Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional equations with constant and linear delays
UDC 517.929 We establish asymptotic bounds for the solutions of functional and differential-functional equations with linearly transformed arguments and constant delays.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1513 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507310918467584 |
|---|---|
| author | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. |
| author_facet | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. |
| author_sort | Bel’skii, D. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-20T09:01:51Z |
| description | UDC 517.929
We establish asymptotic bounds for the solutions of functional and differential-functional equations with linearly transformed arguments and constant delays. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ
We establish asymptotic bounds for the solutions of functional and differential-functional equations with linearly transformed
arguments and constant delays.
Встановлено асимптотичнi границi розв’язкiв функцiонального та диференцiально-функцiонального рiвнянь з лiнiй-
но перетвореними аргументами i сталими запiзненнями.
В данной работе рассматриваются уравнения
x(t) = a1x (t - r1) + . . .+ an0x (t - rn0) + b1x (q1t) + . . .+ bn1x (qn1t) + f(t), (1)
где \{ ak, bk\} \subset \mathrm{C}, rk > 0, 0 < qk < 1, и
x\prime (t) =
n0\sum
k=1
akx (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkx
\prime (t - r1,k) +
m0\sum
k=1
pkx (q0,kt) +
m1\sum
k=1
hkx
\prime (q1,kt) + f(t), (2)
где \{ pk, hk\} \subset \mathrm{C}, r0,k \geq 0, r1,k > 0, 0 < q0,k, q1,k < 1, частные случаи которых изучались
многими математиками. Так, в [1, 3, 18] исследовалось уравнение
y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x),
в [2, 23, 24] установлены новые свойства решений уравнения
y\prime (x) = ay(\lambda x),
в [4, 6, 14 – 17] построены представления общего решения и асимптотические формулы для
решений уравнения
x\prime (t) = ax(t) + px(qt) + hx\prime (qt),
в [19] исследовались системы линейных дифференциальных уравнений с бесконечным числом
линейных запаздываний, в [27, 28] изучались нелинейные системы дифференциальных уравне-
ний с одним линейным запаздыванием, в [5] получен ряд новых результатов о существовании
ограниченных и финитных решений уравнений с линейно преобразованным аргументом, в [7]
доказано существование решений уравнения
x\prime (t) = F (x(2t))
с периодическим модулем, в [8] изучалось асимптотическое поведение решений систем урав-
нений
x\prime (t) = a(t)x(t) + b(t)x(t - r) + p(t)x(qt),
в [9, 10] определены мажоранты для решений уравнения
x\prime (t) = ax(t) + bx(t - r) + cx\prime (t - r) + px(qt) + hx\prime (qt),
c\bigcirc Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9 1249
1250 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
в [11, 12] установлены достаточные условия асимптотической устойчивости систем дифферен-
циальных уравнений
x\prime (t) = ax(t) + bx(t - r) + px(qt)
и разработан метод их стабилизации, в [20 – 22] исследовались функциональные и дифференци-
ально-функциональные уравнения с конечным числом постоянных и линейных запаздываний,
в [25, 26] получены асимптотические границы решений уравнения
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt) + f(t)
при a < 0 и a > 0, широкий класс дифференциально-функциональных уравнений нейтраль-
ного типа с линейным отклонением аргумента и особенностью при производной изучался в
большом цикле работ (см. [32 – 36] и приведенную там библиографию).
Один из наиболее сложных частных случаев функционального уравнения (1)
x(t) = x (t - 1) + bx (qt)
исследовался в [22].
Дифференциальные уравнения с линейным отклонением аргумента, в которых нет зави-
симости от производной искомой функции с запаздывающим аргументом, находят широкие
приложения в различных областях науки и техники (см. [13] и приведенную в ней библио-
графию). Нелинейное дифференциальное уравнение с линейным запаздыванием нейтрального
типа появилось в [37], где описан класс автомодельных потенциалов в уравнении Шредингера
и частично изучены собственные функции операторов симметрии, называемые когерентными
состояниями. Некоторые из этих когерентных состояний (например, состояния Юрке – Столера)
имеют практическое применение. Это нелинейное уравнение в окрестности постоянных реше-
ний изучалось в [21].
Несмотря на это многие вопросы теории функциональных и дифференциально-функцио-
нальных уравнений вида (1), (2) изучены мало. Это прежде всего касается асимптотических
свойств решений этих уравнений в окрестности особой точки t = +\infty . Поэтому основной
целью данной работы является изучение уравнения (1) и продолжение исследования, нача-
того в [11], по установлению новых свойств решений уравнения (2) при достаточно общих
предположениях относительно коэффициентов.
В дальнейшем числа Mi — неотрицательные постоянные.
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма [26]. Пусть:
1) \mu < 0, \gamma > 0 и l — комплексное число такое, что | l| = e\gamma \mu ;
2) W (s) — решение разностного уравнения
W (s) - lW (s+ \mu ) = G(s),
где G(s) — непрерывная функция такая, что
| G(s)| \leq M1e
- \beta s, s \geq s0,
для некоторых положительных величин \beta , s0 и | W (s)| \leq M2 для s \in [s0 + \mu , s0] .
Тогда:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1251
1) | W (s)| \leq M3e
- \gamma s, s \geq s0, если \gamma < \beta ;
2) | W (s)| \leq M3se
- \gamma s, s \geq s0, если \gamma = \beta ;
3) | W (s)| \leq M3e
- \beta s, s \geq s0, если \gamma > \beta .
Пусть Y (t) — решение задачи
Y (t) = a1Y (t - r1) + . . .+ an0Y (t - rn0) + 1, t \geq 0,
Y (t) = 0, t < 0,
где 0 < r1 < r2 < . . . < rn0
df
= r < +\infty . Функция Y (t), как известно [29] (гл. 12), удовлетворяет
условию
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [t - r,t]
Y (s) \leq Ke\alpha t,
где \alpha > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \mathrm{R}\mathrm{e} z | 1 - a1e
- zr1 - . . . - ane
- zrn0 = 0\} df
=\alpha D, а K — некоторая постоянная.
Теорема 1. Пусть:
1) выполняется условие \alpha D < 0;
2) параметры v \in \mathrm{R} и j \in \{ 0, 1, 2, . . .\} удовлетворяют неравенствам
v > \beta
df
=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 =
b1e
\lambda ln q1 + . . .+ bn1e
\lambda ln qn1
1 - a1 - . . . - an0
\biggr\}
,\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| b1qj+v
1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
j+v
n1
\bigm| \bigm| \Bigr) < 1;
3) функция f(t) \in Cj(0,+\infty ), f (m)(t) = O(t\alpha - m), t \rightarrow +\infty , \alpha \in \mathrm{R}, m = 0, j, и v \geq \alpha .
Тогда для каждого j раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (1) вы-
полняется оценка x(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty .
Доказательство. Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения (1) j
раз, получаем j + 1 дифференциальное уравнение
x(m)(t) = a1x
(m) (t - r1) + . . .+ an0x
(m) (t - rn0) + b1q
m
1 x(m) (q1t) + . . .+ bn1q
m
n1
x(m) (qn1t)+
+f (m)(t), m = 0, j.
Выполняя при m = j замену переменных x(j)(t) = tvy(t), приходим к уравнению
y(t) = a1y (t - r1) + . . .+ an0y (t - rn0) + b1q
j+v
1 y (q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y (qn1t)+
+a1
\Bigl( \Bigl(
1 - r1
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - r1) + . . .+ an0
\Bigl( \Bigl(
1 - rn0
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - rn0) + t - vf (j)(t).
Запишем его в интегральной форме
y(t) = - a1
t0\int
t0 - r1
[d\theta Y (t - \theta - r1)] y (\theta ) - . . . - an0
t0\int
t0 - rn0
[d\theta Y (t - \theta - rn0)] y (\theta ) -
-
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )]
\Bigl(
b1q
j+v
1 y (q1\theta ) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y (qn1\theta )
\Bigr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1252 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+b1q
j+v
1 y (q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y (qn1t) -
-
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )]
\Bigl(
a1
\Bigl( \Bigl(
1 - r1
\theta
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (\theta - r1) + . . .+ an0
\Bigl( \Bigl(
1 - rn0
\theta
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (\theta - rn0)
\Bigr)
+
+a1
\Bigl( \Bigl(
1 - r1
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - r1) + . . .+ an0
\Bigl( \Bigl(
1 - rn0
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - rn0) -
-
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )] \theta - vf (j)(\theta ) + t - vf (j)(t).
Разобьем правую часть последнего уравнения на четыре группы слагаемых и оценим каждую
из них отдельно, приняв во внимание первое и третье условия теоремы:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - a1
t0\int
t0 - r1
[d\theta Y (t - \theta - r1)] y (\theta ) - . . . - an0
t0\int
t0 - rn0
[d\theta Y (t - \theta - rn0)] y (\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq M \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| ,
где M — некоторая константа,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| -
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )]
\Bigl(
b1q
j+v
1 y (q1\theta ) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y (qn1\theta )
\Bigr)
+
+b1q
j+v
1 y (q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y (qn1t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| b1qj+v
1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
j+v
n1
\bigm| \bigm| \Bigr) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| .
Пусть t0 \geq T, где T — некоторый параметр. Обозначим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T
\Bigl(
| a1|
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( 1 - r1
t
\Bigr) v
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+ | an0 |
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( 1 - rn0
t
\Bigr) v
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) df
= l(T ),
тогда\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| -
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )]
\Bigl(
a1
\Bigl( \Bigl(
1 - r1
\theta
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (\theta - r1) + . . .+ an0
\Bigl( \Bigl(
1 - rn0
\theta
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (\theta - rn0)
\Bigr)
+
+a1
\Bigl( \Bigl(
1 - r1
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - r1) + . . .+ an0
\Bigl( \Bigl(
1 - rn0
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y (t - rn0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr)
l(T ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1253\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| -
t\int
t0
[d\theta Y (t - \theta )] \theta - vf (j)(\theta ) + t - vf (j)(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M4, t \geq t0.
Теперь можно записать оценку для y(t):
| y(t)| \leq (M + 1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M4+
+
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| b1qj+v
1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
j+v
n1
\bigm| \bigm| + l(T )
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| , t \geq t0 \geq T.
Функция в правой части является неубывающей, поэтому из последнего неравенства следует
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| \leq (M + 1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M4 +
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr)
\times
\times
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| b1qj+v
1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
j+v
n1
\bigm| \bigm| + l(T )
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| .
Поскольку по условию теоремы
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| b1qj+v
1
\bigm| \bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| \bigm| bn1q
j+v
n1
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) < 1
и l(T ) \rightarrow 0, T \rightarrow +\infty , то можем считать T настолько большим, что выполняется соотно-
шение \biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \bigl( \bigm| \bigm| b1qm+v
1
\bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
m+v
n1
\bigm| \bigm| + l(T )
\bigr)
< 1.
Тогда имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| \leq
(M + 1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M4
1 -
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \bigl( \bigm| \bigm| b1qm+v
1
\bigm| \bigm| + . . .+
\bigm| \bigm| bn1q
m+v
n1
\bigm| \bigm| + l(T )
\bigr) ,
откуда получаем x(j)(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty .
Обратимся к уравнению для производной (j - 1)-го порядка. Запишем его в виде
x(j - 1)(t) =
b1q
j - 1
1 x(j - 1) (q1t) + . . .+ bn1q
j - 1
n1 x(j - 1) (qn1t)
1 - a1 - . . . - an0
+
+
a1
\bigl(
x(j - 1) (t - r1) - x(j - 1)(t)
\bigr)
+ . . .+ an0
\bigl(
x(j - 1) (t - rn0) - x(j - 1)(t)
\bigr)
+ f (j - 1)(t)
1 - a1 - . . . - an0
.
Для краткости обозначим
g(t)
df
=
a1
\bigl(
x(j - 1) (t - r1) - x(j - 1)(t)
\bigr)
+ . . .+ an0
\bigl(
x(j - 1) (t - rn0) - x(j - 1)(t)
\bigr)
+ f (j - 1)(t)
1 - a1 - . . . - an0
и, соответственно,
x(j - 1)(t) =
b1q
j - 1
1 x(j - 1) (q1t) + . . .+ bn1q
j - 1
n1 x(j - 1) (qn1t)
1 - a1 - . . . - an0
+ g(t). (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1254 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Оценим функцию g(t). Для этого запишем ее с помощью теоремы Лагранжа следующим
образом:
g(t) =
- a1x
(j) (t - \theta 1,j(t)r1) r1 - . . . - an0x
(j) (t - \theta n0,j(t)rn0) rn0 + f (j - 1)(t)
1 - a1 - . . . - an0
,
где 0 < \theta k,j(t) < 1, k = 1, n0. С учетом мажоранты для x(j)(t) и третьего условия теоремы
функцию g(t) можно оценить так: g(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty . Выполняя в уравнении (3) замену
переменных x(j - 1)(t) = tvy(t), получаем
y(t) =
b1q
j - 1+v
1 y (q1t) + . . .+ bn1q
j - 1+v
n1 y (qn1t)
1 - a1 - . . . - an0
+ t - vg(t).
С помощью замены y(t) = z(\mathrm{l}\mathrm{n} t) перейдем к разностному уравнению
z(\tau ) =
b1q
j - 1+v
1 z (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} q1) + . . .+ bn1q
j - 1+v
n1 z (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} qn1)
1 - a1 - . . . - an0
+ e - v\tau g (e\tau ),
\tau = \mathrm{l}\mathrm{n} t \geq \tau 0 = \mathrm{l}\mathrm{n} t0.
По условию теоремы v > \beta . Следовательно, для однородного разностного уравнения
w(\tau ) =
b1q
j - 1+v
1 w (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} q1) + . . .+ bn1q
j - 1+v
n1 w (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} qn1)
1 - a1 - . . . - an0
верхняя граница действительных частей корней характеристического уравнения удовлетворяет
условию
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 =
b1q
j - 1+v
1 e\lambda ln q1 + . . .+ bn1q
j - 1+v
n1 e\lambda ln qn1
1 - a1 - . . . - an0
\Biggr\}
= \beta - v - (j - 1) < 0.
Следовательно, разностное уравнение для функции w(\tau ) асимптотически устойчиво. Обозна-
чим его фундаментальное решение символом Zv+j - 1(\tau ) и запишем z(\tau ) в интегральной форме
z (\tau ) =
b1q
j - 1+v
1
1 -
\sum n0
j=1 aj
\tau 0\int
\tau 0+ln q1
[d\theta Zv+j - 1 (\tau - \theta + \mathrm{l}\mathrm{n} q1)] z (\theta ) + . . .
. . .+
bn1q
j - 1+v
n1
1 -
\sum n0
j=1
aj
\tau 0\int
\tau 0+ln qn1
[d\theta Zv+j - 1 (\tau - \theta + \mathrm{l}\mathrm{n} qn1)] z (\theta ) -
-
\tau \int
\tau 0
[dsZv+j - 1(\tau - s)] e - vsg (es) + e - v\tau g (e\tau ).
С учетом мажоранты для g(t) оценим модуль решения:
| z (\tau )| \leq \Lambda j - 1
1
tv0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
\bigm| \bigm| \bigm| x(j - 1)(s)
\bigm| \bigm| \bigm| + \biggl( \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Zv+j - 1(s) + 1
\biggr)
M5, \tau \geq \tau 0,
где \Lambda j - 1 — некоторая константа, или | y(t)| \leq M6, t \geq r (t0). Отсюда получаем x(j - 1)(t) =
= O(tv), t \rightarrow +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1255
Действуя аналогичным образом в случае производных меньшего порядка, получаем следу-
ющий результат: x(m)(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty , m = 0, j.
Теорема 1 доказана.
Отдельно рассмотрим частный случай уравнения (1)
x(t) = a1x (t - r1) + . . .+ an0x (t - rn0) + bx (qt) + f(t). (4)
Теорема 2. Пусть:
1) \alpha D < 0, b \not = 0 и v0
df
=
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| b
1 - a1 - . . . - an0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ;
2) параметр j \in \mathrm{N}
\bigcup
\{ 0\} удовлетворяет неравенству
\biggl(
\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
Y (s) + 1
\biggr) \bigm| \bigm| bqj+v0
\bigm| \bigm| < 1;
3) функция f(t) \in Cj+1(0,+\infty ) и f (m)(t) = O(t\alpha - m), t \rightarrow +\infty , \alpha \in \mathrm{R}, m = 0, j + 1.
Тогда для каждого j + 1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (4)
выполняются оценки:
I) x(t) = O(tv0), t \rightarrow +\infty , если \alpha < v0;
II) x(t) = O(tv0 \mathrm{l}\mathrm{n} t), t \rightarrow +\infty , если \alpha = v0;
III) x(t) = O(t\alpha ), t \rightarrow +\infty , если \alpha > v0.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1, запишем уравнение (4) в виде
x(t) =
bx (qt)
1 - a1 - . . . - an0
+
a1 (x (t - r1) - x(t)) + . . .+ an0 (x (t - rn0) - x(t))
1 - a1 - . . . - an0
+
+
f(t)
1 - a1 - . . . - an0
.
Вводя обозначение g(t)
df
=
a1 (x (t - r1) - x(t)) + . . .+ an0 (x (t - rn0) - x(t))
1 - a1 - . . . - an0
, получаем
x(t) =
bx (qt)
1 - a1 - . . . - an0
+ g(t) +
f(t)
1 - a1 - . . . - an0
. (5)
Для последующей оценки функции g(t) представим ее с помощью теоремы Лагранжа следую-
щим образом:
g(t) =
- a1x
\prime (t - \theta 1(t)r1) r1 - . . . - an0x
\prime (t - \theta n0(t)rn0) rn0
1 - a1 - . . . - an0
,
где 0 < \theta k(t) < 1, k = 1, n0. В силу теоремы 1
x(t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0+\varepsilon ,\alpha \}
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon
\Bigr)
, t \rightarrow \infty ,
где \varepsilon > 0 — произвольная величина. Если применить теорему 1 к уравнению
x\prime (t) = a1x
\prime (t - r1) + . . .+ an0x
\prime (t - rn0) + bqx\prime (qt) + f \prime (t),
то аналогично для производной получим оценку
x\prime (t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0 - 1+\varepsilon ,\alpha - 1\}
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0+\varepsilon ,\alpha \} - 1
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon - 1
\Bigr)
, t \rightarrow \infty .
Отсюда следует равенство g(t) = O
\bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon - 1
\bigr)
, t \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1256 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Определим для краткости h
df
=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ v0, \alpha \} + \varepsilon , \mu
df
= \mathrm{l}\mathrm{n} q и выполним в уравнении (5) замену
переменных x(t) = thW (\mathrm{l}\mathrm{n} t), t = es :
W (s) -
\Biggl(
1 -
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
bqhW (s+ \mu ) = e - hsg (es) +
\Biggl(
1 -
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
e - hsf (es).
Обозначим l
df
=
\Bigl(
1 -
\sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
bqh, G(s)
df
= e - hsg (es) +
\Bigl(
1 -
\sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
e - hsf (es), тогда
W (s) - lW (s+ \mu ) = G(s),
где | l| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( 1 - \sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
bqh
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = e(h - v0)\mu и | G(s)| \leq M7e
- s + M8e
(\alpha - h)s. Дальнейшие
рассуждения доказательства теоремы 2 дословно повторяют рассуждения из [26].
Случай I: \alpha < v0. Если v0 < \alpha + 1, выберем h так, чтобы v0 < h < \alpha + 1. Тогда
| G(s)| \leq (M7 +M8) e
(\alpha - h)s, s \geq s0. Определим \gamma
df
=h - v0, \beta
df
=h - \alpha . Тогда \gamma < \beta . Из леммы
получаем | W (s)| \leq M9e
(v0 - h)s, s \geq s0, т. е. x(t) = ehsW (s) = O(tv0), t \rightarrow +\infty .
Если v0 \geq \alpha + 1, выберем h = v0 +
1
2
. Тогда | G(s)| \leq (M7 +M8) e
- s, s \geq s0. Определим
\gamma
df
=h - v0, \beta
df
=1. Тогда \gamma < \beta . Из леммы получаем | W (s)| \leq M10e
(v0 - h)s, s \geq s0, т. е.
x(t) = O(tv0), t \rightarrow +\infty .
Случай II: \alpha = v0. Выберем h = v0 +
1
2
. Тогда | G(s)| \leq (M7 +M8) e
(\alpha - h)s, s \geq s0. Из
леммы получаем | W (s)| \leq M11se
(v0 - h)s, s \geq s0, т. е. x(t) = O(tv0 \mathrm{l}\mathrm{n} t), t \rightarrow +\infty .
Случай III: \alpha > v0. Выберем h = \alpha +
1
2
. Тогда | G(s)| \leq (M7 +M8) e
(\alpha - h)s, s \geq s0, и
\gamma
df
=h - v0 > \beta
df
=h - \alpha . Из леммы получаем | W (s)| \leq M12e
(\alpha - h)s, s \geq s0, т. е. x(t) = O(t\alpha ),
t \rightarrow +\infty .
Теорема 2 доказана.
Для фундаментального решения дифференциально-разностного уравнения
x\prime (t) =
n0\sum
k=1
akx (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkx
\prime (t - r1,k)
(обозначим его символом X(t)) справедливы оценки [29] (гл. 1, 12)
| X(t)| \leq k1e
\alpha t, \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
[t - rmax,t]
X \leq k2e
\alpha t, t \geq 0, (6)
где \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \lambda \Bigl( 1 - \sum n1
k=1
bke
- \lambda r1,k
\Bigr)
-
\sum n0
k=1
ake
- \lambda r0,k = 0
\Bigr\}
df
=\alpha 0 < \alpha , k1 и k2 — некото-
рые постоянные, rmax
df
=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ r0,k, r1,k\} .
Теорема 3. Пусть:
1) выполняется условие \alpha 0 < 0;
2) параметры v \in R и j \in \{ 0, 1, 2, . . .\} удовлетворяют неравенствам
v > \beta
df
=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{ \mathrm{R}\mathrm{e}\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 = -
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
m0\sum
k=1
pke
\mu ln q0,k
\right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1257
m0\sum
k=1
| pk| qv+j
0,k
+\infty \int
0
| X(s)| ds+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k +
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s) < 1;
3) функция f(t) \in Cj(0,+\infty ), f (m)(t) = O(t\alpha - m), t \rightarrow +\infty , \alpha \in \mathrm{R}, m = 0, j, и v \geq \alpha .
Тогда для каждого j + 1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (2)
выполняется оценка x(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty .
Доказательство. Из условия \alpha 0 < 0 получаем неравенство
\sum n0
k=1
ak \not = 0. Поэтому из
условия \alpha 0 < 0 и неравенств (6) следует справедливость второго условия теоремы для некото-
рых v и j.
Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения (2) j раз, получаем j+1
уравнение
x(m+1)(t) =
n0\sum
k=1
akx
(m) (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkx
(m+1) (t - r1,k)+
+
m0\sum
k=1
pkq
m
0,kx
(m) (q0,kt) +
m1\sum
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1) (q1,kt) + f (m)(t), m = 0, j.
При m = j для производной x(j)(t) выполним замену переменных x(j)(t) = tvy(t). Тогда
получим
y\prime (t) =
n0\sum
k=1
aky (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bky
\prime (t - r1,k) +
m0\sum
k=1
pkq
v+j
0,k y (q0,kt) +
m1\sum
k=1
hkq
v+j
1,k y\prime (q1,kt)+
+
n0\sum
k=1
ak
\Bigl[ \Bigl(
1 -
r0,k
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr]
y (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkv
\Bigl(
1 -
r1,k
t
\Bigr) v - 1 1
t
y (t - r1,k)+
+
n1\sum
k=1
bk
\Bigl[ \Bigl(
1 -
r1,k
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr]
y\prime (t - r1,k) +
m1\sum
k=1
hkvq
v+j - 1
1,k
1
t
y (q1,kt) - v
1
t
y(t) + t - vf (j)(t).
Запишем это уравнение в интегральной форме
y(t) = X(t - t0)
\Biggl(
y(t0) -
n1\sum
k=1
bky (t0 - r1,k)
\Biggr)
+
n0\sum
k=1
ak
t0\int
t0 - r0,k
X(t - \theta - r0,k)y(\theta )d\theta -
-
n1\sum
k=1
bk
t0\int
t0 - r1,k
y(\theta )dX(t - \theta - r1,k) - X(t - t0)
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k y(q1,kt0) -
- X(t - t0)
n1\sum
k=1
bk
\biggl( \biggl(
1 -
r1,k
t0
\biggr) v
- 1
\biggr)
y(t0 - r1,k)+
+
m0\sum
k=1
pkq
v+j
0,k
t\int
t0
X(t - s)y (q0,ks) ds+
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k y(q1,kt) -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1258 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
-
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k
t\int
t0
y(q1,ks)dX(t - s)+
+
n0\sum
k=1
ak
t\int
t0
X(t - s)
\Bigl[ \Bigl(
1 -
r0,k
s
\Bigr) v
- 1
\Bigr]
y (s - r0,k) ds+
+
n1\sum
k=1
bkv
t\int
t0
X(t - s)
\Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v - 1 1
s
y (s - r1,k) ds+
+
n1\sum
k=1
bk
\Bigl( \Bigl(
1 -
r1,k
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y(t - r1,k) -
-
t\int
t0
X(t - s)
\Biggl[
n1\sum
k=1
bkv
\Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v - 1 r1,k
s2
y(s - r1,k)
\Biggr]
ds -
-
n1\sum
k=1
bk
t\int
t0
\Bigl( \Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y(s - r1,k)dX(t - s)+
+
m1\sum
k=1
hkvq
v+j - 1
1,k
t\int
t0
X(t - s)
1
s
y (q1,ks) ds - v
t\int
t0
X(t - s)
1
s
y(s)ds+
+
t\int
t0
X(t - s)s - vf (j)(s)ds, t \geq t0.
Учитывая (6) и третье условие теоремы, имеем\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X(t - t0)
\Biggl(
y(t0) -
n1\sum
k=1
bky (t0 - r1,k)
\Biggr)
+
n0\sum
k=1
ak
t0\int
t0 - r0,k
X(t - \theta - r0,k)y(\theta )d\theta -
-
n1\sum
k=1
bk
t0\int
t0 - r1,k
y(\theta )dX(t - \theta - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k X(t - t0)y(q1,kt0) - X(t - t0)
n1\sum
k=1
bk
\biggl( \biggl(
1 -
r1,k
t0
\biggr) v
- 1
\biggr)
y(t0 - r1,k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\left( | X(t - t0)|
\Biggl(
1 +
n1\sum
k=1
| bk|
\Biggr)
+
n0\sum
k=1
| ak|
t0\int
t0 - r0,k
| X(t - \theta - r0,k)| d\theta +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1259
+
n1\sum
k=1
| bk| \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [t - t0 - r1,k,t - t0]
X(s)+
+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k | X(t - t0)| + | X(t - t0)|
n1\sum
k=1
| bk|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1 - r1,k
t0
\biggr) v
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| \leq
\leq M(T ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| ,
где t0 \geq T, M(T ) — некоторые константы,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m0\sum
k=1
pkq
v+j
0,k
t\int
t0
X(t - s)y (q0,ks) ds+
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k y(q1,kt) -
-
m1\sum
k=1
hkq
v+j - 1
1,k
t\int
t0
y(q1,ks)dX(t - s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\left( m0\sum
k=1
| pk| qv+j
0,k
+\infty \int
0
| X(s)| ds+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k +
+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s)
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n0\sum
k=1
ak
t\int
t0
X(t - s)
\Bigl[ \Bigl(
1 -
r0,k
s
\Bigr) v
- 1
\Bigr]
y (s - r0,k) ds+
+
n1\sum
k=1
bkv
t\int
t0
X(t - s)
\Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v - 1 1
s
y (s - r1,k) ds+
+
n1\sum
k=1
bk
\Bigl( \Bigl(
1 -
r1,k
t
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y(t - r1,k) -
-
t\int
t0
X(t - s)
\Biggl[
n1\sum
k=1
bkv
\Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v - 1 r1,k
s2
y(s - r1,k)
\Biggr]
ds -
-
n1\sum
k=1
bk
t\int
t0
\Bigl( \Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v
- 1
\Bigr)
y(s - r1,k)dX(t - s)+
+
m1\sum
k=1
hkvq
v+j - 1
1,k
t\int
t0
X(t - s)
1
s
y (q1,ks) ds - v
t\int
t0
X(t - s)
1
s
y(s)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1260 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
\leq
\left( n0\sum
k=1
| ak|
t\int
t0
\bigm| \bigm| \bigm| X(t - s)
\Bigl[ \Bigl(
1 -
r0,k
s
\Bigr) v
- 1
\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| ds+ n1\sum
k=1
| bkv|
t\int
t0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X(t - s)
\Bigl(
1 -
r1,k
s
\Bigr) v - 1 1
s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ds+
+
n1\sum
k=1
| bk|
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( 1 - r1,k
t
\Bigr) v
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| + t\int
t0
| X(t - s)|
n1\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| bkv \Bigl( 1 - r1,k
s
\Bigr) v - 1 r1,k
s2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ds+
+
n1\sum
k=1
| bk| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\geq t0
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( 1 - r1,k
s
\Bigr) v
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s)+
+
m1\sum
k=1
| hkv| qv+j - 1
1,k
t\int
t0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X(t - s)
1
s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ds+
+ | v|
t\int
t0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X(t - s)
1
s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ds
\right) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| df= l(T, t) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| ,
где t0 \geq T, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq T l(T, t) \rightarrow 0, T \rightarrow +\infty ;\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t0
X(t - s)s - vf (j)(s)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M12
для всех t \geq t0. Следовательно, справедливо соотношение
| y(t)| \leq M(T ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M12 +
\left( m0\sum
k=1
| pk| qv+j
0,k
+\infty \int
0
| X(s)| ds+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k +
+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T
l(T, t)
\right) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| .
Поскольку M(T ) \geq 1 и функция в правой части является неубывающей, то получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| \leq M(T ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M12 +
\left( m0\sum
k=1
| pk| qv+j
0,k
+\infty \int
0
| X(s)| ds+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k +
+
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T
l(T, t)
\right) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| .
Отсюда (в силу второго условия теоремы) при достаточно большом T находим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t]
| y(s)| \leq
\left( 1 -
m0\sum
k=1
| pk| qv+j
0,k
+\infty \int
0
| X(s)| ds -
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k -
-
m1\sum
k=1
| hk| qv+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s) - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T
l(T, t)
\Biggr) - 1\Biggl(
M(T ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [r(t0),t0]
| y(s)| +M12
\Biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1261
и, следовательно, x(j)(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty .
Для 0 \leq m \leq j - 1 предположим, что x(m+1)(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty . Запишем дифференци-
альное уравнение для x(m)(t) в другой форме
x(m)(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1 m0\sum
k=1
pkq
m
0,kx
(m) (q0,kt) +
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
\times
\times
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Bigl(
x(m)(t) - x(m) (t - r0,k)
\Bigr)
+ x(m+1)(t) -
n1\sum
k=1
bkx
(m+1) (t - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1) (q1,kt) - f (m)(t)
\Biggr)
.
С помощью теоремы Лагранжа запишем разности x(m)(t) - x(m) (t - r0,k) = x(m+1)(t -
- \theta m0,k(t))r0,k, 0 < \theta m0,k(t) < r0,k. Тогда
x(m)(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1 m0\sum
k=1
pkq
m
0,kx
(m) (q0,kt) +
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
\times
\times
\Biggl(
n0\sum
k=1
akx
(m+1)
\bigl(
t - \theta m0,k(t)
\bigr)
r0,k + x(m+1)(t) -
n1\sum
k=1
bkx
(m+1) (t - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1) (q1,kt) - f (m)(t)
\Biggr)
.
Выполнив замену переменных x(m)(t) = tvy(t), получим
y(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1 m0\sum
k=1
pkq
m+v
0,k y (q0,kt) + t - v
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
\times
\times
\Biggl(
n0\sum
k=1
akx
(m+1)
\bigl(
t - \theta m0,k(t)
\bigr)
r0,k + x(m+1)(t) -
n1\sum
k=1
bkx
(m+1) (t - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1) (q1,kt) - f (m)(t)
\Biggr)
.
На основании сделанного предположения об асимптотическом поведении производной x(m+1)(t)
оценим неоднородность в уравнении для функции y(t), обозначив ее символом
g(t)
df
= t - v
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1\Biggl( n0\sum
k=1
akx
(m+1)
\bigl(
t - \theta m0,k(t)
\bigr)
r0,k + x(m+1)(t) -
n1\sum
k=1
bkx
(m+1) (t - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1) (q1,kt) - f (m)(t)
\Biggr)
,
| g(t)| \leq M13, t \geq t0 \geq T.
(7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1262 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Запишем уравнение для y(t) в новых обозначениях:
y(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1 m0\sum
k=1
pkq
m+v
0,k y (q0,kt) + g(t), t \geq t0.
Выполняя в нем замену переменных y (e\tau ) = z(\tau ), получаем
z(\tau ) = -
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
m0\sum
k=1
pkq
v+m
0,k z (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} q0,k) + g (e\tau ), \tau = \mathrm{l}\mathrm{n} t \geq \tau 0 = \mathrm{l}\mathrm{n} t0. (8)
Характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения
w(\tau ) = -
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
m0\sum
k=1
pkq
v+m
0,k w (\tau + \mathrm{l}\mathrm{n} q0,k)
имеет вид
D(\lambda )
df
=1 +
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
m0\sum
k=1
pke
(\lambda +v+m) ln q0,k = 0.
В силу второго условия теоремы имеем \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda | D(\lambda ) = 0\} = \beta - v - m < 0. Следова-
тельно, разностное уравнение для функции w(\tau ) асимптотически устойчиво. Обозначим его
фундаментальное решение символом Zv+m(\tau ) и запишем уравнение (8) в интегральной форме
z (\tau ) =
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
p1q
v+m
0,1
\tau 0\int
\tau 0+ln q0,1
[d\theta Zv+m (\tau - \theta + \mathrm{l}\mathrm{n} q0,1)] z (\theta ) + . . .
. . .+
\left( n0\sum
j=1
aj
\right) - 1
pm0q
v+m
0,m0
\tau 0\int
\tau 0+ln q0,m0
[d\theta Zv+m (\tau - \theta + \mathrm{l}\mathrm{n} q0,m0)] z (\theta ) -
-
\tau \int
\tau 0
[dsZv+m(\tau - s)] g (es) + g (e\tau ), \tau \geq \tau 0.
Учитывая (7), оцениваем модуль решения | z (\tau )| \leq M14, \tau \geq \tau 0. Отсюда получаем | y(t)| \leq
\leq M15, t \geq t0. Следовательно, x(m)(t) = O(tv), t \rightarrow +\infty . Тем самым мы доказали (методом
математической индукции) последнюю оценку для всех m = 0, j.
Теорема 3 доказана.
Рассмотрим теперь частный случай уравнения (2):
x\prime (t) =
n0\sum
k=1
akx (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkx
\prime (t - r1,k) + px (qt) +
m1\sum
k=1
hkx
\prime (q1,kt) + f(t) (9)
и докажем следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1263
Теорема 4. Пусть:
1) \alpha 0 < 0, p \not = 0 и v0
df
=
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p\Bigl( \sum n0
j=1
aj
\Bigr) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ;
2) параметр j \in \mathrm{N}
\bigcup
\{ 0\} удовлетворяет неравенству
m0\sum
k=1
| p| qv0+j
+\infty \int
0
| X(s)| ds+
m1\sum
k=1
| hk| qv0+j - 1
1,k +
m1\sum
k=1
| hk| qv0+j - 1
1,k \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}
s\in [0,+\infty )
X(s) < 1;
3) функция f(t) \in Cj+1(0,+\infty ) и f (m)(t) = O(t\alpha - m), t \rightarrow +\infty , \alpha \in \mathrm{R}, m = 0, j + 1.
Тогда для каждого j + 2 раза непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (9)
выполняются оценки:
I) x(t) = O(tv0), t \rightarrow +\infty , если \alpha < v0;
II) x(t) = O(tv0 \mathrm{l}\mathrm{n} t), t \rightarrow +\infty , если \alpha = v0;
III) x(t) = O(t\alpha ), t \rightarrow +\infty , если \alpha > v0.
Доказательство. Запишем уравнение (9) в форме
x(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
px (qt) +
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
\times
\times
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak (x(t) - x (t - r0,k)) -
n1\sum
k=1
bkx
\prime (t - r1,k) -
m1\sum
k=1
hkx
\prime (q1,kt) + x\prime (t) - f(t)
\Biggr)
.
Поскольку в силу теоремы Лагранжа имеем x(t) - x (t - r0,k) = x\prime (t - \theta 0,k(t)) r0,k, 0 <
< \theta 0,k(t) < r0,k, k = 1, n0, то уравнение (9) принимает вид
x(t) = -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
px (qt) +
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1\Biggl( n0\sum
k=1
akx
\prime (t - \theta 0,k(t)) r0,k -
n1\sum
k=1
bkx
\prime (t - r1,k) -
-
m1\sum
k=1
hkx
\prime (q1,kt) + x\prime (t)
\Biggr)
-
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
f(t)
df
=
df
= -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
px (qt) + g(t) -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
f(t). (10)
В силу теоремы 3
x(t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0+\varepsilon ,\alpha \}
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon
\Bigr)
, t \rightarrow \infty ,
где \varepsilon > 0 — произвольная величина. Если применить теорему 3 к уравнению
x\prime \prime (t) =
n0\sum
k=1
akx
\prime (t - r0,k) +
n1\sum
k=1
bkx
\prime \prime (t - r1,k) + pqx\prime (qt) +
m1\sum
k=1
hkq1,kx
\prime \prime (q1,kt) + f \prime (t),
то аналогично для производной получим оценку
x\prime (t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0 - 1+\varepsilon ,\alpha - 1\}
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0+\varepsilon ,\alpha \} - 1
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon - 1
\Bigr)
, t \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1264 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Отсюда следует равенство g(t) = O
\bigl(
tmax\{ v0,\alpha \} +\varepsilon - 1
\bigr)
, t \rightarrow \infty .
Определим для краткости h
df
=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ v0, \alpha \} +\varepsilon , \mu
df
= \mathrm{l}\mathrm{n} q и выполним в уравнении (10) замену
переменных x(t) = thW (\mathrm{l}\mathrm{n} t), t = es :
W (s) +
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
pqhW (s+ \mu ) = e - hsg (es) -
\Biggl(
n0\sum
k=1
ak
\Biggr) - 1
e - hsf (es).
Обозначим l
df
= -
\Bigl( \sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
pqh, G(s)
df
= e - hsg (es) -
\Bigl( \sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
e - hsf (es), тогда
W (s) - lW (s+ \mu ) = G(s),
где | l| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \sum n0
k=1
ak
\Bigr) - 1
pqh
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = e(h - v0)\mu и | G(s)| \leq M16e
- s +M17e
(\alpha - h)s. Дальнейшие рассуж-
дения доказательства дословно повторяют завершение доказательства теоремы 2.
Теорема 4 доказана.
Рассмотрим уравнение
\Phi \prime (t) = \beta \Phi (qt) + \zeta \Phi \prime (qt) + f(t), (11)
где \{ \beta , \zeta \} \subset \mathrm{C}, 0 < q < 1 и f : (0,+\infty ) \rightarrow \mathrm{C} — непрерывная функция.
Выполним в уравнении (11) замену \Phi (t) = y
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
:
y\prime (x) = eln q - 1\cdot x+ln| \beta | +i arg \beta +ln ln q - 1
y (x - 1)+
+
\zeta
q
y\prime (x - 1) + eln q - 1\cdot x+ln ln q - 1
f
\Bigl(
eln q - 1\cdot x
\Bigr)
, x =
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
.
Введем новые обозначения \mathrm{l}\mathrm{n} q - 1 df
= a > 0, \mathrm{l}\mathrm{n} | \beta | + i \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \beta + \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} q - 1 df
= b \in \mathrm{C},
\zeta
q
df
= c \in \mathrm{C}:
y\prime (x) = eax+by (x - 1) + cy\prime (x - 1) + eax+ln ln q - 1
f (eax). (12)
В [2, 23] вычислена функция
H(x)
df
=
1
2
a
\bigl(
x - a - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
\bigr) 2
+
\biggl(
1 + b+
1
2
a - \mathrm{l}\mathrm{n} a
\biggr)
x+
\bigl(
- 1 + a - 1 \mathrm{l}\mathrm{n} a - a - 1b
\bigr)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x -
- 1
2
a - 2x - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 x+ a - 2 (a+ b - \mathrm{l}\mathrm{n} a)x - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x,
в частности в [23] — как решение функционального уравнения
eH(x - 1) - H(x)+ax+b
H \prime (x)
= 1 +O
\biggl(
1
x2
\biggr)
, x \rightarrow +\infty .
Выполним в уравнении (12) замену y(x) = eH(x)z(x):
z\prime (x) = - H \prime (x)z(x) + eH(x - 1) - H(x)
\Bigl\{
eax+b +H \prime (x - 1)c
\Bigr\}
z(x - 1)+
+eH(x - 1) - H(x)cz\prime (x - 1) + e - H(x)eax+ln ln q - 1
f (eax).
Докажем следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1265
Теорема 5. Для непрерывно дифференцируемого решения уравнения (11) имеет место
оценка
\Phi (t) = O
\left( e
ReH
\Bigl(
ln t
ln q - 1
\Bigr) \left\{ 1 +
\Bigl[
ln t
ln q - 1
\Bigr] \sum
j=0
g (j)
\right\}
\right) , t \rightarrow +\infty ,
где g(x)
df
= e - ReH(x)
\int x+1
x
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds.
Доказательство. Определим функцию \mathrm{R}\mathrm{e}H(x)
df
=H1(x) и для краткости обозначим
\mathrm{R}\mathrm{e} b
df
= b1. Выполним в уравнении (12) замену переменных y(x) = eH1(x)z1(x) и запишем
дифференциальное уравнение для z1(x) в интегральной форме
z1(x) = eH1(x0) - H1(x)
\Bigl\{
z1 (x0) - eH1(x0 - 1) - H1(x0)cz1 (x0 - 1)
\Bigr\}
+
+
x\int
x0
eH1(s - 1) - H1(x)eas+bz1(s - 1)ds+ eH1(x - 1) - H1(x)cz1(x - 1)+
+e - H1(x)
x\int
x0
eas+ln ln q - 1
f (eas) ds.
Запишем последнее уравнение следующим образом:
z1(x) = eH1(x0) - H1(x)
\Bigl\{
z1 (x0) - eH1(x0 - 1) - H1(x0)cz1 (x0 - 1)
\Bigr\}
+
+e - H1(x)
x\int
x0
eH1(s)H \prime
1(s)
eH1(s - 1) - H1(s)+as+b1
H \prime
1(s)
eiIm bz1(s - 1)ds+ eH1(x - 1) - H1(x)cz1(x - 1)+
+e - H1(x)
x\int
x0
eas+ln ln q - 1
f (eas) ds.
Как и H(x), функция H1(x) является решением функционального уравнения
eH1(x - 1) - H1(x)+ax+b1
H \prime
1(x)
= 1 +O
\biggl(
1
x2
\biggr)
, x \rightarrow +\infty .
Отсюда получаем
z1(x) = eH1(x0) - H1(x)
\Bigl\{
z1 (x0) - eH1(x0 - 1) - H1(x0)cz1 (x0 - 1)
\Bigr\}
+
+e - H1(x)
x\int
x0
eH1(s)H \prime
1(s)
\bigl(
1 +O
\bigl(
s - 2
\bigr) \bigr)
eiIm bz1(s - 1)ds+ eH1(x - 1) - H1(x)cz1(x - 1)+
+e - H1(x)
x\int
x0
eas+ln ln q - 1
f (eas) ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1266 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Ограничим x0 \leq x \leq x0 + 1 и будем считать x0 достаточно большим, тогда
| z1(x)| \leq eH1(x0) - H1(x)
\Bigl\{
| z1 (x0)| + eH1(x0 - 1) - H1(x0) | c| | z1 (x0 - 1)|
\Bigr\}
+
+e - H1(x)
x\int
x0
eH1(s)H \prime
1(s)
\bigl(
1 + Ls - 2
\bigr)
| z1(s - 1)| ds+ eH1(x - 1) - H1(x) | c| | z1(x - 1)| +
+e - H1(x)
x\int
x0
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds \leq
\leq eH1(x0) - H1(x) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| + eH1(x0 - 1) - H1(x) | c| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| +
+e - H1(x)
x\int
x0
eH1(s)H \prime
1(s)ds
\bigl(
1 + Lx - 2
0
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| +
+eH1(x - 1) - H1(x) | c| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| +
+e - H1(x0)
x0+1\int
x0
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds =
= eH1(x0 - 1) - H1(x) | c| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| +
+
\Bigl(
1 - eH1(x0) - H1(x)
\Bigr)
Lx - 2
0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| + eH1(x - 1) - H1(x) | c| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| +
+e - H1(x0)
x0+1\int
x0
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds \leq
\leq
\Bigl(
1 + Lx - 2
0 + 2eH1(x0 - 1) - H1(x0) | c|
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| + e - H1(x0)
x0+1\int
x0
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds,
где L — некоторая константа. Легко показать, что при достаточно большом x0 выполняется
неравенство
H1 (x0 - 1) - H1 (x0) \leq - a
2
x0.
Тогда
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0\leq s\leq x0+1
| z1(s)| \leq
\Bigl(
1 + Lx - 2
0 + 2e -
a
2
x0 | c|
\Bigr)
\times
\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0 - 1\leq s\leq x0
| z1(s)| + e - H1(x0)
x0+1\int
x0
eas+ln ln q - 1 | f (eas)| ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1267
Для краткости обозначим \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x - 1\leq s\leq x | z1(s)|
df
=h(x), 1 + Lx - 2 + 2e -
a
2
x | c| df= k(x) и запишем
последнее неравенство в новых обозначениях:
h (x0 + 1) \leq k (x0)h (x0) + g (x0).
Отсюда следует
h (x0 +m+ 1) \leq
m\prod
l=0
k (x0 + l)h (x0) +
m\sum
j=1
g (x0 + j - 1)
m\prod
l=j
k (x0 + l) + g (x0 +m) \leq
\leq
+\infty \prod
l=0
k (x0 + l) \{ h (x0) + g (x0) + g (x0 + 1) + . . .+ g (x0 +m)\} =
=
+\infty \prod
l=0
k (x0 + l)h (x0) +
+\infty \prod
l=0
k (x0 + l)
m\sum
j=0
g (x0 + j)
или, полагая x0 = n и n+m \leq x < n+m+ 1,
| z1(x)| \leq
+\infty \prod
l=0
k (l)h (n) +
+\infty \prod
l=0
k (l)
m\sum
j=0
g (n+ j) \leq
+\infty \prod
l=0
k (l)h (n) +
+\infty \prod
l=0
k (l)
n+m\sum
l=0
g (l).
Теорема 5 доказана.
Приведем пример частного решения, полученного в работе [30], который позволит сделать
вывод о принципиальной связи между гладкостью решения и его асимптотическим поведением.
Назовем фундаментальным решением единственное непрерывное решение начальной
задачи
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt), t \geq t0 > 0, (13)
x(t) =
\left\{ 0, qt0 \leq t < t0,
1, t = t0,
(14)
где \{ a, b, c\} \subset \mathrm{C}, 0 < q < 1. В дальнейшем фундаментальное решение будем обозначать
символом G(t, t0).
Основываясь на представлении решений уравнения (13) рядами Дирихле в работе [31],
будем искать решение задачи (13), (14) в следующей форме:
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
Dk,le
q - la(qkt - t0), t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . . (15)
Поскольку G(t, t0) = ea(t - t0) для t \in
\bigl[
t0, q
- 1t0
\bigr]
, то D0,0 = 1. Применяя метод шагов к началь-
ной задаче (13), (14), для коэффициентов в формуле (15) получаем рекуррентные равенства
aDk,k - Dk,ka = 0,
aDk,l - qk - laDk,l = - bDk - 1,l - qk - l - 1acDk - 1,l, l = 0, 1, . . . , k - 1,
и условие непрерывности функции G(t, t0) в точках t = q - kt0 :
Dk,k = -
k - 1\sum
l=0
Dk,l, k = 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1268 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Теорема 6 [30]. Если a \not = 0, то фундаментальное решение имеет представление
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1b+ qk - l - jc
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
c+ ql - ja - 1b
1 - qj
\right) eq
- la(qkt - t0),
t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . .
(16)
Изучим некоторые частные случаи фундаментального решения (16).
Пример 1. Пусть a - 1b = - 1, c = q - 1, a < 0. Тогда для t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . ,
получаем следующую формулу фундаментального решения:
G(t, t0) = ea(t - t0) -
n\sum
k=1
q - k
\Bigl\{
eaqq
- k(qkt - t0) - eaq
- k(qkt - t0)
\Bigr\}
\leq
\leq 1 - q - n
\Bigl\{
eaqq
- n(qnt - t0) - eaq
- n(qnt - t0)
\Bigr\}
.
Аргумент в степени экспоненты в правой части последнего неравенства изменяется в пределах
0 \leq q - n(qnt - t0) \leq q - n(q - 1t0 - t0) \rightarrow +\infty , n \rightarrow +\infty ,
поэтому найдется число tn \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
такое, что q - n (qntn - t0) = 1. Отсюда получаем
неравенство
G (tn, t0) \leq 1 - q - n \{ eaq - ea\} \leq 1 - q
tn
t0
\{ eaq - ea\} .
Последнее неравенство означает, что асимптотическое поведение непрерывного, кусочно непре-
рывно дифференцируемого решения G(t, t0) отличается от поведения достаточно гладких ре-
шений в теореме 4.
Пример 2. Пусть a - 1b = - 1, c = q, a < 0. Тогда для t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . ,
получаем следующую формулу фундаментального решения:
G(t, t0) = ea(t - t0) +
n\sum
k=1
\Bigl(
ea(q
kt - t0) - eq
- 1a(qkt - t0)
\Bigr)
\geq ea(q
nt - t0) - eq
- 1a(qnt - t0).
Отсюда
G(q - n - 1t0, t0) \geq ea(q
- 1t0 - t0) - eaq
- 1(q - 1t0 - t0) > 0.
Последнее неравенство означает, что уменьшение коэффициента c по сравнению с предыдущим
примером не позволит получить асимптотическую оценку для решения G(t, t0) меньшую, чем
для достаточно гладких решений в теореме 4.
Пример 3. Пусть a - 1b = - 1, c = 1. Тогда для t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . , получаем
следующую формулу фундаментального решения:
G(t, t0) = ea(t - t0)
уравнения
x\prime (t) = ax(t) - ax(qt) + x\prime (qt).
Это уравнение имеет частное решение x1(t) \equiv 1. Третий пример указывает на сложности,
которые могут возникнуть при попытке вывести аналог формулы вариации произвольных по-
стоянных на основе непрерывного фундаментального решения G(t, t0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 1269
Литература
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc. –
1971. – 77. – P. 891 – 937.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F \prime (x) = e\alpha x+\beta F (x - 1), I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A 56-Indag. Math. – 1953. – 15. – P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. – 1971. – 243. –
P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1974. –
192 с.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных уравне-
ний // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 10. – С. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных уравнений
нейтрального типа // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9, № 9. – С. 1627 – 1645.
7. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal. and Appl. –
1971. – 33. – P. 355 – 358.
8. Гребенщиков Б. Г. Об асимптотических свойствах некоторых систем с двумя запаздываниями // Изв. вузов.
Математика. – 2006. – 528, № 5. – С. 27 – 37.
9. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных
уравнений с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 1. – С. 144 – 160.
10. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с
линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 2. – С. 147 – 150.
11. Гребенщиков Б. Г., Рожков В. И. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы с запаз-
дыванием // Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, № 5. – С. 751 – 758.
12. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. Стабилизация системы, содержащей постоянное и линейное запаздывания //
Дифференц. уравнения. – 2004. – 40, № 12. – С. 1587 – 1595.
13. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. – 1980. – 809.
14. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функцио-
нального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргу-
ментом // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 4. – С. 466 – 493.
15. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального
уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 3. – С. 291 – 302.
16. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функциональ-
ного уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 291 – 313.
17. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального
уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2018. – 21, № 2. – С. 197 – 230.
18. Carr J., Dyson J. The functional differential equation y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x) // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect.
A. – 1976. – 74. – P. 165 – 174.
19. Liu Y. Asymptotic behaviour of functional-differential equations with proportional time delays // Eur. J. Appl. Math. –
1996. – 7, № 1. – P. 11 – 30.
20. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений //
Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 1. – С. 32 – 52.
21. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функцио-
нальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 2016. – 19, № 3. – С. 311 – 348.
22. Mahler K. On a special functional equation // J. London Math. Soc. – 1940. – 15. – P. 115 – 123.
23. de Bruijn N. G. The asymptotically periodic behavior of the solutions of some linear functional equations // Amer. J.
Math. – 1949. – 71, № 2. – P. 313 – 330.
24. de Bruijn N. G. On some linear functional equations // Publ. Math. Debrecen. – 1950. – 1. – P. 129 – 134.
25. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравне-
ния с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 4. – С. 458 – 464.
26. Lim Eng-Bin. Asymptotic bounds of solutions of the functional differential equation // SIAM J. Math. Anal. – 1978. –
9, № 5. – P. 915 – 920.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1270 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
27. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 6. – С. 737 – 747.
28. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 2. –
С. 149 – 163.
29. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.
30. Lehninger H., Liu Y. The functional-differential equation y\prime (t) = Ay(t) +By(qt) +Cy\prime (qt) + f(t) // Eur. J. Appl.
Math. – 1998. – 9. – P. 81 – 91.
31. Iserles A. On the generalized pantograph functional-differential equation // Eur. J. Appl. Math. – 1993. – 4. – P. 1 – 38.
32. Романенко Е. Ю. Асимптотика решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений // Укр.
мат. журн. – 1989. – 41, № 11. – С. 1526 – 1532.
33. Романенко Е. Ю., Фещенко Т. С. Об асимптотическом поведении решений дифференциально-функциональных
уравнений нейтрального типа в окрестности критической точки // Исследование дифференциальных и
дифференциально-разностных уравнений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980. – С. 107 – 121.
34. Романенко Е. Ю., Фещенко Т. С. Оценка роста в окрестности критической точки решений одного класса
дифференциально-функциональных уравнений // Динамические системы и дифференц. уравнения. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1986. – С. 69 – 74.
35. Романенко Е. Ю. Представление локального общего решения одного класса дифференциально-функциональ-
ных уравнений // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 2. – С. 206 – 210.
36. Романенко Е. Ю., Шарковский А. Н. Асимптотика решений линейных дифференциально-функциональных
уравнений // Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1978. – С. 5 – 39.
37. Spiridonov V. Universal superpositions of coherent states and self-similar potentials // Phys. Rev. A. – 1995. – 52. –
P. 1909 – 1935.
Получено 07.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1513 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:17Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6e/67e4f0cc4a00693f68fc4f779f40d96e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15132020-04-20T09:01:51Z Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional equations with constant and linear delays Асимптотические границы решений функционального и дифференциально-функционального уравнений с постоянными и линейными запаздываниями Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. UDC 517.929 We establish asymptotic bounds for the solutions of functional and differential-functional equations with linearly transformed arguments and constant delays. УДК 517.929 Встановлено асимптотичні границі розв'язків функціонального та диференціально-функціонального рівнянь з лінійно перетвореними аргументами і сталими запізненнями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1513 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1249-1270 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1249-1270 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1513/497 Copyright (c) 2019 Bel’skii D. V.; Pelyukh G. P. |
| spellingShingle | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional equations with constant and linear delays |
| title | Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| title_alt | Асимптотические границы решений функционального
и дифференциально-функционального уравнений с постоянными и линейными запаздываниями |
| title_full | Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| title_fullStr | Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| title_full_unstemmed | Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| title_short | Asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| title_sort | asyptotic bounds for the solutions of functional and differentialfunctional
equations with constant and linear delays |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1513 |
| work_keys_str_mv | AT belskiidv asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT pelyukhgp asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT belʹskijdv asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT pelûhgp asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT belʹskijdv asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT pelûhgp asyptoticboundsforthesolutionsoffunctionalanddifferentialfunctionalequationswithconstantandlineardelays AT belskiidv asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi AT pelyukhgp asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi AT belʹskijdv asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi AT pelûhgp asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi AT belʹskijdv asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi AT pelûhgp asimptotičeskiegranicyrešenijfunkcionalʹnogoidifferencialʹnofunkcionalʹnogouravnenijspostoânnymiilinejnymizapazdyvaniâmi |