On the Lebesgue constants
UDC 517.5 We give the solution of a classical problem of approximation theory on sharp asymptotic of the Lebesgue constants or norms of the Fourier – Laplace projections on the real spheres $\mathbb{S}^{d},$ complex $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{C})$ and quaternionic $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{H})$ proje...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1499 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507290741768192 |
|---|---|
| author | Kushpel, A. K. Кушпель, А. К. Кушпель, А. К. |
| author_facet | Kushpel, A. K. Кушпель, А. К. Кушпель, А. К. |
| author_sort | Kushpel, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:29Z |
| description | UDC 517.5
We give the solution of a classical problem of approximation theory on sharp asymptotic of the Lebesgue constants or
norms of the Fourier – Laplace projections on the real spheres $\mathbb{S}^{d},$ complex $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{C})$ and quaternionic
$\mathrm{P}^{d}(\mathbb{H})$ projective spaces, and the Cayley elliptic plane $\mathrm{P}^{16}(\mathrm{Cay}).$ In particular, these results extend sharp asymptotic found by Fejer in the
case of $\mathbb{S}^{1}$ in 1910 and by Gronwall in 1914 in the case of $\mathbb{S}^{2}$ . |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. К. Кушпель (Ун-т Чанкая, Анкара, Турция)
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА
We give the solution of a classical problem of approximation theory on sharp asymptotic of the Lebesgue constants or
norms of the Fourier – Laplace projections on the real spheres \BbbS d, complex \mathrm{P}d(\BbbC ) and quaternionic \mathrm{P}d(\BbbH ) projective
spaces, and the Cayley elliptic plane \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}). In particular, these results extend sharp asymptotic found by Fejer in the
case of \BbbS 1 in 1910 and by Gronwall in 1914 in the case of \BbbS 2.
Наведено розв’язок класичної задачi теорiї апроксимацiї про точну асимптотику констант Лебега, або норм проекцiй
Фур’є – Лапласа, на дiйснiй сферi \BbbS d, в комплексному \mathrm{P}d(\BbbC ) i кватернiонному \mathrm{P}d(\BbbH ) проективних просторах та
на елiптичнiй площинi Келлi \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}). Зокрема, отриманi результати доповнюють точнi асимптотики, знайденi
Фейєром у 1910 р. у випадку \BbbS 1 i Гронваллом у 1914 р. у випадку \BbbS 2.
1. Введение. Пусть \BbbM d — одно из следующих многообразий: действительная сфера \BbbS d, комп-
лексное \mathrm{P}d(\BbbH ) или кватернионное \mathrm{P}d(\BbbC ) проективное пространство, эллиптическая плоскость
Кэлли \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}). Основной целью настоящей статьи является установление точных асимптотик
констант Лебега
Ln(\BbbM d) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Sn
\bigm| \bigm| \bigm| C(\BbbM d) \rightarrow C(\BbbM d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| , n \rightarrow \infty ,
где C(\BbbM d) — пространство непрерывных функций на многообразии \BbbM d и Sn — ортогональная
проекция, которая определена ниже. В случае окружности \BbbS 1 Л. Фейер [5] установил, что
Ln
\bigl(
\BbbS 1
\bigr)
=
1
\pi
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| Dn(t)
\bigm| \bigm| dt =
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n+O(1), n \rightarrow \infty ,
где Dn(t) = 1/2+
\sum n
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt — ядро Дирихле. Асимптотические разложения констант Лебега
интерполяционных полиномов с точками интерполяции xk = 2\pi k/(2n+1), - n \leq k \leq n, n \in \BbbN ,
на окружности \BbbS 1 были получены В. К. Дзядыком и А. С. Прыпиком [3]. Случай двумерной
сферы \BbbS 2 рассмотрен Т. Гронваллом [7]. Он показал, что
Ln
\bigl(
\BbbS 2
\bigr)
= n1/2 2
\pi 3/2
\pi \int
0
\sqrt{}
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\Bigl( \eta
2
\Bigr)
d\eta +O(1) = n1/223/2\pi - 1/2 +O(1)
при n \rightarrow \infty . В случае \mathrm{P}d(\BbbR ) константы Лебега найдены А. К. Кушпелем [11],
L2n
\Bigl(
\mathrm{P}d(\BbbR )
\Bigr)
= n(d - 1)/2
2\Gamma
\biggl(
d - 1
4
\biggr)
\pi \Gamma
\biggl(
d
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
d+ 1
4
\biggr) +O
\Biggl\{
n(d - 2)/2, d = 2,
n(d - 3)/2, d \geq 3
\Biggr\}
,
d = 2, 3, 4, . . . , n \rightarrow \infty .
c\bigcirc А. К. КУШПЕЛЬ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8 1073
1074 А. К. КУШПЕЛЬ
2. Гармонический анализ. Каждое многообразие \BbbM d, т. е. \BbbS d, d = 2, 3, . . . , \mathrm{P}d(\BbbC ),
d = 2, 4, 6, . . . , \mathrm{P}d(\BbbH ), d = 4, 8, 12, . . . , и \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}), может быть представлено как орбита
некоторой подгруппы \scrH ортогональной группы \scrG , т. е. \BbbM d = \scrG /\scrH . Через \pi : \scrG \rightarrow \scrG /\scrH обо-
значим натуральную проекцию. Пусть также \bfe — единичный элемент в \scrG . Точка \bfo = \pi (\bfe ),
инвариантная относительно действия группы \scrH , называется полюсом \BbbM d. На любом из рас-
сматриваемых многообразий \BbbM d вводятся риманова метрика d(\cdot , \cdot ) и инвариантная мера Хаара
d\nu . На однородных пространствах такого типа естественно вводится инвариантный диффе-
ренциальный оператор второго порядка \Delta , известный как оператор Лапласа – Бельтрами. В
локальных координатах xl, 1 \leq l \leq d, он имеет вид
\Delta = - (g) - 1/2
\sum
k
\partial
\partial xk
\left( \sum
j
gjk (g)1/2
\partial
\partial xj
\right) ,
где gjk := g(\partial /xj , \partial /xk), g :=
\bigm\| \bigm\| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(gjk)\bigm\| \bigm\| и (gjk) := (gjk)
- 1. Оператор Лапласа – Бельтрами
\Delta является эллиптическим, самосопряженным и инвариантным. Его собственные значения
образуют монотонно возрастающую к бесконечности последовательность 0 \leq \theta 0 \leq \theta 1 \leq . . .
. . . \leq \theta k \leq . . . . Соответствующие собственные подпространства \mathrm{H}k, k \geq 0, конечномерны,
dk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{H}k < \infty , k \geq 0, и ортогональны, причем L2(\BbbM d, \nu ) = \oplus \infty
k=0\mathrm{H}k. Пусть
\bigl\{
Y k
j
\bigr\} dk
j=1
—
некоторый базис собственного пространства \mathrm{H}k. Пусть также \phi — непрерывная функция, \phi \in
\in C(\BbbM d), с рядом Фурье
\phi \sim
\infty \sum
k=0
dk\sum
j=1
ck,j(\phi )Y
k
j , ck,j(\phi ) =
\int
\BbbM d
\phi Y
k
jd\nu .
Суммы Фурье порядка n определяются как
Sn(\phi ) =
n\sum
k=0
dk\sum
j=1
ck,j(\phi )Y
k
j , n = 0, 1, . . . .
Отметим, что все рассматриваемые здесь многообразия \BbbM d являются двухточечными одно-
родными пространствами (см. [1, 2, 6, 8, 9, 13]). Их геометрия во многом схожа. Каждое из
них имеет замкнутые геодезические длины 2L. Здесь через L обозначен диаметр пространства
\scrG /\scrH , т. е. максимальное расстояние между любыми двумя точками. Напомним, что функция,
заданная на \scrG /\scrH , инвариантна относительно левого действия группы \scrH на многообразии
\scrG /\scrH тогда и только тогда, когда она зависит только от расстояния между своим аргументом
и полюсом \bfo = \bfe \scrH . Далее, поскольку расстояние между любой точкой многообразия \scrG /\scrH
и полюсом \bfe \scrH не более чем L, то \scrH -сферические функции Z на многообразии \scrG /\scrH есте-
ственно отождествляются с функциями \~Z, заданными на [0, L]. Обозначим через \theta расстояние
между произвольной точкой на многообразии \scrG /\scrH и \bfe \scrH . Рассмотрим геодезическую систему
полярных координат (\theta ,\bfu ), где \bfu — угловой параметр. В этой системе координат радиальная
часть \Delta \theta оператора Лапласа – Бельтрами \Delta записывается в виде
\Delta \theta = (A(\theta )) - 1 d
d\theta
\biggl(
A(\theta )
d
d\theta
\biggr)
, (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА 1075
где A(\theta ) — площадь сферы радиуса \theta в многообразии \scrG /\scrH , которая вычисляется с использо-
ванием структур алгебр Ли \scrG и \scrH (см. [9, с. 251; 8, с. 168]). Известно, что
A(\theta ) = \omega \sigma +\rho +1\lambda
- \sigma (2\lambda ) - \rho (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \theta )\sigma (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\lambda \theta )\rho , (2)
где \omega d — площадь единичной сферы в \BbbR d и
\BbbS d : \sigma = 0, \rho = d - 1, \lambda = \pi /2L, d = 2, 3, . . . ,
\mathrm{P}d(\BbbC ) : \sigma = d - 2, \rho = 1, \lambda = \pi /2L, d = 4, 6, 8, . . . ,
\mathrm{P}d(\BbbH ) : \sigma = d - 4, \rho = 3, \lambda = \pi /2L, d = 8, 12, . . . ,
\mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}) : \sigma = 8, \rho = 7, \lambda = \pi /2L.
Используя (2) и (1), нетрудно показать, что радиальная часть оператора Лапласа – Бельтрами
\Delta \theta с точностью до мультипликативной константы представима в виде
\Delta \theta = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \theta ) - \sigma (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\lambda \theta ) - \rho d
d\theta
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \theta )\sigma (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\lambda \theta )\rho
d
d\theta
.
Выполняя замену переменных t = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda \theta , записываем \Delta \theta с точностью до мультипликативной
константы в виде
\Delta t = (1 - t) - \alpha (1 + t) - \beta d
dt
(1 - t)1+\alpha (1 + t)1+\beta d
dt
, (3)
где
\alpha = (\sigma + \rho - 1) /2, \beta = (\rho - 1) /2. (4)
Заметим, что для всех рассматриваемых здесь многообразий
\alpha = (d - 2)/2.
Нам понадобится следующее утверждение [12, с. 60].
Лемма 1. Полиномы Якоби y = P
(\alpha ,\beta )
k удовлетворяют линейному однородному дифферен-
циальному уравнению второго порядка
((1 - t)\alpha +1(1 - t)\beta +1y\prime )\prime + k(k + \alpha + \beta + 1)(1 - t)\alpha (1 + t)\beta y = 0.
Применяя лемму 1, находим, что собственные функции оператора \Delta t, заданного форму-
лой (3), являются известными полиномами Якоби P
(\alpha ,\beta )
k , а собственные значения имеют вид
\theta k = - k(k+\alpha +\beta +1). Таким образом, зональные \scrH -инвариантные функции1 Zk \in \mathrm{H}k порядка
k = 0, 1, 2, . . . , Z0 \equiv 1, на многообразии \BbbM d = \scrG /\scrH могут быть найдены в явном виде, так
как они являются собственными функциями оператора Лапласа – Бельтрами \Delta . Пусть \~Zk —
функции, индуцированные на [0, L] зональными функциями Zk на \BbbM d, тогда
\~Zk(\theta ) = Ck(\BbbM d)P
(\alpha ,\beta )
k (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda \theta ), k \in \BbbN \cup \{ 0\} , (5)
1Напомним, что функция Zk(\cdot ) : \BbbM d \rightarrow \BbbR , k = 0, 1, 2, . . . , называется зональной порядка k, если Zk(h
- 1\cdot ) =
= Zk(\cdot ) для любого h \in \scrG и Zk(\cdot ) \in \mathrm{H}k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1076 А. К. КУШПЕЛЬ
где \alpha и \beta были найдены выше. Например, в случае \BbbS d имеем \sigma = 0 и \rho = d - 1, так что
\alpha = \beta = (d - 2)/2 и полиномы P
(\alpha ,\beta )
k пропорциональны полиномам Гегенбауэра P
(d - 1)/2
k .
Детальное исследование полиномов Якоби проведено в [12]. Отметим, что полиномы Якоби
P
(\alpha ,\beta )
k (t), \alpha > - 1, \beta > - 1, ортогональны на ( - 1, 1) с весом \omega \alpha ,\beta (t) = c - 1(1 - t)\alpha (1 + t)\beta ,
где константа c определяется из условия нормировки
\int
\BbbM d
d\nu = 1 и известной формулы для
интеграла Эйлера первого рода
\mathrm{B}(p, q) =
1\int
0
\xi p - 1(1 - \xi )q - 1d\xi =
\Gamma (p)\Gamma (q)
\Gamma (p+ q)
, p > 0, q > 0. (6)
После простой замены переменной получаем
1 =
\int
\BbbM d
d\nu =
1\int
- 1
\omega \alpha ,\beta (t)dt = c - 1
1\int
- 1
(1 - t)\alpha (1 + t)\beta dt,
откуда находим
c =
1\int
- 1
(1 - t)\alpha (1 + t)\beta dt =
2\alpha +\beta +1\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (\beta + 1)
\Gamma (\alpha + \beta + 2)
. (7)
Для нормализации полиномов Якоби положим
P
(\alpha ,\beta )
k (1) =
\Gamma (k + \alpha + 1)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (k + 1)
.
Отметим, что этот способ нормализации связан с определением полиномов Якоби с помощью
производящей функции [12, с. 69].
Пространство Гильберта L2(\BbbM d) с обычным скалярным произведением \langle f, g\rangle =
=
\int
\BbbM d
f(x)g(x)d\nu распадается в прямую сумму
L2(\BbbM d) =
\infty \bigoplus
k=0
\mathrm{H}k,
где \mathrm{H}k — собственное подпространство оператора Лапласа – Бельтрами \Delta , соответствующее
собственному значению \theta k = - k(k+\alpha +\beta +1). Зафиксируем произвольный ортонормирован-
ный базис \{ Y k
j \}
dk
j=1 пространства \mathrm{H}k. Для дальнейшего нам потребуется формула сложения [10]
dk\sum
j=1
Y k
j (x)Y
k
j (y) = \~Zk(\theta ), (8)
где \theta = d(x, y). Сравнивая (8) и (5), получаем
dk\sum
j=1
Y k
j (x)Y
k
j (y) = \~Zk(\theta ) = Ck(\BbbM d)P
(\alpha ,\beta )
k (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda \theta ). (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА 1077
3. Константы Лебега. Основным результатом этой статьи является следующее утвержде-
ние.
Теорема. Пусть \BbbM d = \BbbS d, d = 2, 3, . . . , \mathrm{P}d(\BbbC ), d = 4, 6, . . . , \mathrm{P}d(\BbbH ), d = 8, 12, . . . ,
\mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}), тогда
Ln(\BbbM d) = \scrK (\BbbM d)n(d - 1)/2 +O
\Biggl\{
1, d = 2, 3,
n(d - 3)/2, d \geq 4
\Biggr\}
,
где
\scrK (\BbbM d) =
4
\pi 3/2\Gamma (d/2)
\pi /2\int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta )(d - 3)/2 (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta )\chi (\BbbM
d)d\eta
и
\chi (\BbbM d) =
\left\{
(d - 1)/2, \BbbM d = \BbbS d, d = 2, 3, 4, . . . ,
1/2, \BbbM d = \mathrm{P}d(\BbbC ), d = 4, 6, 8, . . . ,
2, \BbbM d = \mathrm{P}d(\BbbH ), d = 8, 12, 16, . . . ,
7/2, \BbbM d = \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}).
Константы \scrK (\BbbM d) имеют вид
\scrK (\BbbS d) =
2\Gamma
\biggl(
d - 1
4
\biggr)
\Gamma
\biggl(
d+ 1
4
\biggr)
\pi 3/2
\biggl(
\Gamma
\biggl(
d
2
\biggr) \biggr) 2 , d = 2, 3, 4, . . . ,
\scrK (\mathrm{P}d(\BbbC )) =
2\Gamma
\biggl(
d - 1
4
\biggr)
\Gamma
\biggl(
3
4
\biggr)
\pi 3/2\Gamma
\biggl(
d
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
d+ 2
4
\biggr) , d = 4, 6, 8, . . . ,
\scrK (\mathrm{P}d(\BbbH )) =
\Gamma
\biggl(
d - 1
4
\biggr)
\pi \Gamma
\biggl(
d
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
d+ 5
4
\biggr) , d = 8, 12, 16, . . . ,
\scrK (\mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y})) =
11 \cdot 21/2
2949120\pi 1/2
.
Доказательство. Для дальнейшего нам потребуются в явном виде константы Ck(\BbbM d),
которые были определены в (9). Полагая в (9) y = x и интегрируя по мере d\nu , находим
dk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Hk =
dk\sum
j=1
\int
\BbbM d
| Y k
j (x)| 2d\nu = Ck(\BbbM d)P
(\alpha ,\beta )
k (1). (10)
Возводя в квадрат обе части (9), а затем интегрируя по мере d\nu (x), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1078 А. К. КУШПЕЛЬ
dk\sum
j=1
\bigm| \bigm| Y k
j (y)
\bigm| \bigm| 2 = C2
k(\BbbM d)
\int
\BbbM d
\Bigl(
P
(\alpha ,\beta )
k (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\lambda d(x, y)))
\Bigr) 2
d\nu (x). (11)
Поскольку мера d\nu инвариантна, то\int
\BbbM d
\Bigl(
P
(\alpha ,\beta )
k
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\lambda d(x, y))
\bigr) \Bigr) 2
d\nu (x) = c - 1
\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
,
где константа c определена в (7) и
\| f\| 2 =
\left( 1\int
- 1
\| f(t)\| 2 (1 - t)\alpha (1 + t)\beta dt
\right) 1/2
, f : [ - 1, 1] \rightarrow \BbbR , \| f\| 2 < \infty .
Известно [12, с. 68], что
\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
=
1\int
- 1
\Bigl(
P
(\alpha ,\beta )
k (t)
\Bigr) 2
(1 - t)\alpha (1 + t)\beta dt =
=
2\alpha +\beta +1\Gamma (k + \alpha + 1)\Gamma (k + \beta + 1)
(2k + \alpha + \beta + 1)\Gamma (k + 1)\Gamma (k + \alpha + \beta + 1)
.
Таким образом, (11) может быть записано в виде
dk\sum
j=1
| Y k
j (y)| 2 = c - 1C2
k(\BbbM d)
\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
.
Интегрируя последнее равенство по мере d\nu (y), находим
dk = c - 1C2
k(\BbbM d)
\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
.
Сравнивая последнее равенство с (10), получаем
Ck(\BbbM d) =
cP
(\alpha ,\beta )
k (1)\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
. (12)
Теперь мы найдем интегральное представление сумм Фурье Sn(\phi , x) функции \phi \in L1(\BbbM d):
Sn(\phi , x) =
n\sum
k=0
dk\sum
j=1
ck,j(\phi )Y
k
j (x) =
=
n\sum
k=0
dk\sum
j=1
\left( \int
\BbbM d
\phi (y)Y
k
j (y) d\nu (y)
\right) Y k
j (x) =
=
\int
\BbbM d
n\sum
k=0
\left( dk\sum
j=1
Y
k
j (y)Y
k
j (x)
\right) \phi (y)d\nu (y) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА 1079
=
\int
\BbbM d
Kn(x, y)\phi (y)d\nu (y), (13)
где
Kn(x, y) =
n\sum
k=0
dk\sum
j=1
Y
k
j (y)Y
k
j (x). (14)
Из (9) и (12) имеем
Kn(x, y) = c
n\sum
k=0
P
(\alpha ,\beta )
k (1)\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
P
(\alpha ,\beta )
k
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda d(x, y)
\bigr)
.
Положим
Gn(\gamma , \delta ) =
n\sum
k=0
P
(\alpha ,\beta )
k (\gamma )P
(\alpha ,\beta )
k (\delta )\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
,
тогда [12, с. 71]
Gn(\gamma , 1) =
n\sum
k=0
P
(\alpha ,\beta )
k (\gamma )P
(\alpha ,\beta )
k (1)\bigm\| \bigm\| P (\alpha ,\beta )
k
\bigm\| \bigm\| 2
2
=
2 - \alpha - \beta - 1\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
P (\alpha +1,\beta )
n (\gamma ).
Это означает, что ядро (14) в интегральном представлении (13) может быть записано в виде
Kn(x, y) =
c2 - \alpha - \beta - 1\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
P (\alpha +1,\beta )
n
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda d(x, y)
\bigr)
.
