Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations
UDC 517.988.6 We obtain new conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear discrete equations with application of the local linear approximation of these equations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1515 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507312636035072 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:57:49Z |
| description | UDC 517.988.6
We obtain new conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear discrete equations with application of the local linear approximation of these equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.6
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ
НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ
We obtain new conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear discrete equations with application of the
local linear approximation of these equations.
Отримано новi умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних дискретних рiвнянь iз використанням локальної
лiнiйної апроксимацiї цих рiвнянь.
1. Основний об’єкт дослiджень. Нехай \BbbK — поле \BbbR або \BbbC дiйсних або комплексних чисел
вiдповiдно, E — довiльний скiнченновимiрний банаховий простiр над полем \BbbK з нормою \| \cdot \| E ,
G — злiченна адитивна група, X i Y — довiльнi банаховi простори i L(X,Y ) — банаховий
простiр лiнiйних неперервних операторiв A, що дiють iз простору X у простiр Y, з нормою
\| A\| L(X,Y ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| X=1
\| Ax\| Y .
Позначимо через l\infty (G,E) банаховий простiр вiдображень x : G \rightarrow E, для кожного з яких
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}g\in G \| x(g)\| E < +\infty , з нормою
\| x\| l\infty (G,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in G
\| x(g)\| E .
Розглянемо c-неперервний оператор \scrF , що дiє в просторi l\infty (G,E), та вiдповiдне рiвняння
\scrF x = h, (1)
де h \in l\infty (G,E).
Метою статтi є встановлення умов, за яких рiвняння (1) для кожного h \in l\infty (G,E) має
в просторi l\infty (G,E) хоча б один розв’язок x, тобто множина значень R(\scrF ) оператора \scrF
збiгається з l\infty (G,E). Зазначимо, що розв’язання такої задачi навiть для рiзницевих рiвнянь є
складною проблемою (див., наприклад, [1 – 8]). Тому ми обмежимося розглядом лише достат-
нiх умов, що забезпечують виконання спiввiдношення R(\scrF ) = l\infty (G,E) i в деяких окремих
випадках збiгаються з необхiдними умовами виконання цього спiввiдношення.
В основу дослiджень оператора \scrF у статтi покладено метод, в якому використовується
локальна лiнiйна апроксимацiя цього оператора.
2. Формулювання основного результату. Позначимо через \scrE множину всiх лiнiйних c-
неперервних операторiв \scrA : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E), кожний з яких має обернений неперервний
оператор \scrA - 1.
Основним результатом статтi є таке твердження.
Теорема 1. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор \scrA \in \scrE ,
що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r
\| \scrF x - \scrA x\| l\infty (G,E) \leq
r
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H. (2)
Тодi R(\scrF ) = l\infty (G,E).
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2019
1284 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1285
Цю теорему покладено в основу методу, за допомогою якого з’ясовуються умови iснування
обмежених розв’язкiв нелiнiйних дискретних рiвнянь. Ми доведемо це твердження, викори-
ставши ряд допомiжних результатiв.
Зазначимо, що при використаннi на практицi теореми 1 потрiбно знати норму оператора
\scrA - 1. Тому наведемо деяку iнформацiю про цей оператор. Нагадаємо, що оператор \scrA - 1, який
розглядається в теоремi 1, можна записати за допомогою рiвностi\bigl(
\scrA - 1h
\bigr)
(g) =
\sum
\alpha \in G
G(g, \alpha )h(\alpha ),
в якiй для G(g, \alpha ) \in L(E,E), (g, \alpha ) \in G\times G, виконується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in G
\sum
\alpha \in G
\| G(g, \alpha )\| L(E,E) < +\infty
(див., наприклад, [9]). Отже, для норми оператора \scrA - 1 справджується оцiнка\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in G
\sum
\alpha \in G
\| G(g, \alpha )\| L(E,E),
яку можна використати в (2).
Зауваження 1. У теоремi 1 можна обмежитися розглядом не всiх H > 0, а лише тих, що
є елементами довiльної злiченної необмеженої множини \{ Hn : n \in \BbbN \} \subset (0,+\infty ), де \BbbN —
множина натуральних чисел.
3. Допомiжнi твердження. Наведемо ряд результатiв про c-неперервнi оператори, потрiбнi
для доведення теореми 1.
Розглянемо довiльнi скiнченнi множини Mk \subset G, k \in \BbbN , що задовольняють умови:
1) Mk \subset Mk+1 i Mk \not = Mk+1 для всiх k \in \BbbN ;
2)
\bigcup
k\in \BbbN
Mk = G.
Позначимо через \scrP m, де m \in \BbbN , лiнiйний неперервний оператор, що дiє у просторi
l\infty (G,E) i визначається рiвнiстю
(\scrP mx)(g) =
\left\{ x(g), якщо g \in Mm,
0, якщо g \in G \setminus Mm.
(3)
Послiдовнiсть (xk)k\geq 1 елементiв простору l\infty (G,E) називатимемо локально збiжною до
x \in l\infty (G,E) при k \rightarrow \infty i позначатимемо
xk
loc., l\infty (G,E) - - - - - - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
якщо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\| xk\| l\infty (G,E) < +\infty
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| \scrP m(xk - x)\| l\infty (G,E) = 0
для кожного числа m \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1286 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Оператор \scrH : l\infty (G,E) - \rightarrow l\infty (G,E) називається c-неперервним, якщо для довiльних x \in
\in l\infty (G,E) i xk \in l\infty (G,E), k \in \BbbN , для яких
xk
loc., l\infty (G,E) - - - - - - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
виконується спiввiдношення
\scrH xk
loc., l\infty (G,E) - - - - - - - - \rightarrow \scrH x при k \rightarrow \infty .
Поняття c-неперервного оператора (на мовi „\varepsilon , \delta ”) уведено в розгляд Е. Мухамадiєвим [10].
Вивчення цих понять було продовжено в [11 – 16]. Визначення c-неперервного оператора, що
використовує локально збiжнi послiдовностi, запропоновано автором (див. [17]).
Легко перевiрити, що якщо \scrA i \scrB — c-неперервнi оператори, то для довiльних чисел \alpha ,
\beta \in \BbbK оператори \alpha \scrA + \beta \scrB i \scrA \scrB також є c-неперервними, i якщо послiдовнiсть (\scrA k)k\geq 1
c-неперервних елементiв простору L(l\infty (G,E), l\infty (G,E)) збiгається до \scrA \in L(l\infty (G,E),
l\infty (G,E)), то елемент \scrA також є c-неперервним. Отже, множина \frakA всiх c-неперервних еле-
ментiв банахової алгебри L(l\infty (G,E), l\infty (G,E)) є банаховою пiдалгеброю цiєї алгебри.
Важливими для подальшого є наступнi два твердження про c-неперервнi оператори.
Теорема 2 [9]. Нехай c-неперервний оператор \scrA \in L(l\infty (G,E), l\infty (G,E)) має обернений
неперервний оператор \scrA - 1. Тодi оператор \scrA - 1 є c-неперервним.
Теорема 3 [8]. Нехай \scrB — замкнена куля з центром у точцi 0 у банаховому просторi
l\infty (G,E) i оператор \frakC : \scrB \rightarrow \scrB є c-неперервним. Тодi \frakC має нерухому точку.
Зауважимо, що завдяки теоремi 2 пiдалгебра \frakA алгебри L(l\infty (G,E), l\infty (G,E)) є наповне-
ною [18].
При дослiдженнi нелiнiйних операторiв, що дiють у просторi l\infty (G,E), потрiбно мати на
увазi, що нi c-неперервнiсть не випливає з неперервностi, нi неперервнiсть не випливає iз
c-неперервностi (див. [6]).
4. Доведення теореми 1. Розглянемо у просторi l\infty (G,E) замкнену кулю
\scrB R = \{ x : \| x\| l\infty (G,E) \leq R\}
радiуса R з центром у точцi 0.
Доведемо твердження, з якого випливатиме теорема 1.
Лема 1. Нехай для деяких чисел H > 0, r > 0 i елемента \scrA \in \scrE справджується нерiвнiсть
(2) i h \in \scrB H .
Тодi рiвняння (1) має хоча б один розв’язок x \in \scrB r.
Доведення. Запишемо рiвняння (1) у виглядi
\scrA x = (\scrA - \scrF )x+ h (4)
i розглянемо c-неперервний оператор \scrW , що дiє у просторi l\infty (G,E) i визначається формулою
\scrW x = (\scrA - \scrF )x+ h.
Оскiльки оператор \scrA має неперервний обернений \scrA - 1, то рiвняння (4) можна записати у
виглядi
x = \scrA - 1\scrW x. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1287
Оператор \scrA - 1 : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) на пiдставi теореми 2 є c-неперервним. Тому завдяки
c-неперервностi оператора \scrW оператор \scrA - 1\scrW також буде c-неперервним.
Крiм того, виконується спiввiдношення
\scrA - 1\scrW \scrB r \subset \scrB r.
Справдi, позначимо
a =
\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
i
b = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r
\| \scrF x - \scrA x\| l\infty (G,E) .
Тодi якщо
\| y\| l\infty (G,E) \leq r i \| h\| l\infty (G,E) \leq H,
то згiдно з нерiвнiстю (2)\bigm\| \bigm\| \scrA - 1\scrW y
\bigm\| \bigm\|
l\infty (G,E)
\leq
\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
\| \scrW y\| l\infty (G,E) \leq
\leq a(b+ \| h\| l\infty (G,E)) \leq a
\Bigl( r
a
- H + \| h\| l\infty (G,E)
\Bigr)
\leq r.
Тому завдяки теоремi 3 рiвняння (5) має хоча б один розв’язок x\ast \in \scrB r. На пiдставi рiвносиль-
ностi рiвнянь (5) i (4)
\scrF x\ast = h.
Отже, рiвняння (1) має розв’язок x\ast \in \scrB r, i лему 1 доведено.
Очевидно, що твердження теореми 1 є наслiдком леми 1.
Зауважимо, що виконання умов теореми 1 недостатньо для єдиностi розв’язкiв рiвняння (1).
5. Застосування теореми 1. Розглянемо окремi випадки рiвняння (1).
5.1. Випадок лiнiйного рiвняння (1) . Розглянемо лiнiйний неперервний i c-неперервний
оператор \scrB : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) та вiдповiдне рiвняння
\scrB x = h, (6)
де h \in l\infty (G,E).
Cправджується таке твердження.
Теорема 4. Для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i оператор \scrA \in \scrE , що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r
\| \scrB x - \scrA x\| l\infty (G,E) \leq
r
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H (7)
тодi i тiльки тодi, коли оператор \scrB має обернений неперервний оператор.
Очевидно, що нерiвнiсть (7) рiвносильна нерiвностi
\| \scrB - \scrA \| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E)) \leq
1
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H
r
. (8)
Доведення. Необхiднiсть. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i
елемент \scrA \in \scrE , що виконується нерiвнiсть (7). Тодi за теоремою 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1288 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
R(\scrB ) = l\infty (G,E). (9)
Покажемо, що
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\scrB = \{ 0\} , (10)
тобто однорiдне рiвняння
\scrB x = 0 (11)
має лише нульовий обмежений розв’язок. Запишемо це рiвняння у виглядi
\scrA x = (\scrA - \scrB )x.
Оскiльки оператор \scrA має неперервний обернений, то у просторi l\infty (G,E) рiвняння (11)
рiвносильне рiвнянню
x = \scrA - 1(\scrA - \scrB )x. (12)
Нехай x\ast — обмежений розв’язок рiвняння (12). На пiдставi (8) i (12) маємо
\| x\ast \| l\infty (G,E) \leq \| \scrA - 1(\scrA - \scrB )\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E)) \| x\ast \| l\infty (G,E) \leq
\leq
\biggl(
1 - H
r
\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
\biggr)
\| x\ast \| l\infty (G,E) .
Звiдси та з того, що
0 \leq 1 - H
r
\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
< 1,
випливає рiвнiсть
\| x\ast \| l\infty (G,E) = 0,
тобто спiввiдношення (10) виконується. Отже, звiдси, з рiвностi (9) i теореми Банаха про
обернений оператор [19] випливає, що оператор \scrB має неперервний обернений.
Достатнiсть. Нехай оператор \scrB : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) має неперервний обернений. Тодi
завдяки c-неперервностi \scrB та теоремi 2 \scrB є елементом множини \scrE . Зафiксуємо довiльне число
H > 0 i виберемо таке число r > 0, щоб
r
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H > 0.
Поклавши \scrA = \scrB , отримаємо нерiвнiсть (7).
Теорему 4 доведено.
Наслiдок 1. Лiнiйний неперервний i c-неперервний оператор \scrB , що дiє в просторi l\infty (G,E),
має обернений неперервний оператор \scrB - 1 тодi i тiльки тодi, коли iснує елемент \scrA \in \scrE , для
якого
\| \scrB - \scrA \| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E)) <
1
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1289
Доведення. Нехай для деякого оператора \scrA \in \scrE виконується нерiвнiсть (13). Зафiксуємо
довiльне число H > 0. Виберемо таке число r > 0, щоб
1
\| \scrA - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- \| \scrB - \scrA \| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E)) >
H
r
.
Тодi справджуватиметься нерiвнiсть (8), а отже i нерiвнiсть (7). Тому за теоремою 4 оператор
\scrB має обернений неперервний оператор.
Навпаки, якщо оператор \scrB має обернений неперервний оператор, то на пiдставi теореми 4
для кожного H > 0 iснують r > 0 i \scrA \in \scrE , для яких виконується нерiвнiсть (7), а отже i
нерiвнiсть (8). Iз (8) випливає (13).
Наслiдок 1 доведено.
Отже, рiвняння (6) для кожного h \in l\infty (G,E) має єдиний розв’язок x \in l\infty (G,E) тодi i
тiльки тодi, коли iснує елемент \scrA \in \scrE , для якого виконується спiввiдношення (13).
Зауважимо, що теорема 4 i наслiдок 1 справджуються й у випадку невиконання вимоги
c-неперервностi операторiв \scrA i \scrB .
5.2. Нелiнiйнi збурення лiнiйних рiвнянь. Наведемо ще одне твердження, яке можна отри-
мати за допомогою теореми 1.
Розглянемо рiвняння
\scrB x+ \scrG x = h, (14)
де \scrB : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) i \scrG : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) — вiдповiдно лiнiйний неперервний i
нелiнiйний c-неперервнi оператори, h — заданий елемент простору l\infty (G,E).
Окремим випадком теореми 1 є таке твердження.
Теорема 5. Нехай оператор \scrB має неперервний обернений \scrB - 1 i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (G,E)\leq r \| \scrG x\| l\infty (G,E)
r
<
1
\| \scrB - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
. (15)
Тодi рiвняння (14) для кожного h \in l\infty (G,E) має хоча б один розв’язок x \in l\infty (G,E).
Справдi, завдяки (15) iснує послiдовнiсть (rk)k\geq 1 додатних чисел, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
rk = +\infty
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (G,E)\leq rk
\| \scrG x\| l\infty (G,E)
rk
<
1
\| \scrB - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
.
Тому для кожного числа H > 0 iснує таке число rk (k залежить вiд H ), що виконується
спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq rk
\| \scrG x\| l\infty (G,E) \leq
rk
\| \scrB - 1\| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H,
аналогiчне (2). Тодi на пiдставi теореми 1 справджується твердження теореми 5.
Зауваження 2. Теорема 5 застосовна до рiвняння (14) i у випадку
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (G,E)\leq r \| \scrG x\| l\infty (G,E)
r
= +\infty . (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1290 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Приклад 1. Вважатимемо, що G = \BbbZ i E = \BbbR . Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn + g(xn - 1) = hn, n \in \BbbZ , (17)
де h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) i g : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя, що визначається рiвнiстю
g(t) =
\Biggl(
+\infty \sum
k=1
\surd
k + 1\omega (t - 1 - k!)
\Biggr)
t,
в якiй
\omega (t) =
\Biggl\{
0, якщо | t| > 1,
1 - | t| , якщо | t| \leq 1,
i
k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 . . . k.
Розглянемо c-неперервнi оператори \scrB i \scrG , що дiють у просторi l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) i визначаються
спiввiдношеннями
(\scrB x)n = xn, n \in \BbbZ ,
(\scrG x)n = g(xn - 1), n \in \BbbZ .
Перший iз цих операторiв, очевидно, є одиничним, а отже, оборотним оператором. Тому
\| \scrB - 1\| L(l\infty (\BbbZ ,\BbbR ),l\infty (\BbbZ ,\BbbR )) = 1 i нерiвнiсть (15) у випадку рiвняння (17) набирає вигляду
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq r \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
r
< 1.
Легко перевiрити, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq n! \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
n!
=
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq (n - 1)!+2 \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
n!
=
=
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}| t| \leq (n - 1)!+2 | g(t)|
n!
\leq
\surd
n((n - 1)! + 2)
n!
=
1\surd
n
+
2
(n - 1)!
\surd
n
, n \geq 2,
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq n!+1 \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
n! + 1
=
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}| t| \leq n!+1 | g(t)|
n! + 1
=
\surd
n+ 1, n \geq 2.
Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq r \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
r
= 0
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq r \| \scrG x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )
r
= +\infty .
Отже, для рiвняння (17) виконуються умови теореми 5 i тому це рiвняння для кожного
h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) має хоча б один розв’язок x \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ). Також для рiвняння (17) виконується
спiввiдношення (16).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1291
Наслiдок 2. Нехай оператор \scrB має неперервний обернений оператор \scrB - 1 i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in l\infty (G,E)
\| \scrG x\| l\infty (G,E) < +\infty .
Тодi рiвняння (14) для кожного h \in l\infty (G,E) має хоча б один розв’язок x \in l\infty (G,E).
Зазначимо, що умови оборотностi оператора \scrB з’ясовувалися в [11, 20, 21].
5.3. Достатнi умови розв’язностi скалярного рiзницевого рiвняння у просторi \bfitl \infty (\BbbZ ,\BbbR ). Для
нелiнiйного рiзницевого рiвняння
xn+1 - f(xn) = hn, n \in \BbbZ , (18)
де f : \BbbZ \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя i h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ), наведемо аналог теореми 1.
Теорема 6. Нехай для кожного числа H > 0 iснують числа r > 0 i k \in \BbbR \setminus \{ - 1, 1\} , для
яких
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x| \leq r
| f(x) - kx| \leq r| | k| - 1| - H. (19)
Тодi рiзницеве рiвняння (18) для кожного h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) має хоча б один розв’язок x \in
\in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ).
Доведення. Розглянемо рiзницевi c-неперервнi оператори \scrF : l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) \rightarrow l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) i \scrA :
l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) \rightarrow l\infty (\BbbZ ,\BbbR ), що визначаються вiдповiдно спiввiдношеннями
(\scrF x)n = xn+1 - f(xn), n \in \BbbZ ,
i
(\scrA x)n = xn+1 - kxn, n \in \BbbZ .
Легко перевiрити, що оператор \scrA має обернений неперервний оператор \scrA - 1 вигляду
(\scrA - 1y)n =
\left\{
\sum +\infty
m=0
kmyn - m - 1, якщо | k| < 1,
-
\sum +\infty
m=0
k - m - 1yn+m, якщо | k| > 1,
n \in \BbbZ ,
i \bigm\| \bigm\| \scrA - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (\BbbZ ,\BbbR ),l\infty (\BbbZ ,\BbbR )) =
1
| | k| - 1|
. (20)
Очевидно, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR )\leq r
\| \scrF x - \scrA x\| l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| y| \leq r
| f(y) - ky| .
Звiдси та з рiвностi (20) випливає, що у випадку рiвняння (18) нерiвнiсть (2) рiвносильна
нерiвностi (19). Тому за теоремою 1 справджується твердження теореми 6.
Теорему 6 доведено.
Приклад 2. Розглянемо рiзницеве рiвняння (18) у випадку
f(x) = | x| \alpha x - x,
де \alpha — довiльне додатне число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1292 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Покажемо, що це рiвняння з таким f для кожного h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) має хоча б один розв’язок
x \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ).
Зафiксуємо довiльне число H > 0. Вiзьмемо довiльне досить велике додатне число r.
Покладемо
k = r\alpha - 1.
За допомогою методiв диференцiального числення легко переконатися, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x| \leq r
| (| x| \alpha x - x) - kx| = r\alpha +1 \alpha
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
.
Оскiльки
r\alpha +1 \alpha
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
= r(k - 1) - H +
\biggl(
2r - r(k + 1)
\biggl(
1 - \alpha
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\biggr)
+H
\biggr)
i для досить великого додатного числа r
2r - r(k + 1)
\biggl(
1 - \alpha
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\biggr)
+H < 0,
то
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x| \leq r
| (| x| \alpha x - x) - kx| \leq r(k - 1) - H,
тобто для f справджується нерiвнiсть (19).
Отже, рiвняння (18) у випадку f(x) = | x| \alpha x - x для кожного h \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) має хоча б один
розв’язок x \in l\infty (\BbbZ ,\BbbR ).
6. Множина рiвнянь, до яких застосовна теорема 1. Покажемо, що множина рiвнянь, до
дослiдження обмежених розв’язкiв яких застосовна теорема 1, є достатньо широкою.
Справджується таке твердження.
Теорема 7. Для довiльних послiдовностi додатних чисел Hn, n \geq 1, для якої \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty Hn =
= +\infty , i послiдовностi неперервних елементiв \scrA n \in \scrE , n \geq 1, iснують обмежений c-
неперервний оператор \scrF : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) i послiдовнiсть додатних чисел rn, n \geq 1,
такi, що виконується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq rn
\| \scrF x - \scrA nx\| l\infty (G,E) \leq
rn
\| \scrA - 1
n \| L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- Hn, n \geq 1. (21)
Доведення. Розглянемо довiльну послiдовнiсть додатних чисел rn, n \geq 1, для якої r1 \geq 1
i rn+1 > rn + 3, n \geq 1 (значення rn уточнимо пiзнiше). Для кожного n \geq 1 визначимо
вiдображення
\omega 1,n :
\bigl\{
x \in l\infty (G,E) : rn \leq \| x\| l\infty (G,E) \leq rn + 1
\bigr\}
\rightarrow [0, 1]
i
\omega 2,n :
\bigl\{
x \in l\infty (G,E) : rn + 1 \leq \| x\| l\infty (G,E) \leq rn + 2
\bigr\}
\rightarrow [0, 1]
за допомогою рiвностей
\omega 1,n(x) = rn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
rn + 1
\| x\| l\infty (G,E)
- 1
\biggr) 2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l\infty (G,E)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1293
i
\omega 2,n(x) = (rn + 2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
rn + 1
\| x\| l\infty (G,E)
- 1
\biggr) 2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l\infty (G,E)
.
Очевидно, що вiдображення \omega 1,n i \omega 2,n неперервнi,
\omega 1,n(x) = 1, якщо \| x\| l\infty (G,E) = rn, (22)
\omega 2,n(x) = 1, якщо \| x\| l\infty (G,E) = rn + 2, (23)
\omega 1,n(x) = \omega 2,n(x) = 0, якщо \| x\| l\infty (G,E) = rn + 1, (24)
i
R(\omega 1,n) = R(\omega 2,n) = [0, 1]. (25)
Оператор \scrF : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) i числа rn, n \geq 1, визначимо таким чином.
Спочатку розглянемо c-неперервний оператор \scrF 1 \in L(l\infty (G,E), l\infty (G,E)), що визнача-
ється рiвнiстю
\scrF 1x = \scrA 1x.
Очевидно, що для кожного числа r > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r
\| \scrF 1x - \scrA 1x\| l\infty (G,E) = 0.
Виберемо число r1 \geq 1 так, щоб
r1\bigm\| \bigm\| \scrA 1
- 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H1 \geq 0.
Далi розглянемо нелiнiйний оператор \scrF 2 : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E), що визначається рiвнiстю
\scrF 2x =
\left\{
\scrF 1x, якщо \| x\| l\infty (G,E) \leq r1,
\omega 1,1(x)\scrF 1x, якщо r1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r1 + 1,
\omega 2,1(x)\scrA 2x, якщо r1 + 1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r1 + 2,
\scrA 2x, якщо \| x\| l\infty (G,E) > r1 + 2.
Цей оператор обмежений, неперервний i c-неперервний на пiдставi неперервностi \omega 1,1 i \omega 2,1,
спiввiдношень (22) – (25) та неперервностi i c-неперервностi лiнiйних операторiв \scrF 1 i \scrA 2. Легко
перевiрити, що на пiдставi обмеженостi \scrF 1 i \scrA 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in l\infty (G,E)
\| \scrF 2x - \scrA 2x\| l\infty (G,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r1+2
\| \scrF 2x - \scrA 2x\| l\infty (G,E) < +\infty .
Тому iснує таке число r2 > r1 + 3, що виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r2
\| \scrF 2x - \scrA 2x\| l\infty (G,E) \leq
r2\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
2
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1294 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Далi визначимо нелiнiйний оператор \scrF 3 : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) за допомогою рiвностi
\scrF 3x =
\left\{
\scrF 2x, якщо \| x\| l\infty (G,E) \leq r2,
\omega 1,2(x)\scrF 2x, якщо r2 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r2 + 1,
\omega 2,2(x)\scrA 3x, якщо r2 + 1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r2 + 2,
\scrA 3x, якщо \| x\| l\infty (G,E) > r2 + 2.
Цей оператор обмежений, неперервний i c-неперервний на пiдставi неперервностi \omega 1,2 i \omega 2,2,
спiввiдношень (22) – (25) та обмеженостi, неперервностi i c-неперервностi операторiв \scrF 2 та
\scrA 3. Очевидно, що на пiдставi обмеженостi \scrF 2 i \scrA 3
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in l\infty (G,E)
\| \scrF 3x - \scrA 3x\| l\infty (G,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r2+2
\| \scrF 3x - \scrA 3x\| l\infty (G,E) < +\infty .
Тому iснує таке число r3 > r2 + 3, що виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq r3
\| \scrF 3x - \scrA 3x\| l\infty (G,E) \leq
r3\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
3
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- H3.
Аналогiчним чином визначаємо оператори \scrF n : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E), n \geq 4, i числа
rn > rn - 1 + 3, n \geq 4.
Зазначимо, що оператор \scrF n : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) визначається за допомогою рiвностi
\scrF nx =
\left\{
Fn - 1x, якщо \| x\| l\infty (G,E) \leq rn - 1,
\omega 1,n - 1(x)\scrF n - 1x, якщо rn - 1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq rn - 1 + 1,
\omega 2,n - 1(x)\scrA nx, якщо rn - 1 + 1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq rn - 1 + 2,
\scrA nx, якщо \| x\| l\infty (G,E) > rn - 1 + 2.
Обмеженiсть, неперервнiсть i c-неперервнiсть цього оператора встановлюються аналогiчним
чином. Завдяки спiввiдношенню
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in l\infty (G,E)
\| \scrF nx - \scrA nx\| l\infty (G,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq rn - 1+2
\| \scrF nx - \scrA nx\| l\infty (G,E) < +\infty
iснує таке число rn > rn - 1 + 3, що виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| l\infty (G,E)\leq rn
\| \scrF nx - \scrA nx\| l\infty (G,E) \leq
rn\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
n
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (G,E),l\infty (G,E))
- Hn. (26)
Оператор \scrF : l\infty (G,E) \rightarrow l\infty (G,E) визначимо за допомогою формули
\scrF x =
\left\{
\scrF 1x, якщо \| x\| l\infty (G,E) \leq r1,
\scrF 2x, якщо r1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r2,
\scrF 3x, якщо r2 < \| x\| l\infty (G,E) \leq r3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\scrF nx, якщо rn - 1 < \| x\| l\infty (G,E) \leq rn,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИСКРЕТНИХ РIВНЯНЬ 1295
Очевидно, що звуження \scrF | \scrB rn
i \scrF n| \scrB rn
операторiв \scrF i \scrF n на кулю \scrB rn збiгаються, тобто
\scrF | \scrB rn
= \scrF n| \scrB rn
. (27)
Завдяки цiй рiвностi, обмеженостi, неперервностi i c-неперервностi операторiв \scrF n, n \geq 1,
оператор \scrF також є обмеженим, неперервним i c-неперервним.
Спiввiдношення (21) випливає iз спiввiдношень (26) i (27).
Теорему 7 доведено.
7. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Iдею локального наближення нелiнiй-
них операторiв лiнiйними регулярними операторами вперше використано у статтях [22 – 25] для
отримання достатнiх умов iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих, диференцi-
альних та диференцiально-функцiональних рiвнянь, що збiгаються з необхiдними умовами у
випадку лiнiйних рiвнянь.
Теореми 1, 4 та 5 цiєї статтi про розв’язнiсть дискретних рiвнянь у просторi l\infty (G,E) ана-
логiчнi вiдповiдним твердженням для рiзницевих, диференцiальних та диференцiально-функ-
цiональних рiвнянь, що дослiджувалися в [22 – 25].
Аналогiчнi дослiдження нелiнiйних рiзницевих та диференцiальних рiвнянь iз використан-
ням слабко регулярних операторiв проведено в [26, 27].
Усi результати статтi стосовно дискретних рiвнянь є новими.
Приклади 1 i 2 про розв’язнiсть рiзницевих рiвнянь (17) i (18) у просторi l\infty (\BbbR ,\BbbZ ) наво-
дяться вперше.
У випадку майже перiодичних \scrF i h обмеженi розв’язки рiвняння (1) при виконаннi для
них додаткових умов (див. [28, 29]) будуть майже перiодичними.
Лiтература
1. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 311 с.
2. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1972. – 246 с.
3. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. – Киев:
Наук. думка, 1986. – 280 с.
4. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохасти-
ческих динамических систем. – Киев: Вища шк., 1992. – 319 с.
5. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових про-
сторах // Працi Iн-ту математики НАН України. Математика та її застосування. – 2008. – 72. – 496 с.
6. Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть нелiнiйних рiзницевих операторiв. – Рiвне: Нац. ун-т вод. госп-ва та природо-
користування, 2006. – 233 с.
7. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функцонально-дифференциальных
и дискретных уравнений // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 5. – С. 660 – 662.
8. Слюсарчук В. Ю. Теорема про нерухому точку для c-цiлком неперервних операторiв у просторах обмежених
на злiченнiй групi функцiй // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 421. – С. 105 – 108.
9. Слюсарчук В. Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных уравнений // Укр. мат. журн. –
1987. – 39, № 2. – С. 210 – 215.
10. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
11. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116, № 4. – С. 483 – 501.
12. Слюсарчук В. Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл. АН УССР.
Сер. А. – 1981. – № 8. – С. 34 – 37.
13. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130, № 1. – C. 86 – 104.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
1296 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
14. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
15. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных функ-
ционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 2. – С. 201 – 205.
16. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. – Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1990. –
168 с.
17. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения импульсных систем // Мат. физика и нелинейная механика. –
1991. – Вып. 15(49). – С. 32 – 35.
18. Бурбаки Н. Спектральная теория. – М.: Мир, 1972. – 183 с.
19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. –
496 с.
20. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и почти периодические решения линейных функциональных уравнений // Ка-
чественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1980. – С. 144 –
149.
21. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных c-непрерывных операторов в пространстве ограниченных на
счетной группе функций // Дифференциально-функциональные уравнения и их приложения. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1985. – С. 74 – 79.
22. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих
рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 3. – С. 368 – 378.
23. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1541 – 1556.
24. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-функ-
циональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103 – 126.
25. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 5. – С. 135 – 160.
26. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв слабко
регулярними операторами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1685 – 1698.
27. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регуляр-
ними операторами // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 1. – С. 122 – 126.
28. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних дискретних систем, що можуть не бути майже
перiодичними за Бохнером // Нелiнiйнi коливання. – 2014. – 17, № 3. – С. 407 – 418.
29. Слюсарчук В. Е. Почти периодические решения дискретных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2016. – 80,
№ 2. – С. 125 – 138.
Одержано 08.07.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1515 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:19Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/50/e22fd0a2b85093b126447278175c2850.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15152019-12-05T08:57:49Z Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations Метод локального лінійного наближення нелінійних дискретних рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. UDC 517.988.6 We obtain new conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear discrete equations with application of the local linear approximation of these equations. УДК 517.988.6 Отримано нові умови існування обмежених розв'язків нелінійних дискретних рівнянь із використанням локальної лінійної апроксимації цих рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1515 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 9 (2019); 1284-1296 Український математичний журнал; Том 71 № 9 (2019); 1284-1296 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1515/499 Copyright (c) 2019 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title | Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title_alt | Метод локального лінійного наближення нелінійних дискретних рівнянь |
| title_full | Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title_fullStr | Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title_full_unstemmed | Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title_short | Method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| title_sort | method of local linear approximation for nonlinear discrete equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1515 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu methodoflocallinearapproximationfornonlineardiscreteequations AT slûsarčukvû methodoflocallinearapproximationfornonlineardiscreteequations AT slyusarchukvyu metodlokalʹnogolíníjnogonabližennânelíníjnihdiskretnihrívnânʹ AT slûsarčukvû metodlokalʹnogolíníjnogonabližennânelíníjnihdiskretnihrívnânʹ |