On the stability of a program manifold of control systems with variable coefficients
UDC 517.956 We study the absolute stability of the program manifold of basic control systems with variable coefficients and stationary nonlinearities. The conditions of stability of basic systems are investigated in a neighborhood of a given program manifold. The nonlinearities satisfy the conditi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1497 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507288888934400 |
|---|---|
| author | Zhumatov, S. S. Жуматов, С. С. Жуматов, С. С. |
| author_facet | Zhumatov, S. S. Жуматов, С. С. Жуматов, С. С. |
| author_sort | Zhumatov, S. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:19:41Z |
| description | UDC 517.956
We study the absolute stability of the program manifold of basic control systems with variable coefficients and stationary
nonlinearities. The conditions of stability of basic systems are investigated in a neighborhood of a given program manifold.
The nonlinearities satisfy the conditions of local quadratic relationship. Sufficient conditions for the absolute stability of
the program manifold with respect to a given vector function are established by constructing the Lyapunov function. A
method used to select the Lyapunov matrix is specified. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
С. С. Жуматов (Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан,
Алматы)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
We study the absolute stability of the program manifold of basic control systems with variable coefficients and stationary
nonlinearities. The conditions of stability of basic systems are investigated in a neighborhood of a given program manifold.
The nonlinearities satisfy the conditions of local quadratic relationship. Sufficient conditions for the absolute stability of
the program manifold with respect to a given vector function are established by constructing the Lyapunov function. A
method used to select the Lyapunov matrix is specified.
Розглядається абсолютна стiйкiсть програмного многовиду основних систем керування зi змiнними коефiцiєнта-
ми i стацiонарними нелiнiйностями. Умови стiйкостi основних систем дослiджено в околi заданого програмного
многовиду. Нелiнiйностi задовольняють умови локального квадратичного зв’язку. Достатнi умови абсолютної стiй-
костi програмного многовиду вiдносно заданої вектор-функцiї отримано з допомогою побудови функцiї Ляпунова.
Вказано конкретний метод пiдбору матрицi Ляпунова.
1. Введение и постановка задачи. Обратные задачи теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений интенсивно развиваются начиная со второй половины XX века. Общий метод
построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданное интегральное многооб-
разие, установлен в работе [1]. В дальнейшем этот метод получил развитие на основе обоб-
щения классических обратных задач динамики. Эти задачи являются исходными в теории
управления движением материальных систем различной физической природы и конструкции,
которые включают в себя аналитическое построение систем программного движения, общую
задачу построения систем дифференциальных уравнений, построение систем автоматического
управления [2 – 19]. В работах [20 – 24] обратные задачи динамики рассматривались в классе
стохастических дифференциальных уравнений Ито. Подробный обзор литературы приведен в
работах [2, 4, 11, 15, 18, 19].
Современные системы автоматического управления представляют собой весьма разнооб-
разные по конструкции устройства, составляя сложный комплекс взаимодействующих звеньев.
Среди этих систем особо выделяются системы дифференциальных уравнений, в которых в ка-
честве программного задаются движения по заданной кривой, по поверхности и в общем случае
по многообразию. При решении обратных задач динамики систем автоматического управле-
ния основным и обязательным является требование устойчивости программного движения при
наличии нестабильных, исполнительных элементов и отклонений системы от заданной про-
граммы в начальный момент времени.
Вопросы устойчивости и неустойчивости программного многообразия систем автоматиче-
ского управления, синтеза систем управления по заданным свойствам движения в виде неко-
торого многообразия, качественные свойства программного многообразия различных систем
управления как диссипативность, конвергентность относительно некоторой заданной функции
рассматривались в [5 – 18].
Проведенный анализ показывает, что существенная часть работ посвящена исследованию
программного многообразия систем управлений с постоянными коэффициентами. В то же вре-
мя математическое моделирование различных физических, химических, биологических, эко-
c\bigcirc С. С. ЖУМАТОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8 1053
1054 С. С. ЖУМАТОВ
логических и т. д. явлений в большинстве случаев приводит к необходимости исследования
систем управлений с переменными коэффициентами. Это движение точки переменной массы,
подвижные объекты, в которых происходит изменение массы и момента с течением времени,
в частности летательные аппараты на реактивной тяге, имеющие переменную массу [25 – 27].
В данной работе мы исследуем устойчивость программного многообразия систем управле-
ния с переменными коэффициентами.
Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений
\.x = f(t, x), (1)
где x \in Rn, f \in Rn, имеет линейное (n - s)-мерное многообразие \Omega (t), определяемое урав-
нением
\Omega (t) \equiv \omega (t, x) = 0, (2)
где \omega \in Rs, s \leq n.
В пространстве Rn введем область G(R) следующим образом:
G(R) =
\bigl\{
(t, x) : t \geq t0 \wedge \| \omega \| < R < \infty
\bigr\}
. (3)
Предположим, что при всех t \geq t0 выполнены следующие условия:
1) вектор-функция f(t, x) непрерывна по всем переменным и удовлетворяет условиям Лип-
шица относительно x \in G;
2) вектор-функция \omega и ее частные производные непрерывны в некоторой замкнутой огра-
ниченной односвязной области G \subset Rn, содержащей многообразие \Omega (t);
3) ранг функциональной матрицы \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \omega \partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = s во всех точках многообразия \Omega (t).
Следует отметить, что заданная программа осуществляется точно лишь в случае, когда
\omega (t0, x0) = 0. Но эти условия не всегда выполняются, так как имеются начальные и постоянно
действующие возмущения. Поэтому целесообразно исследовать на предмет устойчивости само
программное многообразие относительно некоторой заданной функции.
Определение 1. Множество \Omega (t) называется интегральным многообразием уравнения (1),
если из \omega (t0, x0) \in \Omega (t0) следует, что \omega (t, x(t, t0, x0)) \in \Omega (t) для всех t \geq t0.
Заметим, что мы здесь используем термин „программное многообразие”, равносильный
понятию „интегральное многообразие”.
Составляя необходимые и достаточные условия того, что заданное многообразие является
интегральным для системы (1), получаем
\.\omega =
\partial \omega
\partial t
+
\partial \omega
\partial x
f(t, x) = F (t, x, \omega ), (4)
где F \in Rs — вектор-функция Еругина [1], удовлетворяющая условию F (t, x, 0) \equiv 0.
Принцип выбора функции Еругина F (t, x, \omega ) состоит в том, что она должна быть равна
нулю на многообразии \Omega (t), а вне многообразии может принимать произвольное значение.
Из соотношения (4) получаем следующую систему алгебраических уравнений для опреде-
ления правой части системы (1):
\partial \omega
\partial t
+
\partial \omega
\partial x
f(t, x) = F (t, x, \omega ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 1055
или
H(t) \.x = F (t, x, \omega ) - \partial \omega
\partial t
, (5)
где H(t) =
\partial \omega
\partial x
— (s \times n)-матрица Якоби. При s = n и вырожденной матрице H(t) линейная
система (5) приводится к центральной канонической форме [28, 29]. Достаточные условия
устойчивости программного многообразия для вырожденных линейных систем управления
установлены в работе [12].
Рассмотрим задачу построения по заданному программному многообразию \Omega (t) \equiv \omega (t, x) =
= 0 устойчивой системы автоматического управления с переменными коэффициентами следу-
ющей структуры [10]:
\.x = f(t, x) - b(t)\xi , \xi = \varphi (\sigma ), \sigma = pT (t)\omega , t \in I = [0,\infty ), (6)
где f \in Rn — некоторая n-вектор-функция, удовлетворяющая условиям существования реше-
ния; b \in \Xi n\times 1, p \in \Xi s\times 1 — матрицы; \xi \in Rr — вектор управления по отклонению от заданной
программы, удовлетворяющий условиям
\varphi (0) = 0 \wedge 0 \leq \sigma \varphi (\sigma ) \leq k\sigma 2 \forall \sigma \not = 0, 0 < k \leq \infty . (7)
Здесь \Xi — класс непрерывно дифференцируемых и ограниченных по норме матриц.
Известно, что вектор-функция \varphi (\sigma ) по существу является функцией управления по откло-
нению от программы, так как на программном многообразии \Omega (t) функция \varphi (\sigma ) равна нулю
и уравнение (5) принимает вид (1). Следовательно, многообразие \Omega (t) является интегральным
многообразием и для (6).
Если функцию Еругина F (t, x, \omega ) в соотношении (4) выберем линейной относительно
вектор-функции \omega :
F = - A(t)\omega , (8)
где - A(s \times s) — устойчивая матрица, то, продифференцировав многообразие \Omega (t) по време-
ни t в силу системы (5) с учетом соотношений (4), получим систему относительно вектор-
функции \omega :
\.\omega = - A(t)\omega - H(t)b(t)\xi , \xi = \varphi (\sigma ), \sigma = pT (t)\omega , H =
\partial \omega
\partial x
, t \in I = [0,\infty ), (9)
нелинейность \varphi (\sigma ) удовлетворяет условиям (7).
Определение 2. Программное многообразие \Omega (t) называется абсолютно устойчивым от-
носительно вектор-функции \omega , если оно асимптотически устойчиво в целом для всех \omega (t0, x0)
и функции \varphi (\sigma ), удовлетворяющей условиям локальной квадратичной связи.
Постановка задачи. Получить условия абсолютной устойчивости программного много-
образия \Omega (t) основных систем управления с переменными коэффициентами относительно
вектор-функции \omega (t, x).
2. Вспомогательные результаты. Каноническая и нормальная формы системы (9).
Приведем сначала систему (9) к канонической и нормальной формам. Для этого составим
характеристический полином
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1056 С. С. ЖУМАТОВ
\Delta [\lambda (t)] = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| A(t) + \lambda (t)E\| =
n\sum
s=1
as(t)\lambda
n - s(t). (10)
Пусть \lambda 1(t), . . . , \lambda n(t) — непересекающиеся корни полинома (10).
Построим невырожденную матрицу
Ti(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Ai1[\varrho 1(t)] . . . Ain[\varrho 1(t)]
. . . . . . . . .
Ai1[\varrho n(t)] . . . Ain[\varrho n(t)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| для всех in1 ,
составленную из алгебраических дополнений Aij [\varrho 1(t)] элемента \varrho \delta ij - aji в определителе
\Delta [\varrho (t)] = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \varrho (t)E - A(t)
\bigm\| \bigm\| = 0. (11)
Тогда имеет место равенство
S(t)T (t) = T (t)A(t),
или
S(t) = T (t)A(t)T - 1(t),
где
S(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigm\| \bigm\| \varrho 1(t), . . . , \varrho n(t)\bigm\| \bigm\| .
Здесь\varrho 1(t), . . . , \varrho n(t) — непересекающиеся корни уравнения (11).
С помощью преобразования
\nu = T (t)\omega
систему (9) приведем к канонической форме
\.\nu = - [S(t) +D(t)]\nu - d(t)\xi , (12)
\xi = \varphi (\sigma ), \sigma = cT (t)\omega ,
где
d(t) = T (t)H(t)b(t), D(t)(t) = \.T (t)T - 1(t),
cT (t) = T - T (t)p(t).
Для приведения системы (9) к нормальной форме воспользуемся соотношением
\widetilde P (t)Q(t) = Q(t)A(t), (13)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 1057
\widetilde P (t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 - 1 0 . . . 0 0
0 0 - 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 - 1
an(t) an - 1(t) a - 2n(t) . . . a2(t) a1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
, (14)
Q(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Q1(t)
...
Qn(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , Qi(t) =
\bigm\| \bigm\| qi1(t), . . . , qin(t)\bigm\| \bigm\| для всех in1 .
