Deformations in the general position of the optimal functions on oriented surfaces with boundary
UDC 516.91 It is considered simple functions with non-degenerated singularities on smooth compact oriented surfaces with the boundary. Authors describe a connection between optimality and polarity of Morse functions, $m$-functions and $mm$-functions on smooth compact oriented connected surfaces. T...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1495 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507285707554816 |
|---|---|
| author | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. |
| author_facet | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. |
| author_sort | Hladysh, B. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:29Z |
| description | UDC 516.91
It is considered simple functions with non-degenerated singularities on smooth compact oriented surfaces with the boundary.
Authors describe a connection between optimality and polarity of Morse functions, $m$-functions and $mm$-functions on smooth compact oriented connected surfaces. The concept of an equipped Kronrod – Reeb graph is used to define a deformation in general position. Also, it is obtained the whole list of deformations of simple functions of one of abovedescribed class on torus, 2-dimensional disc with the boundary and on connected sum of two toruses. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 516.91
Б. I. Гладиш, О. О. Пришляк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ
НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ З МЕЖЕЮ*
It is considered simple functions with non-degenerated singularities on smooth compact oriented surfaces with the boundary.
Authors describe a connection between optimality and polarity of Morse functions, m-functions and mm-functions on
smooth compact oriented connected surfaces. The concept of an equipped Kronrod – Reeb graph is used to define a
deformation in general position. Also, it is obtained the whole list of deformations of simple functions of one of above-
described class on torus, 2-dimensional disc with the boundary and on connected sum of two toruses.
Розглядаються деформацiї гладких функцiй iз невиродженими особливостями на гладких компактних орiєнтованих
поверхнях з межею. Описано зв’язок мiж оптимальнiстю та полярнiстю функцiй Морса, m- та mm-функцiй на
гладких компактних орiєнтованих зв’язних поверхнях. Для задання деформацiї загального положення використано
поняття оснащеного графа Кронрода – Рiба. Також знайдено всi можливi деформацiї простих функцiй одного з
вищеописаних класiв на торi, диску з дiркою i кренделi роду 2.
1. Вступ. Одним з основних об’єктiв дослiдження у багатьох роздiлах математики є гладкi
функцiї з невиродженими особливостями. Наприклад, М. Морс [1] (див. також [2, 3]) отримав
канонiчне зображення функцiй в околах невироджених критичних точок у виглядi многочлена
другого степеня. В свою чергу, О. В. Болсинов та А. Т. Фоменко ввели поняття атома та f -атома
(див. [4]) для подальшого розгляду пошарової та пошарово оснащеної еквiвалентностей. Також
А. С. Кронрод [5] та Г. Рiб [6] для класифiкацiї простих функцiй Морса на замкнених поверхнях
побудували граф, який був узагальнений авторами у роботi [7] на випадок поверхонь з межею.
Iншi важливi результати для двовимiрних многовидiв з межею отримано у [2, 3, 8 – 10].
Нагадаємо, що рiвнем c \in \BbbR функцiї f називається множина Lc = \{ f - 1(c)\} := \{ p \in
\in M | f(p) = c\} . Рiвень c називається критичним, якщо вiдповiдна лiнiя рiвня Lc мiстить
критичну точку, i регулярним — у протилежному випадку. Функцiя f : M \rightarrow \BbbR називається
простою (див. [8]), якщо на кожному рiвнi вона має не бiльше однiєї критичної точки. В цiй
роботi будемо розглядати лише простi функцiї.
Гладкi функцiї f i g, заданi на гладкiй компактнiй поверхнi M, називаються топологiчно
еквiвалентними, якщо iснують гомеоморфiзми h1 : M \rightarrow M, h2 : \BbbR \rightarrow \BbbR такi, що h2 \circ f =
= g \circ h1 та h2 зберiгає орiєнтацiю прямої \BbbR . Топологiчно еквiвалентнi функцiї f i g, заданi на
орiєнтованiй поверхнi M, називатимемо топологiчно \scrO -еквiвалентними, якщо (в попереднiх
позначеннях) гомеоморфiзм h1 зберiгає орiєнтацiю поверхнi M.
Топологiчнiй класифiкацiї функцiй iз невиродженими критичними точками на поверхнях
без межi присвячено працi [11 – 13]. У свою чергу, на поверхнях з межею топологiчну та
пошарову еквiвалентностi m-функцiй описано в роботах [14, 15]. У статтi [7] показано, що
функцiї, в яких невиродженi критичнi точки лежать на межi i є невиродженими критичними
точками обмеження функцiї на межу поверхнi, топологiчно еквiвалентнi m-функцiям.
Однопараметричнi сiм’ї (деформацiї) функцiй виникають у багатьох роздiлах як матема-
тики, так i її застосувань, наприклад у теорiї катастроф [18], теорiї особливостей [19], при
вивченнi просторiв функцiй [16, 17] тощо.
* Пiдтримано Австрiйською академiєю наук у рамках проекту мiж Австрiйською академiєю наук та НАН України
„Принципи астрофiзики елементарних частинок та квантової теорiї” (2017 – 2018).
c\bigcirc Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК, 2019
1028 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1029
Основною метою даної роботи є опис змiн оснащеного графа Кронрода – Рiба, а отже i
топологiчного типу функцiй, при деформацiях загального положення.
2. Деформацiї загального положення. Нехай M — гладка компактна зв’язна орiєнтована
поверхня з межею \partial M (можливо, \partial M = \varnothing ), f : M \rightarrow \BbbR — гладка функцiя (класу C(\infty )). Через
\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e} (M) позначатимемо множину всiх функцiй Морса на поверхнi M.
Означення 1. Функцiя f : M \rightarrow \BbbR називається m-функцiєю [9], якщо:
(a) всi критичнi точки функцiї f є невиродженими i не належать межi поверхнi;
(b) обмеження f\partial функцiї f на межу \partial M також є функцiєю Морса.
Критичнi точки m-функцiї f будемо називати внутрiшнiми, а обмеження f\partial функцiї на межу
— граничними.
Означення 2. Функцiя Морса f : M \rightarrow \BbbR називається mm-функцiєю [2], якщо обмеження
f\partial функцiї на межу \partial M також є функцiєю Морса i всi критичнi точки функцiї f належать
межi поверхнi \partial M.
Нехай \Sigma (M) — деякий клас простих гладких функцiй, заданих на гладкiй компактнiй зв’яз-
нiй орiєнтованiй поверхнi M.
Означення 3. Функцiя f \in \Sigma (M) називається оптимальною [2] на поверхнi M у класi
\Sigma (M), якщо вона має найменше число критичних точок на M серед усiх функцiй з \Sigma (M).
Означення 4. Деформацiєю (гладкою гомотопiєю) гладкої функцiї f0 \in \Sigma (M) у гладку
функцiю f1 \in \Sigma (M) називатимемо однопараметричну сiм’ю вiдображень ft(x) := F (x, t), F :
M \times [0, 1] \rightarrow \BbbR таку, що:
(a) F0(x) = f0(x), x \in M ;
(b) F1(x) = f1(x), x \in M ;
(c) F \in C\infty (M \times [0, 1]).
Нехай далi \Sigma (M) — одна з таких множин:
(1) простi функцiї Морса на замкненiй поверхнi;
(2) простi m-функцiї на компактнiй поверхнi з межею;
(3) простi mm-функцiї на компактнiй поверхнi з межею.
Означення 5. Гладкi функцiї f i g, заданi на гладких компактних поверхнях M i N вiдпо-
вiдно, називаються пошарово (пошарово оснащено) еквiвалентними [4], якщо iснує гомеомор-
фiзм \lambda : M \rightarrow N, що переводить компоненти лiнiї рiвня функцiї f у компоненти лiнiї рiвня
функцiї g (зберiгаючи при цьому напрямки росту функцiй).
Розглянемо окiл критичного рiвня c функцiї f, який позначимо через V = \{ x| c - \varepsilon \leq
\leq f(x) \leq c+\varepsilon \} . Тодi атом (f -атом) [4] визначається як клас пошарової (пошарово оснащеної)
еквiвалентностi пари (U, f | U ), де U — об’єднання компонент лiнiйної зв’язностi множини
V, якi мiстять критичнi точки. Таким чином, кожному атому вiдповiдають два f -атоми, якi
отримуються один з одного замiною знака функцiї. Якщо додатково гомеоморфiзм \lambda , який
задає пошарово оснащену еквiвалентнiсть функцiй f i g, заданих на орiєнтованих поверхнях
M i N вiдповiдно, зберiгає орiєнтацiю, то такi функцiї будемо називати \scrO -еквiвалентними [7].
Тодi для орiєнтованої поверхнi клас \scrO -еквiвалентностi пари (U, f | U ) називатимемо \scrO -атомом
[7]. Атом (\scrO -атом) будемо називати простим (див. [4]), якщо вiн мiстить одну критичну точку.
Оскiльки всi функцiї, якi будуть розглядатись у данiй статтi, є простими, то в подальшому
кожен атом та \scrO -атом також будуть простими.
В залежностi вiд iндексу критичної точки p0 та її належностi до межi поверхнi \partial M можли-
вими є такi 7 простих атомiв та 13 простих \scrO - або ж f -атомiв [7]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1030 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
(i) 3 атоми, якщо p0 \in \partial M : A, B i C, кожному з яких вiдповiдають 2 \scrO -атоми: A1, A2,
B1, B2 i C1, C2 (рис. 1);
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Рис. 1
(ii) 2 атоми, якщо p0 \not \in \partial M i атом не перетинається з межею поверхнi: D i E, та вiдповiдно
4 \scrO -атоми: D1, D2, E1, E2 (рис. 2);
(1) (2) (3) (4)
Рис. 2
(iii) 2 атоми, якщо p0 \not \in \partial M i атом мiстить частину межi поверхнi: F i G, яким вiдповiдають
3 \scrO -атоми: F1, F2 i G = G1 = G2 (рис. 3).
(1) (2) (3)
Рис. 3
Для атомiв, якi є пiдмножиною площини, їхня орiєнтацiя породжується орiєнтацiєю пло-
щини (рис. 1 (1, 2, 5, 6), 3 (3)). В iншому випадку (рис. 1 (3, 4), 2 (1, 2, 3, 4), 3 (1, 2)) зафiксуємо
орiєнтацiю таким чином: проти годинникової стрiлки на нижнiх колах (частинах кiл) та за
годинниковою стрiлкою на верхнiх колах (частинах кiл).
Нехай f \in \Sigma (M). Компоненти лiнiї рiвня функцiї f називатимемо шарами, причому для ре-
гулярних рiвнiв вони гомеоморфнi вiдрiзку або колу. Тодi поверхня M розiб’ється на об’єднання
шарiв, i отримаємо шарування з особливостями. Шар називатимемо шаром 1- (2-го) типу, якщо
вiн вiдповiдає компонентi лiнiї рiвня, гомеоморфнiй вiдрiзку (колу). Розглянемо вiдношення
еквiвалентностi на M, в якому точки будуть еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли вони на-
лежать одному шару. Далi, ввiвши фактор-топологiю в просторi шарiв, отримаємо деякий граф
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1031
\Gamma f , в якому ребра будемо зображувати звичайною (штриховою) лiнiєю, якщо вони поставленi
у вiдповiднiсть шарам 1- (2-го) типу. Вiдповiднi ребра називатимемо ребрами 1- та 2-го типу.
