Bounded solutions of evolutionary equations
We study the problems of existence and representations of the solutions bounded on the entire axis for both linear and nonlinear differential equations with unbounded operator coefficients in the Fr´echet and Banach spaces under the condition of exponential dichotomy on the semiaxes of the correspon...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1539 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507336353775616 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Zhuravlyov, V. Р. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. Покутний, O. О. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Zhuravlyov, V. Р. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. Покутний, O. О. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:17:34Z |
| description | We study the problems of existence and representations of the solutions bounded on the entire axis for both linear and
nonlinear differential equations with unbounded operator coefficients in the Fr´echet and Banach spaces under the condition
of exponential dichotomy on the semiaxes of the corresponding homogeneous equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
O. A. Бойчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
В. П. Журавльов (Житомир. нац. агроекол. ун-т),
O. О. Покутний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ
We study the problems of existence and representations of the solutions bounded on the entire axis for both linear and
nonlinear differential equations with unbounded operator coefficients in the Fréchet and Banach spaces under the condition
of exponential dichotomy on the semiaxes of the corresponding homogeneous equation.
Исследуются вопросы существования и представления ограниченных на всей оси решений как линейных, так и
нелинейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в пространствах
Фреше и Банаха при условии экспоненциальной дихотомии на полуосях соответствующего однородного уравнения.
Одним iз центральних питань якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь є питання про
поведiнку розв’язкiв на нескiнченностi. Експоненцiально дихотомiчнi на всiй осi системи утво-
рюють клас систем, розв’язки яких можуть як спадати до нуля з експоненцiальною швидкiстю,
так i необмежено зростати. Обмеженi на всiй осi розв’язки таких систем у скiнченновимiрному
випадку розглядалися у роботах В. Коппеля [1], Р. Саккера, Дж. Селла [2 – 4], Ю. О. Митро-
польського, А. М. Самойленка, В. Л. Кулика [5], а у нескiнченновимiрних просторах Банаха —
у монографiях Ю. Л. Далецького, М. Г. Крейна [6], Х. Массери, Х. Шеффера [7]. К. Палмер [8]
умову експоненцiальної дихотомiї на всiй осi однорiдної диференцiальної системи послабив
замiною її на умову експоненцiальної дихотомiї на пiвосях i вперше довiв фредгольмовiсть
вiдповiдного оператора при розв’язаннi задачi про обмеженi на всiй осi розв’язки. Подальшого
розвитку ця iдея набула у роботi [9], де з використанням узагальнено-обернених операторiв та
псевдообернених за Муром – Пенроузом матриць дослiджувалася задача про iснування обме-
жених на всiй осi розв’язкiв при лiнiйних та нелiнiйних збуреннях системи, а у роботi [10]
отримано критерiй iснування та загальний вигляд обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв
лiнiйних неоднорiдних функцiонально-диференцiальних систем iз запiзненням у випадку, коли
вiдповiдна однорiдна система iз запiзненням є експоненцiально дiхотомiчною на пiвосях.
Цi та iншi результати знайшли своє вiдображення у монографiях О. А. Бойчука, А. М. Самой-
ленка [11, 12]. Дослiдженню фредгольмовостi оператора вiдповiдного диференцiального рiвнян-
ня з необмеженими коефiцiєнтами присвячено роботи Д. Хенрi [13], Х. Родрiгеса, Дж. Фiлхо
[14], А. Г. Баскакова [15 – 17], Ю. Латушкiна, Ю. Томiлова [18].
Дану роботу присвячено питанню iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв як лiнiйних,
так i нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з необмеженими операторними коефiцiєнтами у
просторах Фреше та Банаха при умовi експоненцiальної дихотомiї на пiвосях вiдповiдного
однорiдного рiвняння.
Лiнiйнi рiвняння з обмеженим оператором у просторi Банаха. Розглянемо диферен-
цiальне рiвняння [19 – 22] з обмеженими операторними коефiцiєнтами
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + f(t), (1)
де вектор-функцiя f(t) дiє з \BbbR у простiр Банаха \bfB , f(t) \in BC(\BbbR , \bfB ), A(t) \in BC(\BbbR ,\scrL (\bfB )),
c\bigcirc O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1 7
8 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
BC(\BbbR ,\bfB ) :=
\Bigl\{
f(\cdot ) : \BbbR \rightarrow \bfB , f(\cdot ) \in C(\BbbR ,\bfB ), | | | f | | | := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| f(t)\| B < \infty
\Bigr\}
— банахiв простiр вектор-функцiй, неперервних та обмежених на \BbbR ; операторнозначна функцiя
A(t) є сильно неперервною з вiдповiдною нормою | | | A| | | := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR \| A(t)\| B < \infty . Необхiдно
знайти неперервно диференцiйовний у кожнiй точцi t \in \BbbR розв’язок x(t) у просторi вектор-
функцiй Банаха BC1(\BbbR ,\bfB ), неперервно диференцiйовних на \BbbR i обмежених разом з похiдною,
який задовольняє рiвняння (1) скрiзь на \BbbR .
Припустимо, що однорiдне рiвняння
dx(t)
dt
= A(t)x(t) (2)
є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях \BbbR + та \BbbR - з проекторами \scrP та \scrQ вiдповiдно, тобто
iснують проектори \scrP (\scrP 2 = \scrP ) та \scrQ (\scrQ 2 = \scrQ ) i сталi k1,2 \geq 1 та \alpha 1,2 > 0 такi, що\bigm\| \bigm\| U(t)\scrP U - 1(s)
\bigm\| \bigm\| \leq k1e
- \alpha 1(t - s), t \geq s,\bigm\| \bigm\| U(t)(I - \scrP )U - 1(s)
\bigm\| \bigm\| \leq k1e
- \alpha 1(s - t), s \geq t, для всiх t, s \in \BbbR +
та \bigm\| \bigm\| U(t)\scrQ U - 1(s)
\bigm\| \bigm\| \leq k2e
- \alpha 2(t - s), t \geq s,\bigm\| \bigm\| U(t)(I - \scrQ )U - 1(s)
\bigm\| \bigm\| \leq k2e
- \alpha 2(s - t), s \geq t, для всiх t, s \in \BbbR - ,
де U(t) = U(t, 0) — еволюцiйний оператор [6] рiвняння (1) такий, що
dU(t)
dt
= A(t)U(t), U(0) = I - одиничний оператор.
Теорема 1 [19]. Нехай однорiдне рiвняння (2) є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях
\BbbR + та \BbbR - з проекторами \scrP та \scrQ вiдповiдно, а оператор
D = \scrP - (I - \scrQ ) : \bfB \rightarrow \bfB (3)
— узагальнено-оборотним.
Тодi для iснування обмежених на всiй осi розв’язкiв рiвняння (1) необхiдно та достатньо,
щоб вектор-функцiя f(t) \in BC(\BbbR ,\bfB ) задовольняла умову
+\infty \int
- \infty
H(t)f(t) dt = 0, (4)
за виконання якої обмеженi на всiй осi розв’язки мають вигляд
x0(t, c) = U(t)\scrP \scrP N(D)c+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t), c \in \bfB , (5)
де
H(t) = \scrP YD
\scrQ U - 1(t) = \scrP YD
(I - \scrP )U - 1(t),
проектори \scrP N(D) = I - D - D та \scrP YD
= I - DD - , D - — узагальнено-обернений до операто-
ра D, c — довiльний елемент простору Банаха \bfB ,
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t) — узагальнений оператор Грiна [19]
задачi про обмеженi на всiй осi розв’язки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 9
Зауваження 1. I. Якщо оператор D : \bfB \rightarrow \bfB — узагальнено-оборотний [11], то:
(i) D — нормально розв’язний
\bigl(
R(D) = R(D)
\bigr)
;
(ii) пiдпростiр N(D) = \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} D має пряме доповнення в \bfB ;
(iii) пiдпростiр R(D) = \mathrm{I}\mathrm{m}D має пряме доповнення в \bfB .
За виконання цих умов для оператора D завжди iснує узагальнено-обернений оператор D - .
II. У скiнченновимiрному випадку, коли \bfB = \BbbR n, оператор D є скiнченновимiрною матри-
цею й властивостi (i) – (iii) завжди виконуються (оскiльки пiдпростори N(D) та R(D) скiн-
ченновимiрнi). Умова (4) рiвносильна умовi ортогональностi неоднорiдностi рiвняння (1) до
розв’язкiв вiдповiдного однорiдного спряженого рiвняння. У цьому випадку отримуємо вiдому
лему К. Палмера [8].
III. Застосування теорiї узагальнено-обернених операторiв й псевдообернених матриць до
дослiдження вихiдної задачi дозволяє отримати як ранiше вiдомi результати, так i новi фак-
ти. Якщо ми розглянемо рiвняння (1) у просторi \BbbR n за припущення, що вiдповiдне лiнiйне
однорiдне рiвняння є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях, то оператор
(Lx)(t) = \.x(t) - A(t)x(t)
може бути лише нетеровим [9]. А у випадку, коли рiвняння (1) розглядається у просторi Ба-
наха \bfB , вихiдна задача має значно бiльше варiантiв. За класифiкацiєю С. Г. Крейна [23] з
теореми 1 випливає, що оператор L може бути:
1) нормально розв’язним
\bigl(
R(L) = R(L)
\bigr)
;
2) d-нормальним
\bigl(
R(L) = R(L), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L < \infty
\bigr)
;
3) n-нормальним
\bigl(
R(L) = R(L), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L < \infty
\bigr)
;
4) нетеровим
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}L = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L < \infty
\bigr)
;
5) фредгольмовим (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}L = 0).
Лiнiйнi та нелiнiйнi рiвняння з необмеженим оператором. У просторi Банаха \bfB розгля-
немо однорiдне диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= A(t)x(t), t \in J, (6)
де при кожному t \in J \subset \BbbR оператор A(t) є замкненим iз щiльною областю визначення
D(A(t)) = D \subset \bfB , що не залежить вiд t.
Означення 1 [14; 23, c. 237]. Множина обмежених лiнiйних операторiв
\bigl\{
T (t, s) | t \geq s;
t, s \in J
\bigr\}
у просторi Банаха \bfB називається еволюцiйним оператором, якщо виконуються такi
умови:
(i) T (s, s) = I, s \in J,
(ii) T (t, \sigma )T (\sigma , s) = T (t, s), t \geq \sigma \geq s в J.
Якщо T (t, s) додатково задовольняє умову
(iii) для довiльного x \in \bfB вiдображення (t, s) \mapsto \rightarrow T (t, s)x є неперервним, t \geq s,
то говорять, що T (t, s) — сильно неперервний еволюцiйний оператор (або множина сильно
неперервних еволюцiйних операторiв).
Якщо задача Кошi, породжена рiвнянням (6) та початковою умовою x(s, s, x0) = x0 \in D,
рiвномiрно коректна [23], то можна визначити для t \geq s на J лiнiйний оператор T (t, s) :
D \rightarrow \bfB за правилом
T (t, s)x0 = x(t, s, x0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
10 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
Твердження 1 [23, c. 237 – 239]. Припустимо, що задача Кошi для рiвняння (6) рiвномiрно
коректна. Тодi множина лiнiйних операторiв
\bigl\{
T (t, s), t \geq s, t, s \in J
\bigr\}
, яка визначена вище, є
сильно неперервним еволюцiйним оператором. Крiм того, T (t, s)D \subset D, i якщо x \in D, то
T (t, s)x диференцiйовний за змiнною t та
\partial
\partial t
T (t, s)x = A(t)T (t, s)x, t \geq s, t, s \in J.
Якщо вiдображення t \mapsto \rightarrow A(t) сильно неперервне, то T (t, s)x диференцiйовний для s < t на J
для всiх x \in D i
\partial
\partial s
T (t, s)x = - T (t, s)A(s)x.
У цьому випадку кажуть, що T (t, s) — еволюцiйний оператор, асоцiйований з рiвнянням (6).
При фiксованому t \geq s оператор T (t, s) буде обмеженим лiнiйним оператором, а оскiльки
множина D щiльна у \bfB , то його можна розширити на весь простiр \bfB за неперервнiстю,
що у подальшому i припускається. Розширення еволюцiйного оператора на весь простiр буде
позначатися таким же чином.
Означення 2 [13, c. 245]. Еволюцiйний оператор
\bigl\{
T (t, s) | t \geq s; t, s \in J
\bigr\}
допускає екс-
поненцiальну дихотомiю на J, якщо:
(i) iснують проекторнозначна оператор-функцiя \{ \scrP (t) | t \in J\} у просторi лiнiйних непе-
рервних операторiв \scrL (\bfB ) i дiйснi сталi \alpha > 0 та M \geq 1 такi, що
T (t, s)\scrP (s) = \scrP (t)T (t, s), t \geq s;
(ii) звуження T (t, s) \upharpoonright N(\scrP (s)), t \geq s оператора T (t, s) на ядро N(\scrP (s)) проектора \scrP (s)
здiйснює iзоморфiзм з N(\scrP (s)) на N(\scrP (t)).
Визначимо T (s, t), як обернений:
T (s, t) =
\bigl(
T (t, s) \upharpoonright N(\scrP (s))
\bigr) - 1
: N(\scrP (t)) \rightarrow N(\scrP (s)),
(iii)
\bigm\| \bigm\| T (t, s)\scrP (s)
\bigm\| \bigm\| \leq Me - \alpha (t - s), t \geq s;
(iv)
\bigm\| \bigm\| T (t, s)(I - \scrP (s))
\bigm\| \bigm\| \leq Me - \alpha (s - t), s \geq t.
Окремий iнтерес становить вивчення експоненцiальної дихотомiї на пiвосях \BbbR -
s = ( - \infty ; s],
\BbbR +
s = [s;\infty ) (у цьому випадку проекторнозначнi функцiї, визначенi на пiвосях, будемо по-
значати через \scrP +(t) для всiх t \geq s та \scrP - (t) для всiх t \leq s зi сталими M1, \alpha 1 та M2, \alpha 2
вiдповiдно).
Встановимо необхiднi та достатнi умови iснування слабких обмежених розв’язкiв для неод-
норiдного рiвняння
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + f(t), t \in J, (7)
з неперервною та обмеженою функцiєю f(t) \in BC(J,\bfB ) = \{ f : J \rightarrow \bfB \} . Обмеженiсть розу-
мiємо у сенсi, що | | | f | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in J \| f(t)\| < \infty .
Означення 3 [14]. Вектор-функцiя
u(t) = T (t, \tau )u(\tau ) +
t\int
\tau
T (t, s)f(s) ds, t \geq \tau , (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 11
називається слабким (узагальненим) розв’язком на J неоднорiдного рiвняння (7), якщо вона
неперервна i задовольняє рiвнiсть (8) для кожного t \in J за умови, що f : J \rightarrow \bfB — неперервна
вектор-функцiя, а T (t, s) є асоцiйованим з (6) сильно неперервним еволюцiйним оператором
на J.
Має мiсце таке твердження.
Теорема 2. Нехай \{ T (t, s) | t \geq s \in \BbbR \} — сильно неперервний еволюцiйний оператор,
асоцiйований з рiвнянням (6), i виконано такi умови:
1) T (t, s) допускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях \BbbR +
0 та \BbbR -
0 з проекторнозначни-
ми оператор-функцiями \scrP +(t) та \scrP - (t) вiдповiдно;
2) оператор D = \scrP +(0) -
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
є узагальнено-оборотним.
Тодi:
1) для того щоб iснували слабкi обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (7), необхiдно та
достатньо, щоб вектор-функцiя f \in BC(\BbbR ,\bfB ) задовольняла умову
+\infty \int
- \infty
H(t)f(t) dt = 0, (9)
де H(t) = \scrP YD
\scrP - (0)T (0, t);
2) за виконання умови (9) рiвняння (7) має множину слабких розв’язкiв
x0(t, c) = T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t, 0) \forall c \in \bfB , (10)
де
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t, s) =
\left\{
\int t
s
T (t, \tau )\scrP +(\tau )f(\tau ) d\tau -
\int +\infty
t
T (t, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
+T (t, s)\scrP +(s)D
-
\biggl[ \int \infty
s
T (s, \tau )
\bigl(
I - \scrP +(\tau )
\bigr)
f(\tau ) d\tau +
+
\int s
- \infty
T (s, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau
\biggr]
, t \geq s,\int t
- \infty
T (t, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau -
\int s
t
T (t, \tau )
\bigl(
I - \scrP - (\tau )
\bigr)
f(\tau ) d\tau +
+T (t, s)
\bigl(
I - \scrP - (s)
\bigr)
D -
\biggl[ \int \infty
s
T (s, \tau )
\bigl(
I - \scrP +(\tau )
\bigr)
f(\tau ) d\tau +
+
\int s
- \infty
T (s, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau
\biggr]
, s \geq t,
— узагальнений оператор Грiна задачi про обмеженi на всiй осi розв’язки, який задовольняє
властивостi
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(0+, 0) -
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(0 - , 0) = -
+\infty \int
- \infty
H(t)f(t) dt,
L
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t, 0) = f(t), t \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
12 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
Зауваження 2. Аналогiчна теорема залишається правильною й у тому випадку, коли ево-
люцiйний оператор T (t, s) допускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях \BbbR +
s та \BbbR -
s .
Далi буде розглядатися випадок s = 0.
Доведення. Розв’язки рiвняння (7), обмеженi на пiвосях \BbbR +
0 та \BbbR -
0 , мають вигляд
x(t, \xi 1, \xi 2) =
\left\{
T (t, 0)\scrP +(0)\xi 1 -
\int +\infty
t
T (t, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
+
\int t
0
T (t, \tau )\scrP +(\tau )f(\tau ) d\tau , t \geq 0,
T (t, 0)
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 +
\int t
- \infty
T (t, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau -
-
\int 0
t
T (t, \tau )
\bigl[
I - \scrP - (\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau , t \leq 0.
(11)
Дiйсно, \bigm\| \bigm\| T (t, 0)\scrP +(0)\xi 1
\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| T (t, 0)\scrP +(0)
\bigm\| \bigm\| \| \xi 1\| \leq M1e
- \alpha 1t\| \xi 1\|
та
\partial (T (t, 0)\scrP +(0)\xi 1)
\partial t
= A(t)T (t, 0)\scrP +(0)\xi 1.
Таким чином, вираз T (t, 0)\scrP +(0)\xi 1 визначає всi обмеженi на \BbbR +
0 розв’язки однорiдного
рiвняння (6).
Доведемо тепер обмеженiсть iнтеграла з (11):\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \int
t
T (t, \tau )[I - \scrP +(\tau )]f(\tau ) d\tau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
+\infty \int
t
\bigm\| \bigm\| T (t, \tau )\bigl[ I - \scrP +(\tau )
\bigr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\tau )\bigm\| \bigm\| d\tau \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| f(t)\|
+\infty \int
t
M1e
\alpha 1(t - \tau )d\tau =
M1
\alpha 1
| | | f | | | < \infty .
Обмеженiсть iнших iнтегралiв перевiряється аналогiчно. Безпосередньою перевiркою легко
переконатись у тому, що вираз (11) дiйсно визначає всi обмеженi розв’язки рiвняння (7) на
пiвосях.
Для того щоб вираз (11) визначав слабкi обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (7),
необхiдно й достатньо, щоб виконувалась умова
x(0+, \xi 1, \xi 2) = x(0 - , \xi 1, \xi 2).
Ця умова еквiвалентна розв’язностi операторного рiвняння
\scrP +(0)\xi 1 -
+\infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau =
=
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 +
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau . (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 13
Якщо \xi 1 та \xi 2 — розв’язки рiвняння (12), то, пiдставивши їх в (11), отримаємо слабкий
обмежений на всiй осi розв’язок рiвняння (7).
Покажемо, що за виконання умов теореми множину слабких обмежених на всiй осi розв’яз-
кiв рiвняння (7) можна знайти у виглядi
x(t, \xi ) =
\left\{
T (t, 0)\scrP +(0)\xi -
\int +\infty
t
T (t, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
+
\int t
0
T (t, \tau )\scrP +(\tau )f(\tau ) d\tau , t \geq 0,
T (t, 0)
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi +
\int t
- \infty
T (t, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau -
-
\int 0
t
T (t, \tau )
\bigl[
I - \scrP - (\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau , t \leq 0,
(13)
тобто потужностi множин слабких обмежених розв’язкiв (11) та (13) збiгаються й елементи \xi 1
та \xi 2 можна вибрати однаковими: \xi = \xi 1 = \xi 2.
Очевидно, що будь-який обмежений розв’язок вигляду (13) мiститься у множинi слабких
обмежених розв’язкiв (11) за виконання умов розв’язностi.
Запишемо рiвняння (12) у виглядi
\scrP +(0)\xi 1 =
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 + g, (14)
де
g =
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau +
+\infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau .
Домноживши (14) на \scrP +(0) злiва i використавши той факт, що \scrP 2
+(0) = \scrP +(0), отримаємо
\scrP +(0)\xi 1 = \scrP +(0)
\bigl[
[I - \scrP - (0)]\xi 2 + g
\bigr]
.
Далi, пiдставивши \scrP +(0)\xi 1 у (14), будемо мати
\scrP +(0)
\bigl[
[I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 + g
\bigr]
=
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 + g,
або
\scrP +(0)
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 -
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 = g - \scrP +(0)g.
Оскiльки
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr] 2
= I - \scrP - (0), то отримаємо рiвняння
\scrP +(0)
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 -
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr] 2
\xi 2 = g - \scrP +(0)g,
яке можна записати у виглядi
D
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 =
\bigl[
I - \scrP +(0)
\bigr]
g. (15)
За умовою теореми оператор D є узагальнено-оборотним i, як наслiдок, нормально розв’яз-
ним, тому [11] необхiдною й достатньою умовою розв’язностi (15) вiдносно
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
\xi 2 буде
умова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
14 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
\scrP YD
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
g = 0.
Оскiльки \scrP YD
D = 0 [12], то
\scrP YD
D = \scrP YD
\bigl[
\scrP +(0) - [I - \scrP - (0)]
\bigr]
= 0,
звiдки
\scrP YD
\bigl[
I - \scrP +(0)
\bigr]
= \scrP YD
\scrP - (0).
Оскiльки еволюцiйний оператор
\bigl\{
T (t, s) | t \geq s; t, s \in J
\bigr\}
допускає експоненцiальну дихо-
томiю на J, то, використовуючи умову (i) з означення 2, отримуємо T (0, s)\scrP (s) = \scrP (0)T (0, s).
Виходячи з цього, знаходимо \scrP YD
g:
\scrP YD
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau + \scrP YD
+\infty \int
0
T (0, \tau )[I - \scrP +(\tau )]f(\tau ) d\tau =
= \scrP YD
\scrP 2
- (0)
0\int
- \infty
T (0, \tau )f(\tau ) d\tau + \scrP YD
(I - \scrP +(0))
2
+\infty \int
0
T (0, \tau )f(\tau ) d\tau =
= \scrP YD
\scrP - (0)
\left[ 0\int
- \infty
\scrP - (0)T (0, \tau )f(\tau ) d\tau +
+\infty \int
0
\bigl[
I - \scrP +(0)
\bigr]
T (0, \tau )f(\tau ) d\tau
\right] =
= \scrP YD
\scrP - (0)g = \scrP YD
[I - \scrP +(0)]g = 0.
Умова \scrP YD
g = 0 є необхiдною та достатньою для розв’язностi рiвняння D\xi = g, або
\scrP +\xi = (I - \scrP - )\xi + g, яке збiгається з рiвнянням (14), якщо покласти \xi = \xi 1 = \xi 2. Таким
чином, доведено, що множина обмежених розв’язкiв (11) є пiдмножиною множини обмежених
розв’язкiв (13) i тим самим вони збiгаються мiж собою. Отже, умова iснування обмежених на
всiй осi розв’язкiв рiвняння (7) рiвносильна розв’язностi операторного рiвняння
D\xi =
\infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau . (16)
Оскiльки оператор D узагальнено-оборотний, то рiвняння (16) має розв’язки тодi й тiльки
тодi, коли
\scrP YD
\left[ \infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau
\right] = 0.
За виконання цiєї умови рiвняння (16) має множину розв’язкiв
\xi = D -
\left[ \infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau +
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau
\right] + \scrP N(D)c,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 15
де c — довiльний елемент простору Банаха \bfB . Пiдставивши отриманi розв’язки в (11), отри-
маємо (10).
Перевiримо властивiсть узагальненого оператора Грiна вiдносно стрибка у точцi t = 0:\bigl(
G[f ]
\bigr)
(0 + 0) -
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(0 - 0) =
= -
\infty \int
0
T (0, \tau )
\bigl[
I - \scrP +(\tau )
\bigr]
f(\tau ) d\tau + \scrP +(0)D
- g -
-
0\int
- \infty
T (0, \tau )\scrP - (\tau )f(\tau ) d\tau -
\bigl[
I - \scrP - (0)
\bigr]
D - g =
= - g + \scrP +(0)D
- g - D - g + \scrP - (0)D
- g =
= [\scrP +(0) - I + \scrP - (0)]D
- g - g = DD - g - g =
= - [I - DD - ]g = - \scrP YD
g = -
+\infty \int
- \infty
H(t)f(t) dt.
Друга властивiсть перевiряється безпосередньою пiдстановкою оператора Грiна у рiвнян-
ня (7).
Теорему 2 доведено.
Покажемо зв’язок мiж доведеним твердженням та результатами роботи [14]. Для цього
сформулюємо допомiжну лему.
Лема 1. Якщо проектори \scrP +(0) та \scrP - (0) комутують, то оператор D = \scrP +(0) -
\bigl[
I -
- \scrP - (0)
\bigr]
завжди має узагальнено-обернений, який збiгається з оператором D.
Доведення. Знайдемо спочатку D2 :
D2 = (\scrP +(0) - I + \scrP - (0))(\scrP +(0) - I + \scrP - (0)) =
= \scrP 2
+(0) - \scrP +(0) + \scrP +(0)\scrP - (0) - \scrP +(0) + I - \scrP - (0) + \scrP - (0)\scrP +(0) - \scrP - (0) + \scrP 2
- (0) =
= 2\scrP +(0)\scrP - (0) - \scrP +(0) - \scrP - (0) + I,
оскiльки \scrP +(0)\scrP - (0) = \scrP - (0)\scrP +(0).
Тодi
D3 = D2D = (2\scrP +(0)\scrP - (0) - \scrP +(0) - \scrP - (0) + I)(\scrP +
\bigl(
0) - I + \scrP - (0)
\bigr)
=
= 2\scrP +(0)\scrP - (0)\scrP +(0) - \scrP 2
+(0) - \scrP - (0)\scrP +(0) + \scrP +(0) - 2\scrP +(0)\scrP - (0)+
+\scrP +(0) + \scrP - (0) - I + 2\scrP +(0)\scrP 2
- (0) - \scrP +(0)\scrP - (0) - \scrP 2
- (0) + \scrP - (0) =
= - 2\scrP +(0)\scrP - (0) + 2\scrP +(0)\scrP - (0) + \scrP +(0) + \scrP - (0) - I = D.
З отриманої рiвностi випливає, що DDD = D, а це й означає, що D є узагальнено-оборотним
i D = D - .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
16 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
Зауваження 3. Основнi результати роботи [14] отримано за припущення, що проектори
\scrP +(0) та \scrP - (0) комутують. З леми 1 та теореми 2, як наслiдок, отримуємо результати [14].
Зауваження 4. Оскiльки фредгольмiв оператор є узагальнено-оборотним, то умови дове-
деної теореми задовольняє випадок, який розглянуто у [18].
Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння у просторi Банаха з необмеженим оператором у
лiнiйнiй частинi. У просторi Банаха \bfB розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t, \varepsilon )
dt
= A(t)x(t, \varepsilon ) + \varepsilon Z(x(t, \varepsilon ), t, \varepsilon ) + f(t). (17)
Будемо шукати обмежений розв’язок x(t, \varepsilon ) рiвняння (17), який при \varepsilon = 0 перетворюється
в один iз розв’язкiв x(t, 0) = x0(t, c) породжуючого рiвняння (7).
Для знаходження необхiдної умови будемо припускати, що оператор-функцiя Z(x, t, \varepsilon ) за-
довольняє вимогу
Z(\cdot , \cdot , \cdot ) \in C
\bigl[
\| x - x0\| \leq q
\bigr]
\times BC(\BbbR ,\bfB )\times C[0, \varepsilon 0],
де q — деяка додатна стала (неперервнiсть в околi породжуючого розв’язку).
Покажемо, що ця проблема може бути розв’язаною з допомогою операторного рiвняння
F (c) =
+\infty \int
- \infty
H(t)Z(x0(t, c), t, 0) dt = 0, (18)
яке за аналогiєю з [12] будемо називати рiвнянням для породжуючих елементiв.
Теорема 3 (необхiдна умова). Припустимо, що однорiдне рiвняння (6) є експоненцiально
дихотомiчним на пiвосях \BbbR +
0 та \BbbR -
0 з проекторнозначними оператор-функцiями \scrP +(t) та
\scrP - (t) вiдповiдно, а нелiнiйне рiвняння (17) має обмежений розв’язок x(\cdot , \varepsilon ), який перетво-
рюється в один iз розв’язкiв породжуючого рiвняння (7) з елементом c = c0 : x(t, 0) = x0(t, c
0)
при \varepsilon = 0. Тодi цей елемент повинен задовольняти рiвняння (18) для породжуючих елементiв.
Доведення. Якщо рiвняння (17) має обмежений розв’язок x(t, \varepsilon ), то за теоремою 2 повинна
виконуватись умова розв’язностi
+\infty \int
- \infty
H(t)
\Bigl\{
f(t) + \varepsilon Z(x(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\Bigr\}
dt = 0. (19)
Враховуючи умову (9), отримуємо, що умова (19) еквiвалентна такiй:
+\infty \int
- \infty
H(t)Z(x(t, \varepsilon ), t, \varepsilon ) dt = 0.
При \varepsilon \rightarrow 0 x(t, \varepsilon ) \rightarrow x0(t, c
0). Остаточно (використовуючи неперервнiсть оператор-функцiї
Z(x, t, \varepsilon ) отримуємо
F (c0) =
+\infty \int
- \infty
H(t)Z(x0(t, c
0), t, 0) dt = 0,
що й доводить теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 17
Для розв’язання задачi про достатнi умови iснування обмежених розв’язкiв рiвняння (17)
будемо додатково припускати, що оператор-функцiя Z(x, t, \varepsilon ) сильно диференцiйовна в околi
породжуючого розв’язку
Z(\cdot , t, \varepsilon ) \in C1
\bigl[
\| x - x0\| \leq q
\bigr]
.
У рiвняннi (17) виконаємо замiну змiнних x(t, \varepsilon ) = x0(t, c
0) + y(t, \varepsilon ), де елемент c0 задо-
вольняє (18). У пiдсумку отримаємо рiвняння вiдносно y:
dy(t)
dt
= A(t)y(t) + \varepsilon Z
\bigl(
x0(t, c
0) + y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
. (20)
Оскiльки оператор Z(x, t, \varepsilon ) є диференцiйовним за Фреше в околi породжуючого розв’язку,
то його можна записати у виглядi
Z
\bigl(
x0(t, c
0) + y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
= Z
\bigl(
x0(t, c
0), t, 0
\bigr)
+A1(t)y(t, \varepsilon ) +R
\bigl(
y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
, (21)
де A1(t) = Z
(1)
v (v, t, \varepsilon ) | v=x0,\varepsilon =0 (похiдна у сенсi Фреше), а для членiв бiльш високого порядку
R(y, t, \varepsilon ) будуть виконуватись спiввiдношення
R(0, t, 0) = 0, R(1)
x (0, t, 0) = 0.
Ця задача може бути розв’язаною з допомогою оператора
B0 =
+\infty \int
- \infty
H(t)A1(t)T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) dt : \bfB \rightarrow \bfB . (22)
Теорема 4 (достатня умова). Припустимо, що однорiдне рiвняння (6) допускає експонен-
цiальну дихотомiю на пiвосях \BbbR +
0 та \BbbR -
0 з проекторнозначними оператор-функцiями \scrP +(t)
та \scrP - (t) вiдповiдно, а породжуюче рiвняння (7) має обмеженi розв’язки у виглядi (11).
Нехай для оператора B0 виконано такi умови:
1) оператор B0 є узагальнено-оборотним;
2) \scrP YB0
\scrP YD
\scrP - (0) = 0.
Тодi для довiльного елемента c = c0 \in \bfB , що задовольняє рiвняння для породжуючих елемен-
тiв (18), iснує принаймнi один слабкий обмежений розв’язок рiвняння (17). Цей розв’язок можна
знайти з допомогою збiжного iтерацiйного процесу
yk+1(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
Z(x0(\tau , c
0) + yk, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0),
ck = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(\tau )
\bigl\{
A1(\tau )yk(\tau , \varepsilon ) +R(yk(\tau , \varepsilon ), \tau , \varepsilon )
\bigr\}
d\tau ,
yk+1(t, \varepsilon ) = T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)ck + yk+1(t, \varepsilon ),
xk(t, \varepsilon ) = x0(t, c
0) + yk(t, \varepsilon ), k = 0, 1, 2, . . . , y0(t, \varepsilon ) = 0,
x(t, \varepsilon ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
xk(t, \varepsilon ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
18 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
Доведення. Необхiдно знайти обмежений розв’язок y(t, \varepsilon ) : y(\cdot , \varepsilon ) \in BC1(\BbbR ,\bfB ), y(t, \cdot ) \in
\in C[0, \varepsilon 0], y(t, 0) = 0. Очевидно, що розв’язнiсть рiвняння (20) еквiвалентна розв’язностi
рiвняння (17). За теоремою 2 рiвняння (20) розв’язне тодi i лише тодi, коли
+\infty \int
- \infty
H(t)Z
\bigl(
x0(t, c
0) + y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
dt = 0. (23)
За виконання цiєї умови множина обмежених розв’язкiв рiвняння (20) матиме вигляд
y(t, \varepsilon ) = T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+ y(t, \varepsilon ),
де
y(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
Z(x0 + y, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0).
Умова (23) з використанням (21) набере вигляду операторного рiвняння
B0c = -
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl\{
A1(t)y(t, \varepsilon ) +R(y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigr\}
dt. (24)
За умовою теореми оператор B0 є узагальнено-оборотним (нормально розв’язним), тому
необхiдною й достатньою умовою розв’язностi операторного рiвняння (24) буде умова
\scrP YB0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl\{
A1(t)y(t, \varepsilon ) +R(y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigr\}
dt = 0,
яка виконується згiдно з припущенням 2
\scrP YB0
H(t) = \scrP YB0
\scrP YD
\scrP - (0)T (0, t) = 0.
Тодi рiвняння (24) має хоча б один розв’язок
c = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl\{
A1(t)y(t, \varepsilon ) +R(y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigr\}
dt.
Таким чином, маємо операторну систему
y(t, \varepsilon ) = T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+ y(t, \varepsilon ),
c = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)
\bigl\{
A1(t)y(t, \varepsilon ) +R(y(t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigr\}
dt, (25)
y(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
Z(x0 + y, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0).
Введемо допомiжний вектор u = (y, c, y)T \in \bfB \times \bfB \times \bfB , що належить декартовому добутку \bfB 3
(T означає операцiю транспонування), i допомiжний оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 19
L1g = - B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)A1(t)g(t) dt.
Тодi операторна система (25) набере вигляду
u =
\left[
0 T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) I
0 0 L1
0 0 0
\right] u+
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)R(y, t, \varepsilon ) dt
\varepsilon G
\bigl[
Z(x0 + y, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0)
\right) ,
або \left[
I - T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) - I
0 I - L1
0 0 I
\right] u =
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)R(y, t, \varepsilon ) dt
\varepsilon G
\bigl[
Z(x0 + y, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0)
\right) . (26)
Введемо позначення
W =
\left[
I - T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) - I
0 I - L1
0 0 I
\right] , g =
\left(
0
- B -
0
+\infty \int
- \infty
H(t)R(y, t, \varepsilon ) dt
\varepsilon G
\bigl[
Z(x0 + y, \tau , \varepsilon )
\bigr]
(t, 0)
\right) .
Оператор W має обмежений обернений W - 1. Дiйсно, оператор W - 1 можна записати у явному
виглядi
W - 1 =
\left[
I T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)L1 + I
0 I L1
0 0 I
\right] .
Те, що так визначений оператор W - 1 задовольняє рiвнiсть WW - 1 = W - 1W = I, перевiря-
ється безпосередньою пiдстановкою.
Доведемо, що W - 1 — обмежений оператор. Для цього необхiдно довести, що iснує така
стала k > 0, що для всiх u \in \bfB 3 виконується нерiвнiсть \| W - 1u\| B3 \leq k\| u\| B3 . Ця нерiвнiсть
еквiвалентна [23] такiй: для довiльних y, c, y \in \bfB
| | | W - 1(y, c, y)T | | | B3 \leq k
\bigl(
| | | y| | | B + | | | c| | | B + | | | y| | | B
\bigr)
,
W - 1(y, c, y)T =
\left(
y + T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+ T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)L1y + y
c+ L1y
y
\right) .
Доведемо обмеженiсть норми кожної компоненти вектора у просторi Банаха \bfB :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
20 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
| | | y + T (\cdot , 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+ T (\cdot , 0)\scrP +(0)\scrP N(D)L1y + y| | | B \leq
\leq | | | y| | | B + | | | T (\cdot , 0)\scrP +(0)\scrP N(D)| | | B| | | c| | | B + | | | T (\cdot , 0)\scrP +(0)\scrP N(D)L1y| | | B+
+ | | | y| | | B \leq | | | y| | | B + c1| | | c| | | B + c2| | | y| | | B.
Аналогiчно
| | | c+ L1y| | | B \leq | | | c| | | B + | | | L1| | | B| | | y| | | B \leq | | | c| | | B + c3| | | y| | | B.
Таким чином,
| | | W - 1(y, c, y)T | | | B3 \leq | | | y| | | B + (c1 + 1)| | | c| | | B + (1 + c2 + c3)| | | y| | | B \leq
\leq k(| | | y| | | B + | | | c| | | B + | | | y| | | B),
де k = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, 1 + c1, 1 + c2 + c3\} . Виходячи з цього, отримуємо обмеженiсть оператора W - 1.
Тепер операторну систему (25) запишемо у виглядi
u = W - 1g = W - 1S(\varepsilon )u,
де оператор S(\varepsilon ) у загальному випадку є нелiнiйним. Варiюючи параметром \varepsilon i використовуючи
обмеженiсть оператора W - 1, можемо досягти того, щоб оператор W - 1S(\varepsilon ) був стискаючим.
Тодi з принципу стискаючих вiдображень [23] випливає, що операторна система (25) має єдину
нерухому точку, яка й визначає обмежений розв’язок рiвняння (17).
Зв’язок мiж необхiдною та достатньою умовами. Для встановлення зв’язку мiж необ-
хiдною та достатньою умовами розв’язностi рiвняння (17) встановимо спочатку допомiжне
твердження.
Наслiдок 1. Припустимо, що оператор F (c) має похiдну у сенсi Фреше F (1)(c) для кож-
ного елемента c0 простору Банаха \bfB , що задовольняє рiвняння (18) для породжуючих елемен-
тiв. Якщо оператор B0 має обмежений обернений, то рiвняння (18) має єдиний обмежений
на всiй осi розв’язок для кожного c0.
Доведення. Маємо
F (1)(c)[h] =
+\infty \int
- \infty
H(t)Z(1)(v, t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
v=x0,\varepsilon =0
\bigl[
x
(1)
0 (t, s, c)[h]
\bigr]
dt.
Це зображення випливає з теореми про суперпозицiю диференцiйовних вiдображень у просторi
Банаха [24]. Знайдемо похiдну вiд розв’язку x
(1)
0 (t, c) по c. Оскiльки
x0(t, c) = T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)c+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t, 0),
то [24]
x
(1)
0 (t, c)[h] =
\partial x0(t, c+ \alpha h)
\partial \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\alpha =0
= T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D)h та Z(1)(v, t, \varepsilon )| v=x0,\varepsilon =0 = A1(t).
Остаточно
F (1)(c)[h] =
+\infty \int
- \infty
H(t)A1(t)T (t, 0)\scrP +(0)\scrP N(D) dt[h] = B0[h].
Оскiльки оператор F (1)(c) оборотний, то оператор B0 також оборотний. Тому рiвняння (18)
має єдиний розв’язок, а тодi й рiвняння (17) має єдиний обмежений на всiй осi розв’язок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 21
Зауваження 5. Якщо умови наслiдку виконуються, то з його доведення випливає рiвнiсть
операторiв B0 = F (1)(c0). Оскiльки оператор F (1)(c) є оборотним, то для оператора B0 умо-
ви 1 та 2 достатньої умови виконуються. У цьому випадку рiвняння (17) буде мати єдиний
обмежений розв’язок для кожного c0 \in \bfB . Таким чином, умова оборотностi оператора F (1)(c)
пов’язує мiж собою необхiдну й достатню умови. У скiнченновимiрному випадку умова обо-
ротностi оператора F (1)(c) еквiвалентна умовi простоти кореня c0 рiвняння для породжуючих
констант [11].
Узагальненi обмеженi розв’язки лiнiйних еволюцiйних рiвнянь у локально-опуклих
просторах. Дослiдження диференцiальних рiвнянь у локально-опуклих просторах i просторах
Фреше є актуальною задачею у зв’язку iз застосуваннями у математичнiй фiзицi.
У даному пунктi розглядається узагальнення означень е-дихотомiї для еволюцiйних рiвнянь
у локально-опуклих просторах з необмеженою оператор-функцiєю. Наводяться необхiднi та
достатнi умови iснування узагальнених обмежених розв’язкiв для диференцiальних рiвнянь
першого порядку у просторах Фреше з необмеженим оператором.
У повному локально-опуклому просторi E розглянемо неоднорiдне диференцiальне рiв-
няння
dx(t)
dt
= A(t)x+ f(t), t \in J, (27)
де для кожного t \in J A(t) — лiнiйна замкнена оператор-функцiя з незалежною вiд часу t
щiльною областю визначення D(A(t)) = D \subset E, вектор-функцiя f(t) обмежена й неперервна
на J.
Припустимо, що iснує обмежена оператор-функцiя U(t), t \in J з областю визначення
D(U(t)) = D, яка для кожного x \in D задовольняє рiвняння
d
dt
\Bigl(
U(t)x
\Bigr)
= A(t)U(t)x, U(0) = I.
Оскiльки множина D щiльна в E, то U(t) можна розширити за неперервнiстю на весь прос-
тiр E. Оператор-функцiю U(t) традицiйно будемо називати еволюцiйним оператором, що вiд-
повiдає однорiдному рiвнянню
dx(t)
dt
= A(t)x(t), t \in J. (28)
Для простоти викладення додатково припускаємо, що при кожному t еволюцiйний опера-
тор U(t) має обмежений обернений U - 1(t) : E \rightarrow E (так званий параболiчний випадок).
Означення 4. Якщо f : J \rightarrow E неперервна, обмежена й U(t) — еволюцiйний оператор, то
вектор-функцiю u(t) будемо називати узагальненим (слабким) розв’язком рiвняння (27), якщо
u(t) неперервна i рiвнiсть
u(t) = U(t)U - 1(\tau )u(\tau ) +
t\int
\tau
U(t)U - 1(s)f(s) ds, t \geq \tau , (29)
виконується для довiльного t \in J.
Означення 5 [21]. Будемо казати, що рiвняння (28) допускає експоненцiальну дихотомiю
на J, якщо iснує проектор \scrP \in \scrL (E) такий, що для довiльної напiвнорми q \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c} E iснують
напiвнорма p \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c} E i сталi K \geq 1, \alpha > 0 такi, що виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
22 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
q(U(t)\scrP U - 1(s)\xi ) \leq Ke - \alpha (t - s)p(\xi ), t \geq s,
q(U(t)(I - \scrP )U - 1(s)\xi ) \leq Ke - \alpha (s - t)p(\xi ), s \geq t,
де \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c} E — множина всiх напiвнорм, заданих на E.
Це означення дозволяє дослiдити питання щодо iснування узагальнених розв’язкiв за ана-
логiєю з тим, як це було зроблено у просторi Банаха.
Теорема 5. Нехай однорiдне рiвняння (28) є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях \BbbR +
i \BbbR - з проекторами \scrP + та \scrP - вiдповiдно.
Тодi:
1) для того щоб рiвняння (27) мало узагальненi обмеженi розв’язки, необхiдно i достатньо,
щоб операторне рiвняння
\scrP +\xi 1 - (I - \scrP - )\xi 2 = g, (30)
де
g =
0\int
- \infty
\scrP - U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
+\infty \int
0
(I - \scrP +)U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau ,
мало розв’язки;
2) за виконання умов розв’язностi рiвняння (30) узагальненi обмеженi на всiй осi розв’язки
рiвняння (27) мають вигляд
x(t, \xi 1, \xi 2) =
\left\{
U(t)\scrP +\xi 1 -
\int +\infty
t
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
+
\int t
0
U(t)[I - \scrP +]U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau , t \geq 0,
U(t)(I - \scrP - )\xi 2 +
\int t
- \infty
U(t)\scrP - U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau -
-
\int 0
t
U(t)[I - \scrP - ]U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau , t \leq 0.
(31)
Доведення. Розв’язки рiвняння (27), обмеженi на пiвосях, мають вигляд (31). Дiйсно, дове-
демо, наприклад, що (31) визначають обмеженi розв’язки для невiд’ємної дiйсної пiвосi t \geq 0.
З визначення еволюцiйного оператора для рiвняння (27) маємо
d(U(t)\scrP +\xi 1)
dt
= A(t)U(t)\scrP +\xi 1.
З е-дихотомiчностi рiвняння (28) випливає, що для довiльної напiвнорми q \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}E iснує
напiвнорма p \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}E така, що
q(U(t)\scrP +\xi 1) \leq K1e
- \alpha tp(\xi 1), t \geq 0.
Таким чином, U(t)\scrP +\xi 1 визначає множину обмежених розв’язкiв однорiдного рiвняння (28)
d
\biggl(
-
\int +\infty
t
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
\int t
0
U(t)(I - \scrP +)U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau
\biggr)
dt
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 23
= U(t)\scrP +U
- 1(t)f(t) +A(t)
t\int
0
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
+U(t)(I - \scrP - )U
- 1(t)f(t) - A(t)
+\infty \int
t
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau =
= f(t) +A(t)
\left\{ -
+\infty \int
t
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
t\int
0
U(t)(I - \scrP +)U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau
\right\} .
Доведемо обмеженiсть одного з iнтегралiв:
q
\left( +\infty \int
t
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau
\right) \leq
+\infty \int
t
q
\bigl(
U(t)\scrP +U
- 1(\tau )f(\tau )
\bigr)
d\tau \leq
\leq
+\infty \int
t
K1e
- \alpha (t - \tau )p
\bigl(
f(\tau )
\bigr)
d\tau \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in \BbbR
p
\bigl(
f(\tau )
\bigr) K1
\alpha
.
Цiлком аналогiчно доводиться обмеженiсть iнших доданкiв. Для того щоб вираз (31) визначав
обмеженi розв’язки на всiй осi, необхiдно i достатньо, щоб
x(0+, \xi 1, \xi 2) = x(0 - , \xi 1, \xi 2).
Ця умова еквiвалентна розв’язностi операторного рiвняння
\scrP +\xi 1 - (I - \scrP - )\xi 2 =
=
0\int
- \infty
U(t)\scrP - U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau +
+\infty \int
0
U(t)(I - \scrP +)U
- 1(\tau )f(\tau ) d\tau . (32)
Якщо рiвняння (32) розв’язне, то, пiдставивши його розв’язки у (31), отримаємо узагальненi
обмеженi розв’язки рiвняння (27).
Далi розглянемо рiвняння (27) у просторi Фреше. Допомiжний оператор має вигляд S :=
:=
\bigl[
\scrP +, \scrP - - I
\bigr]
та вектор \xi = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (\xi 1, \xi 2). Тодi рiвняння (30) можна записати у виглядi
S\xi = g.
У загальному випадку умова \scrP YS
g = 0 не гарантує розв’язнiсть рiвняння (30), оскiльки
введений оператор S може не бути нормально розв’язним, а тому рiвняння (30) не матиме
розв’язкiв. У цьому випадку зображення (31) дає узагальненi (слабкi) обмеженi розв’язки лише
на пiвосях.
Для отримання повного результату необхiднi додатковi умови на оператор D = \scrP + - I+\scrP - ,
якi дозволять отримати розв’язнiсть рiвняння (30). Тому будемо розглядати це ж рiвняння, але у
просторi Фреше F. Його геометрiя дозволяє ввести поняття сильного узагальнено-оберненого
оператора i тим самим уточнити отриману теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
24 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
Вiдомо [26], що якщо простiр Фреше розкладається в алгебраїчну пряму суму пiдпросторiв,
то вiн розкладається й у топологiчну пряму суму цих же пiдпросторiв. Цей факт робить дослiд-
ження рiвняння (30) у просторi Фреше простiшим, нiж у загальних топологiчних просторах, i
дозволяє доповнити теорему 5.
Теорема 6. Нехай однорiдне рiвняння (28) є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях \BbbR +
та \BbbR - з проекторами \scrP + та \scrP - вiдповiдно, а оператор
D = \scrP + - I + \scrP - : F \rightarrow F
— сильним (X,Y )-узагальнено-оборотним [27].
Тодi:
1) для того щоб iснували узагальненi обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (27), необхiдно
та достатньо, щоб вектор-функцiя f \in BC(\BbbR , F ) задовольняла умову
+\infty \int
- \infty
H(t)f(t) dt = 0, (33)
де H(t) = (I - DD -
X,Y )\scrP - U
- 1(t), D — розширення оператора D на поповнений простiр F ;
2) за виконання умови (33) узагальненi розв’язки рiвняння (27) будуть мати вигляд
x0(t, c) = U(t)\scrP +PN(D)c+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t) \forall c \in F , (34)
де
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t) =
\left\{
\int t
0
U(t)U - 1(\tau )\scrP +f(\tau ) d\tau -
\int +\infty
t
U(t)U - 1(\tau )(I - \scrP +)f(\tau ) d\tau +
+U(t)\scrP +D
-
X,Y
\biggl[ \int \infty
0
U - 1(\tau )(I - \scrP +)f(\tau ) d\tau +
+
\int 0
- \infty
U - 1(\tau )\scrP - f(\tau ) d\tau
\biggr]
, t \geq 0,\int t
- \infty
U(t)U - 1(\tau )\scrP - f(\tau ) d\tau -
\int 0
t
U(t)U - 1(\tau )(I - \scrP - )f(\tau ) d\tau +
+U(t)(I - \scrP - )D
-
X,Y
\biggl[ \int \infty
0
U - 1(\tau )(I - \scrP +)f(\tau ) d\tau +
+
\int 0
- \infty
U - 1(\tau )\scrP - f(\tau ) d\tau
\biggr]
, t \leq 0,
— узагальнений оператор Грiна, розширений на F .
З урахуванням введених означень деталi методики доведення теореми такi ж, як i попе-
редньої. Якщо оператор D має узагальнено-обернений, то з теореми 6 отримаємо результат
роботи [28].
Приклад 1. Розглянемо рiвняння (27) у виглядi злiченної системи з дiагональним операто-
ром
A(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Bigl\{
th t, . . . , th t\underbrace{} \underbrace{}
k
, - th t, - th t, . . .
\Bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 25
у просторах l2loc(\bfC )
\Bigl(
з системою напiвнорм
\bigm\| \bigm\| (x1, x2, . . . , xn, . . .)\bigm\| \bigm\| 2n,l2loc =
\sum n
i=1
| xi| 2, n \in \BbbN
\Bigr)
або Кьоте з рiзними ваговими векторами (означення див., наприклад, у [25]). Тодi рiвняння (27)
є експоненцiально дихотомiчним на пiвосях з проекторами
\scrP + = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Bigl\{
0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
k
, 1, 1, . . .
\Bigr\}
, \scrP - = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Bigl\{
1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k
, 0, 0, . . .
\Bigr\}
вiдповiдно.
Еволюцiйний оператор має вигляд
U(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Biggl\{
et + e - t
2
, . . . ,
et + e - t
2\underbrace{} \underbrace{}
k
,
2
et + e - t
,
2
et + e - t
, . . .
\Biggr\}
.
Таким чином, згiдно з теоремою 6 маємо
D = \scrP + - I + \scrP - = 0, \scrP N(D) = I, \scrP YD
= I,
i оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R[\scrP YD
\scrP - ] = k, то оператор \scrP YD
\scrP - є скiнченновимiрним, H(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Hk(t),
0\} , де Hk(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
2/(et + e - t), . . . , 2/(et + e - t)
\bigr\}
— (k \times k)-вимiрна матриця. Необхiдна i
достатня умова iснування узагальнених обмежених розв’язкiв у просторi Фреше набере вигляду
+\infty \int
- \infty
Hk(t)f(t) dt = 0 \leftrightarrow
\left\{
\int +\infty
- \infty
f1(t)
et + e - t
dt = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .\int +\infty
- \infty
fk(t)
et + e - t
dt = 0.
Приклад 2. У просторi Банаха \bfB розглянемо крайову задачу з умовами на нескiнченностi
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + f(t), (35)
lx(\cdot ) = \alpha , (36)
де вектор-функцiя f(t) дiє з \BbbR у простiр Банаха \bfB ,
f(t) \in BC(R,\bfB ) :=
\Bigl\{
f(\cdot ) : R \rightarrow \bfB , | | | f | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in R
\| f(t)\| < \infty
\Bigr\}
,
операторнозначна функцiя A(t) сильно неперервна з вiдповiдною нормою
| | | A| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in R
\| A(t)\| < +\infty ;
BC1(R,\bfB ) :=
\Bigl\{
x(\cdot ) \in C1(R,\bfB ), | | | x| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in R
\bigl\{
\| x(t)\| , \| x\prime (t)\|
\bigr\}
< \infty
\Bigr\}
— простiр функцiй, неперервних на \BbbR разом iз похiдною, l — лiнiйний та обмежений оператор,
що дiє з простору BC1(R,\bfB ) у простiр Банаха \bfY . Визначимо умови iснування розв’язкiв
x(\cdot ) \in BC1(R,\bfB ) крайової задачi (35), (36) за припущення, що вiдповiдне однорiдне рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
26 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
dx(t)
dt
= A(t)x(t) (37)
допускає експоненцiальну дихотомiю [6, 8, 29] на пiвосях \BbbR + та \BbbR - з проекторами \scrP та \scrQ i
сталими k1,2 \geq 1 та \alpha 1,2 > 0 вiдповiдно. Еволюцiйний оператор, нормований у нулi, будемо
позначати U(t).
Покажемо, що за виконання умов теореми 2 крайова задача (35), (36) може бути розв’язана
з допомогою оператора
Q0 = lU(\cdot )\scrP \scrP N(D) : \bfB \rightarrow \bfY .
Теорема 7. Нехай оператор Q0 : \bfB \rightarrow \bfY є узагальнено-оборотним.
Тодi:
(i) для iснування розв’язкiв крайової задачi (35), (36) необхiдно й достатньо, щоб
\scrP YQ0
\bigl[
\alpha - l(
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot ))
\bigr]
= 0; (38)
(ii) за виконання умови (38) розв’язки крайової задачi (35), (36) мають вигляд
x(t, c) = U(t)\scrP \scrP N(D)\scrP N(Q0)c+ U(t)\scrP \scrP N(D)Q
-
0
\bigl[
\alpha - l
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot )
\bigr]
+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t),
де c \in \bfB — довiльний елемент,
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot ) — узагальнений оператор Грiна, Q -
0 — узагальнено-
обернений оператор до оператора Q0, \scrP YQ0
— проектор, який проектує \bfB на пiдпростiр
\bfY \ominus R(Q0).
Доведення. З теореми випливає, що множина обмежених розв’язкiв рiвняння (35) має
вигляд x(t, c) = U(t)\scrP \scrP N(D)c +
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t). Пiдставимо цi розв’язки у крайову умову (36) i
отримаємо операторне рiвняння
Q0c = \alpha - l
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot ).
За умовою теореми оператор Q0 є узагальнено-оборотним, тодi для iснування розв’язкiв
крайової задачi (35), (36) необхiдно та достатньо [11], щоб
\scrP YQ0
\bigl[
\alpha - l(
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot ))
\bigr]
= 0.
Множина обмежених розв’язкiв крайової задачi (35), (36) має вигляд
x(t, c) = U(t)\scrP \scrP N(D)\scrP N(Q0)c+ U(t)\scrP \scrP N(D)Q
-
0
\bigl[
\alpha - l
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot )
\bigr]
+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t).
Зауваження 6. Якщо \bfY = \bfB \times \bfB , lx = (x(+\infty ), x( - \infty )) = (\alpha , \alpha ) \in \bfB \times \bfB , де \alpha — поло-
ження рiвноваги (35), то всi обмеженi розв’язки крайової задачi (35), (36) є „гомоклiнiчними”
траєкторiями [30]. Наведемо iншi приклади крайових умов, якi можна дослiдити з допомогою
наведених вище результатiв:
a) lx(\cdot ) = x(+\infty ) - x( - \infty ) = \alpha ;
b) lx(\cdot ) = x(+\infty ) - Ax( - \infty ) = \alpha ,
де \bfB = \bfY , оператор A лiнiйний та обмежений, що дiє з простору Банаха \bfB у себе, A \in \scrL (\bfB ),
\alpha \in \bfB ;
c) lx(\cdot ) = A1x(+\infty ) - A2x( - \infty ) = \alpha , де оператори A1, A2 лiнiйнi та обмеженi, що дiють
з простору Банаха \bfB у простiр Банаха \bfY , A1, A2 \in \scrL (\bfB ,\bfY ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 27
Розглянемо, наприклад, крайову задачу, де оператор крайових умов l визначається таким
чином:
lx(\cdot ) =
m\sum
i=1
Aix(ti) +
n\sum
i=m+1
Bix(ti) = \alpha ,
де m,n \in \BbbN , m < n; ti < 0, i = 1,m; ti > 0, i = m+ 1, n; оператори Ai \in \scrL (\bfH ,\bfY ), i = 1,m;
Bi \in \scrL (\bfH ,\bfY ), i = m+ 1, n; \alpha \in \bfY ; \bfH ,\bfY — простори Гiльберта. У такому випадку оператор
Q0 =
\Biggl(
m\sum
i=1
AiU(ti) +
n\sum
i=m+1
BiU(ti)
\Biggr)
\scrP \scrP N(D).
Як наслiдок iз теореми 7 отримаємо таке твердження.
Наслiдок 2. Припустимо, що
R
\Biggl( \Biggl(
m\sum
i=1
AiU(ti) +
n\sum
i=m+1
BiU(ti)
\Biggr)
\scrP \scrP N(D)
\Biggr)
=
= R
\Biggl( \Biggl(
m\sum
i=1
AiU(ti) +
n\sum
i=m+1
BiU(ti)
\Biggr)
\scrP \scrP N(D)
\Biggr)
.
Тодi:
(i) для iснування розв’язкiв крайової задачi (35), (36) необхiдно й достатньо, щоб
\scrP YQ0
\Biggl[
\alpha -
m\sum
i=1
Ai
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(ti) -
n\sum
i=m+1
Bi
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(ti)
\Biggr]
= 0; (39)
(ii) за виконання умови (39) розв’язки крайової задачi (35), (36) мають вигляд
x(t, c) = U(t)\scrP \scrP N(D)\scrP N(Q0)c+
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(t)+
+U(t)\scrP \scrP N(D)
\Biggl( \Biggl(
m\sum
i=1
AiU(ti) +
n\sum
i=m+1
BiU(ti)
\Biggr)
\scrP \scrP N(D)
\Biggr) +
\times
\times
\Biggl[
\alpha -
m\sum
i=1
Ai
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(ti) -
n\sum
i=m+1
Bi
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(ti)
\Biggr]
,
де c \in \bfH — довiльний елемент гiльбертового простору \bfH ,
\bigl(
G[f ]
\bigr)
(\cdot ) — узагальнений опера-
тор Грiна,
\Bigl( \Bigl( \sum m
i=1
AiU(ti) +
\sum n
i=m+1
BiU(ti)
\Bigr)
\scrP \scrP N(D)
\Bigr) +
— псевдообернений за Муром –
Пенроузом до вiдповiдного оператора.
Лiтература
1. Coppel W. A. Dichotomies and reducibility // J. Different. Equat. – 1967. – 3. – P. 500 – 521.
2. Sacker R., Sell G. Existence of dichotomies and invariant splittings for linear differential systems, II // J. Different.
Equat. – 1976. – 22. – P. 478 – 496.
3. Sacker R. J. Existence dichotomies and invariant splittings for linear differential systems, IV // J. Different. Equat. –
1978. – 27. – P. 106 – 137.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
28 O. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, O. О. ПОКУТНИЙ
4. Sacker R. J. The splitting index for linear differential systems // J. Different. Equat. – 1979. – 33. – P. 368 – 405.
5. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 272 с.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом прост-
ранстве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
7. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. – М.:
Мир, 1970. – 456 с.
8. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. – 1984. – 55. –
P. 225 – 256.
9. Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line // Nonlinear Oscillati-
ons. – 1999. – 2, № 1. – P. 3 – 10.
10. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F. Dichotomy on semiaxes and the solutions of linear systems with delay bounded on
the entire axis // J. Math. Sci. – 2017. – 220, № 4. – P. 377 – 393.
11. Boichuk A. A., , Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 317 p.
12. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – 2nd ed. –
Berlin: De Gruyter, 2016. – 296 p.
13. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. – 376 с.
14. Rodrigues H. M. Evolution equations: dichotomies and the Fredholm alternative for bounded solutions // J. Different.
Equat. – 1995. – 119. – P. 263 – 283.
15. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов // Докл.
РАН. – 2002. – 383, № 5. – C. 583 – 585.
16. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов // Мат. заметки. – 2000. – 67, № 6. –
C. 816 – 827.
17. Баскаков А. Г. О дифференциальных и разностных фредгольмовых операторах // Докл. РАН. – 2007. – 416,
№ 2. – C. 156 – 160.
18. Latushkin Yu., Tomilov Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients // J. Different. Equat. – 2005. –
208. – P. 388 – 429.
19. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A. Bounded solutions of linear differential equations in Banach space // Nonlinear
Oscillations. – 2006. – 9, № 1. — P. 3 – 14.
20. Boichuk O. A., Pokutnyi O. O. Bounded solutions of weakly nonlinear differential equations in a Banach space //
Nonlinear Oscillations. – 2008. – 11, № 2. — P. 158 – 167.
21. Покутний О. О. Узагальненi обмеженi розв’язки лiнiйних еволюцiйних рiвнянь в локально-опуклих просто-
рах // Журн. обчислюв. та прикл. математики. – 2009. – 2(98). – C. 35 – 40.
22. Покутний О. О. Апроксимацiя узагальнених обмежених розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь з необмеженим
оператором // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 1. – C. 93 – 99.
23. Крейн С. Г. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
24. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 430 с.
25. Радыно А. Я. Линейные уравнения и борнология. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1982. – 199 с.
26. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. – М.: Мир, 1967. – 257 с.
27. Бойчук О. А, Покутний О. О. Теория возмущений операторных уравнений в пространствах Фреше и Гильбер-
та // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 9. – C. 1181 – 1188.
28. Бойчук А. А., Покутный А. А. Экспоненциальная дихотомия и ограниченные решения дифференциальных
уравнений в пространстве Фреше // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 12. – С. 1587 – 1597.
29. Sacker R. J., Sell G. R. Dichotomies for linear evolutionary equations in Banach spaces // J. Different. Equat. –
1994. – 113. – P. 17 – 67.
30. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. – New York:
Springer-Verlag, 1983. – 559 p.
Одержано 08.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1539 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:42Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/11/ac61e7f6bd8f3ba412ce443658856111.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15392019-12-05T09:17:34Z Bounded solutions of evolutionary equations Обмежені розв’язки еволюційних рівнянь Boichuk, О. A. Zhuravlyov, V. Р. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. Покутний, O. О. We study the problems of existence and representations of the solutions bounded on the entire axis for both linear and nonlinear differential equations with unbounded operator coefficients in the Fr´echet and Banach spaces under the condition of exponential dichotomy on the semiaxes of the corresponding homogeneous equation. Исследуются вопросы существования и представления ограниченных на всей оси решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в пространствах Фреше и Банаха при условии экспоненциальной дихотомии на полуосях соответствующего однородного уравнения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1539 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 1 (2018); 7-28 Український математичний журнал; Том 70 № 1 (2018); 7-28 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1539/521 Copyright (c) 2018 Boichuk О. A.; Zhuravlyov V. Р.; Pokutnyi О. О. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Zhuravlyov, V. Р. Pokutnyi, О. О. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. Покутний, O. О. Bounded solutions of evolutionary equations |
| title | Bounded solutions of evolutionary equations |
| title_alt | Обмежені розв’язки еволюційних рівнянь |
| title_full | Bounded solutions of evolutionary equations |
| title_fullStr | Bounded solutions of evolutionary equations |
| title_full_unstemmed | Bounded solutions of evolutionary equations |
| title_short | Bounded solutions of evolutionary equations |
| title_sort | bounded solutions of evolutionary equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1539 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa boundedsolutionsofevolutionaryequations AT zhuravlyovvr boundedsolutionsofevolutionaryequations AT pokutnyioo boundedsolutionsofevolutionaryequations AT bojčukoa boundedsolutionsofevolutionaryequations AT žuravlʹovvp boundedsolutionsofevolutionaryequations AT pokutnijoo boundedsolutionsofevolutionaryequations AT boichukoa obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ AT zhuravlyovvr obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ AT pokutnyioo obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ AT bojčukoa obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ AT žuravlʹovvp obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ AT pokutnijoo obmeženírozvâzkievolûcíjnihrívnânʹ |