Здесь Q2(t), . . . , Qn(t) определяются рекуррентными формулами
Qs(t) = -
\bigm\| \bigm\| Qs - 1(t)A1(t), . . . , Qs - 1(t)An(t)
\bigm\| \bigm\|
и выполняются соотношения
an(t)Q
\star
1(t) + an - 1(t)Q
\star
2(t) + . . .+ a1(t)Q
\star
n(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Qn(t)A1(t)
...
Qn(t)A1(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Принимая во внимание соотношение (13), находим
\widetilde P (t) = Q(t)A(t)Q - 1(t).
С помощью преобразования
\nu = Q(t)\omega
систему (9) приводим к нормальной форме
\.\nu = - [ \widetilde P (t) +M(t)]\nu - m(t)\xi ,
\xi = \varphi (\sigma ), \sigma = lT (t)\omega ,
(15)
где переменная матрица \widetilde P (t) имеет структуру (14), а векторы m(t), M(t) и l(t) определяются
следующим образом:
m(t) = Q(t)b(t), M(t) = \.Q(t)Q - 1(t),
lT (t) = Q - T (t)p(t).
3. Основные результаты. Теперь рассмотрим общую задачу построения по заданному
программному многообразию \Omega (t) \equiv \omega (t, x) = 0 системы автоматического управления с пере-
менными коэффициентами следующей структуры [3]:
\.x = f(t, x) - B(t)\xi , \xi = \varphi (\sigma ), \sigma = P T (t)\omega , t \in I = [0,\infty ), (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1058 С. С. ЖУМАТОВ
где f \in Rn — некоторая n-вектор-функция, удовлетворяющая условиям существования реше-
ния; B \in \Xi n\times r, P \in \Xi s\times r — матрицы; \xi \in Rr — вектор-функция управления по отклонению от
заданной программы, удовлетворяющая условиям локальной квадратичной связи
\varphi (0) = 0 \wedge \varphi T (\sigma )\theta (t)(\sigma - K - 1(t)\varphi (\sigma )) > 0 \forall \sigma \not = 0,
K1(t) \leq
\partial \varphi (\sigma )
\partial \sigma
\leq K2(t),\bigl[
\theta = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \| \theta 1, . . . , \theta r\|
\bigr]
\in \Xi r\times r,
\bigl[
K(t) = KT (t) > 0
\bigr]
\in \Xi r\times r,\bigl[
Ki(t) = KT
i (t) > 0, i = 1, 2
\bigr]
\in \Xi r\times r.
Учитывая, что программное многообразие \Omega (t) является интегральным и для системы (16),
интегрируя по времени t и предполагая, что функция Еругина имеет вид (8), получаем
\.\omega = - A(t)\omega - H(t)B(t)\xi , \xi = \varphi (\sigma ), \sigma = P T (t)\omega , t \in I = [0,\infty ), (17)
\varphi (0) = 0 \wedge \varphi T (\sigma )\theta (t)(\sigma - K - 1(t)\varphi (\sigma )) > 0 \forall \sigma \not = 0. (18)
3.1. Асимптотическая устойчивость программного многообразия линейной системы
с переменными коэффициентами. Сначала рассмотрим линейную неавтономную систему
относительно вектор-функции \omega :
\.\omega = - A(t)\omega , t \in I = [0,\infty ). (19)
Если для нее построим функцию Ляпунова вида
V (t, \omega ) = \omega TL(t)\omega , (20)
то производная по времени t в силу системы (19) будет иметь вид
W (t, \omega ) = \omega TG(t)\omega ,
где G(t) = GT (t) — симметричная матрица вида
G(t) = - dL(t)
dt
+ L(t)A(t) +AT (t)L(t). (21)
Пусть матрица A(t) принадлежит \Xi s\times s и является невырожденной, матрицы A(t) и Q(t)
удовлетворяют матричному равенству
AT (t)Q(t) = QT (t)A(t), (22)
где Q(t) \in \Xi s\times s — произвольная матрица. Тогда матрицу L(t) можно взять в виде
L(t) = Q(t)A - 1(t). (23)
В силу (23) из соотношений (21) получаем
G(t) = Q(t) +QT (t) - dL(t)
dt
A - 1(t) - Q(t)
dA - 1(t)
dt
.
Согласно теореме Кронекера – Капелли, всегда существует матрица Q(t), удовлетворяющая
уравнению (22).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 1059
Теорема 1. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8). Тогда если матрица A(t)
системы (19) является невырожденной и вместе с матрицей Q(t) удовлетворяют равен-
ству (22), то, какова бы ни была наперед заданная квадратичная форма с матрицей G(t),
существует единственная квадратичная форма W (t) с матрицей L(t), удовлетворяющая
уравнению
- dV (t, \omega )
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
(19)
= W (t, \omega ) = \omega TG(t)\omega .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8). Тогда для асимптотической
устойчивости в целом программного многообразия \Omega (t) линейной системы с переменными
коэффициентами относительно вектор-функции \omega достаточно выполнения соотношений
L(t) = Q(t)A - 1(t) >> 0 \wedge G(t) >> 0, t \in I = [0,\infty ).
3.2. Абсолютная устойчивость программного многообразия основной системы управле-
ния. На основании обобщенной теоремы А. М. Ляпунова [10, с. 226] справедлива следующая
теорема.
Основная теорема. Если существует непрерывно дифференцируемая функция V (t, \omega ) в
области (3), положительно определенная и допускающая высший предел в целом, т. е. допус-
кающая бесконечно малый высший предел при \| \omega \| \rightarrow 0 и бесконечно большой низший предел
при \| \omega \| \rightarrow \infty , такая, что ее производная
- dV
dt
\bigm| \bigm| \bigm|
(17)
= W (t, \omega )
является функцией, определенно положительной при любой функции \varphi (\sigma ), удовлетворяю-
щей условиям (18), то программное многообразие \Omega (t) абсолютно устойчиво относительно
вектор-функции \omega (t, x).
Теперь рассмотрим систему (17), (18). Для нее построим функцию Ляпунова вида (20).
Дифференцируя ее по времени t в силу системы (17), (18) и применяя S -процедуру, получаем
- dV (t, \omega )
dt
= W (t, \omega ) = \omega TG(t)\omega + 2\omega TG1(t)\xi + \xi TG2(t)\xi + S > 0,
где
G(t) = - dL(t)
dt
+AT (t)L(t) + L(t)A(t),
G1(t) = L(t)H(t)B(t) - 1
2
P (t)\theta (t), G2(t) = \theta (t)K - 1(t),
а S определяется из формулы (18):
S = \varphi T (\sigma )\theta (t)(\sigma - K - 1(t)\varphi (\sigma )) > 0 \forall \sigma \not = 0.
Введем обозначения
z =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \omega \xi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , G0(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| G(t) G1(t)
GT
1 (t) G2(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1060 С. С. ЖУМАТОВ
Для того чтобы W (t, \omega ) была положительно определенной, достаточно выполнения условия
G0(t) >> 0.
Тогда на основании основной теоремы справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8), а нелинейность \varphi (\sigma ) удо-
влетворяет условиям (18). Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия
\Omega (t) основной системы автоматического управления с переменными коэффициентами отно-
сительно вектор-функции \omega достаточно выполнения соотношений L(t) >> 0, G0(t) >> 0,
где матрица L(t) определяется формулой (23), а Q(t) находится из выражения (22).
При выполнении равенства
G1(t) = L(t)H(t)B(t) - 1
2
P (t)\theta (t) = 0 (24)
получаем
- dV (t, \omega )
dt
= W (t, \omega ) = \omega TG(t)\omega + \xi TG2(t)\xi + S > 0.
Тогда для того чтобы W (t, \omega ) было положительно определенной, достаточно выполнения усло-
вия G0(t) >> 0, где
z =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \omega \xi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , G0(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| G(t) 0
0 G2(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| >> 0 \vee G(t) >> 0 \wedge G2(t) >> 0. (25)
Следствие 1. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8), а нелинейность \varphi (\sigma ) удо-
влетворяет условиям (18). Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия
\Omega (t) основной системы автоматического управления с переменными коэффициентами отно-
сительно вектор-функции \omega достаточно выполнения соотношений L(t) >> 0 и (24), а также
условий (25), где матрицы L(t) и Q(t) определяются формулами (23) и (22) соответственно.
Следствие 2. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8), а нелинейность \varphi (\sigma ) удо-
влетворяет условиям (7). Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия
\Omega (t) основной системы автоматического управления (9) относительно вектор-функции \omega до-
статочно выполнения соотношений L(t) >> 0, G0(t) >> 0, где матрица L(t) определяется
формулой (23), а Q(t) находится из выражения (22). Здесь
G1(t) = L(t)H(t)b(t) - 1
2
p(t)\mu (t), G2(t) = \mu (t)k - 1(t), S = \mu (t)(\sigma - k - 1\xi )\xi .
Следствие 3. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8), а нелинейность \varphi (\sigma ) удо-
влетворяет условиям (7). Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия
\Omega (t) основной системы автоматического управления (12) относительно вектор-функции \omega
достаточно выполнения соотношений L(t) >> 0, G0(t) >> 0, где матрица L(t) определяет-
ся формулой
L(t) = Q(t)[S(t) +D(t)] - 1,
а Q(t) находится из выражения
[S(t) +D(t)]T (t)Q(t) = QT (t)[S(t) +D(t)].
Здесь
G1(t) = L(t)H(t)d(t) - 1
2
c(t)\mu (t), G2(t) = \mu (t)k - 1(t), S = \mu (t)(\sigma - k - 1\xi )\xi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 1061
Следствие 4. Пусть функция Еругина F (t, x, \omega ) имеет вид (8), а нелинейность \varphi (\sigma ) удо-
влетворяет условиям (7). Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия
\Omega (t) основной системы автоматического управления (15) относительно вектор-функции \omega
достаточно выполнения соотношений L(t) >> 0, G0(t) >> 0, где матрица L(t) определяет-
ся формулой
L(t) = Q(t)
\bigl[ \widetilde P (t) +M(t)
\bigr] - 1
,
а Q(t) находится из выражения\bigl[ \widetilde P (t) +M(t)
\bigr] T
(t)Q(t) = QT (t)
\bigl[ \widetilde P (t) +M(t)
\bigr]
.
Здесь
G1(t) = L(t)H(t)m(t) - 1
2
l(t)\mu (t), G2(t) = \mu (t)k - 1(t), S = \mu (t)(\sigma - k - 1\xi )\xi .
Замечание. Пусть система дифференциальных уравнений (1) при n = 3 имеет интеграль-
ное многообразие, определяемое как пересечение „перемещающихся” поверхностей:
\omega 1 = x1 + x2 +
t
t+ 1
= 0,
\omega 2 =
t
t+ 1
x2 + x3 + 1 = 0.
(26)
Выберем F1, F2 из (8) в виде
F1 = - t+ 1
t+ 2
\omega 1, F2 = - \omega 2. (27)
Тогда матрица A(t) примет вид
A(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t+ 1
t+ 2
0
0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (28)
С учетом (28) всегда имеет место соотношение (22) при
Q(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 0
0 t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (29)
На основании теоремы 2 для асимптотической устойчивости в целом программного многооб-
разия (26) достаточно выполнения соотношений
L(t) = Q(t)A - 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t+ 1
t+ 2
0
0 t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| >> 0, (30)
G(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2t2 + 4t+ 3
(t+ 1)2
0
0 2t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| >> 0. (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1062 С. С. ЖУМАТОВ
Пусть матрицы B(t) и P (t) из (17), (18) при n = 3 имеют вид
B(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0
0 1
0
t+ 2
t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , P (t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| p11 p12
p21 p22
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
а матрицы \theta (t), K(t) зададим следующим образом:
\theta (t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| t+ 3 0
0 t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , K(t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t+ 2
t+ 4
0
0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тогда система (17) с учетом (28) примет вид
\.\omega 1 = - t+ 1
t+ 2
\omega 1 - \xi 1 - \xi 2,
\.\omega 2 = - \omega 2 -
t+ 2
t+ 1
\xi 2.
