Numerical method for the solution of linear boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline approximations
UDC 517.642 We propose a numerical method for the solution of linear boundary-value problem for system of integrodifferential equations. This method is based on the approximation of the integral term by a cubic spline and reduction of the original problem to a linear boundary-value problem for a s...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1508 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507304391081984 |
|---|---|
| author | Iskakova, N. B. Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. |
| author_facet | Iskakova, N. B. Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. |
| author_sort | Iskakova, N. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:14:06Z |
| description | UDC 517.642
We propose a numerical method for the solution of linear boundary-value problem for system of integrodifferential equations.
This method is based on the approximation of the integral term by a cubic spline and reduction of the original problem to
a linear boundary-value problem for a system of loaded differential equations. We also propose new algorithms for finding
the numerical solution and a method for the construction of approximate solution to the approximating boundary-value
problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.642
Э. А. Бакирова (Ин-т математики и мат. моделирования; Ин-т информ. и вычислит. технологий, Алматы,
Казахстан),
Н. Б. Искакова (Ин-т информ. и вычислит. технологий; Казах. нац. пед. ун-т им. Абая, Алматы),
А. Т. Асанова (Ин-т математики и мат. моделирования; Ин-т информ. и вычислит. технологий, Алматы,
Казахстан)
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА ОСНОВЕ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ*
We propose a numerical method for the solution of linear boundary-value problem for system of integrodifferential equations.
This method is based on the approximation of the integral term by a cubic spline and reduction of the original problem to
a linear boundary-value problem for a system of loaded differential equations. We also propose new algorithms for finding
the numerical solution and a method for the construction of approximate solution to the approximating boundary-value
problem.
Запропоновано чисельний метод розв’язання лiнiйної крайової задачi для системи iнтегро-диференцiальних рiв-
нянь. Метод ґрунтується на апроксимацiї iнтегрального члена кубiчним сплайном i зведеннi початкової задачi до
лiнiйної крайової задачi для системи навантажених диференцiальних рiвнянь. Крiм того, запропоновано алгоритми
знаходження числового розв’язку i спосiб побудови наближеного розв’язку апроксимуючої крайової задачi.
1. Введение. Постановка задачи. Рассматривается линейная двухточечная краевая задача для
системы интегро-дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x+
T\int
0
K(t, s)x(s)ds+ f(t), x \in Rn, t \in (0, T ), (1)
Bx(0) + Cx(T ) = d, d \in Rn, (2)
где x(t) =
\bigl(
x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
\bigr)
— неизвестная функция, (n \times n)-матрицы A(t) и K(t, s)
непрерывны соответственно на [0, T ] и [0, T ] \times [0, T ], n-вектор-функция f(t) непрерывна на
[0, T ], B и C — постоянные (n\times n)-матрицы.
Решением задачи (1), (2) является непрерывная на [0, T ], непрерывно дифференцируемая
на (0, T ) вектор-функция x(t), удовлетворяющая системе интегро-дифференциальных уравне-
ний (1) и краевому условию (2).
Краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений встречаются во многих разде-
лах прикладной математики, являясь математическими моделями различных процессов меха-
ники, физики, химии, техники, биологии, медицины, экономики и др. Вопросы разрешимости
краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений и построения методов нахождения
их решения изучены в работах [1 – 11]. Для задач практики важное значение имеют построение
алгоритмов нахождения приближенных решений и их численная реализация. В связи с этим
при решении различных задач для дифференциальных, функционально-дифференциальных и
* Частично поддержана Министерством образования и науки Республики Казахстан (проекты №АР05132455,
АР05132486 и АР05131220).
c\bigcirc Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА, 2019
1176 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1177
интегро-дифференциальных уравнений особую важность приобретают сплайны различных ти-
пов, методы сплайн-коллокаций и проекционно-итеративные методы. Различные аспекты при-
менения методов сплайн-коллокаций в задачах для обыкновенных дифференциальных урав-
нений исследовались в [12 – 14]. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению и
применению к ее решению проекционно-итеративных методов рассматривались в [15]. Ис-
пользование метода сплайн-коллокаций в краевых задачах для дифференциальных уравне-
ний с отклоняющимся аргументом, функционально-дифференциальных уравнений и интегро-
дифференциальных уравнений исследовалось в [16 – 19]. В работе [20] предложен численный
метод решения краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом второго порядка, основанный на аппроксимации решения кубическими сплайнами.
В работе [8] для исследования вопросов разрешимости краевой задачи (1), (2) предложен
метод, основанный на разбиении интервала [0, T ] с шагом h > 0 : Nh = T и введении до-
полнительных параметров. Малость шага разбиения обеспечивает однозначную разрешимость
промежуточной задачи метода — специальной задачи Коши для интегро-дифференциальных
уравнений. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости краевой задачи (1),
(2). В [9] этот метод обобщается на случай произвольного разбиения интервала. Введено опре-
деление регулярного разбиения \bigtriangleup N и показано, что из регулярности разбиения следует одно-
значная разрешимость специальной задачи Коши, и наоборот. В терминах матрицы Q\ast (\bigtriangleup N ),
составленной с помощью фундаментальной матрицы дифференциальной части, установлены
необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. На
основе этих методов построены алгоритмы нахождения приближенного и численного решения
краевой задачи (1), (2), которые предложены в работе [11].
Настоящая статья посвящена разработке численно-приближенного метода решения зада-
чи (1), (2), основанного на применении сплайнов и метода параметризации [21]. Интегральный
член системы интегро-дифференциальных уравнений (1) аппроксимируется кубическим сплай-
ном, и краевая задача (1), (2) заменяется линейной краевой задачей для системы нагруженных
обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе метода параметризации для аппрок-
симирующей краевой задачи предлагаются алгоритм нахождения ее численного решения и спо-
соб построения приближенного решения. Результаты статьи проиллюстрированы на численном
решении двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений.
Отрезок [0, T ] разобьем на части с шагом h0 > 0 : mh0 = T (m \in \BbbN ) : [0, T ] =
m\bigcup
r=1
[tr - 1, tr],
где t0 = 0, tr = rh0, r = 1,m.
Пусть xr(t) — сужение функции x(t) на r-й интервал [tr - 1, tr], т. е. x(t) = xr(t), t \in
\in [tr - 1, tr], r = 1,m.
Задача (1), (2) сводится к эквивалентной многоточечной краевой задаче
dxr
dt
= A(t)xr +
m\sum
r=1
tr\int
tr - 1
K(t, s)xr(s)ds+ f(t), t \in [tr - 1, tr], r = 1,m, (3)
Bx1(0) + Cxm(T ) = d, d \in Rn, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1178 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
xs(ts) = xs+1(ts), s = 1,m - 1, (5)
где (5) — условия склеивания решения во внутренних точках разбиения интервала (0, T ).
2. Сплайн-аппроксимация интегрального члена системы интегро-дифференциальных
уравнений. Возьмем h > 0 : Nh = h0, N \in \BbbN , и на отрезке [tr - 1, tr], r = 1,m, заменим
функцию K(t, s)xr(s) кубической сплайн-функцией [22] по переменной s.
Для этого на отрезке [tr - 1, tr], r = 1,m, введем сетку
tr - 1 = tr,0 < tr,1 < tr,2 < . . . < tr,N - 1 < tr,N = tr, r = 1,m,
где t1,0 = 0, tr,0 = tr - 1,N , r = 2,m, tm,N = T, h = tr,i - tr,i - 1, и обозначим
\widehat Kr,i(t) = K(t, tr,i)xr(tr,i), r = 1,m, i = 1, N.
На каждом из полученных отрезков [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, . . . , N, будем искать
функции Sr(t, s) = Sr,i(t, s) в виде многочлена третьей степени
Sr,i(t, s) = \widehat ar,i +\widehat br,i(s - tr,i) +
\widehat cr,i
2
(s - tr,i)
2 +
\widehat dr,i
6
(s - tr,i)
3, (6)
tr,i - 1 \leq s \leq tr,i, r = 1,m, i = 1, N,
где \widehat ar,i, \widehat br,i, \widehat cr,i, \widehat dr,i — коэффициенты, определяемые по формулам
\widehat cr,i - 1 + 4\widehat cr,i + \widehat cr,i+1 =
6
h2
\Bigl( \widehat Kr,i - 1(t) - 2 \widehat Kr,i(t) + \widehat Kr,i+1(t)
\Bigr)
, r = 1,m, i = 1, N - 1,
\widehat ar,i = \widehat Kr,i(t), r = 1,m, i = 1, N,
\widehat dr,i = \widehat cr,i - \widehat cr,i - 1
h
, r = 1,m, i = 1, N, (7)
\widehat br,i = h
2
\widehat cr,i - h2
6
\widehat dr,i + \widehat Kr,i(t) - \widehat Kr,i - 1(t)
h
, r = 1,m, i = 1, N,
причем \widehat cr,0 = \widehat cr,N = 0, \widehat K1,0(t) = K(t, 0)x1(0), \widehat Kr,0(t) = K(t, tr - 1,N )xr(tr - 1,N ), r = 2,m.
Интегрируя функции Sr,i(t, s) на отрезке [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, . . . , N, и учитывая
формулы (7), получаем
tr,i\int
tr,i - 1
Sr,i(t, s)ds =
N+1\sum
j=1
M
(r)
j K(t, tr,j - 1)xr(tr,j - 1), r = 1,m, i = 1, N,
где
M
(r)
j =
\left\{
h
2
\Biggl(
1 -
N - 1\sum
i=1
pi,j
\Biggr)
при j = 1, j = N + 1, r = 1,m,
h
2
\Biggl(
2 -
N - 1\sum
i=1
pi,j
\Biggr)
при j = 2, N, r = 1,m,
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1179
а pi,j , i = 1, N - 1, j = 1, N + 1, — элементы матрицы, которая определяется как про-
изведение квадратной матрицы (N - 1)-го порядка и прямоугольной матрицы размерности
(N - 1)\times (N + 1):\left(
4 1 0 0 . . . 0 0 0
1 4 1 0 . . . 0 0 0
0 1 4 1 . . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 1 4 1
0 0 0 0 . . . 0 1 4
\right)
- 1\left(
1 - 2 1 0 . . . 0 0 0
0 1 - 2 1 . . . 0 0 0
0 0 1 - 2 . . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . - 2 1 0
0 0 0 0 . . . 1 - 2 1
\right)
.
Тогда задача (1), (2) аппроксимируется двухточечной краевой задачей для системы нагружен-
ных дифференциальных уравнений
dxr,i
dt
= A(t)xr,i +M
(1)
1 K(t, t1,0)x1,1(t1,0)+
+
m\sum
r=1
N - 1\sum
j=1
M
(r)
j+1K(t, tr,j)xr,j+1(tr,j)+
+
m - 1\sum
r=1
(M
(r)
N+1 +M
(r+1)
1 )K(t, tr,N )xr+1,1(tr,N )+
+M
(m)
N+1K(t, tm,N )xm,N (tm,N ) + f(t), t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, (9)
Bx1,1(0) + Cxm,N (T ) = d, d \in Rn, (10)
xr,i(tr,i) = xr,i+1(tr,i), r = 1,m, i = 1, N - 1, (11)
xr,N (tr,N ) = xr+1,1(tr,N ), r = 1,m - 1, (12)
xm,N (T ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
xm,N (t), (13)
где (11), (12) — условия склеивания решения во внутренних точках разбиения интервала (0, T ),
(13) — условие непрерывности в правом конце отрезка [0, T ].
В задаче (9) – (13) функции xr,i(t), r = 1,m, i = 1, N, являются сужениями функций xr(t)
на интервалах [tr,i - 1, tr,i].
Решением задачи (9) – (13) является система функций
\bigl(
x\ast 1,1(t), x
\ast
1,2(t), . . . , x
\ast
m,N (t)
\bigr)
, удовлет-
воряющая системе нагруженных дифференциальных уравнений (9), краевому условию (10),
условиям непрерывности (11) – (13).
В работе [6] интегральный член системы (1) был аппроксимирован суммой
m\sum
i=1
ih\int
(i - 1)h
K(t, s)dsx
\bigl[
(i - 1)h
\bigr]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1180 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
и задача была сведена к линейной краевой задаче для системы нагруженных дифференциальных
уравнений. Установлена взаимосвязь между корректной разрешимостью исходной задачи (1),
(2) и аппроксимирующей ее краевой задачи. Получены оценки разности их решений. Ана-
логично можно установить взаимосвязь между корректной разрешимостью рассматриваемой
задачи (1), (2) и построенной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных
уравнений (9) – (13). В работе [23] для аппроксимации интегрального слагаемого системы (1)
была использована формула Симпсона. Установлена оценка разности точного и приближен-
ного решений линейной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения (1), (2) и
аппроксимирующей задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений
рассматривались в работах [24, 25].
3. Алгоритмы нахождения решения линейной краевой задачи для аппроксимирующей
системы нагруженных дифференциальных уравнений. Введем дополнительные параметры
\lambda r,i = xr,i(tr,i - 1), r = 1,m, i = 1, N, \lambda m,N+1 = xm,N (T ) и на каждом интервале [tr,i - 1, tr,i]
выполним замену функции ur,i(t) = xr,i - \lambda r,i. Тогда краевая задача (9) – (13) сведется к экви-
валентной многоточечной краевой задаче с параметрами
dur,i
dt
= A(t)(ur,i + \lambda r,i) +
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(t)\lambda r,j + f(t), t \in [tr,i - 1, tr,i], (14)
ur,i(tr,i - 1) = 0, r = 1,m, i = 1, N, (15)
B\lambda 1,1 + C\lambda m,N+1 = d, d \in Rn, (16)
\lambda r,i + ur,i(tr,i) = \lambda r,i+1, r = 1,m, i = 1, N - 1, (17)
\lambda r,N + ur,N (tr,N ) = \lambda r+1,1, r = 1,m - 1, (18)
\lambda m,N + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
um,N (t) = \lambda m,N+1, (19)
где
\widetilde Kr,j(t) =
\left\{ M
(r)
j K(t, tr,j - 1) при j = 1, N - 1, j = N + 1, r = 1,m,\Bigl(
M
(r)
j+1 +M
(r+1)
j
\Bigr)
K(t, tr,j) при j = N, r = 1,m - 1.
(20)
Задачи (9) – (13) и (14) – (19) эквивалентны. Если (x\ast 1,1(t), x
\ast
1,2(t), . . . , x
\ast
m,N (t)) — решение
задачи (9) – (13), то пара (\lambda \ast , u\ast [t]) с элементами
\lambda \ast = (\lambda \ast
1,1, \lambda
\ast
1,2, . . . , \lambda
\ast
m,N+1), \lambda \ast
r,i = x\ast r,i(tr,i - 1), r = 1,m, i = 1, N,
\lambda \ast
m,N+1 = x\ast m,N (T ), u\ast [t] = (u\ast 1,1(t), u
\ast
1,2(t), . . . , u
\ast
m,N (t)),
u\ast r,i(t) = x\ast r,i(t) - x\ast r,i(tr,i - 1), t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N,
будет решением задачи (14) – (19), и наоборот, если пара
\bigl( \widetilde \lambda , \widetilde u[t]\bigr) , где \widetilde \lambda =
\bigl( \widetilde \lambda 1,1, \widetilde \lambda 1,2, . . .
. . . , \widetilde \lambda m,N+1
\bigr)
, \widetilde u[t] =
\bigl( \widetilde u1,1(t), \widetilde u1,2(t), . . . , \widetilde um,N (t)
\bigr)
— решение задачи (14) – (19), то (\widetilde x1,1(t),\widetilde x1,2(t), . . . , \widetilde xm,N (t)), определяемое равенствами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1181
\widetilde xr,i(t) = \widetilde \lambda r,i + \widetilde ur,i(t), t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, \widetilde xm,N (T ) = \widetilde \lambda m,N+1,
удовлетворяет задаче (9) – (13).
В работе [26] вопросы разрешимости и способы нахождения решений двух- и многоточеч-
ных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами
исследовались численно-аналитическим методом.
Использование фундаментальной матрицы X(t) обыкновенного дифференциального урав-
нения
dx
dt
= A(t)x, t \in [0, T ],
позволяет получить единственное решение задачи Коши (14), (15) для фиксированных значений
параметров
ur,i(t) = X(t)
t\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )
\left[ A(\tau )\lambda r,i +
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(\tau )\lambda r,j + f(\tau )
\right] d\tau ,
где t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N.
Введем обозначения
Dr,i(h) = X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )A(\tau )d\tau , r = 1,m, i = 1, N, (21)
Hk,j
r,i (h) = X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau ) \widetilde Kr,j(\tau )d\tau , k, r = 1,m, i = 1, N, j = 1, N + 1, (22)
Fr,i(h) = X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )f(\tau )d\tau , r = 1,m, i = 1, N. (23)
Учитывая обозначения (21) – (23), определяем ur,i(tr,i), r = 1,m, i = 1, N, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow T - 0 um,N (t), и
подставляя их в (16) – (19), получаем систему уравнений относительно неизвестных параметров
\lambda r,i, r = 1,m, i = 1, N + 1:
B\lambda 1,1 + C\lambda m,N+1 = d, (24)
\bigl(
I +Dr,i(h)
\bigr)
\lambda r,i +H1,1
r,i (h)\lambda 1,1 +
m\sum
k=1
N - 1\sum
j=1
Hk,j+1
r,i (h)\lambda k,j+1 +Hm,N+1
r,i (h)\lambda m,N+1+
+
m - 1\sum
k=1
\bigl(
Hk,N+1
r,i (h) +Hk+1,1
r,i (h)
\bigr)
\lambda k+1,1 - \lambda r,i+1 = - Fr,i(h), r = 1,m, i = 1, N - 1, (25)
(I +Dr,N (h))\lambda r,N +H1,1
r,N (h)\lambda 1,1 +
m\sum
k=1
N - 1\sum
j=1
Hk,j+1
r,N (h)\lambda k,j+1 +Hm,N+1
r,N (h)\lambda m,N+1+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1182 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
+
m - 1\sum
k=1
\bigl(
Hk,N+1
r,N (h) +Hk+1,1
r,i (h)
\bigr)
\lambda k+1,1 - \lambda r+1,1 = - Fr,N (h), r = 1,m, (26)
\bigl(
I +Dm,N (h)
\bigr)
\lambda m,N +H1,1
m,N (h)\lambda 1,1 +
m\sum
k=1
N - 1\sum
j=1
Hk,j+1
m,N (h)\lambda k,j+1 +Hm,N+1
m,N (h)\lambda m,N+1+
+
m - 1\sum
k=1
\bigl(
Hk,N+1
m,N (h) +Hk+1,1
m,i (h)
\bigr)
\lambda k+1,1 - \lambda m,N+1 = - Fm,N (h). (27)
Матрицу, соответствующую левой части системы уравнений (24) – (27), обозначим через
Q\ast (h), а саму систему запишем в виде
Q\ast (h) \cdot \lambda = - F\ast (h), \lambda \in Rnm(N+1), (28)
где F\ast (h) =
\Bigl(
- d, F1,1(0), F1,2(t1,1), F1,3(t1,2), . . . , Fm,N (tm,N - 1)
\Bigr) \prime
\in Rnm(N+1).
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть m \in \BbbN и N \in \BbbN такие, что mh0 = T, Nh = h0. Тогда:
а) вектор \lambda \ast = (\lambda \ast
1,1, \lambda
\ast
1,2, . . . , \lambda
\ast
m,N+1) \in Rnm(N+1), составленный из значений решения
x\ast r,i(t) задачи (9) – (13) в точках разбиения интервала \lambda \ast
r,i = x\ast r,i(tr,i - 1), r = 1,m, i = 1, N,
\lambda \ast
m,N+1 = x\ast m,N (T ), удовлетворяет системе (28);
б) если \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1,1, \widetilde \lambda 1,2, . . . , \widetilde \lambda m,N+1) \in Rnm(N+1) является решением системы уравне-
ний (28), а система функций \widetilde u[t] = (\widetilde u1,1(t), \widetilde u1,2(t), . . . , \widetilde um,N (t)) — решением задачи Коши (14),
(15) при \lambda r,i = \widetilde \lambda r,i, r = 1,m, i = 1, N, \lambda m,N+1 = \widetilde \lambda m,N+1, то функции \widetilde xr,i(t), определяемые
равенствами \widetilde xr,i(t) = \widetilde \lambda r,i + \widetilde ur,i(t), t \in [tr,i - 1, tr,i), r = 1,m, i = 1, N, \widetilde xm,N (T ) = \widetilde \lambda m,N+1,
являются решениями задачи (9) – (13).
Доказательство. а) Пусть (x\ast 1,1(t), x
\ast
1,2(t), . . . , x
\ast
m,N (t)) — решение задачи (9) – (13). Тог-
да в силу эквивалентности задач (9) – (13) и (14) – (19) пара
\bigl[
(\lambda \ast
1,1, \lambda
\ast
1,2, . . . , \lambda
\ast
m,N+1), (u
\ast
1,1(t),
u\ast 1,2(t), . . . , u
\ast
m,N (t))
\bigr]
с элементами \lambda \ast
r,i = x\ast r,i(tr,i - 1), \lambda
\ast
m,N+1 = x\ast m,N (T ), u\ast r,i(t) = x\ast r,i(t) -
- x\ast r,i(tr,i), t \in [tr,i - 1, tr,i), r = 1,m, i = 1, N, будет решением задачи (14) – (19). Учитывая
предположения mh0 = T, Nh = h0, m \in \BbbN , N \in \BbbN , и повторяя приведенные выше рас-
суждения, получаем, что \lambda \ast = (\lambda \ast
1,1, \lambda
\ast
1,2, . . . , \lambda
\ast
m,N+1) \in Rnm(N+1) удовлетворяет системе
уравнений (28).
б) Пусть \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1,1, \widetilde \lambda 1,2, . . . , \widetilde \lambda m,N+1) \in Rnm(N+1) является решением системы уравне-
ний (28).
Задача Коши (14), (15) при любом \lambda = (\lambda 1,1, \lambda 1,2, . . . , \lambda m,N+1) имеет единственное ре-
шение. Ее решение при \lambda = \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1,1, \widetilde \lambda 1,2, . . . , \widetilde \lambda m,N+1) обозначим через \widetilde u[t] =
\bigl( \widetilde u1,1(t),\widetilde u1,2(t), . . . , \widetilde um,N (t)
\bigr)
, т. е.
\widetilde ur,i(t) = X(t)
t\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )
\left[ A(\tau )\widetilde \lambda r,i +
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(\tau )\widetilde \lambda r,j + f(\tau )
\right] d\tau , (29)
где t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1183
Покажем, что пара
\bigl( \widetilde \lambda , \widetilde u[t]\bigr) является решением задачи (14) – (19). Действительно, (14), (15)
выполняются в силу выбора \widetilde u[t] по \widetilde \lambda . Если \widetilde \lambda = (\widetilde \lambda 1,1, \widetilde \lambda 1,2, . . . , \widetilde \lambda m,N+1) удовлетворяет систе-
ме (28), то для него справедливо и (25), т. е.
\bigl(
I +Dr,i(h)
\bigr) \widetilde \lambda r,i +H1,1
r,i (h)
\widetilde \lambda 1,1 +
m\sum
k=1
N - 1\sum
j=1
Hk,j+1
r,i (h)\widetilde \lambda k,j+1+
+Hm,N+1
r,i (h)\widetilde \lambda m,N+1 +
m - 1\sum
k=1
\bigl(
Hk,N+1
r,i (h) +Hk+1,1
r,i (h)
\bigr) \widetilde \lambda k+1,1 - \widetilde \lambda r,i+1 = - Fr,i(h),
r = 1,m, i = 1, N - 1.
Учитывая обозначения (21) – (23) и (20), последнее равенство записываем в виде
\widetilde \lambda r,i +
\left\{ X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )
\left[ A(\tau )\widetilde \lambda r,i +
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(\tau )\widetilde \lambda r,j + f(\tau )
\right] d\tau
\right\} - \widetilde \lambda r,i+1 = 0. (30)
Отсюда в силу равенства (29) выражение, содержащееся в фигурных скобках в (30), равно\widetilde ur,i(tr,i). Поэтому пара
\bigl( \widetilde \lambda , \widetilde u[t]\bigr) удовлетворяет условию (17). Аналогично устанавливается
справедливость соотношений (18), (19).
Тогда функции \widetilde xr,i(t), построенные с помощью пары
\bigl[
(\lambda \ast
1,1, \lambda
\ast
1,2, . . . , \lambda
\ast
m,N+1), (u
\ast
1,1(t),
u\ast 1,2(t), . . . , u
\ast
m,N (t))
\bigr]
, будут решением задачи (9) – (13).
Лемма доказана.
Используя данную лемму, можно установить, что обратимость матрицы Q\ast (h) системы
уравнений (28) является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости
задачи (9) – (13).
Алгоритм нахождения решения аппроксимирующей краевой задачи для нагруженных диф-
ференциальных уравнений (14) – (19) основан на построении и решении системы (28). Для этого
решаем задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений на подынтервалах
dx
dt
= A(t)x+ P (t), x(tr,i - 1) = 0, t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N. (31)
Здесь P (t) — либо (n \times n)-матрица, либо n-вектор, непрерывный на [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m.
Решением задачи (31) будет либо квадратная матрица, либо вектор размерности n.
Обозначим через E\ast ,r,i(A(\cdot ), P (\cdot ), t) решение задачи Коши (14), (15) и
E\ast ,r,i(A(\cdot ), P (\cdot ), t) = Xr,i(t)
t\int
tr,i - 1
X - 1
r,i (\tau )P (\tau )d\tau , t \in [tr,i - 1, tr,i], (32)
где Xr,i(t) — фундаментальная матрица дифференциального уравнения на (r, i)-м интервале.
Шаг 1. Пусть выбраны числа m \in \BbbN и N \in \BbbN такие, что mh0 = T, Nh = h0, где h0 —
шаг разбиения отрезка [0, T ], а h — внутренний шаг разбиения частичных отрезков [tr - 1, tr],
r = 1,m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1184 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
Решая mN задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x+A(t), x(tr,i - 1) = 0, t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, (33)
dx
dt
= A(t)x+ \widetilde Kr,j(t), x(tr,i - 1) = 0, t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, j = 1, N + 1,
(34)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), x(tr,i - 1) = 0, t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, (35)
получаем E\ast ,r,i(A(\cdot ), A(\cdot ), t), E\ast ,r,i(A(\cdot ), \widetilde Kr,j(\cdot ), t), E\ast ,r,i(A(\cdot ), f(\cdot ), t), r = 1,m, i = 1, N,
j = 1, N + 1.
Шаг 2. Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно параметров
Q\ast (h) \cdot \lambda = - F\ast (h), \lambda \in Rnm(N+1).
Здесь элементы матрицы Q\ast (h) : Rnm(N+1) \rightarrow Rnm(N+1) и вектора F\ast (h) \in Rnm(N+1) опреде-
ляются равенствами (21) – (23), где вместо
X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )A(\tau )d\tau , X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau ) \widetilde Kr,j(\tau )d\tau ,
r = 1,m, i = 1, N, j = 1, N + 1, X(tr,i)
tr,i\int
tr,i - 1
X - 1(\tau )f(\tau )d\tau
в силу (32) можно использовать E\ast ,r,i
\bigl(
A(\cdot ), A(\cdot ), t
\bigr)
, E\ast ,r,i
\bigl(
A(\cdot ), \widetilde Kr,j(\cdot ), t) и E\ast ,r,i(A(\cdot ), f(\cdot ), t),
r = 1,m, i = 1, N, j = 1, N + 1.
Решая систему (28), находим \lambda \ast
r,i, r = 1,m, i = 1, N. Тем самым мы получаем значения
функции x\ast (t) в точках нагружения.
Шаг 3. Значения функции x\ast (t) в остальных точках подынтервала [tr,i - 1, tr,i] определяют-
ся решением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
dx
dt
= A(t)x+
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(t)\lambda
\ast
r,j + f(t), t \in [tr,i - 1, tr,i],
x(tr,i - 1) = \lambda \ast
r,i, r = 1,m, i = 1, N.
4. Численный метод решения линейной краевой задачи для аппроксимирующей сис-
темы нагруженных дифференциальных уравнений и его сходимость. Как известно, фун-
даментальную матрицу удается построить не всегда, поэтому предлагается численная реали-
зация алгоритма нахождения решения задачи (14) – (19). Далее мы будем предполагать, что
матрица A(t) и вектор-функция f(t) непрерывно дифференцируемы до третьего порядка на
[0, T ], матрица K(t, s) имеет непрерывные частные производные по t до третьего порядка на
[0, T ] \times [0, T ]. Тогда решение краевой задачи имеет непрерывные производные до четвертого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1185
порядка [22, c. 226]. Задачи Коши (33) – (35) будем решать методом Рунге – Кутта четвертого
порядка. Для этого каждый интервал [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N, разобьем на четные \widetilde N
части с шагом \widetilde h = (tr,i - tr,i - 1)/ \widetilde N. Построив систему линейных алгебраических уравнений
относительно параметров
Q
\widetilde h
\ast (h)\lambda = - F
\widetilde h
\ast (h), \lambda \in Rnm(N+1),
найдем \lambda
\widetilde h = (\lambda
\widetilde h
1,1, \lambda
\widetilde h
1,2, . . . , \lambda
\widetilde h
m,N ), являющиеся значениями решения задачи (14) – (19) в на-
чальных точках подынтервалов, т. е. x
\widetilde h
r,i(tr,i - 1) = \lambda
\widetilde h
r,i, r = 1,m, i = 1, N. Тем самым мы
найдем значения численного решения x\ast r,i(t) в начальных точках подынтервалов. Значения
численного решения в остальных точках подынтервалов получим, вновь применив метод Рун-
ге – Кутта четвертого порядка к задачам Коши вида
dz
dt
= A(t)z +
m\sum
r=1
N+1\sum
j=1
\widetilde Kr,j(t) \cdot \lambda
\widetilde h
r,j + f(t), t \in [tr,i - 1, tr,i],
z(tr,i - 1) = \lambda
\widetilde h
r,i, r = 1,m, i = 1, N.
Для построения приближенного решения линейной краевой задачи (14) – (19) используем
сплайн-аппроксимацию. Функция \widetilde x(t) интерполируется кубическим сплайном:
\widetilde x(t) = \widehat ar,i +\widehat br,i(t - tr,i) +
\widehat cr,i
2
(t - tr,i)
2 +
\widehat dr,i
6
(t - tr,i)
3,
tr,i - 1 \leq t \leq tr,i, r = 1,m, i = 1, N,
где \widehat ar,i,\widehat br,i,\widehat cr,i, \widehat dr,i — коэффициенты, определяемые по формулам
\widehat cr,i - 1 + 4\widehat cr,i + \widehat cr,i+1 =
6
h2
\Bigl(
\lambda \ast
r,i - 1 - 2\lambda \ast
r,i + \lambda \ast
r,i+1
\Bigr)
, r = 1,m, i = 1, N - 1,
\widehat ar,i = \lambda \ast
r,i, r = 1,m, i = 1, N,
\widehat dr,i = \widehat cr,i - \widehat cr,i - 1
h
, r = 1,m, i = 1, N,
\widehat br,i = h
2
\widehat cr,i - h2
6
\widehat dr,i + \lambda \ast
r,i - \lambda \ast
r,i - 1
h
, r = 1,m, i = 1, N,
причем \widehat cr,0 = \widehat cr,N = 0.
5. Примеры. Рассмотрим на [0,1] краевую задачу для двумерной системы интегро-диффе-
ренциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x+
1\int
0
K(t, s)x(s)ds+ f(t), x \in (0, 1), x \in R2, (36)
Bx(0) + Cx(1) = d, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1186 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
где
A(t) =
\Biggl(
0 t
t2et 0
\Biggr)
, K(t, s) =
\Biggl(
0 t2s
t3s3 0
\Biggr)
, f(t) =
\left( 1 - t3 - 3
4
t2 - t
t2et - t3et + 2t+ t3/20
\right) ,
B =
\Biggl(
1 0
0 1
\Biggr)
, C =
\Biggl(
- 1 0
0 - 1
\Biggr)
, d =
\Biggl(
- 1
- 1
\Biggr)
.
Решением задачи (36), (37) является вектор x\ast (t) =
\biggl(
t - 1
t2 + 1
\biggr)
.
Задача (36), (37) аппроксимируется краевой задачей для нагруженных дифференциальных
уравнений.
Случай 1. Пусть m = 1, N = 5, \widetilde N = 8.
На отрезке [0, 1] выберем точки ti = (i - 1) \cdot 0.2, i = 1, 5. Функцию K(t, s)x(s) представим
в виде кубического сплайна. Тогда краевая задача (36), (37) сведется к краевой задаче для
системы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x+
6\sum
j=1
MjK(t, tj - 1)x(tj - 1) + f(t), t \in (0, 1),
Bx(0) + Cx(1) = d, d \in R2,
где
M1 = M6 =
3
38
, M2 = M5 =
43
190
, M3 = M4 =
37
190
— коэффициенты, найденные по формуле (8).
Введем параметры \lambda j = x(tj - 1), j = 1, 6, и, выполнив замену ui(t) = x(t) - \lambda i, i = 1, 5,
получим краевую задачу вида
dui
dt
= A(t)(ui + \lambda i) +
6\sum
j=1
MjK(t, tj - 1)\lambda j + f(t), t \in [ti - 1, ti], i = 1, 5,
ui(ti - 1) = 0, i = 1, 5,
B\lambda 1 + C\lambda 6 = d,
\lambda s + us(ts) = \lambda s+1, s = 1, 4,
\lambda 5 + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t5 - 0
u5(t) = \lambda 6.
Разбивая каждый интервал [ti - 1, ti], i = 1, 5, на \widetilde N частей, решаем задачи Коши для обык-
новенных дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x+A(t), x(ti - 1) = 0, t \in [ti - 1, ti], i = 1, 5,
dx
dt
= A(t)x+ \widetilde Kj(t), x(ti - 1) = 0, t \in [ti - 1, ti], i = 1, 5, j = 1, 6,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1187
dx
dt
= A(t)x+ f(t), x(ti - 1) = 0, t \in [ti - 1, ti], i = 1, 5,
где \widetilde Kj(t) = MjK(t, tj - 1), j = 1, 6.
Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно параметров
Q\ast (0.2)\lambda
\ast = - F\ast (0.2), \lambda \in R12. (38)
Здесь
Q\ast (0.2) =
=
\left(
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1
1 0.02 - 1
1.207
104
3.3234
108
2.0772
104
1.1217
107
3.1158
104
3.0899
107
4.8281
104
2.1052
107
2.1053
104
0.0031 1
7.2422
107
- 1
4.9853
106
3.2885
107
1.6825
105
4.9328
107
4.6350
105
7.6436
107
3.1579
105
3.3330
107
0 0 1.0007 0.0609 - 0.9999 0.0015
6.0578
106
0.0022
1.6688
105
0.0034
1.137
105
0.0015
0 0 0.0258 1.0009
7.4795
105
- 0.999
2.5243
104
2.8984
105
6.9539
104
4.4912
105
4.7379
104
1.9584
105
0 0
2.0533
106
0.0023 1.0038 0.1041 - 0.9999 0.0059
1.3141
104
0.0092
8.9533
105
0.004
0 0
4.7136
105
1.0042
104
0.0852 1.0048 0.0011 - 0.9997 0.0030
4.0166
104
0.0021
1.7514
104
0 0
8.0618
106
0.0045
5.5495
105
0.0077 1.0132 0.1522 - 0.9995 0.0179
3.5153
104
0.0078
0 0
1.2731
104
4.6436
104
8.7638
104
7.9913
104
0.2048 1.0164 0.0081 - 0.998
5.5514
103
8.0993
104
0 0
2.2424
105
0.0074
1.5436
104
0.0128
5.2096
104
0.0192 1.0354 0.2120 - 0.999 0.013
0 0
2.7044
104
0.0015 0.0019 0.0027 0.0063 0.004 0.4259 1.0453 0.0118 - 0.9973
\right)
,
F\ast (0.2) = (1, 1, 0.178, 0.043, 0.124, 0.1398, 0.0481, 0.2452, - 0.0602, 0.3359, - 0.2148, 0.3595)\prime .
Решением системы (38) будет параметр \lambda \ast = (\lambda \ast
1, \lambda
\ast
2, \lambda
\ast
3, \lambda
\ast
4, \lambda
\ast
5, \lambda
\ast
6)
\prime , где
\lambda \ast
1 =
\Biggl(
- 1.0003162
0.9994274
\Biggr)
, \lambda \ast
2 =
\Biggl(
- 0.8003253
1.0394268
\Biggr)
, \lambda \ast
3 =
\Biggl(
- 0.6003436
1.159424
\Biggr)
,
\lambda \ast
4 =
\Biggl(
- 0.4003574
1.3594198
\Biggr)
, \lambda \ast
5 =
\Biggl(
- 0.2003531
1.6394173
\Biggr)
, \lambda \ast
6 =
\Biggl(
- 0.0003162
1.9994274
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1188 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
Taблица 1
t x1(t) | x\ast 1(t) - x1(t)| x2(t) | x\ast 2(t) - x2(t)|
0 -1.000316 0.000316 0.999427 0.000573
0.05 -0.905032 0.000317 1.001193 0.000573
0.1 -0.900319 0.000319 1.009427 0.000573
0.15 -0.850322 0.000322 1.021927 0.000573
0.2 -0.800325 0.000325 1.039427 0.000573
0.25 -0.750330 0.000327 1.061926 0.000573
0.3 -0.700334 0.000330 1.089426 0.000574
0.35 -0.650340 0.000332 1.121925 0.000574
0.4 -0.600344 0.000334 1.159424 0.000574
0.45 -0.550348 0.000346 1.201923 0.000576
0.5 -0.500352 0.000348 1.249422 0.000577
0.55 -0.450355 0.000350 1.301921 0.000577
0.6 -0.400357 0.000352 1.359420 0.000577
0.65 -0.350359 0.000358 1.421919 0.000581
0.7 -0.300358 0.000359 1.489418 0.000581
0.75 -0.250357 0.000359 1.561917 0.000582
0.8 -0.2003531 0.000353 1.639417 0.000583
0.85 -0.150348 0.000351 1.721918 0.000583
0.9 -0.100340 0.000348 1.809419 0.000582
0.95 -0.050329 0.000344 1.901922 0.000582
1 -0.000316 0.000340 1.999427 0.000581
Координаты параметра \lambda \ast являются значениями решения аппроксимирующей краевой за-
дачи в точках нагрузки. В остальных точках интервалов [ti - 1, ti], i = 1, 5, значения решения
определяются, как значения решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения
dx
dt
= A(t)x+ \scrF \ast (t), x(ti - 1) = \lambda \ast
i , t \in [ti - 1, ti], i = 1, 5,
где
\scrF \ast (t) =
3
38
K(t, 0)\lambda \ast
1 +
43
190
K(t, 0.2)\lambda \ast
2 +
37
190
K(t, 0.4)\lambda \ast
3+
+
37
190
K(t, 0.6)\lambda \ast
4 +
43
190
K(t, 0.8)\lambda \ast
5 +
3
38
K(t, 1)\lambda \ast
6 + f(t).
Результаты численной реализации построенного алгоритма при выборе чисел m, N и \widetilde N, а
также разности между решениями исходной и ее аппроксимирующей краевой задачи приведены
в табл. 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1189
Случай 2. Пусть m = 2, N = 5 и \widetilde N = 8. При данном выборе чисел задача (36), (37) имеет
вид
dx1
dt
= A(t)x1 +
1/2\int
0
K(t, s)x1(s)ds+
1\int
1/2
K(t, s)x2(s)ds+ f(t), t \in [0, 0.5], (39)
dx2
dt
= A(t)x2 +
1/2\int
0
K(t, s)x1(s)ds+
1\int
1/2
K(t, s)x2(s)ds+ f(t), t \in [0.5, 1], (40)
Bx1(0) + Cx2(1) = d, (41)
x1(0.5) = x2(0.5), (42)
где (42) — условие непрерывности решения в точке t = 0.5.
На отрезке [0, 0.5] выберем точки t1,j = j \cdot 0.1, а на отрезке [0.5, 1] — точки t2,j = j \cdot 0.1+0, 5,
j = 0, N.
Функции K(t, s)x1(s) и K(t, s)x2(s) на отрезках [0, 0.5] и [0.5, 1] соответственно предста-
вим в виде кубических сплайнов.
Тогда краевая задача (39) – (42) сведется к краевой задаче для системы нагруженных обык-
новенных дифференциальных уравнений
dxr,i
dt
= A(t)xr,i +M
(1)
1 K(t, t1,0)x1,1(t1,0)+
+
2\sum
r=1
4\sum
j=1
M
(r)
j+1K(t, tr,j)xr,j+1(tr,j)+
+
\Bigl(
M
(1)
6 +M
(2)
1
\Bigr)
K(t, t1,5)x2,1(t1,5)+
+M
(2)
6 K(t, t2,5)x2,5(t2,5) + f(t), t \in [tr,i - 1, tr,i], r = 1,m, i = 1, N,
Bx1,1(0) + Cx2,5(1) = d,
xr,i(tr,i) = xr,i+1(tr,i), r = 1,m, i = 1, N - 1,
x1,5(t1,5) = x2,1(t1,5),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 1 - 0
x2,5(t) = x2,5(1).
Результаты вычислений приведены в табл. 2.
Случай 3. Пусть m = 4, N = 5 и \widetilde N = 8. При таком выборе чисел разность между реше-
ниями краевой задачи (36), (37) и ее аппроксимирующей краевой задачи не будет превышать
значения \varepsilon = 0.00004.
Приведенный пример показывает, что при уменьшении шага разбиения отрезка, на котором
рассматривается краевая задача, точность найденных численного и приближенного решений
повышается.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1190 Э. А. БАКИРОВА, Н. Б. ИСКАКОВА, А. Т. АСАНОВА
Taблица 2
t x1(t) | x\ast 1(t) - x1(t)| x2(t) | x\ast 2(t) - x2(t)|
0 –1.0000377 3.775 \cdot 10 - 5 0.9998563 1.437 \cdot 10 - 4
0.05 –0.9500379 3.792 \cdot 10 - 5 1.0023563 1.437 \cdot 10 - 4
0.1 –0.9000384 3.840 \cdot 10 - 5 1.0098563 1.437 \cdot 10 - 4
0.15 –0.8500391 3.912 \cdot 10 - 5 1.0223563 1.437 \cdot 10 - 4
0.2 –0.8000400 4.004 \cdot 10 - 5 1.0398562 1.438 \cdot 10 - 4
0.25 –0.7500411 4.111 \cdot 10 - 5 1.0623562 1.438 \cdot 10 - 4
0.3 –0.7000423 4.227 \cdot 10 - 5 1.0898561 1.439 \cdot 10 - 4
0.35 –0.6500435 4.346 \cdot 10 - 5 1.1223560 1.440 \cdot 10 - 4
0.4 –0.6000446 4.463 \cdot 10 - 5 1.1598559 1.441 \cdot 10 - 4
0.45 –0.5500457 4.573 \cdot 10 - 5 1.2023557 1.443 \cdot 10 - 4
0.5 –0.5000467 4.671 \cdot 10 - 5 1.2498556 1.444 \cdot 10 - 4
0.55 –0.4500475 4.750 \cdot 10 - 5 1.3023554 1.446 \cdot 10 - 4
0.6 –0.4000481 4.807 \cdot 10 - 5 1.3598552 1.448 \cdot 10 - 4
0.65 –0.3500484 4.836 \cdot 10 - 5 1.4223550 1.450 \cdot 10 - 4
0.7 –0.3000483 4.830 \cdot 10 - 5 1.4898549 1.451 \cdot 10 - 4
0.75 –0.2500479 4.786 \cdot 10 - 5 1.5623547 1.453 \cdot 10 - 4
0.8 –0.2000470 4.697 \cdot 10 - 5 1.6398546 1.454 \cdot 10 - 4
0.85 –0.1500456 4.558 \cdot 10 - 5 1.7223546 1.454 \cdot 10 - 4
0.9 –0.1000436 4.362 \cdot 10 - 5 1.8098548 1.452 \cdot 10 - 4
0.95 –0.0500410 4.104 \cdot 10 - 5 1.9023553 1.447 \cdot 10 - 4
1 - 3.775 \cdot 10 - 5 3.775 \cdot 10 - 5 1.9998563 1.437 \cdot 10 - 4
Литература
1. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. – Фрунзе: Киргиз. гос. ун-т,
1957. – 328 с.
2. Кривошеин Л. Е. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро-дифференциальных урав-
нений. – Фрунзе, 1962. – 228 c.
3. Lakshmikantham V., Rao M. R. M. Theory of integro-differential equations. – London: Gordon Breach, 1995.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004.
5. Wazwaz A. M. Linear and nonlinear integral equations: methods and applications. – Beijing: Higher Education Press,
and Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011.
6. Джумабаев Д. С., Бакирова Э. А. Признаки корректной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи
для систем интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2010. – 46, № 4. – С. 550 – 564.
7. Джумабаев Д. С. Об одном методе решения линейной краевой задачи для интегродифференциального урав-
нения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2010. – 50, № 7. – С. 1209 – 1221.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1191
8. Джумабаев Д. С. Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи для
интегро-дифференциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2013. – 53, № 6. –
С. 914 – 937.
9. Джумабаев Д. С., Бакирова Э. А. О признаках однозначной разрешимости линейной двухточечной краевой
задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2013. – 49, № 10. –
С. 1125 – 1140.
10. Джумабаев Д. С. Необходимые и достаточные условия разрешимости линейных краевых задач для интегро-
дифференциальных уравнений Фредгольма // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – С. 1074 – 1091.
11. Dzhumabaev D. S. On one approach to solve the linear boundary value problems for Fredholm integro-differential
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 2016. – 294, № 2. – P. 342 – 357.
12. Loscalzo F. R., Talbot T. D. Spline function approximations for solutions of ordinary differential equations // SIAM
J. Numer. Anal. – 1967. – 4, № 3. – P. 433 – 445.
13. Алберг Дж., Нельсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир, 1972. – 316 с.
14. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 350 с.
15. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. – Киев: Наук. думка, 1993. – 286 с.
16. Nikolova N. S., Bainov D. D. Application of spline-function for the construction of an approximate solution of
boundary value problems for a class of functional-differential equations // Yokohama Math. – 1981. – 29, № 1. –
P. 108 – 122.
17. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional equations. – London: Cambridge Univ.
Press, 2004.
18. Turkyilmazoglu M. An effective approach for numerical solutions of high- order Fredholm integro-differential
equations // Appl. Math. and Comput. – 2014. – 227. – P. 384 – 398.
19. Yuzbasi Ş. Numerical solutions of system of linear Fredholm – Volterra integro-differential equations by the Bessel
collocation method and error estimation // Appl. Math. and Comput. – 2015. – 250. – P. 320 – 338.
20. Черевко И. М., Якимов И. В. Численный метод решения краевых задач для интегро-дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 6. – С. 854 – 860.
21. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50 – 66.
22. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
23. Dzhumabaev D. S. Computational methods of solving the boundary value problems for the loaded differential and
Fredholm integro-differential equations // Math. Methods Appl. Sci. – 2018. – 41, № 4. – P. 1439 – 1462.
24. Абдуллаев В. М., Айда-Заде К. Р. О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений // Журн.
вычислит. математики и мат. физики. – 2004. – 44, № 9. – C. 1585 – 1595.
25. Aida-zade K. R., Abdullaev V. M. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations with
nonseparated multipoint and integral conditions // Numer. Anal. and Appl. – 2014. – 7. – P. 1 – 14.
26. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. –
Киев: Наук. думка, 1985. – 224 с.
Получено 15.03.19,
после доработки — 08.06.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1508 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:11Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/507e89d367596e5d8b5f476c92488fc5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15082020-03-29T18:14:06Z Numerical method for the solution of linear boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline approximations Численный метод решения линейной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений на основе сплайн-аппроксимации Iskakova, N. B. Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. UDC 517.642 We propose a numerical method for the solution of linear boundary-value problem for system of integrodifferential equations. This method is based on the approximation of the integral term by a cubic spline and reduction of the original problem to a linear boundary-value problem for a system of loaded differential equations. We also propose new algorithms for finding the numerical solution and a method for the construction of approximate solution to the approximating boundary-value problem. УДК 517.642 Запропоновано чисельний метод розв’язання лiнiйної крайової задачi для системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Метод ґрунтується на апроксимацiї iнтегрального члена кубiчним сплайном i зведеннi початкової задачi до лiнiйної крайової задачi для системи навантажених диференцiальних рiвнянь. Крiм того, запропоновано алгоритми знаходження числового розв’язку i спосiб побудови наближеного розв’язку апроксимуючої крайової задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1508 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1176-1191 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1176-1191 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1508/492 Copyright (c) 2019 Iskakova N. B.; Assanova A. T.; Bakirova E. A. |
| spellingShingle | Iskakova, N. B. Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Искакова, Н. Б. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Numerical method for the solution of linear boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline approximations |
| title | Numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| title_alt | Численный метод решения линейной краевой
задачи для интегро-дифференциальных уравнений на основе сплайн-аппроксимации |
| title_full | Numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| title_fullStr | Numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| title_full_unstemmed | Numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| title_short | Numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| title_sort | numerical method for the solution of linear
boundary-value problem for integrodifferential equations based on spline
approximations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1508 |
| work_keys_str_mv | AT iskakovanb numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT assanovaat numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT bakirovaea numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT iskakovanb numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT asanovaat numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT bakirovaéa numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT iskakovanb numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT asanovaat numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT bakirovaéa numericalmethodforthesolutionoflinearboundaryvalueproblemforintegrodifferentialequationsbasedonsplineapproximations AT iskakovanb čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT assanovaat čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT bakirovaea čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT iskakovanb čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT asanovaat čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT bakirovaéa čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT iskakovanb čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT asanovaat čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii AT bakirovaéa čislennyjmetodrešeniâlinejnojkraevojzadačidlâintegrodifferencialʹnyhuravnenijnaosnovesplajnapproksimacii |