Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions
UDC 517.5 We determine the subspaces of solutions of the systems of Laplace and heat-conduction differential equations isometric to the corresponding spaces of real functions determined on the set of real numbers.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1494 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507285440167936 |
|---|---|
| author | Imash kyzy, M. Abdullayev, F. G. Bushev, D. M. Kharkevych, Yu. I. Імаш кизи, М. Абдуллаєв, Ф. Г. Бушев, Д. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Imash kyzy, M. Abdullayev, F. G. Bushev, D. M. Kharkevych, Yu. I. Імаш кизи, М. Абдуллаєв, Ф. Г. Бушев, Д. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Imash kyzy, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-02-16T12:48:00Z |
| description | UDC 517.5 We determine the subspaces of solutions of the systems of Laplace and heat-conduction differential equations isometric to the corresponding spaces of real functions determined on the set of real numbers. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ф. Г. Абдуллаєв (Киргиз.-Tур. ун-т „Манас”, Бiшкек; Мерсiн. ун-т, Туреччина),
Д. М. Бушев (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк),
М. Iмаш кизи (Киргиз.-Tур. ун-т „Манас”, Бiшкек),
Ю. I. Харкевич (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
ПРОСТОРАМ ДIЙСНИХ ФУНКЦIЙ
We determine the subspaces of solutions of the systems of Laplace and heat-conduction differential equations isometric to
the corresponding spaces of real functions determined on the set of real numbers.
Знайдено пiдпростори розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лапласа i теплопровiдностi, що iзометричнi
вiдповiдним просторам дiйсних функцiй, визначених на множинi дiйсних чисел.
1. Вступ. У статтi [1] побудовано простори функцiй n + k змiнних, iзометричнi просторам
дiйсних функцiй, заданих на дiйсному n-вимiрному евклiдовому просторi. Для побудови пiд-
просторiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь i їхнiх систем, iзометричних просторам дiйсних
функцiй, було необхiдно встановити умови збiжностi згортки функцiй iз дельтоподiбним ядром
до цiєї функцiї. Це було зроблено у статтi [2]. В данiй статтi видiлено пiдпростори розв’язкiв
систем диференцiальних рiвнянь, якi є просторами згорток iз дельтоподiбними ядрами Абеля –
Пуассона, Ґаусса – Вейєрштрасса, що iзометричнi просторам дiйсних функцiй однiєї змiнної.
При доведеннi отриманих результатiв використовуються твердження з робiт [1 – 3] i методи
їхнiх доведень.
Нехай \Pi
+
n =
\bigl\{
(x, y) = (x, y1, . . . , yi, . . . , yn) : (x \in R) \wedge (yi \geq 0) \wedge (i = 1, n)
\bigr\}
— пiдпрос-
тiр простору (n + 1)-вимiрних векторiв Rn+1, у яких всi координати вектора y невiд’ємнi;
\Pi +
n =
\bigl\{
(x, y) = (x, y1, . . . , yi, . . . , yn) : (x \in \BbbR ) \wedge (yi > 0) \wedge (i = 1, n)
\bigr\}
— пiдпростiр простору
\Pi
+
n векторiв, в яких всi координати вектора y додатнi; C\Pi
+
n — простори неперервних i обме-
жених функцiй на множинi \Pi
+
n ; C
\infty (\Pi +
n ) — простори нескiнченно диференцiйовних функцiй
на множинi \Pi +
n , тобто функцiй, у яких частиннi похiднi будь-якого порядку неперервнi на
множинi \Pi +
n ; M
+(\Pi +
n ) — простори функцiй f(x, y) = f(x, y1, . . . , yn), визначених на множи-
нi \Pi +
n i обмежених при кожному y \geq y0 > 0, тобто таких, для яких при кожному y0 > 0
виконується нерiвнiсть \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}y\geq y0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR | f(x, y)| < K(y0), де K(y0) — стала, що залежить ли-
ше вiд y0, нерiвнiсть y0 > 0 означає, що всi координати вектора y0 додатнi, а нерiвнiсть
y \geq y0 — що всi координати вектора y0 не перевищують вiдповiдних координат вектора y;
\Gamma (\Pi
+
n ) — простiр функцiй, заданих на множинi \Pi
+
n i таких, що майже для всiх дiйсних x iснує
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow 0+0 f(x, y) = f(x, 0, . . . , 0).
Нехай mk i nk — довiльнi взаємно простi натуральнi числа,
Py(x) =
1
2\pi
\infty \int
- \infty
e
-
n\sum
k=1
yk| u|
e - iux du =
1
\pi
\infty \int
0
e
-
n\sum
k=1
yku
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ux du, (1)
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8 1011
1012 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Wy(x) =
1
2\pi
\infty \int
- \infty
e
-
n\sum
k=1
yku
2
e - iux du =
1
\pi
\infty \int
0
e
-
n\sum
k=1
yku
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ux du, (2)
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x) =
1
2\pi
\infty \int
- \infty
e
-
\Biggl(
k\sum
j=1
yju
2+
n\sum
j=k+1
yj | u|
\Biggr)
e - iux du, (3)
\Psi
m/\ell
y (x) =
1
2\pi
\infty \int
- \infty
e
-
n\sum
k=1
yk| u| mk/\ell k
e - iux du =
1
\pi
\infty \int
0
e
-
n\sum
k=1
yku
mk/\ell k
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ux du (4)
— вiдповiдно дельтоподiбнi ядра Абеля – Пуассона, Ґаусса – Вейєрштрасса, їхнi згортки та уза-
гальнення,
\widetilde Py(x) =
1
2\pi
\infty \sum
k= - \infty
e
-
n\sum
j=1
yj | k|
e - ikx =
1
\pi
\left( 1
2
+
\infty \sum
k=1
e
-
n\sum
j=1
yjk
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\right) ,
\widetilde Wy(x) =
1
2\pi
\infty \sum
k= - \infty
e
-
n\sum
j=1
yjk
2
e - ikx =
1
\pi
\left( 1
2
+
\infty \sum
k=1
e
-
n\sum
j=1
yjk
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\right) ,
\Bigl( \widetilde Wyk \ast \widetilde Pyn - k
\Bigr)
(x) =
1
2\pi
\infty \sum
m= - \infty
e
-
\Biggl(
k\sum
j=1
yjm
2+
n\sum
j=k+1
yj | m|
\Biggr)
e - imx,
\widetilde \Psi m/\ell
y (x) =
1
2\pi
\infty \sum
k= - \infty
e
-
n\sum
j=1
yj | k| mj/\ell j
e - ikx =
1
\pi
\left( 1
2
+
\infty \sum
k=1
e
-
n\sum
j=1
yjk
mj/\ell j
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\right)
— їхнi 2\pi -перiодичнi аналоги, апроксимативнi властивостi яких в одновимiрному випадку ви-
вчалися в роботах [4 – 9]. Згiдно з теоремою диференцiювання по параметру пiд знаком iнтегра-
ла, ядра (1) – (4) є нескiнченно диференцiйовними функцiями на множинi \Pi +
n i на цiй множинi
задовольняють вiдповiдно рiвняння
\partial 2Py(x)
\partial x2
+
\partial 2Py(x)
\partial y2i
= 0,
\partial 2 \widetilde Py(x)
\partial x2
+
\partial 2 \widetilde Py(x)
\partial y2i
= 0, i = 1, n,
\partial 2Wy(x)
\partial x2
=
\partial 2Wy(x)
\partial y2i
,
\partial 2\widetilde Wy(x)
\partial x2
=
\partial 2\widetilde Wy(x)
\partial y2i
, i = 1, n;
\partial 2
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial x2
=
\partial
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial yi
, i = 1, k,
\partial 2
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial x2
+
\partial 2
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial y2i
= 0, i = k + 1, n;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1013
\partial 2
\Bigl( \widetilde Wyk \ast \widetilde Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial x2
=
\partial
\Bigl( \widetilde Wyk \ast \widetilde Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial yi
, i = 1, k,
\partial 2
\Bigl( \widetilde Wyk \ast \widetilde Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial x2
+
\partial 2
\Bigl( \widetilde Wyk \ast \widetilde Pyn - k
\Bigr)
(x)
\partial y2i
= 0, i = k + 1, n.
Позначимо через X один iз просторiв функцiй C, L\infty , Lp i \widehat Lp, визначених на множинi
всiх дiйсних чисел \BbbR вiдповiдно з нормами
\| f\| C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| f(x)| , \| f\| \infty = ess \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| f(x)| ,
\| f\| p =
\left( +\infty \int
- \infty
| f(x)| pdx
\right) 1/p , \| f\| \widehat p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\in \BbbR
\left( a+2\pi \int
a
| f(x)| pdx
\right) 1/p ,
\widetilde X — один iз просторiв 2\pi -перiодичних функцiй \widetilde C, \widetilde L\infty i \widetilde Lp вiдповiдно з нормами
\| f\| \widetilde C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [ - \pi ,\pi ]
| f(x)| , \| f\| \widetilde \infty = ess \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [ - \pi ,\pi ]
| f(x)| , \| f\| \widetilde p =
\left( \pi \int
- \pi
| f(x)| pdx
\right) 1/p ,
де p \geq 1, XMn, \widetilde XMn, XMn i \widetilde XMn — простори функцiй n+1 змiнної вiдповiдно з нормами
\| f\| XMn = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y>0
\{ \| f(x, y)\| X\} , \| f\| \widetilde XMn
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y>0
\bigl\{
\| f(x, y)\| \widetilde X\bigr\} ,
\| f\| XMn
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\geq 0
\{ \| f(x, y)\| X\} , \| f\| \widetilde XMn
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\geq 0
\bigl\{
\| f(x, y)\| \widetilde X\bigr\} ,
\{ X \ast Ky\} =
\left\{ u(x, y) = (f \ast Ky)(x) =
\infty \int
- \infty
f(x - t)Ky(t) dt : (f \in X) \wedge (y > 0)
\right\} ,
\Bigl\{ \widetilde X \ast \widetilde Ky
\Bigr\}
=
\left\{ \widetilde u(x, y) = ( \widetilde f \ast \widetilde Ky)(x) =
\pi \int
- \pi
\widetilde f(x - t) \widetilde Ky(t) dt : ( \widetilde f \in \widetilde X) \wedge (y > 0)
\right\} ,
\bigl\{
X\ast Ky
\bigr\}
=
\left\{ u(x, y) =
\left\{ (f \ast Ky)(x) =
\int +\infty
- \infty
f(x - t)Ky(t) dt : (f \in X) \wedge (y > 0),
f(x), y = 0
\right\} ,
\Bigl\{ \widetilde X\ast \widetilde Ky
\Bigr\}
=
\left\{ \widetilde u(x, y) =
\left\{ ( \widetilde f \ast \widetilde Ky)(x)=
\int \pi
- \pi
\widetilde f(x - t)\widetilde Ky(t) dt : ( \widetilde f \in \widetilde X)\wedge (y > 0),\widetilde f(x), y = 0
\right\}
— пiдпростори згорток iз дельтoподiбними ядрами просторiв XMn, \widetilde XMn, XMn i \widetilde XMn, якi
є частинними випадками просторiв iз роботи [1], де Ky(t) i \widetilde Ky(t) — вiдповiдно неперiодичне
i 2\pi -перiодичне вiдносно змiнної t дельтоподiбнi ядра, що при будь-якому a > 0 i 0 < \delta < \pi
задовольняють умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1014 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
+\infty \int
- \infty
Ky(t) dt = 1 =
\pi \int
- \pi
\widetilde Ky(t) dt,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0+0
\int
\BbbR \setminus [ - a,a]
| Ky(t)| dt = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0+0
\pi - \delta \int
- \pi +\delta
\bigm| \bigm| \widetilde Ky(t)
\bigm| \bigm| dt = 0.
Якщо n = 1, то в записах XMn, \widetilde XMn, XMn i \widetilde XMn iндекс n не пишемо.
З’ясуємо, для яких систем диференцiальних рiвнянь пiдпростори їхнiх розв’язкiв збiгаються
з просторами згорток iз дельтоподiбними ядрами.
Позначимо через N
m/\ell
y простiр розв’язкiв системи
\partial miu (x, y1, . . . , yn)
\partial xmi
+ ( - 1)\ell i+1+(mi/2)
\partial \ell iu (x, y1, . . . , yn)
\partial y\ell ii
= 0, i = 1, k,
\partial 2miu (x, y1, . . . , yn)
\partial x2mi
+
\partial 2\ell iu (x, y1, . . . , yn)
\partial y2\ell ii
= 0, i = k + 1, n,
(5)
де \Pi +
n — область визначення системи (5). Виявляється, що простори згорток iз дельтоподiбними
ядрами є пiдпросторами розв’язкiв системи (5). Через Ki будемо позначати сталi, взагалi
кажучи, рiзнi. Справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Нехай mi i \ell i — взаємно простi натуральнi числа i при i = 1, 2, . . . , k числа mi
парнi, а при i = k + 1, k + 2, . . . , n — непарнi. Тодi при p \geq 1 справджуються спiввiдношення\Bigl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widehat LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
, (6)\biggl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widehat LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
. (7)
Доведення. У статтi [3] було встановлено, що\Bigl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y
\Bigr\}
\subseteq \widehat LpMn,
\biggl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq \widehat LpMn.
Для спрощення записiв будемо розглядати функцiї u(x, y1, y2) трьох змiнних. Тодi, згiдно з
лемою 3 i наслiдком 2 iз [1],
\Psi
m/\ell
y (x) = \Psi m/\ell
y1,y2(x) =
\Bigl(
\Psi m1/\ell 1
y1 \ast \Psi m2/\ell 2
y2
\Bigr)
(x) =
=
1
2\pi
\infty \int
- \infty
e - (y1| u|
m1/\ell 1+y2| u| m2/\ell 2)e - iux du, (8)
i систему (5) можна записати у виглядi
\partial m1u (x, y1, y2)
\partial xm1
+ ( - 1)\ell 1+1+(m1/2)\partial
\ell 1u (x, y1, y2)
\partial y\ell 11
= 0,
\partial 2m2u (x, y1, y2)
\partial x2m2
+
\partial 2\ell 2u (x, y1, y2)
\partial y2\ell 22
= 0.
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1015
У статтi [3] встановлено, що для кожної функцiї f \in \widehat Lp функцiї (f \ast \Psi
m1/\ell 1
y1 )(x)
i (f \ast \Psi
m2/\ell 2
y2 )(x) належать простору M+
\bigl(
\Pi +
1
\bigr)
. Тому, згiдно з означенням, при кожному
y1 \geq y01 > 0 виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m1/\ell 1
y1
\Bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| < K1(y
0
1), (10)
а при y2 \geq y02 > 0 — нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m2/\ell 2
y2
\Bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| < K2(y
0
2), (11)
де K1(y
0
1) i K2(y
0
2) — сталi, що залежать вiд y01 i y02. Якщо y1 \geq y01, то з нерiвностi (10),
враховуючи, що ядро \Psi
m2/\ell 2
y2 належить простору LM i норма цього простору iнварiантна
вiдносно зсуву, отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m/\ell
y1,y2
\Bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m1/\ell 1
y1
\Bigr)
(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Psi m2/\ell 2
y2 (x - t)
\bigm| \bigm| \bigm| dt \leq
\leq K1(y
0
1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi m2/\ell 2
y2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
LM
. (12)
Аналогiчно, якщо y2 \geq y02, то з нерiвностi (11) маємо
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m/\ell
y1,y2
\Bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \ast \Psi m2/\ell 2
y2
\Bigr)
(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Psi m1/\ell 1
y1 (x - t)
\bigm| \bigm| \bigm| dt \leq
\leq K2(y
0
2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi m1/\ell 1
y1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
LM
. (13)
Iз нерiвностей (12), (13) i означення простору M+(\Pi +
2 ) випливає, що при p \geq 1 справджуються
спiввiдношення \Bigl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y1,y2
\Bigr\}
\subseteq M+
\bigl(
\Pi +
2
\bigr)
,
\biggl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y1,y2
\biggr\}
\subseteq M+
\bigl(
\Pi +
2
\bigr)
.
Доведемо, що кожна функцiя u(x, y1, y2) = (f \ast \Psi
m/\ell
y1,y2)(x) належить простору C\infty \bigl( \Pi +
2
\bigr)
,
тобто має неперервнi частиннi похiднi всiх порядкiв на множинi \Pi +
2 . Нехай A(x, y1, y2) —
довiльна точка множини \Pi +
2 ,
M2
\bigl(
x0, a, y
0, b
\bigr)
= [x0 - a, x0 + b]\times
\bigl[
y01, y
0
1 + b
\bigr]
\times
\bigl[
y02, y
0
2 + b
\bigr]
–– пiдмножина \Pi +
2 , що мiстить точку A(x, y1, y2), g(x, y, t) = g(x, y1, y2, t) = f(t)\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t).
Доведемо, що в усiх точках множини M2(x0, a, y
0, b) справджуються рiвностi
\partial ku(x, y1, y2)
\partial xk
=
\infty \int
- \infty
\partial kg(x, y1, y2, t)
\partial xk
dt, (14)
\partial ku(x, y1, y2)
\partial yki
=
\infty \int
- \infty
\partial kg(x, y1, y2, t)
\partial yki
dt (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1016 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
i функцiї
\partial ku(x, y1, y2)
\partial xk
,
\partial ku(x, y1, y2)
\partial yki
неперервнi на множинi M2(x0, a, y
0, b).
Оскiльки дельтоподiбне ядро \Psi
m/\ell
y1,y2(x) нескiнченно диференцiйовне на множинi \Pi +
2 i за-
довольняє умови теореми диференцiювання по параметру пiд знаком iнтеграла, то
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
=
1
\pi
\infty \int
0
uke - (y1u
m1/\ell 1+y2um2/\ell 2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (ux+ k\pi /2) du, (16)
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
= - ( - 1)k
\pi
\infty \int
0
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ux du (17)
i майже при всiх фiксованих дiйсних t функцiї
\partial kg(x, y1, y2, t)
\partial xk
= f(t)
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t)
\partial xk
, (18)
\partial kg(x, y1, y2, t)
\partial yki
= f(t)
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t)
\partial yki
(19)
є нескiнченно диференцiйовними на \Pi +
2 , а отже, i неперервними на M2(x0, a, y
0, b). Тодi
рiвностi (14), (15) на пiдставi рiвностей (18), (19) рiвносильнi рiвностям
\partial ku(x, y)
\partial xk
=
\infty \int
- \infty
f(t)
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t)
\partial xk
dt, (20)
\partial ku(x, y)
\partial yki
=
\infty \int
- \infty
f(t)
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t)
\partial yki
dt. (21)
Для доведення рiвностей (14), (15) достатньо встановити, що майже при всiх дiйсних t в усiх
точках множини M2(x0, a, y
0, b) виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial kg(x, y1, y2, t)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq h1(t),
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial kg(x, y1, y2, t)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq h2(t),
де h1 i h2 належать L. Iз рiвностi (16), iнтегруючи частинами, отримуємо
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
= - 1
\pi x2
\infty \int
0
\Bigl(
uke - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 )
\Bigr) \prime \prime
u2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du =
= - 1
\pi x2
\infty \int
0
\Bigl(
(y1m1)
2u2(m1/\ell 1 - 1)+k/\ell 21 - y1m1(2k +m1/\ell 1 - 1)um1/\ell 1+k - 2/\ell 1+
+(y2m2)
2u2(m2/\ell 2 - 1)+k/\ell 22 - y2m2(2k +m2/\ell 2 - 1)um2/\ell 2+k - 2/\ell 2+
+ 2y1y2m1m2u
m1/\ell 1+m2/\ell 2+k - 2/\ell 1\ell 2 + k(k - 1)uk - 2
\Bigr)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1017
\times e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du. (22)
Якщо \beta > - 1 i y1 > 0 то, виконуючи замiну змiнних, маємо
\infty \int
0
u\beta e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) du \leq
\infty \int
0
u\beta e - y1um1/\ell 1
du =
=
\ell 1y
- (\beta +1)\ell 1/m1
1
m1
\infty \int
0
t(\beta +1)\ell 1/m1 - 1e - t dt = K1y
- (\beta +1)\ell 1/m1
1 . (23)
Аналогiчно, якщо y2 > 0 i \beta > - 1, то
\infty \int
0
u\beta e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) du \leq K2y
- (\beta +1)\ell 2/m2
2 . (24)
Використовуючи нерiвностi (23), (24), одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
uk - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K3(y1, y2), (25)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y1y2
\infty \int
0
um1/\ell 1+m2/\ell 2+k - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K4(y1, y2), (26)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y2
\infty \int
0
um2/\ell 2+k - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K5(y1, y2), (27)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y22
\infty \int
0
u2(m2/\ell 2 - 1)+ke - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K6(y1, y2), (28)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y1
\infty \int
0
um1/\ell 1+k - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K7(y1, y2), (29)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y21
\infty \int
0
u2(m1/\ell 1 - 1)+ke - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(ux+ k\pi /2) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K8(y1, y2). (30)
Iз спiввiдношень (22), (25) – (30) випливає, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
x2
K9(y1, y2). (31)
Якщо kmi/\ell i \geq 1, то з рiвностi (17), мiркуючи, як i при доведеннi нерiвностi (31), маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
x2
K10(y1, y2). (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1018 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Нехай kmi/\ell i < 1 й \alpha = 1 - kmi/\ell i > 0. Iз рiвностi (17), iнтегруючи частинами, отримуємо
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
= - ( - 1)k
\pi x
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ux du =
=
( - 1)k+1
\pi x
\infty \int
0
\biggl(
kmi
\ell i
ukmi/\ell i - 1 - y1m1
\ell 1
ukmi/\ell i+m1/\ell 1 - 1 +
y2m2
\ell 2
ukmi/\ell i+m2/\ell 2 - 1
\biggr)
\times
\times e - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ux du. (33)
Оскiльки kmi/\ell i < 1, то функцiя
\Bigl(
ukmi/\ell i - 1e - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
не є абсолютно iнтегровною
на (0,\infty ). Тому не можна iнтегрувати частинами, як у спiввiдношеннi (22). З огляду на те,
що функцiя
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
ux
2
абсолютно неперервна вiдносно змiнної u на
промiжку [0,\infty ), iнтегруючи частинами, одержуємо
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ux du =
=
4
x
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
ux
2
d
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
ux
2
\Bigr)
=
= - 4
x
\left( \infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime \prime
u2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du+
+
x
4
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ux du
\right) . (34)
Iз рiвностi (34) випливає, що
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime
u
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ux du =
= - 2
x
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime \prime
u2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du, (35)
а iз (33), (35) — що
\partial k\Psi
m/\ell
y1,y2
\partial yki
(x) =
2( - 1)k
\pi x2
\infty \int
0
\Bigl(
ukmi/\ell ie - y1um1/\ell 1 - y2um2/\ell 2
\Bigr) \prime \prime
u2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du =
=
2( - 1)k
\pi x2
\infty \int
0
\Biggl( \biggl(
y1m1
\ell 1
\biggr) 2
u2(m1/\ell 1 - 1)+kmi/\ell i -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1019
- y1m1
\ell 1
\biggl(
m1
\ell 1
+
2kmi
\ell i
- 1
\biggr)
ukmi/\ell i+m1/\ell 1 - 2 +
\biggl(
y2m2
\ell 2
\biggr) 2
ukmi/\ell i+2(m2/\ell 2 - 1)+
+
2y1y2m1m2
\ell 1\ell 2
ukmi/\ell i+m1/\ell 1+m2/\ell 2 - 2 - y2m2
\ell 2
\biggl(
2kmi
\ell i
+
m2
\ell 2
- 1
\biggr)
ukmi/\ell i+m2/\ell 2 - 2+
+
kmi
\ell i
\biggl(
kmi
\ell i
- 1
\biggr)
ukmi/\ell i - 2
\Biggr)
e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du. (36)
Якщо y1 > 0, то, використовуючи замiну змiнних, отримуємо
1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+\gamma e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du \leq
\leq 1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+\gamma e - y1um1/\ell 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du =
=
2kmi/\ell i+\gamma
x2 - \alpha - \varepsilon
\infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\varepsilon tx
(tx)\alpha +\varepsilon
tkmi/\ell i+\gamma +\alpha +\varepsilon \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 - \alpha - \varepsilon (tx)e - y1(2t)m1/\ell 1
dt <
<
K11
x2 - \alpha - \varepsilon
\infty \int
0
t\gamma +1+\varepsilon e - y1(2t)m1/\ell 1
dt, (37)
де \varepsilon — таке довiльне додатне число, що \varepsilon < kmi/\ell i i \alpha + kmi/\ell i = 1. Якщо \gamma + 2 + \varepsilon > 0, то,
використовуючи замiну змiнних, мaємо
\infty \int
0
t\gamma +1+\varepsilon e - y1(2t)m1/\ell 1
dt =
\ell 1y
- (\gamma +2+\varepsilon )\ell 1/m1
1
m12\gamma +2+\varepsilon
\infty \int
0
\nu (\gamma +2+\varepsilon )\ell 1/m1 - 1e - \nu d\nu =
= K12y
- (\gamma +2+\varepsilon )\ell 1/m1
1 . (38)
Iз спiввiдношень (37), (38) випливає, що якщо y1 > 0 i \gamma + 2 + \varepsilon > 0, то
1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+\gamma e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
K13y
- (\gamma +2+\varepsilon )\ell 1/m1
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
. (39)
Аналогiчно, якщо y2 > 0 i \gamma + 2 + \varepsilon > 0, то
1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+\gamma e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
K14y
- (\gamma +2+\varepsilon )\ell 2/m2
2
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
, (40)
i з нерiвностей (39), (40) випливає, що
1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+\gamma e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K15(y1, y2), (41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1020 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
де 0 < \varepsilon < kmi/\ell i < 1. Використовуючи нерiвностi (39) – (41) i враховуючи, що \gamma + 2+ \varepsilon > 0,
знаходимо
1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K16(y1, y2), (42)
y2
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+m2/\ell 2 - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K17(y1, y2), (43)
y1y2
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+m1/\ell 1+m2/\ell 2 - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
<
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K18(y1, y2), (44)
y22
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+2m2/\ell 2 - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K19(y1, y2), (45)
y1
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+m1/\ell 1 - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K20(y1, y2), (46)
y21
x2
\infty \int
0
ukmi/\ell i+2m1/\ell 1 - 2e - (y1um1/\ell 1+y2um2/\ell 2 ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
ux
2
du <
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K21(y1, y2). (47)
Iз спiввiдношень (36), (42) – (47) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
K22(y1, y2), (48)
де 0 < \varepsilon < kmi/\ell i < 1. Якщо y1 > 0, то з рiвностi (16), використовуючи замiну змiнних,
одержуємо \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
\pi
\infty \int
0
uke - y1um1/\ell 1
du =
=
\ell 1y
- (k+1)\ell 1/m1
1
m1\pi
\infty \int
0
t(k+1)\ell 1/m1 - 1e - t dt = K23y
- (k+1)\ell 1/m1
1 . (49)
Якщо y2 > 0, то аналогiчно \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K24y
- (k+1)\ell 2/m2
2 . (50)
Iз нерiвностей (49), (50) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1021\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K25(y1, y2). (51)
Аналогiчно, з рiвностi (17) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K26(y1, y2). (52)
Нагадаємо, що A(x, y1, y2) — довiльна точка, що належить множинi M2(x0, a, y
0, b), i y01 > 0
або y02 > 0. Тодi
0 \leq y01 \leq y1 \leq y01 + b, 0 \leq y02 \leq y2 \leq y02 + b. (53)
Якщо kmi/\ell i \geq 1, то з нерiвностей (31), (32), (51) i (52) з урахуванням нерiвностi (53)
одержуємо \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K25,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K26,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K27
x2
,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K28
x2
.
(54)
Iз нерiвностей (54) випливає нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| <
\left\{ K25, | x| \leq
\sqrt{}
K27/K25,
K27/x
2, | x| >
\sqrt{}
K27/K25.
(55)
Оскiльки x0 - a \leq x \leq x0 + a, то з нерiвностi (55) випливає, що для кожної точки (x, y1, y2)
множини M2(x0, a, y
0, b) виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi
m/\ell
y1,y2(x - t)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \ell (t), (56)
де
\ell (t) =
\left\{
K27/(t - (x0 - a))2, t < -
\sqrt{}
K27/K25 + x0 - a = a1,
K25, a1 \leq t \leq
\sqrt{}
K27/K25 + x0 + a = b1,
K27/(t - (x0 + a))2, t > b1.
(57)
Iз спiввiдношень (18), (57) випливає, що в кожнiй точцi A(x, y1, y2) iз множини M2(x0, a, y
0, b)
виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial kg(x, y1, y2, t)
\partial xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | f(t)| | \ell (t)| = h1(t). (58)
Оскiльки f(t) належить \widehat Lp, то iз спiввiдношень (57), (58), використовуючи при цьому нерiв-
нiсть (13) iз [2], отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1022 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\infty \int
- \infty
h1(t) dt \leq (2\pi )1/q\| f\| \widehat p
\infty \sum
k= - \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [k,k+1]
| \ell (t)| , (59)
де 1/p + 1/q = 1. Iз рiвностi (57), враховуючи невiд’ємнiсть та абсолютну iнтегровнiсть
функцiї \ell (t), її строге зростання на промiжку ( - \infty , a1] i строге спадання на промiжку [b1,+\infty ),
одержуємо
\infty \sum
k= - \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [k,k+1]
| \ell (t)| =
[a1] - 1\sum
k= - \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [k - 1,k]
\ell (t) +
[b1]+1\sum
k=[a1] - 1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [k,k+1]
\ell (t)+
+
\infty \sum
k=[b1]+1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [k,k+1]
\ell (t) \leq
[a1]\int
- \infty
\ell (t) dt+K25 ([b1] + 2 - [a1]) +
\infty \int
[b1]
\ell (t) dt < K29. (60)
Iз нерiвностей (59), (60) випливає, що h1 належить L. Аналогiчно доведемо, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial kg(x, y1, y2, t)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq h2(t) i h2 належить L. Отже, справджується рiвнiсть (14), при kmi/\ell i \geq 1
— рiвнiсть (15), i функцiї
\partial kg(x, y1, y2)
\partial xk
,
\partial kg(x, y1, y2)
\partial yki
неперервнi на множинi M2(x0, a, y
0, b).
Якщо ж kmi/\ell i < 1, то з (48) на пiдставi нерiвностi (53) маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial k\Psi m,\ell
y1,y2(x)
\partial yki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < K30
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
,
де 0 < \varepsilon < kmi/\ell i. В подальшому доведення неперервностi функцiї
\partial k\Psi m,\ell
y1,y2(x)
\partial yki
i рiвностi (21),
на пiдставi монотонностi функцiї
1
x1 - \varepsilon +kmi/\ell i
на iнтервалi (0,\infty ) i абсолютної iнтегровностi
на промiжку [a,+\infty ), де a — довiльне додатне число, проводиться аналогiчно. Аналогiчно
можна встановити, що в усiх точках множини \Pi +
2 справджуються рiвностi
\partial m+ku(x, y1, y2)
\partial xm\partial yki
=
\infty \int
- \infty
\partial m+kg(x, y1, y2, t)
\partial xm\partial yki
dt
i функцiї
\partial m+ku(x, y1, y2)
\partial xm\partial yki
неперервнi на множинi \Pi +
2 , де k i m –– довiльнi натуральнi числа.
Отже, функцiя u(x, y1, y2) належить простору C\infty (\Pi +
2 ).
Iз рiвностей (16), (17), (20) i (21) випливає, що функцiя u(x, y1, y2) є розв’язком системи (9),
тобто належить простору N
m/\ell
y1,y2 . Отже, при p \geq 1 мають мiсце спiввiдношення\Bigl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y1,y2
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty \bigl( \Pi +
2
\bigr)
\cap \widehat LpM2 \cap M+
\bigl(
\Pi +
2
\bigr)
\cap Nm/\ell
y1,y2
\Bigr\}
.
Аналогiчно можна довести, що при y = (y1, . . . , yn) > 0 i p \geq 1 справджуються спiввiд-
ношення (6) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1023\biggl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty \bigl( \Pi +
n
\bigr)
\cap \widehat LpMn \cap M+
\bigl(
\Pi +
n
\bigr)
\cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
. (61)
Оскiльки ядра \Psi
mi/\ell i
yi (x) при mi/\ell i \leq 1 задовольняють умови теореми 2, а при mi/\ell i > 1
–– наслiдку 3 з [1 c. 1487] i при доведеннi цiєї теореми i наслiдку було встановлено, що
дельтоподiбнi ядра задовольняють умови теореми 1 iз [2], то ядра \Psi
mi/\ell i
yi (x) задовольняють
умови теореми 3 iз [2]. Тодi на пiдставi рiвностi (8) за теоремою 3 iз [2] в кожнiй точцi Лебега
функцiї f iз простору \widehat Lp, а отже майже скрiзь на множинi дiйсних чисел, справджується
рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0+0
\Bigl(
f \ast \Psi m/\ell
y
\Bigr)
(x) = f(x). (62)
Тому з рiвностi (62), згiдно з означеннями просторiв \Gamma (\Pi
+
n ) i
\biggl\{ \widehat Lp\Psi
m/\ell
y
\biggr\}
, випливає, що кожна
функцiя u(x, y) iз простору
\biggl\{ \widehat Lp\Psi
m/\ell
y
\biggr\}
належить простору \Gamma (\Pi
+
n ). Отже, iз спiввiдношень (61)
випливає (7).
Теорему 1 доведено.
Зауваження. Якщо y2 = 0, то \Psi
m/\ell
y1,y2(x) = \Psi
m1/\ell 1
y1 (x) = \Psi
m/n
y i з спiввiдношень (6), (7)
випливає, що \Bigl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/n
y
\Bigr\}
\subseteq
\bigl\{
C\infty (\Pi +)
\bigr\}
,
\biggl\{ \widehat Lp \ast \Psi m/n
y
\biggr\}
\subseteq
\bigl\{
C\infty (\Pi +)
\bigr\}
.
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi справджуються спiввiдношення\biggl\{
C \ast \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
,\biggl\{ \widetilde C \ast \widetilde \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap \widetilde CMn \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
Lp \ast \Psi m/l
y
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
,\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi m/\ell
y
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
,\biggl\{
Lp \ast \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
,\biggl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi m/\ell
y
\biggr\}
\subseteq
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N
m/\ell
y
\Bigr\}
.
Доведення наслiдку 1 аналогiчне доведенню наслiдку 1 iз [3]. При цьому достатньо лише
замiнити простори CM, C(\Pi
+
), \Gamma (\Pi
+
), C\infty (\Pi +) i LpM, M+(\Pi +) вiдповiдно просторами
CMn, C(\Pi
+
n ), \Gamma (\Pi
+
n ), C
\infty (\Pi +
n ) i LpMn, M
+(\Pi +
n ), a ядро \Psi
m/n
y (x) ядром \Psi
m/\ell
y (x).
Позначимо через \Psi 1
y(x) = Py(x), \Psi 2
y(x) = Wy(x), \Psi 3
y(x) =
\Bigl(
Wyk \ast Pyn - k
\Bigr)
(x) вiдповiд-
но ядра Абеля – Пуассона (1), Ґаусса – Вейєрштрасса (2) i (3), \widetilde \Psi 1
y(x),
\widetilde \Psi 2
y(x) i \widetilde \Psi 3
y(x) — їхнi
2\pi -перiодичнi аналоги [10 – 15], N1
y , N
2
y i N3
y — простори розв’язкiв вiдповiдно систем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1024 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
\partial 2u(x, y)
\partial y2i
= 0, i = 1, n, (63)
\partial 2u(x, y)
\partial x2
=
\partial u(x, y)
\partial yi
, i = 1, n, (64)
\partial 2u(x, y)
\partial x2
=
\partial u(x, y)
\partial yi
, i = 1, k,
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
\partial 2u(x, y)
\partial y2i
= 0, i = k + 1, n,
(65)
де \Pi +
n –– область визначення розв’язкiв цих систем.
Виявляється, що простoри згорток з ядрами Абеля – Пуассона (1), Ґаусса- Вейєрштрасса (2)
i (3) збiгаються з пiдпросторами розв’язкiв систем (63) – (65).
Теорема 2. Якщо j = 1, 2, 3, то справджуються рiвностi\Bigl\{
C \ast \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
, (66)\Bigl\{ \widetilde C \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap \widetilde CMn \cap N j
y ,
\Bigr\}
(67)\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
, (68)\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
, (69)\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
, (70)
де 1 < p \leq \infty , а при p = 1 мають мiсце спiввiдношення\Bigl\{
L \ast \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{ \widetilde L \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
L \ast \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{ \widetilde L \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
.
(71)
Доведення. Оскiльки при вiдповiдних наборах чисел mj i \ell j ядра \Psi
m/\ell
y (x) збiгаються з
ядрами \Psi j
y(x), а простори розв’язкiв систем N
m/\ell
y (5) — iз просторами N j
y систем (63) – (65),
то, згiдно з наслiдком 1, при 1 \leq p \leq \infty виконуються спiввiдношення\Bigl\{
C \ast \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{ \widetilde C \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap \widetilde CMn \cap N j
y
\Bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1025\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,
(72)\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
\subset
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
,
з яких при p = 1 випливають спiввiдношення (71).
Нехай u(x, y) –– довiльна функцiя з простору
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N1
y
\Bigr\}
. Для спрощення
записiв будемо вважати, що n = 2. Тодi функцiя u(x, y) = u(x, y1, y2) є розв’язком системи
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
\partial 2u(x, y)
\partial y2i
= 0, i = 1, 2. (73)
Iз системи (73) випливає, що при y1 > 0 i фiксованому y02 \geq 0 функцiя u(x, y1, y
0
2) є розв’язком
рiвняння
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
\partial 2u(x, y)
\partial y21
= 0, (74)
а при y2 > 0 i фiксованому y01 \geq 0 — розв’язком рiвняння
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
\partial 2u(x, y)
\partial y22
= 0. (75)
Оскiльки u(x, y1, y2) \in C\infty (\Pi +
2 ) \cap C(\Pi
+
2 ), то при фiксованих y01 \geq 0 i y02 \geq 0
u(x, y1, y
0
2) \in
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
1 ) \cap C(\Pi
+
1 )
\Bigr\}
, u(x, y01, y2) \in
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
1 ) \cap C(\Pi
+
1 )
\Bigr\}
. (76)
Iз (73) – (76) на пiдставi теореми 2 iз [3] випливає, що при y1 > 0 i y02 \geq 0
u(x, y1, y
0
2) =
\infty \int
- \infty
u(t, 0, y02)Py1(x - t) dt, (77)
а при y2 > 0 i y01 \geq 0
u(x, y01, y2) =
\infty \int
- \infty
u(t, y01, 0)Py2(x - t) dt. (78)
Iз рiвностей (77), (78) випливає, що при y2 = 0 i y1 > 0
u(x, y1, 0) = (f \ast Py1)(x), (79)
при y1 = 0 i y2 > 0
u(x, 0, y2) = (f \ast Py2)(x),
а при y1 > 0 i y2 > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1026 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. М. БУШЕВ, М. IМАШ КИЗИ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
u(x, y1, y2) = (f \ast Py1 \ast Py2)(x), (80)
де
f(t) = u(t, 0, 0) \in C. (81)
Iз рiвностей (79) – (81) випливає, що функцiя u(x, y1, y2) належить простору
\bigl\{
C \ast Py1 \ast Py2
\bigr\}
=
=
\bigl\{
C \ast Py
\bigr\}
=
\Bigl\{
C \ast \Psi 1
y
\Bigr\}
, тобто
\Bigl\{
C\infty (\Pi +
2 ) \cap C(\Pi
+
2 ) \cap N1
y1,y2
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C \ast \Psi 1
y1,y2
\Bigr\}
.
Аналогiчно можна встановити, що\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
\subseteq
\Bigl\{
C \ast \Psi j
y
\Bigr\}
. (82)
Iз спiввiдношень (72), (82) випливає (66). Рiвностi (67) – (70) доводяться аналогiчно.
Теорему 2 доведено.
Iз теореми 1 з [1], наслiдку 1 з [1] i теореми 2 на пiдставi невiд’ємностi ядер \Psi j
y(x) i \widetilde \Psi j
y(x)
випливає таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай j = 1, 2, 3. Тодi пiдпростори розв’язкiв систем (63) – (65)\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
C \ast \Psi j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap \widetilde CMn \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{ \widetilde C \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
u(x, y) \in C\infty (\Pi +
n ) \cap C(\Pi
+
n ) \cap N j
y : u(x, 0) \in Cr
\Bigr\}
=
\Bigl\{
Cr \ast \Psi j
y
\Bigr\}
iзометричнi вiдповiдно просторам C, \widetilde C i Cr, де Cr — пiдпростiр рiвномiрно неперервних
функцiй простору C.
Якщо 1 < p \leq \infty , то пiдпростори розв’язкiв систем (63) – (65)\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap \Gamma (\Pi
+
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
iзометричнi вiдповiдно просторам Lp i \widetilde Lp.
Якщо 1 < p < \infty , то пiдпростори розв’язкiв систем (63) – (65)\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{
Lp \ast \Psi j
y
\Bigr\}
,\Bigl\{
C\infty (\Pi +
n ) \cap \widetilde LpMn \cap M+(\Pi +
n ) \cap N j
y
\Bigr\}
=
\Bigl\{ \widetilde Lp \ast \widetilde \Psi j
y
\Bigr\}
iзометричнi вiдповiдно просторам Lp i \widetilde Lp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
IЗОМЕТРИЧНIСТЬ ПIДПРОСТОРIВ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1027
Лiтература
1. Bushev D. М. Isometry of functional spaces with diferent number of variables // Ukr. Math. J. – 1998. – 50, № 8. –
P. 1170 – 1191.
2. Bushev D. М.,Kharkevych Yu. I. Conditions of convergence almost everywhere for the convolution of a function with
delta-shaped kernel to this function // Ukr. Math. J. – 2016. – 67, № 11. – P. 1643 – 1661.
3. Бушев Д. Н., Харкевич Ю. И. Нахождение подпространств решений уравнения Лапласа и теплопроводности,
изометрических пространствам действительных функций, и некоторые их применения // Мат. заметки. – 2018. –
103, № 6. – С. 803 – 817.
4. Штарк Э. Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из Lip 1 от сингу-
лярного интеграла Абеля – Пуассона // Мат. заметки. – 1973. – 13, № 1. – С. 21 – 28.
5. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй їх iнтегралами Абеля –
Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – C. 73 – 82.
6. Kal’chuk I. V., Kharkevych Yu. I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes
by the Poisson integrals // Acta Comment. Univ. Tartu. Math. – 2018. – 22, № 1. – P. 23 – 36.
7. Жигалло Т. В., Харкевич Ю. I. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй, заданих на дiйснiй осi, операто-
рами Абеля – Пуассона // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 8. – C. 1097 – 1111.
8. Hrabova U. Z., Kal’chuk I. V., Stepanyuk T. A. Approximative properties of the Weierstrass integrals on the classes
W r
\beta H
\alpha // J. Math. Sci. (N.Y.) – 2018. – 231, № 1. – P. 41 – 47.
9. Грабова У. З., Кальчук I. В., Степанюк Т. А. Наближення функцiй iз класiв W r
\beta H
\alpha iнтегралами Вейєрштрасса //
Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 4. – C. 510 – 519.
10. Баскаков В. А. О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона // Мат. заметки. – 1975. –
17, № 2. – C. 169 – 180.
11. Фалалеев Л. П. Приближение сопряженных функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Мат.
заметки. – 2000. – 67, № 4. – C. 595 – 602.
12. Жигалло Т. В., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй iз класу C\psi \beta ,\infty iнтегралами Пуассона у рiвномiрнiй
метрицi // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 12. – C. 1612 – 1629.
13. Харкевич Ю. И., Степанюк Т. А. Аппроксимативные свойства интегралов Пуассона на классах C\psi \beta H
\alpha // Мат.
заметки. – 2014. — 96, № 6. – C. 939 – 952.
14. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй iнтегралами Вейєрштрасса // Укр.
мат. журн. – 2007. – 59, № 7. – C. 953 – 978.
15. Кальчук I. В. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй, заданих на дiйснiй осi, операторами Вейєрштрас-
са // Укр. мат. журн. – 2007. — 59, № 9. – С. 1201 – 1220.
Одержано 13.12.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1494 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:53Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a0/467784bcb0d39a6d2b0e2052e0d88da0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14942022-02-16T12:48:00Z Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions Ізометричність підпросторів розв’язків систем диференціальних рівнянь просторам дійсних функцій Imash kyzy, M. Abdullayev, F. G. Bushev, D. M. Kharkevych, Yu. I. Імаш кизи, М. Абдуллаєв, Ф. Г. Бушев, Д. М. Харкевич, Ю. І. . UDC 517.5 We determine the subspaces of solutions of the systems of Laplace and heat-conduction differential equations isometric to the corresponding spaces of real functions determined on the set of real numbers. УДК 517.5 Знайдено пiдпростори розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лапласа i теплопровiдностi, що iзометричнi вiдповiдним просторам дiйсних функцiй, визначених на множинi дiйсних чисел. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1494 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1011-1027 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1011-1027 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1494/478 Copyright (c) 2019 Imash kyzy M.; Abdullayev F. G.; Bushev D. M.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Imash kyzy, M. Abdullayev, F. G. Bushev, D. M. Kharkevych, Yu. I. Імаш кизи, М. Абдуллаєв, Ф. Г. Бушев, Д. М. Харкевич, Ю. І. Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title | Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title_alt | Ізометричність підпросторів розв’язків систем диференціальних рівнянь просторам дійсних функцій |
| title_full | Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title_fullStr | Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title_full_unstemmed | Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title_short | Isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| title_sort | isometry of the subspacesof solutions of systems of differential equations to the spaces of real functions |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1494 |
| work_keys_str_mv | AT imashkyzym isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT abdullayevfg isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT bushevdm isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT kharkevychyui isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT ímaškizim isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT abdullaêvfg isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT buševdm isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT harkevičûí isometryofthesubspacesofsolutionsofsystemsofdifferentialequationstothespacesofrealfunctions AT imashkyzym ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT abdullayevfg ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT bushevdm ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT kharkevychyui ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT ímaškizim ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT abdullaêvfg ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT buševdm ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj AT harkevičûí ízometričnístʹpídprostorívrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹprostoramdíjsnihfunkcíj |