Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator on (−∞,∞) with polynomial potential
New exact representations for the solutions of numerous one-dimensional spectral problems for the Schr¨odinger operator with polynomial potential are obtained by using a technique based on the functional-discrete (FD) method. In cases where the ordinary FD-method is divergent, we propose to use its...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1543 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507339181785088 |
|---|---|
| author | Makarov, V. L. Макаров, В. Л. |
| author_facet | Makarov, V. L. Макаров, В. Л. |
| author_sort | Makarov, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:17:34Z |
| description | New exact representations for the solutions of numerous one-dimensional spectral problems for the Schr¨odinger operator
with polynomial potential are obtained by using a technique based on the functional-discrete (FD) method. In cases where
the ordinary FD-method is divergent, we propose to use its modification, which proved to be quite efficient. The obtained
theoretical results are illustrated by numerical examples. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.624.2
В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА НА ( - \infty ,\infty )
З ПОЛIНОМIАЛЬНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ
New exact representations for the solutions of numerous one-dimensional spectral problems for the Schrödinger operator
with polynomial potential are obtained by using a technique based on the functional-discrete (FD) method. In cases where
the ordinary FD-method is divergent, we propose to use its modification, which proved to be quite efficient. The obtained
theoretical results are illustrated by numerical examples.
С помощью функционально-дискретного FD-метода найдены точные решения ряда одномерных спектральных задач
для оператора Шредингера с полиномиальным потенциалом. В случаях, когда традиционный FD-метод является
расходящимся, предложена его модификация, которая оказалась достаточно эффективной. Теоретические результаты
проиллюстрированы на численных примерах.
Вступ. Розглянемо задачу
d2u(x)
dx2
- 2x
du(x)
dx
+ (\lambda - \varphi (x))u(x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\infty \int
- \infty
e - x2
u2(x) dx < \infty ,
(1)
що полягає у знаходженнi власних значень \lambda n i вiдповiдних їм власних функцiй un(x),
n = 0, 1, 2, . . . , де потенцiал \varphi (x) є полiномом. Припускаємо, що нумерацiю власних значень
вибрано таким чином, що
\lambda 0 < \lambda 1 < . . . < \lambda n < . . . .
Iнтерес дослiдникiв до побудови точних розв’язкiв та ефективних методiв знаходження на-
ближених розв’язкiв цiєї задачi не послаблюється до сьогоднi (див., наприклад, [1 – 6]). Варто
зазначити, що в усiх роботах, якi стосуються точних розв’язкiв, автори не звернули увагу на
тiсний зв’язок диференцiального рiвняння (1) з рiвнянням Heun’а. Теоретичнi дослiдження
цього рiвняння вже давно iнтенсивно проводяться (див. [7]). Результати цих дослiджень впро-
ваджено в систему комп’ютерної алгебри Maple, де в роздiлi меню „Help” мiстяться умови,
за яких функцiї Heun’а перетворюються на полiноми. Але в усiх авторiв вiдсутнє теоретичне
обґрунтування застосованих наближених методiв, що зумовлено необмеженим промiжком iн-
тегрування та необмеженiстю потенцiалу на ньому. В данiй роботi запропоновано новий пiдхiд
до розв’язування задачi (1) зi строгим його обгрунтуванням, який в окремих випадках приво-
дить до точних аналiтичних розв’язкiв (див. пп. 1, 2, результати яких частково були анонсованi
у [8]). Для тих полiномiальних потенцiалiв, для яких традицiйний FD-метод є розбiжним, за-
пропоновано його модифiкацiю, що виявилась достатньо ефективною (див. п. 3). Теоретичнi
результати проiлюстровано чисельними прикладами. Вони можуть бути використанi для зна-
ходження основних та збуджених енергетичних станiв енергiї ангармонiчних осциляторiв i
осциляторiв з подвiйною потенцiальною ямою.
c\bigcirc В. Л. МАКАРОВ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1 79
80 В. Л. МАКАРОВ
1. Знаходження точних розв’язкiв. Застосуємо до задачi (1) найпростiший варiант FD-
методу з \=\varphi (x) \equiv 0 (див. [9, 10]), який, фактично, є методом гомотопiй та за своєю iдеологiєю
аналогiчний методу Адомяна [11]. Вiн полягає у розв’язуваннi рекурентної послiдовностi задач
d2u
(0)
n (x)
dx2
- 2x
du
(0)
n (x)
dx
+ \lambda (0)
n u(0)n (x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\lambda (0)
n = 2n, u(0)n (x) = Hn(x),
(2)
d2u
(j+1)
n (x)
dx2
- 2x
du
(j+1)
n (x)
dx
+ \lambda (0)
n u(j+1)
n (x) =
= -
j\sum
p=0
\lambda (j - p+1)
n u(p)n (x) + \varphi (x)u(j)n (x) \equiv F (j+1)
n (x), (3)
x \in ( - \infty ,\infty ),
\infty \int
- \infty
e - x2
u(j+1)
n (x)u(0)n (x) dx = 0, j = 0, 1, . . . ,
\lambda (j+1)
n =
\int \infty
- \infty
e - x2
\varphi (x)u(j)n (x)u(0)n (x) dx\int \infty
- \infty
e - x2
[u(0)n (x)]2dx
, j = 0, 1, . . . . (4)
Тут (2) — базова задача, Hn(x) — полiноми Ермiта. За розв’язками задач (2) – (4) будуються
наближення до власних значень i власних функцiй m-го рангу
m
un(x) =
m\sum
j=0
u(j)n (x),
m
\lambda n =
m\sum
j=0
\lambda (j)
n .
Традицiйний пiдхiд до доведення збiжностi FD-методу (див. [9, 10]) у даному випадку застосу-
вати не вдалося, тому ми використали iнший. З метою спрощення продемонструємо його для
конкретного випадку n = 0, \varphi (x) = x2. Неважко показати, що розв’язок (j + 1)-го рiвняння з
(3) має вигляд
u
(j+1)
0 (x) =
j+1\sum
p=1
a(j+1)
p H2p(x), (5)
де коефiцiєнти повиннi бути визначенi. Аналогiчний вигляд мають розв’язки всiх рiвнянь, що
входять у (3). Пiдставимо вираз iз (5) у диференцiальне рiвняння (3) i прирiвняємо коефiцiєнти
при полiномах Ермiта однакового степеня. Тодi одержимо систему рiвнянь
\lambda
(j+1)
0 = 2a
(j)
1 +
1
2
\delta 0,j =
( - 1)j(2j - 1)!
22j - 1(j - 1)!(j + 1)!
+
1
2
\delta 0,j ,
- 4p a(j+1)
p = - 1
2
a(j)p - 2
j - 1\sum
s=p
a
(j - s)
1 a(s)p +
1
2
\biggl[
1
2
a
(j)
p - 1+
+ (4p+ 1)a(j)p + 4(p+ 1)(2p+ 1)a
(j)
p+1
\biggr]
, p = 1, 2, . . . , j + 1, j = 0, 1, . . . ,
(6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 81
a(j)p = 0, p > j.
Процедура розв’язування алгебраїчної рекурентної системи (6) є алгоритмiчною реалiзацiєю
FD-методу, у якiй використовуються лише елементарнi арифметичнi операцiї над символами.
На вiдмiну вiд роботи [12] система (6) не тiльки вiдiграє важливу роль для побудови алгоритму,
але й має ключове значення для доведення збiжностi методу. Не записуючи окремо розв’язок
рекурентної системи рiвнянь (6), сформулюємо бiльш загальний результат.
Теорема. Нехай \varphi (x) = x2. Тодi FD-метод для задачi (1) є експоненцiально збiжним i в
границi дає точний розв’язок цiєї задачi:
\lambda n = (2n+1)
\surd
2 - 1,
un(x) =
( - 1)[n/2]
(n)!
Hn(2
1/4x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 1/2x2(
\surd
2 - 1)), n = 0, 1, . . . . (7)
Дана теорема є уточненням вiдповiдного результату з [1] i посиленням результатiв автора
з [8]. Доведення проводиться з використанням системи комп’ютерної алгебри Maple. Спочатку
покажемо, якого вигляду набирають формули (6). Використовуючи вираз
u
(j)
2n (x) =
j\sum
p= - min(j,n), p \not =0
a
(j)
2n+2pH2n+2p(x),
отримуємо
\lambda
(j+1)
2n =
1
4
a
(j)
2n - 2 + 2 (n+ 1) (2n+ 1) a
(j)
2n+2,
- 4p a
(j+1)
2n+2p = -
j\sum
s=| p|
\lambda
(j+1 - s)
2n a
(s)
2n+2p +
1
2
\biggl[
1
2
a
(j)
2n+2p - 2+
+(4n+ 4p+ 1)a
(j)
2n+2p + 4(n+ p+ 1)(2n+ 2p+ 1)a
(j)
2n+2p+2
\biggr]
, p = 1, 2, . . . , j + 1,
j = 0, 1, . . . , a
(j)
2n+2p = 0, p > j, p = - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(j + 1, n) , j + 1, j = 0, 1, . . . .
За допомогою математичної iндукцiї доводимо, що
\lambda
(j+1)
2n = (4n+ 1)\lambda
(j+1)
0 . (8)
Знайти аналiтичний вигляд усiх коефiцiєнтiв a2n,k достатньо складно, тому доведення формул
(7) проводимо таким чином. Спочатку, використовуючи (6), (8), знаходимо
\lambda 2n =
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
2n = 4n+(4n+1)/(1+
\surd
2).
Потiм пiдставляємо знайдене \lambda 2n у рiвняння (1) i розв’язуємо його за допомогою системи
комп’ютерної алгебри Maple для рiзних фiксованих n при виконаннi умов
u2n(0) = 1,
du2n(0)
dx
= 0.
Проаналiзувавши одержанi результати, отримаємо формулу для u2n(x) у (7). Аналогiчно дово-
димо формулу для u2n+1(x) у (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
82 В. Л. МАКАРОВ
Зауваження 1. Враховуючи характер залежностi \lambda
(0)
n = 2n вiд n та обґрунтування FD-
методу, робимо висновок, що при його застосуваннi до задач типу (1) вiн втрачає свою чудову
властивiсть: чим бiльший порядковий номер шуканого власного значення, тим вища швидкiсть
збiжностi методу [9, 10]. Якщо степiнь полiномiального потенцiалу \varphi (x) бiльший або дорiвнює
трьом, то запропонований найпростiший варiант FD-методу буде розбiжним, i застосування за-
гальної схеми методу iз наближенням потенцiалу кусково-сталою функцiєю є проблематичним
через необмеженiсть останнього та необмеженiсть промiжку, на якому вiн повинен бути на-
ближений. Тому, щоб досягти збiжностi методу, якщо вiн у традицiйних пiдходах є розбiжним,
потрiбно застосовувати iншу схему FD-методу.
Зауваження 2. Для випадку, коли потенцiал у рiвняннi (1) є сумою полiнома та автоном-
ної нелiнiйностi (типу Gross – Pitaevskii), так само, як i у лiнiйному випадку, варто будувати
символьний алгоритм FD-методу з використанням лише арифметичних операцiй.
Зауваження 3. За допомогою нашого методу можна довести, що всi точнi власнi значення
для випадку
\varphi (x) = b1x
мають вигляд
\lambda n = 4n - b21
4
, n = 0, 1, . . . ,
а вiдповiднi точнi власнi функцiї можуть бути вираженi через полiноми Лагерра [13, 14]
un(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x/2)
L
1/2
n
\Biggl( \biggl(
x+
b1
2
\biggr) 2
\Biggr)
L
1/2
n
\Biggl( \biggl(
b1
2
\biggr) 2
\Biggr) .
Природним чином виникає питання: чи можна було б вiдразу розглянути загальний випадок
\varphi (x) = b1 x + b2x
2, з якого, як наслiдки, випливали б попереднi два випадки? Виявляється,
що не можна. Тому цей загальний випадок розглянемо окремо. Враховуючи набутий на попе-
реднiх окремих випадках досвiд, не застосовуючи FD-метод, лише використовуючи систему
комп’ютерної алгебри Maple, знаходимо аналiтичний розв’язок
\lambda n = (2n+ 1)
\sqrt{}
b2 -
b21
4b2
,
u2n(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x(b1 + b2x
2)
2
\surd
b2
\biggr) L
- 1/2
n
\Biggl(
(b1 + 2b2x)
2
4b
3/2
2
\Biggr)
L
- 1/2
n
\Biggl(
(b1)
2
4b
3/2
2
\Biggr) , (9)
u2n+1(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x(b1 + b2x
2)
2
\surd
b2
\biggr)
b1 + 2b2x
2b
3/4
2
L
1/2
n
\Biggl(
(b1 + 2b2x)
2
4b
3/2
2
\Biggr)
L
1/2
n
\Biggl(
(b1)
2
4b
3/2
2
\Biggr) .
З вигляду формул (9) видно, що з них не можна одержати, як наслiдок, випадок потенцiалу
\varphi (x) = b1x, про що зазначалося вище.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 83
2. Алгоритм чисельного розв’язування задачi Штурма – Лiувiлля з полiномiальним
потенцiалом на ( - \infty ,\infty ). Розглядаємо задачу, що й у п. 1:
d2u(x)
dx2
+ (\lambda - x2 - q(x))u(x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\| u\| 2 =
\infty \int
- \infty
[u(x)]2dx < \infty , (10)
q(x) =
r\sum
p=1
\alpha px
p \geq \kappa > - \infty ,
але з таким потенцiалом, що для неї FD-метод є розбiжним. Розв’язком задачi (10) є злiченна
кiлькiсть однократних дiйсних власних значень iз точкою згущення на нескiнченностi
\lambda 1 < \lambda 2 < . . . < \lambda n < . . . ,
яким вiдповiдає послiдовнiсть власних функцiй uk(x), k = 1, 2, . . . , що утворює ортогональний
базис у L2( - \infty ,\infty ) (див., наприклад, [15]). Будемо шукати наближення до власної функцiї
uk(x) у виглядi
u
(m)
k (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
m,kHj(x), a
(0)
m,k = 1. (11)
Пiдставимо (11) у диференцiальне рiвняння (10). Тодi замiсть нуля одержимо такий вираз для
нев’язки:
r
(m)
k (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2
2
\biggr) \left\{
m\sum
j=0
a
(j)
m,k(\lambda m,k - 2j - 1)Hj(x) -
r\sum
p=1
\alpha px
p
m\sum
j=0
a
(j)
m,kHj(x)
\right\} . (12)
Перетворимо вираз у фiгурних дужках формули (12) до вигляду, що мiстить лише лiнiйну
комбiнацiю полiномiв Ермiта. З цiєю метою використаємо рекурентне спiввiдношення для
полiномiв Ермiта i його наслiдки:
xpHj(x) =
j+p\sum
t=max(0, j - p)
\beta p,j,tHt(x).
Це дає змогу перетворити (12) до потрiбного вигляду
r
(m)
k (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
m,k
\left\{ (\lambda m,k - 2j - 1)Hj(x) -
r\sum
p=1
\alpha p
j+p\sum
t=max(0, j - p)
\beta p,j,tHt(x)
\right\} =
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
m,k
\left\{ (\lambda m,k - 2j - 1)Hj(x) -
j+r\sum
t=max(0, j - r)
\omega r,j,tHt(x)
\right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
84 В. Л. МАКАРОВ
\omega r,j,t =
r\sum
p=max(min(r, | j - t| ), 1)
\alpha p\beta p,j,t ,
r
(m)
k (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2
2
\biggr) \left\{
m\sum
j=0
a
(j)
m,k(\lambda m,k - 2j - 1)Hj(x) -
m+r\sum
t=0
min(t+r,m)\sum
j=max(0,t - r)
a
(j)
m,k\omega r,j,tHt(x)
\right\} .
(13)
Знайдемо квадрат норми нев’язки (13), врахувавши ортогональнiсть функцiй Ермiта:
\bigm\| \bigm\| \bigm\| r(m)
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 = m\sum
j=0
\left[ a(j)m,k(\lambda m,k - 2j - 1) -
min(j+r,m)\sum
t=max(0, j - r)
a
(t)
m,k\omega r,t,j
\right] 2
2jj!
\surd
\pi +
+
m+r\sum
j=m+1
\left[ min(j+r,m)\sum
t=max(0, j - r)
a
(t)
m,k\omega r,t,j
\right] 2
2jj!
\surd
\pi . (14)
Запишемо необхiднi умови для мiнiмуму функцiонала (14):
\partial
\bigm\| \bigm\| \bigm\| r(m)
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
\partial a
(j)
m,k
=
=
m\sum
i=0
2(i+1)i!
\left( -
m\sum
p=0
\Bigl(
a
(p)
m,k\omega r,p,i + (\lambda m,k - 2i - 1)a
(i)
m,k
\Bigr)
((\lambda m,k - 2i - 1)\delta i,j - \omega r,j,i)
\right) +
+
m+j+1\sum
i=m+1
(2(i+1)i!
m\sum
p=i - m - 1
a
(p)
m,k\omega r,p,i)\omega r,j,i = 0, j = 1, 2, . . . ,m , (15)
\partial
\bigm\| \bigm\| \bigm\| r(m)
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
\partial \lambda m,k
=
m\sum
i=0
2i+1i!
\left[ - m\sum
p=0
a
(p)
k,m\omega r,p,i + (\lambda k,m - 2j - 1)a
(i)
k,m
\right] a
(i)
k,m = 0. (16)
Систему рiвнянь (15) можна перетворити до вигляду
m\sum
i=1
\mu j,i(\lambda m,k)a
(i)
m,k = - \mu j,0(\lambda m,k), j = 0, 1, . . . ,m,
\mu j,i(\lambda m,k) = -
m+1+min(i,j)\sum
p=0
2p+1p!\omega r,i,p [(\lambda m,k - 2p - 1)\delta p,j - \omega r,j,p] +
(17)
+2i+1i!(\lambda m,k - 2i - 1) [(\lambda m,k - 2i - 1)\delta i,j - \omega r,j,i].
З рiвняння (16) знаходимо
\lambda k,m =
\left\{
m\sum
p=0
a
(p)
k,m
m\sum
i=0
2i+1i!\omega r,p,ia
(i)
k,m+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 85
+
m\sum
i=0
2i+1i! (2i+ 1)
\Bigl[
a
(i)
k,m
\Bigr] 2\Biggr\} \Biggl\{ m\sum
i=0
2i+1i!
\Bigl[
a
(i)
k,m
\Bigr] 2\Biggr\} - 1
= G
\bigl(
a
(1)
k,m, . . . , a
(m)
k,m
\bigr)
. (18)
Запропонований пiдхiд до одержання системи нелiнiйних рiвнянь (15), (16) або (15), (17)
включно є символьним, але останню систему в аналiтичному виглядi не можна розв’язати.
Тому для її розв’язання пропонуємо такий алгоритм.
1. Задаємо m i початкове наближення
(0)
\lambda m,k . Пiсля цього органiзуємо iтерацiйний процес.
2. Знаходимо розв’язок a
(i)
k,m =
(0)
a
(i)
k,m, i = 1, 2, . . . , m, системи
m\sum
i=1
\mu j,i
\Bigl( (0)
\lambda m,k
\Bigr)
a
(i)
m,k = - \mu j,0
\Bigl( (0)
\lambda m,k
\Bigr)
, j = 0, 1, . . . ,m.
3. Виконуємо обчислення за формулою (18):
(1)
\lambda k,m = G
\left( (0)
a
(1)
k,m, . . . ,
(0)
a
(m)
k,m
\right) .
4. Змiнюємо
(0)
\lambda m,k на
(1)
\lambda m,k, повертаємось до кроку 2 i т. д.
Загальний блок крокiв є таким:
i. Задаємо наближення \lambda m,k =
(\nu )
\lambda m,k .
ii. Знаходимо розв’язок a
(i)
k,m =
(\nu )
a
(i)
k,m, i = 1, 2, . . . ,m, системи
m\sum
i=1
\mu j,i
\Bigl( (\nu )
\lambda m,k
\Bigr)
a
(i)
m,k = - \mu j,0
\Bigl( (\nu )
\lambda m,k
\Bigr)
, j = 0, 1, . . . ,m.
iii. Виконуємо обчислення за формулою (18):
(\nu +1)
\lambda k,m = G
\biggl( (\nu )
a
(1)
k,m, . . . ,
(\nu )
a
(m)
k,m
\biggr)
, \nu = 1, 2, . . . .
За критерiй зупинки iтерацiйного процесу вибираємо такий: зупинка вiдбудеться на iтерацiї з
номером \nu , якщо виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (\nu +1)
\lambda
k,m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (\nu )\lambda
k,m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon , (19)
де \varepsilon — наперед задана стала, що характеризує потрiбну точнiсть. Якщо нерiвнiсть (19) вико-
нується, то на цьому алгоритм завершується. У протилежному випадку змiнюємо \nu на \nu + 1 i
повертаємось до кроку (13).
Варто зауважити, що досягнуту точнiсть можна контролювати також за рахунок аналiзу
величини квадрата норми нев’язки (14), порiвнюючи її з наперед заданою сталою \varepsilon R, яка
характеризує необхiдну точнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
86 В. Л. МАКАРОВ
Приклад 1. За вищенаведеним алгоритмом було проведено низку чисельних експериментiв
i, зокрема, проведено успiшне порiвняння з розрахунками, викладеними у роботi [1]. Зупини-
мося лише на тих розрахунках, якi пов’язанi з результатами, розмiщеними у таблицi 2 з [6].
Автори [6] стверджують: „Such potentials ( - (a2 + 1) >> a3, a4, ai > 0, i = 3, 4) could not be
handled by other methods due to numerical difficulties”. На противагу такому твердженню наш
алгоритм добре працює i в цьому випадку. Зокрема, якщо a2 = 40, a3 = a4 = 2 i m = 300,
\varepsilon R = 10 - 13, отримуємо
\lambda 0,300 = - 266.459743510482353485793799692999615,
\lambda 0,300
2
= - 133.229871755241176742896899846499808,
R0,300 = 0.124877094693163387057341633982018535 \cdot 10 - 13.
У згаданiй таблицi 2 мантису числа, що наближає енергiю (у наших позначеннях це \lambda 0/2),
наведено з дев’ятьма значущими цифрами, якi повнiстю збiгаються з нашими розрахунками.
Хоча з огляду на величину квадрата норми нев’язки в якостi критерiю зупинки для цього
прикладу доцiльнiше було б використовувати другий критерiй. Останнє твердження особливо
переконливо продемонстровано для випадку a2 = 200, a3 = 2, a4 = 8 i m = 500, \varepsilon R = 10 - 8 :
\lambda 0,500 = - 1321.76704522091350321031848821751905,
\lambda 0,500
2
= - 660.883522610456751605159244108759525,
R0,500 = 0.251057183276010665635027818092350193 \cdot 10 - 8.
Якщо ж обмежитись дев’ятьма знаками пiсля мантиси, якi повнiстю збiгаються з наведеними
у таблицi 2 iз [6], то квадрат нев’язки R0,300 = 0.1182112772901364, що свiдчить про суттєву
неточнiсть такого наближення.
Приклад 2. Розглянемо приклад 38 iз [16]: close-eigenvalue problem on ( - \infty ,\infty ),
q(x) = x4 - 25x2, \lambda 0 = \lambda 1 = - 149.2194561.
Наш алгоритм при m = 150, \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{s} := 180 i використаннi другого критерiю дав такий резуль-
тат:
\lambda 0,180 = - 149.21945614219088795634701362627,
R180 = 0.470465688 \cdot 10 - 10.
Зауважимо, що у [16] не надано теоретичне доведення близькостi двох точних найменших
власних значень i оцiнки цiєї близькостi.
3. Модифiкований FD-метод. Кожен iз випадкiв полiномiального потенцiалу за умови,
коли спектральну задачу
d2u(x)
dx2
+ (\lambda - q(x))u(x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\| u\| 2 =
\infty \int
- \infty
[u(x)]2dx < \infty , (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 87
q(x) =
2N - 1\sum
p=1
bpx
2p, b2N - 1 > 0,
можна розв’язати точно (див. [1], систему комп’ютерної алгебри Maple Help для функцiй Хоiна,
[7]), має таку особливiсть: точна власна функцiя, якщо вона iснує, має вигляд
u(x) =
\Biggl(
M\sum
m=0
c(s)m x2m+s
\Biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
- 1
2
N\sum
i=1
aix
2i
\Biggr)
, (21)
де s = 0 або s = 1 залежно вiд того, парну чи непарну власну функцiю ми шукаємо.
Пiдстановка функцiї (21) у рiвняння (20) i вимога, щоб вона була розв’язком цього рiвняння,
приводять до того, що всi ai, i = 1, 2, . . . , N, однозначно визначаються через заданi коефiцiєнти
полiномiального потенцiалу bi, i = N, . . . , 2N - 1, без жодних для них обмежень. Водночас
коефiцiєнти bi, i = 1, . . . , N - 1, вже не є довiльними та однозначно визначаються через bi,
i = N, . . . , 2N - 1. Так, у випадку N = 4
a4 =
1
4
\sqrt{}
b7, a3 =
b6
6
\surd
b7
, a2 =
b26/4b7 - b5
4
\surd
b7
, a1 =
\bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr)
b6
2b7
+ b4
2
\surd
b7
,
b3 = - 7
\sqrt{}
b7 +
\bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr)
b6
2b7
+ b4
2b7
b6 +
\bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr) 2
4b7
,
(22)
b2 = - 5b6
2
\surd
b7
-
\bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr)
b6
2b7
+ b4
2b7
\biggl(
b26
4b7
- b5
\biggr)
,
b1 =
3
\bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr)
2
\surd
b7
+
\Biggl( \bigl(
b26/4b7 - b5
\bigr)
b6
2b7
+ b4
\Biggr) 2
4b7
,
(23)
а у випадку N = 2
a2=
\surd
b3
2
, a1=
b2
2
\surd
b3
,
b1 = - 3
\sqrt{}
b3 +
b22
4b3
.
(24)
Аналiзуючи наведенi випадки, можемо стверджувати, що якщо коефiцiєнтнi умови (22),
(23) або вiдповiдно (24) слабкозбуренi, то це можна використати для побудови модифiкацiї
FD-методу.
Пояснимо побудову такої модифiкацiї бiльш конкретно на розглянутих вище випадках.
Нехай розглядається спектральна задача (20) з N = 2
q(x) =
3
2
x2 + 4x4 + x6, (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
88 В. Л. МАКАРОВ
для якої умова (24) не виконується. Замiсть „точного” b1 = 1 у нас фiгурує b1 = 3/2, але це є
невеликим збуренням. Використовуючи даний факт, будуємо наступну модифiкацiю FD-методу.
За базову задачу вiзьмемо
d2u
(0)
0 (x)
dx2
+ (\lambda
(0)
0 - x2 - 4x4 - x6)u
(0)
0 (x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\lambda
(0)
0 = 2, u
(0)
0 (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr)
, \=q(x) = x2 + 4x4 + x6.
Тодi загальний рекурентний процес методу буде таким:
d2u
(j+1)
0 (x)
dx2
+ (\lambda
(0)
0 - x2 - 4x4 - x6)u
(j+1)
0 (x) =
= -
j\sum
p=0
\lambda
(j - p+1)
0 u
(p)
0 (x) +
1
2
x2u
(j)
0 (x) \equiv F
(j+1)
0 (x), x \in ( - \infty ,\infty ), (26)
\infty \int
- \infty
u
(j+1)
0 (x)u
(0)
0 (x) dx = 0, j = 0, 1, . . . .
Розв’язок кожної iз задач (26) шукаємо у виглядi
u
(j+1)
0 (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr) \infty \sum
s=0
a
(j+1)
2s x2s.
Для визначення коефiцiєнтiв у цьому виразi одержуємо рекурентну послiдовнiсть
a
(j+1)
2s+2 =
1
2(s+ 1)(2s+ 1)
\times
\times
\left[ 8sa(j+1)
2s + 4(s - 1)a
(j+1)
2s - 2 -
j\sum
p=0
\lambda
(j+1 - p)
0 a
(p)
2s +
1
2
a
(j)
2s - 2
\right] , s = 1, 2, . . . , (27)
з початковою умовою
a
(j+1)
2 = - 1
2
j\sum
p=0
\lambda
(j+1 - p)
0 a
(p)
0 . (28)
З умов розв’язностi задачi (26) випливають формули
\lambda
(j+1)
0 =
1
2
\infty \sum
k=0
a
(j)
2k \beta 2k+2 ,
\beta 2k =
\int \infty
- \infty
x2k
\Bigl[
u
(0)
0 (x)
\Bigr] 2
dx\int \infty
- \infty
\Bigl[
u
(0)
0 (x)
\Bigr] 2
dx
,
(29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 89
де величини \beta 2k для будь-яких значень k можна записати в явному виглядi через модифiкованi
функцiї Бесселя другого роду [14]. Зокрема, маємо
\beta 2 =
K3/4(1) - K1/4(1)
K1/4(1)
, \beta 4 =
- 4K3/4(1) + 5K1/4(1)
2K1/4(1)
, . . . .
Сталi a(p)0 , p = 1, 2, . . . , знаходимо з умови ортогональностi, що випливає з формул (26):
a
(j+1)
0 = -
\infty \sum
p=1
a
(j+1)
2p \beta 2p. (30)
Як наслiдок вищевикладеного одержано символьний алгоритм, результатом дiї якого для
m-го рангу є
m
\lambda 0 =
m\sum
j=0
\lambda
(j)
0 ,
m
a2s =
m\sum
j=0
a
(j)
2s , s = 0, 1, . . . ,
m
u0(x) =
m\sum
j=0
u
(j)
0 (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr) \infty \sum
s=0
\left( m\sum
j=0
a
(j)
2s
\right) x2s = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr) \infty \sum
s=0
m
a2s x
2s.
При iмплементацiї цього алгоритму задаємо натуральне число N замiсть \infty як верхню межу
пiдсумовування, а також задаємо m,
a
(0)
0 = 1, a
(0)
2s = 0, s = 1, 2, . . . , N, \lambda
(0)
0 = 2,
обчислюємо \beta 2k, k = 1, 2, . . . , N, будуємо такий цикл:
для j вiд 0 з кроком 1 до m виконати:
обчислити \lambda
(j+1)
0 за скороченою формулою (29)
\lambda
(j+1)
0 =
1
2
N\sum
k=0
a
(j)
2k \beta 2k+2,
знайти a
(j+1)
2s , s = 1, 2, . . . , N, за формулами (3), (28),
знайти a
(j+1)
0 згiдно iз скороченою формулою (30)
a
(j+1)
0 = -
N\sum
p=1
a
(j+1)
2p \beta 2p,
кiнець циклу.
Вихiд:
m
\lambda 0,
m
a2s, s = 0, 1, . . . , N, \lambda
(m)
0 .
Остання величина характеризує точнiсть iмплементацiї.
Результати розрахункiв з використанням системи комп’ютерної алгебри Maple для N = 24,
\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{s} = 24, m = 9:
9
\lambda 0 = 2.09733591557967330172, \lambda
(8)
0 = - 1.86621224162113261253 \cdot 10( - 15).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
90 В. Л. МАКАРОВ
Рис. 1
Перевiрку якостi одержаного наближення проводимо за допомогою дослiдження нев’язки, яку
обчислюємо таким чином. Будуємо вираз
m,N
u0 (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr) N\sum
s=0
m
a2s x
2s,
за допомогою якого знаходимо полiном
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
x2 +
1
4
x4
\biggr) \left( d2
m,N
u0 (x)
dx2
+ (
m
\lambda 0 - x2 - 4x4 - x6)
m,N
u0 (x)
\right) =
N+1\sum
p=0
rm,2px
2p .
За нев’язку приймаємо функцiю
Rm(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 - 1
4
x4
\biggr) N - 1\sum
p=0
rm,2px
2p . (31)
Графiк R9(x) для потенцiалу (25) зображено на рис. 1.
Наведемо деякi пояснення, пов’язанi з вибором верхньої межi пiдсумовування в формулi
(31). У припущеннi, що верхня межа суми N = \infty , повинно бути
rm,2N+2 = -
\biggl(
4N +
1
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
2N - (8N + 8 + \lambda 0 -
m
\lambda 0)
m\sum
j=0
a
(j)
2N+2 ,
rm,2N = ( - 8N + \lambda 0 -
m
\lambda 0)
m\sum
j=0
a
(j)
2N -
\biggl(
4N - 7
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
2N - 2 + 2(N + 1)(2N + 1)
m\sum
j=0
a
(j)
2N+2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 91
Замiсть цих виразiв для скiнченного N маємо iншi:
rm,2N+2 = -
\biggl(
4N +
1
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
2N ,
rm,2N = ( - 8N + \lambda 0 -
m
\lambda 0)
m\sum
j=0
a
(j)
2N -
\biggl(
4N - 7
2
\biggr) m\sum
j=0
a
(j)
2N - 2 .
Всi попереднi значення rm,2p, p = 0, 1, . . . , N - 1, є однаковими. Саме цi обставини й зумовили
вибiр нев’язки у виглядi (31).
Наведемо приклад для випадку, коли N = 4. Нехай
q(x) = x2 - 5x4 - 9
2
x6 + 2x8 + x10 + 2x12 + x14. (32)
Тодi умова (22) не виконується. Замiсть „точного” b3 = - 5 фiгурує b3 = - 9/2, але це збурення
є невеликим i, використовуючи даний факт, будуємо наступну модифiкацiю FD-методу. За
базову задачу вiзьмемо
d2u
(0)
0 (x)
dx2
+ (\lambda
(0)
0 - x2 + 5x4 + 5x6 - 2x8 - x10 - 2x12 - x14)u
(0)
0 (x) = 0, x \in ( - \infty ,\infty ),
\lambda
(0)
0 = 1, u
(0)
0 (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 1
2
x2 - 1
6
x6 - 1
8
x8
\biggr)
,
\=q(x) = x2 - 5x4 - 5x6 + 2x8 + x10 + 2x12 + x14,
при цьому
q(x) - \=q(x) =
1
2
x6.
Загальний рекурентний процес методу має вигляд
d2u
(j+1)
0 (x)
dx2
+ (\lambda
(0)
0 - \=q(x))u
(j+1)
0 (x) =
=
j\sum
p=0
\lambda
(j - p+1)
0 u
(p)
0 (x) +
1
2
x6u
(j)
0 (x) \equiv F
(j+1)
0 (x), x \in ( - \infty ,\infty ), (33)
\infty \int
- \infty
u
(j+1)
0 (x)u
(0)
0 (x) dx = 0, j = 0, 1, . . . .
Розв’язок кожної iз задач (33) шукаємо у виглядi
u
(j+1)
0 (x) = u
(0)
0 (x)
\infty \sum
s=0
a
(j+1)
2s x2s.
Тодi для визначення коефiцiєнтiв у цьому виразi одержуємо таку рекурентну послiдовнiсть:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
92 В. Л. МАКАРОВ
Рис. 2
a
(j+1)
2s+2 =
1
2(s+ 1)(2s+ 1)
\left[ 4sa(j+1)
2s + 4(s - 1)a
(j+1)
2s - 2 +
+
\biggl(
4s - 12 +
1
2
\biggr)
a
(j+1)
2s - 6 -
j\sum
p=0
\lambda
(j+1 - p)
0 a
(p)
2s
\right] ,
s = 0, 1, . . . , N - 1, j = 0, 1, . . . , a
(j)
2s = 0 \forall s < 0, \forall j, a
(0)
2s = \delta s,0.
З умов розв’язностi задачi (33) випливає, що
\lambda
(j+1)
0 =
1
2
\infty \sum
k=0
a
(j)
2k \beta 2k+6 .
Сталi a(p)0 , p = 1, 2, . . . , знаходимо з умови ортогональностi, яка випливає з формул (33):
a
(j+1)
0 = -
\infty \sum
p=1
a
(j+1)
2p \beta 2p .
Як наслiдок iз вищевикладеного одержано символьний алгоритм, результатом дiї якого для
m-го рангу є
m
\lambda 0 =
m\sum
j=0
\lambda
(j)
0 ,
m
a2s =
m\sum
j=0
a
(j)
2s , s = 0, 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
ТОЧНI ТА НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЬОДIНГЕРА . . . 93
m
u0(x) =
m\sum
j=0
u
(j)
0 (x) = u
(0)
0 (x)
\infty \sum
s=0
\left( m\sum
j=0
a
(j)
2s
\right) x2s = u
(0)
0 (x)
\infty \sum
s=0
m
a2s x
2s.
Iмплементацiя цього алгоритму цiлком подiбна до попереднього випадку, за винятком деяких
технiчних деталей, тому наводити її не будемо. Вкажемо лише результати розрахункiв iз вико-
ристанням системи комп’ютерної алгебри Maple для N = 16, \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{s} = 16, m = 9:
9
\lambda 0 = 1.059751614860599, \lambda
(8)
0 = - 1.213344298472436 \cdot 10( - 14).
Графiк R9(x) для потенцiалу (32) зображено на рис. 2.
Лiтература
1. Magyari E. Exact quantum-mechanical solutions for anharmonic oscillators // Phys. Lett. A. – 1981. – 81, № 2–3. –
P. 116 – 118.
2. Banerjee K. General anharmonic oscillators // Proc. Roy. Soc. London A. – 1978. – 364, № 1717. – P. 263 – 275.
3. Chaudhuri R. N., Mondal M. Improved Hill determinant method: general approach to the quantum anharmonic
oscillators // Phys. Rev. A. – 1991. – 43, № 7. – P. 3241 – 3246.
4. Adhikari R., Dutt R., Varshni Y. P. Exact solutions for polynomial potentials using supersymmetry inspired factorization
method // Phys. Lett. A. – 1981. – 141, № 1–2. – P. 1 – 8.
5. Kao Y.-M., Jiang T. F. Adomian’s decomposition method for eigenvalue problems // Phys. Rev. E. – 2005.
6. Roy A. K., Gupta N., Deb B. M. Time-dependent quantum-mechanical calculation of ground an states of anharmonic
and double-well oscillators // Phys. Rev. A. – 2001.
7. Ronveaux A. (editor). Heun’s differential equations. – Oxford Univ. Press, 1995. – 354 p.
8. Макаров В. Л. FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на
( - \infty ,+\infty ) // Доп. НАН України. – 2015. – № 11. – C. 5 – 11.
9. Макаров В. Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи Штур-
ма – Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 1 (320). – С. 34 – 39.
10. Макаров В. Л. FD-метод — експоненцiальна швидкiсть збiжностi // Журн. обчислюв. та прикл. математики. –
1997. – № 82. – С. 69 – 74.
11. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the decomposition method. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1994. – xiv + 352 p.
12. Макаров В. Л., Романюк Н. М. Новi властивостi FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма –
Лiувiлля // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 26 – 31.
13. Olver F. W. J., Lozier D. W., Boisvert R. F., Clark C. W. NIST digital library of mathematical functions. – Cambridge
Univ. Press, 2010. – xvii + 951 p.
14. Бейтмен Г., Эрдейи Ф. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического
цилиндра, ортогональные многочлены. – 2-е изд. – М.: Наука, 1974. – 296 с.
15. Zettl A. Sturm – Liouville theory // Amer. Math. Soc. Ser. Math. Surv. and Monogr. – 2005. – 121. – 328 p.
16. Pryce J. D. Numerical solution of Sturm – Liouville problems. – Oxford Univ. Press, 1993. – 336 p.
Одержано 09.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1543 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:44Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/c3d03f58db504f7157d474e3437bfeda.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15432019-12-05T09:17:34Z Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator on (−∞,∞) with polynomial potential Точні та наближені розв’язки спектральних задач для оператора Шрьодінгера на (−∞,∞) з поліноміальним потенціалом Makarov, V. L. Макаров, В. Л. New exact representations for the solutions of numerous one-dimensional spectral problems for the Schr¨odinger operator with polynomial potential are obtained by using a technique based on the functional-discrete (FD) method. In cases where the ordinary FD-method is divergent, we propose to use its modification, which proved to be quite efficient. The obtained theoretical results are illustrated by numerical examples. С помощью функционально-дискретного FD-метода найдены точные решения ряда одномерных спектральных задач для оператора Шредингера с полиномиальным потенциалом. В случаях, когда традиционный FD-метод является расходящимся, предложена его модификация, которая оказалась достаточно эффективной. Теоретические результаты проиллюстрированы на численных примерах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1543 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 1 (2018); 79-93 Український математичний журнал; Том 70 № 1 (2018); 79-93 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1543/525 Copyright (c) 2018 Makarov V. L. |
| spellingShingle | Makarov, V. L. Макаров, В. Л. Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title | Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title_alt | Точні та наближені розв’язки спектральних задач для оператора Шрьодінгера
на (−∞,∞) з поліноміальним потенціалом |
| title_full | Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title_fullStr | Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title_full_unstemmed | Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title_short | Exact and approximate solutions of spectral problems for the Schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| title_sort | exact and approximate solutions of spectral problems for the schrödinger operator
on (−∞,∞) with polynomial potential |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1543 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl exactandapproximatesolutionsofspectralproblemsfortheschrodingeroperatoronwithpolynomialpotential AT makarovvl exactandapproximatesolutionsofspectralproblemsfortheschrodingeroperatoronwithpolynomialpotential AT makarovvl točnítanabliženírozvâzkispektralʹnihzadačdlâoperatorašrʹodíngeranazpolínomíalʹnimpotencíalom AT makarovvl točnítanabliženírozvâzkispektralʹnihzadačdlâoperatorašrʹodíngeranazpolínomíalʹnimpotencíalom |