Almost periodic solutions of Lotka – Volterra systems with diffusion and impulsive action
We establish sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of positive piecewise continuous almost periodic solutions for the Lotka –Volterra systems of differential equations with diffusion and impulsive action.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1549 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507346088755200 |
|---|---|
| author | Dvornyk, A. V. Struk, O. O. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Струк, О. О. Ткаченко, В. І. |
| author_facet | Dvornyk, A. V. Struk, O. O. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Струк, О. О. Ткаченко, В. І. |
| author_sort | Dvornyk, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:18:03Z |
| description | We establish sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of positive piecewise continuous almost periodic
solutions for the Lotka –Volterra systems of differential equations with diffusion and impulsive action. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:07:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. В. Дворник (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. О. Струк (Терноп. нац. пед. ун-т iм. В. Гнатюка),
В. I. Ткаченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА
З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
We establish sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of positive piecewise continuous almost periodic
solutions for the Lotka – Volterra systems of differential equations with diffusion and impulsive action.
Получены условия существования и асимптотической устойчивости строго положительных кусочно-непрерывных
почти периодических решений систем дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерра с диффузией и импульсным
воздействием.
1. Вступ. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь Лотки – Вольтерра з дифузiєю
\partial u(t, x)
\partial t
= \mu 1\Delta u(t, x) + u(t, x)
\bigl(
a1(t, x) - b1(t, x)u(t, x) - c1(t, x)v(t, x)
\bigr)
, (1)
\partial v(t, x)
\partial t
= \mu 2\Delta v(t, x) + v(t, x)
\bigl(
a2(t, x) - b2(t, x)u(t, x) - c2(t, x)v(t, x)
\bigr)
, (2)
x \in \Omega , t \not = \tau k, iмпульсною дiєю вигляду
u(\tau k + 0, x) - u(\tau k, x) = d1ku(\tau k, x) + q1k, (3)
v(\tau k + 0, x) - v(\tau k, x) = d2kv(\tau k, x) + q2k, k \in \BbbZ , (4)
та крайовими умовами Неймана
\partial u(t, x)
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial \Omega
= 0,
\partial v(t, x)
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial \Omega
= 0, (5)
де \Omega \subset \BbbR n — обмежена область з гладкою межею \partial \Omega , \=\Omega = \Omega \cup \partial \Omega , \partial /\partial n — похiдна вздовж
зовнiшньої нормалi, \Delta u = \partial 2u/\partial x21 + . . . + \partial 2u/\partial x2n. Iмпульсна дiя вiдбувається в моменти
часу t = \tau k, якi рiвномiрно вiддiленi один вiд одного.
Система (1) – (5) описує взаємодiю двох бiологiчних видiв, якi нерiвномiрно розподiленi у
просторi та зазнають короткочасного зовнiшнього впливу в моменти часу \tau k. Функцiї u(t, x)
та v(t, x) визначають щiльнiсть двох бiологiчних видiв у момент часу t i просторовiй точцi x.
Виходячи з бiологiчної iнтерпретацiї, вважаємо функцiї невiд’ємними. Додатнi сталi \mu 1 та \mu 2
є коефiцiєнтами дифузiї вiдповiдно першого i другого виду. Логiстичнi вирази u(a1 - b1u) та
v(a2 - c2v) характеризують вiдтворення першого i другого видiв. Члени c1v та b2u показують
гальмiвний вплив виду v на вид u i виду u на вид v вiдповiдно. Дослiдження iмпульсних систем
iз дифузiєю, якi описують еволюцiю бiологiчних видiв, привертає останнiм часом велику увагу
багатьох авторiв (див., наприклад, [1 – 5]).
У цiй роботi ми дослiдимо умови iснування строго додатного кусково-неперервного майже
перiодичного розв’язку системи (1) – (5). Будемо використовувати концепцiю майже перiодич-
них функцiй у сенсi робiт [6, 7]. Цi кусково-неперервнi функцiї мають розриви першого роду
по t в точках iмпульсної дiї t = \tau k. Такi майже перiодичнi розв’язки активно вивчаються для
рiзних класiв систем iз iмпульсною дiєю (див. [8 – 15]).
c\bigcirc А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2 177
178 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
Спочатку ми доведемо обмеженiсть розв’язкiв системи (1) – (5) i вкажемо умови довго-
тривалого виживання кожного з видiв у термiнах перманентностi — коли кiлькiсть iндивидiв
кожного виду стабiлiзується в деякiй обмеженiй областi, вiддiленiй вiд нуля. Точнiше, сис-
тема називається перманентною, якщо iснують додатнi сталi m0 i M0 такi, що для кожного
розв’язку системи з невiд’ємними початковими функцiями u0(x) \not \equiv 0, v0(x) \not \equiv 0 iснує таке
t0 = t0(u0, v0), що
m0 \leq u(t, x) \leq M0, m0 \leq v(t, x) \leq M0
для x \in \=\Omega , t \geq t0. Далi ми отримаємо умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi розв’язкiв
з областi перманентностi в нормах просторiв Lp(\Omega ) iнтегровних функцiй, означених у областi
\Omega , i нормах iнтерполяцiйних просторiв X\alpha , побудованих для оператора Лапласа \Delta i крайо-
вих умов (5). Використання iнтерполяцiйних просторiв X\alpha дозволяє розглядати розв’язки у
сильному i класичному сенсi.
За умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi на пiдставi iдей робiт [16 – 18] доводиться
iснування в областi перманентностi асимптотично стiйкого кусково-неперервного майже перi-
одичного розв’язку.
2. Основнi означення та попереднi результати. Для обмеженої функцiї g(t, x) позначимо
gL = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t,x
g(t, x), gM = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t,x
g(t, x).
Позначимо через \| .\| C норму простору C(\=\Omega ) неперервних функцiй на \=\Omega .
Нехай (X, \| .\| X) — банахiв простiр iз нормою \| .\| X , \BbbR та \BbbZ — множини дiйсних та цiлих
чисел вiдповiдно. Позначимо через \| .\| норму в \BbbR n чи вiдповiдну норму у просторi матриць.
Будемо розглядати простiр \scrP \scrC (J,X), J \subset \BbbR , усiх обмежених кусково-неперервних функцiй x :
J \rightarrow X таких, що:
i) множина \{ \tau j \in J : \tau j+1 > \tau j , j \in \BbbZ \} моментiв розривiв x не має скiнченних граничних
точок;
ii) x(t) є неперервною злiва: x(\tau j - 0) = x(\tau j) та iснує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \tau j+0 x(t) = x(\tau j + 0).
Означення 1. Цiле число p називається \varepsilon -майже перiодом послiдовностi \{ xk\} , xk \in X,
якщо \| xk+p - xk\| X < \varepsilon для всiх k \in \BbbZ . Послiдовнiсть \{ xk\} називається майже перiодичною,
якщо для кожного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина її \varepsilon -майже перiодiв.
Множина \scrA \subset \BbbR вiдносно щiльна, якщо iснує додатне число l таке, що кожний вiдрiзок
дiйсної осi довжини l мiстить принаймнi одне число, яке належить \scrA .
Означення 2. Строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} дiйсних чисел має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, якщо для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина
\varepsilon -майже перiодiв, спiльних для всiх послiдовностей \{ \tau jk\} , де \tau jk = \tau k+j - \tau k, j \in \BbbZ .
Як показано у [19], послiдовнiсть \{ \tau k\} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць тодi i тiльки тодi, коли \tau k = ak + ck, де \{ ck\} — майже перiодична послiдовнiсть, a —
додатне число.
Означення 3. Функцiя \varphi \in \scrP \scrC (\BbbR , X) називається w-майже перiодичною, якщо:
i) строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} моментiв розриву функцiї \varphi (t) має рiвномiрно
майже перiодичнi послiдовностi рiзниць;
ii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує додатне число \delta = \delta (\varepsilon ) таке, що якщо точки t\prime i t\prime \prime належать
одному iнтервалу неперервностi i | t\prime - t\prime \prime | < \delta , то
\bigm\| \bigm\| \varphi (t\prime ) - \varphi (t\prime \prime )
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 179
iii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що
якщо \tau \in \Gamma , то
\bigm\| \bigm\| \varphi (t+ \tau ) - \varphi (t)
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon для всiх t \in \BbbR , якi задовольняють умову | t - \tau k| > \varepsilon ,
k \in \BbbZ .
Нагадаємо, що неперервна функцiя \psi : \BbbR \rightarrow X майже перiодична за Бором, якщо для
довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що якщо \tau \in \Gamma ,
то
\bigm\| \bigm\| \psi (t+ \tau ) - \psi (t)
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon для всiх t \in \BbbR .
Означення 4. Кусково-неперервна функцiя \varphi 1(t) \in \scrP \scrC (J,X) знаходиться в \varepsilon -околi функцiї
\varphi 2(t) \in \scrP \scrC (J,X), якщо
\bigm\| \bigm\| \varphi 1(t) - \varphi 2(t)
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon для всiх t \in J таких, що | t - \tau 1i | > \varepsilon , | t - \tau 2i | > \varepsilon
та | \tau 1i - \tau 2i | < \varepsilon , i \in \BbbZ , де \{ \tau 1i \} та \{ \tau 2i \} — послiдовностi розривiв функцiй \varphi 1(t) i \varphi 2(t)
вiдповiдно. У цьому випадку будемо писати \rho (\varphi 1, \varphi 2) < \varepsilon , t \in J.
Послiдовнiсть \{ fk(t)\} функцiй fk \in \scrP \scrC (J,X), J \subset \BbbR , збiгається у w-топологiї до функцiї
f \in \scrP \scrC (J,X), якщо для кожного \varepsilon > 0 iснує натуральне число N = N(\varepsilon ) таке, що
\bigm\| \bigm\| fk(t) -
- f(t)
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon для всiх k \geq N, | t - \tau i| > \varepsilon (\tau i — точки розривiв функцiї f на множинi J) i
точки розривiв функцiй fk(t), якi лежать у J, збiгаються до точок \tau i рiвномiрно вiдносно i.
Наведемо лему з [10], яка є узагальненням леми 7 з [6, с. 288].
Лема 1. Нехай строго зростаюча послiдовнiсть дiйсних чисел \{ \tau j\} має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, послiдовнiсть \{ Bj\} , Bj \in X, є майже перiодичною, а функ-
цiя \varphi (t) : \BbbR \rightarrow X — w-майже перiодичною. Тодi для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке l = l(\varepsilon ) > 0,
що для довiльного iнтервалу J довжини l iснують такi r \in J i цiле q \in J, що виконуються
нерiвностi
| \tau i+q - \tau i - r| < \varepsilon , \| Bi+q - Bi\| X < \varepsilon , i \in \BbbZ ,
i \bigm\| \bigm\| \varphi (t+ r) - \varphi (t)
\bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon , t \in \BbbR , | t - \tau j | > \varepsilon , j \in \BbbZ .
За лемою 22 [7, с. 192] для послiдовностi \{ \tau j\} з рiвномiрно майже перiодичними послiдов-
ностями рiзниць iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
i(t, t+ T )
T
= p
рiвномiрно вiдносно t \in \BbbR , де i(s, t) — число точок \tau k з iнтервалу (s, t).
Будемо використовувати також лему про узагальнену нерiвность Гронуолла [20, 21].
Лема 2. Нехай 0 \leq \alpha < 1, M1 \geq 0, M2 > 0, 0 < Q < \infty i локально iнтегровна на
0 \leq t \leq Q невiд’ємна функцiя y(t) задовольняє на цьому iнтервалi нерiвнiсть
y(t) \leq M1 +M2
t\int
0
(t - s) - \alpha y(s) ds.
Тодi iснує додатна стала \~C = \~C(\alpha ,M2, Q) \in (1,\infty ) така, що
y(t) \leq M1
\~C(\alpha ,M2, Q).
Будемо розглядати систему (1) – (5) з такими умовами:
(H1) додатнозначнi обмеженi функцiї ai(t, x), bi(t, x) та ci(t, x), i = 1, 2, неперервно
диференцiйовнi по t \in \BbbR i x \in \Omega та майже перiодичнi за Бором по t;
(H2) послiдовнiсть дiйсних чисел \{ \tau j\} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць, i \Theta \geq \tau j+1 - \tau j \geq \theta > 0, j \in \BbbZ , з деякими сталими \Theta та \theta ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
180 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
(H3) виконуються нерiвностi dik > - 1, qik \geq 0, i = 1, 2, k \in \BbbZ , i послiдовностi дiйсних
чисел \{ d1k\} , \{ d2k\} , \{ q1k\} , \{ q2k\} майже перiодичнi.
Позначимо d = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}ik dik, q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}ik qik.
Означення 5. Вектор-функцiя (u(t, x), v(t, x)) є класичним розв’язком системи без iм-
пульсiв (1), (2), (5), якщо вона двiчi неперервно диференцiйовна по x \in \Omega , неперервно диферен-
цiйовна по x \in \=\Omega , неперервно диференцiйовна по t > 0 i задовольняє цю систему.
Вектор-функцiя (u, v) : \Omega \times [t0, t0 + \alpha ] \rightarrow \BbbR 2, де \alpha > 0, є розв’язком початкової задачi
u(t0, x) = u0(x), v(t0, x) = v0(x) (6)
iмпульсної системи (1) – (5), якщо функцiя (u, v) є класичним розв’язком системи без iмпуль-
сiв (1), (2), (5) при t \not = \tau j , задовольняє умови (3), (4) при t = \tau j i виконується умова (6).
3. Перманентнiсть i асимптотична стiйкiсть. У подальшому нам буде потрiбний такий
допомiжний результат [1]. Розглянемо логiстичне рiвняння без запiзнення та з iмпульсною дiєю
у фiксованi моменти
\.z = z(a - bz), t \not = tk, (7)
z(tk + 0) - z(tk) = dz(tk) + q, k \in \BbbZ , (8)
де z \geq 0, a i b — додатнi сталi, d > - 1, q \geq 0, строго зростаюча послiдовнiсть \{ tk\} k\in \BbbZ
задовольняє умову tk+1 - tk \geq \theta > 0.
Лема 3. Усi розв’язки z(t), z(0) = z0 > 0 рiвняння (7), (8) задовольняють оцiнки
0 < z(t) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ A,A(1 + d) + q\} , A =
a
b(1 - e - a\theta )
для t \geq 2\theta .
Також будемо використовувати теорему порiвняння з [22].
Теорема 1. Нехай T i \nu — додатнi числа, а функцiя u(t, x) неперервна на [0, T ] \times \=\Omega ,
неперервно диференцiйовна по x \in \=\Omega , з неперервними похiдними \partial 2u/\partial xi\partial xj та \partial u/\partial t на
(0, T ]\times \Omega i задовольняє нерiвностi
\partial u
\partial t
- \nu \Delta u+ c(t, x)u \geq 0, (t, x) \in (0, T ]\times \Omega ,
\partial u
\partial n
\geq 0, (t, x) \in (0, T ]\times \partial \Omega ,
u(0, x) \geq 0, x \in \Omega ,
де функцiя c(t, x) обмежена на (0, T ]\times \Omega .
Тодi u(t, x) \geq 0 на (0, T ]\times \=\Omega . Крiм того, u(t, x) строго додатна на (0, T ]\times \=\Omega , якщо u(0, x)
не рiвна тотожно нулю.
Лема 4. Для кожного розв’язку системи (1) – (5) з невiд’ємними початковими функцiями
(u0(x), v0(x)) iснує \=t = \=t(u0, v0) таке, що
u(t, x) \leq M0, v(t, x) \leq M0, x \in \=\Omega , t \geq \=t,
де
M0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ A,A(1 + d) + q\} , A =
aM
bL(1 - e - aM\theta )
,
aM = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
aM1 , a
M
2
\bigr)
, bL = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
bL1 , c
L
2
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 181
Доведення. Нехай \=u(t, x, u0) — розв’язок рiвняння
\partial \=u
\partial t
- \mu 1\Delta \=u - \=u(aM - bL\=u) = 0. (9)
Використовуючи нерiвнiсть
0 =
\partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u (a1(t, x) - b1(t, x)u - c1(t, x)v) \geq
\geq \partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u(aM1 - bL1 u) \geq
\partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u(aM - bLu),
отримуємо
0 =
\partial \=u
\partial t
- \mu 1\Delta \=u - \=u(aM - bL\=u) \geq \partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u(aM - bLu).
Застосовуючи теорему 1, одержуємо u(t, x, u0, v0) \leq \=u(t,Mu), Mu = \=u(0,Mu), де стала Mu
така, що \| u0(x)\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \=\Omega | u0(x)| \leq Mu. За теоремою єдиностi розв’язок рiвняння (9) з
незалежною вiд x початковою умовою не залежить вiд x при t \geq 0. Тому функцiя \=u(t,Mu)
задовольняє звичайне диференцiальне рiвняння d\=u/dt = \=u
\bigl(
aM - bL\=u
\bigr)
.
З умови (3) отримуємо оцiнку для iмпульсної дiї:\bigm\| \bigm\| u(\tau k + 0, x, u0, v0)
\bigm\| \bigm\|
C
\leq
\bigm\| \bigm\| u(\tau k, x, u0, v0)\bigm\| \bigm\| C(1 + d) + q.
За лемою 3 всi розв’язки рiвняння з iмпульсами
d\=u
dt
= \=u(aM - bL\=u), \=u(\tau k + 0) - \=u(\tau k) = d\=u(\tau k) + q
фiнально обмеженi сталою A або (d+ 1)A+ q.
Аналогiчно отримуємо оцiнку для v(t, x, u0, v0).
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай виконуються нерiвностi
aL1 - cM1 M0 + \sigma 1 > 0, aL2 - bM2 M0 + \sigma 2 > 0, (10)
де
\sigma i = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
\sum
0<\tau j\leq T
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + dij), i = 1, 2.
Тодi iснує таке m0 > 0, що для кожного розв’язку системи (1) – (5) з невiд’ємними початко-
вими функцiями (u0(x), v0(x)), u0(x) \not \equiv 0, v0(x) \not \equiv 0, iснує t0 = t0(u0, v0) таке, що
u(t, x) \geq m0, v(t, x) \geq m0, x \in \=\Omega , t \geq t0.
Доведення. Для обмежених розв’язкiв
\bigm\| \bigm\| u(t, .)\bigm\| \bigm\|
C
\leq M0,
\bigm\| \bigm\| v(t, .)\bigm\| \bigm\|
C
\leq M0, t \geq 0, викону-
ється нерiвнiсть
0 =
\partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u
\bigl(
a1(t, x) - b1(t, x)u - c1(t, x)v
\bigr)
\leq
\leq \partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u
\bigl(
aL1 - bM1 u - cM1 M0
\bigr)
,
тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
182 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
0 =
\partial \^u
\partial t
- \mu 1\Delta \^u - \^u
\bigl(
aL1 - bM1 \^u - cM1 M0
\bigr)
\leq \partial u
\partial t
- \mu 1\Delta u - u
\bigl(
aL1 - bM1 u - cM1 M0
\bigr)
.
Застосовуючи теорему 1, отримуємо u(t, x, u0, v0) \geq \^u(t,mu), де стала mu > 0 така,
що
\bigm\| \bigm\| u0(x)\bigm\| \bigm\| \geq mu, x \in \=\Omega . Зауважимо, що ми можемо припустити, що mu > 0, оскiльки
за теоремою 1, якщо u0(x) \geq 0, u0(x) \not \equiv 0, v0(x) \geq 0, v0(x) \not \equiv 0, то u(t, x, u0, v0) > 0,
v(t, x, u0, v0) > 0 для всiх x \in \=\Omega , t > 0.
Враховуючи (3) i невiд’ємнiсть q1k, розв’язок u(t, x, u0, v0) оцiнюємо знизу розв’язком
логiстичного рiвняння з iмпульсами
d\^u
dt
= \^u(aL1 - bM1 \^u - cM1 M0), \^u(\tau k + 0) - \^u(\tau k) = d1k\^u(tk). (11)
Виконуючи у рiвняннi (11) замiну змiнних \^u = 1/z, отримуємо
dz
dt
= - (aL1 - cM1 M0)z + bM1 , z(\tau k + 0) = (1 + d1k)
- 1z(\tau k). (12)
Фундаментальний розв’язок вiдповiдного однорiдного рiвняння має вигляд
U(t, s) =
\prod
s\leq \tau j<t
1
1 + d1j
e - (aL1 - cM1 M0)(t - s) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ - (aL1 - cM1 M0)(t - s) -
\sum
s\leq \tau j<t
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + d1j)
\right\} .
Зазначимо, що для майже перiодичної послiдовностi \{ d1j\} та послiдовностi \{ \tau j\} з рiвно-
мiрно майже перiодичними послiдовностями рiзниць завжди iснує границя
\sigma 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
\sum
s\leq \tau j<s+T
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + d1j) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
\sum
s\leq \tau j<s+T
\mathrm{l}\mathrm{n}(1 + d1j)
i(s, s+ T )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
i(s, s+ T )
T
.
При виконаннi нерiвностi (10) для U(t, s) справедливою є оцiнка\bigm| \bigm| U(t, s)
\bigm| \bigm| \leq \~Ke - \alpha 1(t - s), t \geq s,
з деякими додатними сталими \~K i \alpha 1, а рiвняння (12) має єдиний асимптотично стiйкий
обмежений на осi розв’язок
z0(t) =
t\int
- \infty
U(t - s)bM1 ds \leq
\~KbM1
\alpha 1
.
Кожний iнший розв’язок рiвняння з додатними початковими значеннями задовольняє оцiнку
z(t) \leq 2 \~KbM1 /\alpha 1 починаючи з деякого моменту часу, який залежить вiд розв’язку. Вiдповiд-
но кожний розв’язок рiвняння (11) оцiнюється знизу сталою \alpha 1/2 \~KbM1 починаючи з деякого
моменту часу.
Оцiнки для розв’язкiв v аналогiчнi.
Лему 5 доведено.
Лема 6. Нехай виконується нерiвнiсть q0 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}ij qij > 0. Тодi iснує m0 > 0 таке, що
для кожного розв’язку системи (1) – (5) з невiд’ємними початковими функцiями (u0(x), v0(x)),
u0(x) \not \equiv 0, v0(x) \not \equiv 0, iснує t0 = t0(u0, v0) таке, що
u(t, x) \geq m0, v(t, x) \geq m0, x \in \=\Omega , t \geq t0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 183
Доведення. Як i у випадку рiвняння (11), показуємо, що розв’язки системи (1) – (5) оцiню-
ються знизу розв’язками рiвняння
dz
dt
= z(aL - bMz - cMM0), z(\tau k + 0) - z(\tau k) = d0u(tk) + q0, (13)
де aL = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
aL1 , a
L
2
\bigr\}
, bM = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
bM1 , c
M
2
\bigr\}
, cM = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
cM1 , b
M
2
\bigr\}
, d0 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}jk djk. Оскiльки
розв’язки рiвняння невiд’ємнi, а значення розв’язку при t = \tau k + 0 не менше за q0, то при
aL < cMM0 на вiдрiзку t \in (\tau k, \tau k+1], k \geq 1, розв’язок оцiнюється знизу величиною
z(t) \geq (cMM0 - aL)q0
q0bM (e(cMM0 - aL)(t - \tau k) - 1) + (cMM0 - aL)e(cMM0 - aL)(t - \tau k)
.
При aL1 = cM1 M0 отримуємо
z(t) \geq q0
1 + q0bM (t - \tau k)
, t \in (\tau k, \tau k+1].
Аналогiчно доводимо при aL > cMM0.
Лему 6 доведено.
Зауваження 1. Припустимо, що dij = 0, i = 1, 2, j \in \BbbZ , i aL1 > cM1 M0, a
L
2 > bM2 M0. Лiнiй-
не рiвняння (12) має додатний асимптотично стiйкий сталий розв’язок z\ast = bM1 /(a
L
1 - cM1 M0).
Кожен iнший розв’язок рiвняння з додатними початковими значеннями задовольняє оцiнку
z(t) < 2bM1 /(a
L
1 - cM1 M0) починаючи з деякого моменту часу, який залежить вiд розв’язку.
Тому розв’язки
\bigl(
u(t, x, u0, v0), v(t, x, u0, v0)
\bigr)
з невiд’ємними не рiвними тотожно нулю почат-
ковими функцiями задовольняють оцiнки
u(t, x, u0, v0) \geq
aL1 - cM1 M0
2bM1
, v(t, x, u0, v0) \geq
aL2 - bM2 M0
2cM2
, x \in \=\Omega ,
починаючи з деякого моменту часу t1 = t1(u0, v0).
Теорема 2. Нехай для системи (1) – (5) виконуються такi умови:
1) система перманентна: iснують додатнi сталi m0 i M0 такi, що кожний розв’язок з
невiд’ємними не рiвними тотожно нулю початковими функцiями (u0(x), v0(x)) починаючи з
деякого моменту часу t0 = t0(u0, v0) залишається у множинi
E0 =
\bigl\{
(u, v) : m0 \leq u \leq M0, m0 \leq v \leq M0
\bigr\}
;
2) має мiсце нерiвнiсть
aM - (2bL + cL)m0 + cMM0 + \sigma > 0, \sigma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \sigma 1, \sigma 2\} , (14)
де
aM = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
aM1 , a
M
2
\bigr\}
, bL = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
bL1 , c
L
2
\bigr\}
, cL = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
cL1 , b
L
2
\bigr\}
, cM = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
cM1 , b
M
2
\bigr\}
.
Тодi розв’язки системи з початковими функцiями зi значеннями у множинi E0 рiвномiрно
асимптотично стiйкi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
184 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
Доведення. Розглянемо два розв’язки
\bigl(
u1(t, x), v1(t, x)
\bigr)
i
\bigl(
u2(t, x), v2(t, x)
\bigr)
, якi мають
значення у множинi E0, i функцiю
\scrA p(t) =
\int
\Omega
\bigl(
(u1(t, x) - u2(t, x))
p + (v1(t, x) - v2(t, x))
p
\bigr)
dx,
де p — парне натуральне число. Її похiдна має вигляд
d\scrA p(t)
dt
= p
\int
\Omega
(u1 - u2)
p - 1
\biggl(
du1
dt
- du2
dt
\biggr)
dx+ p
\int
\Omega
(v1 - v2)
p - 1
\biggl(
dv1
dt
- dv2
dt
\biggr)
dx =
= p\mu 1
\int
\Omega
(u1 - u2)
p - 1(\Delta u1 - \Delta u2) dx+ p
\int
\Omega
a1(t, x)(u1 - u2)
p dx -
- p
\int
\Omega
\bigl(
b1(t, x)(u1 - u2)
p(u1 + u2) + c1(t, x)(u1 - u2)
p - 1(u1v1 - u2v2)
\bigr)
dx+
+p\mu 2
\int
\Omega
(v1 - v2)
p - 1(\Delta v1 - \Delta v2) dx+ p
\int
\Omega
a2(t, x)(v1 - v2)
p dx -
- p
\int
\Omega
\bigl(
c2(t, x)(v1 - v2)
p(v1 + v2) + b2(t, x)(v1 - v2)
p - 1(u1v1 - u2v2)
\bigr)
dx.
Враховуючи рiвнiсть\int
\Omega
(u1 - u2)
p - 1(\Delta u1 - \Delta u2) dx = - (p - 1)
\int
\Omega
(u1 - u2)
p - 2| \nabla (u1 - u2)| 2 dx,
отримуємо оцiнку
d\scrA p(t)
dt
\leq p
\int
\Omega
\bigl(
aM1 - (2bL1 + cL1 )m0
\bigr)
(u1 - u2)
p dx+
+p
\int
\Omega
\bigl(
cM1 M0
\bigm| \bigm| (u1 - u2)
p - 1(v1 - v2)
\bigm| \bigm| + bM2 M0
\bigm| \bigm| (u1 - u2)(v1 - v2)
p - 1
\bigm| \bigm| \bigr) dx+
+p
\int
\Omega
(a2 - (bL2 + 2cL2 )m0)(v1 - v2)
p dx \leq p
\bigl(
aM - (2bL + cL)m0 + cMM0
\bigr)
\scrA p(t).
В останнiх оцiнках ми скористалися нерiвнiстю wp - 1z +wzp - 1 \leq wp + zp для невiд’ємних w,
z i натурального p.
При t \in (\tau j - 1, \tau j ] виконується нерiвнiсть
\scrA p(\tau j) \leq \scrA p(\tau j - 1 + 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
p
\bigl(
aM - (2bL + cL)m0 + cMM0
\bigr)
(\tau j - \tau j - 1)
\bigr\}
.
За допомогою формул (3), (4) оцiнимо \scrA p(\tau j + 0) :
\scrA p(\tau j + 0) =
\int
\Omega
(1 + d1j)
p
\bigl(
u1(\tau j , x) - u2(\tau j , x)
\bigr) p
dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 185
+
\int
\Omega
(1 + d2j)
p
\bigl(
v1(\tau j , x) - v2(\tau j , x)
\bigr) p
dx \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
(1 + d1j)
p, (1 + d2j)
p
\bigr\}
\scrA p(\tau j) = Kp
j\scrA p(\tau j).
Як наслiдок отримуємо
\scrA p(t) \leq
\prod
t0\leq \tau j<t
Kp
j e
p(aM - (2bL+cL)m0+cMM0)(t - t0)\scrA p(t0). (15)
При виконаннi нерiвностi\prod
t0\leq \tau j<t
Kje
(aM - (2bL+cL)m0+cMM0)(t - t0) \leq M1e
- \beta 1(t - t0)
з нерiвностi (15) випливає експоненцiальна оцiнка з показником - \beta 1 в усiх просторах Lp(\Omega ) з
парними p i як наслiдок оцiнка в \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}-нормi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\bigl(
| u1(t, x) - u2(t, x)| + | v1(t, x) - v2(t, x)|
\bigr)
\leq
\leq M1e
- \beta 1(t - t0) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\bigl(
| u1(t0, x) - u2(t0, x)| + | v1(t0, x) - v2(t0, x)|
\bigr)
, (16)
що показує рiвномiрну асимптотичну стiйкiсть розв’язкiв у просторi C(\=\Omega ).
4. Абстрактна постановка. Позначимо w = (u, v) \in Lp(\Omega ) \times Lp(\Omega ) = X, де p > n —
натуральне число. Норму у просторi X = Lp(\Omega )\times Lp(\Omega ) будемо позначати \| .\| 0.
Запишемо систему (1) – (5), (6) у виглядi
dw
dt
+A1w = F (t, w), t \not = \tau j , (17)
w(\tau j + 0) = w(\tau j) +Gj(w(\tau j)), j \in \BbbZ , (18)
w(0) = w0, (19)
де
A1 =
\Biggl(
- \mu 1\Delta + \beta 0
0 - \mu 2\Delta + \beta
\Biggr)
, \beta > 0,
F (t, w) =
\Biggl(
u(a1(t, .) + \beta - b1(t, .)u - c1(t, .)v)
v(a2(t, .) + \beta - b2(t, .)u - c2(t, .)v)
\Biggr)
,
Gj(w(\tau j)) =
\Biggl(
d1ju(\tau j , .) + q1j
d2jv(\tau j , .) + q2j
\Biggr)
= Djw(\tau j) +Qj ,
\beta — деяке додатне число, \beta < \beta 1. Легко бачити, що d = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j\| Dj\| , q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j\| Qj\| .
Оператор A1 має область означення
D(A1) =
\Biggl\{
\xi : \xi \in W 2,p(\Omega ),
\partial \xi
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial \Omega
= 0
\Biggr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
186 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
де W 2,p(\Omega ) — простiр Соболєва функцiй з Lp(\Omega ), якi мають двi узагальненi похiднi. Оператор
A1 секторiальний з \mathrm{R}\mathrm{e} \xi \geq \beta для \xi \in \sigma (A1), де \sigma (A1) — спектр оператора A1. Для опера-
тора A1 означаються степенi A\alpha
1 , \alpha \geq 0, та вiдповiднi їм областi означення X\alpha = D(A\alpha
1 ) з
нормою \| x\| \alpha = \| A\alpha
1x\| 0 [21]. Оператор - A1 є генератором аналiтичної напiвгрупи e - A1t i
справджується рiвнiсть e - A1tA\alpha
1x = A\alpha
1 e
- A1tx, де x \in X\alpha , t > 0. Виконуються нерiвностi [21]\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1t
\bigm\| \bigm\|
0
\leq C\alpha t
- \alpha e - \beta t, t > 0, \alpha > 0, (20)\bigm\| \bigm\| (e - A1t - I)x
\bigm\| \bigm\|
0
\leq 1
\alpha
C1 - \alpha t
\alpha
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1x
\bigm\| \bigm\|
0
, t > 0, \alpha \in (0, 1], x \in X\alpha , (21)
де C\alpha > 0 обмежена при \alpha \rightarrow 0 + . Також виконується нерiвнiсть \| x\| 0 \leq L0\| x\| \alpha з деякою
сталою L0 > 0 для x \in X\alpha .
Виберемо \alpha так, що 2\alpha - n/p \geq \nu > 0, \alpha < 1. Аналогiчно [23] показуємо, що якщо
початкова функцiя задовольняє умову w0 \in X\alpha , w0 \geq 0, то задача без iмпульсiв (1) – (2), (5),
(6) має єдиний класичний розв’язок (u(t, x), v(t, x)), який iснує для всiх t > 0, якщо u0(x) \geq 0,
v0(x) \geq 0 для майже всiх x \in \Omega .
Розв’язок початкової задачi (17) – (19) задовольняє iнтегральне рiвняння
w(t, w0) = e - A1tw0 +
t\int
0
e - A1(t - s)F (s, w(s)) ds+
\sum
0<\tau j<t
e - A1(t - \tau j)Gj(w(\tau j)),
тому за означенням норми у просторi X\alpha
\| w(t, w0)\| \alpha \leq \| e - A1t\| 0\| w0\| \alpha +
t\int
0
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - s)F (s, w(s))
\bigm\| \bigm\|
0
ds +
+
\sum
0<\tau j<t
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - \tau j)
\bigl(
Djw(\tau j) +Qj
\bigr) \bigm\| \bigm\|
0
.
Для t \in [\tau k - \theta /2, \tau k] виконується (t - \tau j)
- 1 \leq 2/\theta , j < k. З останньої нерiвностi i (20)
отримуємо
\bigm\| \bigm\| w(t, w0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq C0e
- \beta t\| w0\| \alpha + C\alpha F0
t\int
0
e - \beta (t - s)(t - s) - \alpha ds+
+C\alpha (dM0 + q)(2/\theta )\alpha
\sum
0<\tau j<t
e - \beta (t - \tau j) \leq \~C0, t \in [\tau k - \theta /2, \tau k],
де F0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}w\in E0
\bigm\| \bigm\| F (s, w)\bigm\| \bigm\|
0
. Отже,
\bigm\| \bigm\| w(\tau j , w0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq \~C0 для всiх натуральних j. З (18) одер-
жуємо
\bigm\| \bigm\| w(\tau j + 0, w0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq d \~C0 + q. Звiдси випливає, що \| w(t, w0)\| \alpha \leq \~C1, t \geq 0, з деякою
додатною сталою \~C1. З обмеженостi множини у просторi X\beta випливає її компактнiсть у про-
сторi X\alpha , \alpha < \beta . Тому траєкторiї w(t) передкомпактнi в X\alpha , \alpha > 0.
Норма рiзницi двох розв’язкiв w(t, w1) i w(t, w2) задовольняє нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| w(t, w1) - w(t, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1t(w1 - w2)
\bigm\| \bigm\|
0
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 187
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - s)
\bigl(
F (s, w(s, w1)) - F (s, w(s, w2))
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
ds+
+
\sum
0<\tau j<t
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - \tau j)Dj(w(\tau j , w1) - w(\tau j , w2))
\bigm\| \bigm\|
0
\leq
\leq C0e
- \beta t
\bigm\| \bigm\| w1 - w2
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
t\int
0
C\alpha e
- \beta (t - s)
(t - s)\alpha
Fw
\bigm\| \bigm\| w(s, w1) - w(s, w2)
\bigm\| \bigm\|
0
ds+
+
\sum
0<\tau j<t
C\alpha e
- \beta (t - \tau j)
(t - \tau j)\alpha
d
\bigm\| \bigm\| w(\tau j , w1) - w(\tau j , w2)
\bigm\| \bigm\|
0
ds, (22)
де Fw = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}w\in E0
\| \partial wF\| . Використовуючи (16), отримуємо оцiнку\bigm\| \bigm\| w(t, w1) - w(t, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq C0e
- \beta t\| w1 - w2\| \alpha +
+
t\int
0
C\alpha e
- \beta (t - s)
(t - s)\alpha
FwM1e
- \beta 1s\| w1 - w2\| 0ds+
+C\alpha d(2/\theta )
\alpha
\sum
0<\tau j<t
e - \beta (t - \tau j)M1e
- \beta 1\tau j\| w1 - w2\| 0 \leq
\leq e - \beta t\| w1 - w2\| \alpha
\left( C0 + FwM1L0
t\int
0
C\alpha e
- (\beta 1 - \beta )s
(t - s)\alpha
ds+
C\alpha dM1L0(2/\theta )
\alpha
1 - e - \theta (\beta 1 - \beta )
\right) \leq
\leq M2e
- \beta t\| w1 - w2\| \alpha , t \in [\tau k - \theta /2, \tau k]. (23)
Тому \bigm\| \bigm\| w(\tau k, w1) - w(\tau k, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq M2e
- \beta \tau k\| w1 - w2\| \alpha
i, враховуючи форму iмпульсної дiї (18), маємо\bigm\| \bigm\| w(\tau k + 0, w1) - w(\tau k + 0, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq dM2e
- \beta \tau k\| w1 - w2\| \alpha , k = 1, 2, . . . .
Розглядаючи w(\tau k + 0, w1) - w(\tau k + 0, w2) як початкову точку, аналогiчно (23) на iнтервалi
t \in [\tau k + 0, \tau k+1 - \theta /2] отримуємо оцiнку\bigm\| \bigm\| w(t, w1) - w(t, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\leq e - \beta (t - \tau k)
\Biggl(
C0 + FwM1L0
t\int
\tau k
C\alpha e
- (\beta - \beta 1)s
(t - s)\alpha
ds
\Biggr) \bigm\| \bigm\| w(\tau k + 0, w1) - w(\tau k + 0, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
. (24)
З нерiвностей (23) i (24) отримуємо оцiнку для всiх t \geq 0 :\bigm\| \bigm\| w(t, w1) - w(t, w2)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq M3 e
- \beta t\| w1 - w2\| \alpha (25)
з деякою додатною сталою M3 \geq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
188 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
5. Майже перiодичнi розв’язки.
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi система має єдиний асимптотично
стiйкий кусково-неперервний майже перiодичний розв’язок зi значеннями у множинi E0 .
Доведення. Розглянемо розв’язок \xi (t) системи (17), (18) зi значеннями у множинi E0. Вiн
рiвномiрно асимптотично стiйкий у просторi X\alpha . Тому для кожного \varepsilon > 0 iснують \delta = \delta (\varepsilon ) > 0
i T (\varepsilon ) > 0 такi, що для кожного розв’язку w(t) системи (17), (18) з \| \xi (0) - w(0)\| \alpha < \delta
виконується \| \xi (t) - w(t)\| \alpha < \varepsilon /2 для t \geq 0 i \| \xi (t) - x(t)\| \alpha < \delta 1/2 для всiх t \geq T (\varepsilon ),
\delta 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\varepsilon , \delta ).
Нехай \{ \nu m\} — така довiльна послiдовнiсть дiйсних чисел, що \nu m+1 > \nu m, \nu m \rightarrow \infty при
m \rightarrow \infty . Оскiльки система майже перiодична, iснує пiдпослiдовнiсть (яку знову позначимо
\{ \nu m\} ), для якої виконуються такi умови:
a1) iснують послiдовнiсть цiлих чисел \alpha (m) (див. [12]), майже перiодичнi послiдовностi
\{ \~Di\} , \{ \~Pi\} i послiдовнiсть дiйсних чисел iз рiвномiрно майже перiодичними рiзницями \{ \~\tau i\}
такi, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty (\tau i+\alpha (m) - \nu m) = \~\tau i, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty Di+\alpha (m) = \~Di, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty Pi+\alpha (m) = \~Pi рiвномiрно
по i \in \BbbZ ;
a2) F (t+ \nu m, w) прямує до деякої функцiї \~F (t, w) у w-топологiї рiвномiрно вiдносно w з
обмеженої областi \| w\| \alpha \leq K;
a3) \xi m0 = \xi (\nu m) збiгається у просторi X\alpha до деякого елемента \zeta 0 (оскiльки траєкторiя \xi (t)
передкомпактна в X\alpha ).
Позначимо \xi m(t) = \xi (t+ \nu m). Тодi \xi m(t) є розв’язком системи
dw
dt
+A1w = F (t+ \nu m, w), (26)
w(\tau j - \nu m + 0) = w(\tau j - \nu m) +Gj(w(\tau j - \nu m)), j \in \BbbZ , (27)
i \xi m(t) рiвномiрно асимптотично стiйкий з тими ж \delta (\varepsilon ) i T (\varepsilon ), як i \xi (t).
Позначимо \tau j - \nu m = \tau mj - \alpha (m). Нехай j - \alpha (m) = i, тодi j = i+ \alpha (m) i система (26), (27)
набирає вигляду
dw
dt
+A1w = F (t+ \nu m, w), (28)
w(\tau mi + 0) = w(\tau mi ) +Gi+\alpha (m)(w(\tau
m
i )), i \in \BbbZ . (29)
Аналогiчно позначимо \tau j - \nu n = \tau nj - \alpha (n). Нехай j - \alpha (n) = i, тодi j = i+ \alpha (n) i розв’язок
\xi n(t) задовольняє рiвняння
dw
dt
+A1w = F (t+ \nu n, w), (30)
w(\tau ni + 0) = w(\tau ni ) +Gi+\alpha (n)(w(\tau
n
i )), i \in \BbbZ . (31)
З умов a1) – a3) випливає, що для додатного \delta 1 iснує таке натуральне N1, що при m,n \geq N1
виконується\bigm| \bigm| \tau mi - \tau ni
\bigm| \bigm| < \delta 1,
\bigm\| \bigm\| Gi+\alpha (m)(w) - Gi+\alpha (n)(w)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \delta 1, \rho
\bigl(
F (.+ \nu m, w), F (.+ \nu n, w)
\bigr)
< \delta 1
(32)
рiвномiрно по i \in \BbbZ та \| w\| \alpha \leq K з деяким K > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 189
Нехай \eta (t) — розв’язок рiвняння (28), (29) з початковою умовою \eta (0) = \xi n(0) = \xi (\nu n).
Iснує таке N > 0, що \| \xi m(0) - \xi n(0)\| \alpha < \delta при m,n \geq N. Тодi з рiвномiрної асимптотичної
стiйкостi отримуємо
\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi m(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \varepsilon /2 при t \geq 0 i \| \eta (t) - \xi m(t)\| \alpha < \delta /2 при t \geq T (\varepsilon ).
Оцiнимо \eta (t) - \xi n(t) на iнтервалi [0, T (\varepsilon )]. Припустимо для визначеностi \tau m1 < \tau n1 . При
виконаннi (32) на iнтервалi [0, \tau m1 ] рiзниця \eta (t) - \xi n(t) задовольняє оцiнки
\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi n(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
t\int
0
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - s)
\bigl(
F (s+ \nu m, \eta (s)) - F (s+ \nu m, \xi
n(s))
\bigr) \bigm\| \bigm\|
0
ds+
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - s)
\bigl(
F (s+ \nu m, \xi
n(s)) - F (s+ \nu n, \xi
n(s))
\bigr) \bigm\| \bigm\|
0
ds \leq
\leq
t\int
0
FwL0C\alpha e
- \beta (t - s)
(t - s)\alpha
\bigm\| \bigm\| \eta (s) - \xi n(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
ds+ \delta 1
t\int
0
C\alpha e
- \beta (t - s)
(t - s)\alpha
ds \leq
\leq FwL0C\alpha
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \eta (s) - \xi n(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
(t - s)\alpha
ds+ \delta 1
\Theta 1 - \alpha C\alpha
1 - \alpha
. (33)
За лемою 2 iснує така стала \~C = \~C(\alpha ,Q, Fw), що\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi n(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq \delta 1
\Theta 1 - \alpha C\alpha
1 - \alpha
\~C = \Lambda 1(\delta 1), t \in [0, \tau m1 ].
Оцiнимо рiзницю в точцi t = \tau n1 + 0 :
\bigm\| \bigm\| \eta (\tau n1 + 0) - \xi n(\tau n1 + 0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(\tau n1 - \tau m1 )
\bigl(
D1\eta (\tau
m
1 ) +Q1
\bigr)
+
+
\tau n1\int
\tau m1
A\alpha
1 e
- A1(\tau n1 - s)F (s+ \nu m, \eta (s)) ds - D1A
\alpha
1 e
- A1(\tau n1 - \tau m1 )\xi n(\tau m1 ) -
- A\alpha Q1 -
\tau n1\int
\tau m1
D1A
\alpha
1 e
- A1(\tau n1 - s)F (s+ \nu n, \xi
n(s)) ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
\leq
\leq dC0e
- \beta (\tau n1 - \tau m1 )
\bigm\| \bigm\| \eta (\tau m1 ) - \xi n(\tau m1 )
\bigm\| \bigm\|
\alpha
+
+(1 + d)F0
\tau n1\int
\tau m1
C\alpha e
- \beta (\tau n1 - s)
(\tau n1 - s)\alpha
ds+
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 (e
- \beta (\tau n1 - \tau m1 ) - I)Q1
\bigm\| \bigm\|
0
\leq
\leq dC0\Lambda 1(\delta 1) +
(1 + d)F0C\alpha
1 - \alpha
\delta 1 - \alpha
1 +
1
\alpha 1
C1 - \alpha 1\delta
\alpha 1
1 \| Q1\| \alpha +\alpha 1 = \~\Lambda 2(\delta 1), (34)
де \~\Lambda 2(s) \rightarrow 0 при s\rightarrow 0.
На iнтервалi t \in
\bigl(
\tau n1 ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \tau m2 , \tau n2 \}
\bigr]
рiзниця задовольняє нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
190 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi n(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - \tau n1 )
\bigl(
\eta (\tau n1 + 0) - \xi n(\tau n1 + 0)
\bigr) \bigm\| \bigm\|
0
+
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| A\alpha
1 e
- A1(t - s)
\bigl(
F (s+ \nu m, \eta (s)) - F (s+ \nu n, \xi
n(s))
\bigr) \bigm\| \bigm\|
0
ds \leq
\leq C0
\~\Lambda 2(\delta 1) + FwL0C\alpha
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \eta (s) - \xi n(s)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
(t - s)\alpha
ds+ \delta 1
\Theta 1 - \alpha C\alpha
1 - \alpha
i за лемою 2 оцiнку\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi n(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\biggl(
C0
\~\Lambda 2(\delta 1) + \delta 1
\Theta 1 - \alpha C\alpha
1 - \alpha
\biggr)
\~C = \Lambda 2(\delta 1).
Аналогiчно (34) отримуємо\bigm\| \bigm\| \eta (\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \tau m2 , \tau n2 \} + 0) - \xi n(\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \tau m2 , \tau n2 \} + 0)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq
\leq dC0\Lambda 2(\delta 1) +
(1 + d)F0C\alpha
1 - \alpha
\delta 1 - \alpha
1 +
1
\alpha 1
C1 - \alpha 1\delta
\alpha 1
1 \| Q2\| \alpha +\alpha 1 = \~\Lambda 3(\delta 1),
де \~\Lambda 3(s) \rightarrow 0 при s\rightarrow 0.
На iнтервалi [0, T (\varepsilon )] не бiльше нiж T (\varepsilon )/\theta +1 точок iмпульсної дiї. Проводячи аналогiчне
оцiнювання, показуємо, що iснують такi функцiї \Lambda j(\delta 1), що \Lambda j(s) \rightarrow 0 при s\rightarrow 0 i\bigm\| \bigm\| \eta (t) - \xi n(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\leq \Lambda j(\delta 1), t \in
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\tau mj - 1, \tau
n
j - 1
\bigr\}
,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\tau mj , \tau
n
j
\bigr\} \bigr]
,
для j = 1, 2, . . . , T (\varepsilon )/\theta +1. Припускаємо, що \tau m0 = \tau n0 = 0. Виберемо \delta 1 так, щоб \Lambda j(\delta 1) < \delta /2
для всiх j.
Отже, iснує таке натуральне N1, що для всiх m,n \geq N1 виконується \rho (\eta (.), \xi n(.)) < \delta /2
на iнтервалi [0, T (\varepsilon )]. Тому \rho (\xi m(.), \xi n(.)) < \varepsilon при t \in [0, T (\varepsilon )] i
\bigm\| \bigm\| \xi m(T (\varepsilon )) - \xi n(T (\varepsilon ))
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \delta .
Розглядаючи точку t = T (\varepsilon ) як початкову i повторюючи наведене вище оцiнювання, отримуємо
аналогiчнi нерiвностi на iнтервалi [T (\varepsilon ), 2T (\varepsilon )] i в точцi t = 2T (\varepsilon ). Повторюючи таку ж
процедуру на наступних iнтервалах
\bigl[
2T (\varepsilon ), 3T (\varepsilon )
\bigr]
,
\bigl[
3T (\varepsilon ), 4T (\varepsilon )
\bigr]
i т. д., у пiдсумку одержуємо
\rho (\xi m(.), \xi n(.)) < \varepsilon при t \geq 0 i m,n \geq N1.
Ми довели збiжнiсть у w-топологiї на пiвосi t \geq 0 послiдовностi функцiй \xi (t + \nu n) зi
значеннями у просторi X\alpha . Позначимо через p(t), t \geq 0, граничну функцiю. Використовуючи
стандартний дiагональний метод i вибираючи, якщо необхiдно, пiдпослiдовностi послiдовностi
\{ \nu n\} , продовжуємо функцiю p(t) на всю вiсь так, що \xi (t+ \nu n) збiгається до p(t) у w-топологiї
на компактних iнтервалах.
Покажемо, що функцiя p(t) w-майже перiодична. За побудовою функцiя p(t) має послiдов-
нiсть розривiв \{ \~\tau j\} , яка має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi рiзниць. Для кожного
\varepsilon > 0 iснує таке T1 = T1(\varepsilon ), що множина\biggl\{
\tau : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T1(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \xi (t+ \tau ) - \xi (t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \varepsilon , | t - \tau k| > \varepsilon
\biggr\}
(35)
вiдносно щiльна в \BbbR . Дiйсно, якщо множина (35) не є вiдносно щiльною для деякого \varepsilon 0 > 0,
то для довiльного T1(\varepsilon 0) iснує послiдовнiсть iнтервалiв [hn - ln, hn + ln] таких, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq T1(\varepsilon 0),| t - \tau k| \geq \varepsilon 0
\bigm\| \bigm\| \xi (t+ \tau ) - \xi (t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\geq \varepsilon 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ – ВОЛЬТЕРРА З ДИФУЗIЄЮ ТА IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 191
для всiх \tau \in [hn - ln, hn + ln]. Виберемо довiльне l1 i ln > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}m<n hm, тодi hn - hm \in
\in [hn - ln, hn + ln], якщо m < n. Тому
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0,| t+hm - \tau k| \geq \varepsilon 0
\bigm\| \bigm\| \xi (t+ hn) - \xi (t+ hm)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq hm,| t - \tau k| \geq \varepsilon 0
\bigm\| \bigm\| \xi (t) - \xi (t+ hn - hm)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
\geq \varepsilon 0.
(36)
За доведеним вище послiдовнiсть \{ hn\} має таку пiдпослiдовнiсть \{ hnk
\} , що послiдовнiсть
функцiй \{ \xi (t+ hnk
)\} збiжна у w-топологiї на пiвосi t \geq 0. Це суперечить нерiвностi (36).
Тепер покажемо, що гранична функцiя p(t) задовольняє нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| p(t+ \tau ) - p(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \varepsilon
для всiх t \in \BbbR , | t - \~\tau k| > \varepsilon . Вибираючи \nu n з достатньо великим n, отримуємо нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \xi (t+\nu n+\tau ) - \xi (t+\nu n)\bigm\| \bigm\| \alpha < \varepsilon для t \geq T (\varepsilon ) - \nu n, t+\tau \geq T1(\varepsilon ) - \nu n i | t+\theta n - \~\tau k| > \varepsilon . Зафiксуємо
t, \tau i виберемо достатньо велике n так, що виконуються останнi нерiвностi. Переходячи до
границi при n\rightarrow \infty , отримуємо
\bigm\| \bigm\| p(t+ \tau ) - p(t)
\bigm\| \bigm\|
\alpha
< \varepsilon . Ця нерiвнiсть виконується для t \in \BbbR ,
| t - \~\tau k| > \varepsilon i вiдносно щiльної множини \varepsilon -майже перiодiв \tau . Отже, функцiя p(t) w-майже
перiодична.
Виберемо таку послiдовнiсть дiйсних чисел \{ \theta k\} , що \theta k+1 > \theta k i \theta k \rightarrow \infty , k \rightarrow \infty , i
виконуються умови:
a\prime 1) iснує послiдовнiсть \~\alpha (m) така, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty (\tau i+\~\alpha (m) - \theta m) = \tau i, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty Di+\~\alpha (m) = Di,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty Pi+\~\alpha (m) = Pi рiвномiрно по i \in \BbbZ ;
a\prime 2) F (t+ \theta m, w) прямує до F (t, w) у w-топологiї рiвномiрно вiдносно w, \| w\| \alpha \leq K;
a\prime 3) \xi (\theta m) збiгається у просторi X\alpha до деякого елемента \~\zeta 0.
Позначимо через p\ast (t) побудовану за цiєю послiдовнiстю w-майже перiодичну функцiю
\BbbR \rightarrow X\alpha . Доведемо, що вона задовольняє рiвняння (17), (18). Функцiя p\ast (t) будується як
границя послiдовностi функцiй \~\xi (t+ \theta m), якi задовольняють рiвняння
dw
dt
+A1w = F (t+ \theta m, w),
w(\tau i+\~\alpha (m) - \theta m + 0) = w(\tau i+\~\alpha (m) - \theta m) +Gi+\~\alpha (m)
\bigl(
w(\tau i+\~\alpha (m) - \theta m)
\bigr)
, i \in \BbbZ .
