Application of the Faber polynomials in proving combinatorial identities
We study the possibility of application of the Faber polynomials in proving some combinatorial identities. It is shown that the coefficients of Faber polynomials of mutually inverse conformal mappings generate a pair of mutually invertible relations. We prove two identities relating the coefficients...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1547 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507344964681728 |
|---|---|
| author | Imash, kyzy M. Abdullayev, F. G. Savchuk, V. V. Імаш, кизи М. Абдуллаєв, Ф. Г. Савчук, В. В. |
| author_facet | Imash, kyzy M. Abdullayev, F. G. Savchuk, V. V. Імаш, кизи М. Абдуллаєв, Ф. Г. Савчук, В. В. |
| author_sort | Imash, kyzy M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We study the possibility of application of the Faber polynomials in proving some combinatorial identities. It is shown
that the coefficients of Faber polynomials of mutually inverse conformal mappings generate a pair of mutually invertible
relations. We prove two identities relating the coefficients of Faber polynomials and the coefficients of Laurent expansions
of the corresponding conformal mappings. Some examples are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53, 519.117
Ф. Г. Абдуллаєв (Мерсiн. ун-т, Туреччина, Киргизько-Турецький ун-т „Манас”, Киргизстан),
М. Iмаш кизи (Киргизько-Турецький ун-т „Манас”, Киргизстан),
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА
В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ*
We study the possibility of application of the Faber polynomials in proving some combinatorial identities. It is shown
that the coefficients of Faber polynomials of mutually inverse conformal mappings generate a pair of mutually invertible
relations. We prove two identities relating the coefficients of Faber polynomials and the coefficients of Laurent expansions
of the corresponding conformal mappings. Some examples are presented.
Приведено применение многочленов Фабера к доказательствам некоторых комбинаторных тождеств. Показано, что
коэффициенты многочленов Фабера взаимно обратных конформных отображений порождают пару взаимно обрати-
мых соотношений. Доказаны два тождества, которые связывают между собой коэффициенты многочленов Фабера
и коэффициенты лорановских разложений соответствующих конформных отображений. Приведены примеры.
1. Вступ. Комбiнаторним тотожностям присвячено велику кiлькiсть праць, серед яких є фунда-
ментальнi монографiї [1 – 9]. У книгах Дж. Рiордана [1, 5] i Г. П. Єгоричева [4] описано метод
вивчення комбiнаторних тотожностей, який базується на поняттi взаємно оборотних спiввiд-
ношень. Зокрема, в [4] розв’язано задачу, поставлену в [1], про класифiкацiю вiдомих пар
взаємно оборотних комбiнаторних спiввiдношень. А саме, в класифiкацiї Рiордана – Єгоричева
[4, с. 98] вказано вiсiм типiв таких пар: пари найпростiшого типу, Ґульда, Чебишова, Лежандра,
Лежандра – Чебишова, Абеля, Лагранжа i пара звичайного та експоненцiального типу.
Як зазначено в [1, 5], кожна пара взаємно оборотних спiввiдношень має властивiсть орто-
гональностi, яка вже сама по собi може бути джерелом для отримання однiєї або навiть кiлькох
комбiнаторних тотожностей. З цiєї точки зору нам видається цiкавим навести ще один новий
тип взаємно оборотних спiввiдношень, якi породжуються многочленами Фабера.
Останнiм часом в математичнiй лiтературi спостерiгається iнтерес до многочленiв Фабера
у зв’язку з вiдкриттями їх нових можливостей у дослiдженнях з рiзних напрямкiв сучасної
математики. Зокрема, многочлени Фабера застосовувались i до дослiджень у комбiнаторицi
[10 – 13].
У данiй роботi ми прагнемо не стiльки до вiдкриттiв нових комбiнаторних тотожностей, як
до аналiзу однiєї комбiнаторної властивостi многочленiв Фабера та до демонстрацiї її можливос-
тей у застосуваннях. У такому контекстi на прикладi доведення теореми 1 показано, як метод
взаємно оборотних спiввiдношень може бути застосований до встановлення коефiцiєнтних то-
тожностей (для многочленiв Фабера), якi, у свою чергу, в конкретних випадках перетворюються
в певнi комбiнаторнi тотожностi.
* Пiдтримано грантом Киргизько-Турецького унiверситету „Манас” (проект № 2017 FBE-03, Бiшкек, Киргиз-
стан).
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2 151
152 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
Опишемо коротко будову статтi. В п. 2 наведено означення i всi необхiднi вiдомостi про
взаємно оборотнi спiввiдношення та про многочлени Фабера. Основним результатом у цьому
пунктi є теорема 1, яка має самостiйний iнтерес як з точки зору комбiнаторних тотожностей,
так i з точки зору загальної теорiї многочленiв Фабера. В п. 3 розглянуто чотири приклади
континуумiв, для яких знайдено в явному виглядi аналiтичнi вирази для многочленiв Фабера i
показано, якого вигляду для них набирають взаємно оборотнi спiввiдношення.
2. Многочлени Фабера i взаємно оборотнi спiввiдношення. Нехай K — континуум у
комплекснiй площинi \BbbC , тобто компактна множина, яка мiстить бiльше нiж одну точку i до-
повнення якої до розширеної комплексної площини \BbbC := \BbbC \cup \{ \infty \} є однозв’язною областю.
Скрiзь далi, не втрачаючи загальностi, будемо вважати, що трансфенiтний дiаметр конти-
нууму K дорiвнює одиницi. За такого припущення в теоремi Рiмана стверджується iснування
єдиної функцiї \Phi , яка конформно i однолисто вiдображає область K - := \BbbC \setminus K на область
\BbbD - := \{ w \in \BbbC : | w| > 1\} так, що \Phi (\infty ) = \infty , \Phi \prime (\infty ) = 1, а також iснування оберненої функцiї
\Psi := \Phi - 1, нормованої умовами \Psi (\infty ) = \infty , \Psi \prime (\infty ) = 1.
Позначимо \alpha - 1 = 1, \beta - 1 = 1 i нехай
\Psi (w) =
\infty \sum
k= - 1
\alpha kw
- k, \Phi (z) =
\infty \sum
k= - 1
\beta kz
- k
— розклади в ряди Лорана функцiй \Psi i \Phi в околi нескiнченно вiддаленої точки.
Для кожного невiд’ємного цiлого m означимо пару числових послiдовностей \{ ak,m\} mk=0 i
\{ bk,m\} mk=0 як пару коефiцiєнтiв правильних частин розкладiв функцiй \Psi m i \Phi m вiдповiдно в
ряди Лорана в околi \{ \infty \} :
\bigl(
\Psi (w)
\bigr) m
=
m\sum
k=0
ak,mw
k +O
\biggl(
1
w
\biggr)
, w \rightarrow \infty , (1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) m
=
m\sum
k=0
bk,mz
k +O
\biggl(
1
z
\biggr)
, z \rightarrow \infty . (2)
Многочлени
Pm(w) =
m\sum
k=0
ak,mw
k (3)
i
Fm(z) =
m\sum
k=0
bk,mz
k (4)
називаються многочленами Фабера функцiй \Psi i \Phi вiдповiдно. Зауважимо, що зазвичай таку
назву використовують лише для многочленiв Fm, але наведене означення не впливає на те
вiд якої з функцiй \Psi або \Phi вiдштовхуватися. Зрозумiло також, що Pm i Fm — це монiчнi
многочлени степеня m, тобто am,m = bm,m = 1.
Скрiзь далi, оперуючи числами \alpha j , \beta j , ak,m, bk,m i вiдповiдними многочленами Фабера
Pm i Fm, будемо розумiти, що вони породженi деяким континуумом K \subset \BbbC за допомогою
вiдповiдних функцiй \Psi i \Phi .
Розглянемо двi нескiнченнi нижньотрикутнi числовi матрицi \frakA = (ak,m) i \frakB = (bk,m),
складенi з елементiв ak,m i bk,m вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 153
Твердження 1. Матрицi \frakA i \frakB є взаємно оберненими.
Це твердження, напевно, є вiдомим у такому чи iншому еквiвалентному виглядi. Ми звер-
таємо на нього увагу у зв’язку з таким поняттям.
Пара систем лiнiйних спiввiдношень
xm =
m\sum
k=0
ck,myk, m \in \BbbZ +,
i
ym =
m\sum
k=0
dk,mxk, m \in \BbbZ +,
якi пов’язують деякi двi числовi послiдовностi \{ xm\} i \{ ym\} , називається парою взаємно обо-
ротних спiввiдношень (див., наприклад, [4, с. 87]), якщо матрицi \frakC = (ck,m) i \frakD = (dk,m) є
взаємно оберненими.
Наслiдок 1. Для будь-якого r \in \BbbZ + спiввiдношення
xm =
m\sum
k=0
ak+r,m+ryk, m \in \BbbZ +, (5)
i
ym =
m\sum
k=0
bk+r,m+rxk, m \in \BbbZ +, (6)
є взаємно оборотними.
В основу доведення твердження 1 покладено таку основну властивiсть многочленiв Фабера.
Лема 1. Для будь-яких m \in \BbbZ + i z \in \BbbC справджуються рiвностi
zm =
m\sum
k=0
ak,mFk(z) =
m\sum
k=0
bk,mPk(z). (7)
Доведення. Позначимо \BbbT R := \{ w \in \BbbC : | w| = R\} , \BbbD R := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\BbbT R i LR := \{ z \in \BbbC :
| \Phi (z)| = R\} , KR := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}LR. Тодi при R > 1 для многочленiв Pm i Fm мають мiсце iнтегральнi
зображення
Fm(z) =
\int
LR
(\Phi (t))m
t - z
dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
tm\Psi \prime (t)
\Psi (t) - z
dt
2\pi i
, z \in KR, (8)
i
Pm(z) =
\int
\BbbT R
(\Psi (t))m
t - z
dt
2\pi i
=
\int
LR
tm\Phi \prime (t)
\Phi (t) - z
dt
2\pi i
, z \in \BbbD R, (9)
якi випливають з означень цих многочленiв за теоремою Кошi.
Зафiксуємо z \in \BbbC i виберемо R > 1 настiльки великим, щоб область KR мiстила точку z.
Тодi за допомогою формул (1) i (8) одержимо
zm =
\int
LR
tm
t - z
dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
(\Psi (t))m
\Psi \prime (t)
\Psi (t) - z
dt
2\pi i
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
154 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
=
\int
\BbbT R
\Bigl(
Pm(t) +
\bigl(
(\Psi (t))m - Pm(t)
\bigr) \Bigr) \Psi \prime (t)
\Psi (t) - z
dt
2\pi i
=
m\sum
k=0
ak,mFk(z),
що й доводить першу рiвнiсть у (7).
