Estimates of some approximating characteristics of the classes of periodic functions of one and many variables
UDC 517.5 We obtain the exact-order estimates for some approximating characteristics of the classes $\mathbb{W}^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and $\mathbb{B}^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and many variables in the norm of the space $B_{\infty, 1}.$
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1501 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507296650493952 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T17:56:28Z |
| description | UDC 517.5
We obtain the exact-order estimates for some approximating characteristics of the classes $\mathbb{W}^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and $\mathbb{B}^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and many variables in the norm of the space $B_{\infty, 1}.$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ОДНIЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We obtain the exact-order estimates for some approximating characteristics of the classes \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha and \BbbB \bfitr
p,\theta of periodic
functions of one and many variables in the norm of the space B\infty ,1.
Встановлено точнi за порядком оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha i \BbbB \bfitr
p,\theta перiодичних
функцiй однiєї та багатьох змiнних за нормою простору B\infty ,1.
1. Вступ. У данiй статтi продовжуються дослiдження (див. [1]) деяких апроксимацiйних ха-
рактеристик класiв Нiкольського – Бєсова \BbbB \bfitr
p,\theta i Соболєва \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha перiодичних функцiй з однiєю
та багатьма змiнними у просторi B\infty ,1. Особливiстю цього простору, як лiнiйного пiдпростору
в L\infty , є те, що норма в ньому „сильнiша” за L\infty -норму. Як зазначено в [1], мотивацiєю до
дослiдження певних апроксимацiйних характеристик саме у просторi B\infty ,1 є та обставина, що
пiдходiв до розв’язання задачi про їхнi порядковi значення у просторi L\infty при d \geq 3 поки що
не знайдено (див. [2], питання 4.2, 6.3). Зазначимо, що дотичним до результатiв даної роботи є
розв’язок задачi iз [3], де встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечни-
кiв i ентропiйних чисел одиничних куль iз так званих двiйкових просторiв Бєсова \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta ,
компактно вкладених в експоненцiальнi простори Орлiча \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu , що надiленi нормою Люксем-
бурга. Така норма тiсно пов’язана з Lp-нормами при 1 \leq p < \infty .
Результативну частину даної роботи фактично викладено у пунктах 5 i 6. У п. 5 дослiджу-
ються певнi апроксимацiйнi характеристики згаданих вище класiв функцiй з однiєю змiнною.
В п. 6 об’єктами дослiдження є класи \BbbB \bfitr
p,\theta i \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha функцiй iз багатьма змiнними. Тут одержано
точнi за порядком оцiнки наближення їх у просторi B\infty ,1 за допомогою схiдчасто-гiперболiчних
сум Фур’є. За нормою цього ж простору також встановлено точнi за порядком оцiнки величин
найкращих ортогональних тригонометричних наближень цих класiв.
У роботi використовуються позначення та означення, введенi в [1]. Для зручностi основнi
з них ми нагадаємо, а новi будемо вводити за необхiднiстю при викладi матерiалу.
2. Класи функцiй. Означимо простори i класи функцiй. Нехай \BbbR d — d-вимiрний евклiдiв
простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd); \pi d :=
\prod d
j=1
[0, 2\pi ) =
\bigl\{
\bfitx \in \BbbR d : xj \in [0, 2\pi ), j = 1, d
\bigr\}
.
Через Lp(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , позначимо простiр вимiрних 2\pi -перiодичних за кожною змiнною
функцiй f зi скiнченними нормами
\| f\| p =
\left( (2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(\bfitx )| pd\bfitx
\right) 1
p
, 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
| f(\bfitx )| , p = \infty .
Далi, нехай \omega l(f, \bfitt )p, \bfitt = (t1, . . . , td) \in \BbbR d
+, — повний мiшаний p-модуль гладкостi порядку
l (l \in \BbbN ) функцiї f \in Lp(\pi d) (див. [1]).
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2019
1102 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1103
Кажуть, що функцiя f \in Lp(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , належить простору B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty ,
\bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, якщо скiнченною є її напiвнорма
| f | B\bfitr
p,\theta
:=
\left\{
\left( \int
\pi d
\biggl( d\prod
j=1
t
- rj
j \omega l(f, \bfitt )p
\biggr) \theta d\prod
j=1
dtj
tj
\right) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
tj>0
d\prod
j=1
t
- rj
j \omega l(f, \bfitt )p, \theta = \infty ,
де l > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
ri, i = 1, d
\bigr\}
.
Норму на лiнiйних просторах B\bfitr
p,\theta задамо формулою \| f\| B\bfitr
p,\theta
= \| f\| p + | f | B\bfitr
p,\theta
.
Як зазначено в [1], простори B\bfitr
p,\theta введено в [4] i, з одного боку, вони є узагальненнями
вiдомих iзотропних просторiв Бєсова [5] (у випадку \theta = \infty — просторiв Нiкольського [6]), а з
другого — належать шкалi просторiв SB мiшаної гладкостi, введених Т. I. Амановим у [7]. Для
просторiв B\bfitr
p,\theta мають мiсце такi вкладення по параметру \theta :
B\bfitr
p,1 \lhook \rightarrow B\bfitr
p,\theta 1 \lhook \rightarrow B\bfitr
p,\theta 2 \lhook \rightarrow B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p ,
де 1 \leq \theta 1 < \theta 2 \leq \infty .