Пусть \bfo — полюс многообразия \BbbM d, тогда, так как Kn является сферической функцией и
мера d\nu инвариантна,
Ln(\BbbM d) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\int
\BbbM d
\bigm| \bigm| Kn(x, y)| d\nu (y)
\bigm| \bigm| x \in \BbbM d
\right\} =
\int
\BbbM d
\bigm| \bigm| Kn(\bfo , y)
\bigm| \bigm| d\nu (y) =
=
c2 - \alpha - \beta - 1\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
\int
\BbbM d
| P (\alpha +1,\beta )
n (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\lambda d(\bfo , y))| d\nu (y) =
=
cc - 12 - \alpha - \beta - 1\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
1\int
- 1
| P (\alpha +1,\beta )
n (t)| (1 - t)\alpha (1 + t)\beta dt =
=
2 - \alpha - \beta - 1\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
\pi \int
0
| P (\alpha +1,\beta )
n (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta )|
\Bigl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\eta
2
\Bigr) \alpha \Bigl(
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\eta
2
\Bigr) \beta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta d\eta =
=
\Gamma (n+ \alpha + \beta + 2)
\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
\pi \int
0
| P (\alpha +1,\beta )
n (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta )|
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) 2\alpha +1 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) 2\beta +1
d\eta =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1080 А. К. КУШПЕЛЬ
=
\biggl(
In
\Gamma (\alpha + 1)
\biggr) \bigl(
n\alpha +1 +O(n\alpha )
\bigr)
, n \rightarrow \infty , (15)
где
In =
\pi \int
0
\bigm| \bigm| P (\alpha +1,\beta )
n (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta )
\bigm| \bigm| \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta
2
\Bigr) 2\alpha +1 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) 2\beta +1
d\eta . (16)
Известно [12, с. 196], что при 0 < \theta < \pi
P (\alpha +1,\beta )
n (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta ) = n - 1/2 \kappa (\eta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(N\eta + \gamma ) +O(n - 3/2), n \rightarrow \infty , (17)
где \kappa (\eta ) = \pi - 1/2
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) - \alpha - 3/2 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) - \beta - 1/2
и
N = n+ 1 +
\alpha + \beta
2
, \gamma = - \alpha + 3/2
2
\pi = - d+ 1
4
\pi .
Сравнивая (16) и (17), а также используя элементарные оценки производной функции
\sigma (\eta ) =
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) \alpha - 1/2 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) \beta +1/2
,
заключаем, что
In = \pi - 1/2n - 1/2
\pi \int
0
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) \alpha - 1/2 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) \beta +1/2
\times
\times
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\biggl( \biggl( n+
\alpha + \beta + 2
2
\biggr)
\eta - d+ 1
4
\pi
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d\eta + O(n - 3/2) =
= 2\pi - 3/2n - 1/2
\pi \int
0
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) \alpha - 1/2 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) \beta +1/2
d\eta +
+n - 1/2O
\Biggl\{
n - 1/2, \alpha = 0,
n - 1, \alpha \geq 1/2
\Biggr\}
, n \rightarrow \infty . (18)
Напомним, что \alpha = (d - 2)/2, d \geq 2, для всех рассматриваемых многообразий \BbbM d. Положим
\chi (\BbbM d) = \beta + 1/2, тогда из (15) и (18) находим
Ln(\BbbM d) = \scrK (\BbbM d)n\alpha +1/2 +O(n\alpha - 1/2),
где
\scrK (\BbbM d) =
2
\pi 3/2\Gamma (\alpha + 1)
\pi \int
0
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta
2
\Bigr) \alpha - 1/2 \Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\eta
2
\Bigr) \beta +1/2
d\eta =
=
4
\pi 3/2\Gamma (d/2)
\pi /2\int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta )(d - 3)/2(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \eta )\chi (\BbbM
d)d\eta , \alpha = (d - 2)/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА 1081
Таким образом,
Ln(\BbbM d) = \scrK (\BbbM d)n(d - 1)/2 +O
\Biggl\{
n(d - 2)/2, d = 2,
n(d - 3)/2, d \geq 3
\Biggr\}
.
Наконец, значение \chi (\BbbM d), где \BbbM d = \BbbS d, \mathrm{P}d(\BbbC ), \mathrm{P}d(\BbbH ), \mathrm{P}16(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{y}), легко подсчитывается с
использованием (4).
Литература
1. Bordin B., Kushpel A., Levesley J., Tozoni S. Estimates of n-widths of Sobolev’s classes on compact globally
symmetric spaces of rank 1 // J. Funct. Anal. – 2003. – 202. – P. 307 – 326.
2. Cartan E. Sur la determination d’un systeme orthogonal complet dans un espace de Riemann symetrique clos // Rend.
Circ. Mat. Palermo. – 1929. – 53. – P. 217 – 252.
3. Dzyadyk V. K., Dzyadyk S. Yu., Prypik A. S. Asymptotic behaviour of Lebesgue constants in trigonometric
interpolation // Ukr. Mat. Zh. – 1981. – 33, № 6. – P. 736 – 744.
4. Erdélyi A. (ed.) Higher transcendental functions. – New York: McGraw-Hill, 1953. – Vol. 2.
5. Fejer L. Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen // J. reine und angew. Math. – 1910. – 138. –
S. 22 – 53.
6. Gangolli R. Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to Lévy’s
Browian motion of several parameters // Ann. Inst. H. Poincaré. – 1967. – 3. – P. 121 – 225.
7. Gronwall T. H. On the degree of convergence of Laplace series // Trans. Amer. Math. Soc. – 1914. – 15, № 1. –
P. 1 – 30.
8. Helgason S. The radon transform on Euclidean spaces, compact two-point homogeneous spaces and Grassmann
manifolds // Acta Mat. – 1965. – 113. – P. 153 – 180.
9. Helgason S. (ed.) Differential geometry and symmetric spaces. – New York: Acad. Press, 1962.
10. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. –
1973. – 25, № 2. – P. 236 – 246.
11. Kushpel A. K. Uniform convergence of orthogonal expansions on the real projective spaces // Approxim. Theory and
Contingent Problems. – Kyiv: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2008. – P. 191 – 208.
12. Szegö G. (ed.). Orthogonal polynomials. – New York: Amer. Math. Soc., 1939.
13. Wang H. C. Two-point homogeneous spaces // Ann. Math. – 1952. – 55. – P. 177 – 191.
Получено 20.11.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1499 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:58Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/b172563edfda26c200dd9aee75c8f8f1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14992019-12-05T08:57:29Z On the Lebesgue constants О константах Лебега Kushpel, A. K. Кушпель, А. К. Кушпель, А. К. UDC 517.5 We give the solution of a classical problem of approximation theory on sharp asymptotic of the Lebesgue constants or norms of the Fourier – Laplace projections on the real spheres $\mathbb{S}^{d},$ complex $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{C})$ and quaternionic $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{H})$ projective spaces, and the Cayley elliptic plane $\mathrm{P}^{16}(\mathrm{Cay}).$ In particular, these results extend sharp asymptotic found by Fejer in the case of $\mathbb{S}^{1}$ in 1910 and by Gronwall in 1914 in the case of $\mathbb{S}^{2}$ . УДК 517.5 Наведено розв’язок класичної задачi теорiї апроксимацiї про точну асимптотику констант Лебега, або норм проекцiй Фур’є – Лапласа, на дiйснiй сферi $\mathbb{S}^{d},$ в комплексному $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{C})$ i кватернiонному $\mathrm{P}^{d}(\mathbb{H})$ проективних просторах та на елiптичнiй площинi Келлi $\mathrm{P}^{16}(\mathrm{Cay}).$ Зокрема, отриманi результати доповнюють точнi асимптотики, знайденi Фейєром у 1910 р. у випадку $\mathbb{S}^{1}$ i Гронваллом у 1914 р. у випадку $\mathbb{S}^{2}$ . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1499 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1073-1081 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1073-1081 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1499/483 Copyright (c) 2019 Kushpel A. K. |
| spellingShingle | Kushpel, A. K. Кушпель, А. К. Кушпель, А. К. On the Lebesgue constants |
| title | On the Lebesgue constants |
| title_alt | О константах Лебега |
| title_full | On the Lebesgue constants |
| title_fullStr | On the Lebesgue constants |
| title_full_unstemmed | On the Lebesgue constants |
| title_short | On the Lebesgue constants |
| title_sort | on the lebesgue constants |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1499 |
| work_keys_str_mv | AT kushpelak onthelebesgueconstants AT kušpelʹak onthelebesgueconstants AT kušpelʹak onthelebesgueconstants AT kushpelak okonstantahlebega AT kušpelʹak okonstantahlebega AT kušpelʹak okonstantahlebega |