Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems
We present an overview of development of the direct Lyapunov method in the global analysis of chaotic systems and describe three directions in which the Lyapunov functions are applied: in the methods of localization of global attractors, where the estimates of dissipativity in a sense of Levinson ar...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1541 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507337931882496 |
|---|---|
| author | Leonov, G. A. Леонов, Г. А. Леонов, Г. А. |
| author_facet | Leonov, G. A. Леонов, Г. А. Леонов, Г. А. |
| author_sort | Leonov, G. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:17:34Z |
| description | We present an overview of development of the direct Lyapunov method in the global analysis of chaotic systems and
describe three directions in which the Lyapunov functions are applied: in the methods of localization of global attractors,
where the estimates of dissipativity in a sense of Levinson are obtained, in the problems of existence of homoclinic
trajectories, and in the estimation of the dimension of attractors. The efficiency of construction of Lyapunov-type functions
is demonstrated. In particular, the Lyapunov dimension formula is proved for the attractors of the Lorentz system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Г. А. Леонов (Санкт-Петербург. гос. ун-т, Россия)
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
We present an overview of development of the direct Lyapunov method in the global analysis of chaotic systems and
describe three directions in which the Lyapunov functions are applied: in the methods of localization of global attractors,
where the estimates of dissipativity in a sense of Levinson are obtained, in the problems of existence of homoclinic
trajectories, and in the estimation of the dimension of attractors. The efficiency of construction of Lyapunov-type functions
is demonstrated. In particular, the Lyapunov dimension formula is proved for the attractors of the Lorentz system.
Наведено огляд розвитку прямого методу Ляпунова у глобальному аналiзi хаотичних систем. Описано три напрямки,
в яких застосовуються функцiї Ляпунова: методи локалiзацiї глобальних атракторiв, де отримано оцiнки дисипатив-
ностi по Левiнсону; задачi iснування гомоклiнiчних траєкторiй та оцiнки розмiрностi атракторiв. Продемонстровано
ефективнiсть побудови функцiї ляпуновського типу. Зокрема, встановлено формулу ляпуновської розмiрностi для
атракторiв системи Лоренца.
1. Введение. В 1892 году А. М. Ляпунов создал новый метод анализа локальной устойчивости
состояний равновесия дифференциальных уравнений [1], который в дальнейшем был назван
методом функций Ляпунова.
В двадцатом веке метод функций Ляпунова развивался и применялся для различных мате-
матических моделей в науке и технике [2 – 14]. В 1963 году Е. Лоренц опубликовал знаменитую
статью [15], в которой впервые обнаружил хаотический аттрактор в конечномерных динами-
ческих системах. И уже в этой работе он применил метод функций Ляпунова для локализации
глобального аттрактора.
Опишем здесь обобщение этого результата в современной трактовке.
2. Функции Ляпунова для оценок диссипативности по Левинсону систем лоренцев-
ского типа. Рассмотрим систему
\.x = \sigma (y - x),
\.y = rx - dy - xz, (1)
\.z = - bz + xy,
где \sigma , b — положительные числа, d — некоторое число, r > d. Для системы Лоренца d = 1,
для систем Лу и Чена d < 0 [16, 17].
Лемма 1 [18]. Если 2\sigma \geq b, то для любого решения системы (1) имеет место неравенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow +\infty
\biggl[
z(t) - x2(t)
2\sigma
\biggr]
\geq 0. (2)
Для доказательства леммы достаточно заметить, что для функции
V (x, z) = z - x2
2\sigma
* Поддержана грантом НШ-2858.2018.1.
c\bigcirc Г. А. ЛЕОНОВ, 2018
40 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 41
выполнено соотношение
\.V (x(t), z(t)) = - bV (x(t), y(t)) +
\biggl(
1 - b
2\sigma
\biggr)
x2(t).
Поэтому
V (x(t), z(t)) \geq e - btV (x(0), z(0)).
Отсюда следует оценка (2).
Напомним, что система (1) диссипативна по Левинсону, если существует число R такое,
что для любых x(0), y(0), z(0) выполнено соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow +\infty
\bigl(
x2(t) + y2(t) + z2(t)
\bigr)
\leq R.
Теорема 1. Если 2\sigma \geq b, b+ 2d > 0, то система (1) диссипативна по Левинсону.
Доказательство основано на построении функции Ляпунова
V (x, y, z) = y2 + z2 +Ax2 - Bxy + Cz,
где A, B, C — некоторые параметры. Параметр C выбирается так, что
d
dt
V (x(t), y(t), z(t)) = - 2
\bigl(
bz2(t) + dy2(t) +A\sigma x2(t)
\bigr)
-
- B
\bigl(
\sigma y2(t) + rx2(t) - x2(t)z(t)
\bigr)
- bCz(t).
Другими словами, C такое, что в правой части этого соотношения нет членов Dx(t)y(t). Далее
используя лемму, легко получить существование таких A > 0, B > 0, Q > 0, P > 0, что для
любого решения (1) при достаточно больших t выполнено соотношение
\.V (x(t), y(t), z(t)) \leq - PV (x(t), y(t), z(t)) +Q.
Отсюда следует неравенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow +\infty
V (x(t), y(t), z(t)) \leq Q
P
.
Последнее доказывает теорему.
Для случая 2\sigma \leq b преобразуем систему (1) следующим образом. Заменой
\eta = \sigma (y - x), \xi = z - x2
b
систему (1) приведем к форме
\.x = \eta ,
\.\eta = - (\sigma + d)\eta + \sigma \xi x+ \sigma (r - d)x - \sigma
b
x3,
\.\xi = - b\xi - 2\sigma - b
b\sigma
x\eta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
42 Г. А. ЛЕОНОВ
Далее заменой
t \rightarrow t\sqrt{}
\sigma (r - d)
, x \rightarrow
\sqrt{}
b(r - d)x,
\eta \rightarrow
\surd
b\sigma (r - d)\vargamma , \xi \rightarrow (r - d)u
эту систему приведем к следующему виду:
\.x = \vargamma ,
\.\vargamma = - \lambda \vargamma - xu+ x - x3, (3)
\.u = - \alpha u - \beta x\vargamma ,
где
\lambda =
\sigma + d\sqrt{}
\sigma (r - d)
, \alpha =
b\sqrt{}
\sigma (r - d)
, \beta =
2\sigma - b
\sigma
.
Перечислим системы, которые сводятся к (1) и, следовательно, к системе (3):
система Лоренца [15]: d = 1, r > 0,
система Чена [17]: d = - c, c > \sigma /2, r = c - \sigma ,
система Лу [16]: d = - c, c > 0, r = 0,
система Тигана [19, 20] и Янга [21]: d = 0.
Система Шимицу – Мориока [22]
\.x = y, \.y = - \lambda y + x - xz, \.z = - \alpha
\bigl(
x - z2
\bigr)
также приводится к системе (3) заменой \vargamma = y, u = z - x2. Здесь \beta = 2.
Введем в рассмотрение функцию Ляпунова
V (x, \vargamma , u) = \vargamma 2 - u2
\beta
- x2 +
x4
2
.
Производная функции V на решениях системы (3) имеет вид
dV (x(t), \vargamma (t), u(t))
dt
= 2
\biggl(
- \lambda \vargamma 2(t) +
\alpha
\beta
u2(t)
\biggr)
. (4)
Используя стандартные рассуждения из современной теории устойчивости, легко видеть, что
из (3) вытекает следующий результат.
Теорема 2. Если \lambda < 0, \beta > 0, то любая траектория системы (3), не принадлежащая
устойчивым многообразиям седел x = \vargamma = u = 0, x = \pm 1, \vargamma = u = 0, стремится к
бесконечности при t \rightarrow +\infty . Если \lambda > 0, \beta < 0, то любая траектория системы (3) при
t \rightarrow +\infty стремится к некоторому состоянию равновесия.
Заметим, что эти условия для системы (1) примут вид \sigma +d < 0, 2\sigma > b, \sigma +d > 0, 2\sigma < b.
Легко видеть, что при \beta = 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow +\infty
u(t) = 0.
Отсюда следует, что при \lambda > 0 (т. е. при \sigma + d > 0, 2\sigma = b) все траектории при t \rightarrow +\infty
стремятся к состояниям равновесия.
Таким образом, из теорем 1 и 2 вытекает следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 43
Следствие 1. Пусть 2\sigma > b. Если b+2d > 0, то система (1) диссипативна по Левинсону;
если \sigma + d < 0, то система (1) не является диссипативной по Левинсону.
Введем оператор сдвига F t(x0) по траекториям системы
dx
dt
= f(x), x \in Rn, f \in C1(Rn), (5)
F t(x0) = x(t, x0), x0 \in Rn, t > 0, x(0, x0) = x0.
Предположим, что решения системы (5) определены при всех t \in [0,+\infty ).
Известно, что если для некоторого \varepsilon > 0
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} f(x) < - \varepsilon \forall x \in Rn, (6)
то для любого множества K \subset Rn с конечным n-мерным объемом V (K) имеет место соотно-
шение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
V
\bigl(
F t(K)
\bigr)
= 0. (7)
Часто системы (5) со свойством (7) называют системами со сжатием объемов.
Для системы (1) свойство (6) выполнено, если
\sigma + b+ d > 0.
Таким образом, при 2\sigma > b,
- \sigma > d > - \sigma - b
система (1) является системой со сжатием объемов, а почти все ее решения стремятся при
t \rightarrow +\infty к бесконечности.
Отсюда и из теорем 1 и 2 следует, что если 2\sigma > b, то диссипативность по Левинсону имеет
место при d > - b/2 и этого свойства нет при d < - \sigma .
Заметим, что диссипативность по Левинсону при d \geq 0 была доказана в [23]. Условие
d > - b/2 для системы Чена при 2\sigma > b получено в [24]. Условие d < - \sigma , 2\sigma > b приведено
в [25].
Что происходит в промежутке d \in [ - \sigma , - b/2]?
Актуальность этого вопроса заключается в том, что в этом диапазоне находятся параметры
систем Чена и Лу, для которых были обнаружены странные аттракторы [17, 16]. В настоящее
время граница, разделяющая диссипативность по Левинсону и ее отсутствие, определяется
только в результате численных экспериментов [25].
Для бифуркационной теории оказывается важным распространение теоремы 2 на случай
\lambda = 0.
3. Функции Ляпунова для доказательства существования гомоклинических траекто-
рий.
Теорема 3. Пусть \lambda = 0, \beta > 0. Тогда сепаратриса, выходящая из седла x = v = u = 0:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
x(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\vargamma (t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
u(t) = 0,
стремится к бесконечности при t \rightarrow +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
44 Г. А. ЛЕОНОВ
Доказательство. Предположим противное. В этом случае рассматриваемая сепаратриса
имеет \omega -предельную точку x0, \vargamma 0, u0. Стандартными рассуждениями из (4) получим, что кусок
траектории \~x(t), \~\vargamma (t), \~u(t), t \in [0, T ], с начальными данными \~x(0) = x0, \~\vargamma (0) = \vargamma 0, \~u(0) = u0
также состоит из \omega -предельных точек и удовлетворяет соотношению \~u(t) = 0 \forall t \in [0, T ]. Но
тогда из третьего уравнения системы (3) получим равенство \~\vargamma (t)\~x(t) = 0 \forall t \in [0, T ]. Отсюда
следует соотношение \bigl(
\~x2(t)
\bigr) \bullet
= 2\~x(t)\~\vargamma (t) = 0 \forall t \in [0, T ].
Поэтому \~x(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \~\vargamma (t) = 0, \~u(t) = 0 \forall t \in [0, T ]. Легко видеть, что тогда \~x(t), \~\vargamma (t), \~u(t)
является состоянием равновесия.
Из (4) и соотношения V (0) = 0 > - 1/2 = V (\pm 1, 0, 0) следует, что \~x(t) = \~\vargamma (t) = \~u(t) \equiv 0.
В этом случае траектория x(t), \vargamma (t), u(t) является гомоклинической и V (x(t), \vargamma (t), u(t)) \equiv
\equiv 0. Но тогда из (4) следует, что u(t) \equiv 0. Повторяя рассуждения, проведенные для \~x(t), \~\vargamma (t),
\~u(t), получаем, что x(t) = \vargamma (t) = u(t) \equiv 0. Последнее противоречит предположению о том,
что x(t), \vargamma (t), u(t) — сепаратриса седла x = \vargamma = u = 0.
Таким образом, сепаратриса x(t), \vargamma (t), u(t) не имеет \omega -предельных точек и, следовательно,
стремится к бесконечности при t \rightarrow +\infty .
Сформулируем теперь общий метод доказательства существования гомоклинических траек-
торий для систем вида
dX
dt
= f(X, q), X \in Rn, q \in Rm, (8)
где f(X, q) — гладкая вектор-функция, Rn = \{ X\} — фазовое пространство системы (8), Rm =
= \{ q\} — пространство параметров системы (8).
Пусть \gamma (s), s \in [0, 1], — гладкий путь в пространстве параметров \{ q\} .
Сформулируем проблему Трикоми [26 – 31] для системы (8) и для пути \gamma (s).
Проблема Трикоми. Существует ли точка q0 \in \{ q(s), s \in [0, 1]\} такая, что система (8) с
q = q0 имеет гомоклиническую траекторию?
Напомним, что траектория X(t) системы (8) называется гомоклинической, если выполнены
соотношения
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
X(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
X(t) = X0.
Рассмотрим систему (8) с q = \gamma (s) и введем следующие обозначения: X(t, s)+ — сепарат-
риса седла X0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow - \infty X(t, s)+ = X0, X(s)+ — точка первого пересечения сепаратрисой
X(t, s)+ замкнутого множества \Omega :
X(t, s)+ \in \Omega \forall t \in ( - \infty , T ),
X(T, s) = X(s)+ \in \Omega .
Если такой точки пересечения не существует, то примем, что X(s)+ = \varnothing . Здесь \varnothing — пустое
множество.
Теорема 4 (принцип рыбака) [26 – 31]. Предположим, что для пути \gamma (s) существует огра-
ниченное многообразие \Omega размерности n - 1 с кусочно-гладким краем \partial \Omega , имеющее следующие
свойства:
1) для любого X \in \Omega \setminus \partial \Omega и s \in [0, 1] вектор f(X, \gamma (s)) трансверсален к многообразию \Omega ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 45
2) для любого s \in [0, 1] выполнено равенство f(X0, \gamma (s)) = 0 и X0 \in \partial \Omega – седловая точка
системы (8),
3) имеет место включение X(0)+ \in \Omega \setminus \partial \Omega ,
4) выполнено соотношение X(1)+ = \varnothing ,
5) для любого s \in [0, 1] и Y \in \partial \Omega \setminus X0 существует окрестность
U(Y, \delta ) = \{ X| | X - Y | < \delta \}
такая, что X(s)\in U(Y, \delta ).
Тогда существует число s0 \in [0, 1] такое, что X(t, s0) — гомоклиническая траектория
седла X0.
Рассмотрим систему (3) с \lambda \geq 0, \beta > 0. Предположим, что
\alpha
\Bigl( \sqrt{}
\lambda 2 + 4 + \lambda
\Bigr)
> 2(\beta - 2). (9)
Лемма 2. Пусть выполнено неравенство (9) и сепаратриса x(t)+, \vargamma (t)+, u(t)+ седла
x = \vargamma = u = 0 удовлетворяет соотношению
x(t)+ > 0 \forall t \in ( - \infty , \tau ]. (10)
Тогда существует такое число R (не зависящее от \tau ), что
x(t)+ \leq R,
\bigm| \bigm| \vargamma (t)+\bigm| \bigm| \leq R, | u(t)+| \leq R. (11)
Доказательство. Из неравенства (9) следует, что существует число L > 0, для которого
выполнены неравенства
L >
\Bigl( \sqrt{}
\lambda 2 + 4 - \lambda
\Bigr)
/2, (12)
\beta L
\alpha + 2L
< 1. (13)
Введем обозначение K = \beta L/(\alpha + 2L) и рассмотрим множество
\Phi =
\Biggl\{
x \in [0, x0], \vargamma \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl(
Lx,
\sqrt{}
\vargamma 2
0 + x2 - 1 - K
2
x4
\Biggr)
, u \geq - Kx2
\Biggr\}
.
Здесь \vargamma 0 — некоторое положительное число (например, 1), x0 — положительный корень урав-
нения
\vargamma 2
0 + x2 - 1 - K
2
x4 = 0. (14)
Из соотношений (12), K > 0 и \vargamma \leq Lx в некоторой малой окрестности x = \vargamma = 0 следует,
что на некотором интервале ( - \infty , \tau 1), \tau 1 < \tau , сепаратриса x(t)+, \vargamma (t)+, u(t)+ принадлежит
множеству \Phi . Для того чтобы доказать, что эта сепаратриса принадлежит \Phi на ( - \infty , \tau ], рас-
смотрим границы \Phi \cap \{ x > 0\} и покажем, что они трансверсальны. Эти границы — следующие
поверхности или части поверхностей:
\partial 1\Phi =
\bigl\{
\vargamma = Lx, u \geq - Kx2
\bigr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
46 Г. А. ЛЕОНОВ
\partial 2\Phi =
\bigl\{
\vargamma 2 = \vargamma 2
0 + x2 - (1 - K)x4/2, \vargamma > 0, u \geq - Kx2
\bigr\}
,
\partial 3\Phi =
\bigl\{
\vargamma \leq Lx, u = - Kx2
\bigr\}
.
Рассмотрим решение системы x(t), \vargamma (t), u(t), которое в точке t находится на \partial 1\Phi . В этом
случае из (13) получаем соотношение
d\vargamma
dx
= - \lambda + (1 - x2 - u)/L \leq - \lambda +
1 - (1 - K)x2
L
< - \lambda +
1
L
.
Отсюда и из (12) следует, что
d
dx
(\vargamma - Lx) < 0.
Таким образом, поверхность \partial 1\Phi трансверсальна, и если x(t), \vargamma (t), u(t) находится на \partial 1\Phi , то
для этого решения существует число \varepsilon (t) такое, что \vargamma (\tau ) - Lx(\tau ) < 0 \forall \tau \in (t, t+ \varepsilon (t)).
Рассмотрим теперь решение x(t), \vargamma (t), u(t), которое в точке t находится на \partial 2\Phi .
Рассмотрим функцию
V (x, \vargamma ) = \vargamma 2 - x2 + (1 - K)x4/2.
Легко видеть, что
d
dt
V (x(t), \vargamma (t)) = - 2\lambda \vargamma 2(t) - 2\vargamma (t)x(t)
\bigl[
u(t) +Kx2(t)
\bigr]
< 0.
Отсюда следует, что поверхность \partial 2\Phi трансверсальна, и если x(t), \vargamma (t), u(t) находится на \partial 2\Phi ,
то для этого решения существует число \varepsilon (t) такое, что V (x(\tau ), \vargamma (\tau )) < 0 \forall \tau \in (t, t+ \varepsilon (t)).
Рассмотрим теперь решение, которое в точке t находится на \partial 3\Phi . В этом случае\bigl(
u+Kx2
\bigr) \bullet
= - \alpha u - \beta x\vargamma + 2Kx\vargamma =
= (\alpha Kx+ (2K - \beta )\vargamma )x =
\alpha \beta
\alpha + 2L
(Lx - \vargamma )x > 0.
Отсюда следует, что поверхность \partial 3\Phi трансверсальна, и если x(t), \vargamma (t), u(t) находится на \partial 3\Phi ,
то для этого решения существует число \varepsilon (t) такое, что u(\tau ) +Kx2(\tau ) > 0 \forall \tau \in (t, t+ \varepsilon (t)).
Из доказанных здесь соотношений и очевидного неравенства \.x(t) < 0 при x(t) = x0, \vargamma (t) <
< 0 следует, что x(t)+, \vargamma (t)+, u(t)+ принадлежит \Phi на ( - \infty , \tau ]. Отсюда следует утверждение
леммы.
Заметим, что из третьего уравнения системы (3) имеем соотношение\biggl(
u+
\beta
2
x2
\biggr) \bullet
+ \alpha
\biggl(
u+
\beta
2
x2
\biggr)
=
\alpha \beta
2
x2.
Поэтому если x(t)+ \in (0, x0) \forall t \in ( - \infty , \tau ), то
u(t)+ +
\beta
2
\bigl(
x(t)+
\bigr) 2 \leq \beta
2
x20 \forall t \in ( - \infty , \tau ).
Поэтому имеет место оценка
u(t)+ \leq \beta
2
x20 \forall t \in ( - \infty , \tau ). (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 47
Лемма 3. Пусть выполнено условие (9) и
\lambda 2 > 4
\biggl[ \biggl(
1 +
\beta
2
\biggr)
x20 - 1
\biggr]
, (16)
где x0 — положительный корень уравнения (14). Тогда x(t)+ > 0 \forall t \in ( - \infty ,+\infty ).
Доказательство. Здесь выполнены условия леммы 2. Поэтому если x(t)+ > 0 \forall t \in
\in ( - \infty , \tau ), то выполнено соотношение (15).
Если x(\tau )+ = 0, то для любого положительного числа P существует T < \tau такое, что
\vargamma (T )+ = - Px(T )+, \vargamma (t)+ > - Px(t)+ \forall t \in ( - \infty , T ). (17)
Для соотношения \vargamma (T ) = - Px(T ) из (15) имеем
d\vargamma
dx
> - \lambda +
D
P
, D =
\biggl(
1 +
\beta
2
\biggr)
x20 - 1.
Отсюда получаем неравенство
d
dx
(\vargamma + Px) > P - \lambda +
D
P
= 0 (18)
при P =
\Bigl(
\lambda +
\surd
\lambda 2 - 4D
\Bigr)
/2. Здесь мы используем условие (16).
Из (18) следует, что \bigl(
\vargamma (T )+
\bigr) \bullet
+ P
\bigl(
x(T )+
\bigr) \bullet
> 0.
Это неравенство противоречит (17). Полученное противоречие доказывает неравенство x(t)+ >
> 0 \forall t \in ( - \infty ,+\infty ).
Принцип рыбака и леммы 2, 3 позволяют сформулировать для системы (3) следующий
результат.
Рассмотрим гладкий путь \alpha (s), \lambda (s), \beta (s), s \in [0, 1), в пространстве параметров систе-
мы (3).
Теорема 5. Пусть
\lambda (0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 1
\lambda (s) = +\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\rightarrow 1
\alpha (s) < +\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\rightarrow 1
\beta (s) < +\infty
и выполнено неравенство
\alpha (s)(
\sqrt{}
\lambda (s)2 + 4 + \lambda (s)) > 2(\beta (s) + 2) \forall s \in [0, 1]. (19)
Тогда существует s0 \in (0, 1) такое, что система (3) с \alpha (s0), \beta (s0), \lambda (s0) имеет гомоклини-
ческую траекторию.
Приведем схему доказательства теоремы, использовав принцип рыбака (теорема 4), теоре-
му 3 и леммы 2, 3.
В качестве \Omega рассмотрим множество
\Omega = \{ x = 0, \vargamma \leq 0, \vargamma 2 + u2 \leq R\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
48 Г. А. ЛЕОНОВ
где R — достаточно большое число. Условия 1 и 2 теоремы 4 выполнены для любых s \in [0, 1).
Из теоремы 3 и леммы 2 следует, что при s = 0 выполнено условие 3 теоремы 4, а из
лемм 2 и 3 — что при s = s1, достаточно близких к 1, выполнено условие 4 теоремы 4.
Система (3) имеет решение
x(t) = \vargamma (t) \equiv 0, u(t) = u(0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \alpha t).
Отсюда следует выполнение условия 5 теоремы 4. (Подробнее об этом эффекте см. [26 – 31].)
Таким образом, для пути с s \in [0, s1] выполнены все условия теоремы 4 и, следовательно,
существует s0, для которого имеет место утверждение теоремы 5.
Заметим, что особый интерес представляет путь
\lambda (s) =
s\surd
1 - s
, \alpha (s) = \delta
\surd
1 - s,
\beta (s) \equiv \beta \in (0, 2 + \delta ), 0 < \delta \leq 1.
Для этого пути выполнены все условия теоремы 5 и, следовательно, существует s0 \in (0, 1)
такое, что при s = s0 система (3) имеет гомоклиническую траекторию. При этом седловая
величина будет нулевой при \delta = 1 и положительной при \delta < 1.
При \delta = 1 и \beta \in (0, 2) теорема 5 была доказана в [32, 33], и этот результат повторен в
[34]. При \delta \leq 1 и \beta \in (0, 2) в [35] численными методами показано, что при гомоклиниче-
ских бифуркациях могут появляться лишь предельные циклы. При \beta , близкой к 2 + \delta , может
наблюдаться гомоклиническая бифуркация слияния странных аттракторов [35].
4. Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов. Размерность является одной
из основных числовых характеристик аттракторов.
Первые оценки размерности аттракторов были получены в работах [36 – 38].
Новым важным шагом в этом направлении была верхняя оценка Дуади – Оэстерли [39]
хаусдорфовой размерности аттракторов.
Здесь, используя специальное разложение линейного оператора, приведем новое доказа-
тельство, которое делает оценку Дуади – Оэстерли „почти очевидной”. Предложенный здесь
метод оценивания хаусдорфовой меры может быть использован и для исследования других
типов размерностных характеристик.
Рассмотрим компакт K \subset Rn и числа d \geq 0, \varepsilon > 0 и определим хаусдорфову меру и
хаусдорфову размерность компакта K.
Введем в рассмотрение все покрытия K кубами Ci со сторонами 2\delta i \leq 2\varepsilon и величину
\mu H(K, d, \varepsilon ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\sum
i
\delta di ,
где инфимум берется по всем \varepsilon -покрытиям K. Очевидно, что \mu H(K, d, \varepsilon ) возрастает с умень-
шением \varepsilon . Следовательно, существует предел
\mu H(K, d) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mu H(K, d, \varepsilon ).
Определение 1. Величина \mu H(K, \varepsilon ) называется хаусдорфовой мерой компакта K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 49
Определение 2. Величина
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H K = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
d | \mu H(K, d) = 0
\bigr\}
называется хаусдорфовой размерностью компакта K.
Заметим, что покрытие кубами можно заменить покрытиями шарами радиусов ri \leq \varepsilon . При
этом размерности \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H K совпадают.
Сформулируем теперь результат о разложении произвольного линейного оператора.
Лемма 4 [40]. Для линейного в Rn оператора A существуют симметричный неотрица-
тельный оператор S и ортогональный оператор Q такие, что
A = SQ.
Лемма 5 [40]. Оператор S имеет в Rn ортонормальную систему собственных векторов
ej , j = 1, . . . , n, с вещественными собственными числами, которые совпадают с сингулярны-
ми величинами \alpha j , \alpha 1 \geq . . . \geq \alpha n, оператора A.
Леммы 4 и 5 позволяют ввести следующее важное определение.
Определение 3. Куб C называется ориентированным по отношению к оператору A, если
стороны куба QC параллельны или ортогональны собственным векторам ej , j = 1, . . . , n.
Перейдем теперь к очень простому доказательству теоремы Дуади – Оэстерли.
Для этого рассмотрим непрерывно дифференцируемое отображение F (x) : Rn \rightarrow Rm,
F (x+ h) - F (x) = (TxF )h+ o(h). (20)
Предположим, что \alpha 1(TxF ) \geq . . . \geq \alpha n(TxF ) — сингулярные значения матрицы TxF, и обо-
значим
\omega d(TxF ) = \alpha 1(TxF ) . . . \alpha k(TxF )\alpha k+1(TxF )s, d = k + s.
Теорема 6 [39]. Пусть F (K) = K и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\omega d(TxF ) < 1. (21)
Тогда \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H K \leq d.
Доказательство. Из условия (21) следует существование числа \nu < 1 такого, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\omega d(TxF ) < \nu . (22)
Введем обозначения
\beta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\bigl(
\alpha 1(TxF )
\bigr)
, \gamma = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\bigl(
\alpha k+1(TxF )
\bigr)
.
Очевидно, что \gamma d \leq \nu .
Известно [41], что для любого натурального p выполняются неравенства
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\omega d(TxF
p) < \nu p,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\alpha 1(TxF
p) \leq \beta p, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\alpha k+1(TxF
p) \leq \nu p/d.
(23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
50 Г. А. ЛЕОНОВ
Выберем p достаточно большим так, чтобы
4
\surd
n\nu p/d \leq 1, 4k+2nd/2\nu p < 1.
Рассмотрим теперь произвольное \varepsilon -покрытие кубами со сторонами 2\delta i (\delta i \leq \varepsilon ) и центрами
в точках xi компакта K. Не умаляя общности можно принять, что это покрытие является
конечным.
Выберем здесь \varepsilon настолько малым, чтобы в \beta p\varepsilon -окрестности любой точки x \in K была
равномерно выполнена процедура линеаризации (20): | o(h)| \leq \mu | h| , где \mu = \mu (\varepsilon ),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mu (\varepsilon ) = 0. (24)
Рассмотрим теперь для каждого куба Ci с центром в xi и со стороной 2\delta i из \varepsilon -покрытия K
ориентированный по отношению к оператору TxiF
p куб \~Ci с центром в xi и со стороной 4
\surd
n\delta i.
Очевидно, что TxiF
p \~Ci — параллелепипед со сторонами 4
\surd
n\delta i\alpha j(TxiF
p), j = 1, . . . , n, и
2TxiF
pCi \subset TxiF
p \~Ci.
Отсюда и из (24) получаем
F p(Ci) \subset F p(xi) + TxiF
p \~Ci. (25)
Покроем полученный здесь параллелепипед кубами со сторонами 4
\surd
n\delta i\alpha k+1(TxiF
p). Число
таких кубов меньше или равно\biggl(
\alpha 1(TxiF
p)
\alpha k+1(TxiF
p)
+ 1
\biggr)
\cdot \cdot \cdot
\biggl(
\alpha k(TxiF
p)
\alpha k+1(TxiF
p)
+ 1
\biggr)
. (26)
Отсюда следует, что
\mu H(TxiF
p \~Ci, d, \varepsilon ) \leq 4knd/2\omega d(TxiF
p)\delta di \leq \delta di /16.
Поэтому
\mu H(K, d, \varepsilon ) = \mu H(F pK, d, \varepsilon ) <
1
8
\mu H(K, d, \varepsilon ).
Очевидно, что в этом случае \mu H(K, d, \varepsilon ) = 0. Поэтому \mu H(K, d) = 0. Из этого равенства
следует утверждение теоремы.
Таким образом, подробное изложение доказательства теоремы занимает менее двух страниц.
При этом можно сказать, что эта теорема является почти очевидным следствием лемм 4, 5 и
соотношений (25), (26).
Этот подход может быть применен и к различным обобщениям. Например, вместо FK = K
можно требовать FK \supset K или вместо хаусдорфовой рассматривать фрактальную размер-
ность [41].
В настоящее время описано много характеристик аттракторов размерностного типа [41].
Здесь введем размерность Хаусдорфа – Лебега, объединяющую идеи Хаусдорфа и Лебега, вы-
сказанные ими при создании меры Хаусдорфа и меры Лебега.
Рассмотрим все покрытия компакта K кубами Ci со сторонами 2\delta i \leq 2\varepsilon . Также, как в
теории меры Лебега, внутренности этих кубов Ci и Cj не пересекаются при i \not = j, а их
границы \partial Ci и \partial Cj , которые принадлежат \partial Ci\cap \partial Cj , содержатся только либо в Ci, либо в Cj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 51
Введем
\mu HL(K, d, \varepsilon ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\sum
i
\delta di ,
где инфимум берется по всем \varepsilon -покрытиям: \delta i \leq \varepsilon .
Очевидно, что \mu HL(K, d, \varepsilon ) возрастает при уменьшении \varepsilon . Поэтому существует предел
\mu HL(K, d) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mu HL(K, d, \varepsilon ).
Определение 4. Величина \mu HL(K, d) называется мерой Хаусдорфа – Лебега компакта K.
Определение 5. Величина
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}HLK = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ d| \mu HL(K, d) = 0\}
называется размерностью Хаусдорфа – Лебега компакта K.
Очевидно, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H K \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}HLK. (27)
Используя схему доказательства теоремы 6, получаем следующий результат.
Теорема 7. Пусть F (K) = K и выполнено соотношение (21). Тогда
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}HLK \leq d. (28)
Используя эту схему и методику, развитую в [42], можно получить следующий результат.
Теорема 8. Пусть \~K \supset K, Fm(K) \subset \~K \forall m \geq 1,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\~K
\omega d(TxF ) < 1,
\mu HL(K, d) < \infty .
Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\mu HL (Fm(K), d) = 0.
Таким образом, верхние оценки размерности и меры Хаусдорфа – Лебега конструктивны и
имеют аналоги оценок размерности и меры Хаусдорфа.
Однако внешняя мера Хаусдорфа, по мнению автора, является „слишком внешней”, и по-
этому до сих пор нет развитой теории нижнего оценивания хаотических аттракторов. В насто-
ящее время нижние оценки хаусдорфовой размерности аттракторов — это только размерности
неустойчивых многообразий седел. Первая попытка развить такую теорию для меры Хаусдор-
фа – Лебега предпринята в [43].
Введение в оценки размерности сингулярных чисел и величины \omega d(TxF ) стимулировало
введение новой размерностной характеристики — ляпуновской размерности [44 – 46]. Опишем
эту размерность.
Рассмотрим отображение F (x), удовлетворяющее соотношению (20).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
52 Г. А. ЛЕОНОВ
Определение 6. Локальной ляпуновской размерностью отображения F в точке x \in K
назовем число
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F, x) = j + s,
где j — наибольшее целое число из [1, n] такое, что
\alpha 1(TxF ) . . . \alpha j(TxF ) \geq 1,
и число s \in [0, 1] такое, что
\alpha 1(TxF ) . . . \alpha j(TxF )\alpha j+1(TxF )s = 1.
В случае \alpha 1(TxF ) < 0 по определению имеем \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F, x) = 0, а в случае
\alpha 1(TxF ) . . . \alpha n(TxF ) \geq 1
по определению \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F, x) = n.
Определение 7. Ляпуновской размерностью отображения F множества K назовем чис-
ло
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F,K) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F, x).
Определение 8. Локальной ляпуновской размерностью последовательности отображе-
ний F i в точке x \in K назовем число
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\rightarrow \infty
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F
i, x).
Определение 9. Ляпуновской размерностью последовательности отображений F i мно-
жества K назовем число
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L x.
Для отображений F t, зависящих от параметра t \in R1, можно ввести следующие аналоги
определений 8 и 9.
Определение 10. Локальной ляпуновской размерностью отображения F t в точке x \in K
назовем число
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\rightarrow +\infty
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L(F
t, x).
Определение 11. Ляпуновской размерностью отображения F t множества K назовем
число
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L x.
Из теорем 6 и 7 следует, что если F iK = K или F tK = K, то для компакта K имеют
место оценки
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H K \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}HLK \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK. (29)
Здесь в оценки ляпуновской размерности будут введены функции Ляпунова и с их помощью по-
лучены точные формулы ляпуновской размерности для аттракторов системы Лоренца и других
хаотических систем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 53
Рассмотрим систему
dX
dt
= f(X), t \in R1, X \in Rn, (30)
где f(x) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть F t — оператор сдвига по
траекториям системы (30):
F t(X0) = X(t,X0).
Пусть для компакта K выполнено соотошение F tK = K \forall t \in R1.
Обозначим через J(X) матрицу Якоби вектор-функции f(X):
J(X) =
\partial f(X)
\partial X
и введем невырожденную матрицу S : \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}S \not = 0.
Обозначим через \lambda 1(X,S) \geq . . . \geq \lambda n(X,S) собственные значения матрицы
1
2
\bigl[
SJ(X)S - 1 + (SJ(X)S - 1)\ast
\bigr]
.
Здесь \ast — операция транспонирования.
Теорема 9. Предположим, что для целого числа j \in [1, n] и числа s \in [0, 1] существу-
ют непрерывно дифференцируемая функция \vargamma (x) и невырожденная матрица S такие, что
выполнено неравенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
K
\Bigl[
\lambda 1(X,S) + . . .+ \lambda j(X,S) + s\lambda j+1(X,S) + \.\vargamma (X)
\Bigr]
< 0. (31)
Тогда
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK \leq j + s. (32)
Теорема 10. Предположим, что (30) диссипативна по Левинсону и существуют непре-
рывно дифференцируемая функция \vargamma (X) и невырожденная матрица S такие, что выполнено
неравенство
\lambda 1(X,S) + \lambda 2(X,S) + \.\vargamma (X) < 0 \forall X \in Rn. (33)
Тогда любое решение системы (30) стремится при t \rightarrow +\infty к стационарному множеству.
В теоремах 9 и 10
\.\vargamma (X) =
\bigl(
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\vargamma (X)
\bigr) \ast
f(X).
Подробные доказательства теорем 9 и 10 см. в [47].
Применим теперь теоремы 9 и 10 к системе (1) с d \geq 0, построив специальные функции
ляпуновского типа \vargamma (X). Для этого сформулируем „почти очевидную” лемму, которая следует
из леммы 1.
Лемма 6. Пусть 2\sigma \geq b, C > 0, D > 4C\sigma . Тогда на аттракторе системы (1) выполнено
неравенство
- Cx4 +Dx2z \leq (2D - 4C\sigma )\sigma z2. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
54 Г. А. ЛЕОНОВ
Из теоремы 2 следует, что, если 2\sigma < b, то любое решение системы (1) стремится при
t \rightarrow +\infty к некоторому состоянию равновесия. Поэтому здесь будем предполагать, что 2\sigma \geq b.
Теорема 11. Предположим, что при r \geq d
r\sigma + (\sigma - b)(b - d) > 0 (35)
и существуют такие неотрицательные \alpha и \beta , что
\alpha \geq 1
8b
+
\biggl(
2\sigma
b
+ 1
\biggr)
\beta ,
\alpha d \geq 1
8
+ (d - \sigma )\beta , (36)
(r - d)(2\alpha - 4\beta ) +
(b - d+ \sigma )2
4\sigma 2
- r\sigma + (\sigma - b)(b - d)
b\sigma
\leq 0.
Если
r < (b+ d)
\biggl(
b
\sigma
+ 1
\biggr)
, (37)
то любое решение системы (1) стремится при t \rightarrow +\infty к некоторому состоянию равновесия.
Если
r \geq (b+ d)
\biggl(
b
\sigma
+ 1
\biggr)
, (38)
то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK = 3 - 2(\sigma + b+ d)
\sigma + d+
\sqrt{}
(\sigma - d)2 + 4r\sigma
. (39)
Доказательство. Для матрицы Якоби J правой части системы (1) имеет место равенство
J =
\left(
- \sigma \sigma 0
r - z - d - x
y x - b
\right) .
Для матрицы
S =
\left(
- a - 1 0 0
- (b - d)/\sigma 1 0
0 0 1
\right) ,
где
a =
\sigma \sqrt{}
\sigma r + (\sigma - b)(b - d)
,
выполнено соотношение
SJS - 1 =
\left(
- \sigma - d+ b - \sigma /a 0
- \sigma
a
+ az - b - x
- a
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x
\biggr)
x - b
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 55
Характеристический полином матрицы
1
2
\Bigl(
SJS - 1 +
\bigl(
SJS - 1
\bigr) \ast \Bigr)
имеет вид
(\lambda + b)
\Biggl(
\lambda 2 + (\sigma + d)\lambda + b(\sigma + d - b) -
\Bigl( \sigma
a
- az
2
\Bigr) 2
-
\biggl(
a(b - d)
2\sigma
x+
a
2
y
\biggr) 2
\Biggr)
.
Корни этого полинома имеют вид
\lambda 2 = - b,
\lambda 1,3 = - \sigma + d
2
\pm 1
2
\Biggl[
(\sigma + d - 2b)2 +
\biggl(
2\sigma
a
- az
\biggr) 2
+ a2
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x
\biggr) 2
\Biggr] 1/2
.
Очевидно, что \lambda 1 \geq \lambda 2 \geq \lambda 3.
Рассмотрим соотношения
2(\lambda 1 + \lambda 2 + s\lambda 3) = - (\sigma + d+ 2b) - s(\sigma + d)+
+(1 - s)
\Biggl[
(\sigma + d - 2b)2 +
4\sigma 2
a2
- 4\sigma z + a2z2 + a2
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x
\biggr) 2
\Biggr] 1/2
=
= - (\sigma + d+ 2b) - s(\sigma + d)+
+(1 - s)
\Biggl[
(\sigma - d)2 + 4\sigma r - 4\sigma z + a2z2 + a2
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x
\biggr) 2
\Biggr] 1/2
\leq
\leq - (\sigma + d+ 2b) - s(\sigma + d) + (1 - s)
\bigl[
(\sigma - d)2 + 4\sigma r
\bigr] 1/2
+
+
2(1 - s)
[(\sigma - d)2 + 4\sigma r]1/2
\Biggl[
- \sigma z +
a2z2
4
+
a2
4
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x
\biggr) 2
\Biggr]
.
Введем в рассмотрение функцию
\vargamma (x, y, z) =
(1 - s)V (x, y, z)\Bigl[
(\sigma - d)2 + 4\sigma r
\Bigr] 1/2 ,
V (x, y, z) = \gamma 1(y
2 + z2) + \gamma 2x
2 + \gamma 3
\biggl(
x4
4\sigma 2
- x2z
\sigma
- y2 - 2xy
\biggr)
- b - 1\sigma z,
где \gamma 1, \gamma 2, \gamma 3 — параметры, которые будут выбраны так, что
\lambda 1 + \lambda 2 + s\lambda 3 + \.\vargamma < 0 \forall x, y, z \geq x2/2\sigma . (40)
Из лемм 1 и 6 следует, что при всех z \geq x2/2\sigma выполнены соотношения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
56 Г. А. ЛЕОНОВ
\.V =
\biggl[
- x4
\sigma
+
\biggl(
4 +
b
\sigma
\biggr)
x2z + 2(\sigma - r + d)xy - 2(\sigma - d)y2 - 2rx2
\biggr]
\gamma 3+
+\gamma 1
\bigl(
2rxy - 2dy2 - 2bz2
\bigr)
+ \gamma 2
\bigl(
2\sigma xy - 2\sigma x2
\bigr)
+ \sigma z - b - 1\sigma xy \leq
\leq
\bigl[
(4\sigma + 2b)z2 + 2(\sigma - r + d)xy - 2(\sigma - d)y2 - 2rx2
\bigr]
\gamma 3+
+\gamma 1
\bigl(
2rxy - 2dy2 - 2bz2
\bigr)
+ \gamma 2
\bigl(
2\sigma xy - 2\sigma x2
\bigr)
+ \sigma z - b - 1\sigma xy.
Если
\gamma 1 \geq
a2
8b
+ \gamma 3
\biggl(
2\sigma
b
+ 1
\biggr)
, (41)
то
- \sigma z +
a2z2
4
+
a2
4
\biggl(
y +
b - d
\sigma
x2
\biggr)
+ \.V \leq
\leq B1x
2 +B2xy +B3y
2 \forall x, y, z \geq x2
2\sigma
.
Здесь
B1 = - 2\gamma 2\sigma +
a2(b - d)2
4\sigma 2
- 2\gamma 3r,
B2 = 2
\biggl(
r\gamma 1 +
a2(b - d)
4\sigma
- \sigma
2b
+ \sigma \gamma 2 + (\sigma + d - r)\gamma 3
\biggr)
,
B3 = - 2\gamma 1d+
a2
4
- 2(\sigma - d)\gamma 3.
Для выполнения неравенства
B1x
2 +B2xy +B3y
2 \leq 0 \forall x, y
необходимо и достаточно, чтобы
B1 \leq 0, B3 \leq 0, 4B1B3 - B2
2 \geq 0.
Эти неравенства выполнены, если
d\gamma 1 \geq
a2
8
- \gamma 3(\sigma - d), (42)
(C1 - 2\gamma 2\sigma )B3 - (\gamma 2\sigma + C2)
2 \geq 0. (43)
Здесь
C1 =
a2(b - d2)
4\sigma 2
- 2\gamma 3r, C2 = r\gamma 1 +
a2(b - d)
4\sigma
- \sigma
2b
+ (\sigma + d - r)\gamma 3.
Неравенство (43) выполнено при некотором \gamma 2, если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 57
B2
3 + C1B3 + 2C2B3 \geq 0.
Из условия B3 \leq 0 следует, что это неравенство выполнено, если
2(r - d)(\gamma 1 - 2\gamma 3) +
a2(b - d+ \sigma )2
4\sigma 2
- \sigma
b
\leq 0. (44)
Выполним подстановку \gamma 1 = \alpha a2, \gamma 3 = \beta a2. В этом случае неравенства (41), (42), (44) совпа-
дают с условиями (36).
Таким образом, если выполнены условия (36), то имеет место неравенство
\lambda 1 + \lambda 2 + s\lambda 3 + \.\vargamma \leq (\sigma + d+ 2b) - s(\sigma + d)+
+(1 - s)
\bigl[
(\sigma - d)2 + 4\sigma r
\bigr] 1/2 \forall x, y, z \geq x2/2\sigma . (45)
Из (45) с s = 0 по теореме 10 следует, что при выполнении условия (37) любое решение
системы (1) стремится при t \rightarrow +\infty к некоторому состоянию равновесия.
Из (45) по теореме 9 следует, что при выполнении (38) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK < 2 + s, где
s > s0 =
\sqrt{}
4\sigma r + (\sigma - d)2 - (\sigma + d+ 2b)\sqrt{}
4\sigma r + (\sigma - d) + (\sigma + d)
.
Устремляя s к s0, получаем оценку
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK \leq 3 - 2(\sigma + b+ d)
\sigma + d+
\sqrt{}
(\sigma - d)2 + 4\sigma r
.
Но легко видеть, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L 0 = 3 - 2(\sigma + b+ d)
\sigma + d+
\sqrt{}
(\sigma - d)2 + 4\sigma r
.
Поэтому имеет место равенство (39).
Теорема 11 доказана.
Из теоремы 11 вытекают следующие результаты.
Теорема 12. Пусть b \geq d, r\sigma + (\sigma - b)(b - d) > 0 и
(2r - d)\sigma (8\sigma d+ b\sigma + b2 - bd)
b(b+ d)
> - 3\sigma 2 + 6\sigma (b - d) + (b - d)2. (46)
Тогда имеет место утверждение теоремы 11.
Теорема 13. Пусть b \leq d, r\sigma + (\sigma - b)(b - d) > 0 и
3(r - d)\sigma 2
b
> - 3\sigma 2 + 6\sigma (b - d) + (b - d)2. (47)
Тогда имеет место утверждение теоремы 11.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
58 Г. А. ЛЕОНОВ
Теорема 12 следует из теоремы 11 при
\alpha =
3\sigma + b - d
8\sigma (b+ 2d)
, \beta =
b - d
8\sigma + 2d
,
а теорема 13 — при \alpha = 1/8b, \beta = 0.
Далее будем предполагать, что d = 1.
Введем обозначение
Q =
1
2
\Bigl(
SJS - 1 +
\bigl(
SJS - 1
\bigr) \ast \Bigr)
.
Легко видеть, что для системы (1) и
S =
\left(
\sqrt{}
r/\sigma 0 0
0 1 0
0 0 1
\right)
неравенство
Q+ \lambda I > 0, \lambda =
\sigma + b+ 1
1 - s
, (48)
влечет за собой (31) с \vargamma (X) \equiv 0. Также очевидно, что (48) выполнено, если
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left(
- \sigma + \lambda
\surd
r\sigma - z
2
\sqrt{}
\sigma /r
y
2
\sqrt{}
\sigma /r
\surd
r\sigma - z
2
\sqrt{}
\sigma /r - 1 + \lambda 0
y
2
\sqrt{}
\sigma /r 0 - b+ \lambda
\right) > 0. (49)
Неравенство (49) выполнено, если
r
\sigma
\bigl[
(\lambda - \sigma )(\lambda - 1) - r\sigma
\bigr]
- z2
4
- \lambda - 1
4(\lambda - b)
y2 + rz > 0. (50)
Известно [18], что для системы (1)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow +\infty
\bigl[
(z(t) - r)2 + y(t)2
\bigr]
\leq \ell 2r2,
\ell = 1 при b < 2, \ell =
b
2
\surd
b - 1
при b \geq 2,
где y(t), z(t) — решение системы (1).
Отсюда и из (50) следует, что (31) имеет место, если
\sigma + 2 + (2b - 1)s - b \geq 0, (51)
r <
2(\lambda - \sigma )(\lambda - 1)
\sigma (\ell 2 + 1)
. (52)
Напомним, что здесь \sigma \geq b/2 и b \leq 4. Поэтому выполнено (51).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 59
Возьмем любое s > s1, где
s1 = 1 - 2(\sigma + b+ 1)
\sigma + 1 +
\sqrt{}
(\sigma - 1)2 + 4r\sigma
.
Легко видеть, что при b \leq 2 (тогда \ell = 1) (52) выполнено при любом s > s1 и при s = s1 (52)
превращается в равенство.
Таким образом, здесь (31) выполнено при любом s > s1. Переходя к пределу при s \rightarrow s1,
получаем оценку
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK \leq 2 + s1.
Из этой оценки вытекает следующий результат.
Теорема 14. Если b \leq 2, то имеет место утверждение теоремы 11.
Положим в (51) s = 0, b \leq 4. В этом случае можно сформулировать следующее утвержде-
ние.
Теорема 15. Если b \leq 4 и
r \leq r0 =
2(\sigma + b)(b+ 1)
\sigma (1 + \ell 2)
,
то любое решение системы (1) стремится при t \rightarrow +\infty к некоторому состоянию равновесия.
Условия теоремы 12 выполнены при b \in [2, 4], \sigma \geq b/2, r \geq r0.
Поэтому из теорем 12 и 15 вытекает следующий результат.
Теорема 16. Если b \in [2, 4], то имеет место утверждение теоремы 11.
Из теорем 14 и 16 получаем следующий окончательный результат для системы Лоренца.
Теорема 17. Пусть d = 1, b \in [0, 4]. Если
2(\sigma + b+ 1)
\sigma + 1 +
\sqrt{}
(\sigma - 1)2 + 4\sigma r
> 1,
то любое решение системы (1) стремится при t \rightarrow +\infty к некоторому состоянию равновесия.
Если
2(\sigma + b+ 1)
\sigma + 1 +
\sqrt{}
(\sigma - 1)2 + 4\sigma r
\leq 1,
то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK = 3 - 2(\sigma + b+ 1)
\sigma + 1 +
\sqrt{}
(\sigma - 1)2 + 4\sigma r
.
У этого результата длинная история. Лишь для одного специального параметра b = 2 эта
формула была получена в [48]. В работе [45] были установлены оценки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK для системы (1)
с d = 1. Для b = 8/3, \sigma = 10, r = 28 эти оценки имеют вид
2,401 \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK \leq 2,409.
В [49] численными методами была установлена приближенная оценка \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}LK \approx 2,401 . . . .
В дальнейшем были получены оценки, в которых конструировались функции Ляпунова [46,
47, 50 – 54].
В настоящей статье получен окончательный результат и продемонстрированы современные
возможности метода функций Ляпунова. При этом показано, что этот метод можно развить до
такого уровня, что с его помощью возможно получить формулы ляпуновской размерности для
всего пространства параметров системы Лоренца. Для других систем такие формулы получены
в [29, 41, 42, 46, 47, 51, 52, 54 – 57].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
60 Г. А. ЛЕОНОВ
Литература
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения: Собрание сочинений. – М; Л.: Гостехиздат, 1950. –
472 с. (Англ. перевод: Lyapunov A. M. General problem of the stability of motion. – CRC Press, 1992. – 270 p.)
2. La Salle J., Lefschetz S. Stability by Lyapunov’s direct method with applications. – New York: Acad. Press, 1961. –
168 p.
3. Hahn W. Theorie und Anwendungen der direkten Methodes von Lyapunov. – Berlin: Springer, 1959. – 142 S.
4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.
5. Четаев Н. Т. Устойчивость движения. – М.: Гостехиздат, 1956. – 204 с.
6. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959. – 211 с.
7. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. – М.: Наука, 1970. – 240 с.
8. Yoshizawa T. Lyapunov’s function and boundedness of solutions // Funkc. Ekvacioj. – 1959. – 2. – P. 95 – 142.
9. Rouche N., Habets P., Laloy M. Stability theory by Lyapunov’s direct method // Appl. Math. Sci. – New York:
Springer, 1977. – Vol. 22. — 301 p.
10. Cesari L. Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations. – Berlin; Heidelberg:
Springer-Verlag, 1959. – 274 p.
11. Lefschetz S. Stability of nonlinear control systems. – New York: Acad. Press., 1965. – 186 p.
12. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. –
М.: Наука, 1977. – 399 с.
13. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. –
1968. – 1. – С. 7 – 66.
14. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-domain methods for nonlinear analysis: theory and
applications. – Singapore: World Sci., 1996. – 494 p.
15. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmospheric Sci. – 1963. – 20. – P. 130 – 141.
16. Lu J., Chen G. A New chaotic attractor coined // Intern. J. Bifur. and Chaos. – 2002. – 12, № 3. – P. 652 – 661.
17. Chen G., Dong X. From chaos to order: methodologies, perspectives and applications. – Singapore: World Sci.,
1998. – 753 p.
18. Leonov G. A., Bunin A. I., Koksch N. Attractorlocalisierung des Lorenz system // Z. angew. Math. und Mech. –
1987. – 67, № 12. – S. 649 – 656.
19. Tigan G., Opris D. Analysis of a 3D chaotic system // Chaos, Solutions and Fractals. – 2008. – 36, № 5. –
P. 1315 – 1319.
20. Tigan G., Constyantinessu D. Heteroclinic orbits in T and Lu systems // Chaos, Solutions and Fractals. – 2014. – 42,
№ 7. – 8 p.
21. Yang Q., Chen G. A chaotic system with one saddle and two stable node-foci // Intern. J. Bifur. and Chaos. – 2008.
– 18. – P. 1393 – 1414.
22. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one // Phys. Lett. A. – 1980. –
76, № 3 – 4. – P. 201 – 204.
23. Leonov G. A. Fishing principle for homoclinic and heteroclinic trajectories // Nonlinear Dynam. – 2014. – 78. –
P. 2751 – 2758.
24. Zhang F., Liao X., Mu C., Zhang G., Chen Y. A. On global boundeness of the Chen system // Discrete and Contin.
Dyn. Syst. Ser. B. – 2017. – 22, № 4. – P. 1673 – 1681.
25. Леонов Г. А., Андриевский Б. Р., Мокаев Р. Н. Асимптотическое поведение решений систем лоренцевского
типа. Аналитические результаты и структуры компьютерных ошибок // Вестн. Санкт-Петербург. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика. Астрономия. – 2017. – 4, № 1. – C. 25 – 37.
26. Leonov G. A. General existence conditions of homoclinic trajectories in dissipative systems. Lorenz, Shimizu –
Morioka, Lu and Chen systems // Phys. Lett. A. – 2012. – 376, № 45. – P. 3045 – 3050.
27. Леонов Г. А. Задача Трикоми для динамической системы Шимицу – Мориока // Докл. РАН. Математика. –
2012. – 447, № 6. – С. 603 – 606.
28. Леонов Г. А. Критерии существования гомоклинических траекторий в системах Лу и Чена // Докл. РАН.
Математика. – 2013. – 449, № 6. – С. 634 – 638.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА В ГЛОБАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 61
29. Леонов Г. А. Системы Ресслера. Оценки размерности аттракторов и гомоклинические траектории // Докл.
РАН. Математика. – 2014. – 456, № 6. – С. 442 – 444.
30. Leonov G. A. Bounds for attractors and the existence of homoclinic orbits in the Lorenz system // J. Appl. Math. and
Mech. – 2001. – 65, № 1. – P. 19 – 32.
31. Леонов Г. А. Задача Трикоми о существовании гомоклинических траекторий в диссипативных системах //
Прикл. математика и механика. – 2013. – 77, вып. 3. – С. 410 – 420.
32. Leonov G. A. Cascade of bifurcations in Lorenz-like systems: birth of strange attractor, blue sky catastrophe bifurcation
and nine homoclinic bifurcations // Dokl. Math. – 2015. – 92, № 2. – P. 563 – 567.
33. Leonov G. A. Necessary and sufficient conditions of the existence of homoclinic trajectories and cascade of bifurcations
in Lorenz-like systems: birth of strange attractor and 9 homoclinic bifurcations // Nonlinear Dynam. – 2016. – 84,
№ 2. – P. 1055 – 1062.
34. Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model //
Nonlinearity. – 2017. – 30. – P. 135 – 137.
35. Leonov G. A., Mokaev R. N. Homoclinic bifurcations of the merging strange attractors in the Lorenz-like system //
Intern. J. Bifur. and Chaos. – 2018.
36. Ладыженская О. А. О динамической системе, порожденной уравнениями Навье – Стокса // Зап. науч. сем.
ЛОМИ. – 1972. – 27. – C. 91 – 114.
37. Ильяшенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнений Навье –
Стокса // Успехи мат. наук. – 1981. – 36, вып. 3. – C. 243 – 244.
38. Ладыженская О. А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье – Стокса и
других уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. – 1987. – 42, вып. 6. – C. 25 – 60.
39. Douady A., Oesterle J. Dimension de Hausdorff des attractors // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A. – 1980. – 290, № 24. –
P. 1135 – 1138.
40. Gantmacher F. R. The theory of matrices. – New York: AMS Chelsea Publ., 1959. – 660 p.
41. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V. Dimension theory for ordinary differential equations. – Wiesbaden:
Teubner, 2005. – 441 p.
42. Boichenko V. A., Leonov G. A. Lyapunov functions, Lozinskii norms and Hausdorff measure in the qualitative theory
of differential equations // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. – 1999. – 193. – P. 1 – 26.
43. Leonov G. A. Hausdorff – Lebesgue dimension of attractors // Intern. J. Bifur. and Chaos. – 2017. – 27, № 10. – 6 p.
44. Kaplan J., Yorke J. Chaotic behavior of multidimensional difference equations // Funct. Different. Equat. and
Approxim. Fixed Points / Eds H. Peitgen and H. Walter. – Berlin: Springer, 1979. – P. 204 – 227.
45. Eden A., Foias C., Temam R. Local and global Lyapunov exponents // J. Dynam. Different. Equat. – 1991. – 3, № 1. –
P. 133 – 177.
46. Leonov G. A. Lyapunov dimension formulas for Henon and Lorenz attractors // St. Petersburg Math. J. – 2002. –
13. – P. 453 – 464.
47. Leonov G. A. Lyapunov functions in the attractors dimension theory // Appl. Math. and Mech. – 2012. – 76. –
P. 129 – 141.
48. Eden A. Local estimates for the Hausdorff dimension of an attractor // J. Math. Anal. and Appl. – 1990. – 150, № 1. –
P. 100 – 119.
49. Doering C., Gibbon J. On the shape and dimension of the Lorenz attractor // Dyn. and Stability Syst. – 1995. – 10,
№ 3. – P. 255 – 268.
50. Leonov G. A. Strange attractors and classical stability theory. – St. Petersburg: St. Petersburg Univ. Press, 2008. –
160 p.
51. Leonov G. A. Formulas for the Lyapunov dimension of attractors of the generalized Lorenz system // Dokl. Math. –
2013. – 450, № 1. – P. 13 – 18.
52. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Korzhemanova N. A., Kusakin D. V. Lyapunov dimension formula for the global
attractor of the Lorenz system // Communs Nonlinear Sci. and Numer. Simul. – 2016. – 41. – P. 84 – 103.
53. Leonov G. A., Pogromsky A. Yu., Starkov D. V. Dimension formula for the Lorenz attractor // Phys. Lett. A. – 2011. –
375, № 8. – P. 1179 – 1182.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
62 Г. А. ЛЕОНОВ
54. Leonov G. A. Lyapunov dimension formulas for Lorenz-like systems // Intern. J. Bifur. and Chaos. – 2016. – 26. –
7 p.
55. Леонов Г. А., Полтинникова М. С. О ляпуновской размерности аттрактора диссипативного отображения
Чирикова // Тр. Санкт-Петербург. мат. о-ва. – 2002. – 10. – С. 186 – 198.
56. Леонов Г. А., Алексеева Т. А. Оценки ляпуновской размерности аттракторов обобщенных систем Ресслера
// Вестн. Санкт-Петербург. гос. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. – 2014. – 1(59), вып. 4. –
C. 544 – 550.
57. Leonov G. A., Mokaev T. N. Lyapunov dimension formula for the attractor of the Glukhovsky – Dolzhansky system //
Dokl. Math. – 2016. – 93, № 1. – P. 42 – 45.
Получено 20.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1541 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:43Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/29/52999021989aa35f34f065b433dc5029.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15412019-12-05T09:17:34Z Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems Функции Ляпунова в глобальном анализе хаотических систем Leonov, G. A. Леонов, Г. А. Леонов, Г. А. We present an overview of development of the direct Lyapunov method in the global analysis of chaotic systems and describe three directions in which the Lyapunov functions are applied: in the methods of localization of global attractors, where the estimates of dissipativity in a sense of Levinson are obtained, in the problems of existence of homoclinic trajectories, and in the estimation of the dimension of attractors. The efficiency of construction of Lyapunov-type functions is demonstrated. In particular, the Lyapunov dimension formula is proved for the attractors of the Lorentz system. Наведено огляд розвитку прямого методу Ляпунова у глобальному аналiзi хаотичних систем. Описано три напрямки, в яких застосовуються функцiї Ляпунова: методи локалiзацiї глобальних атракторiв, де отримано оцiнки дисипатив- ностi по Левiнсону; задачi iснування гомоклiнiчних траєкторiй та оцiнки розмiрностi атракторiв. Продемонстровано ефективнiсть побудови функцiї ляпуновського типу. Зокрема, встановлено формулу ляпуновської розмiрностi для атракторiв системи Лоренца. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1541 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 1 (2018); 40-62 Український математичний журнал; Том 70 № 1 (2018); 40-62 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1541/523 Copyright (c) 2018 Leonov G. A. |
| spellingShingle | Leonov, G. A. Леонов, Г. А. Леонов, Г. А. Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title | Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title_alt | Функции Ляпунова в глобальном анализе хаотических систем |
| title_full | Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title_fullStr | Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title_full_unstemmed | Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title_short | Lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| title_sort | lyapunov functions in the global analysis of chaotic systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1541 |
| work_keys_str_mv | AT leonovga lyapunovfunctionsintheglobalanalysisofchaoticsystems AT leonovga lyapunovfunctionsintheglobalanalysisofchaoticsystems AT leonovga lyapunovfunctionsintheglobalanalysisofchaoticsystems AT leonovga funkciilâpunovavglobalʹnomanalizehaotičeskihsistem AT leonovga funkciilâpunovavglobalʹnomanalizehaotičeskihsistem AT leonovga funkciilâpunovavglobalʹnomanalizehaotičeskihsistem |