Аналогiчно, для доведення другої рiвностi в (7) виберемо R > 1 настiльки великим, щоб
круг \BbbD R мiстив точку z. Тодi за допомогою (2), (9) одержимо
zm =
\int
\BbbT R
tm
t - z
dt
2\pi i
=
\int
LR
(\Phi (t))m
\Phi \prime (t)
\Phi (t) - z
dt
2\pi i
=
=
\int
LR
\Bigl(
Fm(t) +
\bigl(
(\Phi (t))m - Fm(t)
\bigr) \Bigr) \Phi \prime (t)
\Phi (t) - z
dt
2\pi i
=
m\sum
k=0
bk,mPk(w).
Доведення твердження 1. Згiдно з (7), справджуються рiвностi
zm =
m\sum
k=0
ak,mFk(z) =
m\sum
k=0
ak,m
k\sum
l=0
bl,kz
l =
m\sum
k=0
\Biggl(
m\sum
l=k
al,mbk,l
\Biggr)
zk \forall z \in \BbbC
i
zm =
m\sum
k=0
bk,mPk(z) =
m\sum
k=0
bk,m
k\sum
l=0
al,kz
l =
m\sum
k=0
\Biggl(
m\sum
l=k
ak,lbl,m
\Biggr)
zk \forall z \in \BbbC .
Отже, для будь-яких 0 \leq k \leq m, m \in \BbbZ +,
m\sum
l=k
al,mbk,l =
m\sum
l=k
ak,lbl,m = \delta k,m,
де \delta k,m — символ Кронекера, що й доводить твердження 1.
Пiсля пiдстановки k \rightarrow k+r i m\rightarrow m+r з останнiх рiвностей отримаємо спiввiдношення,
якi доводять наслiдок 1.
Наслiдок 1 у поєднаннi з вiдомостями про конформнi вiдображення i вiдповiднi їм мно-
гочлени Фабера дає метод будови нових взаємно оборотних спiввiдношень, якi можуть стати
iнструментом для вiдкриття нових комбiнаторних тотожностей.
Труднiсть цього методу полягає лише в обчисленнi коефiцiєнтiв ak,m i bk,m. Зрозумiло,
що числа ak,m i bk,m можна обчислити, виходячи зi спiввiдношень (1), (2) i явного аналiтич-
ного виразу однiєї з функцiй \Phi або \Psi . Наступне твердження, що надає таку можливiсть, є
перефразуванням одного результату А. Жаботинського [14].
Лема 2. Мають мiсце формули
ak,m =
\int
\BbbT R
(\Psi (t))mt - k - 1 dt
2\pi i
, k = 0, 1, . . . ,m, R \geq 1, (10)
bk,m =
\left\{
\int
\BbbT R
\Psi \prime (t)
\Psi (t)
tm
dt
2\pi i
, k = 0,
m
k
\int
\BbbT R
tm - 1
(\Psi (t))k
dt
2\pi i
, k = 1, 2, . . . ,m,
(11)
де число R \geq 1 є настiльки великим, що 0 \in KR.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 155
Зауваження 1. Аналогiчнi формули в термiнах функцiї \Phi мають вигляд
ak,m =
m
k
\int
LR
tm - 1
(\Phi (t))k
dt
2\pi i
, k = 1, 2, . . . ,m,
bk,m =
\int
LR
(\Phi (t))mt - k - 1 dt
2\pi i
, k = 0, 1, . . . ,m, (12)
де R > 1 є настiльки великим, що 0 \in LR.
Остання формула пiсля пiдстановки t\rightarrow \Psi (t) в iнтегралi набирає вигляду
bk,m =
\int
\BbbT R
\Psi \prime (t)
(\Psi (t))k+1
tm
dt
2\pi i
.
Саме цю формулу використано в роботах [15 – 19] при вiдшуканнi явного виразу для мно-
гочленiв Фабера Fm конкретних континуумiв. Однак, як це буде показано нижче на прикладах,
формула (11) в деяких випадках є простiшою у використаннях, а вiдтак має перевагу перед (12)
навiть з методичної точки зору.
Доведення. Формула (10) випливає з (1) за теоремою Кошi.
Для доведення (11) здиференцiюємо функцiю \Phi m i скористаємося спiввiдношенням (2):
m(\Phi (t))m - 1\Phi \prime (t) =
d
dt
(\Phi (t))m =
m\sum
k=1
kbk,mt
k - 1 +O
\biggl(
1
t2
\biggr)
, t\rightarrow \infty .
Звiдси при достатньо великому R за формулою Кошi одержимо рiвнiсть
bk,m =
\left\{
\int
LR
(\Phi (t))mt - 1 dt
2\pi i
, k = 0,
m
k
\int
LR
(\Phi (t))m - 1\Phi \prime (t)t - k dt
2\pi i
, k = 1, 2, . . . ,m,
яка й доводить (11) пiсля замiни змiнних t\rightarrow \Psi (t) в iнтегралi.
Зауваження 2. Згiдно з означенням Єгоричева [4, с. 87] спiввiдношення
xm =
m\sum
k=0
ck,myk, m \in \BbbZ +,
називається спiввiдношенням типу F 1
1 = F 1
1 (\alpha , \beta , \varphi , f, \psi ), якщо знайдуться такi функцiї \varphi , f, \psi ,
аналiтичнi в крузi \BbbD R при деякому R > 1, \varphi (0) \not = 0, f(0) \not = 0, \psi (0) \not = 0, i комплекснi числовi
послiдовностi \{ \lambda k\} i \{ \mu k\} , \lambda k \not = 0, \mu k \not = 0, що
ck,m =
\mu k
\lambda m
\int
\BbbT R
\varphi (t)fm(t)\psi k(t)t - m+k - 1 dt
2\pi i
, k,m \in \BbbZ +.
Виконавши в цьому iнтегралi замiну змiнних t\rightarrow t - 1, одержимо вираз
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
156 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
ck,m =
\mu k
\lambda m
\int
\BbbT R
\varphi
\biggl(
1
t
\biggr)
fm
\biggl(
1
t
\biggr) \biggl(
1
t
\psi
\biggl(
1
t
\biggr) \biggr) k
tm - 1 dt
2\pi i
.
Зокрема, якщо \lambda k = \mu k = k, \varphi \equiv f \equiv 1 i \psi (1/t)/t = 1/\Psi (t), то у правiй частинi отримаємо
такий самий iнтеграл, як i в (11).
Таким чином, формули (10), (11) свiдчать про те, що взаємно оборотнi спiввiдношення (5),
(6) є спiввiдношеннями типу F 1
1 у класифiкацiї Єгоричева.
Наступне твердження є основним у цьому пунктi. У ньому йдеться про двi нетривiальнi
тотожностi, якi пов’язують мiж собою числа \alpha k, \beta k, ak,m i bk,m.
Теорема 1. Для кожного l = 0, 1, . . . ,m i m \in \BbbZ + справджуються рiвностi
m - l\sum
k=0
l + 1
k + l + 1
al+1,k+l+1bk+l,m = - (m - l - 1)\alpha m - l - 1, (13)
m - l\sum
k=0
l + 1
k + l + 1
ak+l,mbl+1,k+l+1 = - (m - l - 1)\beta m - l - 1. (14)
Доведення. Нехай m належить \BbbZ +. У доведеннi леми 2 показано, що має мiсце спiввiдно-
шення
(\Phi (z))m\Phi \prime (z) =
1
m+ 1
F \prime
m+1(z) +O
\biggl(
1
z2
\biggr)
, z \rightarrow \infty .
З iншого боку, для виразу в лiвiй частинi справджуються спiввiдношення
(\Phi (z))m\Phi \prime (z) =
\biggl(
Fm(z) +O
\biggl(
1
z
\biggr) \biggr) \biggl(
Sm(\Phi \prime )(z) +O
\biggl(
1
zm+1
\biggr) \biggr)
=
= Fm(z)Sm(\Phi \prime )(z) +O
\biggl(
1
z
\biggr)
, z \rightarrow \infty ,
де
Sm(\Phi \prime )(z) = 1 -
m\sum
k=2
(k - 1)\beta k - 1z
- k
i при m < 2 сума покладається рiвною нулю.
Отже,
Fm(z)Sm(\Phi \prime )(z) =
1
m+ 1
F \prime
m+1(z) +O
\biggl(
1
z
\biggr)
, z \rightarrow \infty .
Звiдси випливає, що при достатньо великому R > 1 для l = 0, . . . ,m справджуються рiвностi\int
\BbbT R
Fm(t)Sm(\Phi \prime )(t)t - l - 1 dt
2\pi i
=
1
m+ 1
\int
\BbbT R
F \prime
m+1(t)t
- l - 1 dt
2\pi i
. (15)
Для iнтеграла в лiвiй частинi (15) маємо значення\int
\BbbT R
Fm(t)Sm(\Phi \prime )(t)t - l - 1 dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
\Biggl(
m - l\sum
k=0
bk+l,mt
k
\Biggr) \Biggl(
1 -
m - l\sum
k=2
(k - 1)\beta k - 1t
- k
\Biggr)
dt
2\pi it
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 157
= bl,m -
m - l\sum
k=2
(k - 1)\beta k - 1bk+l,m,
а для iнтеграла у правiй частинi — значення
1
m+ 1
\int
\BbbT R
F \prime
m+1(t)t
- l - 1 dt
2\pi i
=
l + 1
m+ 1
bl+1,m+1.
Отже, рiвнiсть (15) породжує систему рiвностей
bl,m -
m - l\sum
k=2
(k - 1)\beta k - 1bk+l,m =
l + 1
m+ 1
bl+1,m+1, m \in \BbbZ +, l = 0, 1, . . . ,m. (16)
Позначимо
xk :=
\left\{ 1, k = 0,
- (k - 1)\beta k - 1, 1 \leq k \leq m - l,
i
yk :=
l + 1
k + l + 1
bl+1,k+l+1, 0 \leq k \leq m - l.
Тодi в цих позначеннях спiввiдношення (16) набирають вигляду
m - l\sum
k=0
xkbk+l,m = ym - l, m \in \BbbZ +, l = 0, 1, . . . ,m. (17)
Згiдно з наслiдком 1, взаємно оборотне з (17) спiввiдношення має вигляд
m - l\sum
k=0
ykak+l,m =
m - l\sum
k=0
l + 1
k + l + 1
bl+1,k+l+1ak+l,m = xm - l = - (m - l - 1)\beta m - l - 1,
що й потрiбно було показати для доведення рiвностi (14).
Рiвнiсть (13) доводиться так само шляхом формальної замiни a на b i \alpha на \beta .
3. Приклади. У цiй частинi статтi ми розглянемо чотири приклади континуумiв, для яких
є вiдомими явнi аналiтичнi вирази конформних вiдображень \Psi i \Phi , а також многочленiв Фа-
бера \{ Fk\} [15 – 20]. Зазначимо, що вирази многочленiв \{ Pk\} для цих прикладiв, як i взагалi
для будь-яких iнших, в лiтературi ранiше, мабуть, не зустрiчалися. Вiдомi формули П. Г. Тодо-
рова [21], що виражають коефiцiєнти многочленiв Fk i Pk через коефiцiєнти функцiй \Psi i \Phi ,
хоча й є найбiльш загальними, мають i недолiк — вони громiздкi i надзвичайно трудомiсткi в
застосуваннях. Тому для цiлiсностi викладу тут ми наводимо прозорi аналiтичнi викладки для
обчислень як многочленiв \{ Pk\} , так i многочленiв \{ Fk\} .
Приклад 1 (\bfitn -лемнiската). Нехай K =
\bigl\{
z \in \BbbC : | zn - 1| \leq 1
\bigr\}
, n \in \BbbN . Тодi \Psi (w) =
= w(1 + w - n)1/n i \Phi (z) = z(1 - z - n)1/n, де при n \geq 2 гiлки коренiв вибрано так, щоб
виконувались умови \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}w\rightarrow \infty \Psi (w)/w = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow \infty \Phi (z)/z = 1. Скориставшись розкладом у
бiномiальний ряд, безпосередньо за означенням одержимо такi вирази для многочленiв Фабера:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
158 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
Pm(z) =
[m
n
]\sum
k=0
\Biggl( m
n
k
\Biggr)
zm - nkzm - nk =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn)
\left(
m
n
m - k
n
\right) zk, m \in \BbbZ +,
i
Fm(z) =
[m
n
]\sum
k=0
( - 1)k
\Biggl( m
n
k
\Biggr)
zm - nk =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn)
( - 1)
m - k
n
\left(
m
n
m - k
n
\right) zk, m \in \BbbZ +,
де \biggl(
\alpha
\beta
\biggr)
:=
\Gamma (\alpha + 1)
\Gamma (\alpha - \beta + 1)\Gamma (\beta + 1)
,
\Gamma (\cdot ) — гамма-функцiя Ейлера.
Отже,
ak,m =
\left\{
\left(
m
n
m - k
n
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n), k \leq m,
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n), k \leq m,
bk,m =
\left\{
( - 1)
m - k
n
\left(
m
n
m - k
n
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n), k \leq m,
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n), k \leq m,
а спiввiдношення (5), (6) можна записати у виглядi
xm =
[m
n
]\sum
k=0
\Biggl( m
n
k
\Biggr)
ym - nk, ym =
[m
n
]\sum
k=0
( - 1)k
\Biggl( m
n
k
\Biggr)
xm - nk.
Зокрема, при n = 1 цi спiввiдношення збiгаються з парою найпростiших оборотних спiв-
вiдношень [1, с. 44].
Розглянемо тепер для прикладу тотожнiсть (13).
Взявши до уваги розклад
\Psi (w) = w +
\infty \sum
k=0
k\equiv - 1(modn)
\left( 1
n
1 + k
n
\right) w - k, w \in \BbbD - ,
запишемо тотожнiсть (13) у такому виглядi:
m - l\sum
k=0
k\equiv m - l\equiv 0(modn)
( - 1)
m - k - l
n
l + 1
k + l + 1
\left( k + l + 1
n
k
n
\right)
\left(
m
n
m - k - l
n
\right) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 159
=
m - l
n\sum
k=0
( - 1)
m - l
n
- k l + 1
nk + l + 1
\left( k + l + 1
n
k
\right)
\left(
m
n
m - l
n
- k
\right) =
= - (m - l - 1)
\left( 1
n
m - l
n
\right) .
Тодi пiсля перепозначень r =
m - l
n
, p =
m
n
, q =
l + 1
n
та елементарних спрощень лiвої i правої
частин останньої рiвностi одержимо вiдому тотожнiсть (див., наприклад, [6], рiвнiсть (5.22))
r\sum
k=0
( - 1)k
\biggl(
q
k
\biggr) \biggl(
p
r - k
\biggr)
=
\biggl(
p - q
r
\biggr)
, r \in \BbbZ +, p \geq r, q > 0.
Зауважимо, що висновок про достовiрнiсть цiєї тотожностi (як i тотожностей у наступних
прикладах) при всiх p \geq r i q > 0 зроблено на пiдставi того, що множина рацiональних чисел
є щiльною в \BbbR , а функцiя \Gamma — неперервною на пiвосi (0,+\infty ).
Приклад 2 (\bfitn -променева зiрка). Нехай K = \cup n
j=1
\Bigl\{
z : 0 \leq | z| \leq 4
1
n , \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = e2\pi i
j - 1
n
\Bigr\}
,
n \in \BbbN \setminus \{ 1\} . Тодi \Psi (w) = w(1 + w - n)
2
n i \Phi (z) = z2 -
2
n
\bigl(
1 +
\surd
1 - 4z - n
\bigr) 2
n , де гiлки коренiв
вибрано так, щоб виконувались умови \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}w\rightarrow \infty \Psi (w)/w = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow \infty \Phi (z)/z = 1.
Обчислимо коефiцiєнти ak,m i bk,m за лемою 2:
ak,m =
\int
\BbbT R
tm(1 + t - n)
2m
n t - k - 1 dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
\infty \sum
j=0
\left( 2m
n
j
\right) tm - k - 1 - nj dt
2\pi i
=
=
\left\{
\left(
2m
n
m - k
n
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),
b0,m =
\int
\BbbT R
tn - 1
tn + 1
tm
dt
2\pi it
=
\left\{
1, m = 0,
( - 1)
m
n 2, m \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),m \geq 1,
0, m \not \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),
bk,m =
m
k
\int
\BbbT R
tm - k - 1
(1 + t - n)
2k
n
dt
2\pi i
=
m
k
\int
\BbbT R
\infty \sum
j=0
( - 1)j
\left( 2k - n
n
+ j
j
\right) tm - k - 1 - nj dt
2\pi i
=
=
\left\{
( - 1)
m - k
n
2m
m+ k
\left( m+ k
n
m - k
n
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
160 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
Отже,
Pm(z) =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn)
\left( 2m
n
m - k
n
\right) zk =
[m
n
]\sum
k=0
\left( 2m
n
k
\right) zm - nk
i
Fm(z) =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn)
( - 1)
m - k
n
2m
m+ k
\left( m+ k
n
m - k
n
\right) zk =
=
[m
n
]\sum
k=0
( - 1)k
2m
2m - nk
\left( 2m - nk
n
k
\right) zm - nk. (18)
Спiввiдношення (5), (6) у цьому випадку можна записати у виглядi
xm =
[m
n
]\sum
k=0
\left( 2m
n
k
\right) ym - nk, ym =
[m
n
]\sum
k=0
( - 1)k
2m
2m - nk
\left( 2m - nk
n
k
\right) xm - nk.
Зокрема, при n = 2 цi спiввiдношення збiгаються з парою взаємно оборотних спiввiдношень
Чебишова [1, с. 54].
Оскiльки
\Psi (w) = w +
\infty \sum
k=0
k\equiv - 1(modn)
\left(
2
n
1 + k
n
\right) w - k, w \in \BbbD - ,
то з рiвностi (13) отримаємо таку тотожнiсть:
m - l\sum
k=0
k\equiv m - l\equiv 0(modn)
( - 1)
m - l - k
n
l + 1
k + l + 1
\left(
2(k + l + 1)
n
k
n
\right) 2m
m+ k + l
\left(
m+ k + l
n
m - k - l
n
\right) =
=
m - l
n\sum
k=0
( - 1)
m - l
n
- k l + 1
nk + l + 1
\left( 2k +
2(l + 1)
n
k
\right) 2m
m+ nk + l
\left(
m+ l
n
+ k
m - l
n
- k
\right) =
= - (m - l - 1)
\left(
2
n
m - l
n
\right) .
Позначивши у цiй рiвностi r =
m - l
n
, p =
m+ l
n
i q =
2(l + 1)
n
, одержимо спiввiдношення,
рiвносильне тотожностi Ґульда [2, с. 41; 3, с. 174]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 161
r\sum
k=0
( - 1)r - k q
q + 2k
\Biggl(
q + 2k
k
\Biggr)
p+ r
p+ k
\Biggl(
p+ k
r - k
\Biggr)
=
= - r + p - q
r - p+ q
\Biggl(
r - p+ k
r
\Biggr)
, r \in \BbbZ +, p \geq r, q > 0.
Звернемо увагу ще на такий факт. Якщо знаходити вираз многочленiв Fm безпосередньо за
означенням (2), то легко отримати ланцюжок спiввiдношень
(\Phi (z))m =
\biggl(
(\Phi (z))m +
1
(\Phi (z))m
\biggr)
- 1
(\Phi (z))m
=
= 2 -
2m
n zm
\left( \infty \sum
k=0
(1 + ( - 1)k)
\left( 2m
n
k
\right) (1 - 4z - n)k
\right) +O
\biggl(
1
zm
\biggr)
=
= 2 -
2m
n
+1zm
[m
n
]\sum
k=0
\left( 2m
n
k
\right) (1 - 4z - n)k +O
\biggl(
1
z
\biggr)
, z \rightarrow \infty .
Звiдси випливає, що
Fm(z) = 2 -
2m
n
+1zm
[m
n
]\sum
k=0
\left( 2m
n
k
\right) (1 - 4z - n)k =
[m
n
]\sum
k=0
( - 1)k
\left( [m
n
]\sum
l=k
\left( 2m
n
2l
\right) \Biggl( l
k
\Biggr) \right) 22k -
2m
n
+1zk.
Зiставляючи цей вираз i рiвнiсть (18), пiсля елементарних перетворень отримуємо тотож-
нiсть (див. [2, с. 36], формула 3.120)
[N
2
]\sum
l=k
\biggl(
N
2l
\biggr) \biggl(
l
k
\biggr)
= 2N - 2k - 1 N
N - k
\biggl(
N - k
k
\biggr)
, N \geq 2k.
Приклад 3 (\bfitn -гiпоциклоїда). Нехай K — замикання областi, обмеженої n-гiпоциклоїдою
L =
\bigl\{
z : z = ei\theta + n - 1e - in\theta , \theta \in [0, 2\pi ]
\bigr\}
, n \in \BbbN . Тодi \Psi (w) = w + (nwn) - 1.
За лемою 2 маємо
ak,m =
\int
\BbbT R
\bigl(
1 + (ntn+1) - 1
\bigr) m
tm - k - 1 dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
\left( m\sum
j=0
\biggl(
m
j
\biggr)
n - jt - (n+1)j
\right) tm - k - 1 dt
2\pi i
=
=
\left\{
1
n
m - k
n+1
\left(
m
m - k
n+ 1
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1), k \leq m,
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1), k \leq m,
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
162 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
b0,m =
\int
\BbbT R
tn+1 - 1
tn+1 +
1
n
tm
dt
2\pi it
=
\left\{
1, m = 0,
( - 1)
m
n+1
n+ 1
n
m
n+1
, m \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1), m \geq 1,
0, m \not \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1),
bk,m =
m
k
\int
\BbbT R
tm - k - 1
(1 + (ntn+1) - 1)k
dt
2\pi i
=
=
m
k
\int
\BbbT R
\left( \infty \sum
j=0
\biggl(
k + j - 1
j
\biggr)
( - n) - jt - (n+1)j
\right) tm - k - 1 dt
2\pi i
=
=
\left\{
( - 1)
m - k
n+1
m(n+ 1)
(m+ kn)n
m - k
n+1
\left(
m+ kn
n+ 1
m - k
n+ 1
\right) , k \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1), k \leq m,
0, k \not \equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n+ 1), k \leq m.
Отже,
Pm(z) =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn+1)
1
n
m - k
n+1
\left( m
m - k
n+ 1
\right) zk =
[ m
n+1
]\sum
k=0
1
nk
\biggl(
m
k
\biggr)
zm - (n+1)k
i
Fm(z) =
m\sum
k=0
k\equiv m(modn+1)
( - 1)
m - k
n+1
m(n+ 1)
(m+ kn)n
m - k
n+1
\left(
m+ kn
n+ 1
m - k
n+ 1
\right) zk =
=
[ m
n+1
]\sum
k=0
( - 1)k
m
(m - nk)nk
\biggl(
m - nk
k
\biggr)
zm - (n+1)k.
Таким чином, ми довели, що спiввiдношення
xm =
[ m
n+1
]\sum
k=0
1
nk
\biggl(
m
k
\biggr)
ym - (n+1)k, ym =
[ m
n+1
]\sum
k=0
( - 1)k
m
(m - nk)nk
\biggl(
m - nk
k
\biggr)
xm - (n+1)k
є взаємно оборотними. Зокрема, при n = 1 вони збiгаються з парою взаємно оборотних
спiввiдношень Чебишова [1, с. 54].
Приклад 4 (крапля Ламберта). Нехай K — замикання областi, обмеженої кривою L =
=
\bigl\{
z : z = ecos \theta +i(\theta - sin \theta ), \theta \in [0, 2\pi ]
\bigr\}
. Континуум K назвемо краплею Ламберта, оскiльки
геометрична форма кривої L нагадує краплю, а її рiвняння породжується функцiєю Ламберта.
А саме, функцiя \Psi (w) = we
1
w конформно i однолисто вiдображає область \BbbD - на доповнення
\BbbC \setminus K, а обернена функцiя \Phi має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНIВ ФАБЕРА В ДОВЕДЕННЯХ КОМБIНАТОРНИХ ТОТОЖНОСТЕЙ 163
\Phi (z) =
- 1
W0
\bigl( - 1
z
\bigr) = z -
\infty \sum
k=0
kk
(k + 1)!
z - k, | z| > e,
де W0 — головна гiлка функцiї Ламберта W, яка означається як обернена до функцiї w \mapsto \rightarrow wew,
тобто W (wew) = w (див., наприклад, [22, 23]).
Обчислимо коефiцiєнти ak,m i bk,m за лемою 2:
ak,m =
\int
\BbbT R
tme
m
t t - k - 1 dt
2\pi i
=
\int
\BbbT R
\left( \infty \sum
j=0
mjt - j
j!
\right) tm - k - 1 dt
2\pi i
=
mm - k
(m - k)!
, 0 \leq k \leq m,
b0,m =
\int
\BbbT R
t - 1
t2
tm
dt
2\pi i
=
\left\{
1, m = 0,
- 1, m = 1,
0, m = 2, 3, . . . ,
bk,m =
m
k
\int
\BbbT R
t - ke
- k
t tm - 1 dt
2\pi i
=
m
k
\int
\BbbT R
\left( \infty \sum
j=0
( - k)jt - j
j!
\right) tm - k - 1 dt
2\pi i
=
= ( - 1)m - k k
m - k - 1m
(m - k)!
, 1 \leq k \leq m.
Отже,
Pm(z) =
m\sum
k=0
mm - k
(m - k)!
zk
i
Fm(z) =
\left\{
1, m = 0,
z - 1, m = 1,
m
m\sum
k=1
( - 1)m - k k
m - k - 1
(m - k)!
zk, m = 2, 3, . . . .
Таким чином, спiввiдношення
xm =
m\sum
k=0
mm - k
(m - k)!
yk, ym = b0,mx0 +
m\sum
k=1
( - 1)m - k k
m - k - 1m
(m - k)!
xk, m \in \BbbZ +,
є взаємно оборотними.
Iз спiввiдношення (13) пiсля елементарних перетворень отримуємо тотожнiсть
m - l\sum
k=0
( - 1)m - k - l
\biggl(
m - l
k
\biggr)
(k + l + 1)k - 1(k + l)m - k - l - 1 = - m - l - 1
m(l + 1)
, m, l \in \BbbN , m \geq l.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
164 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, М. IМАШ КИЗИ, В. В. САВЧУК
Лiтература
1. Riordan J. Combinatorial identities. – New York: John Wiley, 1968. – 256 p.
2. Gould H. W. Combinatorial identities: A standardized set of tables listing 500 binomial coefficient summations. –
Morgantown: W. Va., 1972. – 106 p.
3. Comtet L. Advanced combinatorics. – Dordrecht: Reidel Publ. Co., 1974. – 343 p.
4. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. – Новосибирск: Наука,
1977. – 282 с.
5. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. – М.: Наука, 1982. – 255 с.
6. Graham R. L., Knuth D. E., Patashnik O. Concrete mathematics. – Addison-Wesley Publ. Co., Inc., 1994. – 657 p.
7. Stanley R. P. Enumerative combinatorics. – Second ed. – New York; Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012. –
Vol. 1. – 725 p.
8. Stanley R. P. Enumerative combinatorics. – New York; Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. – Vol. 2. – 585 p.
9. Quaintance J., Gould H. W. Combinatorial identities for stirling numbers, the unpublished notes of H. W. Gould. –
Singapore: World Sci. Publ. Co., 2016. – 260 p.
10. Gessel I. M., Ree S. Lattice paths and Faber polynomials // Adv. Combin. Methods and Appl. Probab. and Statist. –
Boston: Birkhäuser, 1997. – P. 3 – 13.
11. Bouali A. Faber polynomials, Cayley – Hamilton equation and Newton symmetric functions // Bull. Sci. Math. –
2006. – 130. – P. 49 – 70.
12. Cheon G.-S., Kim H., Shapiro L. W. An algebraic structure for Faber polynomials // Linear Algebra and Appl. –
2010. – 433. – P. 1170 – 1179.
13. Cheon G.-S., Kim H., Shapiro L. W. The hitting time subgroup, Lukasiewicz paths and Faber polynomials // Eur. J.
Combin. – 2011. – 32. – P. 82 – 91.
14. Jabotinsky E. Representation of functions by matrices. Application to Faber polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. –
1953. – 4, № 4. – P. 546 – 553.
15. Bartolomeo J., He M. On Faber polynomials generated by an m-star // Math. Comput. – 1994. – 62, № 205. –
P. 277 – 287.
16. He M. X., Saff E. B. The zeros of Faber polynomials for an m-cusped hypocycloid // J. Approxim. Theory. – 1994. –
78. – P. 410 – 432.
17. He M. The Faber polynomials for m-fold symmetric domains // J. Comput. App. Math. – 1994. – 54. – P. 313 – 324.
18. He M. The Faber polynomials for circular lunes // Comput. Math. and Appl. – 1995. – 30, № 3-6. – P. 307 – 315.
19. He M. Explicit representations of Faber polynomials for m-cusped hypocycloids // J. Approxim. Theory. – 1996. –
87. – P. 137 – 147.
20. Савчук В. В. Многочлени Фабера зi спiльним коренем // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 3. – С. 214 – 227.
21. Todorov P. G. Explicit formulas for the coefficients of Faber polynomials with respect to univalent functions of the
class \Sigma // Proc. Amer. Math. Soc. – 1981. – 82, № 3. – P. 431 – 438.
22. Corless R. M., Gonnet G. H., Hare D. E. G., Jeffrey D. J., Knuth D. E. On the Lambert W function // Adv. Comput.
Math. – 1996. – 5, № 4. – P. 329 – 359.
23. Corless R. M., Jeffrey D. J., Knuth D. E. A sequence of series for the Lambert W function // Proc. 1997 Int. Symp.
Symbolic and Algebraic Comput. – New York, 1997. – P. 197 – 204.
Одержано 09.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1547 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:50Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0a/652d2632805f8129002dbbe551ab4a0a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15472019-12-05T09:18:03Z Application of the Faber polynomials in proving combinatorial identities Застосування многочленів Фабера в доведеннях комбінаторних тотожностей . Imash, kyzy M. Abdullayev, F. G. Savchuk, V. V. Імаш, кизи М. Абдуллаєв, Ф. Г. Савчук, В. В. We study the possibility of application of the Faber polynomials in proving some combinatorial identities. It is shown that the coefficients of Faber polynomials of mutually inverse conformal mappings generate a pair of mutually invertible relations. We prove two identities relating the coefficients of Faber polynomials and the coefficients of Laurent expansions of the corresponding conformal mappings. Some examples are presented. Приведено применение многочленов Фабера к доказательствам некоторых комбинаторных тождеств. Показано, что коэффициенты многочленов Фабера взаимно обратных конформных отображений порождают пару взаимно обратимых соотношений. Доказаны два тождества, которые связывают между собой коэффициенты многочленов Фабера и коэффициенты лорановских разложений соответствующих конформных отображений. Приведены примеры. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1547 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 151-164 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 151-164 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1547/529 Copyright (c) 2018 Imash kyzy M.; Abdullayev F. G.; Savchuk V. V. |
| spellingShingle | Imash, kyzy M. Abdullayev, F. G. Savchuk, V. V. Імаш, кизи М. Абдуллаєв, Ф. Г. Савчук, В. В. Application of the Faber polynomials in proving combinatorial identities |
| title | Application of the Faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| title_alt | Застосування многочленів Фабера в доведеннях
комбінаторних тотожностей . |
| title_full | Application of the Faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| title_fullStr | Application of the Faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| title_full_unstemmed | Application of the Faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| title_short | Application of the Faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| title_sort | application of the faber polynomials in proving
combinatorial identities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1547 |
| work_keys_str_mv | AT imashkyzym applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT abdullayevfg applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT savchukvv applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT ímaškizim applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT abdullaêvfg applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT savčukvv applicationofthefaberpolynomialsinprovingcombinatorialidentities AT imashkyzym zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej AT abdullayevfg zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej AT savchukvv zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej AT ímaškizim zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej AT abdullaêvfg zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej AT savčukvv zastosuvannâmnogočlenívfaberavdovedennâhkombínatornihtotožnostej |