0,0029989525 0,0046296296 0,0016306771 0,54374889
7 0,0005800482 0,0011019372 0,0005218890 0,89973385
8 0,0000993416 0,0002441406 0,0001447990 1,45758675
9 0,0000152588 0,0000508053 0,0000355465 2,32957375
10 0,0000021241 0,0000100000 0,0000078759 3,70787628
Как видно из этой таблицы, оценки максимума функционала In(n) незначительно отлича-
ются от значений величины I0n(n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
1002 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА
Литература
1. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи
мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3 – 76.
2. Kuz’mina G. V. The method of extremal metric in extremal decomposition problems with free parameters // J. Math.
Sci. – 2005. – 129, № 3. – P. 3843 – 3851.
3. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности // Дальневост.
мат. сб. – 1996. – № 2. – С. 96 – 98.
4. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. – 5. – С. 159 –
245.
5. Goluzin G. M. Geometric theory of functions of a complex variable. – Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1969.
6. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 256 с.
7. Dubinin V. N. Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory. – Basel: Birkhäuser/Springer,
2014. – 344 p.
8. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 308 с.
9. Bakhtin A. K., Denega I. V. Addendum to a theorem on extremal decomposition of the complex plane // Bull. Soc.
Sci. Lett. Lódź. Sér. Rech. Déform. – 2012. – 62, № 2. – P. 83 – 92.
10. Denega I. V. Generalization of some extremal problems on non-overlapping domains with free poles // Ann. Univ.
Mariae Curie-Sklodowska. – 2013. – 67, № 1. – P. 11 – 22.
11. Bakhtin A., Dvorak I., Denega I. Separating transformation and extremal decomposition of the complex plane // Bull.
Soc. Sci. Lett. Lódź. Sér. Rech. Déform. – 2016. – 66, № 2. – P. 13 – 20.
12. Bakhtin A., Vygivska L., Denega I. N-radial systems of points and problems for non-overlapping domains //
Lobachevskii J. Math. – 2017. – 38, № 2. – P. 229 – 235.
13. Bakhtin A. K., Zabolotnii Ya. V. Estimates of a product of the inner radii of nonoverlapping domains // J. Math. Sci. –
2017. – 221, № 5. – P. 623 – 629.
14. Bakhtin A. K., Vygivska L. V., Denega I. V. Inequalities for the internal radii of non-overlapping domains // J. Math.
Sci. – 2017. – 220, № 5. – P. 584 – 590.
15. Denega I. V., Zabolotnii Ya. V. Estimates of products of inner radii of non-overlapping domains in the complex
plane // Complex Var. and Elliptic Equat. – 2017. – 62, № 11. – P. 1611 – 1618.
16. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. – M.: Физматгиз, 1962. – 336 с.
Получено 20.12.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1492 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:47Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/5f10f4fa24f7ca458641901cbf2545b4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14922019-12-05T08:57:08Z Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей Bakhtin, A. K. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Денега, И. В. UDC 517.54 We consider the problem of maximum of the functional $$ r^\gamma\left(B_0,0\right)\prod\limits_{k=1}^n r\left(B_k,a_k\right), $$ where $B_{0},\ldots,B_{n}$, $n\geq 2$, are pairwise disjoint domains in $\overline{\mathbb{C}},$ $a_0=0,$ $|a_{k}|=1$, $k=\overline{1,n},$ and $\gamma\in (0, n]$ ($r(B,a)$ is the inner radius of the domain $B\subset\overline{\mathbb{C}}$ with respect to $a$). Show that it attains its maximum at a configuration of domains $B_{k}$ and points $a_{k}$ possessing rotational $n$-symmetry. This problem was solved by Dubinin for $\gamma=1$ and by Kuz’mina for $0 УДК 517.54 Розглядається задача про максимум функціонала $$ r^\gamma(B_0,0)\prod\limits_{k=1}^n r(B_k,a_k), $$ де $B_{0},\ldots,B_{n},$ $n\geq 2,$ --- області в $\overline{\mathbb{C}},$ що взаємно не перетинаються, $a_0=0,$ $|a_{k}|=1,$ $k=\overline{1,n},$ і $\gamma\in(0, n]$ ($r(B,a)$ --- внутрішній радіус області $B\subset\overline{\mathbb{C}}$ відносно $a$). Потрібно показати, що максимум досягається при конфігурації областей $B_{k}$ і точок $a_{k},$ які мають $n$-кратну симетрію. В. М. Дубінін розв'язав її при $\gamma=1,$ Г. В. Кузьміна --- при $0 Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1492 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 996-1002 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 996-1002 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1492/476 Copyright (c) 2019 Bakhtin A. K.; Denega I. V. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Денега, И. В. Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title | Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title_alt | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_full | Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title_fullStr | Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title_full_unstemmed | Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title_short | Inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| title_sort | inequalities for the inner radii of nonorevlapping domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1492 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT denegaiv inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT bahtinak inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT denegaiv inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT bahtinak inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT denegaiv inequalitiesfortheinnerradiiofnonorevlappingdomains AT bakhtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastej |