On the existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation
UDC 517.956.35 We consider a boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation with iterated multidimensional wave operator in the principal part. The theorems on existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of this problem are established.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1503 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507299566583808 |
|---|---|
| author | Midodashvili, B. Kharibegashvili, S. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. |
| author_facet | Midodashvili, B. Kharibegashvili, S. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. |
| author_sort | Midodashvili, B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:42:08Z |
| description | UDC 517.956.35
We consider a boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation with iterated multidimensional wave operator
in the principal part. The theorems on existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of this problem are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.35
С. Харибегашвили (Мат. ин-т им. А. Размадзе Тбил. гос. ун-та; Груз. техн. ун-т, Тбилиси),
Б. Мидодашвили (Тбил. гос. ун-т; Гор. учеб. ун-т, Грузия)
О СУЩЕСТВОВАНИИ, ЕДИНСТВЕННОСТИ
И ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
We consider a boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation with iterated multidimensional wave operator
in the principal part. The theorems on existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of this problem are established.
Розглянуто одну крайову задачу для квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння з iтерованим багатовимiрним хвильо-
вим оператором у головнiй частинi. Доведено теореми iснування, єдиностi та вiдсутностi розв’язкiв цiєї задачi.
1. Постановка задачи. В евклидовом пространстве \BbbR n+1 переменных x1, x2, . . . , xn, t рас-
смотрим квазилинейное уравнение вида
Lfu := \square 2u+ f(u) = F, (1.1)
где f : \BbbR \rightarrow \BbbR — заданная нелинейная функция, F — заданная, а u — искомая действительные
функции, \square :=
\partial 2
\partial t2
-
\sum n
i=1
\partial 2
\partial x2i
, n \geq 2.
Для уравнения (1.1) рассмотрим краевую задачу: найти решение u(x1, . . . , xn, t) этого урав-
нения в цилиндрической области DT = \Omega \times (0, T ), где \Omega — открытая ограниченная липшицева
область в \BbbR n, по следующим краевым условиям:
u
\bigm| \bigm|
\partial DT
= 0,
\partial u
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT
= 0, (1.2)
где \nu = (\nu 1, . . . , \nu n, \nu n+1) — единичный вектор внешней нормали к \partial DT .
Отметим, что другие краевые задачи, поставленные для уравнения (1.1) со степенной нели-
нейностью, когда часть границы области определения решения является характеристическим
многообразием, были изучены в [1 – 3].
Точка (x, t) гладкого многообразия S, заданного уравнением \varphi (x1, . . . , xn, t) = 0, где \nabla \varphi =
= (\varphi x1 , . . . , \varphi xn , \varphi t) \not = 0 на S, называется характеристической точкой для уравнения\sum
| \alpha | \leq m
a\alpha (x, t)
\partial | \alpha | u
\partial x\alpha 1
1 . . . \partial x\alpha n
n \partial t\alpha n+1
+ f(u) = F (x, t),
если в этой точке \sum
| \alpha | =m
a\alpha (x, t)\varphi
\alpha 1
x1
. . . \varphi \alpha n
xn
\varphi
\alpha n+1
t = 0.
Здесь \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n, \alpha n+1), | \alpha | = \alpha 1+ . . .+\alpha n+1 . Многообразие S : \varphi (x1, . . . , xn, t) = 0 на-
зывается характеристическим для этого уравнения, если все его точки характеристические. Со-
гласно этому определению, для уравнения (1.1) характеристическим является многообразие S :
c\bigcirc С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8 1123
1124 С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ
\varphi (x1, . . . , xn, t) = 0, для которого
\Bigl(
\varphi 2
t -
\sum n
i=1
\varphi 2
xi
\Bigr) 2 \bigm| \bigm| \bigm|
S
= 0, т. е.
\Bigl(
\varphi 2
t -
\sum n
i=1
\varphi 2
xi
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm|
S
= 0.
В частности, коническое многообразие S : t = | x| , из которого исключена вершина O(0, . . .
. . . , 0, 0), является характеристическим. В работе [3, c. 101] в усеченной конической обла-
сти D+
T : | x| < t < T, ограниченной частью ST : t = | x| , 0 \leq t \leq T, характеристиче-
ского конического многообразия S : t = | x| и нехарактеристической плоской частью S0
T :
t = T, | x| \leq T, ее границы, для уравнения (1.1) со степенной нелинейностью f(u) = \lambda | u| \alpha ,
\lambda = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} < 0, рассмотрена характеристическая задача Коши с условиями
u
\bigm| \bigm|
ST
= 0,
\partial u
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
ST
= 0.
Отметим, что между постановками этих задач имеется принципиальное отличие. Если в за-
даче (1.1), (1.2) вся граница \partial DT области DT , которая ни в одной своей точке не является
характеристической, подчинена краевым условиям (1.2), то в задаче из работы [3] вся неха-
рактеристическая часть S0
T границы области D+
T полностью свободна от каких-либо краевых
условий.
Положим
0
Ck(DT , \partial DT ) :=
\Biggl\{
u \in Ck(DT ) : u
\bigm| \bigm|
\partial DT
=
\partial u
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT
= 0
\Biggr\}
, k \geq 2.
Пусть u \in
0
C4(DT , \partial DT ) — классическое решение задачи (1.1), (1.2). Умножая обе час-
ти уравнения (1.1) на произвольную функцию \varphi \in
0
C2(DT , \partial DT ) и интегрируя полученное
уравнение по частям в области DT , получаем\int
DT
\square u\square \varphi dx dt+
\int
DT
f(u)\varphi dx dt =
\int
DT
F\varphi dx dt. (1.3)
При выводе (1.3) было использовано равенство\int
DT
\square u\square \varphi dx dt =
\int
\partial DT
\partial \varphi
\partial N
\square uds -
\int
\partial DT
\varphi
\partial
\partial N
\square uds+
\int
DT
\varphi \square 2u dx dt,
где
\partial
\partial N
= \nu n+1
\partial
\partial t
-
\sum n
i=1
\nu i
\partial
\partial xi
— производная по конормали, а также равенства
\partial \varphi
\partial N
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma
=
= - \partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma
,
\partial \varphi
\partial N
\bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT \setminus \Gamma
=
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT \setminus \Gamma
, \Gamma := \partial \Omega \times (0, T ), \varphi
\bigm| \bigm|
\partial DT
=
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT
= 0.
Введем гильбертово пространство
0
W 1
2,\square (DT ) как пополнение по норме
\| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
=
\int
DT
\Biggl[
u2 +
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
+
\bigl(
\square u
\bigr) 2\Biggr]
dx dt (1.4)
классического пространства
0
C2(DT , \partial DT ). Из (1.4) следует, что если u принадлежит
0
W 1
2,\square (DT ), то u принадлежит
0
W 1
2(DT ), а \square u принадлежит L2(DT ). Здесь W 1
2 (DT ) — извест-
ное пространство Соболева [4, c. 56], состоящее из элементов L2(DT ), имеющих обобщенные
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О СУЩЕСТВОВАНИИ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1125
производные первого порядка из L2(DT ), а
0
W 1
2(DT ) =
\bigl\{
u \in W 1
2 (DT ) : u
\bigm| \bigm|
\partial DT
= 0
\bigr\}
, где ра-
венство u
\bigm| \bigm|
\partial DT
= 0 понимается в смысле теории следа [4, c. 70].
Равенство (1.3) положим в основу определения обобщенного решения u задачи (1.1), (1.2).
Ниже на функцию f = f(u) наложим следующие требования:
f \in C(\BbbR ),
\bigm| \bigm| f(u)\bigm| \bigm| \leq M1 +M2| u| \alpha , u \in \BbbR , (1.5)
где
0 \leq \alpha = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} <
n+ 1
n - 1
. (1.6)
Замечание 1.1. Оператор вложения I : W 1
2 (DT ) \rightarrow Lq(DT ) является линейным непрерыв-
ным и компактным оператором при 1 < q <
2(n+ 1)
n - 1
, если n > 1 [4, c. 81]. Вместе с этим
оператор Немыцкого N : Lq(DT ) \rightarrow L2(DT ), действующий по формуле Nu = - f(u), соглас-
но (1.5) является непрерывным и ограниченным при q \geq 2\alpha [5, c. 66, 67]. Таким образом, так
как согласно (1.6) имеем 2\alpha <
2(n+ 1)
n - 1
, то существует такое число q, что 1 < q <
2(n+ 1)
n - 1
и
q \geq 2\alpha . Следовательно, в этом случае оператор
N0 = NI :
0
W
1
2(DT ) \rightarrow L2(DT ) (1.7)
будет непрерывным и компактным. Кроме того, из того, что u принадлежит
0
W 1
2,\square (DT ), следует,
что f(u) принадлежит L2(DT ), и если um \rightarrow u в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ), то f(um) \rightarrow f(u)
в пространстве L2(DT ).
Определение 1.1. Пусть функция f удовлетворяет условиям (1.5), (1.6) и F принадлежит
L2(DT ). Назовем функцию u \in
0
W 1
2,\square (DT ) слабым обобщенным решением задачи (1.1), (1.2),
если для любой функции \varphi \in
0
W 1
2,\square (DT ) выполнено интегральное равенство (1.3), т. е.\int
DT
\square u\square \varphi dx dt+
\int
DT
f(u)\varphi dx dt =
\int
DT
F\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
W
1
2,\square (DT ). (1.8)
Согласно замечанию 1.1, в уравнении (1.8) интеграл
\int
DT
f(u)\varphi dx dt определен корректно,
так как из того, что u принадлежит
0
W 1
2,\square (DT ), следует, что f(u) принадлежит L2(DT ) и тем
самым f(u)\varphi принадлежит L1(DT ).
Несложно проверить, что если решение u задачи (1.1), (1.2) принадлежит в смысле опре-
деления 1.1 классу
0
C 4(DT , \partial DT ), то оно также яляется классическим решением этой задачи.
2. Разрешимость задачи (1.1), (1.2).
Лемма 2.1. Имеет место неравенство
\| u\| 0
W 1
2,\square (DT )
\leq c\| \square u\| L2(DT ) \forall u \in
0
W
1
2,\square (DT ), (2.1)
где норма пространства
0
W 1
2,\square (DT ) задается равенством (1.4), а положительная постоянная
c не зависит от u.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1126 С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ
Доказательство. Поскольку пространство
0
C2 (DT , \partial DT ) является плотным подпростран-
ством пространства
0
W 1
2,\square (DT ), достаточно доказать неравенство (2.1) для всех
u \in
0
C2(DT , \partial DT ).
Положим \Omega \tau := DT \cap \{ t = \tau \} , 0 \leq \tau \leq T, D\tau := DT \cap \{ t < \tau \} , \Gamma \tau := \Gamma \cap \{ t < \tau \} ,
0 < \tau \leq T, и \nu = (\nu 1, . . . , \nu n, \nu n+1) — единичный вектор внешней нормали к \partial D\tau . Для
u \in
0
C 2(DT , \partial DT ), согласно равенствам u | \Gamma \tau = 0, u | \Omega 0=
\partial u
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm|
\Omega 0
= 0 и \Omega \tau = \partial D\tau \cap \{ t = \tau \} ,
\nu i
\bigm| \bigm|
\Omega \tau \cup \Omega 0
= 0, i = 1, . . . , n, \nu n+1
\bigm| \bigm|
\Gamma \tau
= 0, \nu n+1
\bigm| \bigm|
\Omega \tau
= 1, \nu n+1
\bigm| \bigm|
\Omega 0
= - 1,
в результате интегрирования по частям получаем\int
D\tau
\partial 2u
\partial t2
\partial u
\partial t
dx dt =
1
2
\int
D\tau
\partial
\partial t
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
dx dt =
1
2
\int
\partial D\tau
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
\nu n+1 ds =
1
2
\int
\Omega \tau
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
dx, (2.2)
\int
D\tau
n\sum
i=1
\partial 2u
\partial x2i
\partial u
\partial t
dx dt =
\int
\partial D\tau
n\sum
i=1
\partial u
\partial xi
\partial u
\partial t
\nu i ds -
1
2
\int
D\tau
n\sum
i=1
\partial
\partial t
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
dx dt =
=
\int
\Gamma \tau
n\sum
i=1
\partial u
\partial xi
\partial u
\partial t
\nu i ds -
1
2
\int
\partial D\tau
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\nu n+1 ds = - 1
2
\int
\Omega \tau
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
dx, i = 1, . . . , n,
(2.3)
так как
\Bigl( \sum n
i=0
\partial u
\partial xi
\nu i
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \tau
=
\partial u
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \tau
= 0, поэтому
\int
\Gamma \tau
n\sum
i=1
\partial u
\partial xi
\partial u
\partial t
\nu i ds =
\int
\Gamma \tau
\partial u
\partial \nu
\partial u
\partial t
ds = 0.
Из (2.2), (2.3) следует, что\int
\Omega \tau
\Biggl[ \biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr]
dx = 2
\int
D\tau
\square u
\partial u
\partial t
dx dt, \tau \leq T. (2.4)
Полагая
w(\tau ) :=
\int
\Omega \tau
\Biggl[ \biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr]
dx
и используя неравенство
2\square u
\partial u
\partial t
\leq
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
\bigm| \bigm| \square u
\bigm| \bigm| 2,
из (2.4) получаем
w(\tau ) \leq
\tau \int
0
w(s)ds+
\bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(D\tau )
, 0 < \tau \leq T. (2.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О СУЩЕСТВОВАНИИ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1127
Из (2.5), принимая во внимание, что
\bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(D\tau )
как функция от \tau является неубывающей,
согласно лемме Гронуолла находим
w(\tau ) \leq \| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(D\tau )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \tau , 0 < \tau \leq T. (2.6)
В свою очередь, из (2.6) следует, что
\int
DT
\Biggl[ \biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr]
dx dt =
T\int
0
w(\tau ) d\tau \leq
\bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(DT )
T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}T. (2.7)
Согласно равенствам u(x, 0) = 0 и u(x, t) =
\int t
0
\partial u(x, \tau )
\partial t
d\tau , (x, t) \in DT , которые справед-
ливы для любой функции u \in
0
C2(DT , \partial DT ), а также следуя стандартным рассуждениям [4,
c. 62, 63], несложно получить неравенство\int
DT
u2(x, t) dx dt \leq T 2
\int
DT
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
dx dt. (2.8)
Согласно (2.7), (2.8) имеем
\| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
=
\int
DT
\Biggl[
u2 +
\biggl(
\partial u
\partial t
\biggr) 2
+
n\sum
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
+
\bigl(
\square u
\bigr) 2\Biggr]
dx dt \leq
\leq
\bigl(
1 + T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}T + T 3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}T
\bigr) \bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(DT )
,
откуда получаем неравенство (2.1) с постоянной c2 = 1 + (T + T 3) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}T.
Лемма 2.1 доказана.
Рассмотрим условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| u| \rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
f(u)
u
\geq 0. (2.9)
Лемма 2.2. Пусть F принадлежит L2(DT ) и выполнены условия (1.5), (1.6), (2.9). Тогда
для слабого обобщенного решения u \in
0
W 1
2,\square (DT ) задачи (1.1), (1.2) справедлива априорная
оценка
\| u\| 0
W 1
2,\square (DT )
\leq c1\| F\| L2(DT ) + c2 (2.10)
с положительными постоянными c1 и c2, не зависящими от u и F .
Доказательство. Поскольку f \in C(\BbbR ), то из (2.9) следует, что для любого \varepsilon > 0 суще-
ствует такое число M\varepsilon \geq 0, что
uf(u) \geq - M\varepsilon - \varepsilon u2 \forall u \in \BbbR . (2.11)
Полагая \varphi = u \in
0
W 1
2,\square (DT ) в равенстве (1.8) и принимая во внимание (1.4), (2.11), для
любого \varepsilon > 0 получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1128 С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ
\bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(DT )
=
\int
DT
\bigl(
\square u
\bigr) 2
dx dt = -
\int
DT
uf(u) dx dt+
\int
DT
Fudx dt \leq
\leq M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + \varepsilon
\int
DT
u2 dx dt+
\int
DT
\biggl(
1
4\varepsilon
F 2 + \varepsilon u2
\biggr)
dx dt \leq
\leq 1
4\varepsilon
\int
DT
F 2 dx dt+M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2\varepsilon \| u\| 2L2(DT ) \leq
\leq 1
4\varepsilon
\int
DT
F 2 dx dt+M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2\varepsilon \| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
.
Отсюда согласно (2.1) имеем
\| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
\leq c2
\bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\| 2
L2(DT )
\leq c2
4\varepsilon
\int
DT
F 2 dx dt+ c2M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT + 2c2\varepsilon \| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
,
откуда для \varepsilon =
1
4c2
получаем
\| u\| 20
W 1
2,\square (DT )
\leq 2c4\| F\| 2L2(DT ) + 2c2M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT . (2.12)
Из неравенства (2.12) следует (2.10) при c1 = 2c4 и c2 = 2c2M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT , где \varepsilon =
1
4
c2 .
Лемма 2.2 доказана.
Замечание 2.1. Ниже рассмотрим соответствующую (1.1), (1.2) линейную задачу, т. е. слу-
чай, когда f = 0. В этом случае для F \in L2(DT ) введем аналогичное определение слабого
обобщенного решения u \in
0
W 1
2,\square (DT ) этой задачи, т. е. когда имеет место интегральное равен-
ство
(u, \phi )\square :=
\int
DT
\square u\square \varphi dx dt =
\int
DT
F\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
W
1
2,\square (DT ). (2.13)
Замечание 2.2. В силу (1.4) и (2.1), принимая во внимание, что
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl( \square u,\square \varphi
\bigr)
L2(DT )
\bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
DT
\square u\square \varphi dx dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm\| \bigm\| \square u
\bigm\| \bigm\|
L2(DT )
\| \square \varphi \| L2(DT ) \leq
\leq \| u\| 0
W 1
2,\square (DT )
\bigm\| \bigm\| \varphi \bigm\| \bigm\| 0
W 1
2,\square (DT )
,
можем рассмотреть билинейную форму
\bigl(
u, \varphi
\bigr)
\square :=
\int
DT
\square u\square \varphi dx dt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О СУЩЕСТВОВАНИИ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1129
из (2.13) как скалярное произведение в гильбертовом пространстве
0
W 1
2,\square (DT ). Поэтому, по-
скольку для F \in L2(DT )\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
DT
F\varphi dx dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| F\| L2(DT ) \| \varphi \| L2(DT ) \leq \| F\| L2(DT ) \| \varphi \| 0
W 1
2,\square (DT )
,
согласно теореме Рисса существует единственная функция u в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ), ко-
торая удовлетворяет равенству (2.13) для любой \varphi \in
0
W 2,\square (DT ), и для ее нормы справедлива
оценка
\| u\| 0
W 1
2,\square (DT )
\leq \| F\| L2(DT ). (2.14)
Таким образом, вводя обозначения u = L - 1
0 F, убеждаемся, что вышеупомянутой линейной
задаче соответствует линейный ограниченный оператор
L - 1
0 : L2(DT ) \rightarrow
0
W
1
2,\square (DT )
и согласно (2.14) для его нормы справедлива оценка\bigm\| \bigm\| L - 1
0
\bigm\| \bigm\|
L2(DT )\rightarrow
0
W 1
2,\square (DT )
\leq 1. (2.15)
Принимая во внимание определение 1.1 и замечание 2.2, мы можем записать равенство (1.8),
эквивалентное задаче (1.1), (1.2), в виде
u = L - 1
0
\bigl[
- f(u) + F
\bigr]
(2.16)
в гильбертовом пространстве
0
W 1
2,\square (DT ).
Замечание 2.3. Поскольку согласно (1.4) пространство
0
W 1
2,\square (DT ) непрерывно вложено
в пространство
0
W 1
2(DT ), учитывая (1.7), видим, что при выполнении условий (1.5), (1.6)
оператор
N1 = NII1 :
0
W
1
2,\square (DT ) \rightarrow L2(DT ),
где I1 :
0
W 1
2,\square (DT ) \rightarrow
0
W 1
2(DT ) — оператор вложения, также является непрерывным и ком-
пактным.
Запишем уравнение (2.16) в виде
u = Au := L - 1
0
\bigl(
N1u+ F
\bigr)
. (2.17)
Тогда с учетом (2.15) и замечания 2.3 заключаем, что оператор A :
0
W 1
2,\square (DT ) \rightarrow
0
W 1
2,\square (DT ) из
(2.17) является непрерывным и компактным. Вместе с этим, согласно априорной оценке (2.10),
где постоянные c1 = 2c4 = 2
\bigl[
1+ (T + T 3) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}T
\bigr] 2
и c2 = 2c2M\varepsilon \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT , \varepsilon =
1
4
c2, для любого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1130 С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ
параметра \tau \in [0, 1] и решения u \in
0
W 1
2,\square (DT ) уравнения u = \tau Au с вышеупомянутым
параметром справедлива априорная оценка (2.10) с теми же положительными постоянными c1
и c2, не зависящими от u, F и \tau . Следовательно, согласно теореме Лере – Шаудера [6, c. 375],
уравнение (2.17), а следовательно и задача (1.1), (1.2), имеет по крайней мере одно слабое
обобщенное решение u в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ). Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6) и (2.9). Тогда для любой функции F \in
\in L2(DT ) задача (1.1), (1.2) имеет по крайней мере одно слабое обобщенное решение u \in
\in
0
W 1
2,\square (DT ).
3. Единственность решения задачи (1.1), (1.2).
Теорема 3.1. Пусть f — монотонная функция, удовлетворяющая условиям (1.5), (1.6).
Тогда для любой функции F \in L2(DT ) задача (1.1), (1.2) не может иметь более одного
слабого обобщенного решения в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ).
Доказательство. Пусть F принадлежит L2(DT ) и, более того, u1 и u2 — два слабых
обобщенных решения задачи (1.1), (1.2) в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ), т. e. согласно (1.8) имеют
место равенства\int
DT
\square ui\square \varphi dx dt = -
\int
DT
f(ui)\varphi dx dt +
\int
DT
F\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
W
1
2,\square (DT ), i = 1, 2. (3.1)
Из (3.1) для разности v = u2 - u1 имеем\int
DT
\square v\square \varphi dx dt = -
\int
DT
\bigl(
f(u2) - f(u1)
\bigr)
\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
W
1
2,\square (DT ). (3.2)
Полагая \varphi = v \in
0
W 1
2,\square (DT ) в равенстве (3.2), получаем\int
DT
\bigl(
\square v
\bigr) 2
dx dt = -
\int
DT
\bigl(
f(u2) - f(u1)
\bigr)
(u2 - u1) dx dt. (3.3)
Поскольку f — монотонная функция, то\bigl(
f(s2) - f(s1)
\bigr)
(s2 - s1) \geq 0 \forall s1, s2 \in \BbbR . (3.4)
Из (3.3), (3.4) следует, что \int
DT
\bigl(
\square v
\bigr) 2
dx dt \leq 0,
откуда согласно (2.1) находим v = 0, т. e. u2 = u1, что и завершает доказательство этой
теоремы.
Из теорем 2.1 и 3.1 следует такая теорема.
Теорема 3.2. Пусть f — монотонная функция, удовлетворяющая условиям (1.5), (1.6),
(2.9). Тогда для любой функции F \in L2(DT ) задача (1.1), (1.2) имеет единственное слабое
обобщенное решение в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О СУЩЕСТВОВАНИИ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1131
4. Отсутствие решений задачи (1.1), (1.2). Пусть для простоты \Omega : | x| < 1.
Теорема 4.1. Пусть F 0 принадлежит L2(DT ), \| F 0\| L2(DT ) \not = 0, F 0 \geq 0, и F = \mu F 0,
\mu = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. Тогда в случае f(u) \leq - | u| \alpha , 1 < \alpha <
n+ 1
n - 1
, существует такое число
\mu 0 = \mu 0(F
0, \alpha ) > 0, что для \mu > \mu 0 задача (1.1), (1.2) не имеет слабого обобщенного решения
в пространстве
0
W 1
2,\square (DT ).
Доказательство. Допустим, что условия теоремы выполнены и решение u \in
0
W 1
2,\square (DT )
задачи (1.1), (1.2) существует для любого фиксированного \mu > 0. Из равенства (1.8) следует,
что \int
DT
\square u\square \varphi dx dt \geq
\int
DT
| u| \alpha \varphi dx dt + \mu
\int
DT
F 0\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
W
1
2,\square (DT ). (4.1)
Интегрированием по частям нетрудно проверить, что\int
DT
\square u\square \varphi dx dt =
\int
DT
u\square 2\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
C
4
\bigl(
DT , \partial DT
\bigr)
, (4.2)
где
0
C 4(DT , \partial DT ) :=
\Biggl\{
u \in C4
\bigl(
DT
\bigr)
: u
\bigm| \bigm|
\partial DT
=
\partial u
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial DT
= 0
\Biggr\}
\subset
0
W 1
2,\square (DT ).
С учетом (4.2) запишем неравенство (4.1) следующим образом:\int
DT
| u| \alpha \varphi dx dt \leq
\int
DT
u\square 2\varphi dx dt - \mu
\int
DT
F 0\varphi dx dt \forall \varphi \in
0
C
4
\bigl(
DT , \partial DT
\bigr)
. (4.3)
Ниже воспользуемся методом пробных функций [7, c. 10 – 12]. В роли пробной функции
выберем такую \varphi \in
0
C 4(DT , \partial DT ), что \varphi | DT
> 0. Если в неравенстве Юнга с параметром
\varepsilon > 0
ab \leq \varepsilon
\alpha
a\alpha +
1
\alpha \prime \varepsilon \alpha \prime - 1
b\alpha
\prime
, a, b \geq 0, \alpha \prime =
\alpha
\alpha - 1
,
то положим a = | u| \varphi 1/\alpha и b =
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| /\varphi 1/\alpha . Тогда с учетом того, что \alpha \prime /\alpha = \alpha \prime - 1, будем
иметь
\bigm| \bigm| u\square 2\varphi
\bigm| \bigm| = | u| \varphi 1/\alpha
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm|
\varphi 1/\alpha
\leq \varepsilon
\alpha
| u| \alpha \varphi +
1
\alpha \prime \varepsilon \alpha \prime - 1
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| \alpha \prime
\varphi \alpha \prime - 1
. (4.4)
Из (4.3), (4.4) следует, что
\Bigl(
1 - \varepsilon
\alpha
\Bigr) \int
DT
| u| \alpha \varphi dx dt \leq 1
\alpha \prime \varepsilon \alpha \prime - 1
\int
DT
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| \alpha \prime
\varphi \alpha \prime - 1
dx dt - \mu
\int
DT
F 0\varphi dx dt,
откуда при \varepsilon < \alpha получаем\int
DT
| u| \alpha \varphi dx dt \leq \alpha
(\alpha - \varepsilon )\alpha \prime \varepsilon \alpha \prime - 1
\int
DT
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| \alpha \prime
\varphi \alpha \prime - 1
dx dt - \alpha \mu
\alpha - \varepsilon
\int
DT
F 0\varphi dx dt. (4.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1132 С. ХАРИБЕГАШВИЛИ, Б. МИДОДАШВИЛИ
Принимая во внимание равенства \alpha \prime =
\alpha
\alpha - 1
, \alpha =
\alpha \prime
\alpha \prime - 1
и \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}0<\varepsilon <\alpha
\alpha
(\alpha - \varepsilon )\alpha \prime \varepsilon \alpha \prime - 1
= 1,
которое достигается при \varepsilon = 1, из (4.5) находим\int
DT
| u| \alpha \varphi dx dt \leq
\int
DT
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| \alpha \prime
\varphi \alpha \prime - 1
dx dt - \alpha \prime \mu
\int
DT
F 0\varphi dx dt. (4.6)
Нетрудно показать существование такой пробной функции \varphi , что
\varphi \in
0
C
4
\bigl(
DT , \partial DT
\bigr)
, \varphi
\bigm| \bigm|
DT
> 0, \kappa 0 =
\int
DT
\bigm| \bigm| \square 2\varphi
\bigm| \bigm| \alpha \prime
\varphi \alpha \prime - 1
dx dt < +\infty . (4.7)
Действительно, легко видеть, что функция
\varphi (x, t) =
\bigl[
(1 - | x| 2)t(T - t)
\bigr] m
для достаточно большого положительного m удовлетворяет условию (4.7).
Поскольку по условию теоремы F 0 принадлежит L2(DT ), \| F 0\| L2(DT ) \not = 0, F 0 \geq 0, и
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}DT < +\infty , а также учитывая, что \varphi | DT
> 0, имеем
0 < \kappa 1 =
\int
DT
F 0\varphi dx dt < +\infty . (4.8)
Обозначим через g(\mu ) правую часть неравенства (4.6), которая линейна относительно \mu .
Тогда из (4.7), (4.8) получаем
g(\mu ) < 0 при \mu > \mu 0 и g(\mu ) > 0 при \mu < \mu 0, (4.9)
где
g(\mu ) = \kappa 0 - \alpha \prime \mu \kappa 1, \mu 0 =
\kappa 0
\alpha \prime \kappa 1
> 0.
Согласно (4.9), при \mu > \mu 0 правая часть неравенства (4.6) отрицательна, тогда как левая
часть этого же неравенства неотрицательна. Полученное противоречие доказывает теорему.
Заметим, что в случае, когда f(u) \leq - | u| \alpha , \alpha > 1, условие (2.9) нарушено.
Литература
1. Kharibegashvili S., Midodashvili B. Solvability of characteristic boundary-value problems for nonlinear equations
with iterated wave operator in the principal part // Electron. J. Different. Equat. – 2008. – № 72. – 12 p.
2. Kharibegashvili S., Midodashvili B. On one boundary value problem for a nonlinear equation with iterated wave
operator in the principal part // Georg. Math. J. – 2008. – 15, № 3. – P. 541 – 554.
3. Kharibegashvili S. Boundary value problems for some classes of nonlinear wave equations // Mem. Different. Equat.
Math. Phys. – 2009. – 46. – P. 1 – 114.
4. Ладыженская O. A. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973.
5. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1988.
6. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1993.
7. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств
в частных производных // Тр. Мат. ин-та РАН. – 2001. – 234.
Получено 03.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1503 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:06Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/af/26adf1d84d4293866d2696fdf28d24af.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15032020-03-29T18:42:08Z On the existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation О существовании, единственности и отсутствии решений одной краевой задачи для квазилинейного гиперболического уравнения Midodashvili, B. Kharibegashvili, S. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. UDC 517.956.35 We consider a boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation with iterated multidimensional wave operator in the principal part. The theorems on existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of this problem are established. УДК 517.956.35 Розглянуто одну крайову задачу для квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння з iтерованим багатовимiрним хвильовим оператором у головнiй частинi. Доведено теореми iснування, єдиностi та вiдсутностi розв’язкiв цiєї задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1503 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1123-1132 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1123-1132 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1503/487 Copyright (c) 2019 Midodashvili B.; Kharibegashvili S. |
| spellingShingle | Midodashvili, B. Kharibegashvili, S. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. Мидодашвили, Б. Харибегашвили, С. On the existence, uniqueness, and nonexistence of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title | On the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title_alt | О существовании, единственности и отсутствии
решений одной краевой задачи для квазилинейного гиперболического уравнения |
| title_full | On the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title_fullStr | On the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title_full_unstemmed | On the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title_short | On the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| title_sort | on the existence, uniqueness, and nonexistence
of solutions of one boundary-value problem for a semilinear hyperbolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1503 |
| work_keys_str_mv | AT midodashvilib ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT kharibegashvilis ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT midodašvilib ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT haribegašvilis ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT midodašvilib ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT haribegašvilis ontheexistenceuniquenessandnonexistenceofsolutionsofoneboundaryvalueproblemforasemilinearhyperbolicequation AT midodashvilib osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ AT kharibegashvilis osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ AT midodašvilib osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ AT haribegašvilis osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ AT midodašvilib osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ AT haribegašvilis osuŝestvovaniiedinstvennostiiotsutstviirešenijodnojkraevojzadačidlâkvazilinejnogogiperboličeskogouravneniâ |