Тодi всi ребра графа розiб’ються на два типи, i таке розбиття називатимемо розбиттям ребер
графа \Gamma f .
Означення 6. Вершини валентностi 3 i 4 графа \Gamma f функцiї f, яким iнцидентнi ребра
лише 1-го типу, називаються \sansY - i \sansX -вершинами [7] вiдповiдно.
На графi \sansX -вершини будемо зображувати, як на рис. 4.
Для кожної \sansY -вершини графа \Gamma f зафiксуємо циклiчний порядок iнцидентних їхнiх ребер.
На рисунку будемо задавати його за допомогою обходу вiдповiдних ребер проти годинникової
стрiлки. Циклiчний порядок у \sansX -вершинi задається нумерацiєю ребер, як на рис. 4.
Рис. 4
Для розгляду пошарово оснащеної еквiвалентностi функцiй f i g зафiксуємо на графах \Gamma f
i \Gamma g орiєнтацiю ребер вiд нижньої до верхньої вершини. Оскiльки орiєнтацiя ребер задається
цим правилом однозначно на кожному графi, то на графах явно її зображувати не будемо, але
вважатимемо, що цю орiєнтацiю ребер задано.
Означення 7. Оснащеним графом Кронрода – Рiба [7] функцiї f \in \Sigma (M) будемо називати
граф \Gamma f разом iз заданим розбиттям, орiєнтацiєю ребер та їхнiм циклiчним порядком в \sansY -
та \sansX -вершинах.
Також на рис. 1 – 3 зображено частини оснащених графiв Рiба, поставленi у вiдповiднiсть
кожному з \scrO -атомiв, якi задають усi можливi варiанти будови оснащеного графа Кронрода –
Рiба в околi його вершин.
Означення 8. Деформацiєю загального положення називається деформацiя, для якої ви-
конуються такi умови:
(1) iснує скiнченна пiдмножина J \subset (0, 1) така, що Ft \in \Sigma (M), t \in [0, 1]\setminus J, та Ft \not \in
\not \in \Sigma (M), t \in J ;
(2) для кожного t \in J виконується одна з таких умов:
(2.1) функцiя ft має критичний рiвень, на якому розташованi двi невиродженi критичнi
точки (якi можуть бути внутрiшнiми або ж точками на межi), тобто функцiя ft є функцiєю
Морса, m- або mm-функцiєю вiдповiдно;
(2.2) iснують точка p \in M така, що функцiя ft є простою гладкою функцiєю, всi критичнi
точки якої є невиродженими, i така замiна координат (x, y i окремо t) в околi точки p, що:
(2.2.1) F (x, y, t) = x3 \pm tx\pm y2 у випадку, якщо p \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t} (M);
(2.2.2) F (x, y, t) = x3 \pm tx \pm y або F (x, y, t) = - x2 + (y - t)2, y \geq 0 у випадку, якщо
p \in \partial M i клас \Sigma (M) є класом m-функцiй;
(2.2.3) F (x, y, t) = x3 \pm tx \pm y2, y \geq 0 у випадку, якщо p \in \partial M i клас \Sigma (M) є класом
mm-функцiй.
Якщо у пп. (2.1) вiдповiднi двi критичнi точки лежать на рiзних компонентах рiвня функцiї,
то граф Рiба при цiй деформацiї не змiнюється; у випадку, коли вони лежать на однiй компонентi
межi, деформацiї перетворення графа Рiба зображено на рис. 5.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1032 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
Рис. 5
Деформацiям у пп. (2.2.1), у першiй частинi пп. (2.2.2) i (2.2.3) вiдповiдають скорочення
або введення пар критичних точок сусiднiх iндексiв, а у другiй частинi пп. (2.2.2) має мiсце
ситуацiя, коли критична точка рухається до межi поверхнi.
З урахуванням поняття корозмiрностi функцiї деформацiї загального положення мають таку
властивiсть: для всiх, крiм скiнченного числа, значень параметра t функцiя ft є функцiєю
корозмiрностi 0, а для скiнченного числа значень параметра t — функцiєю корозмiрностi 1.
Нагадаємо поняття корозмiрностi функцiї на замкнених поверхнях [20]. Нехай M — гладка
компактна поверхня, f \in C\infty (M,\BbbR ), CP (f) \in M i CV (f) \in \BbbR — множини критичних точок
та критичних значень функцiї f вiдповiдно. В околi (x, y) кожної критичної точки p \in CP (f)
розглянемо iдеал Якобi Jf =
\biggl\langle
\partial f
\partial x
,
\partial f
\partial y
\biggr\rangle
.
Означення 9. Корозмiрнiстю функцiї [20] f називається величина (натуральне число або
символ \infty )
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (f) =
\sum
p\in CP (f)
c(f, p) -
\sum
c\in CV (f)
d(f, c),
де c(f, p) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbR C
\infty (M,\BbbR )/Jf ; d(f, p, c) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ k | (f - c)k \in Jf\} , c = f(p) \in CV (f);
d(f, c) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ d(f, p, c) | p \in Lc\} , Lc — рiвень функцiї f.
Зауважимо, що вищеописана деформацiя буде деформацiєю загального положення [21].
Для простої гладкої функцiї f з множиною критичних точок CP (f) = \{ pi | i = 1, s\} та
критичних значень CV (f) =
\bigl\{
ci = f(pi) | i = 1, s
\bigr\}
останню формулу можна записати у
виглядi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (f) =
s\sum
i=1
(c(f, pi) - d(f, pi, ci)) .
Означення 10. Оснащенi графи Рiба \Gamma f i \Gamma g функцiй f, g \in \Sigma (M) називатимемо еквiва-
лентними [7] за iзоморфiзмом \varphi : \Gamma f \rightarrow \Gamma g (позначатимемо \Gamma f \sim \Gamma g або \Gamma f \sim \varphi \Gamma g ), якщо \varphi
задовольняє такi умови:
(1) зберiгає розбиття ребер;
(2) зберiгає циклiчнi порядки сумiжних ребер для кожної \sansX - та \sansY -вершини;
(3) зберiгає орiєнтацiю ребер.
Теорема 1 [7]. Нехай M,N — гладкi компактнi поверхнi (з межею), f \in \Sigma (M), g \in \Sigma (N).
Функцiї f i g є \scrO -еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли їхнi оснащенi графи Кронрода – Рiба
\Gamma f i \Gamma g еквiвалентнi.
Нехай \Gamma f — оснащений граф Кронрода – Рiба функцiї f \in \Sigma (M). Розглянемо вiдображення
\varphi : V (\Gamma f ) \rightarrow 2E(\Gamma f ), яке кожнiй вершинi v графа \Gamma f ставить у вiдповiднiсть множину всiх
iнцидентних їй ребер \{ pj | j = 1, i\} (для деякого i), як звичайних ej , так i штрихових lj , тобто
pj = ej або ж pj = lj (за необхiдностi у позначеннi ребра pi можна уточнювати iнцидентну
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1033
йому вершину v так: pvj ). На множинi вершин i ребер графа \Gamma f розглянемо два вiдношення
часткового порядку \prec i \vdash , визначенi таким чином: 1) v1 \prec v2, якщо вершина v1 вiдповiдає
меншому значенню функцiї f, нiж v2; 2) p1 \prec p2, якщо всi точки ребра p1 вiдповiдають
меншим значенням функцiї f, нiж всi точки p2; 3) нехай ребра p1 i p2, iнцидентнi однiй \sansY -
вершинi v, такi, що їх неможливо порiвняти за допомогою вiдношення часткового порядку \prec .
У вершинi v оснащений граф Кронрода – Рiба визначає циклiчний порядок. Якщо циклiчний
порядок проти (за) годинникової стрiлки, то будемо казати, що друге (перше) ребро при його
проходженнi знаходиться лiвiше вiд першого (другого). Тодi p1 \vdash p2, якщо p1 знаходиться
лiвiше вiд p2. Отже, вiдображення \varphi та вiдношення \prec , \vdash однозначно задають граф \Gamma f .
Означення 11. Простою деформацiєю оснащеного графа \Gamma f Кронрода – Рiба функцiї f \in
\in \Sigma (M) називається одна з наступних операцiй або обернена до неї (нехай v1, v2 — сумiжнi
вершини графа \Gamma f , v1 \prec v2):
(a) скорочення вершини v2 й iнцидентного їй ребра l1, якщо \varphi (v1) = \{ e1 \prec l1\} , \varphi (v2) =
= \{ l1\} ;
(b) скорочення ребра e2 та iнцидентних йому вершин v1 та v2, якщо \varphi (v1) = \{ e1 \prec e2 \vdash
\vdash e3\} , \varphi (v2) = \{ e2\} ;
(c) скорочення ребра l2 та iнцидентних йому вершин v1, v2, якщо \varphi (v1) = \{ l1 \prec l2 \vdash l3\} ,
\varphi (v2) = \{ l2\} ;
(d) у випадку, коли \varphi (v1) = \{ l1 \prec l2 \vdash l3\} , \varphi (v2) = \{ l2 \prec l4 \vdash l5\} , пiдняття вершини
v1 на ребро l3, тобто iзоморфiзм \eta такий, що \eta (v1) \prec \eta (v2) та \varphi (\eta (v1)) = \{ l1 \prec l2 \vdash l3\} ,
\varphi (\eta (v2)) = \{ l3 \prec l4 \vdash l5\} ;
(e) у випадку, коли \varphi (v1) = \{ e1 \prec e2 \vdash e3\} , \varphi (v2) = \{ e2 \prec e4 \vdash e5\} , пiдняття вершини
v1 на ребро e5, тобто iзоморфiзм \eta такий, що \eta (v2) \prec \eta (v1) та \varphi (\eta (v1)) = \{ e1 \prec e2 \vdash e3\} ,
\varphi (\eta (v2)) = \{ e4 \prec e5 \vdash e1\} ;
(f) у випадку, коли \varphi (v1) = \{ e1 \prec l1\} , \varphi (v2) = \{ l1 \prec l2 \vdash l3\} , протягування вершини
v1 на ребро l3, тобто iзоморфiзм \mu такий, що \mu (v2) \prec \mu (v1) та \varphi (\mu (v1)) = \{ e1 \prec l1\} ,
\varphi (\mu (v2)) = \{ e2 \prec l2 \vdash e1\} ;
(g) у випадку, коли \varphi (v1) = \{ l1 \prec l2 \vdash l3\} , \varphi (v2) = \{ l2 \prec e1\} , протягування вершини v2
на ребро l1, тобто iзоморфiзм \nu такий, що \nu (v2) \prec \nu (v1) та \varphi (\nu (v1)) = \{ e1 \prec l1 \vdash e2\} ,
\varphi (\nu (v2)) = \{ l2 \prec e1\} .
Простi деформацiї оснащених графiв Кронрода – Рiба зображено на рис. 6.
Означення 12. Деформацiєю оснащеного графа \Gamma f Кронрода – Рiба функцiї f \in \Sigma (M)
називається послiдовнiсть простих деформацiй.
Теорема 2. Якщо мiж функцiями f i g з класу \Sigma (M) iснує деформацiя загального поло-
ження, то iснує деформацiя мiж їхнiми оснащеними графами Кронрода – Рiба \Gamma f i \Gamma g.
Доведення випливає з означення та побудови графа Кронрода – Рiба.
Зауваження 1. Якщо кожна компонента критичного рiвня гомеоморфна вiдрiзку, то граф
Кронрода – Рiба можна вкласти у поверхню так, щоб, за винятком досить малих околiв критич-
них рiвнiв, точки графа були серединами компонент регулярних рiвнiв, а в околах критичних
рiвнiв кiнцi так побудованих кривих з’єднувалися кривими з вiдповiдними критичними точка-
ми. Тодi якщо деформацiю вкладеного оснащеного графа Кронрода – Рiба можна здiйснити в
поверхнi, то мiж вiдповiдними функцiями також iснує деформацiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1034 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
Рис. 6
Означення 13. Гладка функцiя f : M \rightarrow \BbbR називається полярною, якщо на M вона має
рiвно один мiнiмум i один максимум.
Теорема 3. Нехай M — гладка компактна зв’язна орiєнтована поверхня з межею \partial M
(можливо, \partial M = \varnothing ). Тодi мають мiсце такi твердження:
1) кожна оптимальна m-функцiя на M є полярною функцiєю на поверхнi M ;
2) функцiя Морса f : M \rightarrow \BbbR є оптимальною тодi i тiльки тодi, коли f є полярною
функцiєю;
3) mm-функцiя f : M \rightarrow \BbbR є оптимальною тодi i тiльки тодi, коли f є полярною функцiєю.
Доведення. 1. Нехай поверхня M має рiд g i одну компоненту межi. Покажемо, що на
такiй поверхнi оптимальна m-функцiя f має 2g+2 критичнi точки. Для цього дослiдимо змiну
топологiчного типу множини Mc = f - 1( - \infty ; c) при збiльшеннi параметра c. Проходження
кожного локального мiнiмуму додає компоненту зв’язностi до множини Mc i компоненту до
множини \partial Mc. У випадку внутрiшньої критичної точки це буде коло, а у випадку критичної
точки на межi — вiдрiзок. Проходження внутрiшньої сiдлової точки не змiнює числа компонент
Mc i або додає компоненту межi, або ж зменшує число компонент межi на 1, при цьому або
зменшує на 1 число компонент Mc, або збiльшує рiд поверхнi Mc на 1. Проходження внутрiш-
ньої точки максимуму зменшує число компонент межi \partial Mc на 1. Для критичних точок на межi,
якi не є локальними екстремумами, можливi такi варiанти змiни топологiчного типу Mc при
проходженнi цiєї точки: (i) зменшення числа компонент Mc i компонент межi, гомеоморфних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1035
вiдрiзкам, на 1; (ii) число компонент Mc не змiнюється, а число компонент межi \partial Mc збiльшу-
ється на 1; (iii) число компонент Mc не змiнюється, а число компонент межi зменшується на 1
i при цьому рiд Mc збiльшується на 1; (iv) число компонент Mc не змiнюється, а число компо-
нент межi, гомеоморфних вiдрiзку, збiльшується на 1; (v) число компонент Mc не змiнюється,
а компонента межi, гомеоморфна колу, замiнюється на вiдрiзок.
Локальний максимум на межi зменшує число компонент, гомеоморфних вiдрiзку, на 1. З
вищевикладеного випливає, що для отримання поверхнi роду g з однiєю компонентою межi
потрiбно принаймнi 2g+2 критичнi точки, що є такими: один локальний мiнiмум на межi, один
локальний максимум на межi та 2g внутрiшнiх сiдлових точок (якщо ми хочемо збiльшувати
рiд поверхнi за рахунок критичних точок на межi, то для збiльшення роду на 1 потрiбно чотири
такi критичнi точки, при цьому збiльшення числа локальних мiнiмумiв потребує збiльшення
числа сiдлових точок, i це не змiнює рiд поверхнi).
Отже, оптимальна m-функцiя матиме один локальний мiнiмум i один локальний максимум.
2. Необхiднiсть. Аналогiчно пункту 1.
Достатнiсть. Для функцiї Морса на замкненiй поверхнi M (у даному випадку \partial M = \varnothing )
виконується рiвнiсть Морса [6] \chi (M) = c0 - c1 + c2, де ci, i = 0, 2, — число критичних
точок iндексу i функцiї f. З останньої рiвностi випливає, що для полярної функцiї c1 =
= c0 + c2 - \chi (M) = 2 - \chi (M), оскiльки c0 = c2 = 1. Таким чином, число критичних точок
функцiї f дорiвнює c0 + c1 + c2 = 4 - \chi (M) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} для фiксованої поверхнi M i не залежить
вiд f. Це означає, що полярна функцiя Морса є оптимальною на заданiй поверхнi.
3. Необхiднiсть. Згiдно з лемою 1 [2] оптимальна mm-функцiя на поверхнi має рiвно один
мiнiмум i один максимум, тобто є полярною.
Достатнiсть. Аналогiчно лемi 2 [2] можна показати, що ейлерова характеристика поверхнi
M дорiвнює \chi (M) =
c+0 - c - 0 - c+1 + c - 1
2
, де c\pm i — число критичних точок mm-функцiї f iндек-
су (i,\pm 1), i = 0, 1 (для критичної точки iндексу (0,\pm 1) функцiя f має локальне зображення
f(x, y) = x2 \pm y2 для деякої системи координат (x, y) в околi вищевказаної критичної точки,
а у випадку iндексу (1,\pm 1) функцiя f(x, y) = - x2 \pm y2). Для полярної функцiї c+0 = c - 1 = 1,
тодi c - 0 + c+1 = 2 - 2\chi (M) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Таким чином, число критичних точок полярної функцiї f
дорiвнює 2 + c - 0 + c+1 = 4 - 2\chi (M) i не залежить вiд самої функцiї f, а лише вiд ейлерової
характеристики поверхнi M, що i доводить оптимальнiсть функцiї f.
Теорему доведено.
Обернене твердження до пункту 1 у останнiй теоремi не є правильним, тобто iснує полярна
m-функцiя, яка не є оптимальною. Прикладом такої функцiї може бути m-функцiя, отримана з
функцiї Морса з двома критичними точками на сферi пiсля видалення зi сфери досить малого
(який не мiстить критичних точок функцiї) околу деякої регулярної точки. Таким чином, отри-
мана функцiя має чотири критичнi точки, двi з яких є локальними екстремумами на множинi,
гомеоморфнiй двовимiрному диску. Очевидно, що оптимальна функцiя на двовимiрному диску
має двi критичнi точки.
Iншим прикладом може бути полярна m-функцiя на торi з дiркою, що близька до оптималь-
ної mm-функцiї, з шiстьма критичними точками на межi. Проте якщо розглянути стандартну
функцiю висоти на торi з чотирма критичними точками i вирiзати досить малий окiл траєкторiї
поля градiєнта, що йде з джерела у стiк, отримаємо функцiю з чотирма критичними точками
на торi з дiркою (мiнiмум та максимум на межi та два внутрiшнiх сiдла).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1036 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
3. Деформацiї оптимальних функцiй на орiєнтованих поверхнях. Зауважимо, що для
полярних (i, як наслiдок, для оптимальних) функцiй деформацiї (b) i (c) є неможливими.
Означення 14. Деформацiйним графом поверхнi M називається граф, вершини якого вiд-
повiдають класу пошарово оснащеної еквiвалентностi оптимальних mm-функцiй (для повер-
хонь з межею) або функцiй Морса (для замкнених поверхонь) на поверхнi M, а простi деформа-
цiї корозмiрностi 0 мiж вiдповiдними функцiями — ребрам. Даний граф позначатимемо через
GD(M).
Теорема 4 [2]. Оптимальна mm-функцiя на орiєнтованiй поверхнi роду g з k компонента-
ми межi має 4g+2k критичних точок, а на неорiєнтованiй поверхнi роду g з k компонентами
межi — 2g + 2k критичних точок.
Зауваження 2. Оптимальна функцiя Морса на замкненiй орiєнтованiй поверхнi роду g має
2g + 2 критичнi точки.
Гладку компактну орiєнтовану поверхню роду i iз j компонентами межi позначатимемо
через Fi,j . Далi, для простоти викладок, вершини графа Кронрода – Рiба будемо позначати
через vj i занумеруємо вiд v1 до vl за зростанням значень функцiї.
Теорема 5. На торi F1,0 iснує одна пошарово оснащено нееквiвалентна оптимальна функ-
цiя Морса. Граф GD(F1,0) є точкою, тобто має єдину вершину i не має ребер.
Доведення. Iз зауваження 2 випливає, що число критичних точок оптимальної функцiї
Морса на F1,0 дорiвнює 4 (g = 1). Оскiльки оптимальна функцiя на замкненiй поверхнi є
полярною, то оснащений граф Кронрода – Рiба матиме рiвно двi вершини v1 i v4 валентностi
1 (вiдповiдають локальним екстремумам) i, як наслiдок, двi вершини v2, v3 валентностi 3
(вiдповiдають сiдловим критичним точкам). Тому число ребер графа дорiвнює 4. Розглянемо
шлях \alpha з вершини v1 до v4 (вiн iснує, оскiльки граф є зв’язним). Нехай e1 i e4 — ребра, яким
iнцидентнi вершини v1 i v4 вiдповiдно. Тодi, оскiльки iншi вершини графа мають валентнiсть
3, iншими кiнцями e1 i e4 можуть бути тiльки вiдповiдно. Такий граф мiстить чотири вершини
i три ребра, тому останнє ребро, згiдно з вищевказаними валентностями, з’єднує вершини
v2 i v3. Отриманий граф зображено на рис. 7. До отриманого оснащеного графа Кронрода –
Рiба жодна з деформацiй не може бути застосована, тому деформацiйний граф тора GD(F1,0)
складається лише з однiєї вершини i не мiстить ребер, що i доводить твердження теореми.
Рис. 7
Теорема 6. На диску з дiркою F0,2 iснують двi \scrO -нееквiвалентнi оптимальнi mm-функцiї.
Доведення. Згiдно з теоремою 4 оснащений граф Кронрода – Рiба оптимальної mm-функцiї
на F0,2 мiстить чотири вершини, двi з яких валентностi 1, а двi iншi мають валентностi 3 i є
\sansY -вершинами. Аналогiчно доведенню попередньої теореми можна отримати граф, зображений
на рис. 8 (1). Враховуючи наявнiсть \sansY -вершин, iз останнього графа замiною циклiчного поряд-
ку у вершинi v2 (або v3) отримаємо граф (рис. 8 (2)), iзоморфний попередньому, але цi два
оснащених графи Кронрода – Рiба вiдповiдатимуть рiзним (з точнiстю до \scrO -еквiвалентностi)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1037
оптимальним функцiям на диску з дiркою. Деформацiї до отриманих графiв не можуть бути
застосованi, що i доводить дану теорему.
(1) (2)
Рис. 8
Зауважимо, що якщо розглянути поняття, аналогiчне деформацiйному графу, але з точнiстю
до \scrO -еквiвалентностi, то цей граф у випадку диска з дiркою складатиметься з двох точок i не
мiститиме ребер.
Наслiдок . На диску з дiркою iснує єдина пошарово оснащено нееквiвалентна оптимальна
mm-функцiя. Граф GD(F0,2) складається з однiєї вершини i не мiстить ребер.
Теорема 7. Iснують три пошарово оснащено нееквiвалентнi оптимальнi функцiї Морса
на кренделi F2,0 роду 2. Граф GD(F2,0) має три вершини i два ребра, якi послiдовно з’єднують
цi вершини.
Доведення. Згiдно iз зауваженням 2 число критичних точок оптимальної функцiї Морса
на кренделi роду 2 дорiвнює 6 (g = 2). Оскiльки оптимальна функцiя має два екстремуми
(двi вершини валентностi 1) i чотири сiдловi критичнi точки (чотири вершини валентностi 3),
то оснащений граф Кронрода – Рiба матиме сiм ребер. Оскiльки граф зв’язний, то iснує шлях
\alpha , який починається у вершинi v1 i закiнчується у v6. Розглянемо сiдлову вершину v2. За
побудовою вона належить \alpha . З v2 буде виходити ребро, яке не належить \alpha . Рухаючись за цим
ребром вгору (за зростанням значення функцiї), ми повиннi дiйти до v6, оскiльки не iснує
iнших локальних максимумiв. Нехай \beta — шлях вiд v2 до першої вершини на шляху \alpha . Крiм
вершин v1, v2, v6 i другого кiнця шляху \beta (vj ) iснують ще двi вершини графа i одне ребро \gamma ,
що не належить \alpha , \beta . За умовою ребро \gamma не може починатися нижче вершини v2. Якщо обидва
кiнцi \gamma меншi за vj та одночасно належать або \alpha , або ж \beta , то отримаємо граф, зображений на
рис. 9 (3). Якщо ж одна з вершин менша, а друга бiльша за vj , то отримаємо граф, зображений
на рис. 9 (2). Якщо ж обидвi вершини меншi за vj i одна з них належить \alpha , а iнша — \beta , то також
отримаємо граф, зображений на рис. 9 (2). Якщо ж обидва кiнця \gamma бiльшi за vj , то отримаємо
граф, зображений на рис. 9 (1).
Оскiльки розглядаються тiльки оптимальнi i, як наслiдок (див. теорему 3), полярнi функцiї,
то у отриманих графiв можливий лише єдиний тип деформацiй (рис. 6 (4)). Застосувавши такi
деформацiї до графа на рис. 9 (1), отримаємо граф, зображений на рис. 9 (2). Аналогiчно з
графа на рис. 9 (3) отримаємо граф, зображений на рис. 9 (2), а отже, з графа на рис. 9 (2)
можна отримати граф, зображений на рис. 9 (1) або ж на рис. 9 (3). Тому граф деформацiй
загального положення має три вершини i два ребра, якi послiдовно з’єднують цi вершини.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1038 Б. I. ГЛАДИШ, О. О. ПРИШЛЯК
(1) (2) (3)
Рис. 9
4. Висновок. У данiй роботi наведено критерiй iснування деформацiї загального положен-
ня мiж m-функцiями в термiнах оснащеного графа Кронрода – Рiба. Встановлено зв’язок мiж
оптимальнiстю i полярнiстю функцiй Морса, m- i mm-функцiй на гладких компактних орiєнто-
ваних зв’язних поверхнях. Знайдено число пошарово оснащено нееквiвалентних оптимальних
функцiй Морса на торi та на кренделi роду 2, яке дорiвнює 1 i 3 вiдповiдно. Також на диску з
дiркою iснують єдина пошарово оснащена та три \scrO -нееквiвалентнi оптимальнi mm-функцiї.
За допомогою введеного поняття деформацiйного графа наведено зв’язок мiж вищеописаними
функцiями на вiдповiдних поверхнях.
Автори сподiваються, що отриманi у данiй статтi результати можна буде узагальнити на
випадок неорiєнтованих поверхонь з межею, а також тривимiрних тiл.
Лiтература
1. Morse M. The calculus of variations in the large. – New York, 1934. – 352 p.
2. Гладиш Б. I., Пришляк О. О. Функцiї з невиродженими критичними точками на межi поверхнi // Укр. мат.
журн. – 2016. – 68, № 1. – С. 28 – 37.
3. Borodzik M., Nemethi A., Ranicki A. Morse theory for manifolds with boundary // Algebraic and Geom. Topol. –
2016. – 16, № 2. – P. 971 – 1023.
4. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновые системы. Геометрия, топология, классификация:
В 2 т. – Ижевск: Удмур. ун-т, 1999. – Т. 1. – 444 с.
5. Кронрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи мат. наук. – 1950. – 5, № 1(35). – С. 24 – 112.
6. Reeb G. Sur les points singulies de une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique //
Comp. Rend. Hebdomadaires Seaces Acad. Sci. – 1954. – 222. – P. 847 – 849.
7. Hladysh B. I., Prishlyak O. O. Simple Morse functions on an oriented surface with the boundary // J. Math. Phys.,
Anal., Geom. – 2019.
8. Hladysh B. I., Prishlyak A. O. Topology of functions with isolated critical points on the boundary of a 2-dimensional
manifold // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geom.: Methods and Appl. – 2017. – 13, № 050. – 17 p.
9. Jankowski A., Rubinsztein R. Functions with non-degenerate critical points on manifolds with boundary // Comment.
Math. – 1972. – 16. – P. 99 – 112.
10. Kadubovskyi A. An. Recounting of topologically nonequivalent smooth functions on closed surfaces // Proc. Inst.
Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine. – 2015. – 12, № 6. – P. 105 – 145.
11. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат. журн. – 2003. –
55, № 5. – С. 687 – 700.
12. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface //
Topology and Аppl. – 2002. – 119, № 3. – P. 257 – 267.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ДЕФОРМАЦIЇ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1039
13. Polulyakh A. O. On conjugate pseudoharmonic functions // Геометрiя, топологiя та їх застосування: Пр. Iн-ту
математики НАН України. – 2009. – 2, № 2. – С. 505 – 517.
14. Максименко С. I. Еквiвалентнiсть m-функцiй на поверхнях // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 8. – С. 1129 – 1135.
15. Пришляк О. О., Пришляк К. I., Мiщенко К. I., Лукова Н. В. Класифiкацiя простих m-функцiй на орiєнтованих
поверхнях // Журн. обчислюв. та прикл. математики. – 2011. – 104, № 1. – С. 1 – 12.
16. Кудрявцева Е. А. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Мат. заметки. – 2012. – 92, № 1. –
С. 219 – 236.
17. Максименко С. I., Фещенко Б. Г. Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе // Укр. мат.
журн. – 2014. – 64, № 9. – С. 1205 – 1212.
18. Арнольд В. И. Теория катастроф. – 3-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 128 с.
19. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классифи-
кация критических точек, акустик и волновых фронтов. – М.: Наука, 1982. – 304 с.
20. Sergeraert F. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications // Ann.
Sci. Ecole Norm. Supér. – 1972. – 5, № 4. – P. 599 – 660.
21. Jongen Th. H., Jonker P., Twilt F. Nonlinear optimization in finite dimensions. Morse theory, Chebyshev approxi-
mation, transversality, flows, parametric aspects. – Springer-Sci.+Business Media, 2000. – 47. – 517 p.
Одержано 19.09.18,
пiсля доопрацювання — 16.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1495 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:53Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/8feb0bb81587d2f9110379b7f42a4664.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14952019-12-05T08:57:29Z Deformations in the general position of the optimal functions on oriented surfaces with boundary Деформації загального положення оптимальних функцій на орієнтованих поверхнях з межею Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. UDC 516.91 It is considered simple functions with non-degenerated singularities on smooth compact oriented surfaces with the boundary. Authors describe a connection between optimality and polarity of Morse functions, $m$-functions and $mm$-functions on smooth compact oriented connected surfaces. The concept of an equipped Kronrod – Reeb graph is used to define a deformation in general position. Also, it is obtained the whole list of deformations of simple functions of one of abovedescribed class on torus, 2-dimensional disc with the boundary and on connected sum of two toruses. УДК 516.91 Розглядаються деформацiї гладких функцiй iз невиродженими особливостями на гладких компактних орiєнтованих поверхнях з межею. Описано зв’язок мiж оптимальнiстю та полярнiстю функцiй Морса, $m$- та $mm$-функцiй на гладких компактних орiєнтованих зв’язних поверхнях. Для задання деформацiї загального положення використано поняття оснащеного графа Кронрода – Рiба. Також знайдено всi можливi деформацiї простих функцiй одного з вищеописаних класiв на торi, диску з дiркою i кренделi роду 2. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1495 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1028-1039 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1028-1039 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1495/479 Copyright (c) 2019 Hladysh B. I.; Prishlyak O. O. |
| spellingShingle | Hladysh, B. I. Prishlyak, O. O. Гладиш, Б. І. Пришляк, О. О. Deformations in the general position of the optimal functions on oriented surfaces with boundary |
| title | Deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| title_alt | Деформації загального положення оптимальних функцій
на орієнтованих поверхнях з межею |
| title_full | Deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| title_fullStr | Deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| title_full_unstemmed | Deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| title_short | Deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| title_sort | deformations in the general position of the optimal functions
on oriented surfaces with boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1495 |
| work_keys_str_mv | AT hladyshbi deformationsinthegeneralpositionoftheoptimalfunctionsonorientedsurfaceswithboundary AT prishlyakoo deformationsinthegeneralpositionoftheoptimalfunctionsonorientedsurfaceswithboundary AT gladišbí deformationsinthegeneralpositionoftheoptimalfunctionsonorientedsurfaceswithboundary AT prišlâkoo deformationsinthegeneralpositionoftheoptimalfunctionsonorientedsurfaceswithboundary AT hladyshbi deformacíízagalʹnogopoložennâoptimalʹnihfunkcíjnaoríêntovanihpoverhnâhzmežeû AT prishlyakoo deformacíízagalʹnogopoložennâoptimalʹnihfunkcíjnaoríêntovanihpoverhnâhzmežeû AT gladišbí deformacíízagalʹnogopoložennâoptimalʹnihfunkcíjnaoríêntovanihpoverhnâhzmežeû AT prišlâkoo deformacíízagalʹnogopoložennâoptimalʹnihfunkcíjnaoríêntovanihpoverhnâhzmežeû |