On meromorphic solutions of the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients
UDC 517.925.7 For systems of linear differential equations whose dimension can be decreased, we establish estimates for the growth of meromorphic vector solutions. As an essentially new feature, we can mention the fact that no additional restrictions are imposed on the order of growth of coeff...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1511 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507307633278976 |
|---|---|
| author | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. |
| author_facet | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. |
| author_sort | Mokhonko, A. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:49Z |
| description | UDC 517.925.7
For systems of linear differential equations whose dimension can be decreased, we establish estimates for the growth of meromorphic vector solutions. As an essentially new feature, we can mention the fact that no additional restrictions are imposed on the order of growth of coefficients of the system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.7
А. А. Мохонько, А. З. Мохонько (Нац. ун-т „Львов. политехника”)
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С МЕРОМОРФНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
For systems of linear differential equations whose dimension can be decreased, we establish estimates for the growth of
meromorphic vector solutions. As an essentially new feature, we can mention the fact that no additional restrictions are
imposed on the order of growth of coefficients of the system.
Для системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь, що допускають зниження размiрностi, отримано оцiнки зростання
мероморфних вектор-розв’язкiв без обмежень на порядок зростання коефiцiєнтiв системи.
Обозначим через M поле мероморфных в \BbbC функций. В статье получены априорные оценки
мероморфных вектор-решений (м.в.-р.) систем дифференциальных уравнений
dyj
dz
=
n\sum
k=1
ak,jyk, ak,j \in M, j = 1, . . . , n. (1)
Если P — множество полюсов всех коэффициентов системы, то любое вектор-решение такой
системы имеет компоненты, являющиеся аналитическими функциями в \BbbC \setminus P. Нас интересуют
вектор-решения W (z) = (w1(z), . . . , wn(z)), компоненты которых wj \in M, j = 1, . . . , n.
Приложения неванлинновской теории к аналитической теории дифференциальных уравне-
ний хорошо известны [1 – 3]. В частности, при доказательстве теоремы 1 мы следуем методу [1].
Новым моментом является отказ от ограничений на порядок роста коэффициентов и решений
системы. В работе [1] изучались свойства вектор-решений системы (1) в случае, когда коэффи-
циенты и компоненты вектор-решений — целые функции. Основной идеей доказательства в [1]
является понижение размерности системы. Такое преобразование приводит к системе с меро-
морфными коэффициентами и мероморфными компонентами вектор-решений (см. (28), (29)).
Поэтому в данной статье предполагается, что коэффициенты и решения системы принадлежат
полю M.
Используем стандартные обозначения теории мероморфных функций [4]. Символы Ландау
O(. . .), o(. . .) используются в статье при r \rightarrow +\infty .
Рост функции f \in M описывается неванлинновскими характеристиками m(r, f), T (r, f)
[4, c. 24 – 27]. Напомним, что
m(r, f) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}+ | f(rei\varphi )| d\varphi , \mathrm{l}\mathrm{n}+ x = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{l}\mathrm{n}x, 0), x \geq 0,
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
\nu =1
x\nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
n\sum
\nu =1
\mathrm{l}\mathrm{n}+ | x\nu | + \mathrm{l}\mathrm{n}n.
(2)
Если f — целая функция, то T (r, f) = m(r, f). Через D(r, f) обозначим любую из характерис-
тик T (r, f), m(r, f). Если f, g \in M, то [4, с. 44, 45]
c\bigcirc А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9 1227
1228 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
D(r, f + g) \leq D(r, f) +D(r, g) + \mathrm{l}\mathrm{n} 2, D(r, f \cdot g) \leq D(r, f) +D(r, g),
D
\biggl(
r,
f
g
\biggr)
\leq D(r, f) +D(r, g) +O(1).
(3)
Функция f \in M имеет конечный порядок роста \rho [f ], если
\rho = \rho [f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}T (r, f)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
< +\infty .
Далее через E обозначаем некоторые множества интервалов на [0,+\infty ), сумма длин которых
конечна (\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} E < +\infty ).
Если f принадлежит M, то выполняются следующие соотношения [4, с. 122, 125, 131]:
m
\biggl(
r,
f (k)
f
\biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n} r), если \rho [f ] < +\infty , k = 1, 2, . . . ,
m
\biggl(
r,
f (k)
f
\biggr)
= o(\mathrm{l}\mathrm{n} r), если \rho [f ] \leq 1, k = 1, 2, . . . ,
(4)
m
\biggl(
r,
f (k)
f
\biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, f) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E, если \rho [f ] = +\infty , k = 1, 2, . . . . (5)
Если F (f1, . . . , fn) — рациональная функция от f1, . . . , fn \in M, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}fjF = kj , j = 1, . . . , n,
то [5]
T (r, F (f1, . . . , fn)) \leq
\sum
j=1,...,n
kjT (r, fj) +O(1); (6)
если R(f1, . . . , fn) — полином от f1, . . . , fn \in M, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}fjR = kj , j = 1, . . . , n, то
m(r,R(f1, . . . , fn)) \leq
\sum
j=1,...,n
kjm(r, fj) +O(1). (7)
Если
F (z) =
P (z, f(z))
Q(z, f(z))
=
a1tf
t + . . .+ a11f + a10
a2mfm + . . .+ a21f + a20
,
где f, aij \in M, a1t, a2m \not \equiv 0, d = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(m, t), причем P (z, w), Q(z, w) взаимно просты как
многочлены от w над полем M, то [6]
T (r, F ) = d T (r, f) +O
\left( \sum
i,j
T (r, aij)
\right) . (8)
Если W (z) = (w1(z), . . . , wn(z)) — м.в.-р. системы (1), то обозначим
T (r,W ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
T (r, wk). (9)
Пусть матрица коэффициентов системы (1) имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1229
A = B0(z) =
\left(
s1 p1 0 . . . 0
a2,1 s2 p2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an - 1,1 an - 1,2 an - 1,3 . . . pn - 1
an,1 an,2 an,3 . . . sn
\right)
. (10)
Обозначим (j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , n - j + 1)
djt(A) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
st pt 0 . . . 0
at+1,t st+1 pt+1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
at+j - 2,t at+j - 2,t+1 at+j - 2,t+2 . . . pt+j - 2
at+j - 1,t at+j - 1,t+1 at+j - 1,t+2 . . . st+j - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (11)
d0,t \equiv 1, Hj(A) =
n+1 - j\sum
t=1
dj,t(A). (12)
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть система (1), (10) такова, что (m \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , j = 1, 2, . . . , n -
- m - 1)
m
\bigl(
r, djt(A)
\bigr)
= o
\bigl(
m(r,Hn - m(A))
\bigr)
, r \not \in E, t = 1, . . . , n - j + 1. (13)
Тогда существует не более m линейно независимых м.в.-р. Wk(z) = (w1k(z), . . . , wnk(z)),
k = 1, . . . ,m, системы (1), (10) таких, что
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
r \cdot T (r,Wk)
\bigr)
= o
\bigl(
m(r,Hn - m(A))
\bigr)
, r \not \in E (14)
(скорость роста которых ограничена скоростью роста коэффициентов).
Замечание. Применение более точных оценок (4) логарифмической производной для важ-
ных подклассов мероморфных функций приводит к таким утверждениям: 1) если коэффициен-
ты система (1), (10) таковы, что
m(r, djt(A)) = O(\mathrm{l}\mathrm{n} r), j = 1, 2, . . . , n - m - 1, t = 1, . . . , n - j + 1,
m(r,Hn - m(A)) \not = O(\mathrm{l}\mathrm{n} r),
(15)
то система имеет не более m линейно независимых м.в.-р. Wk, k = 1, 2, . . . ,m, конечного
порядка роста; если
m
\bigl(
r, djt(A)
\bigr)
= o(\mathrm{l}\mathrm{n} r), j = 1, 2, . . . , n - m - 1, t = 1, . . . , n - j + 1,
m
\bigl(
r,Hn - m(A)
\bigr)
\not = o(\mathrm{l}\mathrm{n} r),
(16)
то система имеет не более m линейно независимых м.в.-р. Wk порядка роста \rho \leq 1.
Соотношения (15) выполняются, например, если djk(A) — рациональные функции, а
Hn - m(A) — трансцендентная функция. Действительно, любая трансцендентная функция растет
быстрее любой рациональной функции [4, c. 49] ((6.26), (6.27)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1230 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Пример 1. Рассмотрим систему y\prime 1 = y2, y\prime 2 = e2zy1 + y2. Матрица системы A =
=
\biggl(
0 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} 2z 1
\biggr)
, d11(A) = 0, d12 = 1; H2(A) = - e2z, m(r,H2(A)) = 2m(r, ez). Тогда
[7, c. 25] m(r, ez) =
r
\pi
. Имеем m(r,H2(A)) = m(r,H2 - 0(A)) = 2m(r, ez) =
2r
\pi
, 0 =
= m(r, d11(A)) = m(r, d12(A)) = o(m(r,H2 - 0(A))). В этом примере n = 2, m = 0. Поэтому
из теоремы следует, что рассматриваемая система не имеет м.в.-р. W таких, что \mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W )+
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r = o
\bigl(
m(r,H2 - 0(A))
\bigr)
, r \not \in E. Действительно, эта система имеет два линейно неза-
висимых м.в.-р. W1 =
\bigl(
ee
z
, ezee
z\bigr)
, W2 =
\bigl(
e - ez , - eze - ez
\bigr)
. Для целой функции \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} z
выполняется [7, c. 26] T (r, ee
z
) = m(r, ee
z
) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty . Из предыдущего и (8)
следует, что T (r, eze - ez) = T (r, ee
z
) + O(T (r, ez)) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty . Поэтому, учитывая
определения W1, W2, получаем T (r,Wj) \sim er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty , j = 1, 2. Следовательно,
r \sim \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
r \cdot T (r,Wj)
\bigr)
\not = o
\bigl(
m(r,H2(A))
\bigr)
, r \rightarrow +\infty , так как m(r,H2(A)) \sim 2r
\pi
, r \rightarrow +\infty .
Пример 2. У системы y\prime 1 = y2, y\prime 2 = y2(1 + ez) матрица A =
\biggl(
0 1
0 1 + ez
\biggr)
, H1(A) =
= H2 - 1(A) = 1 + ez; n = 2, m = 1, m(r,H1(A)) = m(r, ez + 1) = m(r, ez) + O(1) \sim r
\pi
,
r \rightarrow +\infty . На основании теоремы рассматриваемая система имеет не более одного м.в.-р. W,
для которого \mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r,H1(A))), r \not \in E. Таким решением является м.в.-р.
W1 = (1, 0). Вторым м.в.-р. системы, линейно независимым с W1, является W2 =
\bigl(
ee
z
, ezee
z\bigr)
.
Как отмечено в примере 1, T (r,W2) \sim
er
(2\pi 3r)1/2
, r \rightarrow +\infty , \mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W2) + \mathrm{l}\mathrm{n} r \sim r, r \rightarrow +\infty .
Поэтому r \sim \mathrm{l}\mathrm{n}(r \cdot T (r,W2)) \not = o
\bigl(
m(r,H1(A))
\bigr)
, r \rightarrow +\infty , так как m(r,H1(A)) \sim r
\pi
, r \rightarrow +\infty .
Рассмотрим вектор h(z) = (h1, h2, . . . , hn), где hj \in M. Обозначим
Q0(A, h) \equiv 1,
(17)
Qk(A, h) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s1 - h1 p1 0 . . . 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . sk - hk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, k = 1, 2, . . . , n.
Используя (17), записываем
Qk = - hkQk - 1 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s1 - h1 p1 0 . . . 0 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . sk - 1 - hk - 1 pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . ak,k - 1 sk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1231
= - hkQk - 1 - Qk - 2hk - 1d1,k +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s1 - h1 p1 0 . . . 0 0
a2,1 s2 - h2 p2 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak - 1,1 ak - 1,2 ak - 1,3 . . . sk - 1 pk - 1
ak,1 ak,2 ak,3 . . . ak,k - 1 sk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= . . .
. . . = dk,1(A) -
k - 1\sum
i=0
Qi(A, h)hi+1dk - i - 1,i+2(A), d0,k+1(A) = 1. (18)
Лемма 1. Определитель Qk(A, h) можно представить в виде
Qk(A, h) = dk1(A) - dk - 1,1(A)hk +
k - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjk, k = 1, 2, . . . , n, (19)
где h = (h1, h2, . . . , hn), Pjk — многочлен от функций ht и d\nu s(A), j+1 \leq t \leq k, j+2 \leq s \leq k,
\nu < k, степени не больше 1 по каждой из ht, d\nu s.
Доказательство. Учитывая определения (17), (11), имеем (d01 = 1) Q1(A, h) = s1 - h1 =
= d11 - d01h1, Q2(A, h) = d21 - d11h2 - d01(d12h1 - h1h2) = d21 - d11h2 - d01P02, Q3(A, h) =
= d31 - d22h1 - h2Q1(A, h)d13 - h3Q2(A, h) = d31 - d21h3+d11(h2h3 - h2d13)+d01(d13h1h2 -
- h1d22+d12h1h3 - h1h2h3) = d31 - d21h3+d11P13+d01P03. Условия леммы для многочленов
P02, P13, P03 выполнены.
Допустим, что лемма доказана для всех Qi, i = 1, . . . , k - 1, и докажем ее для Qk, k \geq 4.
Подставляя в (18) разложения Qi вида (19), после простого преобразования получаем
Qk = dk1 - hk
\Bigl(
dk - 1,1 - dk - 2,1hk - 1 +
k - 3\sum
j=0
dj1Pj,k - 1
\Bigr)
-
- Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2 -
k - 2\sum
i=2
\Bigl(
di1 - di - 1,1hi +
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,i
\Bigr)
hi+1dk - i - 1,i+2 =
= dk1 - hkdk - 1,1 - Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2 -
-
k - 2\sum
i=2
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2 -
\sum
1
-
\sum
2
+
\sum
3
,
где
\sum
1
=
k - 3\sum
j=0
dj1Pj,k - 1hk - dk - 2,1hk - 1hk
df
=
k - 2\sum
j=0
dj1P
1
j,k,
\sum
2
=
k - 2\sum
i=2
di1hi+1dk - i - 1,i+2
df
=
k - 2\sum
i=2
di1P
2
i,k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1232 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
\sum
3
=
k - 2\sum
i=2
di - 1,1hihi+1dk - i - 1,i+2
df
=
k - 2\sum
i=2
di - 1,1P
3
i - 1,k,
(20)
Q1h2dk - 2,3 = d11h2dk - 2,3 - d01h1h2dk - 2,3
df
= d11P
4
1,k + d01P
4
0,k,
Q0h1dk - 2,2 = d01h1dk - 2,2
df
= d01P
5
0,k, d01 = 1, Q0 = 1,
k - 2\sum
i=2
i - 2\sum
j=0
dj1Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2 =
k - 4\sum
j=0
dj1
k - 2\sum
i=j+2
Pj,ihi+1dk - i - 1,i+2.
Из предположения индукции о свойствах многочленов Pj,k - 1 и определений многочленов
P s
j,k, s = 1, 2, . . . , 5, j = 0, 1, . . . , k - 2, следует, что P s
j,k — некоторые многочлены от ht и d\nu s,
j + 1 \leq t \leq k, j + 2 \leq t \leq k, \nu < k, степени не больше 1 по каждой из ht, d\nu s. Группируя
слагаемые, содержащие dj1, j = 0, 1, . . . , k - 2, получаем
\sum
1
+
\sum
2
-
\sum
3
- Q1h2dk - 2,3 - Q0h1dk - 2,2
df
=
k - 2\sum
j=0
dj1P
\ast
j,k , (21)
где P \ast
j,k — некоторые многочлены от ht и d\nu s, j + 1 \leq t \leq k, j + 2 \leq t \leq k, \nu < k, степени
не больше 1 по каждой из ht, d\nu s. Подставляя (20), (21) в выражение для Qk и группируя
слагаемые, содержащие dj1, j = 0, 1, . . . , k - 2, получаем (19).
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 1. Случай m = n - 1 рассмотрим в более общей форме. Пусть
дана система (1) с коэффициентами akj \in M (условие (10) может не выполняться). Пусть
\mathrm{S}\mathrm{p}A = a11+a22+ . . .+ann = H1(A) — след матрицы A системы (1). Докажем, что система (1)
не имеет m+ 1 = n линейно независимых м.в.-р. Wk, k = 1, . . . , n, таких, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r, \mathrm{S}\mathrm{p}A)), r \not \in E. (22)
Допустим, что существуют n линейно независимых м.в.-р. Wk, k = 1, . . . , n, для которых
выполняется (22). Тогда Wk, k = 1, . . . , n, — фундаментальная система решений системы (1) и
ее детерминант D(z) удовлетворяет равенству
D\prime (z)
D(z)
= \mathrm{S}\mathrm{p}A. Имеем
m(r, \mathrm{S}\mathrm{p}A) = m
\biggl(
r,
D\prime (z)
D(z)
\biggr)
(5)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) + \mathrm{l}\mathrm{n} r), r \not \in E. (23)
Учитывая определение D(z) и оценку (6), получаем
T (r,D) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
T (r,Wk) +O(1),
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) +O(1).
Отсюда и из (23) следует
m(r, \mathrm{S}\mathrm{p}A) = O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,D) + \mathrm{l}\mathrm{n} r) = O
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,Wk) + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\Bigr)
, r \not \in E,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1233
что противоречит (22).
Допустим теперь, что в (10) все pj \not \equiv 0, j = 1, . . . , n - 1. Если W = (w1, . . . , wn) —
нетривиальное м.в.-р. системы (1), (10), то из строения матрицы (10) следует, что w1 \not \equiv 0.
Пусть m = 0. Тогда n - m = n,
Hn - m(A) = Hn(A) = dn1(A). (24)
Предположим, что существует нетривиальное м.в.-р. W = (w1, . . . , wn) системы (1), (10) такое,
что
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r = o(m(r,Hn(A)), r \not \in E. (25)
Запишем систему (1), (10) в виде
w1(s1 - w\prime
1/w1) + p1w2 = 0,
w1a21 + w2(s2 - w\prime
2/w2) + w3p2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
w1an1 + . . .+ wn - 1ann - 1 + wn(sn - w\prime
n/wn) = 0.
(26)
Эта система имеет нетривиальное решение. Поэтому Qn(A, h0) \equiv 0, где h0 = (h01, . . . , h0n),
h0j = w\prime
j/wj , j = 1, . . . , n. Из леммы 1 следует, что
0 \equiv Qn(A, h0)
(19)
= dn1(A) - dn - 1,1(A)h0n +
n - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjn, (27)
где Pjn — некоторые многочлены от функций h0t = w\prime
t/wt, j + 1 \leq t \leq n, и d\nu s(A), \nu < n,
j + 2 \leq s \leq n, степени не больше 1 по каждой из h0t, d\nu s. Поэтому, учитывая (24), имеем
Hn(A) = dn - 1,1(A)h0n -
n - 2\sum
j=0
dj1(A)Pjn.
Из этого равенства, учитывая свойства многочленов Pjn, получаем
m(r,Hn(A))
(7)
\leq
n\sum
j=1
\biggl(
r,
w\prime
j
wj
\biggr)
+
\sum
1\leq j\leq n - 1
1\leq t\leq n - j+1
m(r, djt) +O(1)
(5), (13)
\leq
\leq O
\left( n\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, wj) + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\right) + o
\bigl(
m(r,Hn(A))
\bigr)
, r \not \in E,
поэтому m(r,Hn(A)) = O
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r,W ) + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigr)
, r \not \in E, что противоречит (25).
Пусть теперь 0 < m < n - 1, m \in \BbbN . Предположим, что существует m + 1 линейно
независимое м.в.-р. Wk(z) = (wk1(z), . . . , wkn(z)), k = 0, 1, 2, . . . ,m, системы (1), (10) та-
кое, что выполняется (14). Одно из этих m + 1 решений, например W0, обозначим через U,
W0 = U = (u1, . . . , un) = (w01(z), . . . , w0n(z)). Любое из оставшихся m м.в.-р. обозначим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1234 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
через W = (w1, . . . , wn). Поскольку U — нетривиальное м.в.-р. системы (1), (10), то u1 \not \equiv 0.
Опишем процесс перехода от системы (1) с матрицей коэффициентов (10) размера n к системе
дифференциальных уравнений c матрицей коэффициентов вида (10) и размера n - 1.
Каждому из m м.в.-р. W = (w1, . . . , wn) системы (1), (10), поставим в соответствие вектор
V = (v1, v2, . . . , vn) =
\biggl(
w1
u1
, w2 -
w1u2
u1
, . . . , wn - w1un
u1
\biggr)
, v1 =
w1
u1
\not \equiv 0. (28)
Из (1), (10) и (28) следует, что эти m векторов V (28) — решения системы [1] (формулы (3.9) –
(3.13))
v\prime 1 = v2p1/u1,
v\prime 2 = v2(s2 - p1u2/u1) + p2v3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v\prime n = v2(an2 - p1un/u1) +
n - 1\sum
k=3
ankvk + snvn,
(29)
матрица коэффициентов которой имеет вид
B =
\left(
0 p1/u1 0 . . . 0
0
... B1
0
\right) , (30)
где
B1 =
\left(
s2 - p1u2/u1 p2 0 . . . 0
a32 - p1u3/u1 s3 p3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an2 - p1un/u1 an3 an4 . . . sn
\right) . (31)
Установим связь между dj,k - 1(B1), 1 \leq j \leq n - 1, 2 \leq k \leq n - j, и djk(A).
Лемма 2. Выполняются соотношения (d0,j+2(A) = 1)
dj,k - 1(B1) = djk(A), k > 2, 1 \leq j \leq n - 2,
dj1(B1) = dj2(A) +
j\sum
k=1
Qk(A, h)dj - k,k+2(A), j = 1, 2, . . . , n - 1, (32)
где h = h0 = (u\prime 1/u1, . . . , u
\prime
n/un) = (w\prime
01/w01, . . . , w
\prime
0n/w0n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1235
Доказательство. Если k > 2, то первое из равенств (32) следует из определений dj,k - 1(B1)
и матрицы (31). Если k = 2, то
dj,1(B1)
(30)
= dj2(A) - p1
u1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u2 p2 0 . . . 0
u3 s3 p3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,3 aj,4 . . . pj
uj+1 aj+1,3 aj+1,4 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= dj2(A) - p1u2
u1
dj - 1,3 +
p1p2
u1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u3 p3 0 . . . 0
u4 s4 p4 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,4 aj,5 . . . pj
uj+1 aj+1,4 aj+1,5 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= dj2 -
p1u2
u1
dj - 1,3 +
p1p2
u1
u3dj - 2,4(A) - p1p2
u1
p3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u4 p4 0 . . . 0
u5 s5 p5 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uj aj,5 aj,6 . . . pj
uj+1 aj+1,5 aj+1,6 . . . sj+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= dj2(A) +
j\sum
k=1
( - 1)k
uk+1
u1
p1p2 . . . pkdj - k,k+2(A).
Известно [1], что ( - 1)k
uk+1
u1
p1p2 . . . pk = Qk(A, h), h = (u\prime 1/u1, . . . , u
\prime
n/un). Поэтому из
предыдущего следует (32).
Лемма 2 доказана.
Матрица (31) имеет вид (10). На основании (29) каждый из m векторов (см. (28))
Y1 = (v2, v3 . . . , vn)
df
= (v12, v13, . . . , v1n) (33)
является решением системы дифференциальных уравнений
Y \prime
1 = B1Y1 (34)
размерности n - 1.
Используя одно решение U = (u1, . . . , un) из ранее имевшихся m + 1 м.в.-р. системы (1),
(10), понижаем порядок этой системы на единицу. Получаем систему (34), (31), имеющую m
м.в.-р. вида (33). Пусть Y11, Y12, . . . , Y1m — полученные указанным способом м.в.-р. систе-
мы (34), (31) (Y1 — одно из этих решений). Из линейной независимости m + 1 м.в.-р. W0 =
= U = (u1, . . . , un), Wj = (wj1, . . . , wjn), u1, wj1 \not \equiv 0, j = 1, . . . ,m, системы (1), (10) следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1236 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
линейная независимость m м.в.-р. Y11, Y12, . . . , Y1m системы (34), (31) (Y1 = (v12, v13, . . . , v1n),
v12 \not \equiv 0), причем из (28), (33), (9), (6) следует, что
T (r, Y1)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=2,3,...,n
T (r, vj)
(28),(6)
\leq
\sum
0\leq i\leq m
1\leq j\leq n
T (r, wi,j) +O(1). (35)
Имеем Wi = (wi1, . . . , win), i = 0, 1, . . . ,m, T (r,Wi)
(9)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,...,n
T (r, wij),
n\sum
j=1
T (r, wi,j) \leq n \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,...,n
T (r, wi,j) = nT (r,Wi), (36)
m\sum
i=0
n\sum
j=1
T (r, wi,j)
(36)
\leq
m\sum
i=0
nT (r,Wi) \leq n(m+ 1) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi).
Из последнего неравенства и из (35) следует, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}T (r, Y1)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,...,m
T (r, Y1,t) = O
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\Bigr)
. (37)
При преобразовании (28) m + 1 линейно независимое м.в.-р. Wk(z), k = 0, 1, . . . ,m, сис-
темы (1), (10), переходит в m линейно независимых м.в.-р. Y11, Y12, . . . , Y1m вида (33) систе-
мы (34), (31), причем выполняется оценка (37).
Используя решения Y11, Y12, . . . , Y1m, уменьшаем размерность матрицы A еще m - 1 раз.
В результате получаем системы дифференциальных уравнений
Y \prime
k = BkYk, k = 1, 2, . . . ,m, (38)
размерности n - k, где Yk = (vk,k+1, vk,k+2, . . . , vk,n), а матрица
Bk =
\left(
sk+1 - pkvk - 1,k+1/vk - 1,k pk+1 0 . . . 0
ak+2,k+1 - pkvk - 1,k+2/vk - 1,k sk+2 pk+2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,k+1 - pkvk - 1,n/vk - 1,k an,k+2 an,k+3 . . . sn
\right) , (39)
причем повторное применение оценки (37) м.в.-р. системы (38) на каждом шаге понижения
порядка системы дает (k = 1, . . . ,m)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}T (r, Yk)
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,2,...,m - k+1
T (r, Yk,t) = O
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\Bigr)
. (40)
М.в.-р. Yk = (vk,k+1, vk,k+2, . . . , vk,n) системы (38), (39) поставим в соответствие вектор
hk = (hk,k+1, hk,k+2, . . . , hk,n), где hk,k+p = v\prime k,k+p/vk,k+p, p = 1, 2, . . . , n - k, k = 1, 2, . . . ,m,
в частности hm - 1 = (hm - 1,m, hm - 1,m+1, . . . , hm - 1,m+i, . . . , hm - 1,n), где (i+1)-й элемент этого
вектора имеет вид hm - 1,m+i = v\prime m - 1,m+i/vm - 1,m+i, i = 0, 1, . . . , n - m.
Из (5) следует (r \not \in E), что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1237
m(r, hk,k+p) = m
\biggl(
r,
v\prime k,k+p
vk,k+p
\biggr)
= O(\mathrm{l}\mathrm{n}+ T (r, vk,k+p) + \mathrm{l}\mathrm{n} r)
(9)
=
(9)
= O
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t=1,2,...,m - k+1
T (r, Yk,t)
\Bigr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\Bigr)
(40)
=
(40)
= O
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\Bigr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\Bigr)
, p = 1, 2, . . . , n - k, k = 1, 2, . . . ,m. (41)
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3. Выполняется равенство (j \in \BbbN , j \leq n - m)
dj1(Bm) = dj,m+1(A) + dj,m(A) + . . .+ dj,1(A) + \~Pmj , (42)
где \~Pmj = \~Pmj(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлены от hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m - 1, p = 1, 2, . . . , j,
и d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . ,m+ j, \nu \leq j - 1, степени не больше 1 от каждой из функций hk,k+p,
d\nu ,s(A).
Продолжим доказательство теоремы. Понижая размерность матрицы A, мы использовали
m м.в.-р., а по предположению их m+1, значит, система Y \prime
m = BmYm (см. (38), (39)) имеет одно
нетривиальное м.в.-р. Ym = (vm,m+1, vm,m+2, . . . , vm,n), для которого выполняется (см. (40))
T (r, Ym) = O
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\Bigr)
. (43)
Преобразуем систему Y \prime
m = BmYm к виду, аналогичному (26). В результате получим систе-
му линейных однородных уравнений с определителем матрицы коэффициентов Qn - m(Bm, hm)
(см. (17)), имеющую нетривиальное решение Ym = (vm,m+1, vm,m+2, . . . , vm,n). Поэтому
Qn - m(Bm, hm) \equiv 0. Отсюда, учитывая (18), получаем (hm = (hm,m+1, hm,m+2, . . .
. . . , hm,m+i, . . . , hm,n), hm,m+i =
v\prime m,m+i
vm,m+i
, i = 1, 2, . . . , n - m, Q0(Bm, hm) = 1,
d0,n - m+1(Bm) = 1)
dn - m,1(Bm) = hm,nQn - m - 1(Bm, hm)+
+
n - m - 2\sum
i=0
Qi(Bm, hm)hm,m+i+1dn - m - i - 1,i+2(Bm). (44)
Применим к Qi(Bm, hm), i \leq n - m - 1, лемму 1 (см. (19)), а к dj1(Bm), j \leq n - m - 1,
формулу (42). Учитывая, что dj,t(Bm) = dj,m+t(A) при t \geq 2 и j = 1, 2, . . . , n - m (см. (39)),
получаем
dn - m,1(Bm)
(44)
= P (d\nu ,s(A), hm,m+p), (45)
где P — многочлен степени не больше 1 от d\nu ,s(A), \nu < n - m, s = 1, 2, . . . , n, и hm,m+p,
p = 1, 2, . . . , n - m. Из (42) при j = n - m следует, что
dn - m,1(Bm) = dn - m,m+1(A) + dn - m,m(A) + . . .+ dn - m,1(A) + \~Pm,n - m, (46)
\~Pm,n - m = \~Pm,n - m(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлен от hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m - 1, p = 1, 2, . . . , n -
- m, и d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . , n, \nu \leq n - m - 1, степени не больше 1 от каждой из функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1238 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
hk,k+p, d\nu ,s(A). Учитывая определение Hn - m(A) (12), а также равенства (45), (46) и свойства
многочленов P (d\nu ,s(A), hm,m+p), \~Pm,n - m, получаем
Hn - m(A) = dn - m,m+1(A) + dn - m,m(A) + . . .+ dn - m,1(A) = Rm,n - m, (47)
где Rm,n - m = Rm,n - m(hk,k+p, d\nu ,s(A)) — многочлены от hk,k+p, k = 0, 1, . . . ,m, p = 1, 2, . . .
. . . , n - m, и d\nu ,s(A), s = 1, 2, . . . , n, \nu \leq n - m - 1, степени не больше 1 по каждой переменной.
Из равенства (47), учитывая свойства многочленов Rm,n - m и соотношения (7), (41), имеем
(r \not \in E )
m(r,Hn - m(A))
(7)
\leq
\sum
k=0,1,...,m
p=1,2,...,n - m
m(r, hk,k+p) +
\sum
s=1,2,...,n
\nu \leq n - m - 1
m(r, d\nu ,s(A)) +O(1)
(41), (13)
=
(41), (13)
= O
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,1,...,m
T (r,Wi)
\Bigr)
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\Bigr)
+ o(m(r,Hn - m(A))).
Отсюда получаем m(r,Hn - m(A)) = O
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}+(\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=0,1,...,m T (r,Wi)) + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigr)
, r \not \in E, что проти-
воречит (14). Случай, когда в (10) некоторые из pj \equiv 0, рассматривается аналогично [1].
Теорема доказана.
Доказательство леммы 3. Так же, как и в (32), выразим dj1(Bm) через определители
матрицы Bm - 1. Используя (18) и (32), получаем (B0 = A, d0,j+2(Bm - 1) = 1 (см. (12), (10)))
dj1(Bm) = dj2(Bm - 1) +Qj(Bm - 1, hm - 1) +
j - 1\sum
i=1
Qi(Bm - 1, hm - 1)dj - i,i+2(Bm - 1). (48)
Учитывая (17), имеем Q0(A, h) \equiv 1, Q1(A, h) = s1 - h1 = d11(A) - h1, Q2(A, h) = d21(A) -
- d11(A)h2 - d01(A)(d12(A)h1 + h1h2), поэтому
Q0(Bm - 1, hm - 1) \equiv 1, Q1(Bm - 1, hm - 1) = d11(Bm - 1) - hm - 1,m,
где hm - 1 = (hm - 1,m, hm - 1,m+1, . . . , hm - 1,n), hm - 1,m+i =
v\prime m - 1,m+i
vm - 1,m+i
, i = 0, 1, . . . , n - m. Далее
(d0,j+1(Bm - 1) = 1)
Qj(Bm - 1, hm - 1)
(18)
= dj,1(Bm - 1) - hm - 1,mdj - 1,2(Bm - 1) -
- (d11(Bm - 1) - hm - 1,m)hm - 1,m+1dj - 2,3(Bm - 1) -
-
j - 1\sum
i=2
Qi(Bm - 1, hm - 1)hm - 1,m+idj - i - 1,i+2(Bm - 1)
(19)
=
(19)
= dj,1 - hm - 1,mdj - 1,2 - (d11 - hm - 1,m)hm - 1,m+1dj - 2,3 -
-
j - 1\sum
i=2
\Bigl(
di1 - di - 1,1hm - 1,m - 1+i +
i - 2\sum
t=0
dt1Pti
\Bigr)
hm - 1,m+idj - i - 1,i+2, (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
О МЕРОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1239
где dt1 = dt1(Bm - 1), Pti = Pti
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
— некоторые многочлены от
hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1), p = t+1, t+2, . . . , i, s = t+2, t+3, . . . , i, \nu \leq i - 1, i = 2, 3, . . . , j - 1,
t = 0, 1, . . . , i - 2, степени не больше 1 по каждой из hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1). Группируя в
(49) слагаемые, содержащие di1 = di1(Bm - 1), i = 0, 1, . . . , j - 1, получаем (d0i = 1)
Qj(Bm - 1, hm - 1) = dj,1(Bm - 1) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)P
\ast
ij
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
, (50)
где P \ast
ij
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
— некоторые многочлены от hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1), p =
= i+ 1, i+ 2, . . . , j, s = i+ 2, i+ 3, . . . , j, \nu \leq j - 1, i = 0, 1, . . . , j - 1, степени не больше 1
по каждой из hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1).
Преобразуем сумму в правой части (48)
\bigl(
Q1(Bm - 1, hm - 1) = d11 - hm - 1,m
\bigr)
:
j - 1\sum
i=1
Qi(Bm - 1, hm - 1)dj - i,i+2(Bm - 1)
(19)
= (d11 - hm - 1,m)dj - 1,3+
+
j - 1\sum
i=2
\Biggl(
di1 - di - 1,1hm - 1,m - 1+i +
i - 2\sum
t=0
dt1Pti
\Biggr)
dj - i,i+2 =
=
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)P
\star
ij
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
, d01(Bm - 1) = 1, (51)
где Pti = Pti
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
— разные многочлены от hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1)
степени не больше 1 по каждой переменной, p = t + 1, t + 2, . . . , i, s = t + 2, t + 3, . . . , i,
\nu \leq i - 1, i = 2, 3, . . . , j - 1, t = 0, 1, . . . , i - 2, P \star
ij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)) — разные
многочлены от hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1), степени не больше 1 по каждой из hm - 1,m - 1+p и
d\nu ,s(Bm - 1), p = i+ 1, i+ 2, . . . , j, s = i+ 2, i+ 3, . . . , j + 1, \nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1.
Подставляя (50), (51) в (48) и группируя слагаемые с di1(Bm - 1), i = 1, 2, . . . , j - 1, получаем
dj1(Bm) = dj,1(Bm - 1) + dj2(Bm - 1) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)Pij , (52)
где Pij = Pij
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,s(Bm - 1)
\bigr)
— многочлены от hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1) степени не
больше 1 по каждой из hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(Bm - 1), p = i+1, i+2, . . . , j, s = i+2, i+3, . . . , j+1,
\nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1. Но (см. (39), (31), (11)) d\nu ,s(Bm - 1)) = d\nu ,m+s - 1(A) при s \geq 2.
Поэтому
dj1(Bm) = dj,1(Bm - 1) + dj,m+1(A) +
j - 1\sum
i=0
di1(Bm - 1)Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)), (53)
где Pij
\bigl(
hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)
\bigr)
— многочлены от hm - 1,m - 1+p и d\nu ,m+s - 1(A) степени не
больше 1 по каждой из hm - 1,m - 1+p и d\nu ,m+s - 1(A), p = i+1, i+2, . . . , j, s = i+2, i+3, . . . , j+1,
\nu \leq j - 1, i = 1, 2, . . . , j - 1.
Докажем формулу (42). Если m = 1, то из (53) имеем (B0 = A, h0 =
\bigl(
w\prime
01/w01, . . .
. . . , w\prime
0n/w0n
\bigr)
, h0,p = w\prime
0p/w0p (см. (32)))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1240 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
di1(B1) = di,1(A) + di,2(A) +
i - 1\sum
t=0
dt1(A)Pti(h0,p; d\nu ,s(A)) =
= di,1(A) + di,2(A) + \~P1i, i \in \BbbN , i \leq n - 1, (54)
где \~P1i — многочлен по h0,p и d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , i, s = 1, 2, . . . , i + 1, \nu < i, степени не
больше 1 по каждой из функций.
Пусть для всех i \in \BbbN , i \leq j \leq n - m, 2 \leq m, справедливо равенство
di1(Bm - 1) = di,1(A) + di,2(A) + . . .+ di,m(A) + \~Pm - 1,i, i \leq n - m, (55)
где \~Pm - 1,i — многочлен от h0p, h1,p+1, . . . , hm - 2,m - 2+p и d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , i, s = 1, 2, . . . , i+
+m - 1, \nu < i, степени не больше 1 по каждой из hk,k+t и d\nu ,s(A).
Подставляя (55) в (53), получаем
dj1(Bm) = dj,1(A) + dj,2(A) + . . .+ dj,m(A) + dj,m+1(A) + \~Pm - 1,j+
+
j - 1\sum
i=0
(di,1(A) + . . .+ di,m(A) + \~Pm - 1,i)Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) =
= dj,1(A) + dj,2(A) + . . .+ dj,m+1(A) + \~Pm,j ,
где \~Pm,j — многочлен от h0p, h1,p+1, . . . , hm - 1,m - 1+p и d\nu ,s(A), p = 1, 2, . . . , j, s = 1, 2, . . . , j+
+ m, \nu < j, степени не больше 1 по каждой из hk,k+t и d\nu ,s(A). Здесь мы учли, что \~Pm - 1,i
содержит d\nu ,s(A) с индексами s = 1, 2, . . . , i + m - 1, а в Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A))
входят d\nu ,m+s - 1(A) с индексами s = i + 2, i + 3, . . . , j + 1. Далее, в \~Pm - 1,i входят также
h0p, h1,p+1, . . . , hm - 2,m - 2+p при p = 1, 2, . . . , i, а в Pij(hm - 1,m - 1+p, d\nu ,m+s - 1(A)) —
hm - 1,m - 1+p с индексами p = i+ 1, i+ 2, . . . , j.
Лемма 3 доказана.
Литература
1. Hengartner W. Über die Wachstumsordnung eines linearen Systems von Differentialgleichungen mit ganzen
Funktionen als Koeffizienten // Comment. Math. Helv. – 1967. – 42, № 1. – С. 60 – 80.
2. Steinmetz N. Nevanlinna theory, normal families, and algebraic differential equations. – Springer Int. Publ. AG,
2017. – 235 p.
3. Мохонько А. А. Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности логарифми-
ческой особой точки // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – С. 476 – 483.
4. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
5. Мохонько А. З., Мохонько В. Д. Оценки неванлинновских характеристик некоторых классов мероморфных
функций и их приложения к дифференциальным уравнениям // Сиб. мат. журн. – 1974. – 15, № 6. – C. 1305 –
1322.
6. Мохонько А. З. Поле алгеброидных функций и оценки их неванлинновских характеристик // Сиб. мат. журн. –
1981. – 22, № 3. – С. 213 – 218.
7. Хейман У. К. Мероморфные функции. – М.: Изд-во иностр. лит., 1966. – 287 с.
Получено 15.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1511 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f7/da9f2dc04628c9b19a4968135a0b23f7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15112019-12-05T08:57:49Z On meromorphic solutions of the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients О мероморфных решениях систем линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. UDC 517.925.7 For systems of linear differential equations whose dimension can be decreased, we establish estimates for the growth of meromorphic vector solutions. As an essentially new feature, we can mention the fact that no additional restrictions are imposed on the order of growth of coefficients of the system. УДК 517.925.7 Для системи лінійних диференціальних рівнянь, що допускають зниження размірності, отримано оцінки зростання мероморфних вектор-розв'язків без обмежень на порядок зростання коефіцієнтів системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1511 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1227-1240 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1227-1240 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1511/495 Copyright (c) 2019 Mokhonko A. Z.; Mokhonko A. A. |
| spellingShingle | Mokhonko, A. Z. Mokhonko, A. A. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. Мохонько, А. З. Мохонько, А. А. On meromorphic solutions of the systems of linear differential equations with meromorphic coefficients |
| title | On meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| title_alt | О мероморфных решениях систем линейных
дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами |
| title_full | On meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| title_fullStr | On meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| title_full_unstemmed | On meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| title_short | On meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| title_sort | on meromorphic solutions of the systems of linear differential
equations with meromorphic coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1511 |
| work_keys_str_mv | AT mokhonkoaz onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mokhonkoaa onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaz onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaa onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaz onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mohonʹkoaa onmeromorphicsolutionsofthesystemsoflineardifferentialequationswithmeromorphiccoefficients AT mokhonkoaz omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami AT mokhonkoaa omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami AT mohonʹkoaz omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami AT mohonʹkoaa omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami AT mohonʹkoaz omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami AT mohonʹkoaa omeromorfnyhrešeniâhsistemlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmeromorfnymikoéfficientami |