Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries
We study nonlinear boundary-value problems of the hydrodynamic type formulated for the domains whose boundaries are unknown in advance. The investigations are based on the variational formulations of these problems with the help of specially introduced integral functionals with variable domains of i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1542 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507338594582528 |
|---|---|
| author | Lukovsky, I. O. Луковський, І. О. |
| author_facet | Lukovsky, I. O. Луковський, І. О. |
| author_sort | Lukovsky, I. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:17:34Z |
| description | We study nonlinear boundary-value problems of the hydrodynamic type formulated for the domains whose boundaries
are unknown in advance. The investigations are based on the variational formulations of these problems with the help of
specially introduced integral functionals with variable domains of integration. It is shown that the required solutions of the
boundary-value problems are, in a certain sense, equivalent to finding stationary points of the analyzed functionals. These
are pairs formed by the families of domains and the functions defined in these domains. On an example of the problem of
space motion of a vessel with elastic walls partially filled with an ideal incompressible liquid, we propose a method for the
construction in the analytic form both of the required solutions and of the boundaries of the domains (deformed walls and
the shape of the perturbed free surface of the liquid). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
I. О. Луковський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ ОБМЕЖЕНОГО ОБ’ЄМУ РIДИНИ
ЗI ЗМIННИМИ МЕЖАМИ
We study nonlinear boundary-value problems of the hydrodynamic type formulated for the domains whose boundaries
are unknown in advance. The investigations are based on the variational formulations of these problems with the help of
specially introduced integral functionals with variable domains of integration. It is shown that the required solutions of the
boundary-value problems are, in a certain sense, equivalent to finding stationary points of the analyzed functionals. These
are pairs formed by the families of domains and the functions defined in these domains. On an example of the problem of
space motion of a vessel with elastic walls partially filled with an ideal incompressible liquid, we propose a method for the
construction in the analytic form both of the required solutions and of the boundaries of the domains (deformed walls and
the shape of the perturbed free surface of the liquid).
Исследуются нелинейные краевые задачи гидродинамического типа, сформулированные для областей с наперед
неизвестными границами. В основе исследований находятся вариационные формулировки этих задач на базе спе-
циально введенных в рассмотрение интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Показано,
что искомые решения краевых задач эквивалентны в некотором смысле нахождению стационарных точек рассмат-
риваемых функционалов. Ими являются пары, состоящие из семейств областей и определенных в них функций. На
примере задачи о пространственном движении резервуара с упругими стенками, частично заполненного идеальной
несжимаемой жидкостью, предложен метод построения в аналитическом виде как искомых решений, так и границ
областей (деформируемых стенок и формы возмущенной свободной поверхности жидкости).
1. Вступ. Серед широкого класу нелiнiйних проблем математичної фiзики особливе мiсце
займає проблема створення методiв розв’язування нелiнiйних крайових задач, в яких поряд
iз знаходженням шуканих розв’язкiв необхiдно встановити i область їх визначення. Основнi
труднощi при цьому в багатьох випадках полягають в тому, щоб задовольнити граничнi умови
задачi, в якi шукана функцiя входить нелiнiйно, а визначення наперед невiдомих меж областей
складає головну сутнiсть задачi.
Однiєю з перших серед усiх задач iз невiдомою (вiльною) межею була задача про визначення
фiгур рiвноваги рiдини, що обертається. З часiв Ньютона нею займалися багато видатних
математикiв, серед яких Маклорен (1742 р.), Якобi (1834 р.), Маттiсен (1859 р.), Ляпунов
(1884 р.), Пуанкаре (1885 р.), Стєклов (1909 р.), Лiхтенштейн (1918 р.) i багато iнших.
На сучасному етапi до таких задач зводяться, наприклад, такi практичнi проблеми, як
визначення силової взаємодiї рухомої цистерни i рiдини, що iї частково заповнює, дослiдження
на мiцнiсть ємностей з екологiчно небезпечними рiдинами в сейсмiчних районах, дослiдження
об’єктiв аерокосмiчної i морської технiки, якi мiстять на борту значнi маси рiдинних вантажiв,
та iнше.
Клас задач iз невiдомими межами виявився змiстовним iз математичної точки зору i вже
давно привернув до себе увагу багатьох дослiдникiв. Стимулом до цих дослiджень були тра-
дицiйнi питання, пов’язанi з проблемою розв’язностi i пошуком аналiтичного апарату для
побудови розв’язкiв нелiнiйних крайових задач [1].
Досить швидко з’ясувалося, що побудова точних або бiльш-менш строго математично об-
ґрунтованих розв’язкiв, як i прагнення глобально охопити всю сукупнiсть розв’язкiв (через
c\bigcirc I. О. ЛУКОВСЬКИЙ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1 63
64 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
нелiнiйнiсть математичних моделей єдинiсть їх розв’язкiв є швидше винятком, нiж правилом),
вiдносяться до надзвичайно складних математичних проблем.
Разом з тим в останнiй перiод намiтився значний прогрес у побудовi наближених методiв
дослiдження нелiнiйних крайових задач з вiльними межами, в основi яких лежать варiацiйнi
принципи механiки, теорiя збурень i чисельне моделювання.
Особливо ефективним у цьому вiдношеннi виявився варiацiйний принцип типу Бейтмена –
Люка, сформульований у нелiнiйних задачах теорiї плоских поверхневих хвиль в iдеальнiй
рiдинi нескiнченної глибини [2]. Узагальнення цього варiацiйного принципу на випадок руху
обмеженого об’єму рiдини з вiльною поверхнею було запропоновано в работах [3, 4]. На цiй
основi створено ряд прямих методiв розв’язування нелiнiйних крайових задач для областей
зi змiнними межами, еквiвалентних у певному сенсi їх варiацiйним формулюванням (див.,
наприклад, [5 – 9]).
Найбiльш важливим моментом при цьому є те, що всi граничнi умови нелiнiйних задач,
включаючи i невiдомi межi, є природними граничними умовами в розглядуваних варiацiйних
проблемах, що дає змогу цими прямими методами знаходити в аналiтичному виглядi одночасно
наближений розв’язок задачi i змiннi межi областi.
Саме пара, яка складається iз деякої допустимої областi i знайденої в нiй гармонiчної
функцiї, є розв’язком вiдповiдної нелiнiйної крайової задачi тодi i тiльки тодi, коли ця пара
є стацiонарною точкою iнтегрального функцiонала зi змiнною областю iнтегрування розгля-
дуваної варiацiйної задачi. Це один iз найважливiших результатiв, привнесений характером
змiнностi областi iнтегрування в теорiю варiацiйного числення „в цiлому”, поряд iз тим фак-
том, що динамiчна умова на вiльнiй межi областi (iнтеграл Лагранжа – Кошi) є природною для
розглядуваної варiацiйної проблеми.
Питання про методи вiдшукання екстремальних точок функцiоналiв зi змiнними областями
iнтегрування вивченi не достатньо. Особливо це вiдноситься до задач, сформульованих для
тривимiрних областей з особливими властивостями фiксованих частин межi. Наведене нижче
стосується проблем вiдшукання в аналiтичному виглядi стацiонарних точок iнтегральних функ-
цiоналiв зi змiнною областю iнтегрування насамперед для нелiнiйних задач, що становлять
практичний iнтерес.
2. Нелiнiйна крайова задача теорiї руху рiдини в резервуарi з пружними стiнками,
що здiйснює заданий просторовий рух. Нехай резервуар, частково заповнений iдеальною
нестисливою рiдиною, здiйснює поступальний i обертальний рух iз заданою поступальною
швидкiстю \bfitv 0 i миттєвою кутовою швидкiстю \bfitomega (t). Позначимо через Q(t) об’єм рiдини,
обмежений вiльною поверхнею \Sigma (t) i пружною стiнкою резервуара S(t). Будемо розглядати
абсолютну систему координат O\prime x\prime y\prime z\prime i систему координат Oxyz, незмiнно зв’язану з резер-
вуаром. Початок рухомої системи координат Oxyz виберемо на незбуренiй вiльнiй поверхнi
\Sigma 0, а вiсь Ox спрямуємо у напрямку, протилежному напрямку вектора прискорення сил тя-
жiння \bfitg .
Перемiщення, що здiйснюється частинками стiнок резервуара в результатi їх пружних де-
формацiй, будемо позначати вектором \bfitu (x, y, z, t), де t — час, а x, y, z — координати, що
визначають положення даної частинки резервуара при недеформованому його станi.
Пружнi перемiщення \bfitu (x, y, z, t) — це вiдноснi перемiщення частинок стiнок резервуара в
рухомiй системi координат x, y, z.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 65
Тут ми будемо вважати вектор пружних перемiщень \bfitu (x, y, z, t) вiдомою функцiєю поряд
iз векторами поступального руху \bfitv 0(t) i обертального \bfitomega (t).
Розглядаючи рух резервуара з рiдиною в потенцiальному силовому полi, потенцiал сил
тяжiння записуємо у виглядi
U = - \bfitg \cdot \bfitr \prime , (2.1)
до того ж
\bfitr \prime = \bfitr \prime 0 + \bfitr , (2.2)
де \bfitr \prime — радiус-вектор точки системи тiло-рiдина вiдносно початку O\prime абсолютної системи
координат, \bfitr \prime 0 — радiус-вектор точки O вiдносно нерухомої точки O\prime , \bfitr — радiус-вектор будь-
якої точки системи вiдносно точки O, \bfitg — вектор прискорення сил тяжiння.
За своїм змiстом розглядувана задача вiдноситься до першої задачi динамiки системи тiло-
рiдина i полягає у визначеннi руху рiдини, викликаного рухом резервуара i його пружними
стiнками, а також сил взаємодiї мiж резервуаром i рiдиною.
З математичної точки зору центральним питанням тут є питання про знаходження поля
швидкостей частинок рiдини i форми збуреної вiльної поверхнi зi значними iї вiдхиленнями
вiд рiвноважного стану.
Далi будемо припускати, що в початковий момент часу рiдина знаходиться або в станi спо-
кою, або в станi безвихрового руху. Для iдеальної нестисливої рiдини це означає, що в полi
сил земного тяжiння подальший iї рух буде безвихровий на основi вiдомої теореми Лагран-
жа. Вектор швидкостей частинок рiдини при цьому в нерухомiй системi координат x\prime , y\prime , z\prime
задовольняє умову
\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\bfitv = 0. (2.3)
Iз (2.3) випливає iснування скалярної функцiї \Phi , для якої в зайнятiй рiдиною областi Q справ-
джується рiвнiсть
\bfitv a = \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} \Phi . (2.4)
Iз умови нестисливостi рiдини \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \bfitv = 0, у вiдповiдностi з (2.3) i (2.4), для визначення
функцiї \Phi , яку будемо шукати як функцiю координат x, y, z i часу t, одержимо рiвняння
Лапласа
\partial 2\Phi
\partial x2
+
\partial 2\Phi
\partial y2
+
\partial 2\Phi
\partial z2
= 0. (2.5)
Позначаючи через \bfitr \{ x(t), y(t), z(t)\} радiус-вектор частинки рiдини вiдносно резервуара
(тобто системи координат Oxyz), а через
\ast
\bfitr \{ \.x(t), \.y(t), \.z(t)\} iї вiдносну швидкiсть, на основi
теореми про розподiл швидкостей у складному русi механiчної системи маємо
\bfitv a = \bigtriangledown \Phi = \bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr +
\ast
\bfitr . (2.6)
Тут i в подальшому зiрочкою позначенo вектори, проекцiї яких на осi зв’язаної з тiлом системи
координат Oxyz дорiвнюють похiдним за часом вiд проекцiй на них вiдповiдних векторiв [10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
66 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
За визначенням величина
\ast
\bfitr є вектором швидкостi, що зв’язана з частинкою. Для цiєї
частинки аргументи x, y, z довiльної гiдродинамiчної величини A(x, y, z, t) є функцiями ча-
су t, якi характеризують рух частинки. На основi правила диференцiювання складної функцiї
маємо
dA
dt
=
\partial A
\partial t
+ \bfitv \cdot \bigtriangledown A. (2.7)
Наприклад, на вiльнiй поверхнi рiдини, заданої рiвнянням
\zeta (x, y, z, t) = 0, (2.8)
внаслiдок того, що \bfitv = \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi , а вектор \{ \zeta x, \zeta y, \zeta z\} є нормальним до поверхнi \zeta (x, y, z, t), на
основi (2.8) кiнематичну умову на нiй можна записати у виглядi
\partial \varphi
\partial \nu
= - \zeta t\sqrt{}
| \bigtriangledown \zeta | z
= v\nu , (2.9)
де v\nu — спiльна швидкiсть рiдини i вiльної поверхнi у напрямку зовнiшньої нормалi до поверхнi.
Нелiнiйна крайова задача для потенцiалу швидкостей \Phi (x, y, z, t), що описує абсолютний
рух рiдини в рухомiй системi координат, формулюється таким чином:
\bigtriangledown 2\Phi = 0, \bfitr \in Q(t), (2.10)
\partial \Phi
\partial \nu
= \bfitv 0 \cdot \bfitnu + \bfitomega \cdot (\bfitr \times \bfitnu ) + v\nu , \bfitr \in \Sigma (t), (2.11)
\partial \Phi
\partial \nu
= \bfitv 0 \cdot \bfitnu + \bfitomega \cdot (\bfr \times \bfitnu ) +
\partial u\nu
\partial t
, \bfitr \in S(t), (2.12)
\partial \Phi
\partial t
+
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr ) + U = 0, \bfitr \in \Sigma (t), (2.13)
де \bfitnu — орт зовнiшньої нормалi до поверхнi областi Q(t), \bfitr — радiус-вектор точок об’єму рiдини
Q(t) у зв’язанiй системi координат, v\nu — вiдносна нормальна швидкiсть частинок вiльної
поверхнi рiдини; u\nu — проекцiя пружного перемiщення \bfitu (x, y, z, t) на напрям зовнiшньої
нормалi до поверхнi S(t). У випадку резервуара з абсолютно жорсткими стiнками
\partial u\nu
\partial t
= 0 [8].
При формулюваннi граничних умов крайової задачi (2.10) – (2.12) використано спiввiдно-
шення (2.6), згiдно з яким
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi \cdot \bfitnu = \bfitv 0 \cdot \bfitnu + (\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bfitnu + \bfitv r \cdot \bfitnu , (2.14)
де \bfitv r — вiдносна швидкiсть частинок рiдини на пружнiй стiнцi резервуара чи на вiльнiй
поверхнi рiдини. Вiдносна швидкiсть частинок рiдини, що лежать на змочуванiй поверхнi
S(t) резервуара в рухомiй системi координат x, y, z, визначається похiдною за часом вiд
пружного перемiщення цiєї частинки \bfitu (x, y, z, t), тодi як вiдносна швидкiсть \bfitv r частинок
вiльної поверхнi \Sigma (t) визначається з урахуванням формул (2.7), (2.9).
Граничну умову (2.13) одержано з iнтеграла Лагранжа – Кошi у зв’язанiй системi координат
\partial \Phi
\partial t
+
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr ) + U +
p
\rho
= 0, (2.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 67
де \rho — масова густина рiдини, при умовi рiвностi тиску p на вiльнiй поверхнi рiдини сталiй
величинi p0, U — потенцiал сил тяжiння (2.1).
Зауважимо, що похiдна за часом
\partial \Phi
\partial t
у (2.15) обчислюється в рухомiй системi координат,
тобто для точки M, яка незмiнно зв’язана з рухомою системою координат i має вiдносно неї
координати x, y, z.
Умова розв’язностi крайової задачi (2.10) – (2.13) по вiдшуканню розв’язку рiвняння Лапласа
(2.10), нормальна похiдна якого набуває на граничнiй поверхнi областi Q(t) заданих значень,
має вигляд \int
S(t)+\Sigma (t)
Fds = 0, (2.16)
де функцiя F набуває на S(t) i \Sigma (t) значень у вiдповiдностi з (2.11) i (2.12).
3. Варiацiйне формулювання деяких нелiнiйних крайових задач гiдродинамiчного ти-
пу в областях з вiльними межами. Нелiнiйна крайова задача (2.10) – (2.13) щодо визначення
потенцiалу швидкостей рiдини в рухомому резервуарi, частково заповненому iдеальною не-
стисливою рiдиною, вiдноситься до типових нелiнiйних крайових задач математичної фiзики,
сформульованих в областях зi змiнними межами. Загальна теорiя таких задач i строгi методи
їх розв’язування розвинутi недостатньо.
Тут ми розглянемо загальне формулювання варiацiйної задачi, еквiвалентної в деякому сенсi
певному класу нелiнiйних крайових задач iз вiльними межами. Ця еквiвалентнiсть ґрунтується
на тому, що шуканi розв’язки є стацiонарними точками деяких функцiоналiв зi змiнною областю
iнтегрування.
На вiдмiну вiд випадку, коли область iнтегрування є наперед вiдомою, тут стацiонарнi
точки визначаються з умови рiвностi нулю першої варiацiї функцiонала при варiюваннi областi
i заданої на нiй функцiї.
Розглянемо функцiонали зi змiнною областю iнтегрування, якi мають вигляд
J(\alpha ) =
t2\int
t1
\int
Q(t,\alpha )
F
\bigl(
x, y, z, t, \Phi (x, y, z, t, \alpha ),\Phi x,\Phi y,\Phi z,\Phi t, \alpha
\bigr)
dQdt, (3.1)
де Q(t, \alpha ) — сiм’я областей, яка залежить вiд часу t i деякого параметра \alpha ; dQ — елемент
об’єму областi Q; x, y, z — декартовi координати; \Phi (x, y, z, t, \alpha ) — функцiї, що задаються в
змiннiй областi Q(t, \alpha ); \Phi x, \Phi y, \Phi z, \Phi t — частиннi похiднi вiд функцiї \Phi . Припустимо, що
область Q i функцiї F та \Phi залежать вiд своїх змiнних i параметра \alpha достатньо гладким чином.
На основi вiдомої формули для варiацiї функцiонала зi змiнною областю iнтегрування
(див., наприклад, [11], розд. IV, § 11) одержимо вираз для першої варiацiї функцiонала (3.1) за
параметром \alpha , коли час t не варiюється:
\delta J =
t2\int
t1
\left[ \int
Q(t,\alpha )
\biggl(
[F ]\phi +
\partial F
\partial \alpha
\biggr)
\delta \Phi dQ+
\int
Q(t,\alpha )
F\Phi t\delta \Phi t dQ+
\int
\Gamma (t,\alpha )
\bigl(
F\Phi x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , x)+
+F\Phi y \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , y) + F\Phi z \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , z)
\bigr)
\delta \Phi dS +
\int
\Gamma (t,\alpha )
F (\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) dS
\right] dt, (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
68 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
де [F ]\Phi = F\Phi - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} (F\Phi x , F\Phi y , F\Phi z); F\Phi , F\Phi x , F\Phi y , F\Phi z — частиннi похiднi вiд функцiї F за
змiнними \Phi , \Phi x, \Phi y, \Phi z; \delta \alpha \bfitR — варiацiя радiуса-вектора областi Q за параметром \alpha ; \bfitnu —
одиничний вектор зовнiшньої нормалi до межi \Gamma (t, \alpha ) областi Q.
Запишемо тепер другий доданок у формулi (3.2) у виглядi
t2\int
t1
\int
Q(t,\alpha )
F\Phi t\delta \Phi t dQdt =
t2\int
t1
\int
Q(t,\alpha )
\biggl( \biggl[
\partial
\partial t
(F\Phi t\delta \Phi ) -
\partial
\partial t
F\Phi t\delta \Phi
\biggr]
dQ
\biggr)
dt
i перетворимо його, застосувавши вiдому формулу для похiдної вiд iнтеграла по змiннiй iз
часом областi Q(t):
d
dt
\int
Q(t)
G(x, y, z, t) dQ =
\int
Q(t)
\partial G
\partial t
dQ+
\int
\Gamma (t)
Gv\nu dS, (3.3)
де v\nu — нормальна швидкiсть межi областi Q(t), яку вважаємо позитивною у напрямку зовнiш-
ньої нормалi до \Gamma (t). Тодi одержимо
t2\int
t1
\int
Q(\alpha ,t)
F\Phi t\delta \Phi tdQdt =
=
\left( \int
Q(t,\alpha )
F\Phi t\delta \Phi dt
\right)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2
t1
-
t2\int
t1
\left[ \int
Q(t,\alpha )
\partial
\partial t
F\Phi t\delta \Phi dQ+
\int
\Gamma (t,\alpha )
F\Phi tv\nu \delta \Phi dS
\right] dt. (3.4)
Пiдставимо вираз (3.4) в (3.2), зваживши на те, що варiацiї областi \delta \alpha \bfitR i варiацiї функцiї \delta \Phi
в початковий t1 i кiнцевий t2 моменти часу дорiвнюють нулю.
Перша варiацiя для функцiонала (3.1) остаточно набере вигляду
\delta J =
t2\int
t1
\left( \int
Q(t,\alpha )
\biggl(
[F ]\Phi - \partial
\partial t
F\Phi t +
\partial F
\partial \alpha
\biggr)
\delta \Phi dQ+
\int
\Gamma (t,\alpha )
\Bigl[
F\Phi x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , x)+
+F\Phi y \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , y) + F\Phi z \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , z) - F\Phi tv\nu
\Bigr]
\delta \Phi dS +
\int
\Gamma (t,\alpha )
F (\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) dS
\right) dt, (3.5)
де (\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) — варiацiя межi областi в напрямку зовнiшньої нормалi по параметру \alpha .
Стацiонарною точкою або стацiонарним значенням називатимемо сiм’ю областей Q(t, \alpha ),
якi залежать вiд часу при фiксованому значеннi параметра \alpha , i заданi в них функцiї
\Phi (x, y, z, t, \alpha ) такi, що перша варiацiя функцiонала для них дорiвнює нулю при варiюваннi
цiєї сiм’ї областей i функцiй.
Пiдставимо в умову стацiонарностi \delta J = 0 вираз (3.5) для першої варiацiї. Внаслiдок
довiльностi варiацiї межi областi (\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) i варiацiї функцiї \delta \Phi iз цiєї умови одержимо для
стацiонарних точок такi рiвняння в шуканiй областi i умови на її межi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 69
F\Phi - \partial
\partial x
F\Phi x - \partial
\partial y
F\Phi y -
\partial
\partial z
F\Phi z -
\partial
\partial t
F\Phi t = 0, \bfitr \in Q(t, \alpha ), (3.6)
F\Phi x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , x) + F\Phi y \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , y) + F\Phi z \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\bfitnu , z) - F\Phi tv\nu = 0, \bfitr \in \Gamma (t, \alpha ), (3.7)
F = 0, \bfitr \in \Gamma (t, \alpha ). (3.8)
Крайова задача (3.6) – (3.8) є узагальненням рiвнянь Ейлера i природних крайових умов,
вiдомих iз класичного варiацiйного числення [11].
Подальший розгляд тут ми проведемо для випадку розглянутої в другому пунктi задачi
про рух iдеальної нестисливої рiдини в резервуарi з пружними стiнками, що здiйснює заданий
просторовий рух iз лiнiйною швидкiстю \bfitv 0 i миттєвою кутовою швидкiстю \bfitomega . Поверхня
\Gamma (t, \alpha ) крайової задачi (3.6) – (3.8), у вiдповiдностi з крайовою задачею (2.10) – (2.13), — це
вiльна поверхня рiдини \Sigma (t) i пружна стiнка резервуара S(t), що здiйснює вiдноснi пружнi
перемiщення \bfitu (x, y, z, t) в рухомiй системi координат x, y, z.
Зауважимо, що функцiю \Phi (x, y, z, t) в задачi (2.10) – (2.13) потрiбно визначити в деякiй на-
перед невiдомiй змiннiй областi Q(t), яка також пiдлягає визначенню. Таким чином, розв’язком
задачi (2.10) – (2.13) є пара [Q(t),\Phi (t)], що складається iз сiм’ї областей Q(t) i визначених в
них функцiй \Phi (x, y, z, t) таких, щоб виконувались умови (2.10) – (2.13).
Покажемо, що розглядувана нелiнiйна крайова задача з невiдомою областю зводиться до
деякої варiацiйної задачi для такого функцiонала зi змiнною областю Q(t):
J =
t2\int
t1
\int
Q(t)
\biggl[
\partial \Phi
\partial t
+
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr ) + U
\biggr]
dQdt. (3.9)
Цей функцiонал визначається на множинi пар
\bigl[
Q(t),\Phi (x, y, z, t)
\bigr]
, першою компонентою яких
є сiм’я областей Q(t), якi змiнюються з часом, а другою компонентою — сiм’я функцiй \Phi , що
визначаються в тривимiрнiй областi Q(t).
Сiм’ю областей Q(t) задамо за допомогою достатньо гладких функцiй
\bfitR (x, y, z, t) =
\bigl(
X(x, y, z, t), Y (x, y, z, t), Z(x, y, z, t)
\bigr)
, (3.10)
якi перетворюють початкову область Q1 = Q(t1) в наступнi Q(t), причому \bfitR (x, y, z, t1) =
= (x, y, z), тобто перетворення (3.10) при t = t1 збiгається з тотожним.
Припустимо також, що на змочуванiй поверхнi пружного резервуара S(t) виконується умова
\partial \bfitR
\partial t
\cdot \bfitnu (R) = \partial u\nu
\partial t
, \bfitr \in S(t), (3.11)
де u\nu — проекцiя пружного перемiщення на напрям зовнiшньої нормалi до поверхнi S(t).
Для випадку резервуара з абсолютно жорсткими стiнками права частина в (3.11) дорiвнює
нулю.
Позначимо через \frakM множину пар [Q(t),\Phi ], в яких сiм’ї Q(t) задаються вiдображення-
ми \bfitR = \bfitR (x, y, z, t), для яких виконується умова (3.11). Видiлимо iз \frakM однопараметричну
сiм’ю пар
\bigl[
Q\ast (t, \alpha ),\Phi \ast (x, y, z, t)
\bigr]
таку, що функцiї \bfitR \ast = \bfitR \ast (x, y, z, t, \alpha ), якi визначають сiм’ю
Q\ast (t, \alpha ), будуть гладкими функцiями по \alpha . Покладемо
\bfitR \ast (x, y, z, t, 0) = \bfitR (x, y, z, t), \Phi \ast (x, y, z, t, 0) = \Phi (x, y, z, t).
Має мiсце така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
70 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
Теорема 3.1. Стацiонарнi точки [Q(t),\Phi ] функцiонала (3.9) на многовидi \frakM є розв’язками
крайової задачi (3.6) – (3.8).
Функцiонал (3.9) є функцiоналом типу (3.1).
Використовуючи однопараметричну сiм’ю взаємно однозначних i неперервно диференцi-
йовних перетворень \bfitR \ast (x, y, z, t, \alpha ), якi задовольняють умову (3.11) по t i \alpha , i видiляючи
сiм’ю пар
\bigl[
Q\ast (t, \alpha ),\Phi \ast (x, y, z, t, \alpha )
\bigr]
iз \frakM , в яких Q\ast (t, \alpha ) визначаються за допомогою \bfitR \ast ,
одержуємо iз (3.5) вираз для варiацiї функцiонала (3.9) на многовидi \frakM :
\delta I =
t2\int
t1
\left[ - \int
Q(t)
\bigtriangleup \Phi \delta \Phi dQ+
\int
\Sigma (t)
\biggl(
\partial \Phi
\partial \nu
- \bfitv 0 \cdot \bfitnu - \bfitomega \cdot (\bfitr \times \bfitnu ) - v\nu
\biggr)
\delta \Phi dS+
+
\int
S(t)
\biggl(
\partial \Phi
\partial \nu
- \bfitv 0 \cdot \bfitnu - \bfitomega \cdot (\bfitr \times \bfitnu ) - \partial u\nu
\partial t
\biggr)
\delta \Phi dS+
+
\int
\Sigma (t)
\biggl[
\partial \Phi
\partial t
+
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr ) + U
\biggr]
(\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) dS
\right] dt. (3.12)
Iз виразу (3.12) для першої варiацiї функцiонала (3.9) на многовидi \frakM внаслiдок довiльностi
варiацiї функцiї \delta \Phi i варiацiї вiльної поверхнi (\delta \alpha \bfitR \cdot \bfitnu ) випливає, що для стацiонарної точки
[Q(t),\Phi ] виконуються всi умови крайової задачi (2.10) – (2.13).
Згiдно з теоремою 3.1 розв’язок крайової задачi (2.10) – (2.13) зводиться до варiацiйної
проблеми вiдшукання стацiонарних точок функцiонала (3.9) на многовидi \frakM .
Такого роду еквiвалентнiсть у нелiнiйних задачах динамiки твердих тiл iз порожнинами,
частково заповненими рiдиною, ранiше було встановлено у випадку порожнин з абсолютно
жорсткими стiнками. Це вдалося зробити в розрiзi викладеного вище на основi так званого
варiацiйного принципу Бейтмена – Люка як у випадку нерухомого контейнера, так i у випад-
ку просторового руху абсолютно жорсткого резервуара, частково заповненого рiдиною (див.,
наприклад, [8, 9, 12]).
Велика перевага варiацiйних пiдходiв у цьому класi задач пов’язана з тим, що вони, з одного
боку, є досить гнучкими з точки зору створення загальних нелiнiйних математичних моделей,
а з iншого — вiдкривають широкi можливостi для застосування прямих методiв математичної
фiзики при побудовi в аналiтичному виглядi розв’язкiв сумiжних крайових задач, що виникають
у нелiнiйнiй теорiї.
4. Наближений метод визначення руху рiдини в резервуарi з пружними стiнками, що
здiйснює заданий просторовий рух. Практична цiннiсть теорiї, викладеної в попередньому
пунктi, полягає у вiдшуканнi на iї основi ефективних алгоритмiв побудови стацiонарних точок
[Q(t),\Phi ] функцiоналiв типу (3.1), що є, як зазначалося у вступi, найбiльш складною проблемою
розв’язання варiацiйних задач для iнтегральних функцiоналiв зi змiнною областю iнтегруван-
ня у просторовiй постановцi. Наближенi методи такого типу прийнято вiдносити до прямих
методiв математичної фiзики.
Це питання розглянемо тут на основi варiацiйного принципу Гамiльтона – Остроградського,
в якому роль функцiї Лагранжа вiдiграє вираз
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 71
L =
\int
Q(t)
p dQ = - \rho
\int
Q(t)
\biggl[
\partial \Phi
\partial t
+
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr ) + U
\biggr]
dQ. (4.1)
Припустимо, що рiвняння збуреної вiльної поверхнi рiдини \zeta (x, y, z, t) = 0 в системi коор-
динат з початком O на незбуренiй вiльнiй поверхнi \Sigma 0 можна записати у виглядi
\zeta (x, y, z, t) = x - f(y, z, t) = 0. (4.2)
Тодi у зв’язанiй системi координат вiдносна нормальна швидкiсть частинок вiльної поверхнi
\Sigma (t) рiдини визначається рiвнянням
v\nu =
ft\sqrt{}
1 + f2y + f2z
. (4.3)
У вiдповiдностi з варiацiйним принципом Гамiльтона – Остроградського для дiйсних рухiв,
якi є хвильовими рухами рiдини з вiльною поверхнею в рухомому резервуарi, iнтеграл
W =
t2\int
t1
Ldt (4.4)
набуває стацiонарного значення, тобто
\delta W = \delta
t2\int
t1
Ldt = 0. (4.5)
При цьому покладають, що дiйснi рухи i всi рухи порiвняння починаються одночасно в момент
часу t1 i закiнчуються також одночасно в момент t2.
Початкове i кiнцеве положення системи мають бути одними i тими ж для дiйсних рухiв i
рухiв порiвняння.
Варiацiйна задача, до якої приводить принцип Гамiльтона – Остроградського, формулюється
так: iз усiх функцiй \Phi (x, y, z, t) i f(y, z, t), неперервних разом iз похiдними першого порядку
за просторовими змiнними i часом t, знайти такi, якi доставляють iнтегралу W стацiонарне
значення. Дiйснi рухи тут визначаються функцiями \Phi (x, y, z, t) i f(y, z, t), а рухи порiвняння
— функцiями \Phi + \delta \Phi i f + \delta f, до того ж
\delta \Phi (x, y, z, t1) = 0, \delta \Phi (x, y, z, t2) = 0,
\delta f(y, z, t1) = 0, \delta f(y, z, t2) = 0.
(4.6)
При обчисленнi першої варiацiї функцiонала W вважатимемо, що для рухiв порiвняння
функцiї \Phi (x, y, z, t, \alpha ) i f(y, z, t, \alpha ) довiльним чином залежать вiд параметра \alpha (\alpha достатньо
близьке до нуля), а при \alpha = 0 маємо дiйсний рух \Phi (x, y, z, t) = \Phi (x, y, z, t, 0), f(y, z, t) =
= f(y, z, t, 0).
Переходячи до обчислення першої варiацiї (4.5), перетворюємо вираз (4.1) з урахуванням
(2.1), (2.2):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
72 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
\rho
\int
Q(t)
UdQ = -
\int
Q(t)
\bfitg \cdot \bfitr \prime dQ = m1\bfitg \cdot \bfitr \prime 1C , (4.7)
де \bfitr \prime 1C i \bfitr 1C — радiуси-вектори центра мас об’єму рiдини Q(t) вiдносно точок O\prime i O, m1 —
маса рiдини. Виходячи iз (4.1) i (4.7), знаходимо
L = - \rho
\int
Q(t)
\biggl[
\Phi t +
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr )
\biggr]
dQ+m1\bfitg \cdot \bfitr \prime 1C . (4.8)
Беручи до уваги, що область iнтегрування залежить вiд часу i параметра \alpha , для першої
варiацiї \delta W одержуємо загальний вираз
\delta W = -
t2\int
t1
\left\{
\int
\Sigma 0
\biggl[
\Phi t +
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr )
\biggr]
x=f
\delta fdS+
+
\int
Q(t)
[\bigtriangledown \Phi \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) + \delta \Phi t - \bigtriangledown (\delta \Phi ) \cdot (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr )]dQ
\right\} dt+
+m1
t2\int
t1
\bfitg \cdot \delta \bfitr \prime 1Cdt = 0, (4.9)
де
\delta \Phi =
\partial \Phi
\partial \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\alpha =0
\cdot \alpha , \delta f =
\partial f
\partial \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\alpha =0
\cdot \alpha .
Iнтеграли \int
Q(t)
\bigtriangledown \Phi \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ,
\int
Q(t)
\bfitv 0 \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ,
\int
Q(t)
(\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ
перетворимо, застосувавши теорему Грiна:\int
Q(t)
\bigtriangledown \Theta \cdot \nabla \psi dQ =
\int
S(t)+\Sigma (t)
\psi
\partial \Theta
\partial \nu
dS -
\int
Q(t)
\psi \bigtriangledown 2 \Theta dQ. (4.10)
Прийнявши \bigtriangledown \Theta = \bfitomega \times \bfitr = \bfiti (\omega 2z - \omega 3y) + \bfiti 2(\omega 3x - \omega 1z) + \bfiti 3(\omega 1y - \omega 2x) i помiтивши, що
\bfitv 0 = \bigtriangledown (\bfitv 0 \cdot \bfitr ), одержимо\int
Q(t)
\bigtriangledown \Phi \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ =
\int
S(t)+\Sigma (t)
\delta \Phi
\partial \Phi
\partial \nu
dS -
\int
Q(t)
\delta \Phi \bigtriangledown 2 \Phi dQ,
\int
Q(t)
\bfitv 0 \cdot \nabla (\delta \Phi ) dQ =
\int
Q(t)
\bigtriangledown (\bfitv 0 \cdot \bfitr ) \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ =
\int
S(t)+\Sigma (t)
\delta \Phi \bfitv 0 \cdot \bfitnu dS, (4.11)
\int
Q(t)
(\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bigtriangledown (\delta \Phi ) dQ =
\int
S(t)+\Sigma (t)
\delta \Phi (\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bfitnu dS.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 73
Оскiльки час не варiюється, то\int
Q(t)
\delta \Phi t dQ =
\int
Q(t)
\partial
\partial t
(\delta \Phi ) dQ (4.12)
(тут диференцiювання за часом проводиться в рухомiй системi координат). Застосовуючи до
виразу (4.12) формулу (3.3), знаходимо\int
Q(t)
\partial
\partial t
(\delta \Phi ) dQ =
d
dt
\int
Q(t)
(\delta \Phi ) dQ -
\int
\Sigma (t)
\delta \Phi v\nu ds -
\int
S(t)
\delta \Phi
\partial u\nu
dt
dS. (4.13)
Останнiй вираз в (4.9) перетворимо з урахуванням формули для вiртуального (можливого)
перемiщення довiльної точки Mi розглядуваної механiчної системи
\delta \bfitr \prime i = \delta \bfitr \prime 0 + \delta \theta \times \bfitr \bfiti + \delta 1\bfitr \bfiti , (4.14)
де \delta \bfitr \prime 0 — вiртуальне перемiщення полюса O рухомої системи координат Oxyz; \delta \bfittheta — вектор
нескiнченно малого повороту резервуара вiдносно точки O, \delta 1 означає варiацiю при фiксованих
ортах зв’язаної системи \bfiti s. Виходячи iз виразу для радiуса-вектора центра мас обмеженого
об’єму рiдини вiдносно точки O
m1\bfitr 1C = \rho
\int
Q(t)
\bfitr dQ, (4.15)
пiсля нескладних перетворень з урахуванням (4.7), (4.14) одержуємо
m1\delta 1\bfitr 1C = \rho
\int
\Sigma 0
(\bfiti 1f + \bfiti 2y + \bfiti 3z)\delta f dS = \rho
\int
\Sigma 0
\bfitr | x=f\delta f dS. (4.16)
При обчисленнi варiацiї \delta 1\bfitr 1C було взято до уваги, що змочувана поверхня резервуара здiйснює
наперед заданi перемiщення \bfitu (x, y, z, t). Таким чином, останнiй доданок, що фiгурує в (4.9),
набирає вигляду
m1
t2\int
t1
\bfitg \cdot \delta \bfitr \prime 1Cdt =
=
t2\int
t1
\left[ m1\bfitg \cdot \delta \bfitr \prime 0 + (m1\bfitr 1C \times \bfitg ) \cdot \delta \bfittheta + \rho
\int
\Sigma 0
\bfitg \cdot \bfitr | x=f\delta fdS
\right] dt. (4.17)
Оскiльки рух резервуара вважається вiдомим, то \delta \bfitr \prime 0 i \delta \bfittheta дорiвнюють нулю, а отже, iз (4.17)
отримуємо
m1
t2\int
t1
\bfitg \cdot \delta \bfitr \prime Cdt = \rho
t2\int
t1
\int
\Sigma 0
\bfitg \cdot \bfitr | x=f \delta f dS dt. (4.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
74 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
У пiдсумку для першої варiацiї iнтеграла (4.4) з урахуванням (4.11), (4.13), (4.18) iз (4.9)
одержуємо
\delta W = \rho
t2\int
t1
\left\{
\int
\Sigma 0
\biggl[
\Phi t +
1
2
(\bigtriangledown \Phi )2 - \bigtriangledown \Phi (\bfitv 0 + \bfitomega \times \bfitr - \bfitg \cdot \bfitr )
\biggr]
x=f
\delta fdS+
+
\int
S(t)
\biggl[
\partial \Phi
\partial \nu
- \bfitv 0 \cdot \bfitnu - (\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bfitnu - \partial u\nu
\partial t
\biggr]
\delta \Phi dS+
+
\int
\Sigma 0
\biggl( \biggl[
\partial \Phi
\partial \nu
- \bfitv 0 \cdot \bfitnu - (\bfitomega \times \bfitr ) \cdot \bfitnu - v\nu
\biggr]
\delta \Phi
\biggr)
x=f
dS -
-
\int
Q(t)
\nabla 2\Phi \delta \Phi dQ+
d
dt
\int
Q(t)
\delta \Phi dQ
\right\} dt = 0. (4.19)
Останнiй доданок в цьому рiвняннi дорiвнює нулю у вiдповiдностi з умовами (4.6). Внаслiдок
незалежностi варiацiй \delta f i \delta \Phi iз (4.19) випливає крайова задача (2.10) – (2.13). Зауважимо, що
нелiнiйнi крайовi умови задачi (2.10) – (2.13) випливають безпосередньо з умови екстремуму
функцiонала (4.4), тобто є природними крайовими умовами. Саме ця обставина є визначальною
при використаннi функцiонала (4.4) або варiацiйного рiвняння (4.19) при побудовi ефективних
наближених методiв розв’язування крайової задачi (2.10) – (2.13).
Зупинимося на одному iз варiантiв прямого методу розв’язування розглядуваної крайової
задачi, припустивши, що швидкiсть поступального руху \bfitv 0(t) i миттєва кутова швидкiсть \bfitomega (t)
є вiдомими функцiями часу. Кiнематичнi умови крайової задачi дозволяють записати потенцiал
швидкостей \Phi (x, y, z, t) у виглядi
\Phi (x, y, z, t) = \bfitv 0 \cdot \bfitV + \bfitomega \cdot \bfOmega + \varphi , (4.20)
де \bfitV (x, y, z) i \bfOmega (x, y, z) — гармонiчнi вектори, тобто вектори, проекцiї яких V1, V2, V3 i \Omega 1,
\Omega 2, \Omega 3 на осi Oxyz є гармонiчними функцiями, що задовольняють крайовi умови
\partial V1
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= \nu 1,
\partial V2
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= \nu 2,
\partial V3
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= \nu 3, (4.21)
\partial \Omega 1
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= y\nu 3 - z\nu 2,
\partial \Omega 2
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= z\nu 1 - x\nu 3,
\partial \Omega 3
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S(t)+\Sigma (t)
= x\nu 2 - y\nu 1.
(4.22)
Тут \nu 1, \nu 2, \nu 3 — проекцiї орта \bfitnu на осi системи Oxyz. Гармонiчна функцiя \varphi (x, y, z, t), яка
входить у вираз (4.20), задовольняє крайовi умови
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
=
1
N
\partial f
\partial t
,
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S0
=
\partial u\nu
\partial t
, N =
\sqrt{}
1 + f2y + f2z (4.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 75
i описує хвильовi рухи рiдини в нерухомому резервуарi.
Потенцiал \varphi (x, y, z, t) доцiльно записати у виглядi
\varphi (x, y, z, t) = \varphi 1(x, y, z, t) + \varphi 2(x, y, z, t), (4.24)
де \varphi 1 i \varphi 2 — розв’язки крайових задач
\nabla 2\varphi 1 = 0, \bfitr \in Q(t),
\partial \varphi 1
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
=
1
N
\partial f
\partial t
,
\partial \varphi 1
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm|
S0
= 0, (4.25)
\nabla 2\varphi 2 = 0, \bfitr \in Q(t),
\partial \varphi 2
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
= 0,
\partial \varphi 2
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S0
=
\partial u\nu
\partial t
. (4.26)
При цьому крайова задача (4.25) описує хвильовi рухи рiдини в резервуарi з недеформованими
стiнками.
Потенцiал швидкостей рiдини \varphi 2(x, y, z, t) виникає за рахунок пружних коливань стiнок ре-
зервуара, обумовлених пружними перемiщеннями \bfitu (x, y, z, t). Цi перемiщення тут трактуються
на основi лiнiйних рiвнянь теорiї пружностi, при побудовi яких розглядається дiя поверхневих
сил на недеформовану поверхню пружного тiла S0.
Розв’язки крайових задач (4.21), (4.22), (4.25), (4.26) повиннi задовольняти умови розв’яз-
ностi задач Неймана для рiвнянь Лапласа, а в деяких випадках — i iншi додатковi умови, якi не
суперечать умовi збереження об’єму нестисливої iдеальної рiдини.
Розв’язки крайових задач (4.21) з точнiстю до довiльної функцiї часу мають вигляд
V1 = x, V2 = y, V3 = z, (4.27)
так що \bfitV = \bfitr . Оскiльки \nu i на межi областi Q(t) залежать вiд часу, функцiя \bfitV також залежить
вiд часу; час входить у \bfitV через просторовi змiннi. Це саме стосується i гармонiчного вектора \bfOmega .
Розв’язки крайових задач (4.22) єдинi при умовi\int
S(t)+\Sigma (t)
\partial \Omega i
\partial \nu
dS = 0,
в чому можна пересвiдчитись, застосувавши формулу Гаусса – Остроградського для перетворен-
ня поверхневого iнтеграла в об’ємний:\int
S(t)+\Sigma (t)
F\nu 1 dS =
\int
Q(t)
\partial F
\partial x
dQ,
\int
S(t)+\Sigma (t)
F\nu 2 dS =
\int
Q(t)
\partial F
\partial y
dQ,
\int
S(t)+\Sigma (t)
F\nu 3 dS =
\int
Q(t)
\partial F
\partial z
dQ.
(4.28)
Тут F — неперервна функцiя разом iз частинними похiдними в областi Q(t) i на її межi.
Наприклад, для функцiї \Omega 1 маємо\int
S(t)+\Sigma (t)
\partial \Omega 1
\partial \nu
dS =
\int
S(t)+\Sigma (t)
(y\nu 3 - z\nu 2) dS =
\int
Q(t)
\biggl(
\partial y
\partial z
- \partial z
\partial y
\biggr)
dQ \equiv 0. (4.29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
76 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
При розв’язуваннi крайової задачi (4.25) будемо вимагати, щоб функцiя f(y, z, t), яка описує
форму вiльної поверхнi i також пiдлягає визначенню, задовольняла умову\int
\Sigma (t)
\partial \varphi 1
\partial \nu
dS =
\int
\Sigma (t)
ft
N
dS = 0. (4.30)
Для складової потенцiалу швидкостей рiдини \varphi 2(x, y, z, t), яка викликана пружними пере-
мiщеннями стiнок резервуара в лiнiйнiй iнтерпретацiї проблеми, внаслiдок мализни перемiщень
будемо вимагати виконання умови розв’язностi крайової задачi Неймана (4.26) у виглядi\int
S0
\partial \varphi 2
\partial \nu
dS =
\int
S0
\partial u\nu
\partial t
dS = 0. (4.31)
Iз зображення потенцiалу швидкостей рiдини у виглядi (4.20) для вектора абсолютної швид-
костi частинок рiдини з урахуванням (4.24) знаходимо
\bfitv a = \nabla \Phi = \bfitv 0 +\nabla (\bfitomega \cdot \bfOmega ) +\nabla \varphi 1 +\nabla \varphi 2. (4.32)
Порiвнюючи цей вираз iз формулою (2.6) розподiлу швидкостей у складному русi механiчної
системи, маємо
\ast
\bfitr = \nabla (\bfitomega \cdot \bfOmega ) +\nabla \varphi 1 +\nabla \varphi 2 - (\bfitomega \cdot \bfitr ). (4.33)
Таким чином, у випадку заданого руху резервуара з пружними стiнками рух рiдини можна
вважати вiдомим, якщо знайдено розв’язки крайових задач Неймана для складових потенцiалу
швидкостей \Omega i, \varphi 1 i \varphi 2.
Наближений розв’язок нелiнiйної крайової задачi (2.10) – (2.13) будемо шукати у формi
(4.20), виходячи з еквiвалентної їй варiацiйної проблеми, тобто iз проблеми знаходження
екстремальних значень функцiонала (4.4). Для цього функцiю f(y, z, t) запишeмо у виглядi
розвинення
f(y, z, t) =
\infty \sum
i=1
\beta i(t)fi(y, z), (4.34)
де fi(y, z) — повна ортогональна разом зi сталою система функцiй, задана на незбуренiй вiль-
нiй поверхнi рiдини \Sigma 0, а \beta i(t) — узагальненi коефiцiєнти Фур’є, якi залежать вiд часу, як
вiд параметра, i вiдiграють у подальшому роль узагальнених координат, що характеризують
вiдхилення вiльної поверхнi вiд положення рiвноваги:
\beta i(t) =
\int
\Sigma 0
f(y, z, t)fi(y, z) dS. (4.35)
В аналогiчному виглядi запишемо також i вектор пружного перемiщення стiнок резервуара
\bfitu (x, y, z, t):
\bfitu (x, y, z, t) =
\infty \sum
k=1
\bfitq k(t)\varphi
\ast
k(x, y, z), (4.36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ВАРIАЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДИНАМIКИ . . . 77
де \varphi \ast
k(x, y, z) — повна система функцiй, задана на недеформованiй поверхнi резервуара S0 i
породжена введеною ранiше автором задачею на власнi значення з параметром у граничнiй
умовi [13, 14]:
\nabla 2\varphi \ast = 0, \bfitr \in Q,
\partial \varphi \ast
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
= 0,
\partial \varphi \ast
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S0
= \kappa \ast \varphi \ast .
(4.37)
Крайова задача на власнi значення (4.37) поряд з аналогiчною задачею
\nabla 2\varphi = 0, \bfitr \in Q,
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
= \kappa \varphi ,
\partial \varphi
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S0
= 0,
(4.38)
яка природно виникає в задачi про гравiтацiйнi хвилi в обмеженому об’ємi рiдини з вiльною
поверхнею, вiдноситься до базових задач лiнiйної i нелiнiйної теорiї модальних методiв.
Варiацiйним методом встановлено дискретнiсть спектра та повноту систем власних функцiй
задач (4.37), (4.38) у роботах [14, 15]. Широке застосування варiацiйний метод знайшов також
i при створеннi наближених методiв розв’язування цих спектральних задач.
Вважаючи, що розв’язки спектральних задач (4.37) i (4.38) вiдомi, складовi потенцiалу
швидкостей \varphi 1(x, y, z, t) i \varphi 2(x, y, z, t) можна конструктивно записати у виглядi
\varphi 1(x, y, z, t) =
\infty \sum
n=1
Rn(t)\varphi n(x, y, z),
\varphi 2(x, y, z, t) =
\infty \sum
k=1
Qk(t)\varphi
\ast
k(x, y, z),
де \varphi n(x, y, z) i \varphi \ast
k(x, y, z) — системи гармонiчних функцiй, що задовольняють на незбурених
поверхнях S0 i \Sigma 0 граничнi умови \partial \varphi n
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S0
= 0 i
\partial \varphi \ast
k
\partial \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Sigma 0
= 0, а Rn(t) i Qk(t) — параметри, якi
характеризують змiну потенцiалiв \varphi 1 i \varphi 2 за часом.
Введення до розгляду узагальнених координат \bfitq k(t) за принципом
\bfitq k(t) =
\int
S0
\bfitu (x, y, z, t)f\ast k (x, y, z) dS,
де f\ast k = \kappa \ast \varphi \ast (x, y, z), \bfitr \in S0, дозволяє описати рух розглядуваної деформiвної механiчної
системи на мовi нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь, виходячи iз варiацiйного рiв-
няння (4.19) або безпосередньо iз (4.5), попередньо надавши функцiї Лагранжа вигляду функ-
цiї вiд узагальнених координат \beta i(t) i \bfitq k(t). Врахування пружностi стiнок резервуара iстотно
ускладнює методи дослiдження задач динамiки резервуарiв, заповнених рiдиною, в порiвняннi
з дослiдженням аналогiчної задачi у випадку абсолютно жорстких стiнок резервуара [8]. Роз-
мiрнiсть математичних моделей у розглядуваному випадку значно збiльшується через наявнiсть
додаткових ступенiв вiльностi. Змiннiсть у часi положення центра мас системи обумовлена те-
пер узагальненими координатами \beta i(t), пов’язаними з нелiнiйними гравiтацiйними хвилями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
78 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ
на вiльнiй поверхнi рiдини, i узагальненими координатами \bfitq k(t), якi характеризують пружнi
деформацiї корпусу резервуара.
Це дає змогу формулювати та розв’язувати бiльш широке коло задач аналiтичної механiки.
Зокрема, вiдкривається перспектива в нелiнiйнiй постановцi бiльш ґрунтовно розглянути другу
задачу динамiки оболонок, частково заповнених рiдиною.
Постановка цiєї задачi передбачає визначення як руху пружної оболонки, так i руху рiдини
в серединi оболонки, а також сил взаємодiї мiж оболонкою i рiдиною за заданими зовнiшнiми
прикладеними до оболонки силами.
Дослiдження коливань пружної оболонки, частково заповненої рiдиною, можна проводити
без додаткових обмежень на мализну коливань вiльної поверхнi рiдини, якi часто виключають
iз поля зору ряд важливих фiзичних процесiв [16, 17].
Лiтература
1. Данилюк И. И. Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1972. – 118. – 112 с.
2. Luke J. G. A variational principle for a fluid with a free surface // J. Fluid Mech. – 1967. – 27. – P. 395 – 397.
3. Луковский И. А. Вариационный метод в нелинейных задачах динамики ограниченного объема жидкости со
свободной поверхностью // Колебания упругих конструкций с жидкостью. – М.: Волна, 1976. – С. 260 – 265.
4. Miles J. W. Nonlinear surface waves in closed basins // J. Fluid Mech. – 1976. – 75, Pt. 3. – P. 419 – 448.
5. Луковский И. А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость. –
Киев: Наук. думка, 1990. – 296 с.
6. Луковский И. А., Тимоха А. Н. Вариационные методы в нелинейных задачах динамики ограниченного объема
жидкости. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 399 с.
7. Faltinsen O. M., Timokha A. N. Sloshing. – Cambridge Univ. Press, 2009. – 557 p.
8. Луковский И. А. Математические модели нелинейной динамики тел с жидкостью. – Киев: Наук. думка, 2010. –
407 с.
9. Lukovsky I. A. Nonlinear dynamics. Mathematical models for rigid bodies with a liquid. – De Gruyter, 2015. – 393 p.
10. Лурье А. И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
11. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. – М.; Л.: Гостехиздат, 1951. – Т. 1. – 476 с.
12. Луковский И. А., Комаренко А. Н. Вариационная формулировка некоторых нелинейных краевых задач матема-
тической физики в областях со свободными границами // Асимптотические методы математической физики:
Сб. науч. тр. – Киев: Наук. думка, 1988. – С. 144 – 150.
13. Луковский И. А. Применение метода разложения по собственным функциям к решению краевых задач теории
возмущенного движения твердого тела с жидкостью // Труды 1-й республ. мат. конф. молодых исследов. –
Киев: Наук. думка, 1965.
14. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединенных масс
жидкости в подвижных полостях. – Киев: Наук. думка, 1969. – 250 с.
15. Комаренко А. Н., Луковский И. А., Фещенко С. Ф. К задаче о собственных значениях с параметром в краевых
условиях // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 6. – С. 22 – 30.
16. Брусиловский А. Д., Шмаков В. П., Яблуков В. А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний
упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. – 1973. – № 3. – С. 99 – 110.
17. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной
жидкостью // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 3. – С. 394 – 412.
Одержано 07.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1542 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:44Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2a/6ff67d05cba0215797dc1eb05d5b9f2a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15422019-12-05T09:17:34Z Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries Варіаційний метод розв’язування нелінійних крайових задач динаміки обмеженого об’єму рідини зі змінними межами Lukovsky, I. O. Луковський, І. О. We study nonlinear boundary-value problems of the hydrodynamic type formulated for the domains whose boundaries are unknown in advance. The investigations are based on the variational formulations of these problems with the help of specially introduced integral functionals with variable domains of integration. It is shown that the required solutions of the boundary-value problems are, in a certain sense, equivalent to finding stationary points of the analyzed functionals. These are pairs formed by the families of domains and the functions defined in these domains. On an example of the problem of space motion of a vessel with elastic walls partially filled with an ideal incompressible liquid, we propose a method for the construction in the analytic form both of the required solutions and of the boundaries of the domains (deformed walls and the shape of the perturbed free surface of the liquid). Исследуются нелинейные краевые задачи гидродинамического типа, сформулированные для областей с наперед неизвестными границами. В основе исследований находятся вариационные формулировки этих задач на базе специально введенных в рассмотрение интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Показано, что искомые решения краевых задач эквивалентны в некотором смысле нахождению стационарных точек рассмат риваемых функционалов. Ими являются пары, состоящие из семейств областей и определенных в них функций. На примере задачи о пространственном движении резервуара с упругими стенками, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, предложен метод построения в аналитическом виде как искомых решений, так и границ областей (деформируемых стенок и формы возмущенной свободной поверхности жидкости). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1542 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 1 (2018); 63-78 Український математичний журнал; Том 70 № 1 (2018); 63-78 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1542/524 Copyright (c) 2018 Lukovsky I. O. |
| spellingShingle | Lukovsky, I. O. Луковський, І. О. Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title | Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title_alt | Варіаційний метод розв’язування нелінійних крайових задач динаміки
обмеженого об’єму рідини зі змінними межами |
| title_full | Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title_fullStr | Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title_full_unstemmed | Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title_short | Variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| title_sort | variational method for the solution of nonlinear boundary-value problems of the
dynamics of bounded volumes of liquid with variable boundaries |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1542 |
| work_keys_str_mv | AT lukovskyio variationalmethodforthesolutionofnonlinearboundaryvalueproblemsofthedynamicsofboundedvolumesofliquidwithvariableboundaries AT lukovsʹkijío variationalmethodforthesolutionofnonlinearboundaryvalueproblemsofthedynamicsofboundedvolumesofliquidwithvariableboundaries AT lukovskyio varíacíjnijmetodrozvâzuvannânelíníjnihkrajovihzadačdinamíkiobmeženogoobêmurídinizízmínnimimežami AT lukovsʹkijío varíacíjnijmetodrozvâzuvannânelíníjnihkrajovihzadačdinamíkiobmeženogoobêmurídinizízmínnimimežami |