У доведеннi належностi тiєї чи iншої функцiї простору B\bfitr
p,\theta , або деякому класу з цього
простору здебiльшого використовується так зване декомпозицiйне нормування функцiй про-
стору B\bfitr
p,\theta [4]. Сформулюємо результат iз [4] у вiдповiдностi з прийнятими нижче означеннями
i позначеннями. Для вектора \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, покладемо
\rho (\bfits ) :=
\bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : [2sj - 1] \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для f \in L1(\pi d) означимо
\delta \bfits (f,\bfitx ) :=
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
де \widehat f(\bfitk ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt ) d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Позначимо
L0
p(\pi d) :=
\left\{ f \in Lp(\pi d) :
2\pi \int
0
f(\bfitx ) dxj = 0, j = 1, d
\right\} .
Нехай p \in (1,\infty ). В [4] доведено, що для напiвнорми | f | B\bfitr
p,\theta
функцiї f \in B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d)
справджуються спiввiдношення
| f | B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f, \cdot )\| \theta p
\right)
1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty , (1)
| f | B\bfitr
p,\infty \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\| \delta \bfits (f, \cdot )\| p, (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1104 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
а також показано, що на множинi B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d) напiвнорма | \cdot | B\bfitr
p,\theta
насправдi є нормою.
Тут i в подальшому \asymp позначає вiдношення слабкої еквiвалентностi, тобто для виразiв a та
b, що визначенi деякою сукупнiстю параметрiв, запис a \asymp b означає, що iснують такi додатнi
величини c1, c2, якi не залежать вiд одного iстотного параметра, що c1b \leq a \leq c2b. Також
використовуємо символи \ll чи \gg для порядкових нерiвностей, тобто a \ll b (a \gg b), якщо
iснує така додатна стала C, що a \leq Cb (b \leq Ca).
Так званi порядковi (або точнi за порядком) спiввiдношення (1), (2) при певнiй їх модифiкацiї
мають мiсце i у випадках p = 1 та p = \infty . Отже, нехай Vl(u), l \in \BbbN , u \in \BbbR , позначає ядро
Валле Пуссена вигляду
Vl(u) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku+ 2
2l\sum
k=l+1
2l - k
l
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku.
Далi, для f, g \in L1(\pi d) означимо операцiю згортки \ast формулою
(f \ast g)(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfity )g(\bfitx - \bfity ) d\bfity .
Якщо f \in Lp(\pi d), а
As(\bfitx ) := 2d
d\prod
j=1
(V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)),
\bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, \bfitx = (x1, . . . , xd) \in \BbbR d
(при sj = 0 вважаємо, що V
2sj - 1(xj) = 0), то покладемо
\BbbA \bfits f(\bfitx ) = (f \ast A\bfits )(\bfitx ).
Для кожного \bfits за допомогою оператора \BbbA \bfits визначаються деякi кратнi середнi A\bfits (f,\bfitx ) :=
:= \BbbA \bfits f(\bfitx ) функцiї f \in Lp(\pi d), якi внаслiдок вiдомих властивостей оператора згортки можна
подати у виглядi тригонометричного полiнома з певними коефiцiєнтами, залежними вiд f .
Зазначимо, що розмiрнiсть таких полiномiв для всiх f \in Lp(\pi d) дорiвнює 2| \bfits | 1 . Тут | \bfits | 1 :=
:= s1 + . . .+ sd для \bfits \in \BbbZ d
+.
Таким чином, для f \in B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d) справджуються спiввiдношення (див. зауваження 2.1 в
[4], а також [7])
| f | B\bfitr
p,\theta
\asymp
\Biggl( \sum
\bfits \in \BbbZ m
+
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f, \cdot )\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty , (3)
| f | B\bfitr
p,\infty \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbZ m
+
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f, \cdot )\| p . (4)
Зауважимо, що спiввiдношення (3), (4) справджуються i при 1 < p < \infty .
Нагадаємо означення функцiональних просторiв W \bfitr
p,\bfitalpha i класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , якi використовуються
при подальшому викладi. Нехай для \bfitr = (r1, . . . , rd) i \bfitalpha = (\alpha 1, . . . , \alpha d)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1105
F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) := 2d
\sum
\bfitk \in \BbbN d
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kjxj -
\alpha j\pi
2
\biggr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
— багатовимiрнi аналоги ядер Бернуллi.
Позначимо через W \bfitr
p,\bfitalpha лiнiйний простiр функцiй f, якi можна записати у виглядi
f(\bfitx ) = (\varphi \ast F\bfitr (\cdot ,\bfitalpha ))(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (\bfity )F\bfitr (\bfitx - \bfity ,\bfitalpha ) d\bfity , (5)
де \varphi \in Lp(\pi d). Для f \in W \bfitr
p,\bfitalpha покладемо \| f\| W\bfitr
p,\bfitalpha
:= \| \varphi \| p. Якщо в (5) функцiя \varphi \in Lp(\pi d)
така, що \| \varphi \| p \leq 1, то вiдповiдний клас у просторi W \bfitr
p,\bfitalpha позначимо через \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha . Детальну
iнформацiю щодо самих просторiв B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , H\bfitr
p i W \bfitr
p,\bfitalpha , а також щодо iсторiї їх
дослiджень з точки зору апроксимацiї можна почерпнути з монографiй [8 – 11] i робiт [2, 4].
Далi вважаємо, що координати вектора \bfitr = (r1, . . . , rd), як параметра в означених просторах
i класах, впорядкованi так, що 0 < r1 = r2 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd, а також \bfitgamma =
= (\gamma 1, . . . , \gamma d) — вектор з координатами \gamma j =
rj
r1
, j = 1, d, i \bfitgamma \prime = (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d), де \gamma \prime j = \gamma j
при j = 1, \nu i 1 < \gamma \prime j < \gamma j при j = \nu + 1, d. Також зазначимо, що через \BbbB \bfitr
p,\theta позначається
одинична куля у просторi B\bfitr
p,\theta , а точнiше,
\BbbB \bfitr
p,\theta :=
\bigl\{
f \in L0
p(\pi d) : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1
\bigr\}
.
Тепер дамо означення норми \| \cdot \| Bp,1 у пiдпросторах Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , функцiй f \in
\in Lp(\pi d). Така норма схожа на декомпозицiйну норму функцiй iз просторiв Бєсова B\bfitr
p,\theta . Для
тригонометричних полiномiв t за кратною тригонометричною системою \{ ei(\bfitk ,\bfitx )\} \bfitk \in \BbbZ d норма
\| t\| Bp,1 , p \in \{ 1,\infty \} , визначається формулою
\| t\| Bp,1 :=
\sum
\bfits \in \BbbN d
\| A\bfits (t, \cdot )\| p
(сума мiстить скiнченне число доданкiв).
Аналогiчно означується норма \| f\| Bp,1 , p \in \{ 1,\infty \} , для будь-якої функцiї f \in Lp(\pi d) такої,
що ряд
\sum
\bfits \in \BbbN d
\| A\bfits (f, \cdot )\| p збiгається.
Отже, простори Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , фактично можна „вписати” в шкалу просторiв B\bfitr
p,\theta ,
якщо з огляду на спiввiдношення (3), (4) вважати, що \bfitr = (0, . . . , 0) \in \BbbR d
+. Зазначимо, що для
f \in Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , очевидно, \| f\| p \ll \| f\| Bp,1 i \| f\| B1,1 \ll \| f\| B\infty ,1 .
3. Апроксимацiйнi величини. Означимо апроксимацiйнi характеристики, зазначивши спер-
шу, що деякi з них на класах \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha i \BbbB \bfitr
p,\theta у просторах B1,1 дослiджувались у роботах [12, 13].
Якщо вектор \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, то, як i ранiше, покладемо
\rho (\bfits ) =
\bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : [2sj - 1] \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
i для n \in \BbbN та \bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d), \gamma j \in \BbbR +, j = 1, d (\gamma 1 = 1), визначимо множину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1106 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Q\bfitgamma
n :=
\bigcup
(\bfits ,\bfitgamma )\leq n
\rho (\bfits ),
яка називається схiдчастим гiперболiчним хрестом у \BbbZ d.
Для функцiї f \in L1(\pi d) через SQ\bfitgamma
n
(f) позначимо її часткову, так звану схiдчасто-гiперболiчну,
суму Фур’є
SQ\bfitgamma
n
(f)(\bfitx ) :=
\sum
\bfitk \in Q\bfitgamma
n
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ) = \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\leq n
\delta \bfits (f,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
де \widehat f(\bfitk ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt )d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Нехай X — нормований простiр iз нормою \| \cdot \| X , X \subset L1(\pi d). Для класу F \subset X
покладемо
E \bfitgamma
n (F )X = EQ\bfitgamma
n
(F )X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in X
\bigm\| \bigm\| f - SQ\bfitgamma
n
(f)
\bigm\| \bigm\|
X
.
При d = 1 замiсть E \bfitgamma
n (F )X використовуємо позначення En(F )X . Зауважимо, що у такому
випадку
SQ\bfitgamma
n
(f)(x) = Sn(f)(x) :=
2n - 1\sum
k= - 2n+1
\widehat f(k)eikx, x \in \BbbR . (6)
Поряд iз величинами E \bfitgamma
n (F )X i En(F )X будемо дослiджувати близьку до них апрокси-
мацiйну характеристику e\bot M (F )X — величину найкращого ортогонального тригонометричного
наближення класу F у просторi X . Отже, нехай \Omega M — довiльний набiр iз M d-вимiрних век-
торiв \bfitk j =
\bigl(
kj1, . . . , k
j
d
\bigr)
, j = 1,M , з цiлочисловими координатами. Для f \in L1(\pi d) покладемо
S\Omega M
(f,\bfitx ) :=
M\sum
j=1
\widehat f(\bfitk j)ei(\bfitk
j ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d.
Розглянемо величину e\bot M (f)X = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\Omega M
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - S\Omega M
(f, \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
i для функцiонального класу F \subset
\subset X означимо
e\bot M (F )X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
e\bot M (f)X .
Величину e\bot M (F )X називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням
класу F у просторi X .
Частина дослiджень у роботi стосується оцiнок iнших характеристик, а саме колмогоров-
ських поперечникiв i ентропiйних чисел класiв \BbbB r
p,\theta i \BbbW r
p,\alpha перiодичних функцiй з однiєю
змiнною у просторi L\infty (\pi d). Нагадаємо означення цих апроксимацiйних величин.
Нехай X — банахiв простiр iз нормою \| \cdot \| X i A — компактна множина у просторi X .
Для y \in X i r > 0 позначимо BX (y, r) :=
\bigl\{
x \in X : \| x - y\| X \leq r
\bigr\}
, тобто BX (y, r) — куля
в X iз центром у точцi y i радiусом r. Для k \in \BbbN величина (див., наприклад, [14])
\epsilon k(A ,X ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon : \exists y1, . . . , y2k \in X
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A \subseteq
2k\bigcup
j=1
BX (yj , \varepsilon )
\right\}
називається ентропiйним числом множини A у просторi X .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1107
Нехай Y — нормований простiр iз нормою \| \cdot \| Y , LM (Y ) — сукупнiсть пiдпросторiв у Y ,
розмiрнoстi яких не перевищують M, i W — центрально-симетрична множина в Y . Величина
dM (W,Y ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in LM (Y )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in LM
\| w - u\| Y
називається колмогоровським M -поперечником множини W у просторi Y .
4. Допомiжнi твердження. Сформулюємо кiлька вiдомих тверджень, якi використовуються
при доведеннi результатiв.
Перше з цих тверджень є наслiдком однiєї нерiвностi Б. Карла (див., наприклад, [15]).
Лема А [16, 17]. Нехай K — компакт у сепарабельному банаховому просторi X . При-
пустимо, що для пари чисел (a, b), де a > 0, b \in \BbbR або a = 0, b < 0, мають мiсце оцiнки
dm(K ,X ) \ll m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b,
\epsilon m(K ,X ) \gg m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Тодi справджуються спiввiдношення
\epsilon m(K ,X ) \asymp dm(K ,X ) \asymp m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Лема Б [9, с. 11]. Має мiсце оцiнка\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq l
2 - \alpha (\bfits ,\bfitgamma ) \asymp 2 - \alpha ll\nu - 1, \alpha > 0.
Теорема А [18]. Нехай 1 \leq p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
p
. Тодi при d \geq 1
e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
\infty \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta .
Теорема Б [18]. Нехай 1 < p < \infty , r1 >
1
p
. Тодi при d \geq 1
e\bot M (\BbbW \bfitr
p,\alpha )\infty \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
p .
Теорема В [19]. Нехай 1 < p < \infty , 1 \leq \theta < \infty i r1 >
1
p
. Тодi при d \geq 1
E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
\infty \asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
).
Теорема Г [12]. Нехай 1 < p < \infty , r1 >
1
p
. Тодi при d \geq 1
E \bfitgamma
n (\BbbH \bfitr
p)\infty \asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
n\nu - 1.
Теорема Д [20]. Нехай d = 1, 2 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
2
. Тодi
\epsilon M (\BbbB r1
p,\theta , L\infty ) \asymp M - r1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1108 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
5. Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй однiєї змiнної. У цьо-
му пунктi встановлено точнi за порядком оцiнки величин найкращих ортогональних тригоно-
метричних наближень класiв \BbbB r1
p,\theta i \BbbW r1
p,\alpha перiодичних функцiй з однiєю змiнною у просторi
B\infty ,1. Окрiм того, знайденi порядковi значення ентропiйних чисел i колмогоровських попе-
речникiв цих функцiональних класiв у просторi B\infty ,1. Зазначимо, що результати дослiджень
доповнюють наведенi в роботi [1].
Справджується таке твердження.
Теорема 1. Нехай d = 1, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
p
. Тодi
e\bot M (\BbbB r1
p,\theta )B\infty ,1 \asymp M
- r1+
1
p .
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху, зазначивши, що внаслiдок вкладення Br1
p,\theta \lhook \rightarrow
\lhook \rightarrow Hr1
p , 1 \leq \theta < \infty , її достатньо отримати при \theta = \infty , тобто для класiв \BbbB r1
p,\infty \equiv \BbbH r1
p .
Отже, нехай M \in \BbbN , M \geq 4, i f \in \BbbH r1
p , 1 < p < \infty . Розглянемо наближення функцiї f за
допомогою полiномiв tn(f) вигляду (6):
tn(f)(x) = Sn(f)(x) :=
n\sum
s=1
\delta s(f)(x) =
2n - 1\sum
k= - 2n+1
\widehat f(k)eikx, x \in \BbbR ,
де число n пов’язане з M спiввiдношенням 2n+1 \leq M \leq 2n+2. Тодi згiдно з означенням норми
у просторi B\infty ,1, беручи до уваги одну властивiсть згортки, отримуємо
e\bot M (f)B\infty ,1 \leq \| f - tn(f) \| B\infty ,1=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
s=n+1
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
=
\sum
s>n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\infty \sum
s=n+1
\| As\| p \prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=: J1. (7)
Для продовження оцiнки величини J1 зазначимо таке. Згiдно зi спiввiдношенням \| V2s\| p \asymp
\asymp 2
s(1 - 1
p
)
, 1 \leq p \leq \infty (див., наприклад, [10], гл. 1, § 1), маємо
\| As\| p \prime = \| V2s - V2s - 1\| p \prime \leq \| V2s\| p \prime + \| V2s - 1\| p \prime \asymp 2
s
p . (8)
Крiм того, взявши до уваги, що (див., наприклад, [10], гл. 1, § 3)\bigm\| \bigm\| \delta s\prime (f)\bigm\| \bigm\| p \ll 2 - s\prime r1 , s\prime \in \BbbN , 1 < p < \infty ,
можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s+1\sum
s\prime =s - 1
\delta s\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
s+1\sum
s\prime =s - 1
\| \delta s\prime (f)\| p \ll
s+1\sum
s\prime =s - 1
2 - s\prime r1 \ll 2 - s r1 . (9)
Отже, з (7) iз урахуванням (8), (9) випливає
J1 \ll
\infty \sum
s=n
2
- s\prime (r1 - 1
p
) \asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1109
Враховуючи спiввiдношення мiж числами M i n, приходимо до оцiнки
e\bot M (f)B\infty ,1 \ll M
- r1+
1
p .
Щодо оцiнки знизу в (8) зазначимо, що вона є наслiдком теореми А (за умови \nu = 1), бо
e\bot M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
\infty .
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай d = 1, 1 < p < \infty i r1 >
1
p
. Тодi при 1 \leq \theta \leq \infty справджується
спiввiдношення
En
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
. (10)
Оцiнку зверху встановлено при доведеннi теореми 1. Вiдповiдна оцiнка знизу в (10) також
є наслiдком цiєї теореми, оскiльки при 2n+1 \leq M \leq 2n+2
En
\bigl(
Br1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\bigl(
Br1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
.
Зауваження 1. Проаналiзувавши доведення теореми 1 i наслiдку 1, можна дiйти висновку
щодо справедливостi при 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
p
таких спiввiдношень:
e\bot M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp e\bot M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
\infty ,
En
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp En
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta
\bigr)
\infty .
Аналогiчнi теоремi 1 i наслiдку 1 твердження мають мiсце також для класiв \BbbW r1
p,\alpha .
Теорема 2. Нехай d = 1, 1 < p < \infty , \alpha \in \BbbR i r1 >
1
p
. Тодi
e\bot M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp M
- r1+
1
p . (11)
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 1, оскiльки W r1
p,\alpha \lhook \rightarrow Hr1
p . Вiдповiдна оцiнка
знизу в (11) є наслiдком теореми Б (за умови \nu = 1) i спiввiдношень
e\bot M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
\infty \asymp M
- r1+
1
p , 1 < p < \infty .
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 2. Нехай d = 1, 1 < p < \infty , \alpha \in \BbbR i r1 >
1
p
. Тодi
En
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
.
Зауваження 2. При 1 < p < \infty , \alpha \in \BbbR i r1 >
1
p
справджуються спiввiдношення
e\bot M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp e\bot M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
\infty ,
En
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp En
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha
\bigr)
\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1110 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Отже, з огляду на зауваження 1, 2 можна стверджувати, що апроксимацiйнi характеристики
e\bot M (F )X i En(F )X у просторах X = B\infty ,1 i X = L\infty однаковi за порядком при M \asymp 2n як
на класах \BbbB r1
p,\theta , так i на класах \BbbW r1
p,\alpha (при певних значеннях параметрiв p, \theta , \alpha i r1).
У наступних твердженнях встановлено точнi за порядком оцiнки ще двох характеристик
— ентропiйних чисел i колмогоровських поперечникiв класiв \BbbB r1
p,\theta i \BbbW r1
p,\alpha у просторi B\infty ,1. Цi
оцiнки також доповнюють результати роботи [1].
Теорема 3. Нехай d = 1, \alpha \in \BbbR i r1 > 0. Тодi
\epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
\asymp dM
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (12)
Доведення. Базовим твердженням, яке використовується при встановленнi спiввiдношень
(12), є лема А. Оцiнка зверху для поперечника dM
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
випливає з теореми 5 [1], а
саме при d = 1
dM
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (13)
Отже, iз (13), враховуючи вкладення W r1
\infty ,\alpha \lhook \rightarrow Hr1
\infty , маємо
dM
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
\ll dM
\bigl(
\BbbH r1
\infty , B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (14)
З iншого боку, оцiнка знизу для ентропiйних чисел \epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
є наслiдком спiввiд-
ношення \epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 iз [21] (гл. 1, § 4), оскiльки
\epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , B\infty ,1
\bigr)
\geq \epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 . (15)
Таким чином, беручи до уваги спiввiдношення (14), (15) та застосовуючи лему А, отриму-
ємо (12).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 3. Зiставляючи (12) iз вiдомими оцiнками величин \epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
\infty ,\alpha , L\infty
\bigr)
i
dM (\BbbW r1
\infty ,\alpha , L\infty ) (див., наприклад, [21], гл. 10, § 10.1, i [10], гл. 1, § 4 вiдповiдно), переконує-
мося, що значення вiдповiдних апроксимацiйних характеристик на класах \BbbW r1
\infty ,\alpha у просторах
L\infty i B\infty ,1 однаковi за порядком.
Теорема 4. Нехай d = 1, 1 \leq \theta \leq 2 i 2 \leq p \leq \infty . Тодi при r1 >
1
2
справджуються
спiввiдношення
\epsilon M (\BbbB r1
p,\theta , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbB r1
p,\theta , B\infty ,1) \asymp M - r1 . (16)
Доведення. Як i у доведеннi попередньої теореми, використаємо лему А. Стосовно оцiнки
зверху колмогоровського поперечника dM (\BbbB r1
p,\theta , B\infty ,1) зазначимо, що вона випливає з теореми 3
[1], в якiй, зокрема, при d = 1, 2 \leq p < \infty i r1 >
1
2
одержано спiввiдношення
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,2, B\infty ,1
\bigr)
\asymp dM
\bigl(
\BbbB r1
p,2, B\infty ,1
\bigr)
\asymp M - r1 . (17)
З iншого боку, для оцiнювання ентропiйних чисел \epsilon M (\BbbB r1
p,\theta , B\infty ,1) вiзьмемо до уваги тео-
рему В. Тодi
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , B\infty ,1
\bigr)
\geq \epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 . (18)
Тепер на пiдставi леми А з урахуванням спiввiдношень (17), (18) отримаємо (16).
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1111
Зауваження 4. Зiставляючи (16) зi спiввiдношеннями
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp dM
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1
iз [20], приходимо до висновку, що значення вiдповiдних характеристик на класах \BbbB r1
p,\theta у
просторах L\infty i \BbbB \infty ,1 однаковi за порядком.
Теорема 5. Нехай d = 1, 1 \leq p < 2 i 1 \leq \theta \leq p. Тодi при r1 >
1
p
справджується
спiввiдношення
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 . (19)
Доведення. Оцiнка знизу випливає з теореми 3 [19], яка у випадку d = 1 мiстить оцiнку
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
\infty ,\theta , L1
\bigr)
\gg M - r1 , 1 \leq \theta < \infty , r1 > 0.
Оцiнка зверху в (19) є наслiдком спiввiдношення (див., наприклад, [21], гл. 10, § 10.1)
\epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 , 1 \leq p \leq 2, r1 >
1
p
, (20)
бо, беручи до уваги, що Br1
p,p \lhook \rightarrow W r1
p,\alpha , 1 \leq p \leq 2, маємо
\epsilon M
\bigl(
\BbbB r1
p,\theta , L\infty
\bigr)
\ll \epsilon M (\BbbB r1
p,p, L\infty ) \ll \epsilon M
\bigl(
\BbbW r1
p,\alpha , L\infty
\bigr)
\asymp M - r1 .
Теорему 5 доведено.
Зауваження 5. Зiставляючи (19) з оцiнкою колмогоровського поперечника dM (\BbbB r1
p,\theta , L\infty )
[11] (гл. 4, § 4.4), а саме
dM (\BbbB r1
p,\theta , L\infty ) \asymp M
- r1+
1
p
- 1
2 , 1 \leq p < 2, 1 \leq \theta \leq p, r1 >
1
2
,
бачимо, що за умов теореми 5 щодо параметрiв p, \theta i r1 оцiнки величин \epsilon M (\BbbB r1
p,\theta , L\infty ) i
dM (\BbbB r1
p,\theta , L\infty ) вiдрiзняються в сенсi порядкових значень.
6. Наближення класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних. Спочатку встановимо
точнi за порядком оцiнки вiдхилень схiдчасто-гiперболiчних сум Фур’є вiд функцiй iз класiв
\BbbB \bfitr
p,\theta i \BbbW \bfitr
p,\alpha у просторi B\infty ,1. Потiм, як наслiдок, запишемо точнi за порядком оцiнки вели-
чин найкращих ортогональних тригонометричних наближень згаданих функцiональних класiв
(також у метрицi простору B\infty ,1).
Теорема 6. Нехай d \geq 2, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
p
. Тодi
E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
). (21)
Доведення. Спочатку встановимо у (21) оцiнку зверху. Нехай f \in \BbbB \bfitr
p,\theta i \bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d) —
вектор, визначений у п. 2. Тодi, поклавши \gamma (d) = \gamma 1 + . . . + \gamma d, згiдно з означенням норми у
просторi B\infty ,1 можемо записати
E \bfitgamma
n (f)B\infty ,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )<n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n
\delta \bfits (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1112 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
=
\sum
\bfits \in \BbbN d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
(\bfits \prime ,\bfitgamma )>n
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
\| A\bfits \| p \prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\delta \bfits \prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\ll
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
2
(\bfits ,1) 1
p
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| \delta \bfits \prime (f)\| p \leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - \gamma (d)
2
d
p
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
2
(\bfits ,1) 1
p \| \delta \bfits \prime (f)\| p \ll
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
(\bfits ,1) 1
p \| \delta \bfits (f)\| p := J2. (22)
Проводячи оцiнювання величини J2, розглянемо три випадки.
Випадок 1. Нехай 1 < \theta < \infty . Застосовуючи до виразу J2 нерiвнiсть Гельдера з показником
\theta i покладаючи \bfitp = (p, . . . , p) \in \BbbR d, можемо записати
J2 \leq
\Biggl( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f)\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\Biggl( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits , \bfitr - 1
\bfitp
) \theta
\theta - 1
\Biggr) 1 - 1
\theta
\ll
\ll \| f\| B\bfitr
p,\theta
\Biggl( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits , \bfitr - 1
\bfitp
) \theta
\theta - 1
\Biggr) 1 - 1
\theta
\leq
\leq
\Biggl( \sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits , \widetilde \bfitgamma )(r1 - 1
p
) \theta
\theta - 1
\Biggr) 1 - 1
\theta
:= J3, (23)
де \widetilde \bfitgamma = ( \widetilde \gamma 1, . . . , \widetilde \gamma d) — вектор iз координатами \widetilde \gamma j = rj -
1
p
r1 -
1
p
, j = 1, d, а \bfitr - 1
\bfitp
позначає вектор
iз координатами rj -
1
p
, j = 1, d. Легко бачити, що \widetilde \gamma j = \gamma j = 1 при j = 1, \nu i 1 < \gamma j < \widetilde \gamma j при
j = \nu + 1, d. Тому з огляду на лему Б отримуємо
J3 \ll 2
- n(r1 - 1
p
)
n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
). (24)
Поєднуючи (22) – (24), приходимо до шуканої оцiнки зверху величини E \gamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
у ви-
падку 1 < \theta < \infty .
Випадок 2. Нехай \theta = 1. Тодi
J2 =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr ) \| \delta \bfits (f)\| p 2 - (\bfits ,\bfitr )2
(\bfits ,1) 1
p \ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1113
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr ) \| \delta \bfits (f)\| p 2 - (\bfits ,\bfitgamma )(r1 - 1
p
) \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits ,\bfitgamma )(r1 - 1
p
)\| f\| B\bfitr
p,1
\ll 2
- n(r1 - 1
p
)
. (25)
Iз (22) i (25) випливає потрiбна оцiнка зверху величини E \gamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,1
\bigr)
B\infty ,1
при \theta = 1.
Випадок 3. Якщо \theta = \infty , то, враховуючи, що для f \in \BbbB \bfitr
p,\infty справджується спiввiдношення
\| \delta \bfits (f)\| p \ll 2 - (\bfits ,\bfitr ), \bfits \in \BbbN d, маємо
J2 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
(\bfits ,1) 1
p 2 - (\bfits ,\bfitr ) \leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits ,\bfitgamma )(r1 - 1
p
) \leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma )\geq n - 2\gamma (d)
2
- (\bfits ,\widetilde \bfitgamma )(r1 - 1
p
) \ll 2
- n(r1 - 1
p
)
. (26)
Поєднуючи (26) з (22), приходимо до шуканої оцiнки зверху величини E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\infty
\bigr)
B\infty ,1
.
Щодо оцiнки знизу у (21) зазначимо, що вона є наслiдком теорем В, Г i нерiвностi \| \cdot \| B\infty ,1 \geq
\geq \| \cdot \| \infty .
Теорему 6 доведено.
Тепер, використавши теорему 6, сформулюємо та доведемо вiдповiдне твердження щодо
оцiнки величини e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
— найкращого ортогонального тригонометричного наближення.
Теорема 7. Нехай d \geq 2, 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i r1 >
1
p
. Тодi
e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta . (27)
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 6. Так, вибираючи за заданим M число
n \in \BbbN iз спiввiдношення C12
nn\nu - 1 \leq M \leq C22
nn\nu - 1, де C1, C2 — будь-якi додатнi дiйснi
числа (C1 \leq C2), i зважаючи на (21), отримуємо
e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\ll E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
\theta .
Вiдповiдна оцiнка знизу в (27) є наслiдком теореми А, якщо зауважити, що
e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
\gg e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
\infty .
Теорему 7 доведено.
Насамкiнець сформулюємо два твердження, аналогiчнi теоремам 6, 7, але вже щодо кла-
сiв \BbbW \bfitr
p,\alpha .
Теорема 8. Нехай d \geq 2, 2 \leq p < \infty i r1 >
1
p
. Тодi
E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
n
(\nu - 1)(1 - 1
p
)
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1114 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 6 внаслiдок вiдомого вкладення W \bfitr
p,\bfitalpha \lhook \rightarrow
\lhook \rightarrow B\bfitr
p,p, 2 \leq p < \infty , тому що
E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\ll E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,p
\bigr)
B\infty ,1
\asymp 2
- n(r1 - 1
p
)
n
(\nu - 1)(1 - 1
p
)
.
Вiдповiдна оцiнка знизу в (28) є наслiдком теореми Б за умови, що числа M i n пов’язанi
спiввiдношенням C12
nn\nu - 1 \leq M \leq C22
nn\nu - 1, де C1, C2 — будь-якi додатнi дiйснi числа
(C1 \leq C2).
Теорему 8 доведено.
Теорема 9. Нехай d \geq 2, 2 \leq p < \infty i r1 >
1
p
. Тодi
e\bot M
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
p . (29)
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 8, тобто при M \asymp 2nn\nu - 1 маємо
e\bot M
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\ll E \bfitgamma
n
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\asymp
\bigl(
M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1 - 1
p
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) 1 - 1
p .
Оцiнка знизу в (29) є наслiдком теореми Б, оскiльки
e\bot M
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
B\infty ,1
\geq e\bot M
\bigl(
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha
\bigr)
\infty .
Теорему 9 доведено.
Зауваження 6. Iз теорем 6 – 9 випливає, що на вiдмiну вiд одновимiрного випадку (d = 1)
значення розглянутих апроксимацiйних характеристик на класах \BbbB \bfitr
p,\theta i \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha вiдрiзняються за
порядком. Окрiм того, у випадку d \geq 2 одержанi в теоремах 6, 7 оцiнки величин E \gamma
n
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
i e\bot M
\bigl(
\BbbB \bfitr
p,\theta
\bigr)
B\infty ,1
залежать вiд параметра \theta .
Лiтература
1. Романюк А. С., Романюк В. С. Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних
у просторi B\infty ,1 // Укр. мат. журн. – 2019. – 71, № 2. – С. 271 – 282.
2. Dinh Ding, Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601.03978 v 3 [math.NA] 21 Apr.
2017.
3. Романюк В. С. Колмогоровские поперечники и энтропийные числа в пространствах Орлича с нормой Люк-
сембурга // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 682 – 694.
4. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
5. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 61.
6. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
7. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
8. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
10. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ., 1993.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ОЦIНКИ ДЕЯКИХ АПРОКСИМАЦIЙНИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1115
11. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
12. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-
изводной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – С. 138 – 168.
13. Романюк А. С. Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 10. – C. 1403 – 1417.
14. Höllig K. Diameters of classes of smooth functions // Quant. Approxim. – New York: Acad. Press, 1980. – P. 163 – 176.
15. Carl B. Entropy numbers, s-numbers, and eigenvalue problems // J. Funct. Anal. – 1981. – 41. – P. 290 – 306.
16. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной
смешанной производной // Мат. заметки. – 1995. – 58, № 6. – С. 922 – 925.
17. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the Kolmogorov
widths // East J. Approxim. – 1996. – 2, № 1. – P. 89 – 98.
18. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 82, № 2. – С. 247 – 261.
19. Романюк А. С. Приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных линейными методами
и наилучшие приближения // Мат. сб. – 2004. – 195, № 2. – С. 91 – 116.
20. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского – Бесова
периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – C. 1540 – 1556.
21. Тригуб Р. М., Белинский Э. С. Fourier analysis and approximation of functions. – Kluwer Acad. Publ., 2004. – 585 p.
Одержано 26.04.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1501 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:04Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/47/2d5f2c559e4cb1bcc512fbc94243d247.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15012020-03-29T17:56:28Z Estimates of some approximating characteristics of the classes of periodic functions of one and many variables Оцінки деяких апроксимаційних характеристик класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. UDC 517.5 We obtain the exact-order estimates for some approximating characteristics of the classes $\mathbb{W}^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and $\mathbb{B}^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and many variables in the norm of the space $B_{\infty, 1}.$ УДК 517.5 Встановлено точнi за порядком оцiнки деяких апроксимацiйних характеристик класiв $\mathbb{W}^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ i $\mathbb{B}^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних за нормою простору $B_{\infty, 1}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1501 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1102-1115 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1102-1115 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1501/485 Copyright (c) 2019 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Estimates of some approximating characteristics of the classes of periodic functions of one and many variables |
| title | Estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| title_alt | Оцінки деяких апроксимаційних характеристик класів
періодичних функцій однієї та багатьох змінних |
| title_full | Estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| title_fullStr | Estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| title_full_unstemmed | Estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| title_short | Estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| title_sort | estimates of some approximating characteristics of the classes
of periodic functions of one and many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1501 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas estimatesofsomeapproximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanyukvs estimatesofsomeapproximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanûkas estimatesofsomeapproximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanûkvs estimatesofsomeapproximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicfunctionsofoneandmanyvariables AT romanyukas ocínkideâkihaproksimacíjnihharakteristikklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih AT romanyukvs ocínkideâkihaproksimacíjnihharakteristikklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih AT romanûkas ocínkideâkihaproksimacíjnihharakteristikklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih AT romanûkvs ocínkideâkihaproksimacíjnihharakteristikklasívperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih |