A model of dynamical system for the attainment of consensus
UDC 517.9 + 316.4 We propose a mathematical model for the diffusion of opinions, which eventually lead to the attainment of the state of consensus. The theory of conflict dynamical systems with attractive interaction is used for the construction of the model. The behavior of the model in the c...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1514 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507312368648192 |
|---|---|
| author | Satur, O. R. Kharchenko, N. V. Сатур, О. Р. Харченко, Н. В. |
| author_facet | Satur, O. R. Kharchenko, N. V. Сатур, О. Р. Харченко, Н. В. |
| author_sort | Satur, O. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-29T18:01:20Z |
| description | UDC 517.9 + 316.4
We propose a mathematical model for the diffusion of opinions, which eventually lead to the attainment of the state of consensus.
The theory of conflict dynamical systems with attractive interaction is used for the construction of the model.
The behavior of the model in the case of making binary decisions is described in detail and the behavior of trajectories in the decision-making model with many alternative positions is investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9 + 316.4
О. Р. Сатур, Н. В. Харченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ
We propose a mathematical model for the diffusion of opinions, which eventually lead to the attainment of the state of
consensus. The theory of conflict dynamical systems with attractive interaction is used for the construction of the model.
The behavior of the model in the case of making binary decisions is described in detail and the behavior of trajectories in
the decision-making model with many alternative positions is investigated.
Побудовано математичну модель поширення переконань, якi з часом наближаються до стану консенсусу. Для побу-
дови використано теорiю динамiчних систем конфлiкту з притягальною взаємодiєю. Детально описано поведiнку
моделi у випадку прийняття бiнарних рiшень та дослiджено поведiнку траєкторiй у моделi прийняття рiшень з
багатьма альтернативними позицiями.
1. Вступ. Уперше неперервну динамiчну систему поширення переконань запропонував ДеГрут
у роботi [1]. Вiн розглядав бiнарну модель прийняття рiшень \theta \in \{ 0, 1\} . Нехай маємо k агентiв.
Початкова ймовiрнiсть прийняття i-м агентом одного з рiшень pi = P (\theta = 1) є величиною з
промiжку [0, 1]. Набiр цих значень формує початковий вектор iмовiрностей. Динамiчний процес
оновлення координат вектора ймовiрностей описано матрицею A, де елемент Aij — це вiдносна
довiра, яку агент i проявляє до переконання агента j. Переконання агентiв змiнюються лiнiйно,
в залежностi вiд зваженого середнього значення переконань своїх сусiдiв, якi визначаються
вагами Aij :
pi(t+ 1) =
k\sum
j=1
pi(t)Aij .
Нехай G = (V,E) позначає граф, де V — набiр агентiв, а ребро E включає в себе пару
(i, j) тодi i тiльки тодi, коли Tij > 0. Показано, що у всiй системi досягається консенсус, тiльки
якщо граф G є зв’язним, а iнакше, взагалi кажучи, кожна зв’язна компонента системи буде
мати своє локальне консенсусне значення.
Iнша, трохи досконалiша, модель переконань вiдома як модель Хегсельмана – Краузе [2].
В цiй моделi кожен агент має переконання, виражене дiйсним числом pi \in [0, 1], i переко-
нання агентiв оновлюються синхронно, аналогiчно моделi ДеГрута. Але в моделi Хегсельма-
на – Краузе запропоновано показник довiри (порогове значення) \epsilon , який дозволяє змоделювати
вiдсутнiсть взаємодiї мiж деякими агентами за умови, що їхнi переконання досить далекi одне
вiд одного.
У моделi Дефуанта – Вайсбуха [3, 4] дослiджується ефект простої довiльної попарної вза-
ємодiї мiж агентами, переконання яких знаходяться на вiдстанi, що менша за певне порогове
значення. В цiй моделi переконання агентiв також вираженi дiйсними числами pi \in [0, 1].
Всiх агентiв, якi можуть безпосередньо взаємодiяти з фiксованим агентом i, називають йо-
го сусiдами i їхню множину позначають через Ni. Агенти i та j довiльним чином виби-
раються для симетричної взаємодiї (якщо i \in Nj , то j \in Ni). Нехай Ii(k; \epsilon ) = \{ j \in Ni :
| pi(t) - pj(t)| < \epsilon \} — множина всiх сусiднiх з i агентiв, переконання яких досить близькi до
переконань агента i. Якщо j \in Ii(k, \epsilon ) та i \in Ij(k, \epsilon ), то пiсля взаємодiї переконання набувають
таких значень:
c\bigcirc О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9 1271
1272 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
pi(t+ 1) = (1 - \mu )pi(t) + \mu pj(t),
pj(t+ 1) = (1 - \mu )pj(t) + \mu pi(t),
(1)
де \mu \in
\biggl(
0,
1
2
\biggr]
— параметр змiшування.
Нарештi, модель, запропоновану в [5, 6], засновано на моделi Дефуанта – Вайсбуха, але
це вже не бiнарна модель типу описаних вище. В цих роботах описано процес вибору мiж
бiльшою кiлькiстю альтернатив. Так, у [6] автори розглядають переконання кожного агента, як
iмовiрнiсний вектор; кожна координата такого вектора є ймовiрнiстю того, що певна альтер-
натива приймається агентом. У роботах [5, 6] (див. також [7 – 10]) запропоновано розглядати
порогове значення взаємодiї \mu не як наперед визначений параметр, а як функцiю, залежну вiд
вiдстанi мiж агентами, що взаємодiють.
У данiй роботi запропоновано модель, що описує процес формування переконань у склад-
нiй системi, яка є аналогiчною моделi з робiт [5, 6], але ґрунтується на зовсiм iншому законi
взаємовпливу мiж агентами. Зокрема, ми аналiзуємо багатопозицiйнi процеси прийняття рi-
шень (бiнарнi процеси розглядаються як частинний випадок). У цiй моделi використано новий
спосiб взаємодiї мiж агентами. А саме, математична формула взаємодiї мiж двома агентами
задається за допомогою рiзницевих рiвнянь, запропонованих у роботах [11 – 20]. Порогове
значення взаємодiї не задано явно, але вiдстань мiж переконаннями пари агентiв впливає на
iнтенсивнiсть взаємодiї. Вiдстань мiж переконаннями характеризує їхнiй скалярний добуток,
який явно включений у рiвняння, що описують модель.
2. Побудова моделi прийняття рiшень. Позначимо через V = \{ 1, 2, . . . , n\} , n \geq 2, мно-
жину агентiв, якi взаємодiють мiж собою по неорiєнтованому графу G = (V,E), де E —
фiксована множина ребер графа (E \subset V \times V ). Далi (u, v) \in E позначає ребро, що сполучає
агентiв u та v. Для кожного такого ребра (u, v) ми припускаємо, що на процес формування
переконання агента v впливає його сусiд u, а також v впливає на u.
Нехай B(v) позначає сукупнiсть сусiдiв агента v на графi G, тобто
B(v) = \{ u \in V : (u, v) \in E\} .
Зазначимо, що v /\in B(v). Опишемо процес поширення скiнченної кiлькостi, а саме k, k \geq
\geq 2, переконань на графi G. Припускаємо, що в момент дискретного часу t, t \geq 0, агент
v подiляє переконання i з iмовiрнiстю pvi (t), тобто кожному агенту v \in V вiдповiдає вектор
\bfp v(t) =
\bigl(
pv1(t), . . . , p
v
i (t), . . . , p
v
k(t)
\bigr)
, де координата pvi (t) — це ймовiрнiсть того, що агент v має
переконання i. Вектори \bfp v(t) назвемо розподiлами переконань агентiв v в момент часу t. За
означенням, усi такi вектори є стохастичними, тобто
\sum k
i=1
pvi (t) = 1.
У кожен наступний момент часу довiльним чином вибираємо агента v \in V та його сусiда
u \in B(v). Вважаємо, що ймовiрнiсть вибору пари агентiв не залежить вiд часу i є однаковою
для всiх агентiв. Вибравши пару агентiв, змiнюємо вектор \bfp v(t) на \bfp v(t+1) за правилом конф-
лiктної взаємодiї з притяганням [11], яке записується в термiнах координат такою формулою:
pvi (t+ 1) =
1
zv,u(t)
\bigl(
pvi (t) + pvi (t)p
u
i (t)
\bigr)
, (2)
де zv,u(t) — знаменник нормувального коефiцiєнта, який забезпечує стохастичнiсть нового
вектора \bfp v(t+ 1). Легко пiдрахувати, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1273
zv,u(t) = 1 +
k\sum
i=1
pvi (t) \cdot pui (t). (3)
Зауважимо, що вектор \bfp u(t) також змiнюється за тим самим законом:
pui (t+ 1) =
1
zv,u(t)
\bigl(
pui (t) + pvi (t)p
u
i (t)
\bigr)
,
i знаменник нормувального коефiцiєнта zv,u(t) є таким самим, як i для агента v. На кожному
кроцi змiнюється значення лише однiєї пари векторiв.
Зазначимо, що якщо \bfp v(t) \not = \bfp u(t), то за один крок взаємодiї переконання агентiв u та v
не можуть стати однаковими, але вони стають ближчими в сенсi l1-норми. Дiйсно, розглянемо
рiзницю довiльних неортогональних векторiв \bfp v(t+ 1) та \bfp u(t+ 1):\bigm| \bigm| \bfp v(t+ 1) - \bfp u(t+ 1)
\bigm| \bigm|
1
=
k\sum
i=1
\bigm| \bigm| pvi (t+ 1) - pui (t+ 1)
\bigm| \bigm| =
=
1
zv,u(t)
k\sum
i=1
\bigm| \bigm| pvi (t) - pui (t)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bfp v(t) - \bfp u(t)
\bigm| \bigm|
1
,
де використано (2) i той факт, що для неортогональних векторiв
1
zv,u(t)
< 1 (насправдi з
(3) випливає, що 1 \leq zv,u(t) \leq 2). Отже, переконання агентiв u та v пiсля взаємодiї стали
ближчими.
Також слiд зауважити, що у випадку вибору пари агентiв iз переконаннями, що описанi
ортогональними векторами, взаємодiя не вiдбувається взагалi, оскiльки добуток pvi (t) \cdot pui (t) =
= 0 для всiх i. Можна зробити висновок, що скалярний добуток характеризує силу взаємодiї
двох агентiв: чим ближчi вектори розподiлу переконань, тим сильнiший вплив агентiв один на
одного.
Взагалi, опис поведiнки векторiв розподiлу переконань при t \rightarrow \infty є нетривiальною зада-
чею, але при додаткових обмеженнях можна одержати конкретнi результати, наведенi нижче.
3. Модель прийняття бiнарних рiшень у випадку взаємодiї двох агентiв. Перш нiж
розглядати бiльш загальний випадок, розглянемо найпростiший випадок прийняття бiнарних
рiшень.
Припустимо, що система складається лише з двох агентiв, i їхнiй розподiл переконань має
вигляд \bfp (t) =
\bigl(
p1(t), p2(t)
\bigr)
, \bfr (t) =
\bigl(
r1(t), r2(t)
\bigr)
, тобто k = 2. Нагадаємо, що
\sum 2
i=1
pi(t) =
=
\sum 2
i=1
ri(t) = 1 для всiх t.
В такому випадку взаємодiя агентiв описується за допомогою чотирьох рiвнянь:
p1(t+ 1) =
1
zt
p1(t)(1 + r1(t)),
p2(t+ 1) =
1
zt
p2(t)(1 + r2(t)),
r1(t+ 1) =
1
zt
r1(t)(1 + p1(t)),
r2(t+ 1) =
1
zt
r2(t)(1 + p2(t)),
(4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1274 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
де z1 = 1+
\sum 2
i=1
pi(t)ri(t). Цi рiвняння генерують динамiчну систему в просторi \Omega = \BbbR 2\times \BbbR 2.
Кожна пара векторiв
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
є початковою точкою траєкторiї цiєї динамiчної системи:\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
\rightarrow \{ \bfp (1), \bfr (1)\} \rightarrow . . . \rightarrow \{ \bfp (t), \bfr (t)\} \rightarrow . . . . (5)
В роботi [11] показано, що кожна траєкторiя (5) збiгається до нерухомої стацiонарної точки.
А саме, вектори наближаються один до одного i при цьому кожен iз них прямує до одного з
векторiв: \bfe 1 = (1, 0), \bfe 2 = (0, 1) або \bfc =
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
. Тобто для заданої динамiчної системи iснує
лише три стацiонарних стани: \{ \bfe 1, \bfe 1\} , \{ \bfe 2, \bfe 2\} i \{ \bfc , \bfc \} . Нерухомiсть цих станiв випливає
безпосередньо з формул (4).
Позначимо
\Delta 1(t) = | \bfe 1 - \bfp (t)| 1 = | 1 - p1(t)| + | 0 - p2(t)| = 1 - p1(t) + p2(t),
\Delta 2(t) = | \bfe 2 - \bfp (t)| 1 = | 0 - p1(t)| + | 1 - p2(t)| = 1 + p1(t) - p2(t).
Проаналiзуємо поведiнку траєкторiї (5) на кожному кроцi перетворення. З цiєю метою припус-
тимо, що для перших координат початкових векторiв \bfp (0) = \bfp = (p1, p2), \bfr (0) = \bfr = (r1, r2)
виконуються умови
p1 >
1
2
,
r1 >
1
2
.
(6)
Тодi завдяки стохастичностi p1 + p2 = 1, r1 + r2 = 1, а для других координат маємо оцiнки
p2 <
1
2
, r2 <
1
2
. З’ясуємо, яким чином змiниться траєкторiя на першому кроцi:
p1(t = 1) =
p1(1 + r1)
1 + p1r1 + p2r2
.
Розглядаючи вiдношення p1(1) до p1, знаходимо, що
p1(1)
p1
=
1 + r1
1 + p1r1 + p2r2
> 1,
оскiльки
p1r1 + p2r2 = r1
\biggl(
p1 + p2
r2
r1
\biggr)
< r1(p1 + p2) = r1.
Отже, p1(t = 1) > p1. Аналогiчними мiркуваннями доводимо, що r1(t = 1) > r1 також. Оскiль-
ки очевидно, що на наступному кроцi знову виконується умова типу (6), p1(1) >
1
2
, r1(1) >
1
2
,
то можемо стверджувати, що обидвi послiдовностi \{ p1(t)\} , \{ r1(t)\} зростають при збiльшеннi
t. За умовою задачi цi послiдовностi є обмеженими
\bigl(
p1(t) \leq 1, r1(t) \leq 1
\bigr)
, тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
p1(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
r1(t) = 1.
Припущення, що цi границi меншi за одиницю, є суперечливим згiдно з формулами (4). Цим
доведено, що \Delta 1(t) збiгається до нуля, тобто обидва вектори \bfp (t) i \bfr (t) рухаються в одному
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1275
а б
Рис. 1. Випадок, коли вектори \bfp (t), \bfr (t), розташованi по один бiк вiд центра c,
прямують до \bfe 2 (а) та \bfe 1 (б) вiдповiдно.
напрямку до \bfe 1 = (1, 0). При цьому на кожному кроцi вiдстань мiж ними зменшується (вiдстань
оцiнюємо за допомогою l1-норми):\bigm| \bigm| \bfp (t+ 1) - \bfr (t+ 1)
\bigm| \bigm|
1
= | p1(t+ 1) - r1(t)| + | p2(t+ 1) - r2(t)| =
=
1
1 +
\sum 2
i=1
pi(t)ri(t)
\bigl(
| p1(t) - r1(t)| + | p2(t) - r2(t)|
\bigr)
=
=
1
1 +
\sum 2
i=1
pi(t)ri(t)
\bigm| \bigm| \bfp (t+ 1) - \bfr (t+ 1)
\bigm| \bigm|
1
<
\bigm| \bigm| \bfp (t) - \bfr (t)
\bigm| \bigm|
1
.
Отже, доведено, що при виконання умов (6) траєкторiя з початковою точкою
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
збiгається до стацiонарної точки \{ \bfe 1, \bfe 1\} .
Аналогiчним чином можна показати, що для траєкторiї з початковою точкою, координати
якої задовольняють умови
p2 >
1
2
,
r2 >
1
2
,
величини вигляду \Delta 2(t) прямують до нуля при t \rightarrow \infty , що означає збiжнiсть самої траєкторiї
до стацiонарної точки \{ \bfe 2, \bfe 2\} (див. рис. 1).
Розглянемо випадок, коли початковi вектори розташованi не симетрично по рiзнi боки вiд
центра \{ \bfc , \bfc \} , наприклад коли першi координати початкових векторiв задовольняють умови
(див. рис. 2)
1
2
< p1 < 1, 0 < r1 <
1
2
. (7)
Оскiльки p1 + p2 = 1 i r1 + r2 = 1, то для других координат виконуються нерiвностi 0 < p2 <
1
2
< r2 < 1. Розглядаючи вiдношення p1(1) до p1, знаходимо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1276 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
а б
Рис. 2. Випадок, коли вектори \bfp (t), \bfr (t), розташованi по один бiк вiд центра c,
рухаються у напрямку один до одного до того моменту часу t, при якому
вони опиняться по один бiк вiд центра.
p1(1)
p1
=
1 + r1
1 + p1r1 + p2r2
> 1,
оскiльки
p1r1 + p2r2 = r1
\biggl(
p1 + p2
r2
r1
\biggr)
> r1
\bigl(
p1 + p2
\bigr)
= r1.
Отже, p1(1) < p1, аналогiчно r1(1) > r1. Завдяки стохастичностi виконуються також нерiвностi
p2(1) > p2, r2(1) < r2. Цим доведено, що вектори рухаються у напрямку один до одного, тобто
зближаються. Але це не приводить до того, що граничним станом буде центр \{ \bfc , \bfc \} .
Покажемо, що вектор, який знаходиться ближче до стацiонарної точки
\bigl(
\bfe 1 = (1, 0) або \bfe 2 =
= (0, 1)
\bigr)
, в результатi взаємодiї рухається повiльнiше, нiж iнший. З цiєю метою, не втрачаючи
загальностi, припустимо, що при виконаннi умов (7), завдяки несиметричностi у розташуваннi
початкових векторiв, вектор \bfr знаходиться ближче до \bfe 2 = (0, 1), нiж вектор \bfp до \bfe 1 = (1, 0),
тобто | \bfe 1 - \bfp | 1 > | \bfe 2 - \bfr | 1. Розглянемо рiзницi
| \bfe 1 - \bfp | 1 = | 1 - p1| + | 0 - p2| = 1 - p1 + p2,
| \bfe 2 - \bfr | 1 = | 0 - r1| + | 1 - r2| = 1 + r1 - r2.
Очевидно, що
1 - p1 + p2 > 1 + r1 - r2 \Leftarrow \Rightarrow r1 < p2 \Leftarrow \Rightarrow r2 > p1.
Тепер оцiнимо як змiнився кожен iз векторiв за один крок, тобто порiвняємо рiзницi
\bigm| \bigm| \bfp (1) - \bfp
\bigm| \bigm|
1
i
\bigm| \bigm| \bfr (1) - \bfr
\bigm| \bigm|
1
:\bigm| \bigm| \bfp (1) - \bfp
\bigm| \bigm|
1
=
\bigm| \bigm| p1(1) - p1
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| p2(1) - p2
\bigm| \bigm| = p1 - p1(1) + p2(1) - p2 =
=
1
z
\biggl(
p1r1
\biggl(
p1 +
p2r2
r1
- 1
\biggr)
+ p2r2
\biggl(
1 - p1r1
r2
- p2
\biggr) \biggr)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1277\bigm| \bigm| \bfr (1) - \bfr
\bigm| \bigm|
1
=
\bigm| \bigm| r1(1) - r1
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| r2(1) - r2
\bigm| \bigm| = r1(1) - r1 + r2 - r2(1) =
=
1
z
\biggl(
p1r1
\biggl(
1 - r1 -
p2r2
p1
\biggr)
+ p2r2
\biggl(
r2 +
p1r1
p2
- 1
\biggr) \biggr)
.
Далi оцiнимо рiзницю
\bigm| \bigm| \bfp (1) - \bfp
\bigm| \bigm|
1
-
\bigm| \bigm| \bfr (1) - \bfr
\bigm| \bigm|
1
=
1
z
\biggl(
p1r1
\biggl(
p1 + r1 +
p2r2
r1
+
p2r2
p1
- 2
\biggr)
+
+p2r2
\biggl(
2 - p2 - r2 -
p1r1
r2
- p1r1
p2
\biggr) \biggr)
> 0,
оскiльки
p1 + r1 + r2
p2
r1
+ p2
r2
p1
- 2 > p1 + r1 + p2 + r2 - 2 = 0
i
2 - p2 - r2 - r1
p1
r2
- p1
r1
p2
> 2 - p2 - r2 - r1 - p1 = 0.
Отже,
\bigm| \bigm| \bfp (1) - \bfp
\bigm| \bigm|
1
>
\bigm| \bigm| \bfr (1) - \bfr
\bigm| \bigm|
1
. Зрозумiло, що такого типу нерiвностi виконуються для всiх t до
тих пiр, поки вектори будуть знаходитись по рiзнi боки вiд центра. Але оскiльки обидва вектори
\bfp (t) i \bfr (t) рухаються до центра i на кожному кроцi
\bigm| \bigm| \bfp (t + 1) - \bfp (t)
\bigm| \bigm|
1
>
\bigm| \bigm| \bfr (t + 1) - \bfr (t)
\bigm| \bigm|
1
, то
iснує момент t\ast , коли вектор \bfp (t\ast ) опиниться по один бiк вiд центра iз вектором \bfr (t\ast ). З цього
моменту характер руху пари векторiв змiниться, вони продовжать зближатися i одночасно разом
почнуть рухатись до точки \bfe 2 = (0, 1), як це було описано в аналiзi попереднього випадку.
Нарештi розглянемо симетричний випадок, коли координати початкової пари векторiв \bfp ,
\bfr задовольняють умови (7) i рiвновiддаленi вiд центра \bfc =
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
(наприклад, вiдстань вiд
\bfp до \bfe 1 = (1, 0) дорiвнює вiдстанi вiд \bfr до \bfe 2 = (0, 1)). Це означає, що в такому випадку
для координат векторiв справджуються рiвностi p1 = r2, p2 = r1. Тодi зрозумiло, що за рiвнi
промiжки часу цi вектори будуть змiщатись на рiвнi вiдстанi
\bigm| \bigm| \bfp (t+1) - \bfp (t)
\bigm| \bigm|
1
=
\bigm| \bigm| \bfr (t+1) - \bfr (t)
\bigm| \bigm|
1
.
При цьому для кожного моменту часу t буде залишатись справедливою умова (7), тобто 0 <
< r1(t) <
1
2
< p1(t) < 1. Дiйсно, якщо p1(t = 0) >
1
2
, то
p1(t = 1) - 1
2
=
p1 + p1r1
1 + p1r1 + p2r2
- 1
2
> 0,
оскiльки, як вже було доведено вище, p1(1) < p1, p2(1) > p2 i r1(1) > r1, r2(1) < r2. За
iндукцiєю це виконується для всiх t. Отже, вектори рухаються у напрямку один до одного.
Враховуючи такий закон змiни координат, а також їхню обмеженiсть, робимо висновок, що
кожен iз початкових векторiв збiгається до центра \bfc =
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
.
Проаналiзуємо стiйкiсть стацiонарних станiв системи. Нагадаємо, що стацiонарний стан \bfx \ast
є стiйким (асимптотично стiйким), якщо iснує таке досить мале число \epsilon > 0, що для будь-якої
початкової точки \bfx (0) з \epsilon -околу точки \bfx \ast траєкторiя, породжена точкою \bfx (0), збiгається до \bfx \ast :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty \bfx (t) = \bfx \ast .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1278 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
Розглянемо центральну точку
\biggl\{ \biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
,
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr) \biggr\}
i зафiксуємо довiльне число \epsilon <
1
2
.
Виберемо точку
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
з \epsilon -околу центральної точки. В загальному випадку її координати
можна записати у виглядi
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
=
\biggl\{ \biggl(
1
2
+ \delta 1,
1
2
- \delta 1
\biggr)
,
\biggl(
1
2
+ \delta 2,
1
2
- \delta 2
\biggr) \biggr\}
,
де 0 < | \delta 1,2| < \epsilon .
Очевидно,
1
2
+ \delta i >
1
2
- \delta i, якщо \delta i > 0, i
1
2
+ \delta i <
1
2
- \delta i, якщо \delta i < 0. Згiдно з доведеною
вище теоремою траєкторiя, породжена точкою
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
, буде збiгатися до \{ \bfe 1, \bfe 1\} або
\{ \bfe 2, \bfe 2\} , якщо \delta 1 \not = \delta 2. Отже, центральна точка
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
не є стiйкою.
Розглянемо тепер граничну точку \{ \bfe 1, \bfe 1\} i виберемо довiльну початкову точку
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
з \epsilon -околу граничної точки. Нагадаємо, що розглядаються лише точки, що утворюються парою
стохастичних векторiв, тому всi точки \epsilon -околу \{ \bfe 1, \bfe 1\} допускають запис у виглядi
\bigl\{
(1 -
- \delta 1, \delta 1), (1 - \delta 2, \delta 2)
\bigr\}
, де \epsilon > \delta 1,2 > 0. Нехай \epsilon <
1
2
, тодi 1 - \delta i > \delta i. Отже, за доведеною вище
теоремою точка
\bigl\{
\bfp (0), \bfr (0)
\bigr\}
буде породжувати траєкторiю, що збiгається до \{ \bfe 1, \bfe 1\} . Таким
чином, доведено, що гранична точка \{ \bfe 1, \bfe 1\} є стiйкою. За допомогою аналогiчних мiркувань
доводимо стiйкiсть точки \{ \bfe 2, \bfe 2\} .
Отже, доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай \bfp , \bfr — стохастичнi вектори з простору \BbbR 2. В результатi взаємодiї за
формулами (4) траєкторiя (5) з початковою точкою \{ \bfp , \bfr \} збiгається до однiєї зi стацiонар-
них точок \{ \bfe 1, \bfe 1\} , \{ \bfe 2, \bfe 2\} або \{ \bfc , \bfc \} .
При цьому, якщо початковi вектори знаходяться по один бiк вiд центра \bfc зi сторони
вектора \bfe 1, траєкторiя (5) збiгається до точки \{ \bfe 1, \bfe 1\} (аналогiчно для \bfe 2).
Якщо початковi вектори знаходяться по рiзнi боки вiд центра \bfc , але не симетричнi вiдно-
сно c, то траєкторiя (5) збiгається до точки \{ \bfe k, \bfe k\} , де \bfe k — вектор, до якого найближче
знаходиться один iз векторiв \bfp чи \bfr .
Нарештi, якщо початковi вектори знаходяться по рiзнi боки вiд центра i симетричнi
вiдносно c (рiвновiддаленi вiд c), траєкторiя (5) збiгається до точки \{ \bfc , \bfc \} .
Нерухомi точки \{ \bfe k, \bfe k\} , k = 1, 2, є стiйкими, а центральна точка \{ \bfc , \bfc \} не є стiйкою.
4. Модель прийняття бiнарних рiшень для системи з кiлькох агентiв. Модель прийняття
бiнарних (k = 2) рiшень групою n > 2 агентiв описується за допомогою динамiчної системи,
заданої в просторi \BbbR 2 \times \BbbR 2 \times . . . \times \BbbR 2. Стан такої системи в момент часу t описує точка, яку
позначаємо набором двовимiрних векторiв \{ \bfp 1(t),\bfp 2(t), . . . ,\bfp n(t)\} , де \bfp u(t) — стохастичний
вектор з \BbbR 2, що вiдповiдає розподiлу переконань агента u. Траєкторiя динамiчної системи\bigl\{
\bfp 1(t),\bfp 2(t), . . . ,\bfp n(t)
\bigr\}
\rightarrow
\bigl\{
\bfp 1(t+ 1),\bfp 2(t+ 1), . . . ,\bfp n(t+ 1)
\bigr\}
(8)
задається за допомогою перетворень вигляду (4).
Зрозумiло, що для систем, якi складаються з бiльш нiж двох агентiв, послiдовнiсть їх вза-
ємодiй a priori не впорядкована i тому граничний результат при t \rightarrow \infty неможливо точно
передбачити. Але iснують деякi окремi випадки, коли все ж таки можна точно визначити ре-
зультат взаємодiї всiх агентiв у системi. Такi випадки виникають, наприклад, коли в усiх агентiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1279
системи розподiли переконань заданi векторами, що знаходяться по один бiк вiд центральної
нерухомої точки \{ \bfc , \bfc , . . . , \bfc \} . Окрiм цього, поведiнку системи можна точно передбачити у
випадку, коли в усiх агентiв системи розподiли переконань описано векторами, що знаходяться
на однаковiй вiдстанi вiд центральної точки.
Доведення наступних двох тверджень зводиться до застосування аргументацiї доведення
теореми 1.
Твердження 1. Якщо всi агенти в системi мають початковий розподiл переконань, який
задовольняє умову
puk(t = 0) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,2
\bigl\{
pui (0)
\bigr\}
, u = 1, . . . , n,
де k є фiксованим для всiх агентiв u, то траєкторiя динамiчної системи збiгається до стану
консенсусу, тобто коли розподiли переконань кожного з агентiв однаковi i мають вигляд \bfe k.
Дiйсно, повторюючи логiку мiркувань iз доведення теореми 1, легко переконатися, що
взаємодiя будь-якої пари агентiв на будь-якому кроцi приводить до перемiщення всiх векторiв
\bfp u(t) у бiк \bfe k. Таким чином, на кожному кроцi стан системи буде наближатись до стацiонарного
стану \{ \bfe k, \bfe k, . . . , \bfe k\} .
Аналогiчним чином з доведення теореми 1 випливає таке твердження.
Твердження 2. Якщо всi агенти в системi мають такий стартовий розподiл переконань,
що pv1(t) = pui (t) для будь-якої пари агентiв u та v (отже, завдяки стохастичностi pv2(t) =
= puj (t) також), де i = 1, j = 2 або i = 2, j = 1, то траєкторiя системи збiгається до
стану центральної нестiйкої рiвноважної невизначеностi, коли розподiл переконань кожного
з агентiв має вигляд \bfc =
\biggl(
1
2
,
1
2
\biggr)
.
5. Модель прийняття бiнарних рiшень iз використанням методу середнього поля.
Як зазначено вище, якщо розподiли переконань агентiв зображено стохастичними векторами,
що знаходяться по рiзнi боки вiд центра i розташованi довiльним чином (не симетрично),
то неможливо точно визначити, до якого саме стану збiгається система, якщо граничний за
часом стан взагалi iснує. Для того щоб визначити найбiльш iмовiрний граничний стан системи,
використаємо апроксимацiю динамiки за допомогою методу середнього поля.
Розглянемо складну систему з n, n > 2, агентiв iз двома можливими переконаннями (k =
= 2). Нехай зв’язки агентiв системи описує повний граф G з n вершинами. Припустимо,
що жодна з вершин не має розподiлу переконань, що є нерухомим стiйким станом, тобто
коли агент подiляє одне фiксоване переконання з iмовiрнiстю рiвною одиницi. Якщо n достат-
ньо велике, ми можемо використовувати метод теорiї середнього поля (див., наприклад, [19])
для наближення поведiнки системи. Тодi еволюцiйне рiвняння теорiї динамiчних системи з
притягальною взаємодiєю, яке ми використовували у виглядi (2), можна записати як
pvi (t+ 1) =
1
zu,v(t)
pvi (t)
\bigl(
1 + pi(t)
\bigr)
, (9)
де pi(t) =
1
n
\sum n
u=1
pui (t) — середнє значення ймовiрностi переконання i, визначене за розпо-
дiлами цього переконання серед усiх агентiв. Вектор \bfp (t) =
\bigl(
p1(t), p2(t)
\bigr)
називаємо середнiм
розподiлом переконань системи. В ньому враховано вплив усiх агентiв системи.
Далi вивчаємо динамiчну систему, траєкторiї якої мають вигляд (8), але задаються перетво-
ренням (9), яке в кожен момент часу t застосовується до всiх векторiв \bfp u(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1280 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
Рис. 3. Випадок, коли середнє значення розподiлу переконань початкового стану системи таке, що
p1 (t = 0) > p2 (t = 0), i траєкторiя прямує до стану консенсусу \{ \bfe 1, \bfe 1, . . . , \bfe 1\} .
Використовуючи результати роботи [21], можна показати, що при t \rightarrow \infty розподiл кожної
вершини графа G наближається до граничного середнього значення розподiлу переконань всiєї
системи в сенсi l1-норми. Такий стан системи у певному сенсi є консенсусним (усi агенти
подiляють однаковi переконання).
Теорема 2. Кожна траєкторiя динамiчної системи, породжена вiдображенням за форму-
лою (9), збiгається до граничного нерухомого стану, який визначається за граничним значенням
середнього поля.
А саме, якщо середнє значення розподiлу переконань початкового стану системи таке, що
p1(t = 0) > p2 (t = 0), то траєкторiя збiгається до стану консенсусу \{ \bfe 1, \bfe 1, . . . , \bfe 1\} .
Якщо середнє значення розподiлу переконань початкового стану системи таке, що p1(t) <
< p2(t), то траєкторiя збiгається до стану консенсусу \{ \bfe 2, \bfe 2, . . . , \bfe 2\} .
Нарештi, якщо середнє значення розподiлу переконань початкового стану системи таке,
що p1(t) = p2(t), то траєкторiя залишається нерухомою.
Доведення. Припустимо, що p1(t) > p2(t). Серед стохастичних векторiв, що описують
початковий стан системи, є вектори, що знаходяться по один бiк вiд центра \bfc з вектором
\bfp (t). Позначимо цю множину P1. Всi решта векторiв лежать по рiзнi боки вiдносно центра з
вектором \bfp (t). Позначимо цю множину P2.
З доведення теореми 1 випливає, що всi вектори з множини P1 з кожним кроком взаємодiї
будуть рухатись до вектора \bfe 2, а всi вектори з множини P2 — у бiк центра \bfc . Це означає, що
вони також рухаються в бiк вектора \bfe 2. Тобто всi вектори \bfp u(t) =
\bigl(
pu1(t), p
u
2(t)
\bigr)
, що описують
стан системи, будуть змiнюватись таким чином, що pu1(t+ 1) > pu1(t) i вiдповiдно pu2(t+ 1) <
< pu2(t). Отже, i координати вектора \bfp (t) будуть змiнюватись вiдповiдно: pu1(t + 1) > pu1(t),
тому траєкторiя буде прямувати до стану консенсусу \{ \bfe 1, \bfe 1, . . . , \bfe 1\} (див. рис. 3).
Аналогiчно доводиться прямування траєкторiї до \{ \bfe 2, \bfe 2, . . . , \bfe 2\} за умови p1(t) < p2(t).
Припустимо тепер, що p1(t) = p2(t), тобто внаслiдок стохастичностi p1(t) =
1
2
. Вiзьмемо
довiльний вектор \bfp u(t) =
\bigl(
pu1(t), p
u
2(t)
\bigr)
. Обчислимо
pu1(t+ 1) =
1
z
pu1(t)
\bigl(
1 + p1(t)
\bigr)
=
3
2z
pu1(t),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1281
z = 1 +
1
2
pu1(t) +
1
2
pu2(t) =
3
2
.
Отже, pu1(t+ 1) = pu1(t). Аналогiчно pu2(t+ 1) = pu2(t).
Таким чином, доведено, що траєкторiя не рухається при умовi, що p1(t) = p2(t).
6. Модель досягнення консенсусу у багатопозицiйних процесах прийняття рiшень.
Деякi результати, отриманi у випадку моделi з бiнарними рiшеннями, можна узагальнити на
моделi прийняття рiшень з багатоальтернативним вибором.
У таком випадку динамiчну систему задано у просторi \BbbR k \times \BbbR k \times . . . \times \BbbR k, де k \geq 2 —
кiлькiсть доступних альтернативних переконань (рiшень). Стан системи в момент часу t описує
точка
\bigl\{
\bfp 1(t),\bfp 2(t), . . . ,\bfp n(t)
\bigr\}
, де \bfp u(t) — стохастичний вектор iз \BbbR k, що вiдповiдає розподiлу
переконань агента u.
Траєкторiя динамiчної системи\bigl\{
\bfp 1(t),\bfp 2(t), . . . ,\bfp n(t)
\bigr\}
\rightarrow
\bigl\{
\bfp 1(t+ 1),\bfp 2(t+ 1), . . . ,\bfp n(t+ 1)
\bigr\}
(10)
задається за допомогою перетворень вигляду (2).
Випадок, коли кiлькiсть агентiв n = 2, було дослiджено в роботi [11]. Там доведено, що
кожна траєкторiя динамiчної системи збiгається до граничного стацiонарного стану вигляду\bigl\{
\bfp 1(t),\bfp 2(t)
\bigr\}
, де
p1i (\infty ) = p2i (\infty ) =
\left\{
0,
1
m
,
m \leq n — кiлькiсть ненульових елементiв граничного вектора. Питання про те, якi саме коор-
динати є нульовими, а якi дорiвнюють
1
m
, залишається вiдкритим.
Зрозумiло, що при збiльшеннi кiлькостi агентiв у системi її поведiнка значно ускладнюється.
Але для деяких випадкiв ми можемо описати граничнi точки.
Твердження 3. Якщо для одного фiксованого m, 1 \leq m \leq n, всi агенти мають такий
розподiл переконань, що pvm(t) > pvi (t) для всiх i \not = m, то траєкторiя системи збiгається до
консенсусу, i розподiл переконань кожного з агентiв має вигляд \bfe k = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),
де 1 знаходиться на m-й позицiї.
Доведення. Нагадаємо, що згiдно з формулою (2) в кожен наступний момент часу стан сис-
теми змiнюється завдяки взаємодiї лише однiєї пари векторiв. Розглянемо взаємодiю довiльної
пари векторiв \bfp u(t), \bfp v(t). Згiдно з твердженням 3 з [11], якщо
pum(t) > pui (t), pvm(t) > pvi (t),
то цi нерiвностi зберiгаються i пiсля перетворення (2):
pum(t+ 1) > pui (t+ 1), pvm(t+ 1) > pvi (t+ 1).
Крiм того, виконуються нерiвностi
pum(t)
pui (t)
<
pum(t+ 1)
pui (t+ 1)
,
pvm(t)
pvi (t)
<
pvm(t+ 1)
pvi (t+ 1)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1282 О. Р. САТУР, Н. В. ХАРЧЕНКО
Неважко також переконатися, що для m-х координат даних агентiв справджуються нерiвностi
pum(t) < pum(t+ 1), pvm(t) < pvm(t+ 1).
Звiдси випливає, що значення m-х координат цих векторiв збiльшується з часом. Завдяки
стохастичностi можна стверджувати, що pum(t), pvm(t) \rightarrow 1, а всi iншi координати прямують до
нуля.
Твердження 3 доведено.
Зауважимо, що у випадку iснування m, 1 < m < n, однакових значень pvm(t) всi агенти
мають розподiл переконань такий, що pvm(t) > pvi (t) для всiх i \not = m, i тому траєкторiя системи
збiгається до нестiйкого нерухомого стану
\biggl(
0, 0, 0,
1
m
, 0, . . . ,
1
m
,
1
m
\biggr)
, де
1
m
знаходиться на
m-х позицiях однакових значень pvm(t).
7. Висновки. У цiй роботi розглянуто кiлька варiантiв моделi складних систем, що опи-
сують поширення переконань, якi з часом збiгаються до стану консенсусу, тобто на границi
за часом (при t \rightarrow \infty ) в усiх агентiв розподiли переконань стають стацiонарно рiвними. На
цьому ж шляху, використовуючи рiвняння аналогiчнi (2), можна описувати динамiку систем iз
станами, якi збiгаються до поляризованих чи кластерних розподiлiв переконань. Поляризацiя
описує процес, в якому агенти роздiляються на пiдгрупи, що не взаємодiють, а всерединi кожної
з таких груп досягається свiй стан консенсусу. Система роздiляється на кластери (кластеризу-
ється), якщо iснують групи агентiв iз подiбними розподiлами переконань, причому вiдстань мiж
переконаннями в рiзних кластерах є значно бiльшою, нiж всерединi кластера. Тобто при класте-
ризацiї всерединi кластера консенсус не обов’язково досягається, але вiдстанi мiж розподiлами
переконань є вiдносно незначними.
Зауважимо, що в цiй роботi розглянуто модель поведiнки агентiв за припущення, що їхнi
зв’язки подано у виглядi повного графа. Таке обмеження забезпечило досить просту поведiнку
системи, коли всi агенти приходять до стану консенсусу. У випадку неповного графа динамiка
зв’язкiв мiж агентами буде значно складнiшою, що потребує подальшого дослiдження. Але
рiзнi види графiв iз додатковими симетрiями цiлком доступнi для аналiзу. Перспективною для
застосувань є модель, в якiй iмовiрнiсть вибору пари агентiв для взаємодiї у кожен момент часу
не однакова, а задається фiксованим правилом.
Лiтература
1. DeGroot M. Reaching a consensus // J. Amer. Statist. Assoc. – 1974. – 69. – P. 118 – 121.
2. Hegselmann R., Krause U. Opinion dynamics and bounded confidence models, analysis and simulations // J. Artificial
Soc. and Soc. Simul. – 2002. – 5, № 3. – 33 p.
3. Deffuant G., Neau D., Amblard F., Weisbuch G. Mixing beliefs among interacting agents // Adv. Complex Syst. –
2000. – 3. – P. 87 – 98.
4. Weisbuch G. Bounded confidence and social networks // Eur. Phys. J. B. – 2004. – 38, № 2. – P. 339 – 343.
5. Li L., Scaglione A., Swami A., Zhao Q. Consensus, polarization and clustering of opinions in social networks // IEEE
J. Select. Areas Commun. – 2013. – 31, № 6. – P. 1072 – 1083.
6. Li L., Scaglione A., Swami A., Zhao Q. Trust, opinion diffusion and radicalization in social networks // Asilomar
Conf. Signals, Systems and Comput. – 2011. – P. 691 – 695.
7. Hu H. Competing opinion diffusion on social networks // Roy. Soc. Open Sci. – 2017. – 4. – 13 p.
8. Yildiz M. E. et al. Voting models in random networks // Inform. Theory and Appl. Workshop (ITA). – 2010. – P. 1 – 7.
9. Castellano C., Fortunato S., Loreto V. Statistical physics of social dynamics // Rev. Modern Phys. – 2009. – 81. –
P. 591 – 646.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ ДОСЯГНЕННЯ КОНСЕНСУСУ 1283
10. Watts D., Strogatz S. Collective dynamics of ’small world’ networks // Nature. – 1998. – 393. – P. 440 – 442.
11. Albeverio S., Bodnarchyk M. V., Koshmanenko V. D. Dynamics of discrete conflict interactions between non-
annihilating opponents // Methods Funct. Anal. and Topology. – 2005. – 11, № 4. – P. 309 – 319.
12. Боднарчук М. В., Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Властивостi граничних станiв динамiчної системи конф-
лiкту // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 4. – C. 446 – 461.
13. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex systems: Cyclic migration
// J. Interdisciplinary Math. – 2008. – 11, № 2. – P. 163 – 185.
14. Koshmanenko V. D., Samoilenko I. V. A dynamical system model for a conflict triad // Nonlinear Oscillations. –
2011. – 14, № 1. – P. 55 – 75.
15. Koshmanenko V. D. Existence theorems of the \omega -limit states for conflict dynamical systems // Methods Funct. Anal.
and Topology. – 2014. – 20, № 4. – P. 379 – 390.
16. Koshmanenko V., Karataieva T., Kharchenko N., Verygina I. Models of the conflict redistribution of vital resources //
Soc. Simul. Conf. – Italy, Rome, 2016. – P. 4.
17. Koshmanenko V. D., Karataieva T. V. On personal strategies in conflict socium // Econophys. Colloq. (Warsaw,
5 – 7 July, 2017). – P. 32.
18. Кошманенко В. Д. Спектральна теорiя динамiчних систем конфлiкту. – Київ: Наук. думка, 2016. – 288 с.
19. Karataieva T., Koshmanenko V., Krawczyk M., Kulakowski K. Mean field model of a game for power // Physica A. –
2019. – 525. – P. 535 – 547.
20. Каратаєва Т. В., Кошманенко В. Д. Соцiум, математична модель динамiчної системи конфлiкту // Нелiнiйнi
коливання. – 2019. – 22, № 1. – С. 66 – 85.
21. Koshmanenko V., Kharchenko N. Fixed points of complex systems with attractive interaction // Methods Funct. Anal.
and Topology. – 2017. – 23, № 2. – P. 164 – 176.
Одержано 07.04.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1514 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:19Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/c8e2ad37fd5a8647d36c81aa63cd228c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15142020-03-29T18:01:20Z A model of dynamical system for the attainment of consensus Модель динамічної системи досягнення консенсусу Satur, O. R. Kharchenko, N. V. Сатур, О. Р. Харченко, Н. В. UDC 517.9 + 316.4 We propose a mathematical model for the diffusion of opinions, which eventually lead to the attainment of the state of consensus. The theory of conflict dynamical systems with attractive interaction is used for the construction of the model. The behavior of the model in the case of making binary decisions is described in detail and the behavior of trajectories in the decision-making model with many alternative positions is investigated. УДК 517.9 + 316.4 Побудовано математичну модель поширення переконань, які з часом наближаються до стану консенсусу. Для побудови використано теорію динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодією. Детально описано поведінку моделі у випадку прийняття бінарних рішень та досліджено поведінку траєкторій у моделі прийняття рішень з багатьма альтернативними позиціями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1514 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1271-1283 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1271-1283 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1514/498 Copyright (c) 2019 Satur O. R.; Kharchenko N. V. |
| spellingShingle | Satur, O. R. Kharchenko, N. V. Сатур, О. Р. Харченко, Н. В. A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title | A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title_alt | Модель динамічної системи досягнення консенсусу |
| title_full | A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title_fullStr | A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title_full_unstemmed | A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title_short | A model of dynamical system for the attainment of consensus |
| title_sort | model of dynamical system for the attainment of consensus |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1514 |
| work_keys_str_mv | AT saturor amodelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT kharchenkonv amodelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT saturor amodelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT harčenkonv amodelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT saturor modelʹdinamíčnoísistemidosâgnennâkonsensusu AT kharchenkonv modelʹdinamíčnoísistemidosâgnennâkonsensusu AT saturor modelʹdinamíčnoísistemidosâgnennâkonsensusu AT harčenkonv modelʹdinamíčnoísistemidosâgnennâkonsensusu AT saturor modelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT kharchenkonv modelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT saturor modelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus AT harčenkonv modelofdynamicalsystemfortheattainmentofconsensus |