Виберемо вiдрiзок [\=t1, \=t2], який не мiстить точок iмпульсiв \tau i i точок \tau i+\~\alpha (m) - \theta m при досить
великих m. На вiдрiзку [\=t1, \=t2] розв’язок \~\xi (t+ \theta m) задовольняє iнтегральне рiвняння
\~\xi (t+ \theta m) = e - A1(t - \=t1)\~\xi (\=t1 + \theta m) +
t\int
\=t1
e - A1(t - s)F
\bigl(
s+ \theta m, \~\xi (s+ \theta m)
\bigr)
ds.
Переходячи в останньому рiвняннi до границi при m \rightarrow \infty , отримуємо iнтегральне рiвняння
для p\ast (t):
p\ast (t) = e - A1(t - \=t1)p\ast (\=t1) +
t\int
\=t1
e - A1(t - s)F (s, p\ast (s)) ds.
За лемою 3.3.2 з [21] неперервний розв’язок (\=t1, \=t2) \rightarrow X\alpha цього iнтегрального рiвняння є
класичним розв’язком рiвняння (17), (18) у банаховому просторi X . Аналогiчно [23] показуємо,
що якщо \alpha задовольняє нерiвностi
2\alpha - n/p \geq \nu > 0, \alpha < 1, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
192 А. В. ДВОРНИК, О. О. СТРУК, В. I. ТКАЧЕНКО
то задача без iмпульсiв (1), (2) з початковою функцiєю w0 \in X\alpha , w0(.) \geq 0, має єдиний класич-
ний розв’язок (u(t, x), v(t, x)), який iснує для всiх t > 0. Iмпульснi умови задовольняються за
побудовою. При виконаннi нерiвностей (37) простiр X\alpha неперервно вкладений у простiр C\nu .
Отже, розв’язок p\ast (t) є w-майже перiодичним як функцiя \BbbR \rightarrow C(\Omega ).
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Akhmet M. U., Beklioglu M., Ergenc T., Tkachenko V. I. An impulsive ratio-dependent predator-prey system with
diffusion // Nonlinear Anal.: Real World Appl. – 2006. – 7, № 5. – P. 1255 – 1267.
2. Dvirnyj A. I., Slyn’ko V. I. Stability in terms of two measures for a class of semilinear impulsive parabolic equations //
Sb. Math. – 2013. – 204, № 4. – P. 485 – 507.
3. Li C., Guo X., He D. An impulsive diffusion predator-prey system in three-species with Beddington – DeAngelis
response // J. Appl. Math. and Comput. – 2013. – 43, № 1-2. – P. 235 – 248.
4. Struk O. O., Tkachenko V. I. On impulsive Lotka – Volterra systems with diffusion // Ukr. Math. J. – 2002. – 54,
№ 4. – P. 629 – 646.
5. Wang X., Li Z. Global attractivity and oscillations in a nonlinear impulsive parabolic equation with delay // Kyungpook
Math. J. – 2008. – 48, № 4. – P. 593 – 611.
6. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 310 с.
7. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci. Publ., 1995. – x + 462 p.
8. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Periodic and almost periodic solutions of strongly nonlinear impulse systems //
J. Appl. Math. and Mech. – 1992. – 56, № 6. – P. 829 – 837.
9. Dvornyk A. V., Tkachenko V. I. Almost periodic solutions for systems with delay and nonfixed times of impulsive
actions // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 11. – P. 1673 – 1693.
10. Hakl R., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. Almost periodic evolution systems with impulse action at state-
dependent moments // J. Math. Anal. and Appl. – 2017. – 446, № 1. – P. 1030 – 1045.
11. Pinto M., Robledo G. Existence and stability of almost periodic solutions in impulsive neural network models // Appl.
Math. and Comput. – 2010. – 217, № 8. – P. 4167 – 4177.
12. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Almost periodic impulsive systems // Different. Equat. – 1993. – 29, № 4. –
P. 684 – 691.
13. Stamov G. T. Almost periodic solutions of impulsive differential equations // Lect. Notes Math. – 2012. – 2047. –
xx + 217 p.
14. Tkachenko V. Almost periodic solutions of parabolic type equations with impulsive action // Funct. Different. Equat. –
2014. – 21, № 3-4. – P. 155 – 169.
15. Tkachenko V. Almost periodic solutions of evolution differential equations with impulsive action // Math. Modeling
and Appl. Nonlinear Dynamics. – New York: Springer, 2016. – P. 161 – 205.
16. Coppel W. A. Almost periodic properties of ordinary differential equations // Ann. Mat. Pura ed Appl. Ser. 4. – 1967. –
76, № 1. – P. 27 – 49.
17. Yoshizawa T. Asymptotically almost periodic solutions of an almost periodic system // Funkc. Ekvacioj. – 1969. –
12, № 1. – P. 23 – 40.
18. Myslo Y. M., Tkachenko V. I. Global attractivity in almost periodic single species models // Funct. Different. Equat. –
2011. – 18, № 3-4. – P. 269 – 278.
19. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Unbounded functions with almost periodic differences // Ukr. Math. J. – 1991. –
43, № 10. – P. 1306 – 1309.
20. Dvornyk A. V., Tkachenko V. I. On the stability of solutions of evolutionary equations with nonfixed times of pulse
actions // J. Math. Sci. – 2017. – 220, № 4. – P. 425 – 439.
21. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations // Lect. Notes Math. – 1981. – 840. – iv + 348 p.
22. Smith L. H. Dynamics of competition // Lect. Notes Math. – 1999. – 1714. – P. 192 – 240.
23. Alikakos N. D. An application of the invariance principle to reaction-diffusion equations // J. Different. Equat. –
1979. – 33, № 2. – P. 201 – 225.
Одержано 01.12.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1549 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:07:51Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/6f2d4dfaee82c4b2265865a4077fdbd0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-15492019-12-05T09:18:03Z Almost periodic solutions of Lotka – Volterra systems with diffusion and impulsive action Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та імпульсною дією Dvornyk, A. V. Struk, O. O. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Струк, О. О. Ткаченко, В. І. We establish sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of positive piecewise continuous almost periodic solutions for the Lotka –Volterra systems of differential equations with diffusion and impulsive action. Получены условия существования и асимптотической устойчивости строго положительных кусочно-непрерывных почти периодических решений систем дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерра с диффузией и импульсным воздействием. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1549 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 2 (2018); 177-192 Український математичний журнал; Том 70 № 2 (2018); 177-192 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1549/531 Copyright (c) 2018 Dvornyk A. V.; Struk O. O.; Tkachenko V. I. |
| spellingShingle | Dvornyk, A. V. Struk, O. O. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Струк, О. О. Ткаченко, В. І. Almost periodic solutions of Lotka – Volterra systems with diffusion and impulsive action |
| title | Almost periodic solutions of Lotka – Volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| title_alt | Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та імпульсною дією |
| title_full | Almost periodic solutions of Lotka – Volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| title_fullStr | Almost periodic solutions of Lotka – Volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| title_full_unstemmed | Almost periodic solutions of Lotka – Volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| title_short | Almost periodic solutions of Lotka – Volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| title_sort | almost periodic solutions of lotka – volterra
systems with diffusion and impulsive action |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1549 |
| work_keys_str_mv | AT dvornykav almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT strukoo almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT tkachenkovi almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT dvornikav almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT strukoo almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT tkačenkoví almostperiodicsolutionsoflotkavolterrasystemswithdiffusionandimpulsiveaction AT dvornykav majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû AT strukoo majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû AT tkachenkovi majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû AT dvornikav majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû AT strukoo majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû AT tkačenkoví majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtaímpulʹsnoûdíêû |