Nonlocal multipoint (in time) problem for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$
UDC 517.956 The correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with differentiation operators of infinite order is established for an infinite time interval and an initial function, which is an element of the space of generalized functions of the type $...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1510 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507307256840192 |
|---|---|
| author | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. |
| author_facet | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. |
| author_sort | Horodets’kyi, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:04:52Z |
| description | UDC 517.956
The correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with differentiation operators of infinite order is established for an infinite time interval and an initial function, which is an element of the space of generalized functions of the type $ W'$.
The properties of the fundamental solution and the behavior of the solution as $ t \to + \infty $ are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Р. I. Петришин (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА
ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З АНАЛIТИЧНИМИ СИМВОЛАМИ У ПРОСТОРАХ ТИПУ \bfitW
The correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with differentiation operators
of infinite order is established for an infinite time interval and an initial function, which is an element of the space of
generalized functions of the type W \prime . The properties of the fundamental solution and the behavior of the solution as
t \rightarrow +\infty are investigated.
Доведено коректну розв’язнiсть нелокальної багатоточкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з операторами
диференцiювання нескiнченного порядку у випадку нескiнченного часового промiжку i початковою функцiєю, яка є
елементом простору узагальнених функцiй типу W \prime . Вивчено властивостi фундаментального розв’язку i поведiнку
розв’язку при t \rightarrow +\infty .
Узагальненням задачi Кошi для рiвнянь з частинними похiдними є нелокальна багатоточкова за
часом задача, коли початкова умова u(t, \cdot )| t=0 = f замiнюється умовою
\sum m
k=0
\alpha ku(t, \cdot )| t=tk =
= f, де t0 = 0, \{ t1, . . . , tm\} \subset (0,+\infty ), \{ \alpha 0, \alpha 1, . . . , \alpha m\} \subset \BbbR , m \in \BbbN , — фiксованi числа
(якщо \alpha 0 = 1, \alpha 1 = \alpha 2 = . . . = \alpha m = 0, то маємо, очевидно, задачу Кошi); при цьому
вiдповiдна умова трактується у класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f — узагаль-
нена функцiя. Нелокальна багатоточкова за часом задача вiдноситься до нелокальних крайових
задач для рiвнянь з частинними похiдними. Такi задачi виникають при моделюваннi багатьох
процесiв i задач практики крайовими задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокаль-
ними умовами (демографiчнi дослiдження, задачi математичної бiологiї тощо (див., наприклад,
[1, 2])).
Дослiдженнями нелокальних крайових задач у рiзних аспектах займалося багато математи-
кiв, при цьому використовувалися рiзнi методи й пiдходи (див., наприклад, [3 – 10]). Одер-
жано важливi результати щодо постановки, коректної розв’язностi та побудови розв’язкiв,
вивчено питання залежностi характеру розв’язностi задач вiд поведiнки символiв операцiй,
сформульовано умови регулярностi та нерегулярностi крайових умов для важливих випадкiв
диференцiально-операторних рiвнянь.
При дослiдженнi проблеми про класи єдиностi та класи коректностi задачi Кошi для рiвнянь
з частинними похiдними часто використовуються простори типу W, введенi Б. Л. Гуревичем
[11] (див. також [12]), в яких для характеристики поведiнки функцiй на нескiнченностi викорис-
товуються довiльнi опуклi функцiї. У цiй роботi дослiджується нелокальна багатоточкова за
часом задача для рiвняння \partial u/\partial t = A\varphi u, де A\varphi — псевдодиференцiальний оператор з аналi-
тичним символом \varphi у просторах типу W, який задовольняє умову „параболiчностi” — аналог
умови „параболiчностi” для рiвнянь з частинними похiдними. При цьому оператор A\varphi можна
розумiти як оператор диференцiювання „нескiнченного порядку”:
A\varphi = F - 1
\sigma \rightarrow x[\varphi (\sigma )Fx\rightarrow \sigma ] =
\infty \sum
k=0
ck(id/dx)
k,
c\bigcirc В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН, 2019
1208 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1209
де F i F - 1 — пряме й обернене перетворення Фур’є. Встановлено властивостi фундаменталь-
ного розв’язку нелокальної багатоточкової за часом задачi для зазначеного рiвняння, доведено
коректну розв’язнiсть задачi у пiвпросторi t > 0 у випадку, коли початкова функцiя є елементом
простору узагальнених функцiй типу W \prime , знайдено аналiтичне зображення розв’язку, а також
дослiджено поведiнку розв’язку u(t, \cdot ) при t\rightarrow +\infty у просторi типу W \prime .
1. Простори типу \bfitW i \bfitW \prime . Розглянемо функцiю \omega : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ), яка є неперерв-
ною i зростаючою, причому \omega (0) = 0, \omega (1) \geq 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty \omega (x) = +\infty . Для x \geq 0 покладемо
\Omega (x) =
\int x
0
\omega (\xi )d\xi . Функцiя \Omega є диференцiйовною i зростаючою на [0,+\infty ), опуклою донизу
[12], тобто
\forall \{ x1, x2\} \subset [0,+\infty ) : \Omega (x1) + \Omega (x2) \leq \Omega (x1 + x2).
Оскiльки функцiя \omega (x) — похiдна функцiї \Omega (x) — при x \rightarrow +\infty необмежено зростає, то
\Omega (x) при x \rightarrow +\infty зростає швидше за довiльну лiнiйну функцiю. Довизначимо функцiю \Omega
на ( - \infty , 0] парним чином, тобто розглянемо функцiю \mu : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ), яка має такi ж
властивостi, що i функцiя \omega . Для x \geq 0 покладемо
M(x) =
x\int
0
\mu (\xi )d\xi , M( - x) =M(x).
Функцiя M за своїми властивостями аналогiчна функцiї \Omega . За допомогою функцiй M i \Omega
Б. Л. Гуревич увiв [11] серiю просторiв, названих ним просторами типу W. Зокрема, символом
W\Omega
M позначається сукупнiсть цiлих функцiй \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC , для яких
\exists c > 0 \exists a > 0 \exists b > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC : | \varphi (z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax) + \Omega (by)\} . (1)
У W\Omega
M вводиться топологiя iндуктивної границi просторiв W\Omega ,b
M,a, якi складаються з тих
функцiй \varphi \in W\Omega
M , для яких виконуються нерiвностi
| \varphi (x+ iy)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax) + \Omega (by)\} , z = x+ iy \in \BbbC ,
де a — довiльна додатна стала, менша за a, b — довiльна стала, бiльша за b. Якщо для \varphi \in W\Omega ,b
M,a
покласти
\| \varphi \| \delta \rho = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC
[| \varphi (z)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \Omega ((b+ \rho )y) +M(a(1 - \delta )x)\} ], \{ \delta , \rho \} \subset \{ 1/n, n \geq 2\} ,
то з цими нормами W\Omega ,b
M,a стає повним доскoналим злiченно нормованим простором [12].
У працi [13] вcтановлено, що означення (1) простору W\Omega
M рiвносильне такому:
(\varphi \in W\Omega
M ) \leftrightarrow
\Biggl(
\exists \~c = \~c(\varphi ) > 0 \exists \~a = \~a(\varphi ) > 0 \exists \~b = \~b(\varphi ) > 0
\forall n \in \BbbZ + \exists \rho n \in [0, n), \rho 0 = 0 \forall x \in \BbbR :
| \varphi (n)(x)| \leq \~c
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
n! \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(\~ax) + \Omega (\rho n)\}
\Biggr)
, (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1210 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
де \rho n — розв’язок рiвняння x\omega (x) = n, n \in \BbbZ +, або
(\varphi \in W\Omega
M ) \leftrightarrow
\Biggl(
\exists c1, a1, b1 > 0 \forall k \in \BbbZ + \exists \mu k \in [0, k), \mu 0 = 0,
\forall n \in \BbbZ + \exists \rho n \in [0, n), \rho 0 = 0 \forall x \in \BbbR :
| xk\varphi (n)(x)| \leq c1n!
\biggl(
b1
\rho n
\biggr) n\biggl( \mu k
a1
\biggr) k
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (\rho n) - M(\mu k)\}
\Biggr)
,
де \mu k — розв’язок рiвняння x\mu (x) = k, k \in \BbbZ +. При цьому збiжнiсть у просторi W\Omega
M еквiва-
лентна такiй збiжностi: послiдовнiсть \{ \varphi n, n \geq 1\} \subset W\Omega
M збiгається до нуля в W\Omega
M , якщо при
довiльному q \in \BbbZ + послiдовнiсть \{ \varphi (q)
n , n \geq 1\} збiгається до нуля рiвномiрно при n\rightarrow +\infty на
будь-якому скiнченному промiжку в \BbbR i для функцiй \varphi
(q)
n справджуються нерiвностi вигляду
(2) зi сталими \~a, \~b, \~c > 0, не залежними вiд n.
Важливим є питання про нетривiальнiсть просторiв W\Omega
M , оскiльки цi простори можуть
мiстити лише єдину функцiю \varphi (x) \equiv 0. Однiєю з умов нетривiальностi простору W\Omega
M є умова
M(x) \leq \Omega (x). Далi будемо вважати, що ця умова виконується (про необхiдну й достатню умову
нетривiальностi простору W\Omega
M див. в [14]).
Функцiя g називається мультиплiкатором у просторi W\Omega
M , якщо g\psi \in W\Omega
M для довiльної
функцiї \psi \in W\Omega
M i вiдображення \psi \rightarrow g\psi є лiнiйним i неперервним оператором в W\Omega
M .
Мультиплiкатором у просторi W\Omega
M є кожна цiла однозначна функцiя g, яка задовольняє умову
\forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC : | g(z)| \leq c\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ M(\varepsilon x) + \Omega (\varepsilon y)\} .
Сукупнiсть функцiй, заданих на \BbbR , якi допускають аналiтичне продовження в усю комп-
лексну площину \BbbC i як функцiї комплексної змiнної є елементами простору W\Omega
M , позначати-
мемо символом W\Omega
M (\BbbR ).
Подiбно до просторiв типу S, введених у [15], простори типу W перетворенням Фур’є
вiдображаються у простори типу W. Для того щоб сформулювати вiдповiднi твердження, на-
ведемо означення функцiй, двоїстих за Юнгом. Нехай функцiї M(x) i \Omega (y) визначаються за
допомогою функцiй \mu (\xi ) i \omega (\eta ) вiдповiдно. Якщо функцiї \mu i \omega взаємно оберненi, тобто
\mu (\omega (\eta )) = \eta , \omega (\mu (\xi )) = \xi , то функцiї M(x) i \Omega (y) називаються двоїстими за Юнгом. У цьому
випадку має мiсце нерiвнiсть Юнга
\forall x \in [0,+\infty ) \forall y \in [0,+\infty ) : xy \leq M(x) + \Omega (y).
Якщо для заданого x \in [0,+\infty ) взяти y = \mu (x), то нерiвнiсть Юнга для таких x, y перетво-
рюється в рiвнiсть. Прикладами взаємно двоїстих функцiй є функцiї
M(x) =
xp
p
, \Omega (y) =
yq
q
,
1
p
+
1
q
= 1,
M(x) = (x+ 1) \mathrm{l}\mathrm{n}(x+ 1) - x, \Omega (y) = ey - y - 1.
Простори типу W перетворенням Фур’є вiдображаються у простори типу W [12], а саме, пра-
вильною є формула F [W\Omega
M (\BbbR )] =W\Omega 1
M1
(\BbbR ), де \Omega 1 i M1 — функцiї, двоїстi за Юнгом вiдповiдно
до функцiй M i \Omega , при цьому оператор Фур’є F : W\Omega
M (\BbbR ) \rightarrow W\Omega 1
M1
(\BbbR ) є неперервним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1211
У просторах W\Omega
M визначено i неперервнi операцiї диференцiювання. За певних умов у
просторi W\Omega
M є визначеним i неперервним оператор диференцiювання нескiнченного порядку.
Зокрема, якщо цiла функцiя \varphi (z) =
\sum \infty
k=0
ckz
k, z \in \BbbC , — мультиплiкатор у просторi W\Omega
M ,
то у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ) є визначеним i неперервним оператор диференцiювання нескiнченного
порядку
\varphi ( - iDx) =
\infty \sum
k=0
ck( - iDx)
k,
при цьому оператор \varphi ( - iDx) можна розумiти як псевдодиференцiальний оператор, побудова-
ний за функцiєю \varphi . Отже, якщо оператор \varphi ( - iDx) позначити символом A\varphi , то
(A\varphi f)(x) = F - 1[\varphi (\sigma )]F [\varphi (x)] \forall \varphi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ).
Символом (W\Omega
M (\BbbR ))\prime позначатимемо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв над
вiдповiдним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю, а його елементи називатимемо
узагальненими функцiями.
Оскiльки у просторi W\Omega
M (\BbbR ) є визначеною i неперервною операцiя зсуву аргументу Tx :
\varphi (\xi ) \rightarrow \varphi (\xi + x) \forall \varphi \in W\Omega
M (\BbbR ), то згортку узагальненої функцiї f \in (W\Omega
M (\BbbR ))\prime з основною
функцiєю задамо формулою
(f \ast \varphi )(x) := \langle f\xi , T - x\varphi (\xi )\rangle = \langle f\xi , \varphi (x - \xi )\rangle , \varphi (\xi ) = \varphi ( - \xi ), \varphi \in W\Omega
M (\BbbR ).
Якщо f \in (W\Omega
M (\BbbR ))\prime , f \ast \varphi \in W\Omega
M (\BbbR ) для довiльної функцiї \varphi \in W\Omega
M (\BbbR ) i, крiм того, iз
спiввiдношення \varphi n \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty за топологiєю простору W\Omega
M (\BbbR ) випливає, що f \ast \varphi n \rightarrow 0
при n \rightarrow \infty за топологiєю простору W\Omega
M (\BbbR ), то функцiонал f називається згортувачем у
просторi W\Omega
M (\BbbR ).
Перетворення Фур’є узагальненої функцiї f \in (W\Omega
M (\BbbR ))\prime визначається як узагальнена функ-
цiя, задана на просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ):
\langle F [f ], \varphi \rangle = \langle f, F [f ]\rangle \forall \varphi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ).
При цьому якщо узагальнена функцiя f \in (W\Omega
M (\BbbR ))\prime — згортувач у просторi W\Omega
M (\BbbR ), то
для довiльної функцiї \varphi \in W\Omega
M (\BbbR ) правильною є формула F [f \ast \varphi ] = F [f ]F [\varphi ], F [f ] —
мультиплiкатор у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ).
2. Нелокальна багатоточкова за часом задача. Символом P\Omega
M позначимо клас цiлих
однозначних функцiй \varphi : \BbbC \rightarrow \BbbC , якi є мультиплiкаторами у просторi W\Omega
M i такими, що e\varphi \in
\in W\Omega
M , тобто
\exists a, b > 0 \exists c \in (0; 1] : | e\varphi (z)| = | e\varphi (x+iy)| \leq ce - M(ax)+\Omega (by) \forall z = x+ iy \in \BbbC . (3)
Нехай \varphi \in P\Omega
M , A\varphi — оператор диференцiювання нескiнченного порядку, побудований за
функцiєю \varphi , A\varphi : W\Omega 1
M1
(\BbbR ) \rightarrow W\Omega 1
M1
(\BbbR ) (див. п. 1).
Розглянемо рiвняння
\partial u(t, x)
\partial t
= A\varphi u, (t, x) \in (0,+\infty )\times \BbbR \equiv \Pi T , (4)
для якого задамо нелокальну багатоточкову за часом умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1212 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
\mu u(t, \cdot )| t=0 - \mu 1u(t, \cdot )| t=t1 - . . . - \mu mu(t, \cdot )| t=tm = f, (5)
де m \in \BbbN , \{ \mu , \mu 1, . . . , \mu m\} \subset (0,+\infty ), \{ t1, . . . , tm\} \subset (0,+\infty ) — фiксованi числа, причому
\mu >
\sum m
k=1
\mu k, 0 < t1 < t2 < . . . < tm < +\infty , f \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ).
Класичний розв’язок задачi (4), (5) шукаємо за допомогою перетворення Фур’є. В результатi
одержимо
u(t, x) = G(t, x) \ast f, (t, x) \in \Pi T ,
де G(t, x) = F - 1[Q(t, \sigma )](x), Q(t, \sigma ) = Q1(t, \sigma )Q2(\sigma ),
Q1(t, \sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ t\varphi (\sigma )\} , Q2(\sigma ) =
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\Biggr) - 1
.
Для того щоб дослiдити властивостi функцiї G, насамперед вивчимо властивостi функцiй
Q1 i Q2. Правильним є таке твердження.
Лема 1. Нехай \varphi \in P\Omega
M . Функцiя Q1(t, z) = et\varphi (z), t \in (0,+\infty ), z \in \BbbC , при кожному
t \in (0,+\infty ), як функцiя z, є елементом простору W\Omega
M . Iснують сталi \~a, \~b > 0 такi, що
для функцiї Q1(t, x), (t, x) \in (1,+\infty )\times \BbbR , та її похiдних (за змiнною x \in \BbbR ) справджуються
нерiвностi
| Dn
xQ1(t, x)| \leq
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
tnn!e\Omega (\rho n)e - M(\~ax), n \in \BbbZ +, (6)
де \rho n — розв’язок рiвняння x\omega (x) = n, n \in \BbbZ +.
Доведення. Оскiльки \varphi \in P\Omega
M , то виконується нерiвнiсть (3). Тодi
| et\varphi (z)| = | e\varphi (z)| t \leq [e - M(ax)+\Omega (by)]t \leq e - tM(ax)+t\Omega (by). (7)
Iз нерiвностi (7) випливає, що Q1(t, \cdot ) \in W\Omega
M при кожному t \in (0,+\infty ). Для доведення цього
факту скористаємося тим, що функцiя \Omega має такi властивостi: а) \forall \alpha \geq 1 \forall x \in [0,+\infty ) :
\Omega (\alpha x) \geq \alpha \Omega (x); б) \forall \alpha \in (0, 1) \forall x \in [0,+\infty ) : \Omega (\alpha x) \leq \alpha \Omega (x). Цi властивостi випливають iз
рiвностi
\Omega (\alpha x) = \alpha
x\int
0
\omega (\alpha \xi )d\xi , x \geq 0,
яка виконується для довiльного \alpha > 0 з урахуванням монотонного зростання функцiї \omega на
[0,+\infty ). Аналогiчнi властивостi справджуються i для функцiї M.
Отже, при фiксованому t \in (0, 1)
- tM(ax) \leq - M(tax), \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax) + t\Omega (by)\} \leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(tax) + \Omega (tby)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(tax) + \Omega (by)\} .
Якщо t > 1, t \not = n, n \in \{ 2, 3, 4, . . .\} , то t = [t] + \{ t\} . Тодi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax)\} = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - [t]M(ax)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \{ t\} M(ax)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \{ t\} M(ax)\} \leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(\{ t\} ax)\} , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ t\Omega (by)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (bty)\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1213
Якщо t = n, n \in \{ 2, 3, 4, . . .\} , то t = 1 + n - 1. Тодi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax)\} = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - (n - 1)M(ax)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax)\} ,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ t\Omega (by)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (bty)\} .
Звiдси випливає, що Q1(t, \cdot ) \in W\Omega
M при кожному t \in (0,+\infty ). Зокрема, якщо t > 1, то
правильною є оцiнка
| Q1(t, z)| \leq e - M(ax)+\Omega (bty), z = x+ iy \in \BbbC , (8)
де
a =
\left\{ a\{ t\} , якщо t \in (1,+\infty ) \setminus \{ 2, 3, 4, . . .\} ,
a, якщо t = n, n \in \{ 2, 3, 4, . . .\} ,
\{ t\} — дробова частина числа t.
Доведемо тепер, що виконуються нерiвностi (6). Згiдно з iнтегральною формулою Кошi
Dn
xQ1(t, x) =
n!
2\pi i
\int
\Gamma R
Q1(t, z)
(z - x)n+1
dz, n \in \BbbZ +,
де \Gamma R — коло радiуса R з центром у точцi x \in \BbbR . Використавши (8), отримаємо нерiвностi
| Dn
xQ1(t, x)| \leq
n!
Rn
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in \Gamma R
| Q1(t, z)| \leq
n!
Rn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax0) + \Omega (btR)\} ,
де x0 — точка максимуму функцiї \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a\xi )\} , \xi \in [x - R, x+R]. Зауважимо, що
x0 =
\left\{
0, якщо | \xi | < R,
\xi +R, якщо \xi \leq - R,
\xi - R, якщо \xi \geq R.
Оскiльки M — опукла донизу на промiжку (0,+\infty ) функцiя, то вона задовольняє нерiвнiсть
M(\xi 1)+M(\xi 2) \leq M(\xi 1+ \xi 2), \xi 1, \xi 2 \in (0,+\infty ), або нерiвнiсть M(\xi 1) - M(\xi 1+ \xi 2) \leq - M(\xi 2).
Звiдси випливає iснування сталих a1 > 0, a2 > 0 таких, що
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax0)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a1x) +M(a2R)\} \forall R > 0, x > 0.
Оскiльки M(a2R) \leq \Omega (a2R) (умова нетривiальностi простору W\Omega
M ), то справджується
нерiвнiсть
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(ax0)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a1x)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ M(a2R)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a1x)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (a2R)\} .
Оскiльки btR + a2R < btR + a2tR = (b + a2)tR, якщо t > 1, то з урахуванням нерiвностi
опуклостi для функцiї \Omega знаходимо
| Dn
xQ1(t, z)| \leq
n!
Rn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a1x)\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (b1tR)\} , b1 = b+ a2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1214 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Для кожного n \in \BbbZ + функцiя gn(R) = R - n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega (b1tR)\} диференцiйовна, причому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +\infty
gn(R) = +\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +0
gn(R) =
\Biggl\{
+\infty , n \in \BbbN ,
0, n = 0.
Оскiльки gn(R) > 0, R \in (0,+\infty ), то ця функцiя досягає свого iнфiмуму, який знайдемо за
допомогою методiв диференцiального числення:
g\prime n(R) = R - (n+1)(b1tR\omega (b1tR) - n)e\Omega (b1tR), n \in \BbbZ +
(тут \omega = \Omega \prime ). Прирiвнюючи g\prime n(R) до нуля, отримуємо b1tR\omega (b1tR) = n, n \in \BbbZ +. Безпосеред-
ньо переконуємося в тому, що gn(R) досягає свого iнфiмуму в точцi Rn = b - 1
1 t - 1\rho n, де \rho n —
розв’язок рiвняння x\omega (x) = n (\rho 0 = 0, якщо n = 0, i \rho n \leq n, якщо n \in \BbbN ). Отже,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R>0
gn(R) =
\biggl(
b1t
\rho n
\biggr) n
e\Omega (\rho n).
Таким чином,
| Dn
xQ1(t, x)| \leq n! \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R>0
gn(R) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(a1x)\} \leq
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
tnn! \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M(\~ax) + \Omega (\rho n)\} ,
де \~b = b1, \~a = a1.
Лему 1 доведено.
Зауважимо, що якщо t \in (0, 1), то правильними є оцiнки
| Dn
xQ1(t, x)| \leq
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
n!e\Omega (\rho n)e - M(atx), n \in \BbbZ +.
Наслiдок 1. Q1(t, x) \in W\Omega
M (\BbbR ) при кожному t \in (0,+\infty ).
Лема 2. Для похiдних функцiї Q2(x) =
\Bigl(
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(t, x)
\Bigr) - 1
, x \in \BbbR , справджу-
ються оцiнки
| Dn
xQ2(x)| \leq \~c
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
tnmn!e
\Omega (\rho n), n \in \BbbN , x \in \BbbR , (9)
де \~c = \mu - 1
\sum \infty
r=0
\~\mu rrn, \~\mu = \mu - 1\mu 0m < 1, \mu 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \mu 1, . . . , \mu m\} , \~b — стала з нерiвностi (6).
Доведення. Iз оцiнок (6) випливають нерiвностi Q1(tk, x)| < 1, k \in \{ 1, . . . ,m\} . Оскiльки
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, x) = \mu - 1
\Biggl(
1 - 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, x)
\Biggr)
,
причому
1
\mu
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, x) <
1
\mu
m\sum
k=1
\mu k < 1,
то, використовуючи полiномiальну формулу, знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1215
Q2(x) =
1
\mu
\infty \sum
r=0
\mu - r
\Biggl(
m\sum
k=1
\mu ke
tk\varphi (x)
\Biggr) r
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)\times
\times
\Biggl( \sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
(\mu 1e
t1\varphi (x))r1 . . . (\mu me
tm\varphi (x))rm
\Biggr)
=
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\mu r11 . . . \mu rmm Q1(\lambda , x),
де \lambda = t1r1 + . . .+ tmrm \leq tm(r1 + . . .+ rm) = tmr. Звiдси та з (6) випливають нерiвностi
| Dn
xQ2(\sigma )| \leq
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
tnmn!e
\Omega (\rho n)
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)\mu r0r
n
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
,
де \mu 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \mu 1, . . . , \mu m\} . Далi скористаємося тим, що\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
= mr.
Тодi
| Dn
xQ2(x)| \leq \~c
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
tnmn!e
\Omega (\rho n),
де \~c = \mu - 1
\sum \infty
r=0
\~\mu rrn, \~\mu = \mu - 1\mu 0m < 1.
Лему 2 доведено.
Зауважимо, що функцiя Q2 обмежена на \BbbR , бо
| Q2(x)| \leq
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k
\Biggr) - 1
\equiv \alpha 0 \forall x \in \BbbR .
Звiдси та з оцiнок (9) випливає, що Q2 — мультиплiкатор у просторi W\Omega
M (\BbbR ). Оскiльки Q1(t, \cdot ) \in
\in W\Omega
M (\BbbR ), а Q2 — мультиплiкатор у цьому просторi, то функцiя Q(t, x) = Q1(t, x)Q2(x) є
елементом простору W\Omega
M (\BbbR ). Функцiя G(t, \cdot ) — обернене перетворення Фур’є функцiї Q(t, \cdot ) \in
\in W\Omega
M (\BbbR ), тому G(t, \cdot ) — елемент простору W\Omega 1
M1
(\BbbR ) (при кожному t \in (0,\infty )). Використову-
ючи зображення функцiї Q2, знаходимо
G(t, \sigma ) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q1(t, x)Q2(x)e
i\sigma xdx =
= (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
et\varphi (x)
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu ke
tk\varphi (x)
\Biggr) - 1
ei\sigma xdx =
= (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
et\varphi (x)
\infty \sum
r=0
1
\mu r+1
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
\times
\times e(t1r1+...+tmrm)\varphi (x)ei\sigma xdx =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1216 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
=
\infty \sum
r=0
1
\mu r+1
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
\~G(t1r1 + . . .+ tmrm + t, \sigma ),
де \~G(t1r1 + . . . + tmrm + t, \sigma ) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
e(t1r1+...+tmrm+t)\varphi (x)ei\sigma xdx, \~G(t, \sigma ) — фундамен-
тальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (4), тобто \~G(t, \sigma ) = F - 1[Q1(t, x)](\sigma ). Зазначимо,
що \~G(t, \cdot ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t \in (0,\infty ), тобто \~G(t, z) \in W\Omega 1
M1
, z \in \BbbC , при кожному
t \in (0,\infty ). Для проведення подальших мiркувань оцiнимо \~G(t, z), z \in \BbbC , видiливши при
цьому залежнiсть вiд параметра t.
Оскiльки Q1(t, \cdot ) \in W\Omega
M при кожному t \in (0,+\infty ), то Q1(t, x + iy) прямує до нуля при
| x| \rightarrow +\infty швидше за будь-який степiнь | x| - 1 рiвномiрно в кожнiй смузi | y| \leq y0 (при фiксо-
ваному t \in (0,+\infty )), а функцiя ei\sigma z залишається в цiй смузi обмеженою за модулем. Тому,
використавши iнтегральну теорему Кошi, iнтегрування вздовж дiйсної осi Ox замiнимо iнте-
груванням вздовж будь-якої прямої, паралельної осi Ox, тобто
\~G(t, \sigma ) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ t\varphi (x+ iy) + i(x+ iy)\sigma \} dx, \sigma \in \BbbR .
При фiксованому t \in (0,\infty ) функцiя G(t, \cdot ) є цiлою функцiєю, тому можна виконати аналiтичне
продовження, замiнивши при цьому \sigma на \sigma + i\tau = s. У результатi прийдемо до спiввiдношення
\~G(t, \sigma + i\tau ) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ t\varphi (x+ iy) + i(x+ iy)(\sigma + i\tau )\} dx.
Тодi з урахуванням нерiвностi (7) маємо
| \~G(t, \sigma + i\tau )| \leq c
\int
\BbbR
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax) + t\Omega (by) - y\sigma - x\tau \} dx \leq
\leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \sigma y + t\Omega (by)\}
\int
\BbbR
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax) + | x| | \tau | \} dx =
= 2c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \sigma y + t\Omega (by)\}
\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax) + x| \tau | \} dx, c = (2\pi ) - 1.
Оцiнимо вираз - tM(ax)+x| \tau | . Нехай \Omega 1 — двоїста за Юнгом функцiя до функцiї M. Тодi,
використавши нерiвнiсть Юнга, знайдемо, що
- tM(ax) +
t\surd
\varepsilon
ax\surd
\varepsilon
\varepsilon | \tau |
at
\leq - tM(ax) +
t\surd
\varepsilon
\biggl[
M
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr)
+\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr) \biggr]
для довiльно фiксованого параметра \varepsilon > 1. Оскiльки ax \geq ax\surd
\varepsilon
, x \geq 0, M — зростаюча функцiя,
то M(ax) \geq M(ax/
\surd
\varepsilon ). Тодi
- tM(ax) \leq - tM
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr)
, t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1217
Отже,
- tM(ax) + x| \tau | \leq - tM
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr)
+
t\surd
\varepsilon
M
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr)
+
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr)
\leq
\leq -
\surd
\varepsilon - 1\surd
\varepsilon
tM
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr)
+
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr)
.
Звiдси випливає оцiнка
J :=
\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - tM(ax) + x| \tau | \} dx \leq
\leq
\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
-
\surd
\varepsilon - 1\surd
\varepsilon
tM
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr) \biggr\}
dx \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr) \biggr\}
.
Крiм того,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
-
\surd
\varepsilon - 1\surd
\varepsilon
tM
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr) \biggr\}
\leq
\surd
\varepsilon
(
\surd
\varepsilon - 1)t
1
M
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr) ,
J \leq c0t
- 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr) \biggr\}
, c0 =
\surd
\varepsilon \surd
\varepsilon - 1
\infty \int
0
dx
M
\biggl(
ax\surd
\varepsilon
\biggr) .
Отже,
| \~G(t, \sigma + i\tau )| \leq \~ct - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr)
- \sigma y + t\Omega (by)
\biggr\}
.
Нехай M1 — функцiя, двоїста за Юнгом до \Omega . Оцiнимо вираз \alpha := - \sigma y+t\Omega (by). Для цього
пiдберемо знак y так, щоб справджувалася рiвнiсть \sigma y = | \sigma | \cdot | y| , а величину y виберемо так,
щоб нерiвнiсть Юнга \sigma y \leq M1(\sigma ) + \Omega (y), \sigma \geq 0, y \geq 0, перетворилася у рiвнiсть вигляду
| \sigma | \cdot | y| = t
\biggl[
| \sigma |
tb
b| y|
\biggr]
= t
\Bigl[
M1
\Bigl( \sigma
tb
\Bigr)
+\Omega (by)
\Bigr]
.
Отже,
\alpha = - tM1
\Bigl( \sigma
tb
\Bigr)
- t\Omega (by) + t\Omega (by) = - tM1
\Bigl( \sigma
tb
\Bigr)
.
Таким чином,
| \~G(t, \sigma + i\tau )| \leq \~ct - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- tM1
\Bigl( \sigma
tb
\Bigr)
+
t\surd
\varepsilon
\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr) \biggr\}
\leq
\leq \~ct - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- tM1
\Bigl( \sigma
tb
\Bigr)
+ t\Omega 1
\biggl(
\varepsilon | \tau |
at
\biggr) \biggr\}
, \varepsilon > 1. (10)
Повернемося тепер до оцiнювання функцiї G(t, \sigma ), врахувавши при цьому нерiвнiсть (10)
при \tau = 0. В результатi отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1218 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
| G(t, \sigma )| \leq \~ct - 1
\infty \sum
r=0
\~\mu r\times
\times \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - (t1r1 + . . .+ tmrm + t)\} M1
\biggl(
\sigma
b(t1r1 + . . .+ tmrm + t)
\biggr)
\leq
\leq \~ct - 1
\infty \sum
r=0
\~\mu r = \~c\prime t - 1 \forall \sigma \in \BbbR , (11)
де \~c\prime = c(1 - \~\mu ) - 1. Зауважимо, що G(t, \sigma ) — неперервна функцiя аргументу t \in (0,+\infty ).
Справдi, з (7) випливає, що для t \geq t0 > 0 справджується нерiвнiсть
Q(t, x) = Q1(t, x)Q2(x) \leq e - t0M(ax)
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k
\Biggr) - 1
.
Звiдси випливає рiвномiрна збiжнiсть iнтеграла
(2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, x)ei\sigma xdx = G(t, \sigma )
у довiльнiй смузi \{ (t, x) : 0 < t0 \leq t, x \in \BbbR \} . Отже, функцiя G(t, \cdot ) є неперервною в кож-
нiй точцi промiжку (0,\infty ). Аналогiчно доводимо диференцiйовнiсть G(t, \cdot ) за змiнною t на
(0,+\infty ).
Лема 3. Правильною є формула
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = f \ast \partial G(t, \cdot )
\partial t
\forall f \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime .
Доведення. За означенням згортки узагальненої функцiї з основною маємо
f \ast G(t, x) = \langle f\xi , T - x
\v G(t, \xi )\rangle , \v G(t, \xi ) = G(t, - \xi ).
Тодi
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
[(f \ast G(t+\Delta t, \cdot )) - (f \ast G(t, \cdot ))] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
\biggl\langle
f\xi ,
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \cdot ) - T - x
\v G(t, \cdot )]
\biggr\rangle
.
Граничне спiввiдношення
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \cdot ) - T - x
\v G(t, \cdot )] - \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \cdot )
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору W\Omega 1
M1
(\BbbR ), тому з урахуванням неперерв-
ностi функцiонала f маємо
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) =
\biggl\langle
f\xi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \cdot ) - T - x
\v G(t, \cdot )]
\biggr\rangle
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1219
=
\biggl\langle
f\xi ,
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \cdot )
\biggr\rangle
=
\biggl\langle
f\xi , T - x
\partial
\partial t
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
= f \ast \partial G(t, \cdot )
\partial t
.
Лему 3 доведено.
Символом (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime позначимо клас узагальнених функцiй з (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime , якi є згорту-
вачами у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ).
Лема 4. Нехай
\omega (t, x) = f \ast G(t, x), f \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime , (t, x) \in \Pi T .
Тодi у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime справджується граничне спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\omega (t, \cdot ) = f. (12)
Доведення. Врахувавши властивiсть неперервностi перетворення Фур’є i формулу
F [f \ast G] = F [f ] \cdot F [G] = F [f ]Q(t, x),
яка правильна для довiльної узагальненої функцiї з класу (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime , спiввiдношення (12)
запишемо у виглядi
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
F [\omega (t, \cdot )] -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
F [\omega (t, \cdot )] = F [f ]
\Biggl(
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
Q(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
Q(t, \cdot )
\Biggr)
(вказанi границi розглядаються у просторi (W\Omega
M (\BbbR ))\prime ). Доведемо, що у просторi (W\Omega
M (\BbbR ))\prime
справджується спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
Q(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
Q(t, \cdot ) = 1. (13)
Для доведення (13) вiзьмемо довiльну функцiю \psi \in W\Omega
M (\BbbR ) i, використавши теорему про
граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега, знайдемо
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle Q(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\langle Q(t, \cdot ), \psi \rangle =
= \mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )\psi (\sigma )d\sigma -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )\psi (\sigma )d\sigma =
=
\int
\BbbR
\Biggl[
\mu Q(0, \sigma ) -
m\sum
l=1
\mu lQ(tl, \sigma )
\Biggr]
\psi (\sigma )d\sigma =
=
\int
\BbbR
\left[ \mu
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
-
m\sum
l=1
\mu l
Q1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\right] \psi (\sigma )d\sigma =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1220 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
=
\int
\BbbR
\mu -
\sum m
l=1
\mu lQ1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma )
\psi (\sigma )d\sigma =
\int
\BbbR
\psi (\sigma )d\sigma = \langle 1, \psi \rangle
(тут Q(t, \cdot ) трактується як регулярна узагальнена функцiя з простору (W\Omega
M (\BbbR ))\prime ). Отже, спiв-
вiдношення (13) виконується. Звiдси випливає, що правильним є спiввiдношення (12).
Лему 4 доведено.
Зауважимо, що з (13) випливає спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
G(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
G(t, \cdot ) = \delta
(\delta — дельта-функцiя Дiрака), яке виконується у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime .
З леми 4 випливає, що для рiвняння (4) нелокальну багатоточкову за часом задачу можна
сформулювати так: знайти розв’язок рiвняння (4), який задовольняє умову
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
u(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
u(t, \cdot ) = f, f \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime , (14)
де граничнi спiввiдношення розглядаються у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime .
Правильним є таке твердження.
Теорема 1. Задача (4), (14) коректно розв’язна. Розв’язок дається формулою
u(t, x) = f \ast G(t, x), (t, x) \in \Pi T ,
причому u(t, \cdot ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t \in (0,\infty ).
Доведення. Функцiя u(t, x) є розв’язком рiвняння (4). Справдi (див. лему 3),
\partial u(t, x)
\partial t
=
\partial
\partial t
(f \ast G(t, x)) = f \ast \partial G(t, x)
\partial t
,
A\varphi u(t, x) = F - 1[\varphi (\sigma )F [f \ast G(t, x)](\sigma )](x).
Оскiльки f — згортувач у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ), то
F [f \ast G(t, \cdot )] = F [f ]F [G(t, \cdot )] = F [f ]Q(t, \cdot ).
Отже,
A\varphi u(t, x) = F - 1[\varphi (\sigma )Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )](x) =
= F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )
\biggr]
(x) = F - 1
\biggl[
F
\biggl[
\partial
\partial t
G
\biggr]
F [f ]
\biggr]
(x) =
= F - 1
\biggl[
F
\biggl[
f \ast \partial G
\partial t
\biggr] \biggr]
= f \ast \partial G
\partial t
.
Звiдси випливає, що функцiя u(t, x), (t, x) \in \Pi T , задовольняє рiвняння (4). З леми 4 випливає,
що u задовольняє умову (14) у вказаному сенсi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1221
Доведемо, що задача (4), (14) має єдиний розв’язок. Для цього розглянемо задачу Кошi
\partial v
\partial t
+A\ast
\varphi v = 0, (t, x) \in [0, t0)\times \BbbR , 0 \leq t < t0 < +\infty , (15)
v(t, \cdot )| t=t0 = \psi , \psi \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime , (16)
де A\ast
\varphi = F [\varphi F - 1[g]] \forall g \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), A\ast
\varphi — звуження спряженого оператора до оператора A\varphi на
простiр W\Omega 1
M1
(\BbbR ) \subset (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime . Умову (16) розумiємо в слабкому сенсi.
Iз результатiв, отриманих у [16], випливає, що задача Кошi (15), (16) є розв’язною, при
цьому v(t, \cdot ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t \in [0, t0).
Нехай Qt
t0 : (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime \rightarrow W\Omega 1
M1
(\BbbR ) — оператор, який зiставляє функцiоналу \psi \in
\in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime розв’язок задачi (15), (16). Оператор Qt
t0 є лiнiйним i неперервним, вiн ви-
значений для довiльних t i t0 таких, що 0 \leq t < t0 < +\infty , i має такi властивостi:
\forall \psi \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime :
dQt
t0\psi
dt
+A\ast
\varphi Q
t
t0\psi = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
Qt
t0\psi = \psi
(границя розглядається у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime ).
Розглянемо розв’язок u(t, x), (t, x) \in \Pi T , задачi (4), (14), який розумiтимемо як регулярний
функцiонал iз простору (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime \supset W\Omega 1
M1
(\BbbR ). Доведемо, що задача (4), (14) може мати
лише єдиний розв’язок у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime . Для цього достатньо довести, що єдиним
розв’язком рiвняння (4) при нульовiй початковiй умовi може бути лише функцiонал u(t, x) \equiv 0
(при кожному t \in (0,+\infty )). Застосуємо функцiонал u до функцiї Qt
t0\psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), де \psi —
довiльно фiксований елемент iз простору W\Omega 1
M1
(\BbbR ) \subset (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime . Диференцiюючи по t i
використовуючи рiвняння (4), (14), знаходимо
\partial
\partial t
\langle u(t, \cdot ), Qt
t0\psi \rangle =
\biggl\langle
\partial u
\partial t
,Qt
t0\psi
\biggr\rangle
+
\biggl\langle
u,
\partial Qt
t0\psi
\partial t
\biggr\rangle
=
= \langle A\varphi u,Q
t
t0\psi \rangle - \langle u,A\ast
\varphi Q
t
t0\psi \rangle =
= \langle A\varphi u,Q
t
t0\psi \rangle - \langle A\varphi u,Q
t
t0\psi \rangle = 0, t \in [0, t0).
Звiдси випливає, що \langle u(t, \cdot ), Qt
t0\psi \rangle є сталою величиною, при цьому справджується граничне
спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
\langle u(t, \cdot ), Qt
t0\psi \rangle = \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} = c
у довiльнiй точцi t0 \in (0,+\infty ). Отже, якщо в (14) f = 0, то
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle = \mu c0 -
m\sum
k=1
\mu kck = 0,
де c0, c1, . . . , cm — довiльнi сталi. Покажемо, що c0 = 0. Якщо це не так, тобто c0 \not = 0,
то c1 = c0\alpha 1, . . . , cm = c0\alpha m. Тодi маємо спiввiдношення \mu c0 -
\sum m
k=1
\mu kc0\alpha k = 0, тобто
c0
\Bigl(
\mu -
\sum m
k=1
\mu k\alpha k
\Bigr)
= 0. Якщо c0 \not = 0, то \mu =
\sum m
k=1
\mu k\alpha k, де \alpha k, k \in \{ 1, . . . ,m\} , — довiльнi
сталi. Це суперечить тому, що \mu — фiксований параметр. Отже, c0 = 0. Аналогiчно показуємо,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1222 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
що c1 = c2 = . . . = cm = 0. Таким чином, \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = 0 для довiльного \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), тобто
u(t0, x) — нульовий функцiонал iз простору (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime . Оскiльки t0 \in (0,+\infty ) i t0 вибрано
довiльним чином, то u(t, \cdot ) = 0 для всiх t \in (0,+\infty ).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Розв’язок u(t, x) нелокальної багатоточкової за часом задачi (4), (14) збiга-
ється до нуля у просторi (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime при t\rightarrow +\infty .
Доведення. Нагадаємо, що розв’язок задачi (4), (14) дається формулою
u(t, x) = f \ast G(t, x) = \langle f\xi , T - x
\v G(t, \xi )\rangle = \langle f\xi , G(t, x - \xi )\rangle .
Нехай \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ). Покладемо
\Phi t(\xi ) =
+\infty \int
- \infty
G(t, x - \xi )\psi (x)dx, \Phi t,R(\xi ) =
R\int
- R
G(t, x - \xi )\psi (x)dx, R > 0.
У цих позначеннях перевiримо, що: а) при кожному t > 1 i R > 0 функцiя \Phi t,R(\xi ) належить
простору W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \Phi t,R(\xi ) \rightarrow \Phi t(\xi ) при R \rightarrow +\infty у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ); б) \Phi t(\xi ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR )
при кожному t > 0. Звiдси випливатиме, що
\langle u(t, x), \psi (x)\rangle =
+\infty \int
- \infty
\langle f\xi , G(t, x - \xi )\rangle \psi (x)dx =
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, x)\psi (x+ \xi )dx
\Biggr\rangle
=
=
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, - y)\psi ( - (y - \xi ))dy
\Biggr\rangle
=
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
G(t, - y) \v \psi (y - \xi )dy
\Biggr\rangle
=
=
+\infty \int
- \infty
G(t, - y)\langle f\xi , \v \psi (y - \xi )\rangle dy =
+\infty \int
- \infty
G(t, - y)(f \ast \v \psi )(y)dy
(тут u(t, \cdot ) трактується як регулярна узагальнена функцiя з простору (W\Omega 1
M1
(\BbbR ))\prime при кожному
t > 0).
Отже, встановимо властивiсть а). При фiксованих \{ k,m\} \subset \BbbZ + маємо
| \xi kDn
\xi \Phi t,R(\xi )| \leq
R\int
- R
| \xi k\psi (x)Dn
\xi G(t, x - \xi )| dx \leq
+\infty \int
- \infty
| \xi k\psi (\xi + \eta )Dn
\eta G(t, \eta )| d\eta .
Оскiльки \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), то при деяких c, a, b > 0 справджуються нерiвностi (див. п. 1)
| \xi kDn
\xi \psi (\xi )| \leq cn!
\biggl(
b1
\rho n
\biggr) n \Bigl( \mu k
a
\Bigr) k
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ \Omega 1(\rho n) - M1(\mu k)\} , \{ k, n\} \subset \BbbZ +, \{ \xi , \eta \} \subset \BbbR .
Звiдси при кожному \eta \in \BbbR отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in \BbbR
| \xi k\psi (\xi + \eta )| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
| (y - \eta )k\psi (y)| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\sum
l=0
C l
ky
l( - \eta )k - l\psi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1223
\leq
k\sum
l=0
C l
k| \eta | k - l \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
| yl\psi (y)| \leq c
k\sum
l=0
C l
k
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
| \eta | k - le - M(\mu l). (17)
Як встановлено ранiше, G(t, \cdot ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t > 0, тому для функцiї G та її
похiдних (за змiнною \eta ) справджуються оцiнки
| Dn
\eta G(t, \eta )| \leq \~c
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
n!e\Omega (\rho n)e - M1(\~a\eta ), n \in \BbbZ +, n \in \BbbR ,
з деякими сталими \~c, \~b, \~a > 0, залежними вiд t, \rho n = \rho n(t).
Врахувавши (17) i останню нерiвнiсть, знайдемо
| \xi kDn
\xi \Phi t,R(\xi )| \leq c\~c
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
n!e\Omega (\rho n)
k\sum
l=0
C l
k
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
e - M1(\mu l)
+\infty \int
- \infty
| \eta | k - le - M1(\~a\eta )d\eta .
Виконавши замiну змiнної iнтегрування \~a\eta = z, прийдемо до спiввiдношення
+\infty \int
- \infty
| \eta | k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(\~a\eta )\} d\eta =
\biggl(
1
a
\biggr) k - l+1
+\infty \int
- \infty
| z| k - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(z)\} dz =
= 2
\biggl(
1
a
\biggr) k - l+1
\infty \int
0
zk - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(z)\} dz.
Використавши властивiсть опуклостi функцiї M1, знайдемо
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(z)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
.
Тодi
Jk - l :=
\infty \int
0
zk - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(z)\} dz \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq 0
\Bigl(
zk - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\} \Bigr)
\times
\times
\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
dz.
Оскiльки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq 0
\Bigl(
zk - l \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\} \Bigr)
= (2\~\mu k - l)
k - le - M1(\~\mu k - l),
то виконується нерiвнiсть
Jk - l \leq c0(2\~\mu k - l)
k - le - M1(\~\mu k - l), l \in \{ 0, 1, . . . , k\} ,
де c0 =
\int \infty
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- M1
\Bigl( z
2
\Bigr) \Bigr\}
dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1224 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Тодi
| \xi kDn
\xi \Phi t,R(\xi )| \leq
2c0c\~c
a
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
n!e\Omega 1(\rho n)
k\sum
l=0
C l
k
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
e - M1(\mu l)\times
\times (2\~\mu k - l)
k - le - M1(\~\mu k - l).
Далi зауважимо, що \~\mu k < \mu k при t > 1, оскiльки \~\mu k = \~\mu k(t). Тодi
\Lambda :=
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
e - M1(\mu l)\~\mu k - l
k - le
- M1(\~\mu k - l) \leq
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
e - M1(\mu l)\mu k - l
k - l \leq
\leq
\Bigl( \mu l
a
\Bigr) l
e - M1(\mu l)\mu k - l
k - le
- M(\mu k - l)eM1(\mu k - l).
Зауважимо, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\geq 0 z
ke - M1(x) = \mu kke
- M1(\mu k). Тодi
\mu lle
- M1(\mu l)\mu k - l
k - le
- M1(\mu k - l) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq 0
(zle - M1(z)) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq 0
(zk - le - M1(z)) \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq 0
(zke - M1(z)) = \mu lke
- M1(\mu k).
Отже,
\Lambda \leq \mu kke
- M1(\mu k)
\biggl(
1
a
\biggr) l
eM1(\mu k - l) \leq
\biggl(
1
a
\biggr) l
ek - l\mu kke
- M1(\mu k).
Тут враховано, що eM1(\mu k) < ek. Справдi,
M1(\mu k) =
\mu k\int
0
\mu 1(\xi )d\xi , k \geq 1.
Згiдно з теоремою про середнє значення
\forall k \geq 1 \exists \xi k \in (0, \mu k) : M1(\mu k) = \mu k\mu 1(\xi k).
Функцiя \mu 1 є зростаючою i неперервною, тому M1(\mu k) < \mu k\mu 1(\mu k) = k, k \geq 1. Отже,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}M1(\mu k) < ek. Таким чином,
| \xi kDn
\xi \Phi t,R(\xi )| \leq \~cn!
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
(\alpha \mu k)
ke\Omega 1(\rho n) - M1(\mu k)
k\sum
l=0
C l
k
\biggl(
1
a
\biggr) l
(2e)k - l =
= \alpha 0n!
\Biggl(
\~b
\rho n
\Biggr) n
(\alpha \mu k)
ke\Omega 1(\rho n) - M1(\mu k), (18)
де \alpha 0 = 2c0c\~ca
- 1, \alpha =
1
a
+ 2e, звiдки й випливає, що \Phi t,R(\xi ) \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t > 1 i
R > 0. Зауважимо також, що сталi в нерiвностi (18) не залежать вiд R.
Далi, не втрачаючи загальностi, вважатимемо, що G(t, x) = G(t, - x) (або G(t, x) =
= - G(t, - x)), x \in \BbbR , бо G завжди можна записати у виглядi суми G1 +G2, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 1225
G1(t, x) =
1
2
[G(t, x) +G(t, - x)], G2(t, x) =
1
2
[G(t, x) - G(t, - x)].
Тодi \Phi t(\xi ) можна записати у виглядi
\Phi t(\xi ) = (G(t, \cdot ) \ast \psi )(\xi ), \xi \in \BbbR , t > 1.
Отже,
F [\Phi t] = F [G(t, \cdot ) \ast \psi ] = F [G(t, \cdot )]F [\psi ] = Q(t, \cdot )F [\psi ].
Якщо \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), то F [\psi ] \in W\Omega
M (\BbbR ). Крiм того, як встановлено ранiше, Q(t, \cdot ) \in W\Omega
M (\BbbR )
при кожному t > 0. Тодi F [\Phi t] \in W\Omega
M (\BbbR ), тобто \Phi t \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t > 1. Звiдси
випливає також, що
Jt,R(\xi ) := \Phi t(\xi ) - \Phi t,R(\xi ) =
\int
| x| >R
G(t, x - \xi )\psi (x)dx
є елементом простору W\Omega 1
M1
(\BbbR ) при кожному t > 1 i R > 0. Далi безпосередньо переконуємося
в тому, що Jt,R \rightarrow 0 при R \rightarrow +\infty у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ), враховуючи при цьому, що сталi в
нерiвностях (18) не залежать вiд R > 0. Отже, властивостi а), б) виконуються.
Оскiльки f \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime — згортувач у просторi W\Omega 1
M1
(\BbbR ), то f \ast \v \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ). Звiдси,
зокрема, отримуємо
| (f \ast \v \psi )(y)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(ay)\} , y \in \BbbR ,
сталi c, a > 0 не залежать вiд y. Враховуючи останню нерiвнiсть i оцiнку (11), знаходимо
| \langle u(t, \cdot ), \psi \rangle | \leq
+\infty \int
- \infty
| G(t, - y)| | (f \ast \v \psi )(y)| dy \leq \~cd - 1
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - M1(ay)\} dy =
= \omega 0t
- 1 \forall y \in \BbbR .
Переходячи тут до границi при t\rightarrow +\infty , переконуємося, що \langle u(t, \cdot ), \psi \rangle \rightarrow 0 при t\rightarrow +\infty для
довiльної функцiї \psi \in W\Omega 1
M1
(\BbbR ), що й потрiбно було довести.
Як приклад, розглянемо рiвняння (4) з оператором A\varphi , побудованим за функцiєю \varphi (x) =
= - x2/2, x \in \BbbR . У цьому випадку A\varphi =
\biggl(
- i d
dx
\biggr) 2
/2 =
1
2
d2
dx2
, а рiвняння (4) — це рiвняння
\partial u
\partial t
=
1
2
\partial 2u
\partial x2
, (t, x) \in \Pi T . (19)
Функцiя \varphi (z) = - z
2
2
є елементом простору P\Omega
M , де M(x) = x2/2, \Omega (y) = y2/2. Справдi,
e - z2/2 \in W
y2/x
x2/2
, оскiльки
| e - z2/2| = | e - (x+iy)2/2| = e - x2/2+y2/2.
Крiм того, функцiя - z2/2 — мультиплiкатор у просторi W y2/2
x2/2
. Функцiя Q1(t, z) = e - tz2/2
задовольняє умову (7). За теоремою 1 нелокальна m-точкова за часом задача для рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1226 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
(19) коректно розв’язна, якщо f \in (W\Omega 1
M1
(\BbbR ), \ast )\prime , де \Omega 1 i M1 — функцiї, двоїстi за Юнгом до
функцiй M i \Omega вiдповiдно. У цьому випадку маємо \Omega 1(y) = y2/2, M1(x) = x2/2 (див. приклад
iз п. 1). Отже, для рiвняння (19) вказана задача коректно розв’язна, якщо f \in (W
y2/2
x2/2
(\BbbR ), \ast )\prime ,
при цьому u(t, x) = f \ast G(t, x), де
G(t, x) =
1\surd
2
\infty \sum
r=0
1
\mu r+1
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
1\sqrt{}
\pi (\lambda , r)
e
- x2
2(\lambda ,r) ,
(\lambda , r) = t1r1 + . . .+ tmrm + t.
Зокрема, якщо f = \delta \in (W
y2/2
x2/2
(\BbbR ), \ast )\prime , то u(t, x) = G(t, x). Якщо m = 1 (випадок двоточкової
задачi), f = \delta , то
u(t, x) = (
\surd
2\mu ) - 1
\infty \sum
r=0
\biggl(
\mu 1
\mu
\biggr) r 1\sqrt{}
\pi (t+ rt1)
e
- x2
2(t+rt1) .
Лiтература
1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
2. Белавин И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1988. – 38, № 6. –
С. 885 – 902.
3. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208 с.
4. Романко В. К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. –
1974. – 10, № 11. – С. 117 – 131.
5. Романко В. К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Мат. заметки. – 1985. – 37,
№ 7. – С. 399 – 409.
6. Макаров А. А. Существование корректной двухточечной краевой задачи в слое для систем псевдодифференци-
альных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 1. – С. 114 – 150.
7. Чесалин В. И. Задача с нелокальными граничными условиями для абстрактных гиперболических уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1979. – 15, № 11. – С. 2104 – 2106.
8. Илькив В. С., Пташник Б. И. Некоторая нелокальная двухточечная задача для систем уравнений с частными
производными // Сиб. мат. журн. – 2005. – 46, № 11. – С. 119 – 129.
9. Chabrowski J. On non-local problem for elliptic linear equations // Funkcialaj ekvacioj. – 1980. – 32. – P. 217 – 226.
10. Lazetic N. L. On classical solutions of mixed boundary problems for one-dimensional parabolic equation of second
order // Pabl. Inst. Math. – 2000. – 67. – P. 53 – 75.
11. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-
разностных схем // Докл. АН СССР. – 1954. – 99, № 6. – С. 893 – 896.
12. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
13. Готинчан Т. I., Атаманюк Р. М. Рiзнi форми означення просторiв типу W // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Мате-
матика. – 2011. – Вип. 111. – С. 21 – 26.
14. Готинчан Т. I. Про нетривiальнiсть та вкладання просторiв типу W // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. –
2003. – Вип. 160. – С. 39 – 44.
15. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
16. Городецький В. В., Колiсник Р. С. Оператори диференцiювання нескiнченного порядку в просторах типу C та
їх застосування // Доп. НАН України. – 2004. – № 10. – С. 14 – 19.
Одержано 23.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1510 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/14/2cc8afd41e09ea2c854fc396f434b514.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15102020-03-29T18:04:52Z Nonlocal multipoint (in time) problem for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь з аналітичними символами у просторах типу $W$ Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. UDC 517.956 The correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for the evolution equations with differentiation operators of infinite order is established for an infinite time interval and an initial function, which is an element of the space of generalized functions of the type $ W'$. The properties of the fundamental solution and the behavior of the solution as $ t \to + \infty $ are investigated. УДК 517.956 Доведено коректну розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі для еволюційних рівнянь з операторами диференціювання нескінченного порядку у випадку нескінченного часового проміжку і початковою функцією, яка є елементом простору узагальнених функцій типу $W'.$ Вивчено властивості фундаментального розв'язку і поведінку розв'язку при $t\to +\infty.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1510 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1208-1226 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1208-1226 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1510/494 Copyright (c) 2019 Horodets’kyi V. V.; Martynyuk O. V.; Petryshyn R. I. |
| spellingShingle | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. Nonlocal multipoint (in time) problem for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title | Nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title_alt | Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь з аналітичними символами
у просторах типу $W$ |
| title_full | Nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title_fullStr | Nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title_full_unstemmed | Nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title_short | Nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $W$ |
| title_sort | nonlocal multipoint (in time) problem
for evolutionary pseudodifferential equations with analytic symbols in spaces of type $w$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1510 |
| work_keys_str_mv | AT horodetskyivv nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT martynyukov nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT petryshynri nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT gorodecʹkijvv nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT martinûkov nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT petrišinrí nonlocalmultipointintimeproblemforevolutionarypseudodifferentialequationswithanalyticsymbolsinspacesoftypew AT horodetskyivv nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw AT martynyukov nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw AT petryshynri nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw AT gorodecʹkijvv nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw AT martinûkov nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw AT petrišinrí nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíjnihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹzanalítičnimisimvolamiuprostorahtipuw |