Stability of global attractors of impulsive infinite-dimensional systems
The stability of global attractor is proved for an impulsive infinite-dimensional dynamical system. The obtained abstract results are applied to a weakly nonlinear parabolic equation whose solutions are subjected to impulsive perturbations at the times of intersection with a certain surface of the p...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1540 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507333729189888 |
|---|---|
| author | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Romanyuk, I. V. Капустян, О. В. Перестюк, М. О. Романюк, I. В. |
| author_facet | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Romanyuk, I. V. Капустян, О. В. Перестюк, М. О. Романюк, I. В. |
| author_sort | Kapustyan, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:17:34Z |
| description | The stability of global attractor is proved for an impulsive infinite-dimensional dynamical system. The obtained abstract
results are applied to a weakly nonlinear parabolic equation whose solutions are subjected to impulsive perturbations at the
times of intersection with a certain surface of the phase space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Капустян, М. О. Перестюк, I. В. Романюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ
НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ
The stability of global attractor is proved for an impulsive infinite-dimensional dynamical system. The obtained abstract
results are applied to a weakly nonlinear parabolic equation whose solutions are subjected to impulsive perturbations at the
times of intersection with a certain surface of the phase space.
Доказана устойчивость глобального аттрактора для импульсной бесконечномерной динамической системы. Полу-
ченные абстрактные результаты применены к слабонелинейному параболическому уравнению, решения которого
подвергаются импульсному возмущению при достижении фиксированного подмножества фазового пространства.
Вступ. Одним iз найбiльш популярних математичних пiдходiв до опису еволюцiйних процесiв
з миттєвими змiнами є теорiя iмпульсних диференцiальних рiвнянь, що була започаткована в
пiонерських роботах А. М. Самойленка [1, 2]. На сьогоднi завдяки роботам А. М. Самойлен-
ка, М. О. Перестюка [3 – 7], Р. Лакшмiкантама, Д. Байнова [8] та багатьох iнших математикiв
теорiя iмпульсних систем є окремим напрямком загальної теорiї диференцiальних рiвнянь.
Важливим класом систем з iмпульсним збуренням є iмпульснi (або розривнi) динамiчнi систе-
ми, що описуються автономною еволюцiйною системою, траєкторiї якої зазнають iмпульсного
впливу при досягненнi фiксованої пiдмножини фазового простору (iмпульсної множини). На
вiдмiну вiд систем з iмпульсним збуренням у фiксованi моменти часу побудова якiсної теорiї
для iмпульсних динамiчних систем ще далека вiд остаточного завершення. Рiзним її аспектам у
скiнченновимiрному випадку присвячено роботи [5 – 17]. Для нескiнченновимiрних дисипатив-
них динамiчних систем одним iз найефективнiших iнструментiв дослiдження якiсної поведiнки
розв’язкiв є теорiя глобальних атракторiв [18 – 20]. Важливi узагальнення цiєї теорiї на випа-
док можливої неєдиностi розв’язку задачi Кошi одержано в роботах [21 – 25], на неавтономнi
задачi — в [26], зокрема, на системи з фiксованими моментами iмпульсного збурення — в
[27 – 32]. Проте перенесення основних конструкцiй цiєї теорiї на iмпульснi динамiчнi системи
наштовхується на принципову проблему — вiдсутнiсть у таких системах неперервної залежнос-
тi розв’язку вiд початкових даних. Це вимагає нової концепцiї i для глобального атрактора, i
для його основних характеристик (iнварiантнiсть, стiйкiсть, робастнiсть). У роботi [33] було
запропоновано означення глобального атрактора як компактної, iнварiантної, притягуючої мно-
жини, що не перетинається з iмпульсною множиною. Очевидно, так введене поняття атрактора
не є прийнятним у задачах, що допускають необмежену кiлькiсть стрибкiв уздовж траєкторiй.
У роботах [34, 35] в якостi глобального атрактора пропонується розглядати передкомпактну,
iнварiантну, притягуючу множину A = \=A \setminus M, де M — iмпульсна множина. Недолiком цього
пiдходу є дуже жорсткi умови на характер поведiнки траєкторiй в околi множини M (“tube
condition”) i вiдсутнiсть скiльки-небудь ефективних достатнiх умов для їх перевiрки. В роботах
[36, 37] було запропоновано iнший пiдхiд, що ґрунтувався на поняттi рiвномiрного атракторa
для неавтономних систем — компактної мiнiмальної рiвномiрно притягуючої множини. Вiдсут-
нiсть в такому означеннi умови iнварiантностi дозволилa не використовувати “tube condition”
i одержати змiстовнi результати щодо iснування та властивостi атрактора для класiв слабко-
c\bigcirc О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1 29
30 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК
нелiнiйних iмпульсно-збурених рiвнянь. Пiзнiше в роботi [38] цей пiдхiд було поширено на
iншi класи iмпульсних систем, зокрема на тi, для яких не виконується умова єдиностi розв’язку
задач Кошi. Крiм того, за природних умов на iмпульснi параметри було дослiджено властивостi
iнварiантностi та робастностi. Метою даної роботи є дослiдження концепцiї стiйкостi глобаль-
ного атрактора в сенсi [36, 37] iмпульсної динамiчної системи та застосування одержаних
результатiв до слабконелiнiйної iмпульсно-збуреної системи.
Постановка задачi. Нехай G : \BbbR \times X \rightarrow X — напiвгрупа, задана на нормованому просторi
X (не обов’язково неперервна), \beta (X) — сукупнiсть обмежених пiдмножин X.
Означення 1 [37]. Компакт \Theta \subset X будемо називати глобальним атрактором G, якщо:
1) \Theta — рiвномiрно притягуюча множина, тобто
\forall B \in \beta (X) : dist (G(t, B),\Theta ) \rightarrow 0, t\rightarrow \infty ;
2) \Theta — мiнiмальна замкнена множина, що задовольняє умову 1.
Очевидно, що якщо глобальний атрактор iснує, то вiн єдиний. Якщо G має глобальний
атрактор у класичному сенсi [20], тобто iснує компакт A \subset X, який задовольняє умову 1 i
є iнварiантним (G(t, A) = A \forall t \geq 0), то A задовольняє означення 1. Навпаки правильно за
додаткової умови неперервностi G(t, \cdot ), тобто якщо \Theta — глобальний атрактор напiвгрупи G i
виконується умова
для будь-якого t \geq 0 вiдображення x\rightarrow G(t, x) є неперервним, (1)
то \Theta — глобальний атрактор напiвгрупи G у класичному сенсi, зокрема
\Theta = G(t,\Theta ) \forall t \geq 0. (2)
Саме тому в iмпульсних (розривних) динамiчних системах, де напiвгрупа G, як правило, не
задовольняє умову (1), природним є саме означення 1.
Iншою перевагою цього означення є наступний критерiй.
Твердження 1 [30]. Нехай G — дисипативна напiвгрупа, тобто
\exists B0 \in \beta (X) \forall B \in \beta (X) \exists T = T (B) \forall t \geq T : G(t, B) \subset B0.
G має глобальний атрактор \Theta тодi i тiльки тодi, коли G є асимптотично компактною,
тобто для будь-яких\{ xn\} \in \beta (X) i \{ tn \nearrow \infty \} послiдовнiсть \{ G(tn, xn)\} пeредкомпактна.
При цьому
\Theta = \omega (B0) :=
\bigcap
\tau >0
\bigcup
t\geq \tau
G(t, B0).
За допомогою цього критерiю в роботi [37] було видiлено класи iмпульсних нескiнченно-
вимiрних дисипативних задач, що мають глобальний атрактор. Зокрема, було показано, що для
достатньо малих \varepsilon > 0 розв’язки iмпульсної задачi
\partial y
\partial t
= \Delta y - \varepsilon f(y), t > 0, x \in \Omega ,
y | \partial \Omega = 0,
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 31
де \Omega \subset \BbbR p — обмежена область, f — неперервно диференцiйовна функцiя, f \prime (y) \geq - C,
| f(y)| \leq C \forall y \in R, у фазовому просторi X = L2(\Omega ) з iмпульсною множиною
M = \{ y \in X | (y, \psi 1) = a\} (4)
та iмпульсним вiдображенням I : M \mapsto \rightarrow X
y = a\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci\psi i Iy = (1 + \mu )a\psi 1 +
\infty \sum
i=2
ci\psi i (5)
породжують напiгрупу G\varepsilon , яка має глобальний атрактор \Theta \varepsilon , причому
dist (\Theta \varepsilon ,\Theta 0) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0. (6)
Тут
\Theta 0 =
\bigcup
t\in [0,ln(1+\mu )]
\bigl\{
(1 + \mu )ae - t\psi 1
\bigr\}
\cup \{ 0\} (7)
— глобальний атрактор напiвгрупи G0, що породжується задачею (3) – (5) при \varepsilon = 0.
Аналiз стiйкостi почнемо з властивостi iнварiантностi. Легко бачити, що множина \Theta 0 має
непорожнiй перетин з iмпульсною множиною M i не є iнварiантною вiдносно G0. Натомiсть
для \Theta 0 \setminus M маємо
G0(t,\Theta 0 \setminus M) = \Theta 0 \setminus M \forall t \geq 0. (8)
Рiвнiсть (8) зберiгається i для збуреної задачi (3) – (5) для достатньо малих \varepsilon > 0
\Theta \varepsilon \setminus M = G\varepsilon (t,\Theta \varepsilon \setminus M) \forall t \geq 0. (9)
Це дає пiдстави для iмпульсної динамiчної системи G з глобальним атрактором \Theta аналiзувати
стiйкiсть множини \Theta \setminus M. Наступне твердження випливає з [39] i встановлює зв’язок мiж
рiзними означеннями стiйкостi компактних множин вiдносно напiвгрупи G.
Твердження 2. Якщо A \subset X — компакт i виконується умова
\forall xn \rightarrow x \in A \forall tn \geq 0 : \{ G(tn, xn)\} — пeредкомпакт, (10)
то наступнi властивостi є еквiвалентними:
1) \forall \varepsilon > 0 \forall x \in A \exists \delta > 0 \forall t \geq 0 : G(t, O\delta (x)) \subset O\varepsilon (A);
2) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall t \geq 0 : G(t, O\delta (A)) \subset O\varepsilon (A);
3) \forall x \in A \forall y /\in A \exists \delta > 0 \forall t \geq 0 : G(t, O\delta (x)) \cap O\delta (y) = \varnothing ;
4) A = D+(A) :=
\bigcup
x\in A
\{ y | y = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}G(tn, xn), xn \rightarrow x, tn \geq 0\} .
Зауваження 1. Оскiльки A \subset D+(A) за побудовою, то властивiсть 4 еквiвалентна вкла-
денню D+(A) \subset A.
Наступний результат легко одержується вiд супротивного.
Твердження 3. Якщо \Theta — глобальний атрактор G i виконано умову
\forall xn \rightarrow x \in \Theta \forall tn \rightarrow t \geq 0 : G(tn, xn) \rightarrow G(t, x), (11)
то \Theta є стiйким у сенсi 1 – 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
32 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК
Умова (11) є вирiшальною. Її невиконання призводить до того, що атрактор \Theta може не бути
стiйким у жодному з сенсiв 1 – 4. Наприклад, для напiвгрупи G0 атрактор \Theta 0, що задається
(7), не задовольняє властивостi 1 – 4. На жаль, те саме має мiсце i для iнварiантної множини
\Theta 0 \setminus M. Проте легко бачити, що для G0
D+(\Theta 0 \setminus M) \subset \Theta 0 \setminus M. (12)
Основною метою даної роботи є доведення того, що властивiсть (12) при певних додат-
кових умовах зберiгається для широкого класу iмпульсних динамiчних систем, зокрема буде
встановлено, що вона виконується для iмпульсної задачi (3) – (5) при достатньо малих \varepsilon > 0.
Основнi абстрактнi результати. Далi пiд iмпульсною динамiчною системою G =
= (V,M, I) будемо розумiти вiдображення G : R+ \times X \rightarrow X, що будується за допомогою
неперервної напiвгрупи V : R+ \times X \rightarrow X, iмпульсної множини M \subset X та iмпульсного вi-
дображення I : M \rightarrow X згiдно з таким правилом [10]: якщо V (t, x) \not \in M для x \in X i для всiх
t > 0, то G(t, x) = V (t, x); у iншому випадку
G(t, x) =
\left\{ V (t - tn), t \in [tn, tn+1),
x+n+1, t = tn+1,
(13)
де t0 = 0, tn+1 =
\sum n
k=0
sk, x+n+1 = IV (sn, x
+
n ), x
+
0 = x, sn — моменти iмпульсного
збурення, що характеризуються умовою V (sn, x
+
n ) \in M.
За умов
M — замкнена, M \cap IM = \varnothing ,
\forall x \in M \exists \tau = \tau (x) > 0 \forall t \in (0, \tau ) : V (t, x) /\in M, (14)
t \mapsto \rightarrow G(t, x) визначенa на [0,+\infty ) \forall x \in X
формула (13) визначає напiвгрупу G : R+ \times X \rightarrow X [14, 37].
Зауваження 2. Остання умова в (14) означає, що вздовж кожної траєкторiї динамiчної
системи G або кiлькiсть iмпульсних точок не бiльш нiж скiнченна, або
\sum \infty
n=0
sn = \infty .
Зауваження 3. За побудовою G(t, x) \not \in M \forall x \in X \forall t > 0.
Будемо вважати виконаними такi умови неперервностi:
I : M \rightarrow X є неперервним,
\forall tn \rightarrow t0 \geq 0 \forall xn \rightarrow x0 : V (tn, xn) \rightarrow V (t0, x0).
(15)
Враховуючи умови (14) i неперервнiсть напiвгрупи V, легко показати [14], що для довiльного
x \in X або iснує момент часу s := s(x) > 0 такий, що V (t, x) \not \in M \forall t \in (0, s), V (s, x) \in M,
або V (t, x) \cap M = \varnothing \forall t > 0 (в цьому випадку покладемо s(x) = \infty ).
Теорема 1. Нехай iмпульсна динамiчна система G = (V,M, I) задовольняє умови (14),
(15) i для довiльної послiдовностi xn \rightarrow x /\in M
s(x) = \infty , якщо s(xn) = \infty для нескiнченно багатьох n,
s(xn) \rightarrow s(x) — у протилежному випадку.
(16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 33
Нехай \Theta — глобальний атрактор напiвгрупи G. Тодi \Theta є додатно iнварiантним у тому сенсi,
що
G(t,\Theta \setminus M) \subset \Theta \setminus M \forall t > 0, (17)
i стiйким у тому сенсi, що
D+(\Theta \setminus M) \subset \Theta . (18)
Зауваження 4. Умови (14), (16) нiчого не вимагають щодо поведiнки напiвгрупи V при
перетинi множини M (на вiдмiну вiд умов типу “tube condition” iз робiт [33 – 35]).
Доведення. Використаємо результат, який за умови “tube condition” доведенo в [34], а в
загальному випадку багатозначної iмпульсної динамiчної системи — в [39].
Твердження 4. За умов (14) – (16) для xn \rightarrow x /\in M i t \geq 0 iснує \eta n \rightarrow 0+ таке, що
G(t+ \eta n, xn) \rightarrow G(t, x).
Крiм того, G(\alpha n, xn) \rightarrow x \forall \alpha n \rightarrow 0 + .
Доведемо (17). Нехай x \in \Theta \setminus M. Згiдно з твердженням 1, \exists tn \rightarrow \infty : \exists \{ zn\} \subset O\varepsilon (\Theta ) := B0 :
\xi n = G(tn, zn) \rightarrow x. Тодi для будь-якого t \geq 0 iснує \eta n \rightarrow 0+ таке, що G(t+ \eta n, \xi n) \rightarrow G(t, x).
Але G(t+ \eta n, \xi n) = G(tn + t+ \eta n, zn), отже, G(t, x) \in \Theta \setminus M.
Доведемо (18). Будемо мiркувати вiд супротивного. Нехай для деяких xn \rightarrow x \in \Theta \setminus M та
\tau n \geq 0 виконується
yn = G(\tau n, xn) \rightarrow y /\in \Theta . (19)
Випадок \tau n \rightarrow \infty призводить до суперечностi з твердженням 1, отже, будемо вважати, що
\tau n \rightarrow \tau \geq 0. Позначимо s(n)0 = s(xn), s0 = s(x).
Якщо s(xn) = \infty для нескiнченно багатьох n \geq 1, то s(x) = \infty , отже,
yn = V (\tau n, xn) \rightarrow V (\tau , x) = G(\tau , x) \in \Theta \setminus M,
що суперечить умовi (19).
В iншому випадку s(n)0 \rightarrow s0 > 0. Якщо \tau < s0, то \tau n < s
(n)
0 , отже,
yn = V (\tau n, xn) \rightarrow V (\tau , x) = G(\tau , x) \in \Theta \setminus M,
що теж суперечить умовi (19).
Якщо \tau = s0 i \tau n < sn0 , то
yn = V (\tau n, xn) \rightarrow V (\tau , x) = V (s0, x) \in M.
Оскiльки для \eta n \searrow 0 \tau - \eta n < s0, то, з одного боку,
V (\tau - \eta n, x) \rightarrow V (\tau , x),
а з iншого —
V (\tau - \eta n, x) = G(\tau - \eta n, x) \in \Theta \setminus M.
Звiдси y = V (\tau , x) \in \Theta \setminus M \subset \Theta , що суперечить умовi (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
34 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК
Якщо \tau = s0 i \tau n \geq sn0 , то \tau n = sn0 + \alpha n, \alpha n \rightarrow 0 + . Позначимо x(n)+1 = IV (s
(n)
0 , xn).
Внаслiдок умов неперервностi (15) x(n)+1 \rightarrow IV (s0, x) = x+1 , отже,
yn = V (\alpha n, x
(n)+
1 ) \rightarrow x+1 = G(s0, x) \in \Theta \setminus M,
що суперечить умовi (19).
Нехай \tau > s0. Тодi \tau n > s
(n)
0 . Позначимо s(n)1 = s(x
(n)+
1 ), s1 = s(x+1 ).
Якщо s(n)1 = \infty , то s1 = \infty , отже, з формули (13)
yn = V (\tau n - s
(n)
0 , x
(n)+
1 ) \rightarrow V (\tau - s0, x
+
1 ) = G(\tau , x) \in \Theta \setminus M,
що теж суперечить умовi (19).
В iншому випадку s(n)1 \rightarrow s1 > 0 i, використовуючи формулу (13), можемо повторити попе-
реднi мiркування для s0 < \tau \leq s0 + s1 i т. д. Кожного разу будемо приходити до суперечностi
з (19).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 5. З доведення теореми 1 випливає виконання такої властивостi:
якщо xn \rightarrow x \in \Theta \setminus M, \tau n \rightarrow \tau \geq 0, yn = G(\tau n, xn) \rightarrow y, то y \in \Theta \setminus M. (20)
Теорема 2. Нехай iмпульсна динамiчна система G = (V,M, I) задовольняє умови теореми
1 i, крiм того, виконується умова: для xn \rightarrow x \in M
або s(xn) = \infty для нескiнченно багатьох n, або s(xn) \rightarrow 0. (21)
Нехай \Theta — глобальний атрактор напiвгрупи G. Тодi справджується рiвнiсть
\Theta = \Theta \setminus M. (22)
Крiм того, \Theta iнварiантний у тому сенсi, що
G(t,\Theta \setminus M) = \Theta \setminus M \forall t \geq 0, (23)
i стiйкий у тому сенсi, що
D+(\Theta \setminus M) \subset \Theta \setminus M. (24)
Зауваження 6. Рiвнiсть (22) означає, що A = \Theta \setminus M — атрактор iмпульсної динамiчної
системи G в сенсi роботи [34].
Доведення. Спочатку доведемо (22). Вкладення \Theta \setminus M \subset \Theta є очевидним. Нехай \xi \in \Theta \cap M.
Тодi \xi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} yn, yn = G(tn, zn), де \{ zn\} обмеженa, tn \rightarrow \infty . Крiм того,
yn = G(tn, zn) = G(t, G(tn - t, zn)) = G(t, \eta n),
де \eta n = G(tn - t, zn) \rightarrow \eta \in \Theta , t > 0, — довiльне фiксоване число.
Якщо \eta /\in M, то з (20) виводимо \xi \in \Theta \setminus M.
Нехай \eta \in M. Якщо s(\eta n) = \infty для нескiнченно багатьох n, то, оскiльки iснує \tau \in (0, t)
таке, що для будь-якого s \in (0, \tau ] V (s, \eta ) /\in M, можемо вважати, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 35
yn = G(t, \eta n) = V (t, \eta n) = V (t - \tau , V (\tau , \eta n)) = G(t - \tau , xn),
де xn = V (\tau , \eta n) \rightarrow V (\tau , \eta ) /\in M. Водночас
xn = V (\tau , \eta n) = G(\tau , \eta n) = G(\tau + tn - t, zn),
отже, V (\tau , \eta ) \in \Theta \setminus M i згiдно з (20) \xi \in \Theta \setminus M. З огляду на умову (21) залишилось розглянути
випадок s(\eta n) = sn \rightarrow 0. Маємо
yn = G(t, \eta n) = G(t - sn, G(sn, \eta n)) = G(t - sn, \eta
+
n ),
де \eta +n = IV (sn, \eta n) \rightarrow I\eta /\in M. З iншого боку, \eta +n = G(sn + tn - t, zn), отже, I\eta \in \Theta \setminus M i
згiдно з (20) \xi \in \Theta \setminus M. Таким чином, ми довели рiвнiсть \Theta = \Theta \setminus M, з якої i з попередньої
теореми випливає (24).
Доведемо (23). Нехай \xi \in \Theta \setminus M, t > 0 фiксоване. Тодi, аналогiчно попереднiм мiркуванням,
\xi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \xi n, де \xi n = G(t, yn), yn = G(tn - t, zn) \rightarrow y \in \Theta . Якщо y /\in M, то на пiдставi
твердження 4 iснує \eta n \rightarrow 0+ таке, що
G(t+ \eta n, yn) \rightarrow G(t, y) \in G(t,\Theta \setminus M).
З iншого боку,
G(t+ \eta n, yn) = G(\eta n, G(t, yn)) = G(\eta n, \xi n) \rightarrow \xi ,
отже, \xi \in G(t,\Theta \setminus M). Тепер нехай y \in M. Тодi \exists \tau < t \forall p \in (0, \tau ] : V (p, y) /\in M.
Якщо s(yn) = \infty , то
\xi n = G(t, yn) = V (t, yn) = G(t - p,G(p, yn)),
G(p, yn) = V (p, yn) \rightarrow V (p, y) \in \Theta \setminus M.
Тепер iз попереднiх мiркувань випливає, що
\xi \in G(t - p,\Theta \setminus M).
Виберемо p <
t
2
. Тодi на пiдставi (17) \xi \in G
\Bigl(
t - t
2
, G
\Bigl( t
2
- p,\Theta \setminus M
\Bigr)
\subset G
\Bigl( t
2
,\Theta \setminus M
\Bigr)
. В
iншому випадку s(yn) \rightarrow 0. Отже, для sn = s(yn)
\xi n = G(t, yn) = G(t - sn, G(sn, yn)) = G(t - sn, y
+
n ),
де y+n = IV (sn, yn) \rightarrow Iy \in \Theta \setminus M.
Розглянемо \xi n = G(sn, \xi n). Тодi \xi n \rightarrow \xi , i на пiдставi рiвностi \xi n = G(t, y+n ) з попереднiх
мiркувань випливає, що \xi \in G(t,\Theta \setminus M).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
36 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК
Застосування до задачi (3) – (5).
Теорема 3. Для достатньо малих \varepsilon > 0 глобальний атрактор \Theta \varepsilon iмпульсної динамiчної
системи G\varepsilon , породженої задачею (3) – (5), iнварiантний i стiйкий у сенсi (22) – (24).
Доведення. Умови (14), а також дисипативнiсть та асимптотична компактнiсть перевiренi в
роботi [37], умови неперервностi (15) випливають з такої властивостi розв’язкiв задачi (3) [25]:
якщо y
(n)
0 \rightarrow y0 слабко в L2(\Omega ), то \forall tn \rightarrow t0 > 0 : y(n)(tn) \rightarrow y(t0) в L2(\Omega );
якщо y
(n)
0 \rightarrow y0 в L2(\Omega ), то для довiльного T > 0 y(n) \rightarrow y в C([0, T ];L2(\Omega )).
Отже, для доведення достатньо перевiрити умови (16) i (21). Для будь-якого розв’язку задачi
(3) маємо
(y\varepsilon (t), \psi 1) = e - \lambda 1t(y0, \psi 1) - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1)dp. (25)
Всi подальшi мiркування будуть проводитись „для достатньо малих \varepsilon > 0”, тобто для всiх
\varepsilon \in (0, \=\varepsilon ), де \=\varepsilon > 0 залежить лише вiд сталих задачi (3) – (5).
Нехай y0 /\in M, тобто (y0, \psi 1) \not = a, y
(n)
0 \rightarrow y0 i s(yn0 ) = \infty . Для (y0, \psi 1) \leq
a
2
s(y0) = \infty ,
тому будемо розглядати (y0, \psi 1) >
a
2
, (y
(n)
0 , \psi 1) >
a
2
.
Вiд супротивного, нехай s(y0) = s0 > 0. Тодi з (25) отримуємо
a = e - \lambda 1s0(y0, \psi 1) - \varepsilon
s0\int
0
e - \lambda 1(s0 - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi )dp. (26)
З iншого боку, розглянемо функцiю F : L2(\Omega )\times R\rightarrow R:
F (y, t) = e - \lambda 1t(y, \psi 1) - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi )dp - a,
де y\varepsilon (\cdot ) — розв’язок задачi (3) з y\varepsilon (0) = y.
Оскiльки
F (y0, s0) = 0,
F \prime
t | (y0,s0) = - \lambda 1e - \lambda 1s0(y0, \psi 1) + \varepsilon \lambda 1e
- \lambda 1s0
s0\int
0
e\lambda 1p(f(y\varepsilon (p)), \psi 1)dp -
- \varepsilon (f(y\varepsilon (s0)), \psi 1) = - \lambda 1a+ \varepsilon K, | K| \leq C| \Omega | 1/2,
то для достатньо малих \varepsilon > 0 одержуємо F \prime
t | (y0,s0) \not = 0. Тодi за теоремою про неявну функцiю
\exists \delta > 0 \forall y : \| y - y0\| < \delta i \exists t(y) > 0 :
F (y, t(y)) = 0,
що суперечить тому, що s(y
(n)
0 ) = \infty . Тепер нехай sn0 = s(y
(n)
0 ) \in (0,+\infty ). Тодi з (26) для
достатньо малих \varepsilon > 0 отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 37
sn0 \leq 1
\lambda 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
2(y
(n)
0 , \psi 1)
a
, (27)
i оскiльки yn0 \rightarrow y0, то послiдовнiсть \{ sn0\} обмежена. Тодi по пiдпослiдовностi sn0 \rightarrow s0 \geq 0.
Переходячи до границi у формулi (26), записанiй для s(n)0 , одержуємо його для s0, y0 та y\varepsilon (\cdot )
— розв’язку задачi (3) з y\varepsilon (0) = y0. Звiдси, зокрема, s0 > 0, оскiльки (y0, \psi ) \not = a.
Доведемо, що s0 = s(y0). Розглянемо функцiю
f(t) = e - \lambda 1t(y0, \psi 1) - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1) dp - a.
Якщо (y0, \psi 1) > a, то f(0) > 0, f(s0) = 0,
f \prime (t) = - \lambda 1e - \lambda 1t(y0, \psi 1) + \varepsilon \lambda 1e
- \lambda 1t
t\int
0
e\lambda 1p(f(y\varepsilon (p)), \psi 1)dp - \varepsilon (f(y\varepsilon (t)), \psi 1).
Отже, при t \in [0, s0] з (26) для достатньо малих \varepsilon > 0 маємо
f \prime (t) < - \lambda 1a+ \varepsilon K(t), де | K(t)| \leq C| \Omega | 1/2.
Звiдси виводимо, що f(t) > 0 \forall t \in [0, s0) i, таким чином, s0 = s(y0). Якщо ж (y0, \psi 1) < a,
то f(0) < 0, i попереднiй аналiз показує, що це неможливо. Таким чином, властивiсть (16)
доведено.
Доведемо властивiсть (21). Нехай y
(n)
0 \rightarrow y0 \in M, sn0 = s(y
(n)
0 ) < +\infty . Покажемо, що тодi
sn0 = s(y
(n)
0 ) \rightarrow 0. З (27) випливає, що \{ sn0\} обмежена, отже, sn0 \rightarrow s0 \geq 0. Записавши (26) для
sn0 i перейшовши до границi, одержимо
a = e - \lambda 1s0a - \varepsilon
s0\int
0
e - \lambda 1(s0 - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1) dp, (28)
де y\varepsilon (\cdot ) — розв’язок задачi (3) з y\varepsilon (0) = y0. Нехай s0 > 0. Розглянемо функцiю
f(t) = e - \lambda 1ta - \varepsilon
t\int
0
e - \lambda 1(t - p)(f(y\varepsilon (p)), \psi 1) dp - a.
Тодi f(0) = 0 i f \prime (t) < - \lambda 1a + \varepsilon K(t) < 0 при t \in [0, s0] для достатньо малих \varepsilon > 0. Отже,
f(s0) < f(0) = 0, що суперечить (28). Звiдси випливає, що s0 = 0.
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Мышкис А. Д. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. – 1967. – 74,
вып. 2. – С. 202 – 208.
2. Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками // Мат. физика. – 1971. – Вып. 9. – С. 101 – 117.
3. Самойленко А. М., Перестюк H. A. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13. – С. 1981 – 1992.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
38 О. В. КАПУСТЯН, М. О. ПЕРЕСТЮК, I. В. РОМАНЮК
4. Самойленко А. М., Перестюк H. A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Изд-во
Киев. гос. ун-та, 1980. – 80 с.
5. Перестюк H. A. Инвариантные множества одного класса разрывных динамических систем // Укр. мат. журн. –
1984. – 36, № 1. – С. 63 – 78.
6. Самойленко А. М., Перестюк H. A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 287 с.
7. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
8. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989.
9. Rozko V. Stability in terms of Lyapunov of discontinuous dynamic systems // Differents. Uravn. – 1975. – 11, № 6. –
P. 1005 – 1012.
10. Kaul S. K. Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems // J. Appl. Math. Stochast. Anal. –
1994. – 7, № 4. – P. 509 – 523.
11. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems // Inform. and Contr. – 1996. – 9. – P. 298 – 322.
12. Ciesielski K. On stability in impulsive dynamical systems // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. – 2004. – 52. – P. 81 – 91.
13. Akhmet M. Principles of discontinuous dynamical systems. – New York: Springer, 2010.
14. Bonotto E. M. Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems // J. Math. Anal. and Appl. – 2007. –
332. – P. 81 – 96.
15. Перестюк Ю. М. Розривнi коливання в однiй iмпульснiй системi // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 4. –
С. 494 – 503.
16. Li K., Ding C., Wang F., Hu J. Limit set maps in impulsive semidynamical systems // J. Dynam. and Control Syst. –
2014. – 20, № 1. – P. 47 – 58.
17. Фекета П. В., Перестюк Ю. М. Теореми про збурення для багаточастотної системи з iмпульсами // Нелiнiйнi
коливання. – 2015. – 18, № 2. – С. 280 – 289.
18. Hale J. K. Asymptotic behavior of dissipative systems. – Providence: Amer. Math. Soc., 1988.
19. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – New York: Springer, 1988. – 500 p.
20. Чуешов И. Д. Введение в теорию бесконечномерных диссипативных систем. – Харкiв: ACTA, 1999. – 418 c.
21. Melnik V. S. Multivalued dynamics of nonlinear infinite-dimensional systems. – Kyiv, 1994. – 41 p. – (Preprint / Nat.
Acad. Sci. Ukraine, Inst. Cybernetics, № 94-17).
22. Melnik V. S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Anal. –
1998. – № 6. – P. 83 – 111.
23. Melnik V. S., Kapustyan O. V. On global attractors of multivalued semidynamic systems and their approximations //
Dokl. Akademii Nauk. – 1998. – 366, № 2. – P. 445 – 448.
24. Kapustyan O. V., Shkundin D. V. Global attractor of one nonlinear parabolic equation // Ukr. Math. J. – 2003. – 55,
№ 4. – P. 446 – 455.
25. Kapustyan O. V., Kasyanov P. O., Valero J. Regular solutions and global attractors for reaction-diffusion systems
without uniqueness // Communs Pure and Appl. Anal. – 2014. – 13, № 5. – P. 1891 – 1906.
26. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematical physics. – Providence, RI: Amer. Math. Soc.,
2002.
27. Капустян О. В., Перестюк М. О. Глобальний атрактор еволюцiйного включення з iмпульсним впливом у
фiксованi моменти часу // Укр. мат. журн. — 2003. – 55, № 8. – С. 1283 – 1294.
28. Schmalfuss B. Attractors for nonautonomous and random dynamical systems perturbed by impulses // Discrete and
Contin. Dynam. Syst. – 2003. – 9. – P. 727 – 744.
29. Kapustyan O. V., Iovane G. Global attractor for impulsive reaction-diffusion equation // Nonlinear Oscillations. –
2005. – 8, № 3. – P. 318 – 328.
30. Kapustyan O. V., Valero J., Iovane G. Asymptotic behavior of reaction-diffusion equations with non-damped impulsive
effects // Nonlinear Anal. – 2008. – 68. – P. 2516 – 2530.
31. Yan X., Wub Y., Zhong C. Uniform attractors for impulsive reaction-diffusion equations // Appl. Math. and Comput. –
2010. – 216. – P. 2534 – 2543.
32. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Long-time behavior of evolution inclusion with non-damped impulsive effects //
Mem. Different. Equat. and Math. Phys. – 2012. – 56. – P. 89 – 113.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
СТIЙКIСТЬ ГЛОБАЛЬНИХ АТРАКТОРIВ IМПУЛЬСНИХ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ СИСТЕМ 39
33. Bonotto E. M., Demuner D. P. Attractors of impulsive dissipative semidynamical systems // Bull. Sci. Math. – 2013. –
137. – P. 617 – 642.
34. Bonotto E. M., Bortolan M. C., Carvalho A. N., Czaja R. Global attractors for impulsive dynamical systems – a
precompact approach // J. Different. Equat. – 2015. – 259. – P. 2602 – 2625.
35. Bonotto E. M., Bortolan M. C., Collegary R., Czaja R. Semicontinuity of attractors for impulsive dynamical systems
// J. Different. Equat. – 2016. – 261. – P. 4358 – 4367.
36. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Existence of global attractors for impulsive dynamical systems // Repts Nat. Acad.
Sci. Ukraine. Mathematics. – 2015. – 12. – P. 13 – 18.
37. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems // Ukr. Math. J. –
2016. – 68, № 4. – P. 517 – 528.
38. Dashkovskiy S., Kapustyan O. V., Romaniuk. I. V. Global attractors of impulsive parabolic inclusions // Discrete and
Contin. Dynam. Syst. Ser. B. – 2017. – 22, № 5. – P. 1875 – 1886.
39. Bhatia N. P., Szeg\"o G. P. Stability theory of dynamical systems. – New York: Springer, 2002.
Одержано 09.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1540 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:39Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9a/818f3b62e041275dbb25982ceab7b59a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15402019-12-05T09:17:34Z Stability of global attractors of impulsive infinite-dimensional systems Стійкість глобальних атракторів імпульсних нескінченновимірних систем Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Romanyuk, I. V. Капустян, О. В. Перестюк, М. О. Романюк, I. В. The stability of global attractor is proved for an impulsive infinite-dimensional dynamical system. The obtained abstract results are applied to a weakly nonlinear parabolic equation whose solutions are subjected to impulsive perturbations at the times of intersection with a certain surface of the phase space. Доказана устойчивость глобального аттрактора для импульсной бесконечномерной динамической системы. Полу- ченные абстрактные результаты применены к слабонелинейному параболическому уравнению, решения которого подвергаются импульсному возмущению при достижении фиксированного подмножества фазового пространства. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1540 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 1 (2018); 29-39 Український математичний журнал; Том 70 № 1 (2018); 29-39 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1540/522 Copyright (c) 2018 Kapustyan O. V.; Perestyuk N. A.; Romanyuk I. V. |
| spellingShingle | Kapustyan, O. V. Perestyuk, N. A. Romanyuk, I. V. Капустян, О. В. Перестюк, М. О. Романюк, I. В. Stability of global attractors of impulsive infinite-dimensional systems |
| title | Stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| title_alt | Стійкість глобальних атракторів імпульсних
нескінченновимірних систем |
| title_full | Stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| title_fullStr | Stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| title_full_unstemmed | Stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| title_short | Stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| title_sort | stability of global attractors of impulsive
infinite-dimensional systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1540 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanov stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT perestyukna stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT romanyukiv stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT kapustânov stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT perestûkmo stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT romanûkiv stabilityofglobalattractorsofimpulsiveinfinitedimensionalsystems AT kapustyanov stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT perestyukna stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT romanyukiv stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT kapustânov stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT perestûkmo stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem AT romanûkiv stíjkístʹglobalʹnihatraktorívímpulʹsnihneskínčennovimírnihsistem |