The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps
UDC 517.9 А nonperiodic trajectory of a discrete dynamical system is called $n$-homoclinic if its $\alpha$- and $\omega$-limit sets coincide and form the same cycle of period $n.$ We prove the statement formulated in that the ordering $1 \triangleright 3 \triangleright 5 \triangleright 7 \triangle...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1493 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507284114767872 |
|---|---|
| author | Kuznietsov, M. V. Кузнєцов, М. В. |
| author_facet | Kuznietsov, M. V. Кузнєцов, М. В. |
| author_sort | Kuznietsov, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:08Z |
| description | UDC 517.9
А nonperiodic trajectory of a discrete dynamical system is called $n$-homoclinic if its $\alpha$- and $\omega$-limit sets coincide and form the same cycle of period $n.$
We prove the statement formulated in that the ordering $1 \triangleright 3 \triangleright 5 \triangleright 7 \triangleright \ldots \triangleright 2 \cdot 1 \triangleright 2 \cdot 3\triangleright 2 \cdot 5 \triangleright \ldots \triangleright 2^2 \cdot 1 \triangleright 2^2 \cdot 3 \triangleright 2^2 \cdot 5 \triangleright \ldots $ determines the coexistence of homoclinic trajectories of one-dimensional systems:
If a one-dimensional dynamical system possesses an $n$-homoclinic trajectory, then it also has an $m$-homoclinic trajectory for each $m$ such that $ n \triangleright m .$
It is also proved that every one-dimensional dynamical system with a cycle of period $ n \neq 2^i $ also possesses an $n$-homoclinic trajectory. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
М. В. Кузнєцов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПОРЯДОК СПIВIСНУВАННЯ ГОМОКЛIНIЧНИХ ТРАЄКТОРIЙ
ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ ВIДРIЗКА
А nonperiodic trajectory of a discrete dynamical system is called n-homoclinic if its \alpha - and \omega -limit sets coincide and
form the same cycle of period n. We prove the statement formulated in that the ordering 1 \triangleleft 3 \triangleleft 5 \triangleleft 7 \triangleleft . . . \triangleleft 2 \cdot 1 \triangleleft 2 \cdot 3 \triangleleft
\triangleleft 2 \cdot 5 \triangleleft . . . \triangleleft 22 \cdot 1 \triangleleft 22 \cdot 3 \triangleleft 22 \cdot 5 \triangleleft . . . determines the coexistence of homoclinic trajectories of one-dimensional systems:
If a one-dimensional dynamical system possesses an n-homoclinic trajectory, then it also has an m-homoclinic trajectory
for each m such that n \triangleleft m. It is also proved that every one-dimensional dynamical system with a cycle of period n \not = 2i
also possesses an n-homoclinic trajectory.
Неперiодичну траєкторiю дискретної динамiчної системи будемо називати n-гомоклiнiчною, якщо її \alpha - та \omega -
граничнi множини збiгаються мiж собою i є одним i тим самим циклом перiоду n. Доведено твердження, що
порядок 1 \triangleleft 3 \triangleleft 5 \triangleleft 7 \triangleleft . . . \triangleleft 2 \cdot 1 \triangleleft 2 \cdot 3 \triangleleft 2 \cdot 5 \triangleleft . . . \triangleleft 22 \cdot 1 \triangleleft 22 \cdot 3 \triangleleft 22 \cdot 5 \triangleleft . . . визначає спiвiснування гомоклiнiчних траєкторiй
одновимiрних систем: якщо одновимiрна динамiчна система має n-гомоклiнiчну траєкторiю, то вона також матиме
m-гомоклiнiчну траєкторiю для кожного m такого, що n \triangleleft m. Також встановлено, що кожна одновимiрна динамiчна
система, яка має цикл перiоду n \not = 2i, буде мати n-гомоклiнiчну траєкторiю.
1. Вступ. У цiй статтi розглядаються динамiчнi системи з дискретним часом. Якщо X — деякий
топологiчний простiр, траєкторiєю точки x0 \in X динамiчної системи (X,\BbbZ +, f : X \rightarrow X)
будемо називати послiдовнiсть \{ x0, x1, x2, . . .\} \subset X таку, що xi+1 = f(xi), i \geq 0. Тут \BbbZ +
позначає множину цiлих невiд’ємних чисел.
Будемо казати, що траєкторiя \{ x0, x1, x2, . . .\} є гомоклiнiчною до циклу \{ p1, p2, . . . , pn\} ,
якщо точка x0 не є перiодичною, її \omega -гранична множина збiгається з \{ p1, p2, . . . , pn\} та iснує
деяка послiдовнiсть \{ x - 1, x - 2, . . .\} \subset X така, що f(x - k - 1) = x - k, k \geq 0, i множина всiх
часткових границь цiєї послiдовностi збiгається з \{ p1, p2, . . . , pn\} .
Далi розглядаємо X = I — замкнений iнтервал i f \in C0(I).
У випадку одновимiрних динамiчних систем будемо казати, що гомоклiнiчна траєкторiя є
односторонньою, якщо до кожної з точок \{ p1, p2, . . . , pn\} вiдповiдна пiдпослiдовнiсть прообра-
зiв наближається з однiєї сторони. Якщо ж хоча б до однiєї з точок вона наближається з двох
сторiн, будемо називати гомоклiнiчну траєкторiю двосторонньою.
Позначимо через F (m) множину всiх неперервних функцiй вiдрiзка, якi мають цикл пе-
рiоду m, через H(m) множину всiх неперервних функцiй вiдрiзка, що мають односторонню
гомоклiнiчну траєкторiю до циклу перiоду m або двосторонню до циклу перiоду m/2.
Нехай S = \{ x1, x2, . . . , xn\} — скiнченна множина точок на iнтервалi I та x1 < x2 < . . .
. . . < xn. Будемо казати, що множина S є вiдокремленою порядку 1 над f, якщо n = 2m, i
множини S1 = \{ x1, x2, . . . , xm\} та S2 = \{ xm+1, xm+2, . . . , xn\} переставляються вiдображен-
ням f.
Також кажемо, що множина S є вiдокремленою порядку r над f, якщо вона є вiдокремле-
ною порядку 1 над f i множини S1, S2 вiдокремленi порядку r - 1 над f2.
Нехай P — цикл функцiї f, що складається з 2rm точок, де m непарне.
Цикл P називається найпростiшим у таких випадках:
(1.1) якщо r = 0, P = \{ x1, x2, . . . , xm\} , f(xi) = xi+1, f(xm) = x1, то виконується xm <
< xm - 2 < . . . < x3 < x1 < x2 < . . . < px - 1 або обернений порядок;
c\bigcirc М. В. КУЗНЄЦОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7 1003
1004 М. В. КУЗНЄЦОВ
(1.2) якщо r > 0, m > 1, P = P1 \cup P2 \cup . . .\cup P2r , P1 — найменшi m точок, P2 — наступнi
m точок i т. д. та кожна множина Pk є перiодичною для f2r i має структуру (1.1) для f2r ;
(2) якщо r > 0, цикл P вiдокремлений порядку r над f.
Носiєм циклу P = \{ x1, x2, . . . , xn\} функцiї f будемо називати вiдрiзок \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f (P ) =
= [minx\in Px,maxx\in Px].
2. Теорема Блока.
Теорема 1 [4]. Якщо f \in C0(I, I) має цикл перiоду n, то f також має найпростiший
цикл перiоду n.
Для повноти iнформацiї наведемо схему доведення Л. Блока. Позначимо через Fs(m) мно-
жину всiх неперервних функцiй вiдрiзка, якi мають найпростiший цикл перiоду m.
Доведення теореми Блока розбивається на 7 крокiв.
1. Якщо всi перiоди функцiї f є степенями двiйки, то кожна перiодична траєкторiя f є
найпростiшою.
Якщо вiдображення має не найпростiший цикл P, то iснують пiдмножина \{ q1 < q2 < . . .
. . . < qn\} \subset P i цiле r > 0, яке дiлить перiод циклу m = 2k, таке, що \{ q1, . . . , qn\} є
перiодичною траєкторiєю для f r i f r(\{ q1, . . . , qn/2\} ) \not = \{ qn/2+1, . . . , qn\} . Отже, f r має точку
непарного перiоду [2] i всi перiоди функцiї f не можуть бути степенями двiйки.
2. Цикл максимального перiоду (в сенсi порядку Шарковського) є найпростiшим.
Розглянемо перiодичну траєкторiю перiоду 2rm для непарних m > 1 i r > 0.
Тодi, як вiдомо (див. [3]), iснує деяка вершина I1 графа Маркова, побудованого на цьому
циклi, яка накриває себе, f(I1) \subset I1, та iснує шлях I1 \rightarrow I2 \rightarrow I3 \rightarrow . . . \rightarrow Ik для кожного
k \leq 2rm, але немає ребра Ik \rightarrow I1 (або iснуватимуть петля непарної довжини i перiодична
точка непарного перiоду, що суперечить максимальностi 2rm). Але тодi всi точки циклу, якi
знаходяться злiва вiд I1, рухаються вправо i навпаки, тому орбiта є вiдокремленою порядку 1.
Кожна половина цього циклу є перiодичною траєкторiєю для f2 перiоду 2r - 1m, i твердження
доводиться за iндукцiєю.
3. Якщо m > 1 непарне i f \in Fs(m), то f \in Fs(k) для будь-якого непарного k > m.
За припущенням iснує цикл pi, 1 < j < m, такий, що f(pi) = pi+1, для якого виконується
pm < pm - 2 < . . . < p1 < p2 < . . . < pm - 1 або обернений порядок.
Iснують нерухома точка e \in (p1, p2) i x \in (e, p2) такi, що f(x) = p1, а також y \in (p1, e)
така, що f(y) = x. Нехай I1, . . . , Im - 1 — вiдрiзки, визначенi так: I1 = [p1, p2], I2 = [p3, p1],
I3 = [p2, p4] i т. д. Побудуємо новий граф Маркова таким чином: J1 = [y, e], J2 = [e, x],
J3 = [p1, y], J4 = [x, p2] i Jk = Ik - 3 для 5 < k < m + 1. Тодi iснує (див. [3]) точка w \in J1,
нерухома для fm+2, така, що fk(w) належать Jk+1 i утворюють найпростiшу перiодичну
траєкторiю перiоду m+ 2. Далi доведення проводиться за iндукцiєю.
4. Fs(2
rm) \subset Fs(2
rk) для будь-якого r.
Ми будемо позначати першi (найлiвiшi) m точок циклу довжини 2rm як P1 i т. д.; P(2r)
позначає останнi m точок.
За припущенням f переставляє P1, P2, . . . , P(2r), i для кожного i Pi є найпростiшим циклом
для f (2r) перiоду m. У кожному Pi можна вибрати xi та yi так, щоб доведення кроку 3 можна
було провести для f (2r) i циклу Pi. В результатi отримаємо найпростiшу перiодичну траєкторiю
функцiї f перiоду 2r(m+ 2).
Знову висновок випливає за iндукцiєю.
5. Fs(m) \subset Fs(6) для непарних m > 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ПОРЯДОК СПIВIСНУВАННЯ ГОМОКЛIНIЧНИХ ТРАЄКТОРIЙ ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ ВIДРIЗКА 1005
Нехай цикл \{ p1, . . . , pm\} такий, як i ранiше. За кроком 2 можна припустити, що m \geq 9.
Якщо \{ Ik\} — граф Маркова, побудований на цьому циклi на другому кроцi, то вiн мiстить
петлю
Im - 6 \rightarrow Im - 5 \rightarrow . . . \rightarrow Im - 1 \rightarrow Im - 6,
оскiльки є найпростiшим. Отже, iснує найпростiший цикл перiоду 6.
6. Fs(2
rm) \subset Fs(2
r+1 \cdot 3).
Це випливає з кроку 5 так само, як четвертий крок випливає з третього.
7. Fs(2
rm) \subset Fs(2
k) для довiльного k.
За попереднiми кроками достатньо розглянути k = r. Нехай \{ p1, . . . , pm2r\} — найпростiший
цикл перiоду 2rm, pi < pi+1, i
Ik
\ast = [p(k - 1)m+l, pkm], 1 < k < 2r.
Тодi f переставляє вiдрiзки Ik
\ast , отже, iснують такi вiдрiзки Jk, що (пiсля перенумеруван-
ня) утворюють петлю довжиною 2r. Так отримуємо цикл перiоду 2r, який є найпростiшим,
оскiльки цикл \{ pi\} найпростiший.
3. Спiвiснування гомоклiнiчних траєкторiй. Основним результатом цiєї роботи є така
теорема.
Теорема 2. Має мiсце ланцюжок включень
H(1) \subset H(3) \subset H(5) \subset H(7) \subset . . . \subset H(2) \subset H(2 \cdot 3) \subset H(2 \cdot 5) \subset . . .
. . . \subset H(22) \subset H(22 \cdot 3) \subset H(22 \cdot 5) \subset . . . .
Лема 1. H(1) \subset F (3).
Доведення. Нехай f : I \rightarrow I — неперервна функцiя, яка має односторонню гомоклiнiчну
траєкторiю \{ x0, x1, x2, . . .\} до нерухомої точки a; x - n \rightarrow a, n \rightarrow \infty , де xi = f(xi - 1) \forall i \in \BbbZ .
Без втрати загальностi нехай x - n \rightarrow a+, n \rightarrow \infty .
Нехай xk — така точка, що
f(xk) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i\in \BbbZ : f(xi)>xi>a
f(xi).
З того, що iснують x - n : a < x - n < x - n+1, випливає, що таке xk iснує.
Оскiльки xk > a, то iснує
y = f(y) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=f(t),t<xk
(t)
— максимальна нерухома точка функцiї f, що менша за xk.
Тодi, якщо iснує перше таке xk+n, n \geq 0, що xk+n > y i xk+n+1 \leq y, отримаємо пiдкову,
утворену вiдрiзками [y, xk], [xk, xk+n]. Дiйсно, оскiльки xk+n+1 < xk+n, внаслiдок максималь-
ностi y xk+n не може знаходитись на промiжку (y, xk), отже,
xk+n+1 \leq y < xk < xk+n \leq xk+1.
Випадок, коли xk+n > xk+1, неможливий, оскiльки тодi внаслiдок максимальностi y повин-
но виконуватись xk+n - 1 < a, а це суперечить тому, що xk+n — перша з точок, для яких
виконуються вищезазначенi умови. Як вiдомо, з iснування пiдкови випливає iснування циклу
перiоду 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
1006 М. В. КУЗНЄЦОВ
Якщо ж таке xk+n не iснує, тобто всi xk+i, i \geq 0, бiльшi за y, то з xi \rightarrow a, i \rightarrow \infty , випливає,
що y = a, тобто f(x) > x на промiжку (a, xk). Звiдси також випливає, що xk+i \rightarrow a+, i \geq 0, i
f(x) < x уздовж деякої прямуючої до a справа послiдовностi, що приводить до суперечностi.
Теорема 3. H(m) = F (m) для будь-якого непарного m > 1.
Доведення. H(m) \subset F (m), оскiльки без циклу перiоду m не може iснувати гомоклiнiчна
траєкторiя до циклу перiоду m.
Покажемо, що F (m) \subset H(m).
Нехай неперервна функцiя f : I \rightarrow I має найпростiший цикл P = \{ p1, p2, . . . , pm\} , де
f(pi) = pi+1 i pm < pm - 2 < . . . < p1 < p2 < . . . < pm - 1.
Оскiльки f(p1) > p1 i f(p2) < p2, то на вiдрiзку [p1, p2] iснує нерухома точка a функцiї f.
Позначимо I1 = [p1, a], I2 = [a, p2], I3 = [p3, p1], I4 = [p2, p4], . . . , Im - 1 = [pm - 3, pm - 1],
Im = [pm, pm - 2]. Тодi
f(p2) < p1, f(a) > p1, отже, на I2 iснує така максимальна точка x2,1, що f(x2,1) = p1;
I2 \subset f(I1), отже, на I1 iснує така точка x1,1, що f(x1,1) = x2,1;
I1 \subset f(Im), отже, на Im iснує така точка xm,1, що f(xm,1) = x1,1;
Im \subset f(im - 1), отже, на Im - 1 iснує така точка xm - 1,1, що f(xm - 1,1) = xm,1, i т. д.;
I3 \subset f([x2,1, p2]), отже, на [x2,1, p2] iснує така точка x2,2, що f(x2,2) = x3,1;
[x2,1, p2] \subset f([p1, x1,1]), отже, на [p1, x1,1] iснує така точка x1,2, що f(x1,2) = x2,2 i т. д.;
[xk,1, pk] \subset f([pk - 1, xk - 1,1]), отже, на [pk - 1, xk - 1,1] iснує така точка xk - 1,2, що f(xk - 1,2) =
= xk,2.
Продовжуючи цей процес, отримуємо m монотонних послiдовностей \{ xi,1, xi,2, xi,3, . . .\} ,
i = 1, 2, . . . ,m, таких, що xi,k ближче до pi, нiж xi,k - 1.
Внаслiдок монотонностi кожна з цих послiдовностей має границю yi. З неперервностi f
випливає, що f(yi) = yi+1, тобто точки yi утворюють цикл перiоду m, для якого можна
повторити операцiю, аналогiчну до циклу P. Але оскiльки ym \geq pm, то
iснує така точка y2,1 \in [a, x2,1], що f(y2,1) = ym;
iснує така точка y1,1 \in [x1,1, a], що f(y1,1) = y2,1;
iснує така точка ym,1 \in [xm,1, pm - 3], що f(ym,1) = y1,1, i т. д.;
iснує така точка y2,2 \in [x2,1, x2,2], що f(y2,2) = y3,1, i т. д.
Кожна точка yi,k буде належати промiжку [xi,k, xi,k - 1], тому послiдовностi yi,k будуть
збiгатися до yi. З iншого боку, f(y2,1) = ym, отже, yi,k утворюють гомоклiнiчну траєкторiю.
За побудовою ця траєкторiя є односторонньою.
Наслiдок 1. H(1) \subset H(3) \subset H(5) \subset H(7) \subset . . . \subset H(2m+ 1) \subset . . . .
За теоремою Шарковського F (n) \subset F (n+ 2) для непарних n, отже, для будь-якого непар-
ного n > 1 виконується
H(n) = F (n) \subset F (n+ 2) = H(n+ 2),
H(1) \subset F (3) = H(3).
Лема 2. H(2) \supset F (2n+ 1) для будь-якого натурального n.
Доведення. Нехай функцiя f \in C0(I) має найпростiший цикл P = \{ p1, p2, . . . , p2n+1\} , де
f(pi) = pi+1 i
p2n+1 < p2n - 1 < . . . < p1 < p2 < . . . < p2n.
Оскiльки f(p1) > p1 i f(p2) < p2, то на вiдрiзку [p1, p2] iснує нерухома точка a функцiї f.
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
ПОРЯДОК СПIВIСНУВАННЯ ГОМОКЛIНIЧНИХ ТРАЄКТОРIЙ ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ ВIДРIЗКА 1007
f(p2n+1) < a < f(p2n - 1), отже, на [p2n+1, p2n - 1] iснує така мiнiмальна точка x1, що
f(x1) = a;
f(p2n) < x1 < f(p2n - 2), отже, на [p2n - 2, p2n] iснує така мiнiмальна точка x2, що f(x2) =
= x1;
f(p2n - 1) < x2 < f(p2n - 3), отже, на [p2n - 1, p2n - 3] iснує така мiнiмальна точка x3, що
f(x3) = x2, i т. д.;
f(p2) < x2n < f(a), отже, на [a, p2] iснує така мiнiмальна точка x1,1, що f(x1,1) = x2n;
f(a) < x1,1 < f(p1), отже, на [p1, a] iснує така максимальна точка x2,1, що f(x2,1) = x1,1;
f(x1,1) < x2,1 < f(a), отже, на [a, x1,1] iснує така мiнiмальна точка x1,2, що f(x1,2) = x2,1;
f(a) < x1,2 < f(x2,1), отже, на [x2,1, a] iснує така максимальна точка x2,2, що f(x2,2) =
= x1,2, i т. д.;
f(x1,k) < x2,k < f(a), отже, на [a, x1,k] iснує така мiнiмальна точка x1,k+1, що f(x1,k+1) =
= x2,k;
f(a) < x1,k+1 < f(x2,k), отже, на [x2,k, a] iснує така максимальна точка x2,k+1, що
f(x2,k+1) = x1,k.
Якщо обидвi монотоннi послiдовностi \{ x1,k\} , \{ x2,k\} прямують до a, вони утворюють
двосторонню гомоклiнiчну траєкторiю до нерухомої точки, тобто 2-гомоклiнiчну траєкторiю.
Якщо ж вони прямують до двох рiзних точок a1, a2 вiдповiдно, то з неперервностi випливає,
що a1, a2 є циклом перiоду 2. Для точки a1 можна знайти послiдовнiсть прообразiв аналогiчно
тому, як ми в ходi доведення цiєї леми знаходили її для точки a, причому легко бачити, що
двi новi послiдовностi \{ x\prime 1,k\} , \{ x\prime 2,k\} будуть задовольняти умови x1,k+1 < x\prime 1,k < x1,k, x2,k <
< x\prime 2,k < x2,k+1, а отже, будуть збiгатися до циклу a1, a2, утворюючи односторонню гомоклi-
нiчну траєкторiю до циклу перiоду 2.
Теорема 4. H(n) = F (n) для будь-якого n = 2km, де m > 1 непарне i k \geq 0.
Доведення. Базою iндукцiї по k є твердження теореми 3 H(n) = F (n) для непарних n.
Покажемо, як з H(n) = F (n) для n = 2k - 1m випливає H(n) = F (n) для n = 2km.
Нехай маємо деякий найпростiший цикл P перiоду 2km, \~f — функцiя, що з’єднує вiд-
рiзками точки цього циклу. За означенням P переставляє два найпростiших цикли P1, P2
перiоду 2k - 1m для функцiї \~f2. У носiїв кожного з цих циклiв за припущенням iндукцiї iснує
одностороння гомоклiнiчна траєкторiя для функцiї \~f2.
Нехай \{ xi, i \geq 0\} — одностороння гомоклiнiчна траєкторiя до циклу P \prime
1 в носiї циклу
P1 для функцiї \~f2. Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \~f P1 \cap \~f(P1) = \varnothing , то P \prime
1 не може бути циклом перiоду
2k - 1m для функцiї \~f, тому вiн є частиною циклу P \prime перiоду 2km для \~f. За неперервнiстю
\{ xi, \~f(xi); i \geq 0\} є гомоклiнiчною траєкторiєю до циклу P \prime .
Покажемо, що ця гомоклiнiчна траєкторiя є односторонньою. Точки \{ xi, i \geq 0\} прямують
до P1 з однiєї сторони. Нехай до деякої точки pj циклу P \prime гомоклiнiчна траєкторiя прямує з
двох сторiн.
Тодi для визначеностi покладемо \~f(pj - 1) = pj , xi(t) \rightarrow pj - 1 - . Для будь-якого \varepsilon > 0 на
вiдрiзку [pj - 1 - \varepsilon , pj - 1] функцiя \~f має нескiнченну кiлькiсть точок вище за pj та нескiнченну
кiлькiсть точок нижче за pj , причому f(pj - 1) = pj . Це неможливо для складеної iз скiнченної
кiлькостi вiдрiзкiв функцiї \~f, отже, до кожної точки циклу P \prime гомоклiнiчна траєкторiя прямує
з однiєї сторони.
У \~f iснує ланцюжок накриттiв Ij = [ps(j), xu(j)], j \in \BbbZ , такий, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} Ij \rightarrow 0, j \rightarrow \pm \infty ,
i \~f(Ij) \supset Ij+1, Ij \rightarrow \{ pr\} , j \rightarrow \infty , \cup j+n
i=j Ij \rightarrow P \prime , j \rightarrow - \infty . Тому ланцюжок з такою
самою структурою буде iснувати i для будь-якої неперервної функцiї f, що має цикл типу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
1008 М. В. КУЗНЄЦОВ
P. Це доводить iснування односторонньої гомоклiнiчної траєкторiї до циклу перiоду 2km для
функцiї f.
Лема 3. H(2k) \subset H(2km) для будь-якого непарного m > 1.
Доведення. Нехай функцiя f має гомоклiнiчну траєкторiю типу 2k. Тодi функцiя f2k має
односторонню гомоклiнiчну траєкторiю до нерухомої точки, а отже, f2k має цикли всiх перiодiв
m. Тому f має цикли перiодiв 2km для кожного m, звiдки
H(2k) \subset F (2km) = H(2km).
Лема 4. H(2k+1) \supset F (2km) для непарних m > 1.
Доведення. Нехай f має цикл перiоду 2km, тодi функцiя f2k має цикл перiоду m, а отже,
за лемою 2 f2k \in H(2). Функцiя f має гомоклiнiчну траєкторiю до деякого циклу перiоду 2r,
r \leq k+1, тобто F (2km) \subset H(2)\cup H(4)\cup . . .\cup H(2k+1). Але за теоремою 3 H(2i) \subset H(2im),
отже, F (2km) \subset H(2k+1).
Наслiдком доведених у цьому пунктi тверджень є ланцюжок включень
F (1) \supset F (2) \supset F (22) \supset . . . \supset F (2\infty ) \supset . . .
. . . \supset F (22 \cdot 5) = H(22 \cdot 5) \supset F (22 \cdot 3) = H(22 \cdot 3) \supset H(22) \supset . . .
. . . \supset F (2 \cdot 5) = H(2 \cdot 5) \supset F (2 \cdot 3) = H(2 \cdot 3) \supset H(2) \supset . . .
. . . \supset F (5) = H(5) \supset F (3) = H(3) \supset H(1).
Лiтература
1. Block L. Homoclinic points of mapping of the interval // Proc. Amer. Math. Soc. – 1978. – 72, № 3. – P. 131 – 138.
2. Block L. Simple periodic orbits of mappings of the interval // Trans. Amer. Math. Soc. – 1979. – 254. – P. 391 – 398.
3. Block L., Guckenheimer J., Misiurewicz M., Young L.-S. Periodic points and topological entropy of one dimensional
maps // Lect. Notes Math. – 1980. – 819. – P. 18 – 34.
4. Block L., Hart D. Stratification of the space of unimodal interval maps // Ergodic Theory and Dynam. Systems. –
1983. – 3. – P. 533 – 539.
5. Block L., Hart D. The bifurcation of homoclinic orbits of maps of the interval // Ergodic Theory and Dynam.
Systems. – 1982. – 2. – P. 131 – 138.
6. Федоренко В. В., Шарковский А. Н. О сосуществовании периодических и гомоклинических траекторий //
V Всесоюз. конф. по качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. ст. – Кишинев, 1979. – C. 174 –
175.
7. Федоренко В. В., Шарковский А. Н. Устойчивость свойства динамической системы иметь гомоклиническую
траекторию // Осцилляция и устойчивость решений дифференциально-функциональных уравнений: Сб. ст. –
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. – С. 111 – 113.
8. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн. –
1964. – 16, № 1. – С. 61 – 71.
Одержано 23.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1493 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:52Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/3e1000bc7621509fafb375f2a5df80e9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14932019-12-05T08:57:08Z The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps Порядок співіснування гомоклінічних траєкторій для відображень відрізка Kuznietsov, M. V. Кузнєцов, М. В. UDC 517.9 А nonperiodic trajectory of a discrete dynamical system is called $n$-homoclinic if its $\alpha$- and $\omega$-limit sets coincide and form the same cycle of period $n.$ We prove the statement formulated in that the ordering $1 \triangleright 3 \triangleright 5 \triangleright 7 \triangleright \ldots \triangleright 2 \cdot 1 \triangleright 2 \cdot 3\triangleright 2 \cdot 5 \triangleright \ldots \triangleright 2^2 \cdot 1 \triangleright 2^2 \cdot 3 \triangleright 2^2 \cdot 5 \triangleright \ldots $ determines the coexistence of homoclinic trajectories of one-dimensional systems: If a one-dimensional dynamical system possesses an $n$-homoclinic trajectory, then it also has an $m$-homoclinic trajectory for each $m$ such that $ n \triangleright m .$ It is also proved that every one-dimensional dynamical system with a cycle of period $ n \neq 2^i $ also possesses an $n$-homoclinic trajectory. УДК 517.9 Неперіодичну траєкторію дискретної динамічної системи будемо називати $n$-гомоклінічною, якщо її $\alpha$- та $\omega$-граничні множини збігаються між собою і є одним і тим самим циклом періоду $n.$ Доведено твердження, що порядок $1 \triangleright 3 \triangleright 5 \triangleright 7 \triangleright \ldots \triangleright 2 \cdot 1 \triangleright 2 \cdot 3 \triangleright 2 \cdot 5 \triangleright \ldots \triangleright 2^2 \cdot 1 \triangleright 2^2 \cdot 3 \triangleright 2^2 \cdot 5 \triangleright \ldots $ визначає співіснування гомоклінічних траєкторій одновимірних систем: якщо одновимірна динамічна система має $n$-гомоклінічну траєкторію, то вона також матиме $m$-гомоклінічну траєкторію для кожного $m$ такого, що $n \triangleright m.$ Також встановлено, що кожна одновимірна динамічна система, яка має цикл періоду $n \neq 2^i,$ буде мати $n$-гомоклінічну траєкторію. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1493 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 7 (2019); 1003-1008 Український математичний журнал; Том 71 № 7 (2019); 1003-1008 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1493/477 Copyright (c) 2019 Kuznietsov M. V. |
| spellingShingle | Kuznietsov, M. V. Кузнєцов, М. В. The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title | The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title_alt | Порядок співіснування гомоклінічних траєкторій для відображень відрізка |
| title_full | The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title_fullStr | The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title_full_unstemmed | The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title_short | The order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| title_sort | order of coexistence of homoclinic trajectories for interval maps |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1493 |
| work_keys_str_mv | AT kuznietsovmv theorderofcoexistenceofhomoclinictrajectoriesforintervalmaps AT kuznêcovmv theorderofcoexistenceofhomoclinictrajectoriesforintervalmaps AT kuznietsovmv porâdokspívísnuvannâgomoklíníčnihtraêktoríjdlâvídobraženʹvídrízka AT kuznêcovmv porâdokspívísnuvannâgomoklíníčnihtraêktoríjdlâvídobraženʹvídrízka AT kuznietsovmv orderofcoexistenceofhomoclinictrajectoriesforintervalmaps AT kuznêcovmv orderofcoexistenceofhomoclinictrajectoriesforintervalmaps |