On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator
UDC 517.98 We find all fixed and periodic points for a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator on the two-dimensional simplex. The description of the limit set of trajectories for this operator is presented.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1502 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507295021006848 |
|---|---|
| author | Khamrayev, A. Yu. Хамраев, А. Ю. Хамраев, А. Ю. |
| author_facet | Khamrayev, A. Yu. Хамраев, А. Ю. Хамраев, А. Ю. |
| author_sort | Khamrayev, A. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:29Z |
| description | UDC 517.98
We find all fixed and periodic points for a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator on the two-dimensional
simplex. The description of the limit set of trajectories for this operator is presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
А. Ю. Хамраев (Каршин. гос. ун-т, Узбекистан)
О ДИНАМИКЕ КВАЗИСТРОГО НЕВОЛЬТЕРРОВСКОГО
КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
We find all fixed and periodic points for a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator on the two-dimensional
simplex. The description of the limit set of trajectories for this operator is presented.
Для одного квазiстрого невольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора на двовимiрному симплексi
знайдено всi нерухомi та перiодичнi точки. Наведено опис граничної множини траєкторiй для цього оператора.
Введение. Одна из основных задач при исследовании динамической системы состоит в изу-
чении эволюции состояния системы. Обычно „потомки” состояния системы определяются
некоторым законом. Квадратичные стохастические операторы впервые были введены в ра-
боте С. Н. Бернштейна [1] и используются для решения задач, возникающих в математической
генетике [1, 3 – 14]. Изучение асимптотического поведения траекторий квадратичных стохасти-
ческих операторов впервые начато С. Уламом [14]. В работах [7 – 9] теория вольтерровских
квадратичных стохастических операторов была развита на основе теорий функции Ляпунова
и турниров. Бесконечномерные вольтерровские квадратичные стохастические операторы рас-
смотрены в работах [12, 13]. Понятие строго невольтерровского квадратичного стохастического
оператора было введено в работе [3]. Результаты работ [3, 4] показывают, что динамика строго
невольтерровских операторов намного богаче, чем динамика вольтерровских операторов. Сле-
довательно, каждый невольтерровский квадратичный оператор является хорошим примером в
теории нелинейных динамических систем. Кроме того, задача полного описания поведения
траекторий квадратичных стохастических операторов не решена полностью даже в двумерном
симплексе и остается открытой проблемой до настоящего времени. Именно для класса неволь-
терровских квадратичных стохастических операторов многие вопросы остаются открытыми, и
в этом случае пока не построена общая теория.
В настоящей работе рассматриваются квадратичные стохастические операторы, которые
будем называть квазистрого невольтерровскими.
Опишем кратко структуру работы. Во-первых, дано определение квазистрого невольтерров-
ского оператора и описан вид произвольного квазистрого невольтерровского оператора на дву-
мерном симплексе S2. Во-вторых, изучены неподвижные, периодические и предельные точки
квазистрого невольтерровского оператора на S2. Доказано, что существуют две неподвижные
точки и континуальное множество 2-периодических точек. Все 2-периодические точки являют-
ся притягивающими. Одна из неподвижных точек является отталкивающей. Приведено полное
описание множества предельных точек.
Пусть V : Sn - 1 \rightarrow Sn - 1 — квадратичный стохастический оператор (КСО), определенный
на симплексе
Sn - 1 =
\biggl\{
x = (x1, x2, . . . , xn) \in Rn : xi \geq 0, i = 1, 2, . . . , n,
n\sum
i=1
xi = 1
\biggr\}
,
т. е.
(V x)k = x\prime k =
n\sum
i,j=1
Pij,kxixj , k = 1, 2, . . . , n, (1)
где Pij,k \geq 0, Pij,k = Pji,k и
c\bigcirc А. Ю. ХАМРАЕВ, 2019
1116 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О ДИНАМИКЕ КВАЗИСТРОГО НЕВОЛЬТЕРРОВСКОГО КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО . . . 1117
n\sum
k=1
Pij,k = 1 \forall i, j, k \in \{ 1, 2, . . . , n\} . (2)
КСО называется строго невольтерровским, если
Pij,k = 0 для всех k \in \{ i, j\} . (3)
Определение 1. КСО V, определенный на Sn - 1, назовем квазистрого невольтерровским,
если (3) не выполняется только для Pii,i, т. е. Pii,i \geq 0.
Определение 2 (см. [2]). Если якобиан J оператора V в неподвижной точке \lambda не имеет
собственного значения на единичной окружности, то точка \lambda называется гиперболической.
Определение 3 (см. [2]). Гиперболическая неподвижная точка \lambda называется притягива-
ющей, если все модули собственных значений матрицы Якоби J(\lambda ) меньше единицы; оттал-
кивающей, если все модули собственных значений матрицы Якоби J(\lambda ) больше единицы, и
седловой — в остальных случаях.
Для данного x(0) \in Sm - 1 траектория \{ x(n)\} , n = 0, 1, 2, . . . , под действием КСО (1)
определяется так: x(n+1) = V (x(n)), где n = 0, 1, 2, . . . .
Одна из главных проблем в математической биологии состоит в изучении асимптотического
поведения траекторий. Эта проблема была полностью решена для вольтерровских КСО (см. [8]),
которые определены равенствами (2) и дополнительным предположением
Pij,k = 0 для всех k \in \{ i, j\} .
В данной работе мы ограничимся изучением квазистрого невольтерровских операторов,
определенных на S2. Тогда квазистрого невольтерровский оператор V имеет вид
V :
\left\{
x\prime = P11,1x
2 + P22,1y
2 + P33,1z
2 + 2P23,1yz,
y\prime = P11,2x
2 + P22,2y
2 + P33,2z
2 + 2P13,2xz,
z\prime = P11,3x
2 + P22,3y
2 + P33,3z
2 + 2P23,1xy.
(4)
Положим
P11,1 = \alpha 1, P22,1 = \beta 1, P33,1 = \gamma 1,
P11,2 = \alpha 2, P22,2 = \beta 2, P33,2 = \gamma 2,
P11,3 = \alpha 3, P22,3 = \beta 3, P33,3 = \gamma 3.
Тогда из (4) получим
V :
\left\{
x\prime = \alpha 1x
2 + \beta 1y
2 + \gamma 1z
2 + 2yz,
y\prime = \alpha 2x
2 + \beta 2y
2 + \gamma 2z
2 + 2xz,
z\prime = \alpha 3x
2 + \beta 3y
2 + \gamma 3z
2 + 2xy,
(5)
где \alpha i, \beta i, \gamma i \geq 0, i = 1, 2, 3,
\sum 3
i=1
\alpha i =
\sum 3
i=1
\beta i =
\sum 3
i=1
\gamma i = 1.
Замечание 1. Вообще говоря, изучение оператора (5) является очень трудной задачей. Эта
задача в случае \alpha 1 = \beta 2 = \gamma 3 = 0 для некоторых подклассов таких операторов рассмотрена
в [3]. В работе [10] в случае \alpha 1 = \beta 2 = \gamma 3 = 1 показано, что оператор имеет четыре непо-
движные точки, вершины симплекса e1, e2, e3 являются отталкивающими, центр симплекса
C(1/3, 1/3, 1/3) — притягивающий и траектория любой точки, за исключением вершин, схо-
дится к центру симплекса.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1118 А. Ю. ХАМРАЕВ
Пусть \alpha 1 = \beta 1 = \gamma 1 = 1, тогда оператор (5) имеет вид
V : x\prime = x2 + (y + z)2, y\prime = 2xz, z\prime = 2xy. (6)
В данной работе мы будем изучать асимптотическое поведение траекторий (динамику)
оператора (6).
Неподвижные точки. Неподвижная точка оператора (6) есть решение \lambda = (x, y, z) урав-
нения V (\lambda ) = \lambda , т. е. решение системы
x2 + (1 - x)2 = x,
2xz = y,
2xy = z.
(7)
Обозначим
\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(V ) =
\bigl\{
\lambda \in S2 : V (\lambda ) = \lambda
\bigr\}
.
Тогда для оператора V получим
\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(\mathrm{V}) =
\biggl\{
(1, 0, 0),
\biggl(
1
2
,
1
4
,
1
4
\biggr) \biggr\}
.
Замечание 2. Вольтерровские КСО на двумерном симплексе имеют, по крайней мере, три
неподвижные точки (см. [8]). А строго невольтерровский КСО при любых параметрах имеет
единственную неподвижную точку (см. [3]). Квазистрого невольтерровский КСО (5) только при
\alpha 1 = \beta 1 = \gamma 1 = 1, т. е. когда оператор рассматривается виде (6), имеет две неподвижные точки,
а в остальных случаях — единственную неподвижную точку (см. [5]) на двумерном симплексе.
В случае, когда динамическая система имеет более чем одну неподвижную точку, исследование
траекторий таких динамических систем представляет особый интерес. И этот факт является
мотивацией для изучения отдельно траекторий КСО (6).
Инвариантные множества. Обозначим
M\alpha =
\biggl\{
(x, y, z) \in S2 : y = \alpha z \vee y =
1
\alpha
z
\biggr\}
, \alpha \in (0,+\infty ),
M0 =
\bigl\{
(x, y, z) \in S2 : y \cdot z = 0
\bigr\}
.
Лемма 1. Множества M0 и M\alpha являются инвариантными относительно оператора V.
Доказательство. Пусть (x, y, z) \in M\alpha , т. е. y = \alpha z или y =
1
\alpha
z, тогда из (6) имеем
y\prime = \alpha z\prime или y\prime =
1
\alpha
z\prime . Следовательно, V (M\alpha ) \subset M\alpha . Ясно, что S2 =
\bigcup
\alpha \in [0,+\infty )
M\alpha .
Пусть (x, y, z) \in M0, т. е. y \cdot z = 0. Тогда y\prime \cdot z\prime = 4x2yz = 0.
Лемма 1 доказана.
Периодические точки. Сначала найдем 2-периодические точки, т. е. рассмотрим уравне-
ние V 2(\lambda ) = \lambda , где \lambda = (x, y, z) и V 2(\lambda ) = V (V (\lambda )) имеет вид
x\prime \prime = 8x4 - 16x3 + 12x2 - 4x+ 1 \equiv f2(x),
y\prime \prime = 22 \cdot x \cdot (2x2 - 2 + 1) \cdot y,
z\prime \prime = 22 \cdot x \cdot (2x2 - 2x+ 1) \cdot z.
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О ДИНАМИКЕ КВАЗИСТРОГО НЕВОЛЬТЕРРОВСКОГО КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО . . . 1119
Здесь
f(x) = x2 + (1 - x)2 = 2x2 - 2x+ 1, x \in [0, 1].
Обозначим через fn(x) = f(f(. . . f(x)) . . . ) n-ю итерацию.
Лемма 2. Для любого значения n \geq 2 функция f(x) не имеет n-периодических точек,
отличных от неподвижных точек.
Доказательство. Покажем, что f2(x) = x не имеет решения x \in [0, 1], отличного от
неподвижной точки. Поскольку решения уравнения f(x) = x являются решениями для f2(\lambda ) =
= \lambda , то мы рассмотрим уравнения
f2(x) - x
f(x) - x
=
8x4 - 16x3 + 12x2 - 5x+ 1
2x2 - 3x+ 1
= 4x2 - 2x+ 1 = 0.
Но последнее уравнение не имеет решений. Поэтому в силу теоремы Шарковского (см. [3])
уравнение fn(x) = x не имеет решений при всех n \geq 2.
Лемма 2 доказана.
Обозначим
S0 =
\biggl\{ \biggl(
1
2
, y, z
\biggr)
\in S2 : y + z =
1
2
\biggr\}
, \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}2(V ) =
\bigl\{
\lambda \in S2 : V 2(\lambda ) = \lambda
\bigr\}
.
Лемма 3. Для оператора \mathrm{V}, т. е. (7), справедливо \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}2(V ) = S0.
Доказательство. В силу леммы 2 уравнение f2(x) = x имеет следующие решения: x = 1
и x = 1
2 . Пусть x = 1. Тогда из уравнения V 2(\lambda ) = \lambda получаем y = 4y, z = 4z, т. е.
y = z = 0 или (1, 0, 0) \in \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(V ). Пусть теперь x =
1
2
, тогда из уравнения V 2(\lambda ) = \lambda имеем
y = y, z = z, т. е. y и z являются произвольными и такими, что y + z =
1
2
. Следовательно,
V 2
\biggl(
1
2
, y, z
\biggr)
= V
\biggl(
1
2
, z, y
\biggr)
=
\biggl(
1
2
, y, z
\biggr)
\forall
\biggl(
1
2
, y, z
\biggr)
\in S0.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для оператора V имеет место
\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}n(V ) =
\bigl\{
\lambda \in S2 : V n(\lambda ) = \lambda
\bigr\}
= \varnothing ,
где n \geq 3.
Доказательство. Легко получить, что
V 3 :
\left\{
x\prime \prime \prime = f3(x),
y\prime \prime \prime = 22x f(x) \cdot f2(x) \cdot z,
y\prime \prime \prime = 23x f(x) \cdot f2(x) \cdot y.
(9)
Используя математическую индукцию, получаем
V n :
\left\{
x(n) = fn(x),
y(n) =
\Biggl[
2n
n - 1\prod
i=0
f i(x)
\Biggr] \biggl[ \biggl(
1 + ( - 1)n
2
\biggr)
y +
\biggl(
1 - ( - 1)n
2
\biggr)
z
\biggr]
,
z(n) =
\biggl[
2n
n - 1\prod
i=0
f i(x)
\biggr] \biggl[ \biggl(
1 - ( - 1)n
2
\biggr)
y +
\biggl(
1 + ( - 1)n
2
\biggr)
z
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1120 А. Ю. ХАМРАЕВ
В силу леммы 2 из первого уравнения V n(\lambda ) = \lambda находим x = 1, x =
1
2
.
Пусть x =
1
2
, тогда
2n
n - 1\prod
i=0
f i
\biggl(
1
2
\biggr)
= 1.
Из уравнения V n(\lambda ) = \lambda получаем
y =
\biggl(
1 + ( - 1)n
2
\biggr)
y +
\biggl(
1 + ( - 1)n
2
\biggr)
z,
z =
\biggl(
1 - ( - 1)n
2
\biggr)
y +
\biggl(
1 - ( - 1)n
2
\biggr)
z.
Отсюда
y - z = ( - 1)n(y - z). (10)
Пусть n является четным. Тогда (10) выполняется для любых y, z с условием y + z =
1
2
,
т. е. \biggl(
1
2
, y, z
\biggr)
\in \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}2(V ).
Если n — нечетное, то из (10) получаем y = z, а из y + z =
1
2
имеем y = z =
1
4
, т. е.\biggl(
1
2
,
1
4
,
1
4
\biggr)
\in \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}2(V ).
Таким образом, все решения уравнения V n(\lambda ) = \lambda для оператора V являются либо непо-
движными, либо 2-периодическими.
Лемма 4 доказана.
Замечание 3. Из [8] известно, что вольтерровские КСО не имеют периодических траек-
торий. В работе [4] показано, что строго невольтерровские КСО имеют бесконечно много
периодических точек. Леммы 2 – 4 показывают, что квазистрого невольтерровские операторы
тоже имеют бесконечно много периодических точек.
Предельные точки. Далее мы изучим динамику оператора V на M\alpha , \alpha \in [0,+\infty ).
Пусть \lambda = (x, y, z) \in M\alpha , \alpha \in (0,+\infty ). Тогда либо x + (\alpha + 1)y = 1, либо x +
\biggl(
1
\alpha
+
+ 1
\biggr)
y = 1. Для определенности пусть x + (\alpha + 1)y = 1. Тогда оператор V на этой прямой
имеет вид
V\alpha :
\left\{ x\prime = 2x2 - 2x+ 1,
y\prime = 2\alpha xy.
Очевидно, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty x(n) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty fn(x) =
1
2
. Тогда из x(2k)+(\alpha + 1)y(2k) = 1 и x(2k+1)+
+
\biggl(
1
\alpha
+ 1
\biggr)
y(2k+1) = 1 получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О ДИНАМИКЕ КВАЗИСТРОГО НЕВОЛЬТЕРРОВСКОГО КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО . . . 1121
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
y(n) =
\left\{
1
2(\alpha + 1)
, n = 2k, k = 0, 1, 2,
\alpha
2(\alpha + 1)
, n = 2k + 1, k = 0, 1, 2.
Следовательно, для любого \lambda \in M\alpha , \alpha \in (0,+\infty ), имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\lambda (2k) =
\biggl(
1
2
,
1
2(\alpha + 1)
,
\alpha
2(\alpha + 1)
\biggr)
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\lambda (2k+1) =
\biggl(
1
2
,
\alpha
2 (\alpha + 1)
,
1
2(\alpha + 1)
\biggr)
.
Аналогично можно доказать, что для любого \lambda 0 \in M0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\lambda (2k+1) =
\biggl(
1
2
,
1
2
, 0
\biggr)
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\lambda (2k) =
\biggl(
1
2
, 0,
1
2
\biggr)
.
Из приведенного выше получаем следующую теорему.
Теорема 1. 1. Для любого \lambda \in
\bigl\{
(x, y, z) \in S2 : x = 0
\bigr\}
\cup \{ (1, 0, 0)\} справедливо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda (n) = (1, 0, 0).
2. Для любого \lambda \in S2\setminus
\bigl\{
(x, y, z) \in S2 : x = 0
\bigr\}
существует \alpha \in [0; +\infty ) такое, что \lambda
принадлежит M\alpha .
При \alpha = 0 для любого \lambda (0) \in M0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (n) =
\left\{
\biggl(
1
2
, 0,
1
2
\biggr)
, если n = 2k, k = 0, 1, 2, . . . ,\biggl(
1
2
,
1
2
, 0
\biggr)
, если n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . . ,
а при \alpha \in (0,+\infty )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (n) =
\left\{
\biggl(
1
2
,
\alpha
2(\alpha + 1)
,
1
2(\alpha + 1)
\biggr)
, n = 2k, k = 0, 1, 2, . . . ,\biggl(
1
2
,
\alpha
2(\alpha + 1)
,
1
2(\alpha + 1)
\biggr)
, n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . . .
Замечание 4. Из [8] известно, что вольтерровские КСО не имеют периодических траекто-
рий. В работе [4] показано, что строго невольтерровские КСО имеют сходящие, периодические
и несходящие траектории. Из теоремы 1 следует, что квазистрого невольтерровские операторы
имеют сходящие и периодические траектории (см. рисунок).
Автор выражает признательность профессору У. А. Розикову за полезные замечания, кото-
рые дали возможность значительно улучшить стиль и содержание работы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1122 А. Ю. ХАМРАЕВ
N
1
2 , 0, 1
2
M
1
2
,
1
2
, 0
e3 = (0, 0,1)e2 = (0,1, 0)
e1 = (1, 0, 0)
A B
MN = S0 , M a = Ae1 Be1, M 0 = e1e2 e1e3
Поведение траектории на инвариантном множестве M\alpha .
Литература
1. Бернштейн С. Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности // Учен.
зап. науч.-исслед. кафедры Украины. Отд-ние математики. – 1924. – № 1. – С. 83 – 115.
2. Devaney R. L. An introduction to chaotic dynamical systems // Nonlinearity. – 2003.
3. Жамилов У. У., Розиков У. А. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов
на двумерном симплексе // Мат. сб. – 2009. – 200, № 9. – С. 81 – 94.
4. Jamilov U. U. On symmetric strictly non-Volterra quadratic stochastic operators // Discontinuity, Nonlinearity, and
Complexity. – 2016. – 5, № 3. – P. 263 – 283.
5. Hardin A. J. M., Rozikov U. A. A quasi-strictly non-Volterra quadratic stochastic operator // arXiv: 1808.00229.
6. Kesten H. Quadratic transformations: a model for population growth. I // Adv. Appl. Probab. – 1970. – 2, № 1. –
P. 1 – 82.
7. Ganikhodzhaev R. N., Mukhamedov F. M., Rozikov U. A. Quadratic stochastic operators: results and open problems //
Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Fields. – 2011. – 14, № 2. – P. 279 – 335.
8. Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры // Мат. сб. – 1992. –
83, № 8. – С. 119 – 140.
9. Ганиходжаев Р. Н. Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных динамиче-
ских систем // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 40 – 49.
10. Ганиходжаев Р. Н. Об одном семействе квадратичных стохастических операторов, действующих в S2 // Докл.
АН УзССР. – 1989. – № 1. – С. 3 – 5.
11. Любич Ю. И. Математические структуры в популяционной генетике. – Киев: Наук. думка, 1983.
12. Mukhamedov F., Ganikhodjaev N. Quantum quadratic operators and processes // Lect. Notes Math. – 2015. – 2133.
13. Мухамедов Ф. М. О бесконечномерных квадратичных вольтерровских операторах // Успехи мат. наук. – 2000. –
55, № 6. – С. 149 – 150.
14. Ulam S. M. A collection of mathematical problems. – New York etc.: Intersci. Publ., 1960.
Получено 15.03.18,
после доработки — 12.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1502 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:02Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/55/8c2a6a042a9c4de81e2b7e8218429355.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15022019-12-05T08:57:29Z On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator О динамике квазистрого невольтерровского квадратичного стохастического оператора Khamrayev, A. Yu. Хамраев, А. Ю. Хамраев, А. Ю. UDC 517.98 We find all fixed and periodic points for a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator on the two-dimensional simplex. The description of the limit set of trajectories for this operator is presented. УДК 517.98 Для одного квазiстрого невольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора на двовимiрному симплексi знайдено всi нерухомi та перiодичнi точки. Наведено опис граничної множини траєкторiй для цього оператора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1502 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1116-1122 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1116-1122 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1502/486 Copyright (c) 2019 Khamrayev A. Yu. |
| spellingShingle | Khamrayev, A. Yu. Хамраев, А. Ю. Хамраев, А. Ю. On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title | On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title_alt | О динамике квазистрого невольтерровского квадратичного стохастического
оператора |
| title_full | On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title_fullStr | On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title_full_unstemmed | On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title_short | On the dynamics of a quasistrictly non-Volterra quadratic stochastic operator |
| title_sort | on the dynamics of a quasistrictly non-volterra quadratic stochastic operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1502 |
| work_keys_str_mv | AT khamrayevayu onthedynamicsofaquasistrictlynonvolterraquadraticstochasticoperator AT hamraevaû onthedynamicsofaquasistrictlynonvolterraquadraticstochasticoperator AT hamraevaû onthedynamicsofaquasistrictlynonvolterraquadraticstochasticoperator AT khamrayevayu odinamikekvazistrogonevolʹterrovskogokvadratičnogostohastičeskogooperatora AT hamraevaû odinamikekvazistrogonevolʹterrovskogokvadratičnogostohastičeskogooperatora AT hamraevaû odinamikekvazistrogonevolʹterrovskogokvadratičnogostohastičeskogooperatora |