Матрица P (t) определяется из условия (24):
P (t) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2(t+ 2)
t2 + 4t+ 3
2(t+ 2)
(t+ 1)2
2t
t+ 3
2(t+ 2)
t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , (32)
а матрица G2(t) определяется так:
G2(t) = \theta (t)K - 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t2 + 7t+ 12
t+ 2
0
0 t+ 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| >> 0. (33)
Таким образом, в силу (30), (31) и (32), (33) все условия следствия 1 выполняются, следо-
вательно, программное многообразие (26) абсолютно устойчиво.
Литература
1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную инте-
гральную кривую // Прикл. математика и механика. – 1952. – 16, вып. 6. – С. 653 – 670.
2. Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики. – М.: Наука, 1981. – 143 с.
3. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. и др. Построение систем программного движения. –
М.: Наука, 1971. – 352 с.
4. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Обзор исследований по аналитическому построению
систем программного движения // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. – 1994. – № 1. – С. 5 – 21.
5. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия. I // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9,
№ 5. – С. 846 – 856.
6. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия. II // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9,
№ 6. – С. 1037 – 1048.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 1063
7. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по
интегральному многообразию // Дифференц. уравнения. – 1969. – 5, № 4. – С. 688 – 699.
8. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем //
Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 3. – С. 236 – 249.
9. Mukharlyamov R. G. Simulation of control processes, stability and stabilization of systems with program contraints //
J. Comput. and Syst. Sci. Int. – 2015. – 54, № 1. – P. 13 – 26.
10. Майгарин Б. Ж. Устойчивость и качество процессов нелинейных систем автоматического управления. – Алма-
Ата: Наука, 1980. – 316 с.
11. Жуматов С. С., Крементуло В. В., Майгарин Б. Ж. Второй метод Ляпунова в задачах устойчивости и управ-
ление движением. – Алматы: Fылым, 1999. – 228 с.
12. Zhumatov S. S. Stability of a program manifold of control systems with locally quadratic relations // Ukr. Math. J. –
2009. – 61, № 3. – P. 500 – 509.
13. Zhumatov S. S. Exponential stability of a program manifold of indirect control systems // Ukr. Math. J. – 2010. – 62,
№ 6. – P. 907 – 915.
14. Zhumatov S. S. On an instability of the indirect control systems in the neighborhood of program manifold // Мат.
журн. – 2017. – 17, № 1. – С. 91 – 97.
15. Zhumatov S. S. Frequently conditions of convergence of control systems in the neighborhoods of program manifold //
J. Math. Sci. – 2017. – 226, № 3. – P. 260 – 269.
16. Zhumatov S. S. On instability of a program manifold of basic control systems // Springer Proc. Math. and Stat. / Eds
T. S. Kalmenov, E. D. Nursultanov, M. V. Ruzhansky, M. A. Sadybekov. – 2017. – 216. – P. 467 – 474.
17. Zhumatov S. S. On a program manifrold’s stability of one contour automatic control systems // Open Eng. – 2017. –
7, Issue 1. – P. 479 – 484.
18. Zhumatov S. S. Absolute stability of a program manifold of non-autonomous basic control systems // News NAS RK.
Phys.-Math. Ser. – 2018. – 6, № 6. – P. 37 – 43.
19. Llibre J., Ramirez R. Inverse problems in ordinary differential equations and applications. – Springer Int. Publ., 2016.
20. Tleubergenov M. T. On the inverse stochastic reconstruction problem // Different. Equat. – 2014. – 50, № 2. –
P. 274 – 278.
21. Tleubergenov M. T., Ibraeva G. T. On the restoration problem with degenerated diffusion // TWMS J. Pure and Appl.
Math. – 2015. – 6, Issue 1. – P. 93 – 99.
22. Vasilina G. K., Tleubergenov M. T. Solution of the problem of stochastic stability of an integral manifold by the
second Lyapunov method // Ukr. Math. J. – 2016. – 68, № 1. – P. 14 – 28.
23. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. M. The reduction principle in stability theory of invariant sets for stochastic Ito
type systems // Differents. Uravn. – 2001. – 53(2). – P. 282 – 285.
24. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. M., Ateiwi A. M. On invariant tori for a stochastic Ito systems // J. Dynam. and
Different. Equat. – 2005. – 17, № 4. – P. 737 – 758.
25. Летов А. М. Динамика полета и управление. – М.: Наука, 1969. – 256 с.
26. Барабанов А. Т. Методы исследования систем с переменными коэффициентами // Методы исследования
нелинейных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1975. – С. 318 – 409.
27. Зубов В. И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975. – 496 с.
28. Самойленко А. М., Яковець В. П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канониче-
ской форме // Доп. НАН України. – 1993. – № 4. – С. 10 – 15.
29. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями. –
Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
Получено 14.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1497 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:56Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/fc0225d7d6209253d82821d77f3321c5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14972020-03-29T18:19:41Z On the stability of a program manifold of control systems with variable coefficients Об устойчивости программного многообразия систем управлений с переменными коэффициентами Zhumatov, S. S. Жуматов, С. С. Жуматов, С. С. UDC 517.956 We study the absolute stability of the program manifold of basic control systems with variable coefficients and stationary nonlinearities. The conditions of stability of basic systems are investigated in a neighborhood of a given program manifold. The nonlinearities satisfy the conditions of local quadratic relationship. Sufficient conditions for the absolute stability of the program manifold with respect to a given vector function are established by constructing the Lyapunov function. A method used to select the Lyapunov matrix is specified. УДК 517.956 Розглядається абсолютна стiйкiсть програмного многовиду основних систем керування зi змiнними коефiцiєнтами i стацiонарними нелiнiйностями. Умови стiйкостi основних систем дослiджено в околi заданого програмного многовиду. Нелiнiйностi задовольняють умови локального квадратичного зв’язку. Достатнi умови абсолютної стiйкостi програмного многовиду вiдносно заданої вектор-функцiї отримано з допомогою побудови функцiї Ляпунова. Вказано конкретний метод пiдбору матрицi Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1497 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1053-1063 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1053-1063 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1497/481 Copyright (c) 2019 Zhumatov S. S. |
| spellingShingle | Zhumatov, S. S. Жуматов, С. С. Жуматов, С. С. On the stability of a program manifold of control systems with variable coefficients |
| title | On the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| title_alt | Об устойчивости программного многообразия систем управлений
с переменными коэффициентами |
| title_full | On the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| title_fullStr | On the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| title_full_unstemmed | On the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| title_short | On the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| title_sort | on the stability of a program manifold of control systems with variable
coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1497 |
| work_keys_str_mv | AT zhumatovss onthestabilityofaprogrammanifoldofcontrolsystemswithvariablecoefficients AT žumatovss onthestabilityofaprogrammanifoldofcontrolsystemswithvariablecoefficients AT žumatovss onthestabilityofaprogrammanifoldofcontrolsystemswithvariablecoefficients AT zhumatovss obustojčivostiprogrammnogomnogoobraziâsistemupravlenijsperemennymikoéfficientami AT žumatovss obustojčivostiprogrammnogomnogoobraziâsistemupravlenijsperemennymikoéfficientami AT žumatovss obustojčivostiprogrammnogomnogoobraziâsistemupravlenijsperemennymikoéfficientami |