On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field
UDC 517.51 We prove inequalities connecting a flow through the $(n- 1)$-dimensional surface $S$ of a smooth solenoidal vector field with its $L^{p}(U)$-norm ($U$ is an $n$-dimensional domain that contains $S$). On the basis of these inequalities, we propose a correct definition of the flow through...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1505 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507301186633728 |
|---|---|
| author | Noarov, A. I. Ноаров, А. И. Ноаров, А. И. |
| author_facet | Noarov, A. I. Ноаров, А. И. Ноаров, А. И. |
| author_sort | Noarov, A. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:29Z |
| description | UDC 517.51
We prove inequalities connecting a flow through the $(n- 1)$-dimensional surface $S$ of a smooth solenoidal vector field
with its $L^{p}(U)$-norm ($U$ is an $n$-dimensional domain that contains $S$). On the basis of these inequalities, we propose a correct definition of the flow through the surface $S$ of a discontinuous solenoidal vector field $f \in L^{p}(U)$ (or, more
precisely, of the class of vector fields that are equal almost everywhere with respect to the Lebesque measure). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
А. И. Ноаров (Ин-т вычислит. математики РАН, Москва, Россия)
О КОРРЕКТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОТОКА
РАЗРЫВНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
We prove inequalities connecting a flow through the (n - 1)-dimensional surface S of a smooth solenoidal vector field
with its Lp(U)-norm (U is an n-dimensional domain that contains S ). On the basis of these inequalities, we propose
a correct definition of the flow through the surface S of a discontinuous solenoidal vector field f \in Lp(U) (or, more
precisely, of the class of vector fields that are equal almost everywhere with respect to the Lebesque measure).
Доведено нерiвностi, що пов’язують течiю через (n - 1)-вимiрну поверхню S гладкого соленоїдального векторного
поля з його Lp(U)-нормою (U — n-вимiрна область, що мiстить S). На основi цих нерiвностей запропоновано
коректне означення течiї через поверхню S розривного соленоїдального векторного поля f \in Lp(U) (а точнiше,
класу векторних полiв, рiвних майже скрiзь за мiрою Лебега).
Введение. В области U \subseteq \bfR n рассмотрим измеримое локально интегрируемое в степени
p \geq 1 векторное поле, имеющее нулевую дивергенцию в смысле теории распределений. На
гладкой (n - 1)-мерной поверхности S \subset U для этого векторного поля мы хотим коррект-
но определить „устойчивое предельное значение”, которое (как элемент пространства Lq(S),
q \geq 1) не менялось бы при изменении векторного поля на множестве нулевой n-мерной
меры Лебега. Известно, что для разрывных функций указанный объект, называемый следом,
корректно определен при наличии первых обобщенных производных, интегрируемых в до-
статочно высокой степени. Однако, как показывают примеры векторных полей на плоскости
\bff (\bfitx ) = ( - x2, x1)\varphi (| \bfitx | ), \bff (\bfitx ) = (\varphi (x2), 0) с произвольной ограниченной измеримой функцией
\varphi (y), в рассматриваемом случае таких обобщенных производных может и не быть. Поэто-
му нахождение следа разрывного соленоидального векторного поля сопряжено с большими
трудностями (см. также теорему 2), а для произвольного \bff \in Lp(U) такая задача и вовсе не
имеет смысла. Тем не менее в ряде случаев оказывается возможным корректно определить
поток разрывного соленоидального векторного поля через достаточно регулярные множества
на S. Именно такой подход к описанию предельного значения \bff на S предлагается в данной
работе.
Реализацию намеченной программы будем проводить при n = 2 и n = 3. Сначала в работе
выводится класс неравенств, связывающих поток гладкого соленоидального векторного поля
через поверхность S \subset U с его Lp(U)-нормой
\| \bff \| Lp(U) =
\left( \int
U
| \bff (\bfity )| pdy1 . . . dyn
\right) 1/p
.
Затем предлагается определить поток произвольного соленоидального векторного поля из
Lp(U) как предел потоков гладких соленоидальных векторных полей, стремящихся к исходно-
му в Lp(U)-норме. Наличие конечного предела обосновывают указанные выше неравенства.
Далее на основе полученных результатов исследуется регулярность обобщенных решений ста-
ционарного уравнения Фоккера – Планка с разрывными коэффициентами.
c\bigcirc А. И. НОАРОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8 1141
1142 А. И. НОАРОВ
Векторные поля на плоскости.
Теорема 1. Пусть p > 2, a > 0, а \Gamma — отрезок 0 \leq x1 \leq a прямой x2 = 0, погруженной в
плоскость \bfR 2. Пусть U — ограниченное открытое множество в \bfR 2, содержащее \Gamma . Тогда для
любого непрерывно дифференцируемого векторного поля \bff : U \rightarrow \bfR 2 с нулевой дивергенцией
выполняется неравенство \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
a\int
0
f2(x1, 0) dx1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C\| \bff \| Lp(U), (1)
где \bff (\bfitx ) =
\bigl(
f1(x1, x2), f2(x1, x2)
\bigr)
, а константа C = C(p,\Gamma , U) не зависит от \bff .
Доказательство. Определим на \bfR 2 семейство ломаных \Gamma \beta , поставив в соответствие каж-
дому параметру \beta точку (a/2, (a \mathrm{t}\mathrm{g} \beta )/2) и пару отрезков, соединяющих эту точку с точками
(0; 0) и (a; 0). Открытое множество U содержит \Gamma \beta при 0 \leq \beta \leq \beta 0 для некоторого \beta 0 > 0.
По теореме Остроградского – Гаусса поток соленоидального векторного поля \bff через \Gamma равен
потоку через ломаную \Gamma \beta :
a\int
0
f2(x1, 0) dx1 =
a/2\int
0
( - f1(x, x \mathrm{t}\mathrm{g} \beta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta + f2(x, x \mathrm{t}\mathrm{g} \beta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta ) dx/ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta +
+
a/2\int
0
(f1(x+ a/2, (a/2 - x) \mathrm{t}\mathrm{g} \beta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta +
+f2(x+ a/2, (a/2 - x) \mathrm{t}\mathrm{g} \beta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta ) dx/ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta .
Интегрируя равенство по \beta в пределах от 0 до \beta 0 и оценивая скалярное произведение \bff и
единичной нормали к \Gamma \beta , имеем
\beta 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
a\int
0
f2(x1, 0) dx1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
a/2\int
0
\beta 0\int
0
\bigm| \bigm| \bff (x, x \mathrm{t}\mathrm{g} \beta )/ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \bigm| \bigm| d\beta dx+
+
a/2\int
0
\beta 0\int
0
\bigm| \bigm| \bff (x+ a/2, (a/2 - x) \mathrm{t}\mathrm{g} \beta )/ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta
\bigm| \bigm| d\beta dx. (2)
Оценим первое слагаемое в (2). Переходя к полярным координатам, заключаем, что интеграл
a/2\int
0
\beta 0\int
0
\bigm| \bigm| \bff (x, x \mathrm{t}\mathrm{g} \beta )/ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \bigm| \bigm| d\beta dx =
=
\beta 0\int
0
a/(2 cos\beta )\int
0
\bigm| \bigm| \bff (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta , r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta )\bigm| \bigm| dr d\beta =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОРРЕКТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОТОКА РАЗРЫВНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1143
=
\beta 0\int
0
a/(2 cos\beta )\int
0
r
\bigm| \bigm| \bff (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta , r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta )/r\bigm| \bigm| dr d\beta
равен интегралу от функции
\bigm| \bigm| \bff (\bfitx )\bigm| \bigm| /| \bfitx | по треугольнику с вершинами (0; 0), (a/2; 0) и
\bigl(
a/2,
(a \mathrm{t}\mathrm{g} \beta 0)/2
\bigr)
. В силу неравенства Гельдера он не превышает произведения \| \bff \| Lp(U) и Lq(U)-
нормы функции 1/| \bfitx | при 1/p + 1/q = 1. Последняя норма конечна, так как 1 < q < 2,
поскольку p > 2. Второе слагаемое в (2) оценивается аналогично — при отражении относи-
тельно прямой x1 = a/2 оно принимает ту же форму, что и первое слагаемое.
Теорема 1 доказана.
Покажем, что условие p > 2 теоремы 1 нельзя ослабить. Положим f0(\bfitx ) =
= (x2, - x1)/(| \bfitx | 2 \mathrm{l}\mathrm{n} | \bfitx | ) при 0 < | \bfitx | < 2/3. Постоим последовательность \{ \varphi k(x)\} \infty k=1 функ-
ций класса C\infty (R) со следующими свойствами: 0 \leq \varphi k(x) \leq 1, \varphi k(x) = 0 при | x| \leq 1/(2k)
и \varphi k(x) = 1 при | x| \geq 1/k. Положим \bff k(\bfitx ) = f0(\bfitx )\varphi k(| \bfitx | ), U = \{ \bfitx : | \bfitx | < 2/3\} . Усло-
вие \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \bff k(\bfitx ) = 0 в U легко проверяется. Поток векторного поля \bff k(\bfitx ) через отрезок [0, 1/2]
прямой x2 = 0 стремится к бесконечности при k \rightarrow \infty , так как
1/2\int
0
- \varphi k(x)/(x \mathrm{l}\mathrm{n}x) dx =
1/2\int
1/(2k)
- \varphi k(x)/(x \mathrm{l}\mathrm{n}x) dx >
1/2\int
1/k
- dx/(x \mathrm{l}\mathrm{n}x),
а интеграл
\int 1/2
0
- dx/(x \mathrm{l}\mathrm{n}x) от положительной функции расходится.
С другой стороны, последовательность \| \bff k\| L2(U) ограничена в силу неравенства
\int
| x| <2/3
| \bff k(\bfitx )| 2 dx1 dx2 <
\int
| x| <2/3
| \bff 0(\bfitx )| 2 dx1 dx2 = 2\pi
2/3\int
0
dr/(r(\mathrm{l}\mathrm{n} r)2)
и сходимости последнего интеграла. Таким образом, в условии теоремы нельзя брать p \leq 2.
Покажем, что отрезок в условии теоремы нельзя заменить произвольным ограниченным
измеримым множеством.
Теорема 2. Пусть 3 > p > 2, q \geq 1, а \Gamma — отрезок 0 \leq x1 \leq 1 прямой x2 = 0,
погруженной в плоскость \bfR 2. Пусть U — открытое множество в \bfR 2, содержащее \Gamma . Рас-
смотрим наделенное нормой Lp(U) пространство непрерывно дифференцируемых векторных
полей на U с нулевой дивергенцией и конечной нормой Lp(U). Тогда линейный функционал
\bff \mapsto \rightarrow
\int
\Gamma 1
f2(x1, 0) dx1 на указанном нормированном пространстве разрывен для некоторого
ограниченного измеримого подмножества \Gamma 1 отрезка \Gamma . Тогда же при каждом q \geq 1 разрывно
отображение этого нормированного пространства в Lq(\Gamma ), сужающее вторую компоненту
f2 векторного \bff поля на \Gamma .
Замечание. Утверждения, предшествующие теореме 2, также могут быть сформулированы
в терминах непрерывности и разрывности функционала потока.
Доказательство теоремы 2. Построим функцию \varphi \in C\infty
0 (R) со следующими свойствами:
0 \leq \varphi (x) \leq 1, \varphi (x) = 0 при x \geq 1 и \varphi (x) = 1 при x \leq 1/2. Положим \bff (\bfitx ) = ( - x2, x1)\varphi (| \bfitx | ).
Введем последовательность векторных полей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1144 А. И. НОАРОВ
\bff n(\bfitx ) =
n\sum
k=1
k\bff
\bigl(
2k(k + 1)\bfitx - (2k + 1)(1; 0)
\bigr)
. (3)
Условие \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \bff n(\bfitx ) = 0 легко проверяется.
На прямой x2 = 0 рассмотрим объединение отрезков
\Gamma 1 =
\infty \bigcup
k=1
\biggl[
2k + 1
2k(k + 1)
,
1
k
\biggr]
. (4)
Вычислим поток векторного поля \bff n через \Gamma 1. Для этого заметим, что k-е слагаемое из
определения \bff n(\bfitx ) имеет в качестве носителя шар радиуса
1
2k(k + 1)
с центром в точке\biggl(
2k + 1
2k(k + 1)
, 0
\biggr)
, а k-й отрезок в (4) является крайним правым радиусом указанного шара.
Поэтому поток \bff n через \Gamma 1 равен
n\sum
k=1
1/k\int
2k+1
2k(k+1)
k
\bigl(
2k(k + 1)x - (2k + 1)
\bigr)
\varphi
\bigl(
2k(k + 1)x - (2k + 1)
\bigr)
dx =
=
1\int
0
y\varphi (y) dy
n\sum
k=1
1
2k + 2
.
Итак, указанный поток стремится к бесконечности при n \rightarrow \infty .
Докажем ограниченность последовательности \{ \bff n(\bfitx )\} \infty n=1 в подходящей Lp-норме. Оце-
нивая Lp-норму \bff n, отметим, что носители отдельных слагаемых в (3) являются шарами,
касающимися один другого. Поэтому\int
R2
| \bff n(\bfitx )| p dx1 dx2 =
n\sum
k=1
kp
\int
R2
| \bff (2k(k + 1)\bfitx )| p dx1 dx2 =
=
\int
R2
| \bff (\bfitx )| p dx1 dx2
n\sum
k=1
kp - 2/(2k + 2)2.
В силу сходимости ряда
\sum \infty
k=1
kp - 2/(2k + 2)2 при каждом p < 3 последовательность\bigl\{
\bff n(\bfitx )
\bigr\} \infty
n=1
ограничена в Lp(\bfR 2) и поэтому в Lp(U) при любом открытом U. С другой сто-
роны, последовательность потоков \bff n через \Gamma 1 стремится к бесконечности, что доказывает
разрывность функционала f \mapsto \rightarrow
\int
\Gamma 1
f2(x1, 0) dx1 для множества \Gamma 1, заданного формулой (4).
Отображение разрывно, поскольку в противном случае был бы непрерывен описанный
выше функционал.
Теорема 2 доказана.
Теорему 2 можно интерпретировать как отсутствие следа на \Gamma у нормальной к \Gamma компонен-
ты разрывного соленоидального векторного поля. Тем более, как показывает пример векторного
поля \bff (\bfitx ) = (\varphi (x2), 0) с произвольной ограниченной измеримой функцией \varphi (y) и \Gamma \subset \{ \bfitx :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОРРЕКТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОТОКА РАЗРЫВНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1145
x2 = 0\} , отсутствует след и разрывно соответствующее отображение у тангенциальной компо-
ненты. С другой стороны, интеграл по \Gamma от нормальной компоненты следа, т. е. поток через \Gamma ,
можно корректно определить на основании теоремы 1.
Некоторые многомерные обобщения.
Теорема 3. Пусть p > 2, а \Gamma — выпуклый многоугольник, лежащий на плоскости x3 = 0,
погруженной в \bfR 3. Пусть U — ограниченное открытое множество в \bfR 3, содержащее \Gamma .
Тогда для любого непрерывно дифференцируемого векторного поля \bff : U \rightarrow \bfR 3 с нулевой
дивергенцией выполняется неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Gamma
f3(x1, x2, 0) dx1 dx2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C\| \bff \| Lp(U), (5)
где \bff (\bfitx ) =
\bigl(
f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3), f3(x1, x2, x3)
\bigr)
, а константа C = C(p,\Gamma , U) не зави-
сит от \bff .
Доказательство. Считаем, что начало координат находится внутри \Gamma . Определим в \bfR 3
семейство поверхностей \Gamma b, поставив в соответствие каждому параметру b точку (0, 0, b), набор
отрезков, соединяющих эту точку с вершинами \Gamma , и боковую поверхность \Gamma b, натянутую на
эти отрезки. Открытое множество U содержит \Gamma b при 0 \leq b \leq b0 для некоторого b0 > 0.
По теореме Остроградского – Гаусса поток соленоидального векторного поля \bff через \Gamma равен
потоку через любую поверхность \Gamma b :\int
\Gamma
f3(x1, x2, 0) dx1 dx2 =
\int
\Gamma b
(\bff ,\bfitn ) dS = b - 1
0
b0\int
0
\int
\Gamma b
(\bff ,\bfitn ) dS db,
где \bfitn — единичная нормаль к \Gamma b в соответствующей точке. Тогда\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Gamma
f3(x1, x2, 0) dx1 dx2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq b - 1
0
b0\int
0
\int
\Gamma b
| \bff | dS db. (6)
Двойной интеграл в правой части представляет собой объемный интеграл с некоторым весом
от функции | \bff (\bfitx )| по пирамиде с основанием \Gamma и боковой поверхностью \Gamma b0 .
Разрежем пирамиду вертикальными полуплоскостями, выпущенными из прямой x1 = x2 =
= 0, и представим правую часть (6) как сумму интегралов по более мелким пирамидам.
Оценим один из них. Он имеет вид
\int b0
0
\int
Tb
| \bff | dS db, причем треугольник Tb образован одной
из сторон А многоугольника \Gamma и точкой (0, 0, b). Выполним замену переменных в интеграле,
для чего введем цилиндрические координаты r, y, \beta . Расстояние от текущей точки до прямой,
содержащей А, обозначим через r, а расстояние от этой прямой до начала (декартовых, а не
цилиндрических) координат — через h. Координату точки вдоль этой прямой обозначим через
y, совместив начало цилиндрических координат с одним из концов А. Двугранный угол между
плоскостью x3 = 0 и плоскостью, проходящей через А и текущую точку, обозначим через \beta .
Тогда b = h \mathrm{t}\mathrm{g} \beta и поэтому
b0\int
0
\int
Tb
| \bff | dS db = h
\beta 0\int
0
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta ) - 2
\int
Tb
| \bff | dS d\beta ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1146 А. И. НОАРОВ
где \beta 0 \in (0, \pi /2) — двугранный угол между b0 и плоскостью x3 = 0. Переходя к цилиндриче-
ским координатам, заключаем, что правая часть неравенства
b0\int
0
\int
Tb
| \bff | dS db \leq h(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 0)
- 2
\beta 0\int
0
\int
Tb
| \bff | dS d\beta =
= h(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 0)
- 2
\beta 0\int
0
\int
Tb
| \bff (r, y, \beta )| dr dy d\beta
содержит объемный интеграл от функции | \bff (\bfitx )| /r(\bfitx ) по пирамиде с вершинами (0, 0, 0),
(0, 0, b0) и двумя соседними вершинами \Gamma . В силу неравенства Гельдера этот интеграл не
превышает произведения \| \bff \| Lp(U) и Lq(U)-нормы функции 1/r(\bfitx ) при 1/p + 1/q = 1. По-
следняя норма конечна, так как 1 < q < 2, поскольку p > 2. Для расстояния r(\bfitx ) от точки
\bfitx до прямой, проходящей через две соседние вершины многоугольника \Gamma , сходимость инте-
грала от (r(\bfitx )) - q по трехмерному ограниченному U доказывается так же, как и сходимость
интеграла от | \bfitx | - q по двумерному ограниченному U. Таким образом, мы оценили сверху пра-
вую часть (6), в которой \Gamma b заменен на Tb, соответствующий одной из сторон многоугольника
\Gamma . Для других сторон многоугольника \Gamma (а их количество конечно) такие неравенства (быть
может, с другими константами) получают аналогично. Суммирование неравенств приводит к
оценке правой части (6), которая в сочетании с (6) влечет (5).
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть p > 2, \Gamma — кусочно-гладкая поверхность в \bfR 3, а U — открытое вы-
пуклое ограниченное множество в \bfR 3, содержащее \Gamma . Допустим, что граница поверхности \Gamma
является объединением конечного набора отрезков. Тогда для любого непрерывно дифферен-
цируемого векторного поля \bff : U \rightarrow \bfR 3 с нулевой дивергенцией выполняется неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Gamma
(\bff ,\bfitn ) dS
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C\| \bff \| Lp(U) (7)
с константой C = C(p,\Gamma , U), не зависящей от \bff .
Доказательство. Построим кусочно-линейную поверхность в U с той же границей B, что
и поверхность \Gamma . Для этого возьмем какую-либо точку \bfz \in U. Искомую поверхность в U нам
„нарисует” отрезок с концами \bfz и \bfitx , когда точка \bfitx „пробежит” множество B. По теореме
Остроградского – Гаусса поток векторного поля \bff через построенную поверхность равен его
потоку через \Gamma . Он равен сумме потоков через треугольные грани построенной поверхности.
Поток через каждый треугольник оценивается с помощью теоремы 3, при этом выполняется
ортогональная замена независимых переменных и используется инвариантность дивергенции
и потока. Затем неравенства для отдельных треугольников (возможно, с разными константами)
суммируются.
Теорема 4 доказана.
Не исключено, что теорема 4 останется справедливой, если (не обязательно плоскую)
кусочно-линейную границу в ее условии заменить на более произвольную, но полностью от-
казаться от условия регулярности \Gamma нельзя. Пример ограниченного измеримого множества \Gamma ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОРРЕКТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОТОКА РАЗРЫВНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1147
для которого теорема 4 не имеет места, как и в двумерном случае, строится на основе (4).
Для этого \Gamma 1 погружается в \bfR 3 и декартово „умножается” на какой-либо отрезок прямой
x1 = x2 = 0, перпендикулярный \Gamma 1 и \bff n, заданному формулой (3). В качестве U берется про-
извольное ограниченное открытое множество в \bfR 3, содержащее „произведение”. Векторные
поля \bff n, изначально заданные формулой (3) на плоскости x3 = 0, параллельными переносами
вдоль прямой x1 = x2 = 0 определяются на всем \bfR 3. Дальнейшие рассуждения по аналогии с
двумерным случаем завершают построение контрпримера и приводят к трехмерному аналогу
теоремы 2.
Оценка потока непрерывного векторного поля.
Теорема 5. Теоремы 1, 3 и 4 останутся справедливыми, если в их условии непрерывно диф-
ференцируемые векторные поля с нулевой дивергенцией заменить на непрерывные векторные
поля с обобщенной нулевой дивергенцией, понимаемой в смысле интегрального тождества\int
U
\bigl(
\nabla \varphi (\bfitx ), \bff (\bfitx )
\bigr)
d\bfitx = 0 \forall \varphi \in C\infty
0 (U). (8)
Доказательство. Множество \Gamma в теоремах 1, 3, 4, замкнуто, поэтому существует содер-
жащее его открытое множество U1, замыкание которого содержится в U. Если (в теореме 4)
U1 выпукло, U1 берем выпуклым. Построим последовательность \{ \bff k(\bfitx )\} \infty k=1 векторных полей
класса C\infty (U1), равномерно сходящуюся на U1 к \bff (\bfitx ). Для этого применим операцию усред-
нения. Пусть неотрицательная функция \varphi 1(\bfitx ) класса C\infty
0 (\bfR n) в качестве носителя имеет шар
единичного радиуса с центром в нуле и
\int
Rn
\varphi 1(\bfitx ) d\bfitx = 1. Положим
\varphi k(\bfitx ) = kn\varphi 1(k\bfx ), \bff k(\bfitx ) =
\int
Rn
\bff (\bfitx + \bfity )\varphi k(\bfity ) dy1 . . . dyn.
При всех достаточно больших k \bff k(\bfitx ) определено в U1 и равномерно сходится к \bff (\bfitx ) на
U1. Замечая, что \bff k(\bfitx ) имеет нулевую дивергенцию, и применяя к \bff k(\bfitx ), \Gamma и U1 теоремы 1, 3
или 4, заключаем, что неравенства (1), (5), (7) выполняются для \bff k(\bfitx ) с константой C(p,\Gamma , U1) и
правой частью, в которой норма берется по U1. Эти неравенства для \bff (\bfitx ) получаем предельным
переходом. Наконец, норму \bff (\bfitx ) по U1 оцениваем сверху нормой по U.
Теорема 5 доказана.
Определение потока разрывного векторного поля. Исходя из оценки (7), можно предло-
жить следующее определение потока через поверхность \Gamma \subset U заданного в открытом множе-
стве U векторного поля f \in Lp(U) с обобщенной нулевой дивергенцией, понимаемой в смысле
интегрального тождества (8). Пусть p > 2, а \Gamma — отрезок при n = 2 или плоский многоуголь-
ник при n = 3. Окружим \Gamma открытым множеством U1, замыкание которого содержится в U.
Построим последовательность \{ \bff k\} \infty k=1 непрерывных векторных полей, сходящуюся в Lp(U1)
к \bff . Для этого применим операцию усреднения. Для каждого k положим
\delta =
1
k
, Q\delta (\bfitx ) =
\biggl\{
\bfy : | yi - xi| \leq
\delta
2
, i = 1, 2, . . . , n
\biggr\}
,
\bff k(\bfitx ) = \delta - n
\int
Q\delta (x)
u(\bfy ) dy1 . . . dyn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1148 А. И. НОАРОВ
При всех достаточно больших k \bff k(\bfitx ) определено в U1 и сходится к \bff в Lp(U1), поэтому
последовательность \{ \bff k\} \infty k=1 фундаментальна в Lp(U1). Замечая, что \bff k непрерывно и имеет
обобщенную нулевую дивергенцию в смысле интегрального тождества (8), а также применяя к
разности элементов \{ \bff k\} \infty k=1 теорему 5, заключаем, что числовая последовательность потоков
\bff k через S фундаментальна. Ее предел предлагается назвать потоком \bff через \Gamma .
Как можно заметить, этот предел не зависит от способа построения последовательности
непрерывных соленоидальных векторных полей \{ \bff k\} \infty k=1, сходящихся в Lp(U1) к \bff , а также
от выбора U1, содержащего \Gamma . Определенный таким образом поток является линейным функ-
ционалом, непрерывным на Lp(U). Для непрерывных соленоидальных векторных полей он
однозначно определяется их значением на поверхности \Gamma и совпадает (по модулю) с левой
частью (1), (5) или (7). Для произвольного соленоидального f \in Lp(U) это не так, но опреде-
ление потока локально в следующем смысле. Он однозначно определяется значением \bff в сколь
угодно малой окрестности поверхности \Gamma и сохраняется при изменении \bff на любом множестве
нулевой n-мерной меры Лебега.
При n = 2 и \Gamma \subset \{ \bfitx : x2 = 0\} описанным выше способом определяется поток соленои-
дального векторного поля f \in Lp(U) и через любую конечную систему отрезков, лежащих в
отрезке \Gamma . Таким образом, несмотря на теорему 2 и комментарий к ней, при желании можно
определить след на \Gamma от нормальной относительно \Gamma компоненты f \in Lp(U), понимая под
ним не функцию, а меру, определенную для конечных (но не для счетных, см. (4)) объедине-
ний отрезков. С другой стороны, как показывает пример векторного поля \bff (\bfitx ) = (\varphi (x2), 0) с
произвольной ограниченной измеримой функцией \varphi (y), понятие следа на \{ \bfitx : x2 = 0\} от тан-
генциальной компоненты, не участвующей в определении потока, даже для соленоидального
f \in Lp(U) не имеет смысла.
Метод усреднения и стационарное уравнение Фоккера – Планка. Обширный класс раз-
рывных соленоидальных векторных полей возникает при исследовании стационарных уравне-
ний Фоккера – Планка
\Delta u - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(u\bff ) = 0 (9)
с разрывными (например, локально ограниченными) векторными полями \bff (см. [1]). Векторное
поле \nabla u - u\bff , согласно [2], содержится в Lp
loc(R
n) при условии f \in Lp
loc(R
n), p > n. Векторное
поле \nabla u - u\bff имеет смысл плотности потока вероятностей. Оно имеет обобщенную нулевую
дивергенцию в смысле (8), поэтому на основе полученных ранее результатов при n = 2 и n = 3
можно корректно определить его поток через достаточно регулярные множества. В частности,
для уравнения (9) с разрывным \bff в области с протяженной границей появляется возможность
корректно сформулировать ранее введенное в [3] граничное условие вида „плотность потока
вероятности через границу равна нулю”. Тем не менее, как показывает следующий пример,
попытка определить поток отдельно для \nabla u и u\bff в общем случае безрезультатна.
В плоской области x1 < 2 введем функцию u(x1, x2) = 2 при x1 \leq 0, u(x1, x2) = 2 +
+ x1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}x1) при x1 > 0 и ограниченное измеримое векторное поле \bfj с нулевой обобщенной
дивергенцией в смысле (8). Положим \bff = (\nabla u + \bfj )/u. Тогда в смысле теории распределений
будем иметь равенства (9) и \partial u(x1, x2)/\partial x1 = 0 при x1 \leq 0, \partial u(x1, x2)/\partial x1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}x1) +
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{l}\mathrm{n}x1) при x1 > 0. Поток векторного поля \bfj = u\bff - \nabla u через любой отрезок прямой
x1 = 0 корректно определен с помощью ранее описанной процедуры усреднения. С другой
стороны, эта процедура, примененная отдельно к векторным полям u\bff и \nabla u, не дает желаемого
результата. Начнем с \nabla u. Для каждого k поток векторного поля
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
О КОРРЕКТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОТОКА РАЗРЫВНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1149
\bff k(\bfitx ) = k2
\int
Q1/k(x)
\nabla u(\bfy ) dy1 dy2
через единичный отрезок прямой x1 = 0, равный
k2k - 1
\bigl(
u((2k) - 1, 0) - u(0, 0)
\bigr)
= 0,5 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}( - \mathrm{l}\mathrm{n}(2k)),
не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при k \rightarrow \infty . Такой же результат даст опи-
санная ранее процедура для векторного поля u\bff , поскольку для \bfj = u\bff - \nabla u соответствующая
последовательность потоков имеет конечный предел. В простейшем случае \bfj \equiv 0 и этот предел
равен нулю; примеры разрывных \bfj приведены во введении.
Литература
1. Ноаров А. И. Стационарные диффузионные процессы с разрывными коэффициентами сноса // Алгебра и
анализ. – 2012. – 24, № 5. – С. 141 – 164.
2. Bogachev V. I., Krylov N. V., Röeckner M. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular
diffusions under minimal conditions // Communs Partial Different. Equat. – 2001. – 26, № 11-12. – P. 2037 – 2080.
3. Ноаров А. И. Стационарное уравнение Фоккера – Планка на некомпактных многообразиях и в неограниченных
областях // Теор. и мат. физика. – 2016. – 189, № 3. – С. 453 – 463.
Получено 18.04.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1505 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:08Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/bd01ff2a6568fc0a4ee2ab4eb6ef1cd1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15052019-12-05T08:57:29Z On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field О корректном определении потока разрывного соленоидального векторного поля Noarov, A. I. Ноаров, А. И. Ноаров, А. И. UDC 517.51 We prove inequalities connecting a flow through the $(n- 1)$-dimensional surface $S$ of a smooth solenoidal vector field with its $L^{p}(U)$-norm ($U$ is an $n$-dimensional domain that contains $S$). On the basis of these inequalities, we propose a correct definition of the flow through the surface $S$ of a discontinuous solenoidal vector field $f \in L^{p}(U)$ (or, more precisely, of the class of vector fields that are equal almost everywhere with respect to the Lebesque measure). УДК 517.51 Доведено нерiвностi, що пов’язують течiю через $(n-1)$-вимiрну поверхню $S$ гладкого соленоїдального векторного поля з його $L^{p}(U)$-нормою ($U$ — $n$-вимiрна область, що мiстить S). На основi цих нерiвностей запропоновано коректне означення течiї через поверхню $S$ розривного соленоїдального векторного поля $f \in L^{p}(U)$ (а точнiше, класу векторних полiв, рiвних майже скрiзь за мiрою Лебега). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1505 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1141-1149 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1141-1149 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1505/489 Copyright (c) 2019 Noarov A. I. |
| spellingShingle | Noarov, A. I. Ноаров, А. И. Ноаров, А. И. On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title | On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title_alt | О корректном определении потока разрывного соленоидального векторного
поля |
| title_full | On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title_fullStr | On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title_full_unstemmed | On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title_short | On the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| title_sort | on the correct definition of the flow of a discontinuous solenoidal vector field |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1505 |
| work_keys_str_mv | AT noarovai onthecorrectdefinitionoftheflowofadiscontinuoussolenoidalvectorfield AT noarovai onthecorrectdefinitionoftheflowofadiscontinuoussolenoidalvectorfield AT noarovai onthecorrectdefinitionoftheflowofadiscontinuoussolenoidalvectorfield AT noarovai okorrektnomopredeleniipotokarazryvnogosolenoidalʹnogovektornogopolâ AT noarovai okorrektnomopredeleniipotokarazryvnogosolenoidalʹnogovektornogopolâ AT noarovai okorrektnomopredeleniipotokarazryvnogosolenoidalʹnogovektornogopolâ |