On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring
UDC 512.64 We prove that all maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring with identity (such that the factor ring of its modulo primitive radical is a finite direct sum of Bezout domains) are pairwise conjugated and describe one maximal unipotent subgroup of the gen...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1506 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507301700435968 |
|---|---|
| author | Tylyshchak, A. A. Тилищак, О. А. |
| author_facet | Tylyshchak, A. A. Тилищак, О. А. |
| author_sort | Tylyshchak, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-21T21:36:48Z |
| description | UDC 512.64
We prove that all maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring with identity (such that the
factor ring of its modulo primitive radical is a finite direct sum of Bezout domains) are pairwise conjugated and describe
one maximal unipotent subgroup of the general linear group (and of a special linear group) over an arbitrary commutative
ring with identity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
О. А. Тилищак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО МАКСИМАЛЬНI УНIПОТЕНТНI ПIДГРУПИ
СПЕЦIАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ ГРУПИ НАД КОМУТАТИВНИМ КIЛЬЦЕМ*
We prove that all maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring with identity (such that the
factor ring of its modulo primitive radical is a finite direct sum of Bezout domains) are pairwise conjugated and describe
one maximal unipotent subgroup of the general linear group (and of a special linear group) over an arbitrary commutative
ring with identity.
Доведено, що всi максимальнi унiпотентнi пiдгрупи спецiальної лiнiйної групи над комутативним кiльцем з оди-
ницею таким, що фактор-кiльце за первiсним радикалом є скiнченною прямою сумою областей Безу, попарно
спряженi, й описано одну максимальну унiпотентну пiдгрупу повної та спецiальної лiнiйної групи над довiльним
комутативним кiльцем з одиницею.
1. Вступ. А. I. Мальцев та Е. Р. Колчин (див. [1, с. 262] (наслiдок 1) або [2, 3]) показали, що
у повнiй лiнiйнiй групi GL(n, F ) довiльного натурального степеня n над полем F будь-яка
максимальна унiпотентна пiдгрупа (максимальна група унiпотентних матриць) спряжена з унi-
трикутною пiдгрупою UT (n, F ). Пiд унiпотентною матрицею розумiємо квадратну матрицю A,
для якої A - E — нiльпотентна матриця, де E — одинична матриця вiдповiдного порядку. Iз
цього результату випливає, що довiльна силовська p-пiдгрупа повної лiнiйної групи GL(n, F )
степеня n над полем F характеристики p спряжена з вiдповiдною унiтрикутною групою. Хоча
проблему опису, з точнiстю до спряження, максимальних унiпотентних матричних груп над
полями було розв’язано, окремi властивостi цих груп, як, наприклад, проблема Платонова i
Потапчика, дослiджувались у [4, 5]. Також активно дослiджуються унiпотентнi пiдгрупи ал-
гебраїчних груп матриць над полями [6, 7]. Узагальнення деяких результатiв про унiпотентнi
матричнi групи на некомутативний випадок (над тiлами) та новий пiдхiд до опису p-пiдгруп
групи GL(n, F ) над полем F запропонував В. М. Петечук [8].
П. М. Гудивок, Є. Я. Погорiляк i В. П. Рудько дослiджували силовськi p-пiдгрупи повної
лiнiйної групи над комутативними кiльцями. Вони, зокрема, показали [9, с. 81, 82] (тверджен-
ня 1, 2) (див. також [10]), що унiтрикутна група UT (n,K) є силовською p-пiдгрупою повної
лiнiйної групи GL(n,K) над областю цiлiсностi K характеристики p, а силовськi p-пiдгрупи
повної лiнiйної групи над областю головних iдеалiв L характеристики p спряженi з UT (n,L).
В [11, с. 117] (теорема 2) показано, що всi максимальнi унiпотентнi пiдгрупи повної лiнiйної
групи над кiльцем K попарно спряженi, якщо K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K є скiнченною прямою сумою областей
Безу. Тут i далi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K — первiсний радикал кiльця K. В цiй роботi дослiджуються максимальнi
унiпотентнi пiдгрупи повної та спецiальної лiнiйної групи над комутативним кiльцем.
2. Одна максимальна унiпотентна пiдгрупа групи \bfitG \bfitL (\bfitn ,\bfitK ) (\bfr \bfa \bfd \bfitK = \bfzero ). Нехай K —
комутативне кiльце (яке завжди вважається кiльцем з одиницею), M(n,K) — кiльце квадратних
матриць порядку n над K. Елемент t + \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K фактор-кiльця K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K позначимо через t i
для (довiльної) матрицi T = (tij) над K покладемо T = (tij), \widetilde T (n,K) — множина верхнiх
трикутних матриць порядку n (n > 1) над кiльцем K з нулями на головнiй дiагоналi. Для
* Дослiдження пiдтримано Лондонським математичним товариством (International Short Visits — Scheme 5).
c\bigcirc О. А. ТИЛИЩАК, 2019
1150 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ПРО МАКСИМАЛЬНI УНIПОТЕНТНI ПIДГРУПИ СПЕЦIАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ ГРУПИ . . . 1151
довiльних квадратних матриць A i B одного порядку над кiльцем K через A \circ B будемо
позначати матрицю A+B +AB, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}M — детермiнант квадратної матрицi M над кiльцем K.
Лема 1. Нехай A — деяка матриця порядку n (n > 1) над кiльцем K. Якщо \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A\circ B) = 0
для будь-якої матрицi B iз \widetilde T(n,K), то \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+B) = 0 для будь-якої матрицi B iз \widetilde T(n,K).
Доведення. Нехай B — довiльна матриця iз \widetilde T (n,K), E — одинична матриця порядку n над
кiльцем K. Тодi E - B \in UT (n,K). Отже, матриця E - B оборотна i (E - B) - 1 \in UT (n,K).
Звiдси одержуємо B\prime = (E - B) - 1 - E \in \widetilde T (n,K). Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A \circ B\prime ) = 0, то
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+B) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
A+ E - (E - B)
\bigr)
=
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl( \bigl(
A(E - B) - 1 + (E - B) - 1 - E
\bigr)
(E - B)
\bigr)
=
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl( \bigl(
A(E +B\prime ) +B\prime \bigr) (E - B)
\bigr)
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}((A+B\prime +AB\prime )(E - B)) =
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}((A \circ B\prime )(E - B)) = 0.
Лема 2. Нехай A = \| aij\| — деяка матриця порядку n (n > 1) над кiльцем K. Якщо
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A \circ B) = 0 для будь-якої матрицi B iз \widetilde T(n,K), то an1 = 0.
Доведення. За лемою 1 \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A + B) = 0 для будь-якої матрицi B iз \widetilde T (n,K). Нехай B =
= \| bij\| — довiльна матриця iз \widetilde T (n,K), \widetilde A i \widetilde B вiдповiдно одержанi з матриць A i B замiною q-го
стовпця на нульовий (1 \leq q \leq n). Тодi \widetilde B \in \widetilde T (n,K) i \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+ \widetilde B) = 0. З адитивної властивостi
детермiнанта вiдносно елементiв q-го стовпця одержимо \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+B) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+ \widetilde B)+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}( \widetilde A+B).
Звiдси \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}( \widetilde A+B) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+B) - \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+ \widetilde B) = 0.
Нехай матрицю A\ast одержано з матрицi A замiною останнiх n - 1 стовпцiв на нульовi.
Очевидно, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A\ast +B) = 0 для будь-якої матрицi B iз \widetilde T(n,K). Розглянемо
B1 =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0
\right)
\in \widetilde T (n,K).
Тодi
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A\ast +B1) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left(
a1 1 1 0 . . . 0
a2 1 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an - 1 1 0 0 . . . 1
an 1 0 0 . . . 0
\right)
= ( - 1)n+1an 1
i an1 = 0.
Лема 3. Нехай P — деяка пiдгрупа групи GL(n,K) (n > 1), E — одинична матриця
порядку n над кiльцем K. Якщо в усiх матриць з групи P елемент у деякiй фiксованiй позицiї
(i, j) (i \not = j) дорiвнює нулю, то нулю дорiвнює й елемент матрицi Ar у позицiї (i, j) для
будь-якого натурального числа r i кожної матрицi A порядку n над кiльцем K такої , що
E +A \in P.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1152 О. А. ТИЛИЩАК
Доведення проведемо iндукцiєю за числом r. При r = 1 лема, очевидно, справджується.
Нехай r > 1 i лема справджується для всiх натуральних чисел m, менших за r. Нехай далi A —
матриця порядку n над кiльцем K, E + A \in P. Оскiльки (E + A)r \in P, то елемент матрицi
E+
\sum r - 1
m=1
Cm
r Am+Ar = (E+A)r у позицiї (i, j) дорiвнює нулю (тут Cm
r — число сполучень
з r елементiв по m). За припущенням iндукцiї елемент матрицi Am у позицiї (i, j) дорiвнює
нулю (m = 1, . . . , r - 1), тому нулю дорiвнює й елемент матрицi Ar у цiй же позицiї.
Теорема 1. Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K = 0, n — натуральне число. Група UT (n,K) є максимальною
унiпотентною пiдгрупою групи GL(n,K).
Доведення. Легко бачити, що UT (n,K) — унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K). Оче-
видно, при n = 1 UT (n,K) = \{ 1\} — єдина унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K). Нехай
n > 1 i P — деяка унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K), що мiстить групу UT (n,K). Пока-
жемо спочатку, що в усiх матриць iз групи P елемент у позицiї (n, 1) дорiвнює нулю. Дiйсно,
нехай A\prime — довiльна матриця з групи P, E — одинична матриця порядку n над кiльцем K,
A = A\prime - E, B — довiльна матриця з \widetilde T (n,K). Тодi E + A \in P, E + B \in UT (n,K). Звiдси
матриця E + (A \circ B) = E + A + B + AB = (E + A)(E + B) \in P є унiпотентною матрицею
групи GL(n,K). Тодi матриця A \circ B нiльпотентна i \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A \circ B) \in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K. Тому \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A \circ B) = 0.
За лемою 2 елемент матрицi A, а отже, i A\prime = E +A у позицiї (n, 1) дорiвнює нулю.
Нехай k — натуральне число, 1 < k < n i в усiх матриць групи P елемент у позицiї (i, 1)
дорiвнює нулю (i = k + 1, . . . , n). Покажемо, що в усiх матриць з групи P елемент у позицiї
(k, 1) також дорiвнює нулю. Дiйсно, нехай знову A\prime — довiльна матриця з групи P, A = A\prime - E,
B — довiльна матриця з \widetilde T (n,K). Тодi E + A \in P, E + B \in UT (n,K). Звiдси, як i ранiше,
одержуємо E +A \circ B \in P, матриця A \circ B нiльпотентна. За лемою 3 елемент матрицi (E \circ A)r
у позицiї (i, 1) дорiвнює нулю (i = k + 1, . . . , n; r — натуральнe число).
Позначимо через M(C) матрицю, утворену з квадратної матрицi C порядку n над кiльцем
K вiдкиданням останнiх n - k рядкiв i останнiх n - k стовпцiв. Покажемо, що у матриць
M
\bigl(
(A \circ B)m
\bigr)
i
\bigl(
M(A \circ B)
\bigr) m
однаковi першi стовпцi при будь-якому натуральному числу m.
Застосуємо iндукцiю за числом m. При m = 1 твердження є очевидним. Нехай m > 1 i у
матриць M
\bigl(
(A \circ B)m - 1
\bigr)
i
\bigl(
M(A \circ B)
\bigr) m - 1
перший стовпець
X =
\left(
x1
...
xk
\right) ,
де xj \in K, j = 1, . . . , k. Тодi перший стовпець матрицi
\bigl(
M(A \circ B)
\bigr) m
= M(A \circ B)\times
\bigl(
M(A \circ
\circ B)
\bigr) m - 1
дорiвнює M(A \circ B)X. З iншого боку, у матрицi (A \circ B)m - 1 елемент у позицiї (j, 1)
дорiвнює xj , j = 1, . . . , k, бо X є першим стовпцем матрицi M
\bigl(
(A \circ B)m - 1
\bigr)
, а у позицiї (i, 1)
дорiвнює нулю (i = k + 1, . . . , n). Тому стовпець
X \prime =
\left(
x1
...
xk
0
...
0
\right)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ПРО МАКСИМАЛЬНI УНIПОТЕНТНI ПIДГРУПИ СПЕЦIАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ ГРУПИ . . . 1153
буде першим стовпцем матрицi (A \circ B)m - 1. Звiдси одержуємо, що перший стовпець матрицi
(A \circ B)m = (A \circ B)(A \circ B)m - 1 дорiвнює
(A \circ B)X \prime =
\Biggl(
M(A \circ B)X
D
\Biggr)
,
де D — деяка ((n - k) \times 1)-матриця над кiльцем K. Тому M(A \circ B)X є першим стовпцем
матрицi M
\bigl(
(A \circ B)m
\bigr)
. Отже, у матриць M
\bigl(
(A \circ B)m
\bigr)
i
\bigl(
M(A \circ B)
\bigr) m
однаковi першi стовпцi
для будь-якого натурального числа m.
Оскiльки матриця A \circ B нiльпотентна, то для досить великого m перший стовпець матрицi
M
\bigl(
(A\circ B)m
\bigr)
, як i
\bigl(
M(A\circ B)
\bigr) m
, дорiвнює нулю. Звiдси
\bigl(
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}M(A\circ B)
\bigr) m
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
M(A\circ B)m
\bigr)
=
= 0. Оскiльки \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K = 0, то \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}M(A \circ B) = 0. Легко бачити, що M(A+B+AB) = M(A) +
+ M(B) + M(AB). Оскiльки B \in \widetilde T (n,K), то M(AB) = M(A)M(B). Отже, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
M(A) \circ
\circ M(B)
\bigr)
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
M(A) +M(B) +M(A)M(B)
\bigr)
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}M(A+B +AB) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}M(A \circ B) = 0.
Нехай B\prime — довiльна матриця з \widetilde T (k,K). Очевидно, знайдеться така матриця B1 \in \widetilde T (n,K),
що B\prime = M(B1). Тодi \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
M(A)\circ B\prime \bigr) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
M(A)\circ M(B1)
\bigr)
= 0. За лемою 2 елемент матрицi
M(A) у позицiї (k, 1) дорiвнює нулю, тому нулю дорiвнює й елемент матриць A i A\prime = E+A
у позицiї (k, 1). Отже, ми показали, що у будь-якої матрицi з групи P елемент у позицiї (k, 1)
дорiвнює нулю для всiх натуральних чисел k, 1 < k \leq n. Елемент у позицiї (1, 1) будь-
якої матрицi з групи P буде, в такому випадку, унiпотентним елементом кiльця K (для якого
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K = 0) i тому дорiвнює 1. Отже, будь-яка матриця з групи P має вигляд\left(
1 a\prime 12 . . . a\prime 1n
0 a\prime 22 . . . a\prime 2n
...
...
. . .
...
0 a\prime n2 . . . a\prime nn
\right) , a\prime ij \in K, i = 1, . . . , n, j = 2, . . . , n.
Нескладною iндукцiєю за числом n можна показати, що всi матрицi з P мiстяться в UT (n,K).
Тому UT (n,K) є максимальною унiпотентною пiдгрупою групи GL(n,K).
3. Одна максимальна унiпотентна пiдгрупа групи \bfitG \bfitL (\bfitn ,\bfitK ).
Лема 4. Вiдображення \varphi : X \rightarrow X задає епiморфiзм iз M(n,K) в M(n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K). Для
довiльної матрицi X \in M(n,K) матриця X є оборотною (унiпотентною) тодi i тiльки тодi,
коли X — оборотна (унiпотентна) матриця.
Доведення. Дiйсно, сюр’єктивнiсть та гомоморфна властивiсть \varphi очевиднi. Легко бачити
(див., наприклад, [12, с. 118], вправа 10.25 (2)), що ядро M(n, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K) гомоморфiзму \varphi — дво-
стороннiй iдеал кiльця M(n,K), що складається з нiльпотентних матриць. Тодi для довiльної
матрицi X \in M(n,K) матриця X є оборотною (унiпотентною) тодi i тiльки тодi, коли X —
оборотна (унiпотентна) матриця.
Теорема 2. Нехай K — комутативне кiльце.
P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
є максимальною унiпотентною пiдгрупою групи GL(n,K).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1154 О. А. ТИЛИЩАК
Доведення. За теоремою 1 UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K) є максимальною унiпотентною пiдгрупою
групи GL(n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K). За лемою 4 P \subset GL(n,K). Крiм того, \varphi : X \rightarrow X можна розглядати
як епiморфiзм груп GL(n,K) \rightarrow GL(n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K), який зберiгає властивiсть унiпотентностi
матриць. Тому P = \varphi - 1(UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)) є максимальною унiпотентною пiдгрупою групи
GL(n,K).
4. Одна максимальна унiпотентна пiдгрупа групи \bfitS \bfitL (\bfitn ,\bfitK ). Позначимо через
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[\alpha 1, . . . , \alpha n] дiагональну матрицю порядку n з дiагональними елементами \alpha 1, . . . , \alpha n.
Теорема 3. Нехай K — комутативне кiльце i
P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Тодi P \cap SL(n,K) є максимальною унiпотентною пiдгрупою групи SL(n,K).
Доведення. За теоремою 2 P — максимальна унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K). Зро-
зумiло, що P1 = P \cap SL(n,K) є унiпотентною пiдгрупою групи SL(n,K). За лемою 4 \varphi :
X \rightarrow X можна розглядати як епiморфiзм груп GL(n,K) \rightarrow GL(n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K). Крiм того,
\varphi (P1) \subset \varphi (P ) = UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K).
Нехай X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K), де X \in M(n,K). За лемою 4 X \in GL(n,K). Розглянемо
матрицю X1 = X \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}X - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
\in SL(n,K). Оскiльки X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K), то
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}X = 1 i
\varphi (P1) \ni X1 = X \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}X - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
= X \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}X
- 1
, 1, . . . , 1
\bigr]
= X.
Отже, \varphi (P1) \supset UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K) i \varphi (P1) = UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K). Якщо P2 — унiпотентна пiдгру-
па групи SL(n,K), P1 \subset P2, то за лемою 4 \varphi (P2) — унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K).
Оскiльки вона мiстить \varphi (P1) = UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K), яка є максимальною унiпотентною пiдгру-
пою групи GL(n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K), то \varphi (P2) = UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K). Отже,
P1 = P \cap SL(n,K) = \varphi - 1(UT (n/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)) \cap SL(n,K) \supset \varphi - 1(\varphi (P2)) \cap SL(n,K) \supset P2.
Таким чином, P1 — максимальна унiпотентна пiдгрупа групи SL(n,K).
5. Про максимальнi унiпотентнi пiдгрупи груп \bfitG \bfitL (\bfitn ,\bfitK ) та \bfitS \bfitL (\bfitn ,\bfitK ).
Теорема 4 [11]. Нехай K — комутативне кiльце. Якщо K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K є скiнченною прямою су-
мою областей Безу, то будь-яка максимальна унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K) спряжена
до групи P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Твердження 1. Нехай K — комутативне кiльце. Якщо максимальнi унiпотентнi пiдгрупи
групи GL(n,K) попарно спряженi, то будь-яка максимальна унiпотентна пiдгрупа групи
SL(n,K) спряжена до групи P \cap SL(n,K), де P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Доведення. Оскiльки максимальнi унiпотентнi пiдгрупи групи GL(n,K) попарно спря-
женi, то за теоремою 2 будь-яка максимальна унiпотентна пiдгрупа групи GL(n,K) спряжена
до P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
. Нехай Q1 — деяка максимальна унiпотент-
на пiдгрупа групи SL(n,K). Вона також є унiпотентною пiдгрупою групи GL(n,K) i, отже,
спряженою до деякої пiдгрупи Q2 групи P. Тобто для деякої C \in GL(n,K) C - 1Q1C \subset P =
=
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
. Тодi\bigl(
C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr] \bigr) - 1
Q1C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
\subset
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
ПРО МАКСИМАЛЬНI УНIПОТЕНТНI ПIДГРУПИ СПЕЦIАЛЬНОЇ ЛIНIЙНОЇ ГРУПИ . . . 1155
\subset \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C, 1, . . . , 1
\bigr]
C - 1Q1C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
\subset
\subset \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C, 1, . . . , 1
\bigr]
P \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
.
Однак якщо X \in P, то X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K) i
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C, 1, . . . , 1] \cdot X \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
=
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C, 1, . . . , 1
\bigr]
\cdot X \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C
- 1
, 1, . . . , 1
\bigr]
\in
\in \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C, 1, . . . , 1
\bigr]
\cdot UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K) \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C
- 1
, 1, . . . , 1
\bigr]
= UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K),
тобто
Q3 =
\bigl(
C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr] \bigr) - 1
Q1C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr]
\subset P.
Оскiльки
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
C \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}C - 1, 1, . . . , 1
\bigr] \bigr)
= 1,
то Q3 — пiдгрупа групи P \cap SL(n,K), яка спряжена в SL(n,K) з Q1. Далi, оскiльки Q1, а
отже й Q3, — максимальна унiпотентна пiдгрупа групи SL(n,K), P \cap SL(n,K) — унiпотентна
пiдгрупа групи SL(n,K), то Q3 = P \cap SL(n,K), а Q1 спряжена в SL(n,K) з P \cap SL(n,K).
З доведеного твердження та теореми 4 безпосередньо випливає така теорема.
Теорема 5. Нехай K — комутативне кiльце. Якщо K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K є скiнченною прямою сумою
областей Безу, то будь-яка максимальна унiпотентна пiдгрупа групи SL(n,K) спряжена до
групи P1 = P \cap SL(n,K), де P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Прикладом комутативного кiльця K такого, що K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K — скiнченна пряма сума областей
Безу, є кiльце многочленiв \BbbZ ps [x] та формальних степеневих рядiв \BbbZ ps
\bigl[
[x]
\bigr]
вiд невiдомої x з
коефiцiєнтами з кiльця \BbbZ ps класiв лишкiв за модулем ps, де p — довiльне просте число (а також
скiнченнi прямi суми екземплярiв таких кiлець). Зрозумiло, що \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbZ ps [x] = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbZ ps
\bigl[
[x]
\bigr]
=
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbZ ps = p\BbbZ ps , а фактор-кiльця за первiсними радикалами кiлець \BbbZ ps [x], \BbbZ ps
\bigl[
[x]
\bigr]
iзоморфнi
вiдповiдно \BbbZ p[x], \BbbZ p
\bigl[
[x]
\bigr]
i є областями головних iдеалiв (тобто кiльцями Безу).
6. Про силовськi \bfitp -пiдгрупи груп \bfitG \bfitL (\bfitn ,\bfitK ) та \bfitS \bfitL (\bfitn ,\bfitK ) над кiльцем \bfitK харак-
теристики \bfitp \bfits . У випадку, коли характеристика кiльця K дорiвнює ps, де p — просте число,
поняття унiпотентних пiдгруп лiнiйних груп над кiльцем K поєднується з поняттям p-пiдгруп
цих же груп.
Наслiдок 1. Нехай K — комутативне кiльце характеристики ps, де p — просте число.
P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
є силовською p-пiдгрупою групи GL(n,K).
Наслiдок 2. Нехай K — комутативне кiльце характеристики ps, де p — просте число.
Якщо K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K є скiнченною прямою сумою областей Безу, то будь-яка силовська p-пiдгрупа
групи GL(n,K) спряжена до групи P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Наслiдок 3. Нехай K — комутативне кiльце характеристики ps, де p — просте число, i
P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Тодi P \cap SL(n,K) є силовською p-пiдгрупою групи SL(n,K).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
1156 О. А. ТИЛИЩАК
Наслiдок 4. Нехай K — комутативне кiльце характеристики ps, де p — просте чис-
ло. Якщо K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K є скiнченною прямою сумою областей Безу, то будь-яка силовська p-
пiдгрупа групи SL(n,K) спряжена до групи P \cap SL(n,K), де P =
\bigl\{
X \in M(n,K)
\bigm| \bigm| X \in
\in UT (n,K/ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}K)
\bigr\}
.
Лiтература
1. Супруненко Д. A. Группы матриц. – М.: Наука, 1972. – 352 c.
2. Мальцев А. И. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Мат. сб. – 1951. – 28. – С. 567 – 588.
3. Kolchin E. R. On certain concepts in the theory of algebraic matrix groups // Ann. Math. – 1948. – 49. – P. 774 – 789.
4. Platonov V. P., Potapchik A. New combinatorial properties of linear groups // J. Algebra. – 2001. – 235, № 1. –
P. 399 – 415.
5. Тавгень О. И., Синьсун Я. Унипотентность образа представления F2(x, y) в GL(6, C) при условии отображе-
ния примитивных элементов в унипотентные матрицы // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. – 2010. – № 2. –
С. 114 – 119.
6. McNinch G. Abelian unipotent subgroups of reductive groups // J. Pure and Appl. Algebra. – 2002. – 167, № 2-3. –
P. 269 – 300.
7. Simion I. I. Witt overgroups for unipotent elements in exceptional algebraic groups of bad characteristic // Mathemati-
ca. – 2015. – 57 (80), № 1-2. – P. 104 – 116.
8. Петечук В. М. О триангулируемости некоторых унипотентных матричных групп над телами // Изв. АН БССР.
Сер. физ.-техн. наук. – 1987. – № 6. – С. 44 – 46.
9. Гудивок П. М., Погориляк Е. Я. О модулярных представлениях конечных групп над областями целостности //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1990. – 183. – С. 78 – 86.
10. Гудивок П. М., Рудько В. П. О силовских подгруппах полной линейной группы над областями целостности //
Доп. НАН України. – 1995. – № 8. – С. 5 – 7.
11. Tylyshchak A. A. On maximal unipotent subgroups of the general linear group over commutative rings // Вiсн. Київ.
ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 2010. – № 3. – C. 115 – 117.
12. Lam T. Y. Exercises in classical ring theory // Problem Books in Mathematics. – New York: Springer-Verlag, 1995. –
288 p.
Одержано 09.09.18,
пiсля доопрацювання — 11.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1506 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/61/3b48eaaac085f0ba07b47cb941e1f061.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15062020-04-21T21:36:48Z On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring Про максимальні уніпотентні підгрупи спеціальної лінійної групи над комутативним кільцем Tylyshchak, A. A. Тилищак, О. А. UDC 512.64 We prove that all maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring with identity (such that the factor ring of its modulo primitive radical is a finite direct sum of Bezout domains) are pairwise conjugated and describe one maximal unipotent subgroup of the general linear group (and of a special linear group) over an arbitrary commutative ring with identity. УДК 512.64 Доведено, що всi максимальнi унiпотентнi пiдгрупи спецiальної лiнiйної групи над комутативним кiльцем з оди- ницею таким, що фактор-кiльце за первiсним радикалом є скiнченною прямою сумою областей Безу, попарно спряженi, й описано одну максимальну унiпотентну пiдгрупу повної та спецiальної лiнiйної групи над довiльним комутативним кiльцем з одиницею. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1506 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 8 (2019); 1150-1156 Український математичний журнал; Том 71 № 8 (2019); 1150-1156 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1506/490 Copyright (c) 2019 Tylyshchak A. A. |
| spellingShingle | Tylyshchak, A. A. Тилищак, О. А. On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative ring |
| title | On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| title_alt | Про максимальні уніпотентні підгрупи спеціальної лінійної групи
над комутативним кільцем |
| title_full | On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| title_fullStr | On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| title_full_unstemmed | On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| title_short | On the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| title_sort | on the maximal unipotent subgroups of a special linear group over commutative
ring |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1506 |
| work_keys_str_mv | AT tylyshchakaa onthemaximalunipotentsubgroupsofaspeciallineargroupovercommutativering AT tiliŝakoa onthemaximalunipotentsubgroupsofaspeciallineargroupovercommutativering AT tylyshchakaa promaksimalʹníunípotentnípídgrupispecíalʹnoílíníjnoígrupinadkomutativnimkílʹcem AT tiliŝakoa promaksimalʹníunípotentnípídgrupispecíalʹnoílíníjnoígrupinadkomutativnimkílʹcem |